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Álgebra Superior I: Conectores: negaciones, conjunciones y disyunciones

Introducción

En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos.

Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.

A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.

Conectores lógicos

De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número $2$ y el número $3$ y les aplicamos la operación «suma», entonces debemos entreponer un signo $+$ entre ellos para obtener la expresión $2+3$ . Esta expresión es de nuevo un número entero: el $5$ . Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.

Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:

Negaciones: Usan el símbolo $\neg$ . Toman una proposición $P$ y la convierten en la proposición $\neg P$ cuyo valor de verdad es opuesto al de $P$ .
Conjunciones: Usan el símbolo $\land$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\land Q$ , que para ser verdadera necesita que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
Disyunciones: Usan el símbolo $\lor$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\lor Q$ , que para ser verdadera necesita que alguna de $P$ o $Q$ lo sean (o ambas).
Implicaciones: Usan el símbolo $\Rightarrow$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P\Rightarrow Q$ , que para ser verdadera se necesita o bien que $P$ sea falsa (y $Q$ puede ser lo que sea), o bien que tanto $P$ como $Q$ sean verdaderas.
Dobles implicaciones: Usan el símbolo $\Leftrightarrow$ . Toman dos proposiciones $P$ y $Q$ y las convierten en la proposición $P \Leftrightarrow Q$ , que para ser verdadera necesita que $P\Rightarrow Q$ sea verdadera y que $Q\Rightarrow P$ sea verdadera.

Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.

Negaciones

Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un «no es cierto que» a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición

$A=\text{"El cielo es azul."}$

entonces su negación es

$\neg A=\text{"No es cierto que el cielo es azul."}$

Observa que si pensamos a $A$ como una proposición verdadera, entonces la proposición $\neg A$ es falsa.

Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer «no es cierto que» a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un «no» en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración

$B=\text{"El número $2$ es par y múltiplo de $3$."}$

es simplemente

$\text{"No es cierto que el número $2$ es par y múltiplo de $3$."}$

Si hacemos la negación con poco cuidado, podríamos llegar a

$\text{"El número $2$ no es par ni múltiplo de $3$."}$

que no funciona, pues no tiene el valor opuesto de verdad: la oración original es falsa, y esta también.

Más adelante hablaremos con cuidado del conector «y» que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.

Tabla de verdad de negaciones

De manera formal, dada una proposición $P$ definimos a la negación de $P$ , que denotamos por $\neg P$ como la proposición que tiene valor opuesto de verdad al de $P$ . De esta forma, por definición, se tiene que $\neg P$ es la proposición con la siguiente tabla de verdad:

$P$	$\neg P$
$0$	$1$
$1$	$0$

Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con

$P=\text{"El cielo es azul."}$

y lo negamos, obtenemos

$\neg P = \text{"No es cierto que el cielo es azul."}$

y luego podemos negar de nuevo para obtener

$\neg(\neg P) = \text{"No es cierto que no es cierto que el cielo es azul."}$

Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces $P$ y $\neg(\neg P)$ tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.

$P$	$\neg P$	$\neg(\neg P)$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$

Observa que las columnas de $P$ y de $\neg(\neg P)$ tienen exactamente los mismos valores. Diremos entonces que $P=\neg(\neg P)$ . Observa cómo se parece mucho a la igualdad $-(-x)=x$ en los números reales. En la siguiente entrada hablaremos con más formalidad de cuándo podemos decir que dos proposiciones $P$ y $Q$ son iguales.

Conjunciones

Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un «y» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

$P=\text{"El número $20$ es impar."}$

$Q=\text{"El número $9$ es un número cuadrado."}$

entonces la conjunción de ambas es

$P\land Q=\text{"El número $20$ es impar y el número $9$ es cuadrado."}$

Para que esta nueva proposición sea verdadera, debe suceder que cada una de las proposiciones que la conforman deben serlo. En este caso en específico, esto no ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, pero la proposición $P$ es falsa. De este modo, la conjunción es falsa.

Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:

$A=\text{"Los gatos son felinos."}$

$B=\text{"Todas las blorg son rojas."}$

$C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}$

$D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}$

$E=\text{"La luna es azul."}$

Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como «felinos», «blorg», «es mayor que», «cuadrado», «luna», etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que $A$ , $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La conjunción de $A$ con $B$ es

$A\land B = \text{"Los gatos son felinos y todas las blorg son rojas."}$

Como cada una de las proposiciones que conforman la conjunción es verdadera, entonces la conjunción lo es.

La conjunción de $B$ con $E$ es

$B\land E = \text{"Todas las blorg son rojas y la luna es azul".}$

Por muy cierto que sea que todas las blorg sean rojas, la conjunción no es verdadera pues $E$ es falsa.

