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Álgebra Moderna I: Palabras.

Introducción

En la entrada anterior tomamos un grupo $G$ y un subconjunto $X \subset G$ y, logramos encontrar al mínimo subgrupo de $G$ que contuviera a $X$. Este conjunto resultó ser la intersección de todos los subgrupos contenidos en $G$ que, a su vez, contuvieran a $X$. Recordemos que se llama el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota

\begin{align*}
\left< X\right> = \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H.
\end{align*}

Sin embargo, esto no nos dice mucho sobre los elementos de $X$. Ilustremos un poco lo que tenemos. Tomemos un grupo $G$, un subconjunto $X \subset G$ y al generado $x \subset \left<X\right> \subset G$. Entonces, si nos tomamos $x_1,x_2,x_3 \in X$, sabemos que todas las potencias de esos elementos están en el generado de $X$. Es decir, para todas $q,r,s \in \z$, $x_1^q, x_2^r, x_3^s \in \left<X\right>$. Más aún, las diferentes multiplicaciones de esos elementos también están en $\left<X\right>$, por ejemplo, si nos tomamos $x_1^1, x_3^{-2}, x_2^{3}$ y $x_1^{-4}$, el elemento

\begin{align}\label{palabra}
x_1^{-4} x_3^{-2} x_1^1 x_2^{3}
\end{align}

está en $\left<X\right>$, por ser una multiplicación de elementos del conjunto. Entonces, en el generado de $X$ estarán todos los elementos de $X$, las potencias de esos elementos y todas las multiplicaciones entre las potencias.

Al elemento \eqref{palabra} la llamamos palabra en $X$ y es lo que estudiaremos en esta entrada. Además, las palabras pueden ser una descripción del generado, sin embargo, esta descripción no es igual a la de álgebra lineal porque hay que recordar que el subgrupo en general no es abeliano. En consecuencia, existen palabras que no se pueden simplificar más de lo que están.

Nuestra primera aproximación a las palabras

Definición. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Una palabra en $X$ es, o bien el neutro $e$, o bien un elemento de la forma

$x_1^{\alpha_1}, \dots, x_n^{\alpha_n}$

con $n \in \n^+$, $x_1,\dots, x_n, \alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$.

Notación. Denotamos por $W_x$ al conjunto de todas las palabras en $X$.

Ejemplos

  1. Sea $G = D_2(4)$ el grupo diédrico formado por las simetrías de cuadrado. Sea $a$ la rotación de $\pi/2$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    $ba^3 b a^{-1} b^{-4} a$ es una palabra en $\{a, b\}$.
    En este caso, la palabra sí se puede simplificar como:
    \begin{align*}
    b a^3 b a^{-1}b^{-4} a &= ba^3ba^{-1} e a \\
    & = b a^3 b a^{-1} a \\
    & = ba^3 b
    \end{align*}
    Para la primera igualdad, recordemos que $b$ es la rotación por $\pi/2$, entonces al rotarlo $4$ veces, el cuadrado recupera su estado inicial, por eso $b^{-4} = b^{4} = e$.

    Notación. Usaremos la notación $D_2(4)$ para denotar las simetrías del cuadrado (que tiene 4 vértices) y el grupo diédrico tiene 8 elementos. Otros autores pueden escribir simplemente $D_8$, pero esto se puede confundir con el grupo de las simetrías de un octágono.
  2. Consideremos el conjunto $H = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$. Este conjunto es llamado el grupo de los cuaterniones o cuaternios y se suele denotar por $Q$ o $Q_8$ porque tiene 8 elementos.
    Las operaciones en el conjuto se definen como:
    \begin{align*}
    1 a &= a 1 = a &\forall a \in H \\
    (-1) a &= a (-1) = -a & \forall a \in H
    \end{align*}
    Además, las multiplicaciones no son conmutativas y están definidas así:
    $\begin{align*}
    ij &= k, \quad jk = i, \quad ki =j, \\
    ji &= -k, \quad kj = -i, \quad ik=-j, \\
    i^1 &= j^2 = k^2 = -1
    \end{align*}$

    Primero, podemos considerar el conjunto de palabras de $j$:
    \begin{align*}
    W_{j} = \{j,-1,-j, +1\}
    \end{align*}
    podemos considerar la palabra $j^5j^{-2} j^{3} j^{-4}$, resolviendo las potencias podemos concluir que esta palabra es igual a $-1$ (verificarlo quedará como ejercicio).

