Geometría Moderna I: Teorema de Pitágoras

Introducción

En esta ocasión veremos el teorema de Pitágoras que relaciona la hipotenusa de un triangulo rectángulo con la longitud de sus catetos, esta propiedad permite definir una métrica en el espacio euclidiano, en particular, con esto podemos calcular la longitud de un segmento si conocemos un triángulo rectángulo que tenga como hipotenusa dicho segmento.

Geométricamente el teorema de Pitágoras nos habla sobre el área de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, así que necesitamos presentar un concepto nuevo.

Definición. Definimos el área de un rectángulo como el producto de dos de sus lados adyacentes. De esta manera el área de un cuadrado será su lado al cuadrado.

Como las diagonales de todo rectángulo lo dividen en dos triángulos rectángulos congruentes, de la definición se sigue que el área de un triángulo rectángulo es el semiproducto de sus catetos.

Teorema de Pitágoras

Teorema 1, de Pitágoras. El área de un cuadrado de lado igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de cuadrados de lados igual a los catetos del triángulo rectángulo.

Demostración. Consideremos un triángulo rectángulo de catetos $a$ , $b$ e hipotenusa $c$ .

Construimos un cuadrado $A B C D$ de lados $a + b$ , y puntos $P \in A B$ , $Q \in B C$ , $R \in C D$ y $S \in A D$ , tales que $A P = B Q = C R = D S = a$ y $B P = C Q = D R = A S = b$ .

Como los ángulos en las esquinas son rectos entonces por criterio LAL
$\begin{matrix} (1) & △ A S P ≅ △ B P Q ≅ △ C Q R ≅ △ D R S, \end{matrix}$
en particular $P Q = Q R = R S = S P$ .

Por $(1)$ , $∠ C Q R$ y $∠ P Q B$ son complementarios en consecuencia $∠ R Q P = \frac{π}{2}$ .

De manera análoga se ve que
$∠ S R Q = ∠ Q P S = ∠ P S R = ∠ R Q P = \frac{π}{2}$ .

Por lo tanto, $P Q R S$ es un cuadrado de lado $c$ .

Ahora construimos otro cuadrado $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ de lados $a + b$ , y puntos $P^{'} \in A^{'} B^{'}$ y $Q^{'} \in B^{'} C^{'}$ tales que $A^{'} P^{'} = B^{'} Q^{'} = b$ y $B^{'} P^{'} = C^{'} Q^{'} = a$ .

Trazamos una perpendicular a $A^{'} B^{'}$ por $P^{'}$ que interseca a $C^{'} D^{'}$ en $R^{'}$ , y una perpendicular a $B^{'} C^{'}$ por $Q^{'}$ que interseca a $A^{'} D^{'}$ en $S^{'}$ .

Como $A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'}$ entonces $P^{'} R^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$ , análogamente $Q^{'} S^{'} ⊥ A^{'} D^{'}$ y entonces $P^{'} R^{'} ⊥ Q^{'} S^{'}$ .

Por lo tanto, $A^{'} P^{'} E S^{'}$ , $E Q^{'} C^{'} R^{'}$ , $P^{'} B^{'} Q^{'} E$ y $S^{'} E R^{'} D^{'}$ son rectángulos.

Como los lados opuestos de todo rectángulo son iguales, concluimos que $A^{'} P^{'} E S^{'}$ y $E Q^{'} C^{'} R^{'}$ son cuadrados de lados $b$ y $a$ respectivamente.

$B^{'} E$ y $E D^{'}$ dividen a $P^{'} B^{'} Q^{'} E$ y $S^{'} E R^{'} D^{'}$ en cuatro triángulos rectángulos congruentes entre si pues los rectángulos son congruentes.

Pero al mismo tiempo los triángulos en $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ son congruentes con los triángulos en $A B C D$ , pues tienen los mismos lados $a$ y $b$ , y todos son triángulos rectángulos.

Finalmente, como $A B C D$ y $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ son congruentes entonces sus áreas son iguales y podemos sustraer a cada uno el área de los cuatro triángulos resultando así que el área del cuadrado rosa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados verde y naranja.

Por lo tanto, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

Reciproco del Teorema de Pitágoras

Teorema 2. Reciproco del teorema de Pitágoras. Si en un triángulo el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados entonces el triángulo es rectángulo.

Demostración. Sea $△ A B C$ un triángulo tal que $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Construimos un punto $D$ del lado opuesto a $C$ respecto de $A B$ tal que $B D = B C$ y $B D ⊥ A B$ .

Por construcción $△ A B D$ es rectángulo, por el teorema de Pitágoras, $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2}$ .