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición $\neg(A\land B)$ , en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos:

$\begin{align*}\neg(A\land B) &= \text{"No es cierto que (los gatos son felinos y todas}\\ &\text{las blorg son rojas)."}\end{align*}$

También tiene sentido pensar en la proposición $(\neg C) \land E$ . O bien en la proposición $A\land( (\neg C) \land E)$ . Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.

Tabla de verdad de conjunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\land Q$ que es verdadera únicamente cuando tanto $P$ como $Q$ son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$	$Q$	$P\land Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas $P\land Q$ como $Q\land P$ y llenándolas por separado.

$P$	$Q$	$P\land Q$	$Q \land P$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$1$

Observa que las columnas correspondientes a $P\land Q$ y $Q\land P$ son iguales, de modo que podemos concluir que $P\land Q=Q\land P$ . Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son iguales $(P\land Q) \land R$ y $P\land(Q \land R)$ ? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.

Disyunciones

Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un «o» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones

$P=\text{"El número $10$ es impar."}$

$Q=\text{"El número $7$ es un número primo."}$

entonces la conjunción de ambas es

$P\lor Q=\text{"El número $10$ es impar o el número $7$ es primo."}$

Para que esta nueva proposición sea verdadera, es suficiente con que una de las proposiciones que la conforman lo sea. En este caso en específico, esto sí ocurre. La proposición $Q$ es verdadera, de modo que aunque la proposición $P$ sea falsa, la disyunción resulta ser verdadera.

Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.

$A=\text{"Los gatos son felinos."}$

$B=\text{"Todas las blorg son rojas."}$

$C=\text{"El número $3$ es mayor que el número $1$."}$

$D=\text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$."}$

$E=\text{"La luna es azul."}$

Recuerda que estamos dando por hecho que $A$ , $B$ y $C$ son proposiciones verdaderas y que $D$ y $E$ son falsas.

La disyunción de $A$ con $B$ es

$A\lor B = \text{"Los gatos son felinos o todas las blorg son rojas."}$

Como $A$ es verdadera, esto basta para decir que $A\lor B$ es verdadera. Como $B$ también es verdadera, también esto bastaba para decir que $A\lor B$ es verdadera. No hay ningún problema con que tanto $A$ como $B$ sean verdaderas.

La conjunción de $D$ con $E$ es

$C\lor E = \text{"Un cuadrado tiene ángulos de $60^\circ$ o la luna es azul".}$

Aquí tanto $D$ como $E$ son falsas, de modo que la disyunción también lo es.

Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que

$(D\land C) \lor A$ es verdadera
$D\land (C \lor A)$ es falsa

Tabla de verdad de disyunciones

Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones $P$ y $Q$ como la proposición $P\lor Q$ que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones $P$ y $Q$ lo es. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:

$P$	$Q$	$P\lor Q$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas $P\lor Q$ como $Q\lor P$ .

En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres proposiciones $P$ , $Q$ y $R$ y estudiamos qué sucede con $(P\land Q) \lor R$ y con $P \land (Q \lor R)$ . Como hay $2$ posibilidades para cada uno de $P$ , $Q$ , $R$ , debemos tener $2\cdot 2 \cdot 2 = 8$ filas.

Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de $P\land Q$ y $Q\lor R$ .

$P$	$Q$	$R$	$P\land Q$	$Q \lor R$	$(P\land Q) \lor R$	$P \land (Q \lor R)$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las proposiciones que las conforman.

$P$	$Q$	$R$	$P\land Q$	$Q \lor R$	$(P\land Q) \lor R$	$P \land (Q \lor R)$
$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$	$1$	$1$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$

Observa que las columnas correspondientes a $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que $(P\land Q) \lor R$ y $P \land (Q \lor R)$ no son iguales, así que el orden de las operaciones suele ser importante.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Escribe en texto y usando paréntesis la proposición $(A\land B) \lor (\neg D)$ , usando $A$ , $B$ y $D$ como las proposiciones ejemplo que dimos.
Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $P\lor Q = Q \lor P$ .
Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad $(P\lor Q) \lor R = P \lor (Q \lor R)$ .
Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $\neg(P \land Q)$ y $(\neg P) \land (\neg Q)$ no son iguales. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones $(P\land Q) \land (R \land S)$ y $(((P\land Q) \land R) \land S)$ son iguales. Va a ser una tabla grande, de $16$ renglones.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como $A\land B=B\land A$ . En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.

Entradas relacionadas

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Álgebra Superior I: Tipos de enunciados matemáticos

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Introducción

En esta entrada platicamos de varios tipos de enunciados con los que te vas a encontrar frecuentemente en trayectoria matemática a nivel universitario. Para entender correctamente las definiciones siguientes, es muy importante que ya estés familiarizado con el concepto de proposición matemática que tratamos con anterioridad.

Axiomas

En las matemáticas, los axiomas son enunciados que tomamos como verdaderos. No son proposiciones, en el sentido de que su veracidad está definida por convención. Son el punto de partida que establece las reglas del juego de cierta área de las matemáticas.

