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Álgebra Superior II: Problemas de norma y la ecuación general de segundo grado

Por Claudia Silva

Introducción

Estudiamos ya la norma de un número complejo, así como la ecuación general de segundo grado en $C$ y un método para obtener raíces complejas. Abordaremos ahora varios ejemplos y ejercicios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón, así como un ejercicio de norma.

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas

Comenzaremos viendo con detalle el ejemplo 134 del libro. Antes de eso, hacemos un pequeño recordatorio de cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas en los complejos. El ejemplo 134 dice lo siguiente.

Ejercicio. Encontrar las raíces de $z^{2} - 2 i z - 9 - 6 i = 0$ .

Ejemplo de resolución de ecuación cuadrática compleja (parte 1)

Ejemplo de resolución de ecuación cuadrática compleja (parte 2).

Problemas de raíces cuadradas y ecuaciones cuadráticas

A continuación, un par de incisos del ejercicio 326. Los incisos de este ejercicio consisten en encontrar raíces (cuadradas) complejas:

Ejercicio. Encuentra las raíces cuadradas de $1 + \sqrt{3} i$ y las de $- 1$ .

Cómo encontrar raíces cuadradas complejas

Posteriormente, un ejercicio de resolución de una ecuación cuadrática compleja.

Ejercicio. Resuelve la ecuación cuadrática $z^{2} - 3 z + 3 - i = 0$ .

Resolución de una ecuación cuadrática compleja

Problema de norma compleja

Finalmente, resolvemos el siguiente problema de norma compleja.

Problema. Encuentra todos los complejos de la forma $z = 2 a + (1 - 3 a) i$ en donde $a$ es un real y $z$ tiene norma $1$ .

Ejercicio de norma compleja

Más adelante…

Tarea moral

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Ecuaciones cuadráticas complejas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

6 respuestas

Introducción

En entradas anteriores ya platicamos acerca de la construcción de los números complejos. Vimos que, con las operaciones de suma y resta que definimos, $C$ es un campo. Además, introdujimos las nociones de conjugación compleja y de norma compleja. Como ya entendemos un poco de las operaciones que tenemos en $C$ , podemos empezar a hablar de otro de los temas que interesa al álgebra: resolver ecuaciones. Comenzaremos hablando acerca de ecuaciones cuadráticas complejas.

En entradas posteriores de este parcial, y del siguiente, veremos cómo resolver otro tipo de ecuaciones en los números complejos:

Sistemas de ecuaciones lineales complejos.
Ecuaciones de la forma $z^{n} = w$ .
La ecuación cúbica $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ .
La ecuación de grado 4 $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e = 0$ .

En realidad, los números complejos son la estructura numérica correcta para resolver todo tipo de polinomios, es decir, expresiones como las de los últimos tres incisos anteriores. Esto se debe al teorema fundamental del álgebra, que dice lo siguiente.

Teorema (fundamental del álgebra). Sea $n$ un entero positivo y $a_{0}, \dots, a_{n}$ en $C$ con $a_{n} \neq 0$ . La ecuación en números $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0$ tiene por lo menos una solución $x$ en $C$ .

La demostración de este teorema en el curso será optativa, y la veremos sólo si tenemos tiempo suficiente. Antes de poder hacer esto, tenemos que seguir discutiendo sobre los números complejos (en esta unidad) y a los polinomios (en la siguiente unidad). Si en algún momento llevas un curso de análisis complejo, también demostrarás el teorema fundamental del álgebra, con ideas un poco más profundas.

Otra aclaración. Si el teorema fundamental del álgebra dice que toda ecuación polinomial tiene solución, ¿por qué sólo estudiamos hasta la ecuación de grado cuatro? La razón es que para grados dos, tres y cuatro podemos dar las soluciones a estas ecuaciones de manera algebraica, es decir, podemos expresar las soluciones con una fórmula (de cierto tipo) en términos de los coeficientes de la ecuación. En el caso de que la ecuación sea de grado 5 en adelante, en cierto sentido matemático no se puede. La demostración de esto la puedes ver en un curso de álgebra moderna intermedio, en el que se discuta teoría de Galois.

