Geometría Moderna I: Trigonometría

Introducción

En esta entrada presentaremos las razones trigonométricas respecto de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, estas pueden ser vistas como funciones si consideramos el ángulo como una variable, veremos como extender estas funciones a ángulos de cualquier magnitud y algunas igualdades trigonométricas.

Funciones trigonométricas y circulo trigonométrico

Definición. Consideremos un triángulo rectángulo $\triangle ABC$ donde $\overline{AB}$ es la hipotenusa y sea $\alpha =  \measuredangle BAC$, decimos que $\overline{BC}$ es el cateto opuesto a $\alpha$ y $\overline{AC}$ es el cateto adyacente a $\alpha$, definimos las funciones trigonométricas respecto del ángulo $\alpha$ como las razones entre los lados de $\triangle ABC$:

El seno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AB}$.
El coseno del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{hipotenusa}$ y lo denotamos como $\cos \alpha = \dfrac{AC}{AB}$.
La tangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.opuesto}{c.adyacente}$ y lo denotamos como $\tan \alpha = \dfrac{BC}{AC}$.
La cosecante del ángulo $\alpha$ como como $\dfrac{hipotenusa}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\csc \alpha = \dfrac{AB}{BC}$.
La secante del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{hipotenusa}{c.adyacente}$  y lo denotamos como $\sec \alpha = \dfrac{AB}{AC}$.
La cotangente del ángulo $\alpha$ como $\dfrac{c.adyacente}{c.opuesto}$ y lo denotamos como $\cot \alpha = \dfrac{AC}{BC}$.

Si consideramos el ángulo complementario a $\alpha$, $\beta = \measuredangle CBA$, entonces de las definiciones se siguen las siguientes relaciones:

$\sin \alpha = \cos \beta$, $\cos \alpha = \sin \beta$, $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\tan \alpha \tan \beta = 1$.

$\csc \alpha = \sec \beta$, $\sec \alpha = \csc \beta$, $\cot \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, $\cot \alpha \cot \beta = 1$.

Dado que en todos los triángulos semejantes las razones entre cualesquiera dos de sus lados es invariante podemos representar estas magnitudes geométricamente como sigue; consideremos $(O, 1)$ un círculo con centro en $O$ de radio $1$, por $O$ trazamos dos rectas perpendiculares $x$ e $y$, tomamos un punto $P \in (O, 1)$ en el cuadrante formado por el rayo derecho $Ox$ y el rayo superior $Oy$ y trazamos las proyecciones o pie de perpendiculares $X$, $Y$ de $O$ a las rectas $x$, $y$ respectivamente.

El triángulo $OPX$ es rectángulo y su hipotenusa $OP = 1$, si consideramos el ángulo $\measuredangle XOP = \gamma$ entonces
$\sin \gamma = PX = OY$ y
$\cos \gamma = OX = YP$.

Tracemos la tangente a $(O, 1)$ por $Q$, la intersección entre $x$ y $(O, 1)$, tomemos $R$ como la intersección entre la tangente y $\overline{OP}$ entonces $\overline{RQ} \parallel \overline{PX}$ y los triángulos $\triangle OPX$ y $\triangle ORQ$ son semejantes por lo tanto
$\tan \gamma = \dfrac{PX}{OX} = \dfrac{RQ}{OQ} = RQ$ y
$\sec \gamma = \dfrac{OP}{OX} = \dfrac{OR}{OQ} = OR$.

Ahora trazamos la tangente a $(O, 1)$ por $S$, la intersección de $y$ con $(O, 1)$, tomamos $T$ como la intersección de la tangente con $\overline{OP}$ entonces $\overline{ST} \parallel x$, por lo tanto $\gamma = \measuredangle STO$ y así $\triangle OPX$ y $\triangle TOS$ son semejantes por lo tanto
$\csc \gamma = \dfrac{OP}{PX} = \dfrac{OT}{OS} = OT$ y 
$\cot \alpha = \dfrac{OX}{PX} = \dfrac{ST}{OS} = ST$.

Con esta construcción podemos extender las definiciones de función trigonométrica para ángulos agudos a ángulos de cualquier magnitud trasladando el punto $P$ alrededor de la circunferencia $(O, 1)$ y tomando las proyecciones de $P$, $X$ e $Y$ a las rectas $x$ e $y$ respectivamente que tomaremos como positivas si se encuentran en los rayos derecho y superior o negativas si se encuentran en los rayos izquierdos e inferior de las rectas $x$, $y$ respetivamente, de esta manera todas las funciones quedan determinadas por el valor de $\sin \gamma = OY$ y $\cos \gamma = OX$.

