Bienvenidos a la tercera unidad del curso de Ecuaciones diferenciales ordinarias, donde estudiaremos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Un sistema de ecuaciones es una familia de ecuaciones diferenciales de la forma $$\begin{alignedat}{4} \dot{x}_{1} &= F_{1}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ \dot{x}_{2} &= F_{2}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \\ & \; \; \vdots \notag \\ \dot{x}_{n} &= F_{n}(t,x_{1},x_{2},…,x_{n}) \end{alignedat}$$ donde $t$ es la variable independiente, cada $x_{i}$ es una variable dependiente de $t$ y cada $F_{i}$ es una función que depende de las $n+1$ variables.
Los sistemas de ecuaciones aparecen con frecuencia en problemas de física o biología, en los que el fenómeno en cuestión involucra más de una variable. Estas variables interactúan entre sí, por lo que la razón de cambio de éstas depende tanto del tiempo como de las variables restantes.
Vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo, y posteriormente resolveremos estos sistemas desde un punto de vista matricial, por lo que tus conocimientos de Álgebra lineal serán de utilidad.
En esta entrada definiremos lo que es un sistema de ecuaciones de primer orden, así como también una solución. Hablaremos del problema de condición inicial y enunciaremos el teorema de existencia y unicidad, el cual es la base para desarrollar toda la teoría alrededor de los sistemas lineales. Escribiremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, y finalizaremos haciendo un cambio de variable para transformar una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden. Con esta transformación podremos encontrar soluciones a ecuaciones de cualquier orden resolviendo su sistema de ecuaciones asociado.
Como te habrás dado cuenta, en el sistema de ecuaciones escrito al inicio, para denotar a la derivada de una función utilizaremos la siguiente notación: $$\dot{y}=y’=\frac{dy}{dt}.$$
Además, denotaremos por $x_{1}, x_{2},…,x_{n}$ a las variables dependientes de $t$. Para los sistemas de dos o tres ecuaciones diferenciales denotaremos $x$, $y$, $z$ a las variables dependientes de $t$, salvo que esta notación cause confusión.
Vamos a comenzar.
Sistemas de ecuaciones de primer orden y ejemplos
En el primer video de esta entrada damos las definiciones de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución al sistema, diremos cuándo el sistema es lineal, no lineal, homogéneo o no homogéneo. Finalizamos dando dos ejemplos de problemas donde aparecen sistemas de ecuaciones de primer orden.
Problema de condición inicial y el teorema de existencia y unicidad
En el segundo video hablamos un poco de los problemas de condición inicial y enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden, tanto la versión general como la versión para sistemas lineales homogéneos. Mas adelante daremos una demostración de la segunda versión.
Sistemas de ecuaciones en forma matricial y transformación de una ecuación de orden superior en un sistema de ecuaciones de primer orden
En el último video, damos la notación matricial para los sistemas de ecuaciones de primer orden. Además, transformamos una ecuación de orden $n\geq 2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales haciendo un sencillo cambio de variable.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Transforma las ecuaciones $a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$ y $a\dddot{y}+b\ddot{y}+c\dot{y}+dy=0$, donde $a$,$b$,$c$,$d$ son constantes y $a\neq0$ en sistemas de ecuaciones de primer orden, y escribe el sistema en forma matricial.
Transforma la ecuación diferencial no lineal $$\ddot{y}+\cos{y}=t$$ en un sistema de ecuaciones de primer orden.
Considera la ecuación $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0.$$ Prueba que si $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}$$ entonces $y(t)=x_{1}(t)$ es solución a la ecuación diferencial.
Prueba que si $y(t)$ es solución a la ecuación diferencial $$a\ddot{y}+b\dot{y}+cy=0$$ entonces $$\textbf{X}=\begin{pmatrix} y(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix}$$ es solución al sistema de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{a} & -\frac{b}{a} \end{pmatrix} \textbf{X}.$$
Más adelante
Una vez que hemos establecido las definiciones básicas, la notación y el teorema de existencia y unicidad, vamos a estudiar propiedades que cumple el conjunto de soluciones a un sistema lineal de ecuaciones. Estas propiedades son en su mayoría análogas a las que enunciamos y probamos para ecuaciones diferenciales de segundo orden, por lo que será fácil abordarlas.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Ya vimos qué es un grupo cíclico. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ un grupo cíclico y tomando cualquier subgrupo $H \subseteq G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?
Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,
es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.
En la segunda parte de esta entrada regresaremos a la problemática inicial planteada en la entrada Orden de un elemento y grupo cíclico. Si tenemos un subconjunto $X \subseteq G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H$ de $G$ tal que $H$ contenga a $X$?
Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, podemos considerar la familia de subgrupos de $G$ que contienen a $X$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in I$. Como $X\subseteq H_i$ para toda $i$, sabemos que $\displaystyle X \subseteq \bigcap_{i \in I}H_i$ y éste resultará ser el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.
Los subgrupos de un grupo cíclico, son cíclicos.
Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.
Demostración. Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$. Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.
Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subseteq G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, elegiremos la potencia de $a$ con el menor exponente positivo, que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos primero que en $H$ existen potencias de $a$ con exponentes positivos. Así, consideraremos dos casos.
Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.
Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.
Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.
Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá un elemento en $H$ que se obtiene elevando $a$ a un entero positivo, es decir,
$\supseteq]$ Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y como $H$ es un subgrupo entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.
$\subseteq]$ Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.
Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$. Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$. Esto implica que
$(a^m)^{-q}h = a^r.$
Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.
Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$. Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.
$\blacksquare$
El menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$
Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.
Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo en la familia, con el fin de que haya al menos un grupo a intersecar. Ésta es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no haya problemas con la intersección.
Demostración. Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$. P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.
Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$. Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.
Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.
$\blacksquare$
Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.
Demostración. Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunto de $G$. $G$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacía. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.
Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior esta intersección es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \subseteq \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.
Ahora, si $\hat{H}$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersecandos, obtenemos
$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.
Así, $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que está contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$
$\blacksquare$
El subgrupo de $G$ generado por $X$
Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.
Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto
\begin{align*} \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \end{align*}
es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.
Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.
Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces
\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}
Demostración. Se quedará como tarea moral.
Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el subgrupo $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.
Tarea moral
Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
$\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
$\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Sugerencia: Usa la doble contención y el teorema anterior.
Más adelante…
Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ un grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.
Ya que hemos visto el concepto de función, en esta entrada veremos cómo están definidas las operaciones de suma, producto y cociente. De igual modo, definiremos la composición entre un par de funciones. Para dejar más claras dichas operaciones, daremos ejemplos.
Operaciones de funciones
Definición (operaciones): Sean $f: D_{f}\subseteq \r \rightarrow \r$, $\quad g: D_{g}\subseteq \r \rightarrow \r$. Definimos las siguientes operaciones como:
Si $\alpha = – 4$: $$(\alpha g)(x)= \alpha g(x)= -4(x^{3}+3)=-4x^{3}-12$$ con $D_{\alpha g}= D_{g}= \r$
$$\left(\frac{g}{h}\right)(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{x^{3}+3}{x^{2}+2x+1}$$ como $D_{g/h}=D_{g} \cap (D_{h} – \left\{x \in D_{h}: h(x)=0 \right\})$ Observemos que $x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}$ por lo que $(x+1)^{2}=0$ cuando $x=-1$. Así el dominio sería: $$D_{g/h}=\r \cap (\r- \left\{-1 \right\})= \r – \left\{-1\right\}$$
$$(h-g)(x)=h(x)-g(x)=x^{2}+2x+1-(x^{3}+3)=x^{2}+2x+1-x^{3}-3$$ con $D_{h-g}= D_{h} \cap D_{g}= \r \cap \r= \r$
Composición de funciones
Definición (composición): Consideremos a las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ definimos a la composición de $g$ seguida de $f$ como:
$$f \circ g: A \rightarrow C$$ $$(f \circ g)(x)= f(g(x)),$$ observamos que la composición sólo está definida si $Im_g \subseteq D_f$, por lo que $g(x) \in B$. En el siguiente diagrama podemos ver más claramente cómo funciona la composición $f \circ g$:
PASO 1
Primero tomamos $x \in A$ a la cual le aplicamos la función $g$ para así obtener $g(x) \in B$.