Como $B D = B C$ $\Rightarrow B D^{2} = B C^{2}$ , por lo tanto, $A D^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ .

Por hipótesis, $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} \Rightarrow A D^{2} = A C^{2} \Rightarrow A D = A C$ .

Por criterio LLL, $△ A B C ≅ △ A D C$ , en particular $∠ C B A = ∠ A B C = \frac{π}{2}$ .

Caracterización de un ángulo interior

Sea $△ A B C$ entonces por los teoremas 1 y 2
$∠ B = \frac{π}{2} \Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Ahora consideremos un triángulo $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ con $A^{'} B^{'} = A B$ y $B^{'} C^{'} = B C$ pero $∠ B^{'} > \frac{π}{2}$ , entonces por la proposición 2 de la entrada desigualdad del triángulo y su reciproco, esto ocurre si y solo si $A^{'} C^{'} > A C$
$\Leftrightarrow A^{'} C^{' 2} > A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A^{'} B^{' 2} + B^{'} C^{' 2}$

Por otra parte, si tenemos $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ tal que $A^{″} B^{″} = A B$ y $B^{″} C^{″} = B C$ pero $∠ B^{″} < \frac{π}{2}$ , por el resultado antes mencionado, esto ocurre si y solo si $A^{″} C^{″} < A C$
$\Leftrightarrow A^{″} C^{″ 2} < A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = A^{″} B^{″ 2} + B^{″} C^{″ 2}$

Resumiendo, tenemos lo siguiente para cualquier triángulo $△ A B C$ , $∠ B$ es:

recto $\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ ,
obtuso $\Leftrightarrow A C^{2} > A B^{2} + B C^{2}$ ,
agudo $\Leftrightarrow A C^{2} < A B^{2} + B C^{2}$ .

Ley del paralelogramo

Teorema 3, ley del paralelogramo. La suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

Demostración. Sean $A B C D$ un paralelogramo, $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares a $B C$ trazadas desde $A$ y $D$ respectivamente.

Recordemos que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, por lo que $A B = C D$ y $A D = B C$ , además $A E F D$ es un rectángulo y todo rectángulo es paralelogramo, por lo tanto, $A E = D F$ y $E F = A D = B C$ , $\Rightarrow B E = C F$ .

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos $△ A B E$ , $△ D B F$ y $△ A E C$ obtenemos:

$\begin{matrix} (2) & A B^{2} = A E^{2} + B E^{2} . \end{matrix}$

$D B^{2} = D F^{2} + B F^{2}$
$= A E^{2} + (B C + C F)^{2} = A B^{2} - B E^{2} + (B C + B E)^{2}$
$= A B^{2} - B E^{2} + B C^{2} + 2 B C \times B E + B E^{2}$
$\begin{matrix} (3) & = A B^{2} + B C^{2} + 2 B C \times B E . \end{matrix}$

$A C^{2} = A E^{2} + E C^{2}$
$= A E^{2} + (B C - B E)^{2} = A B^{2} - B E^{2} + B C^{2} - 2 B C \times B E + B E^{2}$
$\begin{matrix} (4) & = A B^{2} + B C^{2} - 2 B C \times B E . \end{matrix}$

Sumamos $(3)$ y $(4)$ para obtener
$A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 B C^{2}$ .

Teorema de Apolonio

Teorema 4, de Apolonio. En todo triangulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual a dos veces el cuadrado de la mitad del tercer lado más dos veces el cuadrado de la mediana que biseca al tercer lado.

Demostración. Sean $△ A B C$ y $M$ el punto medio de $B C$ . Por demostrar que $A B^{2} + A C^{2} = 2 (B M^{2} + A M^{2})$ .

Sea $D$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $A$ , aplicamos el teorema de Pitágoras a los triángulos $△ A D M$ , $△ A D B$ y $△ A D C$ .

$\begin{matrix} (5) & A M^{2} = A D^{2} + D M^{2} . \end{matrix}$

$A B^{2} = A D^{2} + B D^{2}$
$= A M^{2} - D M^{2} + (D M - B M)^{2} = A M^{2} - D M^{2} + D M^{2} - 2 D M \times B M + B M^{2}$
$\begin{matrix} (6) & = A M^{2} + B M^{2} - 2 D M \times B M . \end{matrix}$

$A C^{2} = A D^{2} + D C^{2}$
$= A M^{2} - D M^{2} + (D M + M C)^{2} = A M^{2} - D M^{2} + D M^{2} + 2 D M \times M C + M C^{2}$
$\begin{matrix} (7) & = A M^{2} + 2 D M \times M C + M C^{2} . \end{matrix}$

Como $B M = M C$ sumando $(6)$ y $(7)$ obtenemos
$A B^{2} + A C^{2} = 2 A M^{2} + 2 M C^{2}$ .

