4.2. Órbitas: iteración y tipos de órbita

Definición de un sistema dinámico discreto

Cuando estudiamos sistemas dinámicos discretos, estamos interesados en cómo cambia el sistema con el paso del tiempo. Un sistema dinámico discreto es aquel cuya evolución se describe por medio de ecuaciones matemáticas que se actualizan en intervalos de tiempo específicos. Estos sistemas se «avanzan» en pasos discretos (por ejemplo, de un día a otro, de un año a otro, de una generación a otra).

Como menciona Torres Olin “Un sistema dinámico es un organismo cambiante, o propenso al cambio. Es un conjunto de elementos que describen la evolución de un sistema. […] Se define un sistema dinámico discreto cuando medimos el tiempo en forma tal que cualesquiera dos puntos en el tiempo $t_1$ y $t_2$ están bien separados, es decir, el tiempo se mide respecto a un conjunto discreto.” (Torres Olin, 2019)

Introducción a las órbitas en sistemas dinámicos discretos

En el contexto de los sistemas dinámicos discretos, las órbitas se refieren a las trayectorias que siguen las soluciones de un sistema de ecuaciones a lo largo del tiempo, cuando el tiempo avanza en pasos discretos.

• Definición. Las órbitas son secuencias de puntos que representan el estado del sistema en diferentes momentos del tiempo. Cada uno de estos puntos se encuentra en el espacio de fases del sistema, que es el conjunto de todos los posibles estados del sistema en el que se puede encontrar. 

Por ejemplo, si estamos estudiando la población de una especie en un ecosistema, cada punto de la órbita representará el número de individuos de esa población en un momento dado. A medida que el tiempo avanza, la población cambia, y por lo tanto, la órbita describe cómo esa población evoluciona con el tiempo.

• Relación con las ecuaciones recursivas. En un sistema dinámico discreto, la evolución del sistema se describe mediante ecuaciones recursivas. Esto significa que el valor del estado del sistema en el tiempo t + 1 depende del valor en el tiempo t. Así, en cada iteración, el sistema actualiza el valor de la población y lo usa para calcular el valor en el siguiente paso.

Un ejemplo sería un modelo de población descrito por la ecuación:
$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$, 

donde $P_t$​ es la población en el tiempo t, r es la tasa de crecimiento de la población y K es la capacidad de carga del ambiente, es decir, el número máximo de individuos que el ecosistema puede soportar.

• Importancia de las órbitas. Las órbitas permiten entender el comportamiento a largo plazo del sistema. A medida que el sistema evoluciona con el tiempo, las órbitas nos ayudan a identificar patrones. Según el tipo de órbita, el sistema puede estabilizarse en un valor constante, entrar en un ciclo periódico o volverse impredecible (lo que se conoce como caos).

¿Qué es la iteración en sistemas dinámicos discretos?

La iteración es el proceso mediante el cual repetimos una operación matemática para obtener el siguiente valor del sistema a partir del valor actual. En otras palabras, es aplicar repetidamente una función o ecuación para predecir el comportamiento futuro del sistema. Se trata de calcular el estado del sistema en el siguiente paso de tiempo, usando el valor actual como punto de partida. Cada «paso» o «iteración» produce un nuevo valor que se usa como base para la siguiente, es decir, cada vez que realizamos una iteración, tomamos el valor del sistema en el tiempo t y lo usamos para calcular el valor en el tiempo t + 1, y este valor calculado luego se convierte en el valor inicial para el siguiente paso

Ejemplo 1.

Consideremos un modelo de crecimiento poblacional donde la población en el tiempo t + 1 depende de la población en el tiempo t:
$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot (1 – \frac{P_t}{K})$

Supongamos una población inicial $P_0 = 50$, una tasa de crecimiento r = 1.5 y una capacidad de carga K = 100, podemos calcular las poblaciones de los siguientes tiempos de forma iterativa:

• Para t = 0, $P_0 = 50$.

• Para t = 1, $P_1 = 1.5 \cdot 50 \cdot (1 – \frac{50}{100}) = 1.5 \cdot 50 \cdot 0.5 = 37.5$.

• Para t = 2, $P_2 = 1.5 \cdot 37.5 \cdot (1 – \frac{37.5}{100})$, y así sucesivamente.

Este proceso continúa para muchos pasos, y la población va cambiando a medida que se realizan las iteraciones.

Tipos de órbitas

Las órbitas en los sistemas dinámicos pueden clasificarse en diferentes tipos, dependiendo de cómo se comporta el sistema con el paso del tiempo.

1. Órbitas periódicas: son aquellas en las que el sistema regresa al mismo estado después de un número finito de pasos, es decir, la secuencia de valores se repite cíclicamente. 

Ejemplo: Si r = 2 y $P_0 = 50$, el sistema puede entrar en una órbita periódica. En este caso, la población podría oscilar entre los valores 60 y 50 en un patrón cíclico, como P = 60, 50, 60, 50,….
Estas órbitas son estables y predecibles, ya que la población sigue un patrón constante que se repite con el tiempo.

