Introducción

Ahora que hemos desarrollado una herramienta para comparar conjuntos que tienen más elementos que otros y hemos trabajado con conjuntos finitos e infinitos, hablaremos un poco más acerca de estos últimos, en especifico de aquellos que tienen la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números naturales.

Conjuntos numerables

Definición. Sea $A$ un conjunto, decimos que $A$ es numerable si es equipotente a $\mathbb{N}$, es decir, si existe una función biyectiva $f:\mathbb{N}\to A$. De ser así, lo denotaremos con $|A|=|\mathbb{N}|$.

Ejemplo.

En la entrada de equipotencia vimos que existe una función biyectiva entre el conjunto de los números pares y los números naturales, por lo que podemos concluir que $$|\{2k:k\in \mathbb{N}\}|=|\mathbb{N}|.$$

$\square$

Ejemplo.

El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros es un conjunto numberable. (Puedes revisar la construcción del conjunto de los números enteros en el siguiente enlace: Álgebra Superior II: Construcción de los enteros y su suma).

Consideremos $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ dada por:

$f(n)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             \overline{(k,0)} &   si  & n=2k\ \text{para algún}\ k\in \mathbb{N} \\
             \\ \overline{(0,k+1)} &  si & x=2k+1\ \text{para algún}\ k\in\mathbb{N}
             \end{array}
   \right.$

Resulta que $f$ es biyectiva. En efecto, veamos primero que $f$ es inyectiva.

Sean $x_1, x_2\in \mathbb{N}$ tales que $f(x_1)=f(x_2)$. Tenemos los siguientes casos:

Caso 1. Si $x_1=2k$ y $x_2=2m$ para algunos $k,m\in \mathbb{N}$, entonces $f(x_1)=\overline{(k,0)}$ y $f(x_2)=\overline{(m,0)}$ y así, $\overline{(k,0)}=\overline{(m,0)}$, por lo que $k+0=m+0$, es decir, $k=m$ y por lo tanto, $x_1=2k=2m=x_2$.

Caso 2. Si $x_1=2k+1$ y $x_2=2m+1$ para algunos $k,m\in \mathbb{N}$, entonces $f(x_1)=\overline{(0,k+1)}$ y $f(x_2)=\overline{(0,m+1)}$ y así, $\overline{(0,k+1)}=\overline{(0,m+1)}$, por lo que $0+(m+1)=0+(k+1)$ y así $m=k$. Por tanto, $x_1=2k+1=2m+1=x_2$.

El caso en el que $x_1=2k$ y $x_2=2m+1$ no puede ocurrir, pues de lo contrario se tendría que $\overline{(k,0)}=\overline{(0,m+1)}$ por lo que $k+(m+1)=0+0=0$, lo cual es imposible. De manera análoga, no puede ocurrir que $x_1=2m+1$ y $x_2=2k$ para algunos $m,k\in\mathbb{N}$.

Por lo tanto, $f$ es inyectiva.

Ahora veamos que $f$ es suprayectiva. Sea $y\in \mathbb{Z}$, tenemos los siguientes casos:

Caso 1. Si $y\in \mathbb{Z}^+\cup\set{\overline{(0,0)}}$, entonces $y=\overline{(k,0)}$ para algún $k\in\mathbb{N}$. Así, para $x=2k\in\mathbb{N}$ se tiene $f(x)=y$.

Caso 2: Si $y\in \mathbb{Z}^{-}$, entonces $y=\overline{(0,k)}$ para algún $k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Luego, existe $k’\in\mathbb{N}$ tal que $s(k’)=k$, es decir, $k’+1=k$. Luego, tomando $x=2k’+1$ se tiene $f(x)=\overline{(0,k’+1)}=\overline{(0,k)}=y$.

Concluimos que $f$ es suprayectiva.

Por lo tanto, $f$ es biyectiva y así, $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$.

$\square$

Ejemplo.

El conjunto $\mathbb{N}$ es equipotente al conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$. (Puedes revisar la construcción del conjunto de los números racionales en el siguiente enlace: Álgebra Superior II: Esbozo de construcción de los números racionales y reales).