Raíces cuadradas en los complejos

Las ecuaciones cuadráticas complejas se resuelven de una forma parecida a lo que hacemos en $R$ : usando la fórmula cuadrática. Es decir, si tenemos la ecuación $a x^{2} + b x + c = 0$ con $a, b, c$ en $C$ y $a \neq 0$ , veremos más abajo que la podemos resolver mediante la fórmula $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Esta expresión necesita que podamos encontrar la raíz cuadrada de un número complejo arbitrario. Vamos a mostrar que esto siempre es posible. Comencemos notando que el único complejo $z$ tal que $z^{2} = 0$ es el $0$ : si hubiera uno $z \neq 0$ , multiplicando en ambos lados por $z^{- 1}$ tendríamos que $z = 0 \cdot z^{- 1} = 0$ , una contradicción.

Teorema. Sea $w \neq 0$ un número complejo. Entonces la ecuación $z^{2} = w$ tiene exactamente dos soluciones para $z$ en $C$ y son inversos aditivos entre ellas.

Demostración. Tomemos $w = a + b i$ un número complejo. Supongamos que $z = x + y i$ es tal que $z^{2} = w = a + b i$ . Tenemos que
$\begin{array}{r} a + b i = z^{2} = (x + i y)^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i, \end{array}$

de donde $x^{2} - y^{2} = a$ y $2 x y = b$ . Elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, tenemos que
$\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = (x^{2} - y^{2})^{2} + (2 x y)^{2} \\ = (x^{2} + y^{2})^{2} . \end{aligned}$

Como $a$ y $b$ son números reales, tenemos que $a^{2} + b^{2}$ es un número real no negativo. Del mismo modo, $x^{2} + y^{2}$ es un real no negativo. De esta forma, sacando raíz cuadrada en la ecuación anterior, obtenemos que $x^{2} + y^{2} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = ‖ w ‖ .$

Sabemos además que $x^{2} - y^{2} = a = Re (w)$ . Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos $x^{2} = \frac{‖ w ‖ + Re (w)}{2}$ y restándolas obtenemos $y^{2} = \frac{‖ w ‖ - Re (w)}{2} .$

Recordemos que $‖ w ‖ \geq | Re (w) |$ para todo complejo $w$ , de modo que los términos del lado derecho de las igualdades anteriores son siempre positivos. Por esta razón, podemos sacar raíz de ambos lados. Pero ahora no hay nada que nos garantice que $x$ y $y$ sean positivos, así que hay que considerar dos casos en cada raíz, reflejados por el símbolo $\pm$ en las siguientes expresiones:

$\begin{aligned} x & = \pm \sqrt{\frac{‖ w ‖ + Re (w)}{2}} \\ y & = \pm \sqrt{\frac{‖ w ‖ - Re (w)}{2}} . \end{aligned}$

Hay que tener cuidado. No se valen las cuatro posibilidades de elecciones de signo. Notemos que de la ecuación $2 x y = b$ tenemos que $x y$ tiene el mismo signo que $b = Im (w)$ , así que si $Im (w) > 0$ tienen que elegirse $x$ y $y$ con signos iguales y si $Im (w) < 0$ , tienen que elegirse con signos diferentes. Independientemente de la elección, las dos posibilidades dan dos soluciones para $z = x + i y$ que son inversas aditivas entre sí.

Por notación. si tenemos un número complejo $w$ , llamamos $\sqrt{w}$ a cualquiera de sus raíces cuadradas. Por el teorema anterior, su otra raíz es $- \sqrt{w}$ .

Hay que tener cuidado. Para cuando $r$ es un real positivo, la notación $\sqrt{r}$ se refiere, por definición, a la raíz positiva. Cuando $w$ es un complejo arbitrario, no hay una forma «canónica» o «natural» de definir cuál de las dos raíces es «la correcta». Lo importante es que hay dos, y que son inversas aditivas entre sí.

Ejemplos de cómo obtener raíces cuadradas complejas

Antes de discutir cómo resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general, veamos algunos ejemplos de cómo se usa el teorema anterior de manera práctica.

Problema 1. Encuentra las raíces cuadradas de $i$ .

Solución. Tenemos que $‖ i ‖ = 1$ y que $Re (i) = 0$ , así que las soluciones $z = x + y i$ están dadas mediante

$\begin{aligned} x & = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ y & = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} . \end{aligned}$

Como $Im (i) = 1 > 0$ , tenemos que elegir a $x$ y $y$ con los mismos signos entre sí, así que las soluciones son
$\begin{aligned} z_{1} & = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \\ z_{2} & = - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i . \end{aligned}$

$△$

Problema 2. Encuentra las raíces cuadradas de $- 21 - 20 i$ .

