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Probabilidad I-Videos: Probabilidad geométrica

Introducción

La definición “clásica” se usó durante muchos años, pero luego de analizar algunos ejemplos especiales, estos llevaron a cierta modificación de la definición y a la construcción de un concepto de probabilidad para los casos en los que es concebible incluso un conjunto infinito de resultados. Este concepto es el de probabilidad geométrica.

Probabilidad geométrica

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

En un plano sea $\Omega$ cierta región y supongamos en ella hay otras dos regiones $A$ y $B$, todas con área finita y bien definida. Prueba que la definición de la probabilidad geométrica usando como medida el área, satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$. 

Más adelante…

Así como la probabilidad geométrica ayuda a extender la definición de probabilidad clásica para casos con un espacio muestral no finito, en la siguiente entrada de video veremos la interpretación frecuentista de la probabilidad que nos brinda una alternativa para cuando no necesariamente los posibles resultados son equiprobables.

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Variable Compleja I : El campo de los Números Complejos

Introducción

Para las ecuaciones como $x^2+2x+2 = 0$ y $x^3=6x+4$, durante el siglo XVI, se encontraron soluciones como $1+\sqrt{-1}$ y $\sqrt[3]{2+\sqrt{-2}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-2}}$ respectivamente, lo cual genero incertidumbre entre los matemáticos de la época, puesto que expresiones como $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ no tenían sentido. Conforme la teoría de los números complejos se desarrollo, para evitar expresiones como las anteriores, se opto por definir una nueva cantidad, la unidad imaginaria, denotada por el símbolo $i$, la cual es caracterizada por cumplir la propiedad $i^2 = -1$, es decir, es la raíz cuadrada de $-1$. Considerando esta notación las expresiones $\sqrt{-1}$ y $\sqrt{-2}$ ahora pueden reescribirse como $i$ y $\sqrt{2} i$, respectivamente.

El campo de los Números Complejos $\mathbb{C}$

Definición 1. (Número complejo.)
Un número complejo es un número de la forma $z = a+ib$ donde $a$ y $b$ son números reales e $i$ es la unidad imaginaria.

Al número real $a$ se le conoce como la parte real de $z$ y se denota como Re$(z)$, mientras que al número real $b$ se le conoce como la parte imaginaria de $z$ y se le denota como Im$(z)$. Además, si Re$(z) = 0$, entonces se dice que $z$ es un número imaginario puro.

Ejemplo.

  • Si $z = 9 – 6i$, entonces Re$(z) = 9$, mientras que Im$(z) = -6$.
  • Si $z = -8i$, entonces Re$(z) = 0$, mientras que Im$(z) = -8$. En este caso $z$ es un número imaginario puro.

Veamos ahora la justificación de ésta definición.

Definición 2. (El Campo de los Números Complejos.)
El campo de los números complejos, denotado por $\mathbb{C}$, en el $\mathbb{R}$ – espacio vectorial de 2 dimensiones $\mathbb{R}^2$ (el plano cartesiano), es el conjunto formado por pares ordenados de números reales $z:=(a, b)$, dotado con las operaciones binarias de suma y multiplicación definidas respectivamente como:

\begin{equation}
(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d).
\end{equation}

\begin{equation}
(a, b) \cdot (c, d) = (ac – bd, ad + bc).
\end{equation}

Considerando que $a, b, c$ y $d$ son números reales, se sabe que las parejas ordenadas $(a, b)$ y $(c, d)$ son iguales, es decir $(a, b) = (c, d)$, si y solo si $a=c$ y $b=d$, por lo que si $a \neq b$, entonces $(a, b) \neq (b, a)$, esto es, como parejas ordenadas $(a, b)$ y $(b, a)$ son diferentes, por lo que como números complejos también lo son.