PASO 2
Ahora tomamos a $g(x) \in B$ para aplicarle la función $f$ y finalmente obtener $f(g(x)) \in C$.
DIAGRAMA PARA $f \circ g$
Así la composición de $f \circ g$ se vería como en el diagrama anterior.
Observación: La composición no es conmutativa, es decir, ocurre que: $$f \circ g \neq g \circ f\quad \text{.}$$
Realicemos las siguientes composiciones de funciones para tener más claro cómo funciona lo antes explicado:
Ejemplo 1: \begin{align*} (g \circ f)(x)&= g(f(x))\\ &= g\left(\frac{1}{x+1} \right)\\ &= \left( \frac{1}{x+1} \right)^{3} +3\\ &= \frac{1}{(x+1)^{3}}+3 \end{align*} Así tenemos que la composición obtenida es: \begin{equation*} (g \circ f)(x)=\frac{1}{(x+1)^{3}}+3 \end{equation*}
Ejemplo 2: \begin{align*} (f \circ h)(x)&= f(h(x))\\ &= f((x^{2}+2x+1))\\ &= \frac{1}{(x^{2}+2x+1)+1}\\ &=\frac{1}{x^{2}+2x+2} \end{align*} Por lo que la composición quedaría como: \begin{equation*} (f \circ h)(x) = \frac{1}{x^{2}+2x+2} \end{equation*}
Más adelante
Ahora que ya hemos definido las operaciones entre funciones y la composición, en la siguiente entrada veremos qué características debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Del mismo modo, examinaremos el concepto de función inversa, donde haremos uso de la composición de funciones y algunas condiciones.
Tarea moral
Si tenemos a las funciones $f : \r \rightarrow \r$ y $g : \r \rightarrow \r^{+}$ definidas como siguen: $$ f(x) = x-8$$ $$g(x)= x^{4}$$ Realiza las siguientes operaciones:
$f + g$
$f – g$
$fg$
$\frac{g}{f}$
$g \circ f$
Da una función $f$ y una función $g$ que ejemplifiquen que la composición no es conmutativa: $$f \circ g \neq g \circ f\quad \text{.}$$
Demuestra que la composición es asociativa, es decir, $$f\circ (g \circ h)= (f\circ g) \circ h\quad \text{.}$$
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En esta ocasión demostraremos el teorema generalizado de Ptolomeo conocido como teorema de Casey, el cual nos dice que los vértices del cuadrilátero cíclico, al que hace mención el teorema de Ptolomeo, pueden ser considerados como circunferencias de radio distinto de cero, y los lados o diagonales del cuadrilátero cíclico se pueden pensar como segmentos tangentes entre dos circunferencias.
Tangente común a dos circunferencias
Proposición 1. Sean $(O_{1}, R_{1})$, $(O_{2}, R_{2})$, dos circunferencias tal que ninguna contiene a la otra y $P_{1}$, $P_{2}$ los puntos en que una recta es tangente a ambas circunferencias, entonces:
$i)$ Si $P_{1}P_{2}$ es exterior, es decir, no cruza el segmento $O_{1}O_{2}$ (figura 1), $P_{1}P_{2}^2 = O_{1}O_{2}^2 – (R_{1} – R_{2})^2$, $ii)$ Si $P_{1}P_{2}$ es interior, es decir, interseca al segmento $O_{1}O_{2}$ (figura 2), $P_{1}P_{2}^2 = O_{1}O_{2}^2 – (R_{1} + R_{2})^2$.
Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos $R_{1} \geq R_{2}$.
$i)$ Sean $A$ la intersección de $O_{1}P_{1}$ con la paralela a $O_{1}O_{2}$ desde $P_{2}$, $B$ la intersección de $O_{2}P_{2}$ con la paralela a $O_{1}O_{2}$ desde $P_{1}$.