    También podemos considerar el conjunto de palabras de $j$ y $k$:
    \begin{align*}
    W_{j,k} = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}
    \end{align*}

Palabras y el Subgrupo generado por $X$ $\left(\left< X \right>\right)$

Lema. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. $W_X$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$.

Demostración.
Caso 1, cuando $X = \emptyset$.
En este caso, $W_x = \{e\} \leq G$ y $X = \emptyset \subset \{e\} = W_x$.

Caso 2, cuando $X \neq \emptyset$.
P.D. $W_x \leq G$.
Por definición $e \in W_X$.
Sean $a, b \in W_X$, entonces

\begin{align*}
a &= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} & \alpha_1, \dots, \alpha_n, \beta_1, \dots, \beta_m \in \z \\
b &= y_1^{\beta_1} \dots y_m^{\beta_m} & x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m \in X\\
&& n,m \in \n^+
\end{align*}

Entonces, podemos tomar $ab^{-1}$ y verificar quién es

\begin{align*}
a b^{-1} &= (a_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n})(y_1 \dots y_m^{\beta_m})^{-1} \\
& = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n}y_m^{-\beta} \dots y_1^{-\beta_1} \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $W_X \leq G$.

P.D. $X \subseteq W_X$.
Sea $x \in X$,
\begin{align*}
x = x^1 \in W_X
\end{align*}

Por lo tanto $X \subseteq W_X$.

$\square$

Teorema. Sea $G$ un grupo, $X$ un subconjunto de $G$. Entonces

$\left< X \right> = W_X$.

Demostración.
$\subseteq)$ Por el lema anterior, $W_X \in \{H \leq G : X \subset H\}$. Entonces, por nuestra definición del subgrupo generado,
\begin{align*}
\left< X \right> = \cap H \subseteq W_X
\end{align*}

$\supseteq)$ Sea $a \in W_X$, entonces $a = x_1^{\alpha_1} \cdots x_n^{\alpha_n}$ con, $n \in \n^+$, $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \z$ y $x_1, \dots, x_n \in X$.

Para cada $x_i \in X$, con $i \in \{1,..,0\}$, se cumple que $x_i \in \left< X \right>$, entonces $X \subseteq \left< X \right>$.
Entonces $x_i \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1, \dots ,n\}$, porque el generado es un subgrupo. Luego, como $\left< X\right> \leq G$, obtenemos que $x_i^{\alpha_i} \in \left< X \right>$ para toda $i \in \{1,\dots,n\}$.

Entonces, $a = x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \in \left<X\right>$.

Por lo tanto, $\left< x \right> = W_x$.

$\square$

¿Quién es el orden de un producto?

Si tenemos un grupo $G$ y $a, b in G$, ya hemos hablado del orden de un elemento. Es decir, sabemos quién es $o(a)$ y $o(b)$, pero poco sabemos de $o(ab)$. Ahora podemos dar una explicación más precisa del orden de un producto, en cierto caso:

Teorema. Sea $G$ un grupo y $a, b \in G$.
Si $a$ y $b$ son de orden finito, sus ordenes son primos relativos y $ab = ba$, entonces

\begin{align*}
o(ab) &= o(a) o(b) \\
\text{y } \left< a,b \right> &= \left<ab\right>
\end{align*}

Demostración.
Sea $G$ un grupo, $a,b \in G$ de orden finito con $n = o(a)$, $m = o(b)$. Supongamos que $(n,m) = 1$ y $ab = ba$.