Usando las propiedades de los números reales, es fácil verificar que la suma y el producto recién definidos satisfacen las siguientes propiedades:

Para todo $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$:

  1. Conmutatividad de la suma.

\begin{equation*}
z_1 + z_2 = z_2 + z_1.
\end{equation*}

  1. Asociatividad de la suma.

\begin{equation*}
z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3.
\end{equation*}

  1. Conmutatividad de la multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1.
\end{equation*}

  1. Asociatividad de la multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3.
\end{equation*}

  1. Distributividad de la multiplicación sobre la suma.

\begin{equation*}
z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(z_1 + z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot z_3 + z_2 \cdot z_3.
\end{equation*}

  1. Existencia de un elemento neutro para la suma, a decir el cero, dado por el par ordenado $(0,0)$, tal que para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(a, b) + (0, 0) = (a, b).
\end{equation*}

  1. Existencia de los inversos aditivos. Para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$, existe $-z = (-a, -b) \in \mathbb{C}$ tal que:

\begin{equation*}
z + (-z) = (0, 0).
\end{equation*}

  1. Existencia de un elemento neutro para el producto, a decir el uno, dado por el par ordenado $(1,0)$, tal que para todo $z = (a, b) \in \mathbb{C}$:

\begin{equation*}
(a, b) \cdot (1, 0) = (a, b).
\end{equation*}

Dado un número complejo $z = (a, b)$ distinto de cero, para encontrar su inverso multiplicativo, a decir $z^{-1} = (x, y)$, planteamos:

\begin{equation}
(a, b)\cdot(x, y) = (1, 0).
\end{equation}

de donde, usando la definición del producto de números complejos, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{equation}
ax – by = 1.
\end{equation}

\begin{equation}
bx + ay = 0.
\end{equation}

Procedemos a resolver dicho sistema, de (3) tenemos que:

\begin{equation*}
x = \frac{1+by}{a}.
\end{equation*}

mientras que de (4) tenemos que:

\begin{equation*}
x = -\frac{ay}{b}.
\end{equation*}

Igualando éstas dos últimas expresiones obtenemos que:

\begin{equation*}
-\frac{ay}{b} = \frac{1+by}{a} \quad \Longrightarrow \quad -a^2 y = b + b^2 y \quad \Longrightarrow \quad y(a^2 + b^2) = -b.
\end{equation*}

por lo que:

\begin{equation*}
y = \frac{-b}{a^2 + b^2}.
\end{equation*}

Por otra parte, sustituyendo este resultado tenemos que:
\begin{equation*}
x = -\frac{ay}{b} = \frac{-a\left(\frac{-b}{a^2 + b^2}\right)}{b} = \frac{ab}{b(a^2 + b^2)} = \frac{a}{a^2 + b^2}.
\end{equation*}

  1. Existencia de los inversos multiplicativos. Para todo $z=(a, b) \in \mathbb{C}$ distinto de cero, existe su inverso multiplicativo, a decir $z^{-1}$ el cual está dado por:

\begin{equation*}
z^{-1} = \left( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2} \right).
\end{equation*}

Considerando lo anterior, tenemos ya definido el campo de los números complejos.

Procedemos ahora a analizar un subconjunto importante de los números complejos, a decir los números de la forma $z = (a, 0)$, con $a \in \mathbb{R}$. A partir de ahora denotaremos al número real $a$ por el número complejo $(a, 0)$.\

Observación.

Sean $a, b \in \mathbb{R}$, entonces:

\begin{equation*}
(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0), \quad \text{es decir} \quad a+b.
\end{equation*}

\begin{equation*}
(a, 0) \cdot (b, 0) = (ab, 0), \quad \text{es decir} \quad ab.
\end{equation*}

Notamos que los números complejos de la forma $(a, 0)$ se comportan con respecto a la suma y la multiplicación definidas en (1) y (2) como los números reales.

Es interesante notar que el mapeo $a \rightarrow (a,0)$ define un isomorfismo de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$, por lo que podemos trabajar de manera indistinta con estos números complejos como si fuesen números reales y más aún, podemos considerar a $\mathbb{R}$ como un subconjunto de $\mathbb{C}$, de forma que todo número real es un número complejo cuya parte imaginaria es igual a cero.

