Teoría de los Conjuntos I: Relaciones de equivalencias

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca de un tipo de relaciones a las que llamaremos relaciones de equivalencia. Trataremos ejemplos que son relaciones de equivalencia así como ejemplos que no lo son.

Sobre el concepto

Definición: Sea $R$ una relación en $A$. Decimos que $R$ es una relación de equivalencia si se satisfacen las siguientes condiciones:

  1. Para cualquier $a\in A$, $(a,a)\in R$ (reflexiva),
  2. Si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ (simetría),
  3. Si $(a,b)\in R$ y $(b,c)\in R$, entonces $(a,c)\in R$ (transitiva).

Una forma de recordar las propiedades que caracterizan a la definición de relación de equivalencia es pensar en lo siguiente:

  1. Cualquier persona es amiga de si misma (reflexividad),
  2. Si Juan es amigo de Pedro, entonces Pedro es amigo de Juan (simetría),
  3. Si Ana es amiga de Luis y Luis es amigo de Adrián, entonces Ana es amiga de Adrián (transitividad).

Algunos ejemplos

Ejemplo:

Sea $A=\set{a,b}$. $R=\set{(a,a), (b,b), (a,b), (b,a)}$ es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $R$ es una relación en $A$ y se verifican las propiedades:

  1. Reflexivilidad:
    Sea $x\in A$, entonces $x=a$ o $x=b$. Luego, como $(a,a)\in R$ y $(b,b)\in R$ se cumple que $R$ es una relación reflexiva.
  2. Simetría:
    Dado que nuestra relación es un conjunto pequeño podemos evaluar que pasa con cada uno de sus elementos:
    -Si $(a,a)\in R$, entonces $(a,a)\in R$ es verdadero,
    -Si $(b,b)\in R$, entonces $(b,b)\in R$ es verdadero,
    -Si $(a,b)\in R$, entonces $(b,a)\in R$ es verdadero,
    -Si $(b,a)\in R$, entonces $(a,b)\in R$ es verdadero.
    Por lo tanto, $R$ es simetrica.
  3. Transitividad:
    Dado que si $(a,b)\in R$ y $(b,a)\in R$ entonces $(a,a)\in R$ se cumple. Del mismo modo se cumple que si $(b,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, entonces $(b,b)\in R$.
    Por lo tanto, $R$ es transitiva.

$\square$

Ejemplo:

Sea $X=\emptyset$, la relación vacía es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar las propiedades:

  1. Reflexividad:
    Sea $x\in X$, entonces $(x,x)\in \emptyset$ es verdadero, pues $x\in X=\emptyset$ es falso y la reflexividad se verifica por vacuidad.
  2. Simetría:
    Sea $(x,y)\in \emptyset$, entonces $(y,x)\in \emptyset$ por vacuidad.
  3. Transitividad:
    Sean $(x,y)\in \emptyset$ y $(y,z)\in\emptyset$, entonces $(x,y)\in \emptyset$ por vacuidad.

Por lo tanto, $\emptyset$ es relación de equivalencia en $X=\emptyset$.

$\square$

Relaciones casi de equivalencia

La definición de relación de equivalencia nos pide verificar tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. Si alguna relación verifica alguna de ellas pero no todas, entonces no será de equivalencia. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo: (Simétrica y transitiva pero no reflexiva)

Sea $X$ un conjunto no vacío, la relación vacía en $X$ no es relación de equivalencia. En efecto, podemos verificar que $\emptyset$ es simétrica y transitiva por un argumento por vacuidad, pero $\emptyset$ no es una relación reflexiva.

Dado que si $x\in X$ arbitrario, entonces $(x,x)\in \emptyset$ es falso, pues la relación vacía no tiene elementos, concluimos que $\emptyset$ no es reflexiva.

$\square$

Ejemplo: (Reflexiva, simétrica pero no transitiva)

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y simétrica no es transitiva.

$R$ no es una relación transitiva pues $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.

$\square$

Ejemplo: (Reflexiva, transitiva pero no simétrica)

Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Tenemos que $R$ no es relación de equivalencia, pues aunque es reflexiva y transitiva no es simétrica.

$R$ no es una relación transitiva pues $(c,a)\in R$ y $(a,b)\in R$, pero $(c,b)\notin R$.

