Introducción
En la entrada de introducción a este curso ya acordamos que una proposición matemática (o simplemente proposición) es un enunciado que puede ser verdadero o falso (pero no ambos), y que habla de objetos matemáticos.
Ahora hablaremos de algunas reglas que nos permiten comenzar con una o más proposiciones y combinarlas para obtener otras proposiciones. Hablaremos de la negación, de la conjunción y de la disyunción. De manera informal, la primera antepone un «no es cierto que» a cualquier proposición, y le cambia su veracidad. La segunda y tercera combinan dos proposiciones en una sola. De manera informal, ponen «y» y «o» entre las oraciones, respectivamente.
A estas reglas se les conoce como conectores o conectivos. Discutiremos cada uno de ellos de manera intuitiva y después definiremos qué quieren decir de manera formal.
Conectores lógicos
De tu experiencia previa, ya sabes que hay formas en las que podemos combinar, por ejemplo, a números enteros para obtener nuevos números. Si tomamos el número y el número
y les aplicamos la operación «suma», entonces debemos entreponer un signo
entre ellos para obtener la expresión
. Esta expresión es de nuevo un número entero: el
. Así como hacemos operaciones entre números, también podemos hacer operaciones entre proposiciones.
Un conector lógico (o simplemente conector) es una regla que permite tomar una o más proposiciones, «operarlas» y de ahí construir una nueva proposición «resultado». Como lo que más nos importa de las proposiciones es si son verdaderas o falsas, entonces lo más importante de cada conector que demos es decir cómo se determina la veracidad de la proposición que obtuvimos como resultado. En estas entradas hablaremos a detalle de los siguientes conectores:
- Negaciones: Usan el símbolo
. Toman una proposición
y la convierten en la proposición
cuyo valor de verdad es opuesto al de
.
- Conjunciones: Usan el símbolo
. Toman dos proposiciones
y
y las convierten en la proposición
, que para ser verdadera necesita que tanto
como
sean verdaderas.
- Disyunciones: Usan el símbolo
. Toman dos proposiciones
y
y las convierten en la proposición
, que para ser verdadera necesita que alguna de
o
lo sean (o ambas).
- Implicaciones: Usan el símbolo
. Toman dos proposiciones
y
y las convierten en la proposición
, que para ser verdadera se necesita o bien que
sea falsa (y
puede ser lo que sea), o bien que tanto
como
sean verdaderas.
- Dobles implicaciones: Usan el símbolo
. Toman dos proposiciones
y
y las convierten en la proposición
, que para ser verdadera necesita que
sea verdadera y que
sea verdadera.
Ahora profundizaremos en las primeras tres y las últimas dos las dejaremos para más adelante.
Negaciones
Lo que hacen las negaciones a nivel de texto es anteponer un «no es cierto que» a una proposición. Por ejemplo si comenzamos con la proposición


Hay que tener cuidado. El efecto que hacen las negaciones simplemente es anteponer «no es cierto que» a una proposición. Puede ser tentador intentar poner un «no» en alguna parte de la oración de manera arbitraria, pero esto puede llevar a problemas. Por ejemplo, la negación de la oración
Más adelante hablaremos con cuidado del conector «y» que usamos en el ejemplo anterior. Veremos cómo se pueden negar de manera correcta a las proposiciones que lo usan.
Tabla de verdad de negaciones
De manera formal, dada una proposición definimos a la negación de
, que denotamos por
como la proposición que tiene valor opuesto de verdad al de
. De esta forma, por definición, se tiene que
es la proposición con la siguiente tabla de verdad:
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Ya que al aplicar una negación obtenemos una nueva proposición, entonces ahora podemos volverle a aplicar negación a la nueva proposición obtenida. Así, si comenzamos con
Como la negación cambia el valor de verdadero a falso y viceversa, entonces y
tienen el mismo valor de verdad. Esto lo podemos verificar en la siguiente tabla de verdad, llenando primero la segunda columna y luego la tercera a partir de la segunda.
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Observa que las columnas de y de
tienen exactamente los mismos valores. Diremos entonces que
. Observa cómo se parece mucho a la igualdad
en los números reales. En la siguiente entrada hablaremos con más formalidad de cuándo podemos decir que dos proposiciones
y
son iguales.
Conjunciones
Lo que hacen las conjunciones a nivel de texto es anteponer un «y» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones


Veamos algunos ejemplos más. Tomemos las siguientes proposiciones:
Para determinar la veracidad de cada una de estas, tendríamos que ponernos de acuerdo en la definición de varios términos como «felinos», «blorg», «es mayor que», «cuadrado», «luna», etc. Pero por practicidad, daremos por hecho que ,
y
son proposiciones verdaderas y que
y
son falsas.
La conjunción de con
es
La conjunción de con
es

Una vez que formamos una conjunción, esta es ahora una nueva proposición. Por lo tanto, se vuelve candidata a aplicarle negaciones y conjunciones. De esta forma, tiene sentido pensar en la proposición , en donde los paréntesis implican que primero se hace esa operación. A nivel textual también usaremos los paréntesis para no confundirnos, de modo que escribiremos:
También tiene sentido pensar en la proposición . O bien en la proposición
. Puedes practicar pasar estas oraciones a texto con paréntesis.
Tabla de verdad de conjunciones
Para formalizar la discusión anterior, definimos a la conjunción de dos proposiciones y
como la proposición
que es verdadera únicamente cuando tanto
como
son verdaderas. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural. Para responderla, podemos hacer la tabla de verdad considerando tanto a las columnas como
y llenándolas por separado.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Observa que las columnas correspondientes a y
son iguales, de modo que podemos concluir que
. Hay otras preguntas muy naturales: ¿qué pasa si hacemos la conjunción de más de dos proposiciones? ¿son iguales
y
? ¿qué pasa si combinamos a la negación con la conjunción? Esto lo veremos más adelante.
Disyunciones
Lo que hacen las disyunciones a nivel de texto es anteponer un «o» entre dos proposiciones. Por ejemplo si comenzamos con las proposiciones


Retomemos las proposiciones de la sección anterior para ver más ejemplos.
Recuerda que estamos dando por hecho que ,
y
son proposiciones verdaderas y que
y
son falsas.
La disyunción de con
es






La conjunción de con
es


Las disyunciones también crean proposiciones nuevas, a las que se les pueden aplicar negaciones, conjunciones y disyunciones. El uso del paréntesis se vuelve crucial. Observa que usando las proposiciones ejemplo de arriba, tenemos que
es verdadera
es falsa
Tabla de verdad de disyunciones
Para formalizar la discusión anterior, definimos a la disyunción de dos proposiciones y
como la proposición
que es verdadera cuando por lo menos una de las proosiciones
y
lo es. Así, por definición, su tabla de verdad es la siguiente:
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
¿Importará el orden en el que hacemos la conjunción? Esta es una pregunta muy natural, y ya puedes responderla por tu cuenta. Intenta hacer esto haciendo una tabla de vedad que incluya tanto a las columnas como
.
En la sección anterior vimos la importancia de poner paréntesis en las expresiones. Esta importancia también podemos verificarla mediante la siguiente tabla de verdad, en donde consideramos tres proposiciones ,
y
y estudiamos qué sucede con
y con
. Como hay
posibilidades para cada uno de
,
,
, debemos tener
filas.
Llenamos primero las primeras dos columnas usando lo que sabemos de y
.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Y ahora sí podemos llenar las últimas dos porque ya sabemos cómo es el valor de verdad de cada una de las proposiciones que las conforman.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Observa que las columnas correspondientes a y
no son iguales, pues difieren en algunos renglones, por ejemplo, en el segundo renglón. De este modo, podemos concluir que hay ocasiones en las que
y
no son iguales, así que el orden de las operaciones suele ser importante.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
- Escribe en texto y usando paréntesis la proposición
, usando
,
y
como las proposiciones ejemplo que dimos.
- Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad
.
- Mediante una tabla de verdad, justifica la igualdad
.
- Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones
y
no son iguales. Es decir, debes de hacer todos los casos y ver que las columnas difieren en uno o más renglones.
- Haz una tabla de verdad para verificar que las proposiciones
y
son iguales. Va a ser una tabla grande, de
renglones.
Más adelante…
En esta entrada hablamos de la negación, la conjunción y la disyunción. Vimos cómo justificar algunas de sus propiedades mediante tablas de verdad, como . En la siguiente entrada usaremos esta técnica y otras más para probar otras propiedades interesantes de estos conectores.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Superior I
- Entrada anterior del curso: Tipos de enunciados matemáticos
- Siguiente entrada del curso: Propiedades de la negación, conjunción y disyunción