Figura 1
Como $O_{1}P_{1} \perp P_{1}P_{2}$ y $O_{2}P_{2} \perp P_{1}P_{2}$ entonces $O_{1}P_{1} \parallel O_{2}P_{2}$.
Por lo tanto, $\square P_{1}O_{1}O_{2}B$, $\square P_{1}AP_{2}B$ y $\square AO_{1}O_{2}P_{2}$ son paralelogramos.
En consecuencia, $P_{1}B = O_{1}O_{2}$ y $P_{2}B = AP_{1} = R_{1} -AO_{1} = R_{1} – R_{2}$.
Como $\angle BP_{2}P_{1} = \dfrac{\pi}{2}$ podemos aplicar el teorema de Pitágoras a $\triangle BP_{2}P_{1}$.
$ii)$ Sea $C$ la intersección de $O_{2}P_{2}$ con la paralela a $P_{1}P_{2}$ desde $O_{1}$.
Como $O_{1}C \parallel P_{1}P_{2}$ y $P_{1}P_{2} \perp O_{2}P_{2}$ entonces $\angle O_{1}CO_{2} = \dfrac{\pi}{2}$, además $\square CO_{1}P_{1}P_{2}$ es un rectángulo.
Por lo tanto, $CO_{1} = P_{1}P_{2}$ y $CP_{2} = O_{1}P_{1} = R_{1}$.
Figura 2
Como resultado de aplicar el teorema de Pitágoras a $\triangle O_{1}CO_{2}$ obtenemos,
Proposición 2. Sean $(O_{1}, R_{1})$, $(O_{2}, R_{2})$, dos circunferencias tangentes a una tercera circunferencia $(O, R)$, en dos puntos distintos $A$ y $B$ respectivamente, considera $P_{1}$, $P_{2}$ los puntos en que una recta es tangente a $(O_{1}, R_{1})$ y a $(O_{2}, R_{2})$, entonces:
$i)$ Si $(O_{1}, R_{1})$, $(O_{2}, R_{2})$, son interiores a $(O, R)$ y $P_{1}P_{2}$ es exterior (figura 3), $P_{1}P_{2} = \dfrac{AB}{R} \sqrt{(R – R_{1})(R – R_{2})}$, $ii)$ Si $(O_{1}, R_{1})$, $(O_{2}, R_{2})$, son exteriores a $(O, R)$ y $P_{1}P_{2}$ es exterior (figura 4), $P_{1}P_{2} = \dfrac{AB}{R} \sqrt{(R + R_{1})(R + R_{2})}$, $iii)$ Si $(O_{1}, R_{1})$ es exterior, $(O_{2}, R_{2})$ es interior a $(O, R)$ y $P_{1}P_{2}$ es interior (figura 5), $P_{1}P_{2} = \dfrac{AB}{R} \sqrt{(R + R_{1})(R – R_{2})}$.
Figura 3
Demostración. Sea $\phi = \angle AOB$. $i)$ Aplicamos la ley de cosenos a $\triangle O_{1}OO_{2}$ y a $\triangle AOB$,
Por lo tanto, $P_{1}P_{2} = \dfrac{AB}{R} \sqrt{(R – R_{1})(R – R_{2})}$.
$ii)$ y $iii)$ se muestran con un razonamiento similar.
$\blacksquare$
Figura 4
Figura 5
Teorema de Casey. Sean $(O_{i}, R_{i})$, $i = 1, 2, 3, 4$ circunferencias tangentes a una quinta circunferencia $(O, R)$, respectivamente en los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden (figura 6), y denotemos como $\delta_{ij}$ a la medida de la tangente común a $(O_{i}, R_{i})$ y $(O_{j}, R_{j})$ la cual tomaremos como exterior si ambas circunferencias son interiores a $(O, R)$ o si ambas son exteriores a $(O, R)$, pero si una es interior y la otra es exterior a $(O, R)$ entonces tomaremos el segmento de la tangente interior a ambas circunferencias.