Solución. Tenemos que
$\begin{aligned} ‖ - 21 - 20 i ‖ & = \sqrt{21^{2} + 20^{2}} \\ = \sqrt{841} \\ = 29, \end{aligned}$

y que $Re (- 21 - 20 i) = - 21$ . Así, las soluciones $z = x + i y$ están dadas mediante

$\begin{aligned} x & = \pm \sqrt{\frac{29 - 21}{2}} = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ y & = \pm \sqrt{\frac{29 + 21}{2}} = \pm \sqrt{25} = \pm 5. \end{aligned}$

Como $Im (- 21 - 20 i) = - 20 < 0$ , debemos elegir $x$ y $y$ de distinto signo, de donde obtenemos las soluciones

$\begin{aligned} z_{1} & = 2 - 5 i \\ z_{2} & = - 2 + 5 i . \end{aligned}$

$△$

Solución de ecuaciones cuadráticas complejas

Una vez que sabemos obtener la raíz cuadrada de un número complejo, tenemos todo lo necesario para resolver ecuaciones cuadráticas complejas en general. Consideremos $a, b$ y $c$ en $C$ con $a \neq 0$ . Veamos cómo resolver la ecuación $a x^{2} + b x + c = 0.$

Para empezar, dividimos entre $a$ de ambos lados y restamos $\frac{c}{a}$ , también, de ambos lados. Se obtiene que $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .$ El siguiente paso es un truco algebraico útil que se llama «completar el cuadrado». Pensamos a los términos del lado izquierdo como los primeros dos de un binomio cuadrado y nos preguntamos, ¿qué término faltaría? El término faltante es $\frac{b^{2}}{4 a^{2}}$ . Sumando este término en ambos lados, llegamos a $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .$

La razón por la cual completamos el cuadrado es para poder escribir la expresión anterior como

$(x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}},$

y aquí llegamos al punto en el que necesitamos obtener raíces cuadradas. Afortunadamente, ya sabemos que podemos hacer esto siempre en $C$ y obtener $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}},$ de donde concluimos que las soluciones son

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} .$

Todos estos pasos son reversibles. Resumimos toda esta discusión en el siguiente resultado.

Teorema. Para $a, b, c$ en $C$ y $a \neq 0$ , la ecuación compleja $a x^{2} + b x + c = 0$ tiene dos soluciones en $C$ dadas por
$\begin{aligned} x_{1} & = - \frac{b}{2 a} + \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \\ x_{2} & = - \frac{b}{2 a} - \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} . \end{aligned}$

Estas soluciones son iguales si y sólo si $b^{2} = 4 a c$ y en otro caso son distintas.

Ejemplos sobre resolución de ecuaciones cuadráticas complejas

Problema 1. Resuelve en $C$ la ecuación $x^{2} - 5 x + (7 + i) = 0.$

Solución. Para usar la fórmula cuadrática, necesitaremos obtener la raíz $\sqrt{\frac{25 - 4 (7 + i)}{4}} = \sqrt{- \frac{3}{4} - i} .$

Como $‖ - \frac{3}{4} - i ‖ = \frac{\sqrt{25}}{4} = \frac{5}{4}$ y $Re (- \frac{3}{4} - i) = - \frac{3}{4},$ las raíces $a + b i$ están dadas por

$\begin{array}{r} a = \pm \sqrt{\frac{\frac{5}{4} - \frac{3}{4}}{2}} = \pm \frac{1}{2} \\ b = \pm \sqrt{\frac{\frac{5}{4} + \frac{3}{4}}{2}} = \pm 1. \end{array}$

Como $Im (- \frac{3}{4} - i) = - 1 < 0$ , para obtener las raíces tenemos que elegir signos distintos, es decir, que las raíces son $\begin{aligned} \frac{1}{2} - i \\ - & \frac{1}{2} + i . \end{aligned}$

Continuando con el problema original, concluimos, por la fórmula cuadrática, que las dos raíces son

$\begin{aligned} x_{1} & = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} - i = 3 - i \\ x_{2} & = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} + i = 2 + i . \end{aligned}$

$△$

La fórmula cuadrática funciona siempre para resolver ecuaciones cuadráticas complejas, pero a veces es demasiado. No hay que olvidar que tenemos toda el álgebra de $C$ a nuestra disposición.