Cuando estés en cálculo, se verán los axiomas que deben satisfacer los números reales. Cuando estés en álgebra lineal, ser verán los axiomas de espacio vectorial. En geometría moderna se verán los axiomas de Euclides. En este curso hablaremos un poco de axiomas para la teoría de conjuntos y para los números naturales.

Algunos ejemplos son los siguientes (no es necesario que entiendas exactamente qué dicen):

Para cada dos puntos, hay una línea que pasa por ellos.
Cada número natural tiene un único sucesor.
Para cualquier elemento $a$ en $G$ , existe un elemento $b$ en $G$ tal que $ab=G$ .
Para cualquier colección $A_1,\ldots,A_n$ de abiertos, se tiene que
$A_1 \cap A_2 \cap \ldots A_n$
también es abierto.

Los axiomas no requieren ser justificados o demostrados. Simplemente acordamos su validez.

Definiciones

Las definiciones no son proposiciones matemáticas y no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas. Simplemente son enunciados que le ponen un nombre a un objeto matemático con ciertas propiedades para poder referirnos a él de manera sencilla más adelante. En ocasiones, estas definiciones hacen referencia a cómo se expresa el concepto matemático en símbolos y frecuentemente para ello se usa la palabra «denotar».

Hay varias formas en las que se pueden escribir definiciones matemáticas. Las siguientes son algunas (no es necesario que las entiendas completamente).

Un número entero es perfecto si la suma de sus divisores propios es igual a sí mismo.
Un cuadrilátero es un cuadrado si las longitudes de sus cuatro lados son iguales y los cuatro ángulos en sus vértices son rectos.
Para dos conjuntos $A$ y $B$ definimos a su unión como el conjunto que consiste de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos. Lo denotamos por $A\cup B$ .
Un grupo es un conjunto con una operación binaria asociativa, con neutro y con inversos.
Una operación binaria es asociativa si $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Las definiciones son muy útiles pues ayudan a acortar el lenguaje e ir construyendo ideas más complejas e interesantes. Toma en cuenta lo siguiente con respecto a las definiciones.

Cuando se tienen enunciados del estilo «tomemos $C$ un cuadrado», o «sea $G$ un grupo», o incluso «consideremos $A\cup B$ «, de manera instantánea ya se pueden tomar como verdaderas todas las propiedades dadas por la definición. Así, de manera inmediata es verdadero que los lados de $C$ miden lo mismo y que $A\cup B$ tiene tanto a los elementos de $A$ como a los de $B$ . También es verdadero que $G$ tiene una operación asociativa. Y por la definición de «asociativa», de manera inmediata es verdadero que $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ . Observa cómo se van haciendo deducciones sucesivas de hechos verdaderos.
Cuando se requiera verificar si un objeto satisface una definición, entonces hay que verificar que sean ciertas todas las propiedades enunciadas en la definición. Así, no basta ver que $C$ tiene lados iguales para ver que es un cuadrado. También hay que ver que sus ángulos son todos ellos rectos.

Proposiciones

Las proposiciones son simplemente proposiciones matemáticas en el sentido de la entrada anterior. Son enunciados matemáticos que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Usualmente, cuando se encuentran en un curso o en un texto, es porque ya se verificó su veracidad. En estos contextos, tras enunciar una proposición se suele dar una demostración, que es un concepto del que hablaremos a profundidad más adelante.

Una vez que tenemos axiomas y definiciones, es posible empezar a relacionar distintos conceptos mediante proposiciones. A continuación se tienen algunos ejemplos:

Si un cuadrilátero tiene todos sus ángulos rectos y tiene dos lados consecutivos iguales, entonces es un cuadrado.
La suma de dos números pares siempre da un número par.
Existe una función continua que no es diferenciable.
Siempre se cumple que $(A\cup B)^c = A^c \cap B^c$ .
La suma de dos números que sean múltiplos de $3$ nunca es un múltiplo de $3$ .
Todas las funciones diferenciables son continuas.

Todas las proposiciones arriba enunciadas son verdaderas, excepto una de ellas. Observa que usan palabras como «y», «si… entonces…», «todas», etc. Varias de estas palabras tienen un significado matemático muy preciso que discutiremos más adelante. Después veremos cómo determinar la veracidad de algunas de estas proposiciones y qué tipo de argumentos hay que dar para demostrarlas.

Lemas

Un lema es prácticamente una proposición. Los lemas tienen este nombre más bien con un fin práctico. Lo que se está avisando es que hay que poner atención a esa proposición, pues probablemente sea utilizada como resultado auxiliar una o varias veces más adelante.