2. Órbitas atractoras: son aquellas en las que el sistema tiende a estabilizarse en un valor constante o en un ciclo periódico a medida que pasa el tiempo. Estas órbitas son estables, y las pequeñas perturbaciones tienden a ser corregidas.
Ejemplo: En el modelo logístico de crecimiento poblacional, si los valores de r y K se eligen adecuadamente, la población puede estabilizarse en el valor P = K, que es la capacidad de carga del ambiente. Este valor se convierte en una órbita atractora, ya que la población tiende a estabilizarse alrededor de K con el paso del tiempo.

3. Órbitas caóticas: son aquellas en las que el comportamiento del sistema es extremadamente sensible a las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en el valor inicial del sistema pueden provocar trayectorias completamente diferentes. Estos sistemas son impredecibles y no siguen un patrón repetitivo.
Ejemplo: Si r es demasiado grande (por ejemplo, r = 3.5), el sistema puede volverse caótico, donde las iteraciones no siguen un patrón predecible, sino que se distribuyen de forma irregular.

Ejemplo aplicado a biología

Uno de los ejemplos más comunes de sistemas dinámicos discretos en biología es el modelo logístico de crecimiento poblacional, especialmente cuando se estudian especies invasoras o la competencia entre especies.

Tomemos el modelo logístico como ejemplo para ilustrar cómo las órbitas se aplican al crecimiento de una población.

El modelo logístico es:

$P_{t+1} = r \cdot P_t \cdot \left(1 – \frac{P_t}{K}\right)$.

Dependiendo de los parámetros r (tasa de crecimiento) y K (capacidad de carga), el comportamiento de la población puede cambiar:

• Para valores bajos de r, la población puede estabilizarse en un valor constante, formando una órbita atractora.
• Para valores intermedios de r, puede haber un comportamiento periódico.
• Para valores altos de r, el modelo puede entrar en caos.

Análisis de cómo pequeñas variaciones en las condiciones iniciales pueden cambiar el comportamiento de la población

En un modelo caótico, por ejemplo, si una especie invasora comienza con una población de $P_0 = 50$, y otra con $P_0 = 50.1$, con un parámetro r = 3.5, las trayectorias pueden divergir rápidamente, lo que hace que sea muy difícil predecir el futuro de las poblaciones.

Ejercicio 1. Resolver un modelo discreto simple con iteraciones

Resuelve el siguiente modelo de crecimiento poblacional con iteración simple:

$P_{t+1} = 1.2 \cdot P_t \cdot \left(1 – \frac{P_t}{100}\right)$

Toma como valor inicial $P_0 = 20$ y calcula las poblaciones en los primeros 5 tiempos $(t = 0, 1, 2, 3, 4, 5)$.
Ahora intenta graficar los valores de $P_t$ en función del tiempo para observar cómo evoluciona la población a lo largo de las iteraciones.

Ejercicio 2. Análisis gráfico de órbitas para distintos parámetros de crecimiento

Con diferentes valores de r (por ejemplo, r = 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5), calcula las órbitas del sistema con un valor inicial de $P_0 = 50$ y grafica los resultados (puedes usar GeoGebra). Observa cómo cambia el comportamiento de las órbitas según el valor de r.

Ejercicio 3. Responde

a. ¿Qué ocurriría con la población de una especie si las condiciones iniciales cambian ligeramente?
b. ¿Cómo afecta la tasa de crecimiento a las órbitas que se generan?

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4.3. El modelo logístico discreto: análisis gráfico, análisis de las órbitas, retrato fase

El modelo logístico discreto es una ecuación matemática que describe cómo crece una población cuando está limitada por los recursos del ambiente, como alimento, espacio o luz.

Su forma más común es:
$x_{n+1} = r \cdot x_n \cdot (1 – x_n)$,

donde
• $x_n$​ representa la población como una fracción de la capacidad de carga del entorno, por lo que $x_n \in [0, 1]$, donde 0 es la ausencia de población y 1 es la capacidad máxima del ecosistema (esta normalización permite simplificar los cálculos y generalizar el modelo para diferentes especies y ecosistemas);
• r es la tasa de crecimiento;
• $x_{n+1}$​ es el tamaño de la población en la siguiente generación.

Contextualización biológica
Este modelo fue introducido por Robert May (1976) para estudiar el crecimiento de poblaciones cuando hay recursos limitados, como ocurre con especies invasoras, o incluso en modelos de depredador-presa, donde las interacciones entre especies también dependen de los recursos disponibles. A diferencia del crecimiento exponencial, que supone recursos infinitos, el modelo logístico incluye un término de autorregulación: a medida que la población se acerca a la capacidad del entorno, el crecimiento se frena.

Análisis gráfico del modelo logístico
Para analizar el comportamiento del modelo logístico, es muy útil representar gráficamente la función de recurrencia $f(x) = r x (1 – x)$ y compararla con la recta identidad $y = x$, lo que nos permite observar cómo las iteraciones del sistema evolucionan a lo largo del tiempo. El análisis gráfico nos ayuda a visualizar de manera intuitiva el comportamiento de la población, desde su crecimiento hasta su estabilización o el inicio de ciclos periódicos o caos.

