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Área de un conjunto plano

Definición: Área

La noción intuitiva de área de una región en el plano es el número
de unidades cuadradas contenidas en la región.

Al definir área aceptaremos que el área $A(S)$ de un conjunto
debe ser un número no negativo con las propiedades siguientes:

1.-Si S es un cuadrado de lado K entonces $A(S)=K^2$

2.-El área del todo es la suma de las áreas de sus partes.
Más precisamente si $S$ consiste de los conjuntos que no se
traslapan $S_{1}$,…,$S_{n}$ de áreas $A(S_{1})$,…,$A(S_{n})$
respectivamente, entonces el área de $S$ es $$A(S)=A(S_{1})+\ldots+A(S_{n}).$$

Los cuadrados congruentes proporcionan la manera más fácil de
cubrir el plano sin espacios vacíos o traslapes. Usaremos la rejilla asociada al sistema coordenado proporcionada por
las rectas $x=0,\pm1,\pm2,…$ e $y=0,\pm1,\pm2,…$ la cual
divide al plano en cuadrados de lado 1.

Denotamos $\displaystyle {A_0^{+}(S)}$ el número de cuadrados que
tienen puntos en común con $S$ y $\displaystyle {A_0^{-}(S)}$ el
número de aquellos que están completamente contenidos en $S$

Dividamos ahora cada cuadrado en 4 partes iguales de lado
$\displaystyle{\frac{1}{2}}$ y área $\displaystyle{\frac{1}{4}}$.
Sea $\displaystyle A_1^{+}(S)$ la cuarta parte del número de
aquellos subcuadrados que tienen puntos en común con $S$ y
$\displaystyle A_1^{-}(S)$ la cuarta parte de aquellos completamente
contenidos en $S$.

Se tiene que $\displaystyle{A_0^{-}(S)\leq\displaystyle A_1^{-}(S)}$ y de modo semejante
$\displaystyle{A_0^{+}(S)\geq A_1^{+}(S)}$, al continuar dividiendo cada cuadrado de lado $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ en 4 cuadrados de lado $\frac{1}{4}$. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntos en común con $S$ y un dieciseisavo de esos cuadrados que estan completamente contenidos en $S$, se denotaran por
$\displaystyle{A_2^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_2^{-}(S)}$. \Procediendo de esta forma se asocian los valores $\displaystyle{A_n^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ con una división en cuadrados de lado $2^{n}$. Es evidente que los valores $\displaystyle{ A_n^{+}(S)}$ forman una sucesión monótona decreciente y acotada que converge hacia un valor $\displaystyle{A^{+}(S)}$, mientras que los valores $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ crecen monótonamente y convergen hacia un valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$.
El valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$ representa el área interior, lo mejor que
puede aproximarse el área de $S$ desde abajo por medio de cuadrados
congruentes contenidos en $S$, el área exterior $\displaystyle{A^{+}(S)}$
representa la mejor cota superior obtenible cubriendo a $S$ por
medio de cuadrados congruentes. Podemos denotar $\displaystyle{ A_n^{-}=\sum_{ik}
2^{-2n}}$ con $R_{ik}\subset S$, $\displaystyle{A_n^{+}=\sum_{ik}2^{-2n}}$ con $R_{ik}\cap S\neq\emptyset$ a partir de la definición resulta $0\leq\displaystyle {A_n^{-}}\leq\displaystyle{A_n^{+}}$.\ Las sumas $\displaystyle {A_n^{-}}$ forman una sucesión no decreciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{+}}$ así, convergen hacia un limite $A^{-}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} A_n^{-}}$.
De manera semejante Las sumas $\displaystyle{A_n^{+}}$ forman una sucesión no
creciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{-}}$ así, convergen hacia un limite
$A^{+}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}} \displaystyle {A_n^{+}}$.
Si ambos valores concuerdan se dice que $S$ es mesurable según
Jordan y el valor común $\displaystyle{A^{-}(S)=A^{+}(S)}$ se llama contenido, o
medida de Jordan de $S$.