Como los lemas son proposiciones matemáticas, entonces pueden ser verdaderos o falsos. Por esta razón, para poder afirmar que un lema es verdadero, es necesario dar una demostración en donde se justifique o se deduzca desde elementos más básicos (como definiciones, axiomas o proposiciones) la validez del mismo.

Teoremas

Los teoremas también son básicamente proposiciones. Su nombre también cumple un fin práctico. Cuando se le pone el nombre de «teorema» a una proposición, es para dar a entender que es una proposición muy importante dentro de la teoría. Usualmente para llegar a un teorema se necesitan probar varios resultados auxiliares.

Hay algunos teoremas que se vuelven tan relevantes que adquieren nombre propio. Algunos ejemplos de teoremas son los siguientes (son ejemplos nada más, tampoco es fundamental que entiendas exactamente qué están diciendo):

Un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo de catetos con longitudes $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ se cumple que $a^2+b^2=c^2$ .
Teorema de Hall: Si una familia de al menos $n+1$ convexos en $\mathbb{R}^n$ se intersecta de $n+1$ en $n+1$ elementos, entonces toda la familia se intersecta.
Teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio no constante con coeficientes en $\mathbb{C}$ tiene por lo menos una raíz en $\mathbb{C}$ .

Los investigadores en matemáticas y áreas afines se dedican a encontrar este tipo de resultados relevantes. Una frase conocida de Alfréd Rényi es: «Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas».

Corolarios

Un corolario, de nuevo, es prácticamente una proposición. Sin embargo, en el desarrollo de la teoría matemática los corolarios usualmente son resultados que se siguen fácilmente de resultados previos, sobre todo de teoremas. A continuación, algunos ejemplos.

Un corolario del teorema de Pitágoras es «La hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos».
Un corolario de teorema fundamental del álgebra es «Un polinomio no constante de grado $n$ tiene exactamente $n$ raíces complejas contando multiplicidades».
Un corolario del teorema de Hall es que si en una mesa hay manchas circulares del mismo radio, y cualesquiera tres de ellas se pueden cubrir con un plato, entonces todas las manchas se pueden cubrir usando sólo un plato.

Puedes pensar en los corolarios como la «cereza del pastel».

Conjeturas

Las conjeturas también son proposiciones matemáticas: son enunciados que se puede determinar si son verdaderos o falsos. Sin embargo, a diferencia de los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (que se sabe que son verdaderos), lo que ocurre con las conjeturas es que todavía no hay nadie que haya determinado si son verdaderas o falsas.

Las conjeturas juegan un papel importante en la teoría de muchas áreas de las matemáticas, pues son resultados que se espera que sean verdaderos, pero para los cuales aún es necesario el desarrollo de nuevas técnicas en la investigación matemática.

Recapitulación

En resumen, los lemas, proposiciones, teoremas y corolarios son todos ellos proposiciones matemáticas. Pueden ser verdaderas o falsas. Los que encuentres en textos y cursos prácticamente serán verdaderos. Para asegurar que son verdaderos, requieren de una demostración, es decir, de una serie de argumentos y deducciones. Usualmente te los encontrarás en el siguiente «esquema»:

Lema -> Proposición -> Teorema -> Corolario

Los axiomas y definiciones no son proposiciones. Los axiomas son enunciados matemáticos que damos por hecho. Las definiciones nos ayudan a referirnos a objetos matemáticos con ciertas propiedades de manera más sencilla.

Las conjeturas son proposiciones matemáticas que todavía nadie sabe si son verdaderas o no. Los investigadores en matemáticas desarrollan nuevas técnicas para resolver estos problemas.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Busca en internet por lo menos otros tres teoremas.
Investiga por lo menos otras tres conjeturas que todavía no hayan sido resueltas.
Encuentra en internet una noticia de alguna conjetura matemática que haya sido resuelta recientemente.

Más adelante…

Ya platicamos del tipo de enunciados que existen en las matemáticas y dimos algunos ejemplos. En el transcurso del curso veremos muchos ejemplos más. Después de este paréntesis, es importante que retomemos la teoría de lógica para poder hablar de algo fundamental al momento de determinar la veracidad de proposiciones matemáticas: las demostraciones. Antes de llegar ahí, es importante hablar de conectores lógicos, de cuantificadores y de condicionales.

Entradas relacionadas

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Álgebra Superior I: Introducción al curso y proposiciones matemáticas

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Introducción

En este curso se desarrollarán varias de las habilidades matemáticas fundamentales a nivel superior. Trabajaremos en lo siguiente:

Conocer a detalle las reglas lógicas que usamos en matemáticas y cómo nos permiten demostrar resultados a partir de pequeños bloques.
Definir manera formal que son los conjuntos, las relaciones y las funciones y aprender a justificar mediante argumentos formales las propiedades que tienen.
Construir el conjunto de los números naturales y aprovecharlo para poner en práctica todo lo aprendido anteriormente.
Desarrollar habilidades fuertes para responder preguntas del estilo «¿De cuántas formas puede ocurrir…?» «¿Cuántos objetos matemáticos hay tales que…?»
Introducir los conceptos de espacio vectorial, vectores y matrices y ver cómo nos ayuda para entender a los sistemas de ecuaciones lineales.