Para el análisis gráfico:
Paso 1. Dibujar la parábola $y = r x (1 – x)$. Esta función es una parábola que depende del parámetro r. Para diferentes valores de r, la forma de la parábola cambia, lo que afectará el comportamiento de la población.
Paso 2. Dibujar la recta $y = x$. Esta recta sirve como referencia, ya que nos permite ver la relación entre $x_n$​ y $x_{n+1}$​. Los puntos de intersección entre la parábola y la recta $y = x$ son los puntos fijos del sistema.
Paso 3. Elegir un valor inicial $x_0$. A partir de este valor inicial, realizamos las iteraciones y representamos cómo se mueve el valor de $x_n$​ a lo largo de los pasos de tiempo. El método más visual para hacerlo es el método de cobweb (telaraña), que traza las iteraciones en el gráfico de manera que podamos observar si la población tiende a estabilizarse, oscilar o volverse caótica.

Interpretación
• Atractores estables: si las iteraciones se acercan a un punto fijo, ese punto es un atractor estable. La población tiende a estabilizarse en ese valor a medida que pasa el tiempo.
• Puntos inestables: si las iteraciones se alejan del punto fijo, el punto es inestable, lo que significa que pequeñas perturbaciones harán que el sistema se desvíe de ese punto.
• Ciclos periódicos: en algunos valores de r, las iteraciones siguen un patrón cíclico, es decir, la población oscila entre dos o más valores en un ciclo repetitivo.
• Comportamiento caótico: para valores suficientemente altos de r, el sistema puede entrar en un comportamiento caótico, donde pequeñas diferencias en las condiciones iniciales generan trayectorias completamente diferentes.

Ejemplo gráfico 1.
Para r = 2.8, la población tiende a estabilizarse en un punto fijo. Al graficar el modelo y usar el método de cobweb, se observa que las iteraciones se acercan a un valor constante.

Ejemplo gráfico 2.
Para r = 3.5, las iteraciones muestran un ciclo periódico de periodo 4, donde la población oscila entre cuatro valores. Al graficar esto, vemos cómo los puntos se repiten en intervalos regulares.

Ejercicio 1.
Usando un software como GeoGebra o Python, grafica la función $f(x) = r x (1 – x)$ para valores de r = 2.8, r = 3.2 y r = 3.5. Observa cómo cambia el comportamiento de las iteraciones según el valor de r. ¿En qué valor de r observas comportamiento caótico?

Análisis de las órbitas en el modelo logístico

Las órbitas son las trayectorias que siguen las soluciones del modelo logístico a lo largo del tiempo. Dado un valor inicial $x_0$​, el modelo genera una secuencia de valores $x_0, x_1, x_2, \dots$, que corresponde al comportamiento de la población en los distintos pasos de tiempo. El comportamiento de estas órbitas depende en gran medida del valor del parámetro r, y las órbitas pueden clasificarse en varios tipos según cómo evolucionan con el paso del tiempo. 

Comportamiento de las órbitas según r:
• $0 < r < 1$: la población tiende a extinguirse. Las iteraciones se acercan a 0, lo que refleja que los recursos son insuficientes para mantener la población.
• $1 < r < 3$: la población converge a un punto fijo estable, lo que significa que el sistema alcanza un equilibrio donde el tamaño de la población se estabiliza.
• $3 < r < 3.57$: el sistema puede entrar en un ciclo periódico, donde las iteraciones siguen un patrón repetitivo, aumentando la complejidad a medida que r aumenta (por ejemplo, ciclo de periodo 2, luego de periodo 4, etc.).
• $r > 3.57$: el sistema entra en un comportamiento caótico. Las pequeñas variaciones en el valor inicial de la población pueden generar trayectorias completamente diferentes, lo que hace que el sistema sea impredecible.

Estabilidad y atractores
Un punto fijo $x^*$ es estable si pequeñas perturbaciones vuelven a él con el tiempo. Matemáticamente, esto ocurre cuando la derivada de la función de recurrencia $f'(x^*)$ cumple con:

$|f'(x^*)| < 1$

También se pueden analizar órbitas periódicas y su estabilidad usando derivadas sucesivas.

Retrato fase
El retrato fase (o diagrama de fase) es una representación del comportamiento dinámico del sistema:
• En el caso unidimensional, se puede representar simplemente la evolución de $x_n$​ en el eje horizontal, como puntos sucesivos.
• También se puede representar el par $(x_n, x_{n+1})$, lo que permite visualizar la dinámica como puntos en el plano.
Utilidad del retrato fase:
• Muestra si la órbita se estabiliza, oscila o diverge.
• Es útil para identificar atractores, puntos fijos y ciclos periódicos.

Recordemos la definición de que $f$ es diferenciable para $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$:

$f$ es diferenciable en $x_0$ si existe $f’ (x_0)$, luego

$f’ (x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \iff \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, f’ (x_0) = 0 \; \; \dotsc (1)$

$f$ es diferenciable en $x_0$ si existe la diferencial de $f$ en $x_0$

$df_{x_0} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ lineal.

