Introducción

Ahora que hemos introducido el concepto de contar elementos y hemos hablado acerca de conjuntos finitos e infinitos, hablaremos un poco más acerca de estos últimos, en especifico de aquellos que tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números naturales. El propósito de esta entrada es ver que existen infinitos más grandes que otros.

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto, decimos que $A$ es numerable si existe $f:\mathbb{N}\to A$ tal que $f$ es biyectiva. De ser así, diremos que $|A|=|\mathbb{N}|$.

Ejemplo:

En la entrada de equipotencia vimos que existe una función biyectiva entre el conjunto de los números pares y los números naturales, por lo que podemos concluir que $|\set{x\in \mathbb{N}:x=2k\ \text{para algún} \ k\in \mathbb{N}}|=|\mathbb{N}|$.

$\square$

Ejemplo:

$\mathbb{Z}$ son un conjunto numerable. (Puedes revisar la construcción del conjunto de los números enteros en el siguiente enlace: Álgebra Superior II: Construcción de los enteros y su suma)

Consideremos $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ dada por:

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             \frac{x}{2} &   si  & x =2k\ \text{para algún}\ k\in \mathbb{N} \\
             \\ -\frac{x+1}{2} &  si & x=2k+1\ \text{para algún}\ k\in\mathbb{N}
             \end{array}
   \right.$

Resulta que $f$ es biyectiva. En efecto, veamos primero que $f$ es inyectiva.

Sean $x_1, x_2\in \mathbb{N}$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Tenemos los siguientes casos:

Caso 1. Si $x_1=2k$ y $x_2=2m$ para algunos $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $f(x_1)=\frac{x_1}{2}$ y $f(x_2)=\frac{x_2}{2}$ y así, $\frac{x_1}{2}=\frac{x_2}{2}$ y por lo tanto, $x_1=x_2$.

Caso 2. Si $x_1=2k+1$ y $x_2=2m+1$ para algunos $n,m\in \mathbb{N}$, entonces $f(x_1)=-\frac{x_1+1}{2}$ y $f(x_2)=-\frac{x_2+1}{2}$ y así, $-\frac{x_1+1}{2}=-\frac{x_2+1}{2}$, entonces $-(x_1+1)=-(x_2+1)$, entonces $x_1+1=x_2+1$ y por lo tanto, $x_1=x_2$.

El caso en el que $x_1=2k$ y $x_2=2m+1$ no puede ocurrir pues de lo contrario se tendría que $\frac{x_1}{2}=-\frac{x_2+1}{2}$ por lo que $x_1=-(x_2+1)$, lo cual es una contradicción pues $x_1\in \mathbb{N}$ y $-(x_2+1)\notin \mathbb{N}$. De manera análoga, no puede ocurrir que $x_1=2m+1$ y $x_2=2k$ para algunos $m,k\in\mathbb{N}$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Ahora veamos que $f$ es sobreyectiva. Sea $y\in \mathbb{Z}$, tenemos los siguientes casos:

Caso 1. Si $y\in \mathbb{Z}^+\cup\set{0}=\set{0,1,2,\dots}$, entonces para $x=2y\in \mathbb{N}$ se tiene que $f(2y)=\frac{2y}{2}=y$.

Caso 2: Si $y\in \mathbb{Z}^-=\set{-1,-2, \dots}$, entonces $x=-2y-1\in \mathbb{N}$ y se tiene que $f(-2y-1)=-\frac{-2y-1+1}{2}=y$.

Concluimos que $f$ es sobreyectiva.

Por lo tanto, $f$ es biyectiva y así, $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$.

$\square$

Tarea moral

• Si un conjunto $A$ es numerable y $x\in A$ es un elemento arbitrario, ¿será cierto que $A\setminus\set{x}$ es también numerable?
• Sea $\mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\setminus\set{0}$. Muestre que $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ dada por $f(n,m)=2^n(2m+1)$ es una función biyectiva.
• Utilizando el ejercicio anterior, muestra que si $A$ y $B$ son conjuntos numerables, entonces $A\times B$ también es numerable.
• Sean $A$ y $B$ conjuntos ajenos y numerables. Muestra que $A\cup B$ es numerable.

Más adelante…

En la siguiente entrada concluiremos el contenido acerca de cardinalidad de conjuntos infinitos, daremos cierre de esta unidad con el tema de aritmética cardinal.

Enlaces

• Entrada anterior: Teoría de los Conjuntos I: Conjuntos infinitos
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