La primer parte del curso es fundamental, pues en todas las demás asignaturas de matemáticas a nivel superior se usan argumentos formales una y otra vez. En esta primera parte comenzarás a entender qué es el «pensamiento matemático» y conocerás la estructura lema-proposición-teorema-corolario que es muy usada a través de diferentes áreas.

Falso y verdadero

Nuestra experiencia con la vida cotidiana nos da una intuición de qué significa que algo sea verdadero o falso. Entendemos por verdadero algo que es verificable o que coincide con la realidad, por ejemplo: «Marte es un planeta».

Algo falso es lo contrario: una cosa que es posible verificar que no es cierta, o que no coincide con lo que experimentamos. Un ejemplo sería «El sol es de color azul».

En el mundo real, a veces estos conceptos de veracidad pueden tener muchos matices. En el caso del pensamiento matemático esto no es así. Lo que se hace en matemáticas es acordar (o dar por hecho) que ciertos enunciados son verdaderos y, a partir de ellos ver cuáles muchos otros enunciados verdaderos y enunciados falsos se pueden obtener como conclusión.

De esta forma, entenderemos a verdadero y falso como propiedades que puede tener un enunciado. Daremos reglas que nos permiten combinar enunciados de diferentes formas para obtener un «enunciado compuesto» y deducir su veracidad. A la larga, lo que nos interesa es poder deducir que una afirmación es verdadera a partir de la veracidad de afirmaciones más chicas y simples. Es como armar un castillo con pequeños bloques.

Proposiciones

Entenderemos por una proposición a un enunciado que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas a la vez. Algunos ejemplos de proposiciones de la vida real serían las siguientes:

«La tierra gira alrededor del sol»
«Los tacos más ricos son los del señor de los tacos de canasta»
«Un kilómetro es igual a 100 metros»
«La receta sale mejor si se le pone el doble de leche»

Observa que para que algo sea una proposición no es necesario que sea verdadero. Sólo basta con que se pueda decir si es verdadero o no. Así, «Un kilómetro es igual a 100 metros» es una proposición porque se puede decidir si es falsa o verdadera. Y es falsa. También observa que algunas proposiciones necesitan más contexto para poder decir si son verdaderas o falsas. Coinsidera la oración «La receta sale mejor si se le pone el doble de leche». Por supuesto, tendríamos que saber de qué receta hablamos o qué quiere decir que «salga mejor», para poder decidir si es verdadera o falsa.

Sin embargo, los siguientes enunciados no son proposiciones.

¡Feliz cumpleaños!
Este enunciado es falso
¿Es cierto que $7$ es un número primo?

El primero no está afirmando la veracidad de nada, sólo expresa un sentimiento. El problema con el segundo enunciado es que si es verdadero, entonces es falso y viceversa. El tercero parecería sí ser algo que podemos decir si es verdadero o falso. Pero ten mucho cuidado. Compara los siguientes dos:

¿Es cierto que $7$ es un número primo?
El número $7$ es primo.

El primer enunciado es una pregunta y no está afirmando nada, sólo está preguntando. El segundo sí está afirmando algo y podemos decir si es verdadero o falso. ¿Cómo le hacemos para saber si es verdadero o falso? En la vida cotidiana puede ser muy fácil de responder a partir de la experiencia. Pero en el contexto matemático será fundamental primero definir qué quiere decir «primo» e incluso definir qué quiere decir «7» para que podamos responder la pregunta.

El enunciado «El número $7$ es primo» es un ejemplo de una proposición matemática, es decir, una proposición en la que se habla de objetos matemáticos y sus relaciones entre sí. Es posible que simplemente les llamemos «proposiciones», pues será claro que estaremos en el contexto matemáticos. Otros ejemplos de proposiciones matemáticas son las siguientes:

El valor de la integral $\int_0 ^1 x^2\, dx$ es $\frac{1}{5}$ .
Existen $10$ formas de elegir dos vocales distintas sin que se repitan y sin que nos importe el orden de elección.
Si $x>0$ , entonces $x+1\geq 2\sqrt{x}$ .

¿Puedes decir cuáles de estas proposiciones matemáticas son falsas y cuáles son verdaderas?

Proposiciones matemáticas en símbolos

En cursos de álgebra en la educación media superior nos enseñan la utilidad de introducir variables para referirnos a las cosas. Cuando ponemos $x^2+x+1$ estamos pensando en que $x$ es un número que podría tomar cualquier valor del sistema que estemos usando (por ejemplo, los números reales). Los símbolos matemáticos son muy útiles pues nos ayudan a cubrir muchos casos de manera simultánea y a escribir de manera abreviada nuestros resultados.