Ley de senos y ley de cosenos

Teorema 1. Ley de los senos. Sean $\triangle ABC$, $\measuredangle BAC = \alpha$, $\measuredangle CBA = \beta$, $\measuredangle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c}$.

Demostración. Tracemos $(O, R)$ el circuncírculo de $\triangle ABC$ y $D$ el punto diametralmente opuesto a $C$, entonces $\measuredangle BDC = \alpha$ pues están subtendidos por el mismo arco además $\angle CBD$ es un ángulo recto pues $CD$ es diámetro, por lo tanto $\sin \alpha = \sin \measuredangle BDC = \dfrac{a}{CD}$ por lo tanto $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{1}{2R}$.

De manera análoga podemos ver que
$\sin \beta = \dfrac{b}{2R}$ y
$\sin \gamma = \dfrac{c}{2R}$.

Por lo tanto $\dfrac{\sin \alpha}{a} = \dfrac{\sin \beta}{b} = \dfrac{\sin \gamma}{c} = \dfrac{1}{2R}$.

$\blacksquare$

Corolario. El seno de un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro $1$ es igual a la cuerda que abarca dicho ángulo.

Demostración. Sea $\angle BAC = \alpha$ un ángulo inscrito en una circunferencia de diámetro unitario (podemos guiarnos con la misma figura del Teorema 1).

Por la ley de los senos aplicada a $\triangle ABC$ sabemos que $\dfrac{\sin \alpha}{BC} = 1$ $\Leftrightarrow$ $\sin \alpha = BC$.

$\blacksquare$

Teorema 2. Ley de cosenos. Sean $\triangle ABC$, $\measuredangle BAC = \alpha$, $\measuredangle CBA = \beta$, $\measuredangle ACB = \gamma$ y $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ las longitudes de sus lados, entonces se da la siguiente igualdad: $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

Demostración. Trazamos $D$ el pie de la perpendicular a $\overline{BC}$ desde $A$ y aplicamos el Teorema de Pitágoras a $\triangle ABD$ y $\triangle ADC,$ de donde obtenemos
$\begin{equation} c^2 = AD^2 + (a – DC)^2 = AD^2 + a^2 – 2a(DC) + DC^2 \end{equation}$
$b^2 = AD^2 + DC^2$ $\Leftrightarrow$ $\begin{equation} AD^2 = b^2 – DC^2 \end{equation}$

Sustituimos (2) en (1) y obtenemos $c^2 = b^2 + a^2 – 2a(DC)$.

Por otro lado $\cos \gamma = \dfrac{DC}{b}$ $\Leftrightarrow$ $b \cos \gamma = DC$

Así que $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos \gamma$.

$\blacksquare$

De manera similar se puede ver que
$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha$ y
$b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos \beta$.

Identidades trigonométricas

Proposición 1. Identidad pitagórica. Sea $0 \leq \gamma < 2\pi$ entonces $\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1$.

Demostración. Nos guiaremos tomando en cuenta el ángulo central $\gamma$ dentro del circulo trigonométrico de la segunda imagen.

En $\triangle OPX$ tenemos que $PX = \sin \gamma$ y $OX = \cos \gamma$ y aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos que
$1 = PX^2 + OX^2 = \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma$.

$\blacksquare$

Proposición 2. El seno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos entonces $\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BD = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\measuredangle DBA = \alpha$ y $\measuredangle CBD =\beta$.

Como consecuencia del corolario tenemos que $AC = \sin (\alpha + \beta)$, ademas $\triangle BAD$ y $\triangle DCB$ son triángulos rectángulos pues $\overline{DB}$ es diámetro.

Se sigue que $AB = \cos \alpha$, $CD = \sin \beta$, $AD = \sin \alpha$ y $BC = \cos \beta$.

Ahora aplicamos el Teorema de Ptolomeo a $\square ABCD$ y sustituimos los valores correspondientes. $\begin{equation} AC \times BD = AB \times CD + BC \times AD \end{equation}$

Y así $\sin (\alpha + \beta) = \cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta$.

$\blacksquare$

Proposición 3. El coseno de la suma de dos ángulos. Sean $\alpha \ne 0$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha + \beta < \dfrac{\pi}{2}$ entonces $\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro del circuncírculo, $\measuredangle CBD = \alpha$ y $\measuredangle DBA = \beta$.