$df_{x_0} (h) = mh$ tal que

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) \, – \, mh}{h} = 0 $ ocurre si

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, m = 0 \; \; \dotsc (2)$

Observemos que, de $(1)$ y $(2)$

$ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, f’ (x_0) = 0 = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) }{h} \, – \, m$

Luego $m = f’ (x_0)$ entonces la regla de correspondencia de la diferencial de $f$ en $x_0$ queda $df_{x_0}(h)= f’ (x_0)h$

Tratando de generalizar

$f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$

Primer intento

$f’ (\vec{x_0}) := \lim\limits_{\vec{h} \to \vec{0}} \dfrac{f (\vec{x_0} + \vec{h}) \, – \, f (\vec{x_0}) }{\vec{h}}$

pero no podemos dividir entre un vector. Una alternativa es la siguiente:

Diremos que $f$ es diferenciable en un punto $x_0$ si existe la diferencial de $f$ en $x_0$. La diferencial de $f$ en $x_0$ es la transformación lineal $h \rightarrow mh$ que cumple la siguiente propiedad, en caso de funciones de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

$\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\Big| f (x_0 + h) \, – \, f (x_0) \, – \, mh \Big|}{\big| h \big|} = 0 $

Segundo intento:

$\lim\limits_{\vec{h} \to \vec{0}} \dfrac{\Big\| f (\vec{x_0} + \vec{h}) \, – \, f (\vec{x_0}) \, – \, \mathcal{M} \vec{h} \Big\|}{ \Big\| \vec{h} \Big\|} = 0$

$T (\vec{h}) = \mathcal{M} \vec{h}$ donde $\mathcal{M}$ es la matriz de derivadas parciales.

$T (\vec{h}) $ es la diferencial.

Ahora bien para funciones de $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tenemos que:

(*) La derivada es el vector gradiente ( o el vector de derivadas parciales) $$\nabla f = \Big( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \Big)$$

(*) La diferencial es la función lineal $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ tal que a cada $(h, k) \rightarrow \dfrac{\partial f}{\partial x} h \, + \, \dfrac{\partial f}{\partial y} k$

(*) El plano tangente está dado por la ecuación $$z = f (x_0, y_0) + \dfrac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0) (x \, – \, x_0) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y \, – \, y_0)$$

donde $x \, – \, x_0 = h$ y $ y \, – \, y_0 = k.$

(*) La derivada direccional de $f$ en $(x_0, y_0)$ en la dirección del vector $\vec{u} = (\cos \theta, \sin \theta) $ es la pendiente de la recta tangente a la curva que resulta de cortar a la superficie $z = f (x, y)$ con el plano $(x \, – \, x_0 , y \, – \, y_0 , z \, – \, z_0) \cdot ( \, – \, \sin \theta, \cos \theta, 0 ) = 0$, donde $\vec{v} = ( \, – \, \sin \theta, \cos \theta )$, entonces la ecuación del plano es $$ – \, \sin \theta (x \, – \, x_0) + \cos \theta (y \, – \, y_0) = 0$$

Es decir, $\Big\{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \Big| – \, \sin \theta (x \, – \, x_0) + \cos \theta (y \, – \, y_0) = 0 \Big\} $ es un plano que pasa por el punto $ (x_0, y_0, z_0) $, donde $ z_0 = f (x_0, y_0) .$

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

Ejercicios

a. Ecuaciones lineales
Resuelve la ecuación
1. $5(x + 3) – 2 = 3x + 4$
2. $2(3x – 1) + 4 = x + 10$
3. $7x – (2x + 5) = 3x + 9$
4. $\frac{1}{2}(4x – 6) = 3x + 1$
5. $4x + 3 = 2(2x – 1) + 5$

b. Ecuaciones cuadráticas por factorización
Resuelve
1. $x^2 + 5x + 6 = 0$
2. $x^2 – 4 = 0$
3. $3x^2 + 11x + 6 = 0$
4. $4x^2 – 25 = 0$
5. $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = 0$

c. Ecuaciones cuadráticas con fórmula general
Resuelve
1. $x^2 – 7x + 10 = 0$
2. $2x^2 + 5x – 3 = 0$
3. $x^2 + 4x + 5 = 0$
4. $3x^2 – 18x + 5 = 0$
5. $4x^2 – 4x + 1 = 0$

d. Completando el cuadrado
Reescribe completando el cuadrado
1. $x^2 + 10x + 21$
2. $x^2 – 6x + 2$
3. $2x^2 + 8x + 7$
4. $3x^2 + 12x – 1$
5. $x^2 – 4x + 3$