Aplicaremos todas estas ideas para estudiar a las proposiciones matemáticas. A una proposición arbitraria le pondremos un nombre de letra, por ejemplo $P$ , $Q$ , $R$ , $p$ , $q$ , $r$ , etc. Así, podemos hacer cosas como decir lo siguiente:

$P$ =»Todos los múltiplos de cuatro son números pares»
Para cualquier proposición $P$ , tenemos que con $P$ se puede deducir $P$ .

Observa que en el primer caso se está tomando un valor de $P$ específico, pero en el segundo estamos aprovechando la letra para hablar de algo así como «todas» las proposiciones de una manera práctica.

Proposiciones matemáticas en tablas de verdad

Una proposición tiene únicamente dos opciones: ser verdadera o ser falsa. Ahora estamos trabajando únicamente con una proposición, pero en general nos conviene tener una tabla en donde reflejemos todas las posibilidades que tenemos para las proposiciones que nos dan. Esto lo haremos mediante una tabla de verdad.

En una tabla de verdad tenemos dos tipos de columnas. Las que están a la izquierda, en donde consideramos todas las posibilidades para nuestras proposiciones y las que están a la derecha, en donde escribimos proposiciones compuestas que queremos saber si son falsas o verdaderas de acuerdo a cómo fueron las proposiciones iniciales. Para simplificar la presentación, en las tablas de verdad se usa $0$ como falso y $1$ como verdadero.

El siguiente es un ejemplo muy sencillo. Para una proposición $P$ arbitraria tenemos dos opciones que sea falsa ( $0$ ) o que sea verdadera ( $1$ ). Esto lo ponemos en la primer columna, que está en gris. A la derecha ponemos $P$ hasta arriba.

$P$	$P$
$0$
$1$

Para llenar la tabla nos preguntamos, ¿qué podemos decir de $P$ conociendo la información que tenemos de $P$ ? Por supuesto, la pregunta es muy simple: cuando $P$ es falso, $P$ es falso. Cuando $P$ es verdadero, $P$ es verdadero. Así, la forma de llenar la tabla de verdad sería la siguiente:

$P$	$P$
$0$	$0$
$1$	$1$

Este fue un ejemplo muy sencillo. Lo que nos gustaría hacer en esta primera parte del curso es aprender a combinar más de una proposición para obtener proposiciones matemáticas más interesantes. Dentro de algunas entradas habrás conocido símbolos suficientes y adquirido habilidades para llenar tablas de verdad como la siguiente:

$P$	$Q$	$\neg P$	$\neg Q$	$\neq P \land Q$	$(\neg P \land Q \Rightarrow \neg Q)$
$0$	$0$
$0$	$1$
$1$	$0$
$1$	$1$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Piensa en $5$ enunciados que sean proposiciones. Intenta ser variado con tus ejemplos.
Piensa en $5$ enunciados que no sean proposiciones.
Escribe $5$ proposiciones matemáticas.
Piensa en $5$ enunciados que son proposiciones, pero que es muy muy difícil decir si son ciertos o no. Por ejemplo «En el mundo hay una persona con 12548 cabellos».
Escribe $5$ proposiciones matemáticas que te parezcan «obvias» o muy directas. Por ejemplo, «La suma $2+2$ es igual a $4$ «. Identifica en ellas los términos que aparecen y pregúntate si realmente sabes cómo está definido ese término. Por ejemplo, ¿qué es $2$ ? ¿qué es $4$ ? ¿qué es el símbolo $+$ ?

Más adelante…

En la siguiente entrada platicaremos de los tipos de enunciados matemáticos que existen, y con los cuales te encontrarás muy frecuentemente en el transcurso de tu formación matemática. Hablaremos de axiomas, definiciones, lemas, proposiciones, teoremas, corolarios y otros. Platicaremos acerca de ellos de manera un poco informal y veremos en dónde entran en los conceptos que estamos platicando.

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Año Nuevo 2020

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Se nos acaba el año, y con él los años 10’s. Cada década ha traído muchas cosas buenas y malas.

Las cosas malas están en los medios y ya las tenemos presentes. Tenemos que seguir trabajando para que cada vez sean menos. Me enorgullece mucho la fuente lucha que están haciendo mis amigos y conocidos contemporáneos en causas importantes como el feminismo, la ecología, la normalización/atención a problemas psicológicos/psiquiátricos y el desarrollo científico/tecnológico.

Las cosas buenas también han sido bastantes, y qué mejor momento para recordarlas y agradecerlas, que cuando cambia el dígito de las decenas del año actual.

De los 80’s no recuerdo prácticamente nada, pero agradezco enormemente los cuidados de mis padres en mi primer año de vida.