Problema 2. Resuelve en $C$ la ecuación $x^{2} - (3 + 8 i) x = 0.$

Solución. En vez de usar la fórmula cuadrática, factorizamos la expresión del lado izquierdo para obtener que $x (x - (3 + 8 i)) = 0.$

Para que un producto en $C$ sea $0$ , uno de los factores debe ser $0$ . Así, $x = 0$ ó $x - (3 + 8 i) = 0$ , de donde las soluciones son $\begin{aligned} x_{1} & = 0 \\ x_{2} & = 3 + 8 i . \end{aligned}$

$△$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Verifica que los números complejos que obtuvimos en los ejemplos de raíces cuadráticas en efecto satisfacen que su cuadrado es el número original.
Encuentra las raíces de $3 + 4 i$ , de $8 - 5 i$ , de $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} i$ y de $2 - \sqrt{5} i$ .
Verifica que las soluciones que obtuvimos en los ejemplos de ecuaciones cuadráticas complejas en efecto satisfacen la ecuación cuadrática dada.
Resuelve la ecuación cuadrática compleja $i x^{2} + 7 x - 7 - i = 0.$
Si $w$ y $z$ son números complejos, ¿quienes son las raíces de $w z$ ? Las raíces cuadradas de $w$ son dos, las de $z$ son dos, y los posibles productos de ellas son cuatro números. ¿Por qué esto no contradice que $w z$ tiene dos raíces?

Puedes practicar este tema con los vídeos y ejercicios disponibles en la página de Khan Academy. Para ello, visita su sección de ecuaciones cuadráticas en los complejos.

Entradas relacionadas

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Racionales y expansiones decimales

Por Claudia Silva

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Introducción

En la entrada anterior hablamos acerca de cómo se construyen los números racionales y los números reales. A los números reales que no son racionales les llamamos irracionales. En esta entrada, queremos hablar de algunas formas en las que podemos determinar si un número es racional o irracional.

Expresión decimal de un racional

A los reales los construimos como clases de equivalencia de cierto tipo de sucesiones, pero otra forma de pensarlos es mediante su expresión decimal. Una forma de detectar la racionalidad o irracionalidad de un número es mediante su expresión decimal.

Lo primero que haremos en esta entrada será verificar la validez de la observación 88 del libro Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón. Para quienes tiene dificultades para ver los vídeos, pueden seguir la demostración del libro tal cual. Recuerden que pueden conseguir el libro de manera gratuita en la página Plaza Prometeo.

El resultado es el siguiente.

Proposición. Un número $r$ es racional si y sólo si tiene una expresión decimal que se vuelva periódica.

Lo haremos desglosando el «sí» y el «sólo sí» en dos vídeos separados.

La ida:

Demostración de que un número real es racional, entonces éste tiene una expresión decimal periódica

El regreso:

Un número real con expansión decimal periódica es racional

Ejercicios de determinar si un número es racional

Ahora, un par de ejemplos (éstos también vienen el libro, son el 126 y uno similar al 127):

Dos ejemplos del Teorema: un real es racional sii tiene expansión decimal periódica.

Por último, probaremos que $\sqrt{7}$ no es racional:

Demostración de que raíz de 7 no es racional.

Este último ejercicio se los dejo escrito, para los que no puedan ver el video con tanta facilidad:

Ejercicio de mostrar que raiz de 7 no es racional

Más ejemplos

Aquí en el blog puedes ver otros ejemplos en los que se usa la expansión decimal de un número y otros argumentos de bases numéricas.

Más adelante…

Tarea moral

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Álgebra Superior II: Ecuaciones diofantinas

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

3 respuestas

Introducción

En entradas anteriores platicamos de congruencias y teoremas que nos sirven para trabajar con aritmética modular. Así mismo, aprendimos a resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales en congruencias en una variable.

Regresemos a $Z$ . Se usa el término ecuación diofantina para referirse a una ecuación en la cual las variables deben tomar soluciones enteras. Existe una gran variedad de formas que puede tomar una ecuación diofantina. «Resolver una ecuación diofantina» se refiere a encontrar, con demostración, una descripción del conjunto de todas sus soluciones en «términos sencillos».