Respuestas modelo

a. Ecuaciones lineales
1. $5(x + 3) – 2 = 3x + 4 \Rightarrow 5x + 15 – 2 = 3x + 4 \Rightarrow 5x + 13 = 3x + 4 \Rightarrow 2x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{2}$
2. $2(3x – 1) + 4 = x + 10 \Rightarrow 6x – 2 + 4 = x + 10 \Rightarrow 6x + 2 = x + 10 \Rightarrow 5x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$
3. $7x – (2x + 5) = 3x + 9 \Rightarrow 7x – 2x – 5 = 3x + 9 \Rightarrow 5x – 5 = 3x + 9 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$
4. $\frac{1}{2}(4x – 6) = 3x + 1 \Rightarrow 2x – 3 = 3x + 1 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$
5. $4x + 3 = 2(2x – 1) + 5 \Rightarrow 4x + 3 = 4x – 2 + 5 \Rightarrow 4x + 3 = 4x + 3 \Rightarrow \text{Identidad: todas las soluciones reales}$

b. Ecuaciones cuadráticas por factorización
1. $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2,, x = -3$
2. $x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2,, x = -2$
3. $3x^2 + 11x + 6 = 0 \Rightarrow (3x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3},, x = -3$
4. $4x^2 – 25 = 0 \Rightarrow (2x – 5)(2x + 5) = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{5}{2}$
5. $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = 0 \Rightarrow (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6) \Rightarrow x = 4,, x = 6,, x = -1$

c. Ecuaciones cuadráticas con fórmula general
1. $x^2 – 7x + 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{7 \pm \sqrt{49 – 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 5,, x = 2$
2. $2x^2 + 5x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2},, x = -3$
3. $x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \text{no hay soluciones reales}$
4. $3x^2 – 18x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{18 \pm \sqrt{324 – 60}}{6} = \frac{18 \pm \sqrt{264}}{6} = \frac{18 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{66}}{3}$
5. $4x^2 – 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(4)(1)}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{8} = \frac{1}{2}$

d. Completando el cuadrado
1. $x^2 + 10x + 21 = x^2 + 10x + 25 – 4 = (x + 5)^2 – 4$
2. $x^2 – 6x + 2 = x^2 – 6x + 9 – 7 = (x – 3)^2 – 7$
3. $2x^2 + 8x + 7 = 2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 7 = 2(x + 2)^2 – 8 + 7 = 2(x + 2)^2 – 1$
4. $3x^2 + 12x – 1 = 3(x^2 + 4x + 4 – 4) – 1 = 3(x + 2)^2 – 12 – 1 = 3(x + 2)^2 – 13$
5. $x^2 – 4x + 3 = x^2 – 4x + 4 – 1 = (x – 2)^2 – 1$

Problemas

Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias
Una sustancia se dispersa linealmente con el tiempo según la ecuación $C(t) = 5t + 20$, donde $C$ es la concentración y $t$ el tiempo en minutos.
a. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la concentración sea de 45 unidades?
b. ¿En qué instante fue de 35 unidades?

Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular
Un músculo genera una fuerza proporcional al cuadrado de su estiramiento. Si la relación es $F = 3x^2 – 12x + 9$, donde $x$ es la distancia estirada:
a. ¿En qué puntos la fuerza es cero?
b. ¿Cuál es el valor mínimo de fuerza?
c. ¿Para qué valor de x se obtiene ese mínimo?

Respuestas modelo

Problema 1. Ecuación en dispersión de sustancias
a. $5t + 20 = 45 \Rightarrow 5t = 25 \Rightarrow t = 5$ minutos
b. $5t + 20 = 35 \Rightarrow 5t = 15 \Rightarrow t = 3$ minutos

Problema 2. Biomecánica de movimiento muscular
a. $3x^2 – 12x + 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{12 \pm \sqrt{144 – 108}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{6} = \frac{12 \pm 6}{6}$
$x = 3,\ x = 1$
b. Completando cuadrados:
$F = 3(x^2 – 4x + 3) = 3(x – 2)^2 – 3$
Mínimo: $F = -3$
c. El mínimo ocurre en $x = 2$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/rw3ahsnu
• https://www.geogebra.org/m/fJp8cgyU
• https://pruebat.org/Aprende/CatCursos/contenidoCurso/44341/

9. Desigualdades

Ejercicios

a. Desigualdades lineales simples
Resuelve las desigualdades y representa gráficamente el resultado
1. $2x + 7 < 15$
2. $5x – 3 \geq 2x + 6$
3. $-4x + 8 < 0$
4. $3 – x > 7$
5. $\frac{1}{2}x + 1 \leq 4$

b. Propiedades de las desigualdades (multiplicación o división negativa)
1. $-2x > 6$
2. $-3x + 1 \leq -5$
3. $-5(x – 1) \geq 15$

c. Desigualdades cuadráticas
1. $x^2 – 4 > 0$
2. $x^2 – x – 6 \leq 0$
3. $x^2 + 2x + 1 \geq 0$
4. $(x – 1)(x + 2) < 0$
5. $x^2 – 5x + 6 \geq 0$

Respuestas modelo

a. Desigualdades lineales simples
1. $2x < 8 \Rightarrow x < 4$
2. $3x \geq 9 \Rightarrow x \geq 3$
3. $-4x < -8 \Rightarrow x > 2$ (cambio de signo)
4. $-x > 4 \Rightarrow x < -4$ (cambio de signo)
5. $\frac{1}{2}x \leq 3 \Rightarrow x \leq 6$

b. Propiedades de las desigualdades (multiplicación o división negativa)
1. $x < -3$
2. $-3x \leq -6 \Rightarrow x \geq 2$
3. $-5x + 5 \geq 15 \Rightarrow -5x \geq 10 \Rightarrow x \leq -2$

c. Desigualdades cuadráticas
1. $x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2)$
Solución: $x < -2$ o $x > 2$
2. $(x – 3)(x + 2) \leq 0$
Solución: $-2 \leq x \leq 3$
3. $(x + 1)^2 \geq 0$
Siempre verdadera, solución: todos los reales $\mathbb{R}$
4. Solución entre raíces: $-2 < x < 1$
5. $(x – 2)(x – 3) \geq 0$
Solución: $x \leq 2$ o $x \geq 3$