Más generalmente, cualquier rectángulo $S$ con lados paralelos a
los ejes coordenados, $S: a\leq x\leq b,~~~c\leq y\leq d$.

Dado un entero positivo n, se pueden encontrar enteros
$\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta$ tales que

$\alpha <a\cdot2^{n}\leq\alpha+1,~~~\gamma<c\cdot2^{n}\leq\gamma+1$

$\beta\leq b\cdot2^{n}<\beta+1~~~~\delta\leq d\cdot2^{n}<\delta+1$

por lo tanto
$\displaystyle{\frac{\alpha}{2^{n}}<a\leq\frac{ \alpha+1}{2^{n}}}$
$\displaystyle{\frac{\gamma}{2^{n}}<c\leq\frac{ \gamma+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}\leq b<\frac{\beta+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\delta}{2^{n}}\leq d<\frac{\delta+1}{2^{n}}}$

Usando una rejilla adecuada de longitud $2^{n}$ tenemos que

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq b-a+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq b-a-\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq d-c+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq d-c-\frac{2}{2^{n}}}$

Nota 16. Los números naturales.

Introducción

En esta nota iniciaremos el estudio de los números naturales, hasta ahora sabemos trabajar con conjuntos, podemos considerar su complemento, unirlos, intersecarlos, considerar subconjuntos de ellos, considerar particiones y relaciones de equivalencia, etc. Con estas herramientas vamos a dar una definición de los números naturales basada en el sucesor, esta definición implicará los llamados axiomas de Peano, en honor al matemático Giuseppe Peano quien en el siglo XIX, los estableció para definir los números naturales. Así nuestro primer objetivo es dar una definición conjuntista de los números naturales y ver que implica los axiomas de Peano. Puedes consultar el siguiente enlace para conocer más a profundidad la historia de cómo se formalizó la aritmética: Los axiomas de Peano.

Empecemos definiendo lo que es el sucesor de un conjunto $x.$

Definición

Sea $x$ un conjunto, el sucesor de $x$ es:

$x^+=x\cup\set{x}$

Observa que si definimos al cero como el conjunto vacío tenemos que:

$0=\emptyset$

Y entonces su sucesor $0^+$ es:

$0^+=\emptyset^+ =\emptyset\cup \set{ \emptyset}= \set{ \emptyset} =\set{ 0}$

Ese sucesor $0^+$ será el natural $1$, entonces:

$1^+=1\cup\set{1}=\set{0}\cup \set{1}=\set{0,1}=2$

que es el número 2, y así sucesivamente:

$2^+=2\cup \set{2}= \set{0,1}\cup \set{2}=\set{0,1,2}=3$

$3^+=3\cup \set{3}= \set{0,1,2}\cup \set{3}=\set{0,1,2,3}=4$

$\vdots$

$n^+=n\cup \set{n}= \set{0,\dotsc,n-1}\cup \set{n}=\set{0,\dotsc,n}=n+1$

Aceptaremos que esta construcción puede ser llevada a infinito, y lo postularemos como un axioma.

Axioma del infinito

Existe un conjunto que tiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Démosle ahora nombre a un tipo especial de conjuntos, aquellos que tienen al cero y todos sus sucesores.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto de sucesores si tiene como elemento al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Observemos que el Axioma del infinito asegura la existencia de al menos un conjunto de sucesores. Tiene sentido entonces considerar la intersección de todos los conjuntos de sucesores y veremos que la intersección también es un conjunto de sucesores.

Lema

Si $\set{A_i\mid i\in I}$ es una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I,$ entonces $\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}$ es un conjunto de sucesores.

Demostración

Sea $\set{A_i\mid i\in I}$ una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I$.

Como $A_i$ es un conjunto de sucesores $\forall i\in I$, etonces $0\in A_i\,\,\forall i\in I$, así $0\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Veamos ahora que $ \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ tiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

Sea $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ entonces $x\in A_i$ $\forall i\in I$. Como cada $A_i$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $x^+\in A_i$ $\forall i\in I$, así $x^+\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ y por lo tanto $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ es un conjunto de sucesores.