Ejemplo 1. Encuentra todas las soluciones enteras $x$ a la ecuación $13 x = 91$ .

Ejemplo 2. Encuentra todas las soluciones enteras $x, y$ a la ecuación $7 x + 5 y = 3$ .

Los ejemplos $1$ y $2$ son ecuaciones diofantinas lineales en una y dos variables respectivamente. El objetivo de esta entrada es explicar cómo resolver estas ecuaciones. Continuamos la discusión de más ejemplos para abrir el panorama del tipo de problemas que aparecen en el área, y de las técnicas que se pueden usar.

Ejemplo 3. Encuentra todas las soluciones con enteros $x, y, z$ a la ecuación $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ .

Al Ejemplo 3 se le conoce como la ecuación pitagórica. Esa es posible resolverla con todo lo que hemos visto hasta ahora, pero no es tan sencillo. Requiere de un análisis cuidadoso de casos.

Ejemplo 4. Encuentra todas las soluciones enteras positivas $x, y$ a la igualdad $x^{y} = y^{x}$ .

El Ejemplo $4$ es curioso. Si consideramos a la función real $f (x) = x^{\frac{1}{x}}$ , el problema pide encontrar a aquellas parejas de enteros $x$ y $y$ tales que $f (x) = f (y)$ . Una forma de resolver la ecuación es utilizando herramientas de cálculo diferencial en $f (x)$ para mostrar que para $x > 5$ la función ya es estrictamente creciente. Esto reduce el análisis de casos de enteros que tenemos que intentar, y muestra que $(2, 4)$ , $(4, 2)$ y $(n, n)$ son las únicas parejas de enteros válidas. La moraleja de este ejemplo es que a veces se tienen que usar herramientas de otras áreas de las matemáticas para resolver una ecuación, aunque esta sólo requiera de soluciones enteras.

Ejemplo 5. Encuentra todas las soluciones con enteros $x, y, z$ a la ecuación $x^{3} + y^{3} = z^{3}$ .

El Ejemplo $5$ , o bien cualquier ecuación del estilo $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ se le llama una ecuación de tipo Fermat, pues Pierre Fermat conjeturó que no existen soluciones para cuando $n \geq 3$ y $x, y, z$ son todos distintos de cero. Esta conjetura fue demostrada en $1995$ por Andrew Wiles. Una demostración de esta conjetura queda muy lejos de la teoría que hemos desarrollado hasta ahora, pero vale la pena decir que esta ecuación motivó fuertemente el desarrollo de varias herramientas de teoría de números, sobre unas llamadas curvas elípticas.

Ejemplo 6. Encuentra todas las soluciones enteras positivas $x, y$ a la igualdad $| 2^{x} - 3^{y} | = 1$ .

El Ejemplo $6$ se puede resolver también con herramientas que ya hemos visto en el curso, pero requiere de un análisis detallado. Este problema pide, en otras palabras, determinar cuándo «una potencia de $3$ está junto a una potencia de $2$ ». Un ejemplo de esto son $2^{3} = 8$ y $3^{2} = 9$ . Otra pregunta clásica del área es la conjetura de Catalán, la cual afirma que estas son las únicas dos potencias no triviales que son consecutivas. Fue demostrada en $2002$ por Mihăilescu. Las técnicas también están muy lejos del alcance de este curso. Se usan técnicas en campos ciclotómicos y módulos de Galois.

En realidad, uno podría tomar cualquier ecuación en reales y hacerse la pregunta de si existirán soluciones en enteros y, de ser así, determinar cuántas o cuáles son. Ha existido (y existe) mucha investigación en el área. El interés de una ecuación diofantina en particular está relacionado con su aplicación a otros problemas y con la teoría que ayuda a desarrollar.

Ecuaciones diofantinas lineales

La ecuación diofantina del Ejemplo 1 se puede preguntar en general. Dados enteros $a$ y $b$ , ¿cuáles son las soluciones enteras $x$ a la ecuación $a x = b$ ?

Si $a = 0$ , la ecuación tiene solución si y sólo si $b = 0$ , y en este caso, cualquier valor entero de $x$ es solución.
Si $a \neq 0$ , esta ecuación tiene solución en enteros si y sólo si $a$ divide a $b$ , y en este caso $x = b / a$ es la única solución entera.