P.D. $o(ab) = nm$.
Entonces

\begin{align*}
(ab)^{nm} & = a^{nm} b^{nm} & \text{ porque } ab = ba \\
& = (a^n)^m(b^m)^n & \text{ propiedades de los exponentes}\\
& = e^m e^n
& = e
\end{align*}

Ya teniendo que $(ab)^{nm} = e$, tenemos que ver que $nm$ es la mínima potencia que lo cumple o ver que divide a cualquier otra potencia $k$ tal que $(ab)^k = e$.

Ahora, si $(ab)^k = e$, entonces $a^k b^k = e$. Despejando, obtenemos $a^k = b^{-k}$.

Así $(a^k)^m = (b^{-k})^m = (b^m)^{-k} = e^{-k} = e$ (porque $o(b) = m$), es decir $a^{km} = e$. Ya sabemos que $o(a) = n$, entonces $n|km$ y porque $(n,m) = 1$ entonces $n|k$.

Análogamente, si tomamos $(a^k)^n = (b^{-k})^n$ obtenemos que $m|k$.

Como $n|k$ y $m|k$ con $(n,m = 1)$, entonces $nm|k$.
Por lo tanto $o(ab) = nm$.

P.D. $\left< a,b \right> = \left< ab \right>$.
Como toda palabra en $\{ab\}$ es una palabra en $\{a, b\}$ entonces
$\begin{align*}
\left< ab \right> \subseteq \left< a, b \right>
\end{align*}$

Por otro lado, como $ab = ba$, toda palabra en $\{a,b\}$ se reduce a una de la forma $a^{i}b^{i}$ con $i, j \in \z$, y como $o(a) = n$, $o(b) = m$, la expresión $a^{i}b^{i}$ se puede reducir aún más a una expresión de la forma $a^{i}b^{i}$ con $0 \leq i < n$ y $0 \leq j < m$.

Entonces $\left< a, b \right> = \{a^{i}b^{j}: 0 \leq i < n, 0 \leq j < m\}$. Luego, $|\left<a, b\right>| \leq nm$.
Pero $\left< ab \right> \subseteq \left<a,b\right>$, entonces $|\left< ab \right>| \leq |\left< a,b \right>|$.
Así,

\begin{align*}
nm = o(ab) = |\left< ab \right>| &\leq |\left< a,b \right>| \leq nm. \\
\end{align*}

Por lo tanto $\left<ab\right> = \left< a, b \right>$

$\square$

Tarea moral

  1. En el grupo de los cuaterniones definido anteriormente, verifica que $j^5j^{-2}j^3j^{-4} = -1$.
  2. Considera $Q$, el grupo de cuaternios. Reduce la siguiente palabra a uno de sus elementos $(\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k)$,
    $\begin{align*}
    j^7k(-i)jki^2jk^{-6}
    \end{align*}$
  3. Sea $D_{2n} = \{\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b\}$ el grupo diédrico formado por las simetrías de un polígono regular de $n$ lados, con $a$ la rotación de $\displaystyle \frac{2\pi}{n}$ y $b$ la reflexión con respecto al eje $x$.
    1. Identifica geométricamente quiénes son $\text{ id }, a, \dots, a^{n-1}, ab, \dots, a^{n-1}b$.
    2. Determina quién es el elemento $bab$ y, de modo más general, quién es el elemento $ba^{i}b$.
    3. Determina quién es el elemento $ba^i$.
  4. Considera el grupo simétrico $S_5$, $\alpha$ la permutación que manda $1$ en $2$, $2$ en $3$ y $3$ en $4$, y $\beta$ la permutación que intercambia $5$ y $5$.
    1. Encuentra $\beta \alpha$ y $\alpha \beta$.
    2. Encuentra el orden de $\alpha$, $\beta$, $\alpha\beta$ y $\beta\alpha$.
  5. Por último, te invitamos a que veas este vídeo que habla sobre las aplicaciones tecnológicas del grupo de los cuaternios. El video está en inglés, pero tiene subtítulos en inglés.

Más adelante…

¡Felicidades por acabar la Unidad 1! Ya entiendes las bases de este curso, trata de recordarlas porque las estaremos usando implícitamente.
En la siguiente unidad estaremos viendo Permutaciones y Grupo Cociente, para no adelantar mucho, ambas estructuras son grupos muy importantes en el álgebra y nuestros objetos de estudio en la siguiente unidad.