Bajo estas condiciones se verifica la siguiente igualdad $\delta_{12} \delta_{34} + \delta_{14}\delta_{23} = \delta_{13}\delta_{24}$.
Demostración. Mostraremos el caso en que dos circunferencias son interiores y dos son exteriores a $(O, R)$, todos los demás casos son análogos.
Figura 6
Tenemos que sustituir el valor de cada segmento de tangente de acuerdo a la proposición 2 y recordar que por el teorema de Ptolomeo, $AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD$.
Notemos que cuando las 4 circunferencias tangentes a $(O, R)$ tienen radio igual a $0$, el resultado es el teorema de Ptolomeo.
En la siguiente figura se ilustran todos los posibles casos del teorema de Casey.
Figura 7
Problemas
Problema 1. Sean $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$, dos circunferencias tangentes entre si (exteriormente) en $I$ y al mismo tiempo son tangentes a una tercera circunferencia $\Gamma$ (interiormente), consideremos la recta tangente a $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$ por $I$ y su intersección, $A$, con $\Gamma$ y otra tangente exterior común a $\Gamma _{1}$, $\Gamma _{2}$, en $X$, $Y$ respectivamente la cual interseca a $\Gamma$ en $B$ y $C$ (figura 8). Entonces $I$ es el incentro de $\triangle ABC$.
Figura 8
Demostración. Sea $D = BC \cap AI$, entonces $DX = DI = DY$.
Consideremos los puntos $A$, $B$ y $C$ como circunferencias de radio $0$.
Como resultado de aplicar el teorema de Casey a $(A, 0)$, $\Gamma_{1}$, $(B, 0)$, y $(C, 0)$ tangentes a $\Gamma$, obtenemos,
$\begin{equation} AI \times BC + BX \times AC = AB \times XC = AB \times (2DI + CY). \end{equation}$
Hacemos lo mismo con los círculos $(A, 0)$, $(B, 0)$, $(C, 0)$ y $\Gamma_{2}$ tangentes a $\Gamma$.
$\begin{equation} AB \times CY + AI \times BC = AC \times BY = AC \times (BX + 2DI). \end{equation}$
Restamos $(4)$ a $(3)$ $BX \times AC – AB \times CY = 2 AB \times DI + AB \times CY – 2 AC \times DI – AC \times BX$ $\Leftrightarrow AC \times DI + AC \times BX = AB \times DI + AB \times CY$ $\Leftrightarrow AC \times BD = AC(DI + BX) = AB(DI + CY) = AB \times CD$.
En consecuencia, $\begin{equation} \dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}. \end{equation}$
Ahora sumamos $(4)$ y $(3)$ $2AI \times BC + BX \times AC + AB \times CY$ $= 2AB \times DI + AB \times CY + 2AC \times DI + AC \times BX$ $\Leftrightarrow AI \times BC = AB \times DI + AC \times DI$.
En consecuencia, $\dfrac{AI}{DI} = \dfrac{AB + AC}{BC}$.
Por otra parte, de $(5)$ tenemos $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{BD + CD}{CD} = \dfrac{AB + AC}{AC}$ $\Leftrightarrow \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{AB + AC}{BC}$.
Por lo tanto, $\dfrac{AI}{DI} = \dfrac{AC}{CD}$, se sigue que $CI$ es bisectriz de $\angle C$.
Como resultado, $I$ es el incentro de $\triangle ABC$.
$\blacksquare$
Problema 2. Sea $\square ABCD$ un cuadrado y $(O, R)$ un círculo en el interior de $\square ABCD$, y consideremos $(O_{i}, R_{i})$, $i = 1,2,3,4$ cuatro circunferencias cada una tangente a dos lados del cuadrado y a $(O, R)$ al mismo tiempo, encuentra una representación del lado del cuadrado en términos de los $R_{i}$, con $i = 1,2,3,4$.