10. Logaritmos

Ejercicios

a. Definición de logaritmo
Resuelve los siguientes logaritmos
1. $\log_2 8$
2. $\log_5 125$
3. $\log_{10} 100$
4. $\log_3 81$
5. $\log_4 64$

b. Logaritmos comunes y naturales
Resuelve los siguientes logaritmos
1. $\log 1000$
2. $\log 0.01$
3. $\ln e$
4. $\ln 1$
5. $\ln e^5$

c. Propiedades de los logaritmos
1. Simplifica $\log_2 (8 \cdot 4)$
2. Calcula $\log_3 \left( \frac{27}{3} \right)$
3. Evalúa $\log_5 (25^3)$
4. Resuelve $\log_7 1$
5. Resuelve $\log_{10} 10$

d. Cambio de base
1. Calcula $\log_2 100$ usando logaritmos base 10.
2. Calcula $\log_4 20$ usando logaritmos naturales.
3. Expresa $\log_3 81$ como cociente de logaritmos naturales.
4. Calcula $\log_7 49$ usando logaritmos base 10.
5. Escribe una expresión equivalente para $\log_b a$ con base $e$.

Respuestas modelo

a. Definición de logaritmo
1. $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
2. $\log_5 125 = 3$, porque $5^3 = 125$
3. $\log_{10} 100 = 2$, porque $10^2 = 100$
4. $\log_3 81 = 4$, porque $3^4 = 81$
5. $\log_4 64 = 3$, porque $4^3 = 64$

b. Logaritmos comunes y naturales
1. $\log 1000 = \log_{10} 1000 = 3$
2. $\log 0.01 = \log_{10} 10^{-2} = -2$
3. $\ln e = 1$
4. $\ln 1 = 0$
5. $\ln e^5 = 5 \cdot \ln e = 5$

c. Propiedades de los logaritmos
1. $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$
2. $\log_3 \left( \frac{27}{3} \right) = \log_3 27 – \log_3 3 = 3 – 1 = 2$
3. $\log_5 (25^3) = 3 \cdot \log_5 25 = 3 \cdot 2 = 6$
4. $\log_7 1 = 0$
5. $\log_{10} 10 = 1$

d. Cambio de base
1. $\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} = \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$
2. $\log_4 20 = \frac{\ln 20}{\ln 4} \approx \frac{2.9957}{1.3863} \approx 2.16$
3. $\log_3 81 = \frac{\ln 81}{\ln 3} = \frac{4.394}{1.099} \approx 4$
4. $\log_7 49 = \frac{\log 49}{\log 7} = \frac{1.6902}{0.8451} \approx 2$
5. $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$

Problemas 

Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos
Una población de bacterias sigue el modelo $P(t) = 200 \cdot e^{0.5t}$, donde $t$ está en horas.
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 4 horas?
b. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar las 1600 bacterias?

Problema 2. Cálculo del pH
La concentración de iones de hidrógeno en una muestra de agua es de $[H^+] = 3.16 \times 10^{-5}$ mol/L.
a. Calcula el pH de la muestra.
b. ¿Es ácida o básica?

Respuestas modelo

Problema 1. Crecimiento poblacional con logaritmos
a. $P(4) = 200 \cdot e^{0.5 \cdot 4} = 200 \cdot e^2 \approx 200 \cdot 7.389 = 1477.8$
b. $1600 = 200 \cdot e^{0.5t} \Rightarrow 8 = e^{0.5t} \Rightarrow \ln 8 = 0.5t \Rightarrow t = \frac{\ln 8}{0.5} \approx \frac{2.079}{0.5} = 4.158$ horas

Problema 2. Cálculo del pH
a. $\text{pH} = -\log_{10} [H^+] = -\log(3.16 \times 10^{-5}) = -(\log 3.16 + \log 10^{-5}) = -(0.5 – 5) = 4.5$
b. Es una solución ácida porque $\text{pH} < 7$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/kJXr8xKg

11. Iteración

Ejercicios

a. Iteraciones simples con reglas lineales
1. Si $x_0 = 3$ y $x_{n+1} = x_n + 5$, calcula los primeros cinco términos de la sucesión.
2. Si $x_0 = -2$ y $x_{n+1} = x_n + 4$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$.
3. Si $x_0 = 10$ y $x_{n+1} = x_n – 3$, calcula los primeros cinco valores.
4. Si $x_0 = 0$ y $x_{n+1} = 2x_n + 1$, determina los primeros cinco términos.
5. Si $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = 0.5x_n$, encuentra $x_1$ hasta $x_5$.

b. Iteraciones con crecimiento exponencial o logístico
1. Si $P_0 = 100$ y $P_{n+1} = 2P_n$, halla $P_1$ a $P_5$.
2. Si $P_0 = 80$ y $P_{n+1} = 1.5P_n$, determina los primeros cinco valores.
3. Si $P_0 = 50$ y $P_{n+1} = P_n + 0.2P_n(1 – \frac{P_n}{500})$, encuentra $P_1$ hasta $P_5$.