De momento vamos a dar por hecho que para todo entero $z\in\mathbb{Z}^{+}$ existe un único entero $k\in\mathbb{Z}^{+}$, con $k>1$, y un único $i\in\{1,\ldots,k-1\}$ tal que $\overline{(z,1)}=\overline{(2i+(k-2)(k-1),2)}$. Teniendo esto en cuenta vamos a definir la siguiente función: $f:(\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\})\times(\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\})\to\mathbb{Q}^{+}$ por medio de $f(z,z’)=\left\{ \begin{array}{lcc}
\overline{(1,z’+1)} & si\ z=0\\
\\ \overline{(k,kz’+i)} & si\ z\in\mathbb{Z}^{+}\ y\ \overline{(z,1)}=\overline{(2i+(k-2)(k-1),2)}\ con\ k\in\mathbb{Z}^{+},\ k>1,\ e\ i\in\{1,\ldots,k-1\}
\end{array}
\right.$

Debido a la unicidad de $k$ e $i$ en el caso $z>0$, la función $f$ está bien definida. Veamos ahora que $f$ es una biyección.

Primero probaremos la inyectividad de $f$. Sean $(z_1,z’_1),(z_2,z’_2)\in(\mathbb{Z}^{+}\cup\{0\})\times(\mathbb{Z}\cup\{0\})$ tales que $f(z_1,z’_1)=f(z_2,z’_2)$. Si $z_1=0$, entonces, $f(z_1,z’_1)=\overline{(1,z’_1+1)}$ y así $\overline{(1,z’_1+1)}=f(z_2,z’_2)$. Luego, si $z_2\not=0$, entonces, existen únicos enteros $k\in\mathbb{Z}^{+}$, con $k>1$, e $i\in\{1,\ldots,k-1\}$ tales que $\overline{(z_2,1)}=\overline{(2i+(k-2)(k-1),2)}$, de modo que $f(z_2,z’_2)=\overline{(k,kz’_2+i)}$. En consecuencia, $\overline{(1,z’_1+1)}=\overline{(k,kz’_2+i)}$, por lo que $kz’_2+i=k(z’_1+1)$ y esto es imposible, pues la expresión de un número entero como $kq+r$ con $q\in\mathbb{Z}$ y $r\in\{0,1,\ldots,k-1\}$ es única. Por tanto, debe ser que $z_2=0$ y así $f(z_2,z’_2)=\overline{(1,z’_2+1)}$. Concluimos entonces que $\overline{(1,z’_1+1)}=\overline{(1,z’_2+1)}$ y por consiguiente $z’_1+1=z’_2+1$, es decir, $z’_1=z’_2$, lo que muestra que $(z_1,z’_1)=(z_2,z’_2)$. Supongamos ahora que $z’_1\not=0$. Luego, $z’_2\not=0$, pues de lo contrario obtenemos la misma contradicción que antes. Sean $k,k’\in\mathbb{Z}^{+}$ con $k,k’>1$ e $i\in\{1,\ldots,k-1\}$, $i’\in\{1,\ldots,k’-1\}$, tales que $\overline{(z_1,1)}=\overline{(2i+(k-2)(k-1),2)}$ y $\overline{(z_2,1)}=\overline{(2i’+(k’-2)(k’-1),2)}$. Entonces, $\overline{(k,kz’_1+i)}=f(z_1,z’_1)=f(z_2,z’_2)=\overline{(k’,k’z’_2+i’)}$ de donde $k(k’z’_2+i’)=k'(kz’_1+i)$.

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te permitirá reforzar el contenido visto en esta entrada.

1. Si un conjunto $A$ es numerable y $x\in A$ es un elemento arbitrario, ¿será cierto que $A\setminus\set{x}$ es también numerable?
2. Sea $\mathbb{N}_0:=\mathbb{N}\setminus\set{0}$. Muestra que $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}_0$ dada por $f(n,m)=2^n(2m+1)$ es una función biyectiva.
3. Utilizando el ejercicio anterior, muestra que si $A$ y $B$ son conjuntos numerables, entonces $A\times B$ también es numerable.
4. Sean $A$ y $B$ conjuntos ajenos y numerables. Muestra que $A\cup B$ es numerable . ¿Y si los conjuntos $A$ y $B$ no son ajenos?

Más adelante…

En la siguiente entrada concluiremos el contenido acerca de cardinalidad de conjuntos infinitos. Daremos cierre a esta unidad con el tema de aritmética cardinal.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»