$\square$

Con esta definición de conjunto de sucesores y el lema anterior vamos a definir a los números naturales como la intersección de todos los $S$ que son conjunto de sucesores.

Definición

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$

Por el lema anterior, $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, así $0\in \mathbb N$ y si $x\in \mathbb N$ entonces $x^+\in \mathbb N$.

Proposición

Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Demostración

Sea $A\subseteq \mathbb N$ que cumple las condiciones $i$ y $ii$, entonces $A$ es un conjunto de sucesores por definición, y así $A$ es uno de los conjuntos que se intersecan para formar a $\mathbb N$. Por lo tanto:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S\subseteq A.$ Así, $\mathbb N\subseteq A$.

Y por hipotesis $A\subseteq \mathbb N$ , por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Veremos que la definición que dimos de los números naturales anteriormente implica los axiomas de Peano. Enunciemos dichos axiomas y notemos cómo se derivan de nuestra definición.

Axiomas de Peano

1. $0\in \mathbb N$.

2. Si $n\in \mathbb N$, entonces $n^+\in \mathbb N$.

3. $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

4. $\forall n,m\in \mathbb N$ si $n^+=m^+$ entonces $n=m$.

5. Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Vamos a proceder a su demostración en base a la definición de los naturales como:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$.

El quinto axioma de Peano se conoce como el Principio de inducción y se usa mucho para hacer pruebas referentes a afirmaciones de los números naturales.

Observa que en nuestro caso estas afirmaciones no se están tomando como axiomas pues hemos construido los números naturales a partir de conjuntos, así que verificaremos que con esta construcción los naturales cumplen las condiciones enunciadas.

Demostración

Observa que $1$ y $2$ se cumplen ya que por el lema $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, $5$ se cumple por la proposición antes demostrada.

Demostración de 3

Queremos demostrar que: $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

Sea $n\in \mathbb N$, por definición $n^+=n\cup\set{n}$, así $n\in n^+$ y entonces $n^+\neq \emptyset=0$.

Para probar $4$ requerimos un resultado.

Lema

Todo elemento de un número natural es también subconjunto de éste.

Demostración

Sea $A=\set{n\in \mathbb N\mid si\,\,x\in n \,\, entonces \,\, x\subseteq n}\subseteq \mathbb N$. Probaremos que $A$ cumple $i$ y $ii$ y usando el inciso 5 ya demostrado concluiremos que $A=\mathbb N.$

Como $0=\emptyset$, $0$ no tiene elementos, así $0\in A$ y se cumple $i$.

Ahora, sea $n\in A$. Por demostrar que $n^+\in A.$

Sea $x\in n^+=n\cup \set{n}$.

Caso $1$, $x\in n$

Como $n\in A$ y $x\in n$ entonces $x\subseteq n$, además $n\subseteq n\cup \set{n}= n^+$, entonces $x\subseteq n^+$.

Caso $2$, $x\in \set{n}$

En este caso $x=n$ y como $x=n\subseteq n\cup \set{n}=n^+$, así $x\subseteq n^+.$

En ambos casos se tiene que $x\in n^+$ implica que $x\subseteq n^+,$ así $n^+$ es un elemento de $A$. El conjunto $A$ cumple entonces las condiciones del quinto axioma de Peano que ya hemos demostrado, y por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Demostración de 4

Sea $n,m\in \mathbb N$ tales que $n^+=m^+$, entonces $n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$. Así $n\in n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$, lo que implica que $n\in m$ o $n=m$. Por otro lado $m\in m\cup \set{m}= n\cup \set{n}$, entonces $m\in n$ o $m=n$.

Supongamos por reducción al absurdo que $n\neq m$, entonces se concluye de lo anterior que $n\in m$ y $m\in n$. Por el lema previo $n\subseteq m$ y $m\subseteq n$, así $n=m$, lo cual es una contradicción y por lo tanto $n=m$.

Y con esto hemos verificado que la construcción que dimos de los números naturales cumple los axiomas de Peano.