Respuestas modelo

a. Iteraciones simples con reglas lineales
1. $x_0 = 3$
$x_1 = 3 + 5 = 8$
$x_2 = 8 + 5 = 13$
$x_3 = 13 + 5 = 18$
$x_4 = 18 + 5 = 23$
$x_5 = 23 + 5 = 28$

2. $x_0 = -2$
$x_1 = -2 + 4 = 2$
$x_2 = 2 + 4 = 6$
$x_3 = 6 + 4 = 10$
$x_4 = 10 + 4 = 14$
$x_5 = 14 + 4 = 18$

3. $x_0 = 10$
$x_1 = 10 – 3 = 7$
$x_2 = 7 – 3 = 4$
$x_3 = 4 – 3 = 1$
$x_4 = 1 – 3 = -2$
$x_5 = -2 – 3 = -5$

4. $x_0 = 0$
$x_1 = 2(0) + 1 = 1$
$x_2 = 2(1) + 1 = 3$
$x_3 = 2(3) + 1 = 7$
$x_4 = 2(7) + 1 = 15$
$x_5 = 2(15) + 1 = 31$

5. $x_0 = 5$
$x_1 = 0.5(5) = 2.5$
$x_2 = 0.5(2.5) = 1.25$
$x_3 = 0.5(1.25) = 0.625$
$x_4 = 0.5(0.625) = 0.3125$
$x_5 = 0.5(0.3125) = 0.15625$

b. Iteraciones con crecimiento exponencial o logístico
1. $P_0 = 100$
$P_1 = 2(100) = 200$
$P_2 = 2(200) = 400$
$P_3 = 2(400) = 800$
$P_4 = 2(800) = 1600$
$P_5 = 2(1600) = 3200$

2. $P_0 = 80$
$P_1 = 1.5(80) = 120$
$P_2 = 1.5(120) = 180$
$P_3 = 1.5(180) = 270$
$P_4 = 1.5(270) = 405$
$P_5 = 1.5(405) = 607.5$

3. $P_0 = 50$
$P_1 = 50 + 0.2(50)(1 – \frac{50}{500}) = 50 + 0.2(50)(0.9) = 50 + 9 = 59$
$P_2 = 59 + 0.2(59)(1 – \frac{59}{500}) \approx 59 + 0.2(59)(0.882) \approx 69.4$
$P_3 \approx 69.4 + 0.2(69.4)(1 – \frac{69.4}{500}) \approx 81.1$
$P_4 \approx 81.1 + 0.2(81.1)(0.838) \approx 94.7$
$P_5 \approx 94.7 + 0.2(94.7)(0.811) \approx 110.1$

Problemas

Problema 1. Dinámica de una población en ambiente limitado
Una población de insectos sigue el modelo logístico iterativo:
$P_{n+1} = P_n + 0.1P_n\left(1 – \frac{P_n}{1000}\right)$
Si al inicio hay $P_0 = 100$ insectos, calcula $P_1$ a $P_5$.

Problema 2. Dilución de una sustancia
Una sustancia disminuye su concentración en un 30% con cada paso de purificación. Si la concentración inicial es $C_0 = 120\ \text{mg/L}$, y se aplica la regla: $C_{n+1} = 0.7C_n$. Determina $C_1$ a $C_5$.

Respuestas modelo

Problema 1. Dinámica de una población en ambiente limitado
$P_0 = 100$
$P_1 = 100 + 0.1(100)(1 – \frac{100}{1000}) = 100 + 0.1(100)(0.9) = 100 + 9 = 109$
$P_2 = 109 + 0.1(109)(1 – \frac{109}{1000}) \approx 109 + 9.72 = 118.72$
$P_3 \approx 118.72 + 0.1(118.72)(1 – 0.11872) \approx 129.2$
$P_4 \approx 141.1$
$P_5 \approx 153.8$

Problema 2. Dilución de una sustancia
$C_0 = 120$
$C_1 = 0.7(120) = 84$
$C_2 = 0.7(84) = 58.8$
$C_3 = 0.7(58.8) = 41.16$
$C_4 = 0.7(41.16) = 28.81$
$C_5 = 0.7(28.81) = 20.17$

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/rrBCBftz
• https://www.geogebra.org/m/YKpNC2hR
• https://www.geogebra.org/m/rTgKYS4U
• https://www.geogebra.org/m/YXU5hmEZ
• https://ncase.me/polygons-es/