De los 90’s agradezco y recuerdo mi infancia, los videojuegos, la educación primaria y las experiencias de vivir en cuatro estados.

De los 00’s agradezco y recuerdo el boom de internet, el campamento de mate en Stanford, mi primer amor y encontrar a través de la Olimpiada mi rumbo profesional.

De los 10’s agradezco y recuerdo mi vida independiente, mi maduración profesional, mi vida como extranjero y superar con éxito una delicada situación de salud.

Los 20’s me dan una enorme curiosidad, una pizca de miedo, pero sobre todo un gran entusiasmo.

Espero que pasen este último día de diciembre en grata compañía de sus seres queridos. Si tienen chance, entre sidra, calzones rojos y campanadas, los invito a acordarse y agradecer un ratito lo que les ha pasado en cada década.

¡Feliz año nuevo!
¡Felices años 20’s!

Un problema de probabilidad y escuchar música

3 respuestas

El problema

Les comparto un problema que se me ocurrió en las (muchas) horas que he pasado en el carro escuchando música, cuando vivía en la Ciudad de México. El estéreo del carro ordena las canciones alfabéticamente. Tiene un botón que permite «avanzar una canción». Pero a veces tarda mucho: si estoy escuchando «Adele – Hello», hay que apretar el botón muchas veces para llegar a «Shakira – Dónde están los ladrones».

En esas épocas descubrí una estrategia «intuitiva» para llegar más rápido a la canción. La idea es la siguiente: pasar temporalmente al modo de «canción aleatoria», apretar el botón unas cuantas veces para acercarme a la canción que quiero (en el ejemplo anterior, digamos que después de dos o tres veces el botón me lleva a «Paquita la del Barrio – Rata de dos Patas»), y de ahí quitar el aleatorio y avanzar normal. Eso, intuitivamente, siempre me ahorró muchos pasos. El problema consiste en encontrar la estrategia óptima, en donde se permiten mezclar pasos normales y aleatorios.

Para eso, voy a plantear un problema muy concreto. De aquí en adelante supondré que el lector sabe un poco de probabilidad. Pensemos que hay $2n$ canciones, numeradas de $1$ a $2n$ . Estoy en la canción $n$ y quiero llegar a la canción $2n$ . Pensemos que el estéreo tiene exactamente dos botones, el $A$ que avanza $1$ (y de $2n$ lleva a $1$ ), y el $B$ que lleva a una canción aleatoria (cualquiera de las canciones, incluida la actual, tiene probabilidad $1/2n$ de ser elegida). En cada paso se permite ver en qué canción estoy, y de ahí decidir apretar $A$ o $B$ . ¿Cuál es la estrategia que en valor esperado tiene menos pasos? ¿Cuál es ese valor esperado?

En la imagen de aquí abajo se muestra un ejemplo de una forma de apretar los botones para $n=5$ , con $2n=10$ canciones. Las flechas rojas corresponden a avanzar $1$ apretando el botón $A$ . Las flechas azules corresponden a ir a un lugar aleatorio apretando el botón $B$ . Se apretaron los botones en el orden $ABBAA$ , de modo que se hicieron $5$ pasos.

Ejemplo de estrategia ABBAA — Un ejemplo en el que se usa la estrategia ABBAA. La canción 1 es de ABBA. Es Dancing Queen. «Feel the beat form the tambourine… Oh yeah…».

Ese es el enunciado del problema. De aquí en adelante empiezo a hablar de ideas para resolverlo, así que si quieres intentarlo, este es el momento correcto.

Primeras ideas

Notemos que la estrategia «siempre $A$ , hasta llegar a $2n$ » toma exactamente $n$ pasos siempre. La estrategia «siempre $B$ » es para intentar atinarle, y en cada paso tiene probabilidad de éxito $1/2n$ . Entonces, en esta segunda estrategia la cantidad de pasos requeridos es una variable aleatoria con distribución geométrica de parámetro $p=1/2n$ , de modo que el número esperado de pasos es $1/p=2n$ .

Sin embargo, suena a que la estrategia esbozada al inicio de esta entrada es intuitivamente mejor: usar el $B$ para acercarse y luego el $A$ para llegar.

La solución

Vamos a mostrar que la mejor estrategia en valor esperado es la siguiente: «apretar el botón $B$ hasta llegar aproximadamente al intervalo $[n-2\sqrt{n}, n]$ , y de ahí apretar el botón $A$ » hasta llegar a $n$ .

El primer argumento es que en cada paso, lo que hace la estrategia sólo depende de en qué canción estamos. En efecto, el paso $A$ es determinista y el $B$ es una variable uniforme independiente de todo lo demás.