Estudiemos ahora la generalización del Ejemplo 2.

Problema. Sean $a$ y $b$ enteros distintos de $0$ y $c$ un entero. Determina todas las soluciones enteras a la ecuación $a x + b y = c .$

Primero, determinemos condiciones necesarias y suficientes en $a$ , $b$ y $c$ para que la ecuación tenga soluciones enteras $x$ y $y$ . Lo que nos está pidiendo la ecuación es que escribamos a $c$ como combinación lineal entera de $a$ y $b$ . Recordemos que $a Z + b Z = MCD (a, b) Z,$ de modo que la ecuación tiene solución si y sólo si $MCD (a, b)$ divide a $c$ . ¿Cuáles son todas las soluciones? Esto lo determinaremos mediante las siguientes proposiciones.

Proposición. Sean $a$ y $b$ enteros distintos de $0$ y $c$ un entero divisible entre $M := MCD (a, b)$ . Sean $a^{'} = a / M$ , $b^{'} = b / M$ , $c^{'} = c / M$ . Las soluciones enteras a la ecuación $a x + b y = c$ son las mismas que para la ecuación $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ .

Demostración. Se sigue de manera directa usando que $M \neq 0$ , ya que de la original podemos pasar a la nueva dividiendo entre $M$ , y de la nueva a la anterior multiplicando por $M$ .

Ejemplo 1. $x = 2$ y $y = 7$ son soluciones a la ecuación $6 x - 4 y = - 16$ , y también son soluciones a la ecuación $3 x - 2 y = - 8$ .

$△$

Al dividir ambos lados de la ecuación entre el máximo común divisor de $a$ y $b$ obtenemos una ecuación en la que los coeficientes de las variables ahora son primos relativos. Este fenómeno ya lo habíamos visto cuando hablamos de ecuaciones en congruencias. Estudiemos este tipo de ecuaciones en enteros. Comenzaremos con unas un poco más sencillas: aquellas en las que $c = 0$ . A estas les llamamos ecuaciones homogéneas.

Proposición. Sean $a$ y $b$ enteros distintos de $0$ y primos relativos. Las soluciones de la ecuación diofantina $a x + b y = 0$ son exactamente de la forma $x = - k b$ , $y = k a$ para $k$ en los enteros.

Demostración. De la ecuación obtenemos $- a x = b y$ , por lo que $a$ divide a $b y$ . Como $a$ y $b$ son primos relativos, tenemos que $a$ divide a $y$ . Así, existe un $k$ entero tal que $y = k a$ . Entonces, $- a x = b k a$ . Como $a \neq 0$ , podemos cancelar y despejar $x = - k b$ .

En efecto, todas estas parejas son soluciones pues $a (- k b) + b (k a) = 0$ .

Ejemplo 2. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina $9 x + 5 y = 0$ .

Solución. Tenemos que $9$ y $5$ son primos relativos y que la ecuación es homogénea. Por el resultado anterior, las soluciones son de la forma $x = - 5 k$ y $y = 9 k$ .

$△$

Ejemplo 3. Determina todas las soluciones a la ecuación diofrantina $9 x - 6 y = 0$ .

Solución. Aquí hay que tener cuidado. Si bien la ecuación es homogénea, los coeficientes de las variables no son primos relativos. Si sólo consideramos las soluciones de la forma $x = 6 k$ y $y = 9 k$ , en efecto todas estas son soluciones, pero nos faltará la solución $x = 2$ , $y = 3$ que no es de esta forma.

Antes de poder usar la proposición, necesitamos dividir entre el máximo común divisor de $9$ y $6$ , que es $3$ , para obtener primero la ecuación diofantina equivalente $3 x - 2 y = 0$ . Ahora sí, todas las soluciones enteras de esta ecuación (y por lo tanto de la original) son de la forma $x = 2 k$ y $y = 3 k$ .

$△$

Pasemos ahora al caso en el que los coeficientes de las variables son primos relativos, pero la ecuación ya no es homogénea.

Proposición. Sean $a$ y $b$ enteros distintos de $0$ y primos relativos. Sea $c$ un entero divisible entre $MCD (a, b)$ . Se puede obtener una solución $x_{0}, y_{0}$ a la ecuación diofantina $a x + b y = c$ usando el algoritmo de Euclides. El resto de las soluciones son exactamente de la forma $x = x_{0} - k b$ , $y = y_{0} + k a$ en donde $k$ es cualquier entero positivo.