Si definimos a $i:=(0, 1)$, entonces notamos que:

\begin{equation*}
i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 – 1, 0) = (-1, 0), \quad \text{es decir} \quad -1.
\end{equation*}
De esta forma podemos concluir que $i = (0, 1)$ es la raíz cuadrada de $-1$. Además tenemos que:

\begin{equation*}
a + ib = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).
\end{equation*}

Por lo que por simplicidad utilizaremos la definición 1 para escribir a los números complejos.

La extensión del campo de los números reales al campo de los números complejos permite dar solución a ecuaciones como $z^2 + 1 = 0$, la cual en $\mathbb{R}$ no tenía solución, mientras que en $\mathbb{C}$ notamos que la raíz $z = i$ satisface dicha ecuación.

Definición 3. (Conjugado de un número complejo.)
Dado un número complejo $z=a+ib$, se define el conjugado de $z$ como el número complejo:

\begin{equation*}
\bar{z} := a – ib
\end{equation*}

Ejemplo.

  • Si $z = 6 + 5i$, entonces $\bar{z} = 6 – 5i$.
  • Si $z = -5 – i$, entonces $\bar{z} = -5 + i$.

Operaciones Aritméticas

Sean $z_1 = a_1 + ib_1, z_2 = a_2 + i b_2 \in \mathbb{C}$, entonces se definen las siguientes operaciones:

  • Suma.

\begin{equation*}
z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + i b_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)
\end{equation*}

  • Resta.

\begin{equation*}
z_1 – z_2 = (a_1 + ib_1) – (a_2 + i b_2) = (a_1 – a_2) + i(b_1 – b_2)
\end{equation*}

  • Multiplicación.

\begin{equation*}
z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1) \cdot (a_2 + i b_2) = (a_1a_2 – b_1b_2) + i (b_1a_2 + a_1b_2)
\end{equation*}

  • División. Para $z_2 \neq 0$:

\begin{equation*}
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + i b_2} \cdot \frac{a_2 – ib_2}{a_2 – i b_2} = \left(\frac{a_1 a_2 +
b_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right) + i\left( \frac{b_1a_2 – a_1 b_2}{a_2^2 + b_2^2}\right)
\end{equation*}

Ejemplo.

Sean $z_1 = 2 + 4i$ y $z_2 = -3 + 8i$. Calculemos (a) $z_1 + z_2$ y (b) $z_1 \cdot z_2$.

  • (a) $z_1 + z_2 = (2 + 4i) + (-3 + 8i) = (2-3) + (4+8)i = -1 + 12i$.
  • (b) $z_1 \cdot z_2 = (2 + 4i) \cdot (-3 + 8i) = \left[2(-3) – 4(8)\right] + \left[4(-3) + 2(8)\right]i = -38 + 4i$.

Tarea moral

Verificar que el conjunto de los números complejos $\mathbb{C}$ con las operaciones definidas en (1) y (2) satisfacen los axiomas de campo, es decir, verificar las 9 propiedades enunciadas.

Más adelante

En esta segunda entrada hemos definido ya lo que es un número complejo y hemos realizado la construcción del campo de los Números Complejos, analizando la relación que existe entre $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ como conjuntos. También definimos las operaciones aritméticas básicas de estos números.

En la siguiente entrada daremos una interpretación geométrica de estos números y sus operaciones, por lo que definiremos una métrica en $\mathbb{C}$ que nos permitirá realizar una mejor comprensión de estos números y la obtención de nuevos resultados y propiedades.

Probabilidad I-Videos: Definición clásica de probabilidad

Introducción

En esta entrada de video se abordará una de varias definiciones de probabilidad, de hecho, una de las primeras en utilizarse; y que ayudó a sentar las bases para construir la teoría matemática. Esta idea o interpretación de la probabilidad se extendió durante muchos años y es llamada definición clásica de probabilidad.