$\square$

Para concluir esta nota mencionemos la definición y propiedades de la suma y el producto en estos números que acabamos de definir.

Definición. Suma en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n$

$n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $n+0=n$
  2. $(n+m)+l=n+(m+l)$
  3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.
  4. $n+m=m+n$.
  5. Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$

Definición. Producto en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n\cdot 1=n$

$n\cdot m^+=n \cdot m+n$ $\forall m\in\mathbb N$

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

  1. $n\cdot 1=n$
  2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$.
  3. $n\cdot m=m\cdot n$.
  4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$.
  5. Si $n\neq 0$ y $m\neq 0$, entonces $n\cdot m\neq 0$
  6. Si $l\neq 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$.

Tarea Moral

1. Describe a los números naturales $3$, $5$, $7$, como conjuntos, usando la definición conjuntista.

2. Determina si las siguientes afirmaciones se cumplen o no.

  • $3\subseteq 5$
  • $7\subseteq 5$
  • $3\in 5$
  • $7\in 3$

Más adelante

En la siguiente nota definiremos el orden en los números naturales y veremos distintos ejemplos donde aplicaremos el principio de inducción matemática para hacer demostraciones.

Enlaces relacionados

Nota anterior. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Nota siguiente. Nota 17. El orden en los números naturales.

Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Introducción

En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia generan particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, toda partición tiene asociada una única relación de equivalencia, con esto concluiremos esta primera unidad de conjuntos y funciones.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$

Por demostrar que:

$\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Vamos a mostrar que el conjunto $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ cumple la definición de partición.

i) Por demostrar que $\overline{x}\neq \emptyset$, $\forall x\in A$.

Sea $x\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \overline{x}$ y entonces $\overline{x}\neq \emptyset$.

ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\overline{x}\neq \overline{y} $, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

En la nota anterior mostramos que: $x\sim y\Longrightarrow \overline{x}=\overline{y}$, que es equivalente a: $\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $ (llamada la contrapositiva de la implicación ). También mostramos que $x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$, así tenemos que:

$ \overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $

y

$x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$

Por lo tanto se sigue que:

$\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

Así tenemos lo que queríamos mostrar pues si $\overline{x}\neq \overline{y}$, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

iii) Por demostrar que $\bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}=A$

Prueba por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$, entonces $z\in \overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$, y por lo tanto $ \bigcup\limits_{x\in A}\subseteq A$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $z\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \overline{z}$, concluimos que $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$.

Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,5), (5,1) (2,5), (5,2) , (3,4),(4,3)}$

$\overline{1}=\set{1,2,5}$

$\overline{3}=\set{3,4}$

$\set{ \overline{1}, \overline{3}}=\set{ \set{1,2,5}, \set{3,4}} $

2. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal R$ es:

$ \set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $

¿Quién es $\mathcal R$?

$\mathcal R=\set{ (3,3), (2,2), (2,4), (4,4), (4,2), (1,1), (1,5), (5,5), (5,1) }$

Es una relación de equivalencia que induce la partición $\set{ \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} }=\set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Afirmación: Existe una biyección entre $\mathcal R_A$ y $\mathcal P_A$

Demostración

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Definimos:

$\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ con

$\psi(r)=\set{\overline{x}^r\mid x\in A}\, \, \, \forall r\in \mathcal R_A$

donde $ \overline{x}^r =\set{y\in A\mid (y,x)\in r} $, es decir $\psi(r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.

Veamos que $\psi$ es inyectiva.

Sean $r,\rho\in \mathcal R_A$ tales que $\psi(r)=\psi(\rho)$.

Por demostrar que $r=\rho$.

La prueba se hará por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in \overline{a}^r$.

Por otro lado $ \overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }=\psi(r)$ que por hipótesis es igual $\psi(\rho)= \set{ \overline{x}^{\rho}\mid x\in A }$ , de manera que $ \overline{a}^r = \overline{c}^{\rho}$ para alguna $c\in A$, como $b\in \overline{a}^r$ entonces $b\in \overline{c}^{\rho}$, así $(b,c)\in \rho$, por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in \overline{a}^r= \overline{c}^{\rho}$ así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$ y así $r\subseteq \rho$.