Como $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos y $BC = 1$ tenemos que
$AC = \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha$,
$BD = \cos \alpha$,
$AB = \cos (\alpha + \beta)$,
$CD = \sin \alpha$,
$AD = \sin \measuredangle DCA = \sin \beta$.

Por el Teorema de Ptolomeo (ecuación 3), aplicado a $\square ABCD$ obtenemos:
$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha + \sin \beta$
$= (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) \cos \alpha$
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \cos^2 \alpha$
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha + (\sin \beta)(1 – \sin^2 \alpha)$
$= \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha + \sin \beta$
$\Leftrightarrow$
$\cos (\alpha + \beta) \sin \alpha = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha – \sin \beta \sin^2 \alpha$

Por lo tanto, $\cos (\alpha + \beta) = \cos \beta \cos \alpha -\sin \beta \sin \alpha$.

$\blacksquare$

Proposición 4. El seno y el coseno del ángulo medio. Sea $\alpha \ne 0$ un ángulo agudo entonces
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$ y $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos \alpha}{2}}$.

Demostración. Sea $\square ABCD$ cíclico tal que $BC = 1$ es diámetro y $\measuredangle CBD = \measuredangle DBA = \dfrac{\alpha}{2}$.

Ya que $\triangle BAC$ y $\triangle BDC$ son triángulos rectángulos podemos ver que
$AC = \sin \alpha$,
$BD = \cos \dfrac{\alpha}{2}$,
$AB = \cos \alpha$,
$CD = \sin \dfrac{\alpha}{2}$,
$AD = \sin \measuredangle DCA = \sin \dfrac{\alpha}{2}$.

Aplicando Ptolomeo (ecuacuón 3) a $\square ABCD$ y sustituyendo los valores correspondientes obtenemos que:
$\cos \alpha \sin \dfrac{\alpha}{2} + \sin \dfrac{\alpha}{2} = \sin \alpha \cos \dfrac{\alpha}{2} = \sin (\dfrac{\alpha}{2} +\dfrac{\alpha}{2}) \cos \dfrac{\alpha}{2} = 2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2}$.

Por lo tanto $2 \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \sin \dfrac{\alpha}{2} (\cos \alpha + 1)$ y así  $\begin{equation} \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2} \end{equation}$

De donde se sigue que  $\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{\cos \alpha + 1}{2}}$.

Ahora sustituimos la identidad pitagórica en la ecuación (4) y obtenemos:
$1 –  \sin^2 \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\cos \alpha + 1}{2}$
$\Leftrightarrow$
$\sin \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1 – \cos \alpha}{2}}$.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. i) A partir de un triangulo equilátero deriva los valores de las seis funciones trigonométricas para los ángulos $\dfrac{\pi}{3}$ y $\dfrac{\pi}{6}$.
    ii) A partir de un triángulo rectángulo isósceles deduce los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo $\dfrac{\pi}{4}$.
  2. Recordemos que consideramos la magnitud de un ángulo central como positiva, si recorremos el arco de circunferencia que subtiende dicho ángulo en el sentido contrario al de las manecillas del reloj y negativa en caso contario, muestra que para cualquier valor de $\alpha$ se cumple que:
    i) $\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$
    ii) $\cos (-\alpha) = \cos \alpha$
    iii) $\sin (\pi – \alpha) = \sin \alpha$
    iv) $\cos (\pi – \alpha) = -\cos \alpha$
    v) $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$
  3. Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos tales que $\alpha \geq \beta$, muestra geométricamente:
    i) el seno de la diferencia de dos ángulos, $\sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \sin \beta \cos \alpha$
    ii) el coseno de la diferencia de dos ángulos, $\cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
  4.  Sean $\alpha$ y $\beta$ ángulos agudos prueba que:
    i) $\sin \alpha \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta)}{2}$
    ii) $\cos \alpha \sin \beta = \dfrac{\sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta)}{2}$.
  5. Sea $\triangle ABC$, por $A$ traza cualquier recta que corte a $\overline{BC}$ en $L$, muestra que $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB \sin \measuredangle BAL}{AC \sin \measuredangle LAC}$.
  1. Demuestra que si $\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \dfrac{\sin \delta}{\sin \gamma}$ y $\alpha + \beta = \delta + \gamma < \pi$ entonces $\alpha = \delta$ y $\beta = \gamma$.

Más adelante…

En la próxima entrada veremos la formula de Herón y la formula de Brahmagupta que nos servirán para calcular el área de un triangulo cualquiera y un cuadrilátero cíclico en función de las longitudes de sus lados.

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