El segundo argumento es que, si en algún momento de la estrategia usamos el botón $A$ , entonces después de ello nunca nos conviene usar el botón $B$ . Lo probamos por contradicción: supongamos que por cualquier razón en la estrategia óptima tenemos que hacer un $AB$ . El paso $A$ es determinista, y sabíamos exactamente a qué canción nos iba a llevar (a la siguiente). Pero hacer el paso $B$ en cualquier lugar que estemos es simétrico, pues nos lleva a una canción aleatoria. Si a priori sabíamos que íbamos a hacer un paso $B$ , lo mejor es hacerlo lo antes posible. Así, la estrategia que substituye esos pasos $AB$ por $B$ se ahorra un paso, y no es óptima. Contradicción.

Ahora, afirmo lo siguiente. Si la estrategia óptima es apretar $A$ cuando estamos en la canción $j$ , entonces también va a ser apretar $A$ cuando estemos en cualquier canción $k$ con $j\leq k < 2n$ . Esto es debido al argumento anterior: al apretar $A$ llegamos a $j+1$ , que por el párrafo de arriba, no le puede tocar $B$ . Entonces le toca $A$ . De ahí llegamos a $j+2$ , que de nuevo no le puede tocar $B$ . Y así sucesivamente (inductivamente), hasta llegar a $2n-1$ .

Lo que acabamos de probar es que la estrategia óptima se ve de la siguiente manera para algún entero $k$ : «Apretar $B$ hasta que lleguemos a alguno de los últimos $k$ elementos. De ahí, apretar $A$ hasta llegar a $2n$ .» Nos falta determinar cuál es la mejor $k$ que podemos usar.

A estas alturas ya podemos calcular explícitamente el valor esperado de pasos en esta estrategia. El evento «llegar a alguno de los últimos $k$ elementos» tiene probabilidad $k/2n$ de ocurrir cada que se aprieta el botón $B$ , así que la cantidad de veces que hay que apretar $B$ para ello es una variable aleatoria geométrica de valor esperado $2n/k$ . Una vez que llegamos a los últimos $k$ elementos, caemos a cualquier elemento del intervalo $\{2n-k+1, 2n-k+2,\ldots,2n\}$ con la misma probabilidad, y respectivamente nos tomará $\{k-1, k-2,\ldots, 0\}$ pasos en llegar a $2n$ , es decir, la cantidad de pasos que hacemos es una variable aleatoria uniforme discreta de media $(k-1)/2$ .

Así, en total usamos $(2n/k) + (k-1)/2$ pasos para llegar. Queremos lograr que esta expresión sea lo más pequeña posible. Usando la desigualdad entre la media geométrica y la aritmética, notamos que

$\frac{2n}{k}+\frac{k-1}{2}=\frac{2n}{k}+\frac{k}{2}-\frac{1}{2} \geq 2\sqrt{n} - \frac{1}{2},$

y que la igualdad se da si y sólo si $\frac{2n}{k}=\frac{k}{2}$ , es decir, si y sólo si $k=2\sqrt{n}$ . En este caso, la cantidad media de pasos que usamos es $2\sqrt{n}-\frac{1}{2}$ .

Aquí arriba hicimos un poquito de trampa. En realidad $k=2\sqrt{n}$ tiene sentido para la estrategia sólo cuando $\sqrt{n}$ es un número entero. Sin embargo, por la convexidad de la función $\frac{2n}{k}+\frac{k}{2}$ tenemos la garantía de que o bien $\lfloor 2\sqrt{n} \rfloor$ o bien $\lceil 2\sqrt{n} \rceil$ dan el máximo.

Conclusión y otros problemas

Está cool que hayamos bajado la cantidad de pasos que se necesitan de valor esperado de algo que era $n$ a algo que es del tamaño $2\sqrt{n}$ . Para hacerse una idea de los pasos que se pueden ahorrar, toma una colección de $800$ canciones. Originalmente se necesitaban $400$ pasos $+1$ para ir de la mitad al final. Con la nueva estrategia se requieren como $40$ .

Hacer esta estrategia en la vida real es un poco complicado pues los estéreos no muestran el número exacto de la canción en la que se está, además de que es difícil memorizar a qué canción le toca qué número. Pero a veces sí muestran el nombre de la canción y más o menos «se le puede aproximar».

Hay un par de variantes interesantes. Una es ¿qué sucede si además de tener botón $+1$ y aleatorio, también tenemos botón $-1$ ?. En esta variante la solución no cambia mucho, pero es bueno intentarla para repasar las ideas de la prueba.

La otra variante es la siguiente. La estrategia óptima, como está descrita arriba, tiene un problema: es posible que nunca termine, o que tome muchísimos pasos en terminar (esto será muy improbable y por eso el valor medio se compensa). Así, imaginemos que queremos la restricción adicional de que la estrategia que usemos nunca use más de, digamos, 4n pasos. En esta variante: ¿cuál es la estrategia óptima? ¿cuántos pasos toma?

¿Ahora qué?

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