Demostración. Notemos que en efecto las soluciones propuestas satisfacen la ecuación diofantina pues
$\begin{aligned} a x + b y & = a (x_{0} - k b) + b (y_{0} + k a) \\ = a x_{0} + b y_{0} + (- k a b + k a b) \\ = a x_{0} + b y_{0} \\ = c . \end{aligned}$

Aquí usamos que $x_{0}, y_{0}$ es una solución de $a x + b y = c$ . Veamos que estas soluciones son las únicas.

Si $x_{1}, y_{1}$ es una solución, entonces tenemos $a x_{1} + b y_{1} = c = a x_{0} + b y_{0},$ y entonces $a (x_{1} - x_{0}) + b (y_{1} - y_{0}) = c - c = 0,$ de modo que $(x_{1} - x_{0})$ , $(y_{1} - y_{0})$ es una solución de la ecuación homogénea $a x + b y = 0$ , y por la proposición anterior, debe suceder que $x_{1} - x_{0} = - k a$ y $y_{1} - y_{0} = k b$ con $k$ un entero. Así, $x_{1} = x_{0} - k a$ y $y_{1} = y_{0} + k b$ , como queríamos.

Ejemplo 4. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina $12 x + 13 y = 1$ .

Solución. Por inspección, una solución es $x = - 1$ , $y = 1$ . Los coeficientes de las variables son primos relativos. Por la proposición anterior, todas las soluciones son de la forma $- 13 k - 1$ , $12 k + 1$ donde $k$ es un entero arbitrario.

$△$

Resumimos todo lo obtenido en el siguiente resultado.

Teorema. Sean $a$ y $b$ enteros distintos de $0$ y $c$ un entero. Consideremos la ecuación diofantina $a x + b y = c$ . Si $M := MCD (a, b)$ no divide a $c$ , entonces la ecuación no tiene solución. Si sí, podemos usar el algoritmo de Euclides para encontrar una solución $x_{0}, y_{0}$ . El resto de las soluciones son de la forma $x_{0} - k a^{'}$ , $y_{0} + k b^{'}$ , en donde $a^{'} = a / M$ , $b^{'} = b / M$ y $k$ es cualquier entero.

Veamos un ejemplo en el que juntamos todo lo que ya sabemos.

Ejemplo 5. Determina todas las soluciones a la ecuación diofantina $21 x - 35 y = 14$ .

Solución. Los coeficientes de las variables no son primos relativos, pues su máximo común divisor es $7$ . Tenemos que $7$ divide a $14$ , así que la ecuación sí tiene soluciones y son las mismas que las de la ecuación $3 x - 5 y = 2$ . Por inspección, una solución es $x = - 1, y = - 1$ . Así, todas las soluciones a esta ecuación (y por lo tanto a la original), son de la forma $x = 5 k - 1, y = 3 k - 1$ .

$△$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Resuelve el Ejemplo 2.
En todos los ejemplos, verifica que las soluciones obtenidas en efecto son soluciones del sistema original.
¿Para cuántos enteros $c$ entre $1$ y $100$ se tiene que la ecuación lineal $21 x + 18 y = c$ tiene solución $x, y$ en enteros?
Sólo hemos visto ecuaciones diofantinas lineales en dos variables. Sin embargo, con lo visto hasta ahora puedes argumentar por qué la ecuación diofantina $91 x + 14 y - 70 z = 100$ no tiene soluciones en enteros. ¿Por qué?
Investiga acerca de la ecuación pitagórica $x^{2} + y^{2} = z^{2}$ .

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Ejercicios de los teoremas de Fermat y de Wilson

Por Claudia Silva

3 respuestas

Introducción

Primero, un ejercicio más de congruencias:

Un ejercicio de congruencias

Un ejercicio utilizando el teorema de Fermat:

Ejercicio utilizando el teorema de Fermat

Ejercicio sencillo utilizando el Teorema de Wilson:

17!=1 (mod 19)

Otro ejercicio utilizando el Teorema de Wilson:

Si p primo, (p-1)! = -1 (mod p)

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Tarea moral

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