Figura 9
Solución. Por construcción, cada lado del cuadrado es tangente a dos circunferencias así que si $\delta_{ij}$ denota la longitud del segmento tangente común a dos circunferencias entonces,
$\delta_{12} = AB – R_{1} – R_{2}$, $\delta_{23} = AB – R_{2} – R_{3}$, $\delta_{34} = AB – R_{3} – R_{4}$, $\delta_{14} = AB – R_{1} – R_{4}$.
Para calcular $\delta_{13}$ consideremos $P$ la intersección de la perpendicular a $BC$ por $O_{1}$, con la perpendicular a $AB$ por $O_{3}$ entonces $\triangle O_{1}PO_{3}$ es rectángulo y por el teorema de Pitágoras
$O_{1}O_{3}^2 = 2(AB – R_{1} – R_{3})^2$.
Por la proposición 1 parte $i)$ tenemos que $\delta_{13}^2 = O_{1}O_{3}^2 – (R_{1} – R_{3})^2 = 2(AB – R_{1} – R_{3})^2 – (R_{1} – R_{3})^2$.
Por lo tanto, $\delta_{13} = \sqrt{2(AB – R_{1} – R_{3})^2– (R_{1} – R_{3})^2}$.
Aplicamos el teorema de Casey a $(O_{i}, R_{i})$ $i = 1, 2, 3, 4$ tangentes a $(O, R)$ $\delta_{12}\delta_{34} + \delta_{14}\delta_{32} = \delta_{13}\delta_{24}$ $= (AB – R_{1} – R_{2})( AB – R_{3} – R_{4}) + (AB – R_{2} – R_{3})( AB – R_{1} – R_{4})$ $= \sqrt{2(AB – R_{1} – R_{3})^2 – (R_{1} – R_{3})^2}\sqrt{2(AB – R_{2} – R_{4})^2 – (R_{2} – R_{4})^2}$.
Despejando $AB$ se puede llegar a la expresión $AB = \dfrac{2(R_{1}R_{3} – R_{2}R_{4}) + \sqrt{2(R_{1} – R_{2}) (R_{1} – R_{4}) (R_{3} – R_{2}) (R_{3} – R_{4}) }}{R_{1} – R_{2} + R_{3} – R_{4}}$.
No se desarrollará este último procedimiento por ser largo, para llegar al resultado solo hay que desarrollar los productos y después reagrupar para despejar $AB$.
$\blacksquare$
Problema 3. Sean $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle BAC =\dfrac{\pi}{2}$, $(O, R)$ su circuncírculo, considera dos circunferencias $\Gamma_{1}$ tangente a $OA$ en $P$, a $OB$ y a $(O, R)$ (internamente) y $\Gamma_{2}$ tangente a $OA$ en $Q$, a $OC$ y a $(O, R)$ (internamente). Muestra que $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AP}{AQ}$.
Figura 10
Demostración. Sean $P’$ y $Q’$ los puntos de tangencia de $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ con $OB$ y $OC$ respectivamente, entonces $OP = OP’$ por ser segmentos tangentes a $\Gamma_{1}$ trazados desde $O$.
Igualmente vemos que $OQ = OQ’$.
Como $\triangle ABC$ es rectángulo y $BC$ es la hipotenusa, entonces $O$ es el punto medio de $BC$.
Por lo tanto, $R = OB = OA = OC$.
Como resultado obtenemos, $AP = BP’$ y $AQ = CQ’$.
Ahora aplicamos el teorema de Casey a los círculos $(A, 0)$, $\Gamma_{1}$, $(B, 0)$ y $\Gamma_{2}$ tangentes a $(O, R)$.
$AP \times BQ’ + AQ \times BP’ = AB \times P’Q’$ $\Leftrightarrow AP(BQ’ + AQ) = AB \times P’Q’$
Por lo tanto, $\begin{equation} AP \times BC = AB \times P’Q’. \end{equation}$
Hacemos lo mismo para $A$, $\Gamma_{1}$, $C$ y $\Gamma_{2}$ tangentes a $(O, R)$.