$\supseteq$ Segunda contención. Es análoga y por lo tanto $r=\rho$ y así la función $\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ es inyectiva.

Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.

Sea $p=\set{A_i\mid i\in I}$ una partición de $A$.

Definimos $r$ una relación en $A$ como:

$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.

Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).

Por demostrar que $\psi(r)=p$, es decir que $\set{\overline{x}^r\mid x\in A}=p$

La prueba es por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $\overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }$.

Por demostrar que $\overline{a}^r\in p$.

Como $A= \bigcup\limits_{i\in I}A_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.

Pero

$\overline{a}^r=\set{b\in A\mid (b,a)\in r}=\set{b\in A\mid \exists i\in I \,\, tal \,\, que \,\, b,a\in A_i}=\set{b\in A\mid b\in A_j}=A_j\in p,$ y por lo tanto $\overline{a}^r\in p,$ y así $\psi(r)\subseteq p$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\neq \emptyset$, consideremos $a\in A_j$, como acabamos de ver en la primera contención , $A_j=\overline{a}^r\in \set{\overline{x}^r\mid x\in A}=\psi(r)$ y así $p\subseteq \psi(r)$.

Como se cumplen las dos contenciones $p=\psi(r)$. Y de esta forma dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $psi$ da por resultado $p$ y por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.

Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva $\psi$ es biyectiva.

$\square$

Tarea Moral

  1. Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
  2. Considera la relación $\mathcal R$ en $\mathbb Z$, dada por: $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb Z$.
  3. Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y considera la relación dada por:
    $R=\set{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)}$
    Encuentra la partición asociada.

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de álgebra superior I. En las siguiente nota pasaremos a la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.

Enlaces relacionados

Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.

Nota siguiente. Nota 16. Los números naturales.

Teoría de los Conjuntos I: Buenos órdenes

Introducción.

En esta sección trataremos con un tipo particular de conjuntos ordenados, en donde será de mucha importancia el concepto de mínimo.

Concepto

Definición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que $A$ es un conjunto bien ordenado si cada subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. En este caso al orden $\leq$ se le llama buen orden.

Ejemplo:

Consideremos el conjunto $A=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$ ordenado con la inclusión. Afirmamos que $(A,\subseteq)$ es un buen orden. En efecto: supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto no vacío. Tenemos distintas posibilidades para $B$ y son las siguientes: $B=\set{\emptyset}$ o bien $B=\set{\set{\emptyset}}$ o bien $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$.

Si $B=\set{\emptyset}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$. Si $B=\set{\set{\emptyset}}$, entonces $B$ tiene mínimo y es $\set{\emptyset}$. Finalmente, si $B=\set{\emptyset,\set{\emptyset}}$, entones $B$ tiene mínimo y es $\emptyset$, pues $\emptyset\subseteq\emptyset$ y $\emptyset\subseteq\set{\emptyset}$.

Así, en cualquier caso $B$ tiene mínimo. Por lo tanto, $(A,\subseteq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Ejemplo:

Supongamos que tenemos un conjunto bien ordenado $(A,\leq)$. A partir de este conjunto bien ordenado construiremos otro conjunto que también resultará ser bien ordenado.

Por el Axioma de Buena Fundación sabemos que $A\notin A$, por lo cual, $W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío distinto de $A$. Definamos la relación de orden $\preceq$ en $W$ como sigue: $A\preceq A$, $a\preceq A$ para todo $a\in A$ y $a_1\preceq a_2$ si y sólo si $a_1\leq a_2$ para cualesquiera $a_1,a_2\in A$.

Notemos que esta nueva relación de orden definida en $W$ coincide con la relación de orden de $A$ si nos restringimos únicamente a comparar elementos de $A$.