Definición clásica de probabilidad

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Prueba que la definición clásica de probabilidad satisface las siguientes propiedades:

  • $P(\emptyset)=0$ y $P\left(\Omega\right)=1$.
  • $P\left(A\right)\geq0$ para cualquier evento A.
  • $P\left(A^c\right)=1-P(A)$.
  • $P\left(A\bigcup B\right)=P\left(A\right)+P(B)$ cuando A y B son ajenos.
  • $P(A\bigcup\ B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\bigcap\ B)$.

Más adelante…

Las restricciones de la definición clásica de probabilidad tiene inconvenientes, pues existen muchos procedimientos aleatorios en los que no se puede asegurar una misma probabilidad para cada observación y otros que no necesariamente están definidos en un espacio finito.

En el siguiente video se introducirá otra definición que busca ser una extensión de la definición “clásica” para aquellos casos en los que el conjunto de resultados no es finito.

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Probabilidad I-Videos: Introducción al curso, espacio muestral y eventos

Introducción

Esta es la primer entrada correspondiente a los videos por tema de la materia de Probabilidad I. En conjunto, esta y las entradas siguientes, abarcaran todos los temas correspondientes al plan de estudios de la materia en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Se utilizará la bibliografía básica propuesta en dicho plan para la realización de las mismas.

El curso tiene como objetivo dar una presentación de los fundamentos de la teoría de la probabilidad; una disciplina matemática que trata de las regularidades de los fenómenos aleatorios. En esta primera parte introduciremos los conceptos más elementales de la teoría de la probabilidad. Comenzando con el espacio muestral y eventos.

Espacio muestral y eventos

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más a profundidad la teoría vista.

Prueba las siguientes relaciones:

  • $\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}\right)^c=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_i}^c$ y $\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_i}\right)^c=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_i}^c$.
  • $\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i}\right)B=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_iB}$ y $\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_i}\right)\displaystyle\bigcup B=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}\left(\ A_i\bigcup B\right)$.
  • $AB\subset A\subset A\cup B$.
  • Si $A\subset B,\ entonces\ B^c\subset A^c$.
  • $A=AB\cup BA^c$ y $A\cup B=A\cup A^cB$.

Más adelante

Ahora que conoces los conceptos de evento y espacio muestral, junto a algunas de sus propiedades, en la siguiente entrada veremos como la probabilidad matemática está motivada por nuestras ideas intuitivas sobre la probabilidad como proporción.

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Año Nuevo 2020

Se nos acaba el año, y con él los años 10’s. Cada década ha traído muchas cosas buenas y malas.

Las cosas malas están en los medios y ya las tenemos presentes. Tenemos que seguir trabajando para que cada vez sean menos. Me enorgullece mucho la fuente lucha que están haciendo mis amigos y conocidos contemporáneos en causas importantes como el feminismo, la ecología, la normalización/atención a problemas psicológicos/psiquiátricos y el desarrollo científico/tecnológico.

Las cosas buenas también han sido bastantes, y qué mejor momento para recordarlas y agradecerlas, que cuando cambia el dígito de las decenas del año actual.

De los 80’s no recuerdo prácticamente nada, pero agradezco enormemente los cuidados de mis padres en mi primer año de vida.

De los 90’s agradezco y recuerdo mi infancia, los videojuegos, la educación primaria y las experiencias de vivir en cuatro estados.

De los 00’s agradezco y recuerdo el boom de internet, el campamento de mate en Stanford, mi primer amor y encontrar a través de la Olimpiada mi rumbo profesional.

De los 10’s agradezco y recuerdo mi vida independiente, mi maduración profesional, mi vida como extranjero y superar con éxito una delicada situación de salud.

Los 20’s me dan una enorme curiosidad, una pizca de miedo, pero sobre todo un gran entusiasmo.

Espero que pasen este último día de diciembre en grata compañía de sus seres queridos. Si tienen chance, entre sidra, calzones rojos y campanadas, los invito a acordarse y agradecer un ratito lo que les ha pasado en cada década.

¡Feliz año nuevo!
¡Felices años 20’s!