$AP \times CQ’ + AQ \times CP’ = AC \times P’Q’$ $\Leftrightarrow AQ(AP + CP’) = AC \times P’Q’$.
Por lo tanto, $\begin{equation} AQ \times BC = AC \times P’Q’. \end{equation}$
Haciendo el cociente de $(6)$ sobre $(7)$ obtenemos el resultado buscado, $\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{AB}{AC}$.
$\blacksquare$
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Completa la prueba de la proposición 2 parte $ii)$ y $iii)$.
Sean $l_{1}$ y $l_{2}$ dos rectas paralelas y tangentes a una circunferencia $(O, R)$, considera otras dos circunferencias, $(O_{1}, R_{1})$ tangente a $l_{1}$ y a $(O, R)$, y $(O_{2}, R_{2})$ tangente a $l_{2}$, y a las primeras dos circunferencias $(O, R)$, $(O_{1}, R_{1})$. Muestra que $R = 2 \sqrt{R_{1}R_{2}}$.
Sean $AB$ el diámetro de una circunferencia $\Gamma$, $P$, $Q \in \Gamma$ en arcos distintos respecto de $AB$, trazamos $C$ el pie de la perpendicular a $AB$ trazada desde $Q$ y considera $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$ dos circunferencias de diámetro $AC$ y $CB$ respectivamente. Sean $PE$ y $PF$ segmentos tangentes a $\Gamma_{1}$ y $\Gamma_{2}$ respectivamente. Prueba que $PE + PF = PQ$.
Figura 11
Sean $\triangle ABC$ y $\Gamma$ su circuncírculo con $AB = c$, $BC = a$ y $AC = b$, considera $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$ y $\Gamma_{3}$ círculos tangentes a $AB$, $BC$ y $AC$ respectivamente en sus puntos medios y al mismo tiempo tangentes al arco $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$, $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ y $\overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ respectivamente, denota $\delta_{ij}$ al segmento de tangente exterior y común a $\Gamma_{i}$, $\Gamma_{j}$. Muestra que $\delta_{ij} = \dfrac{a + b + c}{4}$, $i, j = 1, 2, 3$, $i \neq j$.
Figura 12
Considera $\triangle ABC$ y su circuncírculo $\Gamma$, sea $\Gamma_{1}$ una circunferencia tangente a $AB$ en $P$, a $AC$ en $Q$ y a $\Gamma$ internamente, muestra que el punto medio de $PQ$ es el incentro de $\triangle ABC$.
Sean $\triangle ABC$ y $\Gamma$ su circuncírculo con $AC > AB$. Una circunferencia $\Gamma_{1}$ es tangente a $AB$, $AC$ y al circuncírculo internamente, $P$ es el punto medio del arco $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$ y $\overline{PQ}$ es un segmento tangente a $\Gamma_{1}$. Muestra que $\dfrac{PQ}{PA} = \dfrac{AC – AB}{AC + AB}$.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
Bienvenidos a la última entrada de la segunda unidad del curso, donde revisaremos el método de la transformada de Laplace para resolver problemas de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ con $a$, $b$ y $c$ constantes.
Este método nos permite transformar el problema de resolver la ecuación diferencial por los métodos estudiados en esta misma unidad, por un problema algebraico donde encontraremos la expresión de la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de la función solución, y debemos hallar quién es la función $y(t)$ cuya transformada de Laplace es $\mathscr{L} \{y(t)\}$.
Comenzaremos definiendo la transformada de Laplace de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y demostraremos algunas de las propiedades más importantes que cumple esta transformada y que utilizaremos para nuestros propósitos.
Posteriormente resolveremos el problema de condición inicial de manera general, mencionaremos el problema de hallar la transformada inversa de Laplace de una función con ayuda de una tabla de transformadas y transformadas inversas, y revisaremos dos ejemplos particulares donde mostraremos cómo se utiliza el método en la práctica.
Para finalizar consideraremos nuevamente el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ donde ahora la función $f(t)$ es una función continua por pedazos. Este tipo de problemas suele aparecer con frecuencia en la física, y con la ayuda de la transformada de Laplace vamos a resolver un ejemplo particular, con ayuda de una función auxiliar y un teorema que enunciaremos y probaremos previamente.