Afirmamos que $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado. Para mostrarlo supongamos que $B\subseteq W=A\cup\set{A}$ es un conjunto no vacío y veamos que tiene mínimo en el orden $\preceq$. Si $B=\set{A}$, entonces el mínimo de $B$ es $A$.

Podemos suponer ahora que $B\cap A\not=\emptyset$.

Como $B\cap A\subseteq A$ es un conjunto no vacío, entonces tiene un elemento mínimo en el orden $\leq$. Sea $b\in B\cap A$ el mínimo de este conjunto en el orden $\leq$ y veamos que $b\preceq x$ para cualquier $x\in B$. Supongamos entonces que $x\in B$ es cualquier elemento. Si $x\in B\cap A$, entonces $b\leq x$ y en consecuencia, $b\preceq x$. Si ahora $x\notin B\cap A$ se sigue que $x=A$ y, por definición de la relación $\preceq$, sabemos que $b\preceq A$, por lo que $b\preceq x$. De esta manera, $b=\min(B)$ en el orden $\preceq$.

Esto demuestra que cualquier subconjunto no vacío de $W$ tiene mínimo y, por tanto, $(W,\preceq)$ es un conjunto bien ordenado.

$\square$

Ahora, veamos una consecuencia directa de que un conjunto sea bien ordenado.

Proposición: Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

Demostración:

Como $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado, entonces, todo subconjunto no vacío de $A$ tiene elemento mínimo. Así, si tomamos dos elementos cualesquiera $a_1,a_2\in A$ se sigue que $\set{a_1,a_2}$ es un subconjunto no vacío de $A$, por lo que tiene elemento mínimo. En consecuencia, $a_1\leq a_2$ o $a_2\leq a_1$.

Esto demuestra que cualesquiera dos elementos de $A$ son $\leq-$comparables, por lo que $(A,\leq)$ es un conjunto totalmente ordenado.

$\square$

Veamos ahora algunos resultados relacionados con conjuntos acotados en un conjunto bien ordenado.

Proposición: Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado. Se cumple lo siguiente:
Si $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente, entonces, $B$ tiene supremo.

Demostración:

Sea $(A,\leq)$ un conjunto bien ordenado.
Supongamos que $B\subseteq A$ es un conjunto acotado superiormente. Sea $C=\set{a\in A:(\forall b\in B)(b\leq a)}$, el cual es un subconjunto no vacío de $A$, pues por hipótesis $B$ está acotado superiormente, es decir, existe $a\in C$.

Como $A$ está bien ordenado por $\leq$, entonces, existe el mínimo de $C$ en el orden $\leq$, es decir, existe $c\in A$ tal que $c=\min(C)$. Luego, como $c$ es el mínimo del conjunto de cotas superiores de $B$, concluimos que $c=\sup(B)$.

Esto demuestra que todo subconjunto de $A$ que esté acotado superiormente tiene supremo, lo cual concluye la prueba.

Por la proposición anterior y el hecho de que todo subconjunto no vacío de un conjunto bien ordenado tiene mínimo, podemos concluir lo siguiente:

Si $(A,\leq)$ es un conjunto bien ordenado y $B\subseteq A$ es no vacío y acotado superiormente (inferiormente), entonces, $B$ tiene una mínima cota superior (máxima cota inferior).

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a reforzar lo aprendido en esta sección:

  • Sean $(A, \leq_A)$ y $(B, \leq_B)$ conjuntos bien ordenados. Demuestra que el orden lexicográfico horizontal en $A\times B$ es un buen orden.
  • Demuestra que si $A$ admite un buen orden, entonces $\mathcal{P}(A)$ admite un orden lineal.
  • Sea $(A, \leq_A)$ un conjunto totalmente ordenado. Prueba que existe $L\subseteq A)$ tal que
    1) $\leq_A$ es un buen orden en $L$,
    2) para cualquier $x\in A$ existe $y\in L$ tal que $x\leq_A y$.