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Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por $ X $

Introducción

Ya vimos qué es un subgrupo cíclico generado por $\left<a\right>$. Ahora nos preguntamos si, teniendo $G$ cíclico y tomando cualquier subrgrupo $H \subset G$ ¿será cierto que $H$ también es cíclico?

Ilustremos esto con un ejemplo. Consideremos $\z$ con la suma, en este caso $\z = \left<1\right>$,

$\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$.

Entre posibles subgrupos podemos encontrar:

$\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots$
$\dots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \dots$

es decir $\left<2\right>$ y $\left<3\right>$ respectivamente. Pero también podemos observar que tanto $2$ como $3$ son la mínima potencia de $1$ que aparece en sus respectivos generados. Es decir, aunque el $1$ no esté en un subgrupo cíclico de $\z$, el subgrupo será generado por la mínima potencia de $1$ que sí sea elemento del subgrupo. En esta entrada, comenzaremos probando este resultado.

En la segunda parte de esta entrada regresaremos a nuestra problemática inicial. Si tenemos un subconjunto $X \subset G$, con $G$ un grupo, ¿cuál es el mínimo subgrupo $H \in G$ tal que $X \subset H$?

Podemos estar de acuerdo en que es posible que $X$ esté contenido en más de un subgrupo, en general estará contenido por una familia se subgrupos de $G$. A estos subgrupos los denotaremos como $H_i$ con $i \in \{1, \dots, n\}$. Entonces el mínimo subgrupo de $G$ que contenga a $X$ será la intersección de esta familia, porque sabemos que $\displaystyle X \subset \bigcap_{i \in \{1, \dots, n\}}H_i$. Esto será lo que desarrollaremos en la segunda parte de la entrada.

Los subgrupos de un grupo cíclico, es cíclico.

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico, es cíclico.

Demostración.
Sea $G$ un grupo cíclico, $H \leq G$.
Como $G$ es cíclico, entonces $G = \left< a \right>$ para algún $a \in G$.

Para ver que $H$ es cíclico tenemos que proponer un generador de $H$, este generador tiene que ser una potencia de $a$, porque $H \subset G$ y $G$ es cíclico. Por lo que dijimos en la introducción, agarraremos la menor potencia de $a$ que esté en $H$. Pero, para ello, tenemos que asegurarnos de que existen potencias positivas de $a$. Así, manejaremos dos casos.

Si $H = \{e\} = \left< e \right>$ que es cíclico.

Si $H \neq \{e\}$, sea $h \in H\setminus\{e\}$. Entonces como $H \leq G$, $h \in G = \left<a\right>$. Así $h = a^k$ para algún $k \in \z$ y como $h \neq e$ entonces $k \neq 0$.

Tenemos que $h^{-1} = a^{-k} \in H$ pues $H$ es subgrupo.

Así $a^k$, $a^{-k} \in H$ (con $k \in \z \setminus\{0\}$), entonces no importa si $k$ es positivo o negativo, siempre habrá $a$ elevado a algo positivo, es decir,

$\{n \in \z^+ | a^n \in H\} \neq \emptyset$.

Sea $m = \text{mín } \{n \in \z^+|a^n\in H\}$.
P.D. $H = \left< a^m \right>$

$\supseteq]$
Por la elección de $m$, $a^m \in H$ y entonces $\left< a^m \right> \subseteq H$.

$\subseteq]$
Sea $h \in H$. Como $H \leq G = \left<a\right>$, entonces $h = a^k$ para algún $k \in \z$.

Por el algoritmo de la división existen $q,r \in \z$ tales que $k = mq+r$ con $0 \leq r < m$.
Entonces $h = a^k = a^{mq+r} = (a^m)^q a^r$
$(a^m)^{-q}h = a^r$

Pero $a^m \in H$, $h \in H$ y $H$ es subgrupo, entonces $a^r = (a^m)^{-q}h \in H$ con $0 \leq r < m$. Para no contradecir la elección de $m$ concluimos que $r=0$.