Como te podrás dar cuenta, hicimos un cambio en la notación de la derivada de una función. Durante el curso hemos utilizado la notación de Leibniz $\frac{dy}{dt}$, $\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$,…, para denotar a las derivadas de la función $y(t)$. Sin embargo, en esta entrada utilizaremos la notación $y'(t)$, $y^{\prime \prime}(t)$,…, para simplificar la escritura.
Transformada de Laplace y sus propiedades
En el primer video de esta entrada definimos la transformada de Laplace $\mathscr{L} \{y(t)\}$ de una función cuyo dominio es el intervalo $[0, \infty)$, y probamos algunas propiedades que cumple esta transformada y que nos servirán para resolver problemas de condición inicial.
Solución a problemas de condición inicial por método de la transformada de Laplace
En el primer video de esta sección resolvemos el problema de condición inicial $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ por el método de la transformada de Laplace.
En el segundo video resolvemos un par de problemas de condición inicial particulares.
Te presentamos una tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace, que aparece en el libro Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, William E. Boyce y Richard C. DiPrima, para que puedas realizar los cálculos presentados en los videos. Esta tabla no es única, por lo que puedes buscar en textos o en internet tablas diferentes según lo requieras.
Tabla de transformadas y transformadas inversas de Laplace. Boyce y DiPrima (2012).
Solución a problemas de condición inicial con funciones discontinuas por método de transformada de Laplace
En el último video de esta entrada resolvemos un problema de condición inicial de la forma $$ay^{\prime \prime}+by’+cy=f(t); \,\,\, y(0)=y_{0}, \,\,\, y'(0)=y_{1}$$ donde $f(t)$ es una función continua por pedazos. Previamente definimos la función auxiliar $$H_{c}(t)= \begin{cases} 1 & 0 \leq t < c \\ 1 & t \geq c \ \end{cases} $$ y probamos un teorema que nos ayudan a resolver el problema de condición inicial.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=t$.
Encuentra la transformada de Laplace de la función $f(t)=\cos{\beta t}$, $\beta$ constante.
Prueba que $$\mathscr{L} \{f ^{\prime \prime} (t)\}=s^{2}\mathscr{L}\{f(t)\}-sf(0)-f^{\prime}(0)$$ bajo las hipótesis del último teorema del primer video.
Resuelve el problema de condición inicial $$y^{\prime \prime}-2y’+2y=\cos{t}; \,\,\,\,\, y(0)=1, \,\,\,\,\, y'(0)=0$$ por el método de la transformada de Laplace.
Prueba que bajo las condiciones del primer teorema enunciado en el primer video, se cumplen las siguiente propiedad: $$F^{(n)}(s)=\mathscr{L}\{(-t)^{n}f(t)\}$$ donde $F^{(n)}$ denota a la $n$-ésima derivada de $F$.
Resuelve el problema de condiciones iniciales $$y^{\prime \prime}+2y’+2y=f(t); \,\,\,\,\, y(0)=0, \,\,\,\,\, y'(0)=1$$ donde $$f(t)= \begin{cases} 1 & \pi \leq t < 2\pi \\ 0 & 0 \leq t < \pi \ , t \geq 2\pi. \end{cases} $$
Más adelante
Con esta entrada concluimos el estudio a las ecuaciones diferenciales de segundo orden. Como mencionamos en esta entrada, toda la teoría desarrollada en la segunda unidad se puede extender a ecuaciones de orden $n>2$. Sin embargo, a partir de la tercera unidad utilizaremos un método distinto para resolver ecuaciones de orden $n\geq2$.
Lo primero que haremos en la siguiente entrada será transformar una ecuación diferencial que orden $n\geq2$ en un sistema de $n$ ecuaciones diferenciales de primer orden, hablaremos de las ventajas de hacer esta transformación y daremos una introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, que será el objeto de estudio de la tercera unidad del curso.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