$\square$

Resultados

Teorema: Sean $R_1$ y $R_2$ relaciones de equivalencia en $A$. Demuestra que $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia.

Demostración:

Supongamos que $R_1$ y $R_2$ son relaciones de equivalencia en $A$. Veamos que $R_1\cap R_2$ es una relación de equivalencia en $A$, para ello debemos verificar que $R_1\cap R_2$ es reflexiva, simétrica y transitiva.

Afirmación 1: $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Sea $a\in A$, veamos que $(a,a)\in R_1\cap R_2$.
Como $a\in A$ y $R_1$ es relación de equivalencia en $A$, entonces en particular es reflexiva, de modo que $(a,a)\in R_1$.

Luego, como $a\in A$ y $R_2$ es reflexiva por ser relación de equivalencia se cumple que $(a,a)\in R_2$. Por lo tanto, $(a,a)\in R_1$ y $(a,a)\in R_2$, esto es $(a,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es reflexiva.

Afirmación 2: $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Sea $(a,b)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, $(b,a)\in R_1$ y $(b,a)\in R_2$ por ser $R_1$ y $R_2$ relaciones simétricas respectivamente. Por lo tanto, $(b,a)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es simétrica.

Afirmación 3: $R_1\cap R_2$ es transitiva.

Sean $(a,b), (b,c)\in R_1\cap R_2$, veamos que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Como $(a,b)\in R_1\cap R_2$, entonces $(a,b)\in R_1$ y $(a,b)\in R_2$. Luego, como $(b,c)\in R_1\cap R_2$ entonces $(b,c)\in R_1$ y $(b,c)\in R_2$.

Así, $(a,b)\in R_1$ y $(b,c)\in R_1$ y por la transitividad de $R_1$ se sigue que $(a,c)\in R_1$.

De forma similar, como $(a,b)\in R_2$ y $(b,c)\in R_2$ se sigue que $(a,c)\in R_2$ por transitividad de $R_2$.

De los argumentos anteriores se tiene que $(a,c)\in R_1\cap R_2$.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es transitiva.

Por lo tanto, $R_1\cap R_2$ es relación de equivalencia en $A$.

$\square$

Proposición: Demuestra que si $R$ es una relación sobre un conjunto $X$, cumple con las siguientes propiedades:

  1. $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$,
  2. Si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$.

Entonces $R$ es relación de equivalencia.

Demostración:

Supongamos que $R$ es una relación tal que $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$ y si $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$. Veamos que $R$ es relación de equivalencia.

Tenemos que $R$ es reflexiva pues por hipótesis $(x,x)\in R$ para todo $x\in X$. Luego, si $(x,y)\in R$, veamos que $(y,x)\in R$ para probar que $R$ es simétrica. Dado que $(x,y)\in R$ entonces $x,y\in X$ y por reflexividad $(y,y)\in R$. Así, por hipótesis tenemos que $(y,x)\in R$.

Ahora veamos que $R$ es transitiva. Supongamos que $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$ y mostremos que $(x,z)\in R$. Como $(x,y)\in R$ y $(y,z)\in R$, entonces $(z,x)\in R$ y por simetría de $R$ se tiene que $(x,z)\in R$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te será útil para verificar por tu cuenta que ciertas relaciones son de equivalencia:

  1. Demuestra que $Id_A$ es una relación de equivalencia para $A$ un conjunto cualquiera.
  2. Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a), (a,c), (c,a)}$. Demuestra que $R$ es reflexiva y simétrica.
  3. Sea $X=\set{a,b,c}$ y sea $R=\set{(a,a), (b,b), (c,c), (a,b)}$. Demuestra que $R$ es reflexiva y simétrica.
  4. Construye $R$ una relación tal que $R$ sea reflexiva pero no sea ni simétrica ni transitiva.

Más adelante

En la siguiente sección seguiremos tratando a las relaciones de equivalencia, esta vez hablaremos acerca de sus elementos y como podemos estudiarlos según estén relacionados con otros elementos. Definiremos a un nuevo conjunto llamado clase de equivalencia en el que se encontraran aquellos elementos que estén relacionados con un mismo elemento.

Enlaces

Puedes consultar más contenido de relaciones de equivalencia en el siguiente enlace:

Álgebra Superior I: Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia

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