Caracterización de las alturas de un triángulo

Proposición. Sean $B C$ un segmento y $P$ un punto en el plano, considera $D$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $P$ , entonces $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Demostración. Los triángulos $△ P D B$ y $△ P D C$ son rectángulos, por el teorema de Pitágoras tenemos que $P B^{2} = P D^{2} + D B^{2}$ y $P C^{2} = P D^{2} + D C^{2}$ .

Despejando $P D^{2}$ de ambas ecuaciones e igualando tenemos que $P B^{2} - D B^{2} = P C^{2} - D C^{2}$
$\Rightarrow P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Teorema 5. Sea $△ A B C$ un triángulo entonces un punto $P$ está en la altura por $A$ si y solo si $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ .

Demostración. Supongamos que $P$ es un punto en la altura desde $A$ entonces podemos considerar el triángulo $△ P B C$ .

Por la proposición tenemos que los puntos $P$ y $A$ cumplen que $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ y $A B^{2} - A C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ donde $D$ es el pie de la altura.

Por lo tanto $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ .

Ahora supongamos que $P$ es un punto en el plano tal que $P B^{2} - P C^{2} = A B^{2} - A C^{2}$ por la proposición sabemos que $A B^{2} - A C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ , con $D$ el pie de la altura desde $A$ .

Por transitividad se tiene que $P B^{2} - P C^{2} = D B^{2} - D C^{2}$ .

Sea $E$ el pie de la perpendicular a $B C$ trazada desde $P$ , nuevamente por la proposición tenemos que $P B^{2} - P C^{2} = E B^{2} - E C^{2}$ $\Rightarrow D B^{2} - D C^{2} = E B^{2} - E C^{2}$

Supongamos que $D$ está en el segmento $B C$ y $E$ fuera del segmento y del lado de $B$ (figura 9), otros casos se muestran de manera similar, entonces $E B = E D - B D$ y $E C = E D + D C$ .

$\Rightarrow D B^{2} - D C^{2} = (E D - B D)^{2} - (E D + D C)^{2}$
$= E D^{2} - 2 E D \times B D + B D^{2} - E D^{2} - 2 E D \times D C - D C^{2}$
$\Rightarrow 0 = E D \times B D + E D \times D C = E D (B D + D C)$

Como $B D + D C \neq 0 \Rightarrow E D = 0$
$\Rightarrow E = D$

De esto se concluye que $P$ está en la altura trazada desde $A$ .

Más adelante…

En la siguiente entada estudiaremos el teorema de Tales también conocido como teorema de la proporcionalidad.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Dado un segmento unitario construye un segmento de longitud $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ …
Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , y $e$ son las longitudes de cinco segmentos tales que con cualesquiera tres de ellos es posible construir un triángulo, muestra que al menos uno de los triángulos es acutángulo.
Sea $P$ un punto en el interior de $△ A B C$ , considera $D$ , $E$ y $F$ las proyecciones de $P$ a los lados $B C$ , $A C$ y $A B$ respectivamente, expresa $A E$ en términos de $A F$ , $F B$ , $B D$ , $D C$ y $C E$ .
Muestra que en un triángulo con ángulos interiores iguales a $\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{3}$ y $\frac{π}{6}$ , se tiene que el cateto opuesto al ángulo de $\frac{π}{6}$ es igual a la mitad de la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo de $\frac{π}{3}$ es igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ veces la hipotenusa.
Si dos de los lados de un triángulo miden $a$ y $b$ y el ángulo entre ellos mide $\frac{3 π}{4}$ encuentra la longitud del segmento medio entre los lados dados.

Entradas relacionadas

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Fuentes

Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 22-27, 43-44.
Posamentier, A. y Salkind, C; Challenging Problems in Geometry. New York: Dover, 1996, pp 11-14.
Cárdenas, S., Notas de Geometría. México: Ed. Prensas de Ciencias, 2013, pp 39-41.
Wikipedia
Geometría interactiva
Geometry Help

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

El blog de Leo

Aprendiendo, creando y compartiendo matemáticas

Geometría Moderna I: Teorema de Pitágoras

Introducción

Teorema de Pitágoras

Reciproco del Teorema de Pitágoras

Caracterización de un ángulo interior

Ley del paralelogramo

Teorema de Apolonio

Caracterización de las alturas de un triángulo

Más adelante…

Tarea moral

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