Más adelante

En la siguiente entrada hablaremos acerca de funciones que relacionan conjuntos ordenados, tales funciones poseerán la característica de ser biyectivas y llevaran el nombre de isomorfismos.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de buenos órdenes:

Álgebra Superior II: El principio del buen orden

Geometría Moderna II: Eje radical de 2 circunferencias

1.2 Eje radical de 2 circunferencias

Se considera el eje radical de 2 circunferencias como el lugar geométrico de un punto cuyas potencias con respecto a las dos circunferencias es igual.

Definición (Eje Radical)

El eje radical de \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias no concéntricas, es el lugar geométrico de los puntos $P$ tales que

$Pot(P_1,C_1)=Pot(P_2,C_2)$

Proposición:

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) es una línea perpendicular a $O_1O_2$ por $P$ un punto que tiene la misma potencia con respecto a estas circunferencias.

Demostración:

Para demostrar este hecho es necesario analizar 3 propiedades.

  1. Existe al menos un punto en el eje radical.
  2. Hallar todos los puntos del eje radical.
  3. No existen puntos más haya de los localizados.

Propiedad 1) Ya vimos en el capítulo de potencia como construir la potencia de un punto, pero también se puede construir un punto $P$ equipotente con respecto a 2 circunferencias.

Construcción:

Dadas \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) dos circunferencias no concéntricas.

Si trazamos \(C_3(O_3,r_3)\) una circunferencia que interseque a \(C_1(O_1,r_1)\) y \(C_2(O_2,r_2)\) en los pares de punto $A_1, B_1, y A_2, B_2$ respectivamente:

Dado lo anterior se obtiene $P$ un punto equipotente con respecto a las dos circunferencias:

$Pot(P,C_1)=PA_1$ $\times$ $PB_1=Pot(P,C_3)=PA_2$ $\times$ $PB_2=Pot(P,C_2)$

Por lo anterior es una realidad que existe al menos un punto en el eje radical. $\blacksquare$

Propiedad 2) Como $P$ esta en el eje radical, entonces por propiedad de la potencia de un punto:

$ (PO_1)^2 – r_1^2 = (PO_2)^2 – r_2^2$ $\hspace{1cm}$ (1)

Denotemos $M$ el pie de la perpendicular a $O_1O_2$ por $P$. Para demostrar que $M$ pertenece al eje radical, ósea $Pot(M,C_1)=Pot(M,C_2)$.

Tracemos los segmentos $O_1P$ y $O_2P$, entonces tenemos los triángulos $\triangle PMO_1$ y $\triangle PMO_2$ son rectángulos, por Pitágoras se sigue:

$(PO_1)^2=(MO_1)^2+PM^2$

y

$(PO_2)^2=(MO_2)^2+PM^2$

Al sustituir en «(1)» , obtenemos:

$(MO_1)^2+PM^2-r_1^2=(MO_2)^2+PM^2-r_2^2$

Se tiene la expresión de potencia:

$ (MO_1)^2-r_1^2=(MO_2)^2-r_2^2 $ $\hspace{1cm}$ (2)

A este eje radical lo llamaremos $l$.

Sea $X$ un punto en $l$ por mostrar que:

$Pot(X,C_1)=Pot(X,C_2)$

Trazamos $O_1X$ y $O_2X$.

Como los triángulos $\triangle XMO_1$ y $\triangle XMO_2$ son rectángulos, igual por Pitágoras:

$(XO_1)^2=(MO_1)^2+XM^2$

y

$(XO_2)^2=(MO_2)^2+XM^2$

Al sustituir en «(2)» , tendremos:

$(XO_1)^2+XM^2-r_1^2=(XO_2)^2+XM^2-r_2^2$

$\Rightarrow (XO_1)^2-r_1^2=(XO_2)^2 -r_2^2 $

$\therefore$ Todo punto $X$ en $l$ es un punto en el eje radical. $\blacksquare$

Propiedad 3) No existen más puntos de los ya localizados:

Supongamos un punto $N$ en la recta $O_1O_2$, $N\neq M$ y $Pot(N,C_1)=Pot(N,C_2)$, por lo cual:

$(NO_1)^2-r_1^2=(NO_2)^2-r_2^2$

$(NM+MO_1)^2-r_1^2= (NM+MO_2)^2-r_2^2 $

$(NM)^2+2NM \times MO_1+(MO_1)^2-r_1^2= (NM)^2+2NM \times MO_2+(MO_2)^2-r_2^2 $

$2NM \times MO_1+(MO_1)^2-r_1^2= 2NM \times MO_2+(MO_2)^2-r_2^2 $

Por «(2)» :

$2NM \times MO_1 = 2NM \times MO_2 $

$NM \times MO_1 = NM \times MO_2 $

$NM \times MO_1 – NM \times MO_2 =0 $

$NM(MO_1-MO_2)=0$

$MN(O_1M+MO_2)=0$

$MN \times O_1O_2=0$

$MN=0$, pues $O_1O_2 \neq 0$

$\Rightarrow N=M \bot (Contradicción)$

Por lo cual en la línea $O_1O_2$, $M$ es el único punto equipotente con respecto a $C_1(O_1,r_1)$ y $C_2(O_2,r_2)$.

Para finalizar supongamos que existe un punto $P’$ tal que «no» se encuentre en la línea «$l$» y además $Pot(P’,C_1)=Pot(P’,C_2)$.

Trazamos $l’$ la perpendicular a $O_1O_2$ por $P’$ y llamamos $M’$ al pie de esta perpendicular.

Al igual que el desarrollo del punto (2) de estas demostraciones, se tiene $M’$ es equipotente con respecto a $C_1$ y $C_2$.

Pero se demostró en $O_1O_2$, $M$ es el único punto equipotente a $C_1(O_1,r_1)$ y $C_2(O_2,r_2)$.

Entonces $M=M’$ entonces la línea $l’$ coincide con $l$ y $P’$ es punto de $l$.

$\therefore$ No existen puntos más haya de los localizados en la línea «$l$» y que sean equipotentes con respecto a $C_1$ y $C_2$. $\blacksquare$

Proposición:

Sean dos circunferencias no concéntricas. Si $P$ es un punto equipotente con respecto a las dos circunferencias y $M$ es el pie de la perpendicular a la línea de los centros por $P$, entonces $M$ es equipotente con respecto a las dos circunferencias.

Teorema:

Los ejes radicales de 3 circunferencias tomados por pares son concurrentes.

Demostración:

Consideremos 3 circunferencias $C_1,C_2$ y $C_3$, cuyos centros $O_1,O_2$ y $O_3$ no son colineales.

Sean $e_1,e_2$ y $e_3$ los ejes radicales de $C_1(O_1,r_1) $ con $C_2(O_2,r_2)$, $C_2(O_2,r_2)$ con $C_3(O_3,r_3)$ y $C_1(O_1,r_1) $ con $C_3(O_3,r_3)$ respectivamente.

Llamamos $P$ al punto de intersección de $e_1$ y $e_2$. Como $P$ está en $e_1 \Rightarrow Pot(P,C_1)=Pot(P,C_2)$ y dado que $P$ está en $e_2 \Rightarrow Pot(P,C_2)=Pot(P,C_3)$.

$\Rightarrow Pot(P,C_1)=Pot(P,C_3)$ y ahora $P$ está en $e_3$.

$\therefore$ Los 3 ejes radicales concurren en $P$. $\blacksquare$

«El punto de concurrencia de los 3 ejes radicales de las 3 circunferencias tomadas en pares, es llamado su centro radical.»

Construcción del eje radical

(El eje radical de dos circunferencias no concéntricas)

Dibujemos una circunferencia que corte a las circunferencias $C_1$ y $C_2$, en $A,A’$ y $B,B’$. Sea $P$ la intersección de $AA’$ y $BB’$, dibujamos la perpendicular a la línea de los centros de las circunferencias dadas. La perpendicular es el eje radical requerido.

Más adelante…

Se seguirá abordando el tema de potencia de un punto y el eje radical con respecto a las circunferencias ortogonales.

Al final de los temas de esta primera unidad se dejará unas series de ejercicios.

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