Así $h = a^{mq} = (a^m)^q \in \left< a^m \right>$.
Por lo tanto $H = \left< a^m \right>$ y $H$ es cíclico.

$\square$

El mínimo subgrupo que contiene a cualquier subconjunto $X$

Teorema. La intersección de una familia no vacía de subgrupos de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$.

Cuando decimos familia no vacía nos referimos a que haya al menos un grupo a intersecar. Es una condición que se pide para que a nivel conjuntista no hayaproblemas con la intersección.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $\{H_i | i \in I\}$ una familia de subgrupos de $G$.
P.D. $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $e \in H_i$ para toda $i \in I$ y así $\displaystyle e \in \bigcap_{i \in I} H_i$.

Sea $\displaystyle a, b \in \bigcap_{i \in I}$. Tenemos que $a,b \in H_i$ para toda $i \in I$.
Como $H_i \leq G$ para toda $i \in I$, entonces $ab^{-1} \in H_i$ para $i \in I$ y así $a b^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{i \in I}H_i$.

Por lo tanto $\displaystyle \bigcap_{i \in I} H_i \leq G$.

$\square$

Corolario. Sea $G$ un grupo y $X$ un subconjunto de $G$. Existe un subgrupo de $G$ que contiene a $X$ y que estará contenido en cualquier subgrupo de $G$ que contenga a $X$.

Demostración.
Sea $G$ un grupo y $X$ subconjunyo de $G$.
$G$ es un subgrupo de $G$ que contienen a $X$ y entonces la familia $\{H \leq G | X \subseteq H\}$ es no vacia. Entonces sí existen subgrupos de $G$ que contienen a $X$.

Consideremos $\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$. Por el teorema anterior es un subgrupo de $G$ y por construcción $X \in \displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H$.

Si $\hat{H}$ es un subconjunto de $G$ que contiene a $X$, entonces $\hat{H} \in \{H \leq G | X \subseteq H \}$, y al ser uno de los intersectados, obtenemos

$\displaystyle \bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H \subseteq \hat{H}$.

$\square$

El subgrupo de $G$ generado por $X$

Para concluir esta entrada, daremos una definición que resume lo visto.

Definición. Sea $G$ un grupo y $X$ un subgrupo de $G$. El conjunto

\begin{align*}
\bigcap_{\substack{H \leq G \\ X \subseteq H}} H
\end{align*}

es el subgrupo de $G$ generado por $X$ y se denota por $\left< X \right>$.

Decimos que $X$ genera a $G$ si $\left< X \right> = G$.

Observación. Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces

\begin{align*} \left< \{a\} \right> = \left< a \right>. \end{align*}

Demostración. Se quedará como tarea moral.

Notación. Para $a_1,\dots, a_n \in G$, el conjunto $\left< \{a_1,\dots, a_n\}\right>$ se denota por $\left< a_1, \dots, a_n \right>$.

Tarea moral

  1. Sea $G$ un grupo tal que todos sus subgrupos propios son cíclicos, entonces $G$ es cíclico. Demuestra este enunciado o encuentra un contraejemplo.
  2. Considera a los enteros con la suma. Describe a los subgrupos:
    1. $\left<\{10, 15\}\right>$ (se denota por $\left<10,15\right>$).
    2. $\left<\{9, 20\}\right>$ (se denota por $\left<9,20\right>$).
  3. Demuestra la última observación: Sea $G$ un grupo y sea $a \in G$. Entonces $\left< \{a\} \right> = \left< a \right>$. Hint: Usa la doble contención y el teorema anterior.

Más adelante…

Ya estudiamos a los elementos de la forma $a^k$ con $a \in G$, $k \in \z$ y $G$ grupo. En la siguiente entrada combinaremos varios elementos de esa forma. Estudiaremos qué son y algunas propiedades de las llamadas palabras. Además, la siguiente entrada es la última de esta unidad, ¡sigue avanzando! ya casi acabas.

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