12. Funciones y sus gráficas

Ejercicios

a. Definición de función
1. Si $f(x) = 3x – 2$, calcula: $f(0)$, $f(1)$, $f(4)$
2. Si $f(x) = x^2 + 1$, halla: $f(-1)$, $f(2)$, $f(3)$
3. Dada $f(x) = 5 – 2x$, encuentra: $f(0)$, $f(2)$, $f(5)$
4. Sea $f(x) = \frac{1}{x+1}$. Calcula: $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$
5. Si $f(x) = \sqrt{x + 4}$, determina: $f(0)$, $f(5)$, $f(-3)$

b. Función lineal
1. Grafica $f(x) = 2x + 1$ para $x = -2, -1, 0, 1, 2$
2. Identifica la pendiente y ordenada al origen de $f(x) = -3x + 4$
3. Determina si la recta $f(x) = 0.5x – 2$ es creciente o decreciente
4. Encuentra el punto de corte con el eje Y de $f(x) = -x + 6$
5. Calcula $x$ cuando $f(x) = 0$ en la función $f(x) = 4x – 8$

c. Funciones no lineales
1. Cuadrática: Para $f(x) = x^2 – 6x + 8$, encuentra las raíces
2. Cuadrática: Halla el vértice de $f(x) = -2x^2 + 4x + 1$
3. Exponencial: Evalúa $f(x) = 2 \cdot 3^x$ para $x = 0, 1, 2$
4. Logarítmica: Si $f(x) = 2\log(x)$, encuentra $f(1)$, $f(10)$
5. Racional: Para $f(x) = \frac{1}{x}$, determina $f(1)$, $f(-2)$, $f(0.5)$

d. Dominio y codominio
1. Determina el dominio de $f(x) = \sqrt{x – 2}$
2. Encuentra el dominio de $f(x) = \frac{1}{x^2 – 4}$
3. ¿Cuál es el dominio de $f(x) = \log(x+3)$?
4. Da un ejemplo de una función cuyo dominio sean todos los reales
5. Describe el codominio de $f(x) = x^2$ si $x \in [-3, 2]$

e. Coeficientes de correlación
1. Una correlación de r = 0.95 entre masa y altura sugiere qué tipo de relación?
2. Si r = –0.88 entre tiempo de ejercicio y frecuencia cardiaca, ¿cómo se interpreta?
3. ¿Qué indica r = 0 entre la cantidad de agua y la temperatura?
4. ¿Cuál valor de r indica una correlación lineal perfecta positiva?
5. Explica por qué una correlación alta no implica causalidad

Respuestas modelo

a. Definición de función
1. $f(0) = -2$, $f(1) = 1$, $f(4) = 10$
2. $f(-1) = 2$, $f(2) = 5$, $f(3) = 10$
3. $f(0) = 5$, $f(2) = 1$, $f(5) = -5$
4. $f(0) = 1$, $f(1) = \frac{1}{2}$, $f(-1) = \text{indefinida}$
5. $f(0) = \sqrt{4} = 2$, $f(5) = \sqrt{9} = 3$, $f(-3) = \sqrt{1} = 1$

b. Función lineal
1. Puntos: $(-2, -3)$, $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$
2. Pendiente $m = -3$, ordenada al origen $b = 4$
3. Es decreciente, ya que $m = 0.5 > 0$
4. Punto: $(0, 6)$
5. $4x – 8 = 0 \Rightarrow x = 2$

c. Funciones no lineales
1. $x^2 – 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x – 4) = 0 \Rightarrow x = 2,\ 4$
2. Vértice: $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-4} = 1$, $y = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$, vértice: $(1, 3)$
3. $f(0) = 2$, $f(1) = 6$, $f(2) = 18$
4. $f(1) = 0$, $f(10) \approx 2$
5. $f(1) = 1$, $f(-2) = -0.5$, $f(0.5) = 2$

d. Dominio y codominio
1. $x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$, dominio: $[2, \infty)$
2. $x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm2$, dominio: $\mathbb{R} \setminus {-2,\ 2}$
3. $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$, dominio: $(-3, \infty)$
4. Ejemplo: $f(x) = x^3$, dominio: $\mathbb{R}$
5. $x^2 \in [0, 9]$ para $x \in [-3, 2]$, codominio: $[0, 9]$

e. Coeficientes de correlación
1. Fuerte correlación positiva: al aumentar la masa, también aumenta la altura
2. Fuerte correlación negativa: a más ejercicio, menor frecuencia cardiaca
3. No hay relación lineal entre agua y temperatura
4. r = 1
5. Porque pueden estar influenciadas por una tercera variable o por coincidencia estadística

Problemas

Problema 1. Crecimiento de células inmunes
Durante una respuesta inmune, una población de células T se duplica cada 12 horas.
a. Si se parte de 1000 células, ¿cuántas habrá en 24 horas?
b. ¿Cuántas habrá después de 36 horas?
c. ¿Después de cuántas horas se superarán las 32,000 células?
Usa: $f(t) = 1000 \cdot 2^{t/12}$, donde $t$ está en horas.

Problema 2. Efecto de dosis de fármaco en respuesta fisiológica
Una investigadora estudia el efecto de un fármaco, midiendo la respuesta como: $R(x) = 10 \cdot \log(x + 1)$
a. ¿Cuál es la respuesta cuando la dosis es de 1 mg?
b. ¿Y cuando es de 9 mg?
c. ¿Qué ocurre si se duplica la dosis de 4 mg a 8 mg?

Respuestas modelo

Problema 1. Células inmunes
a. $f(24) = 1000 \cdot 2^{2} = 1000 \cdot 4 = 4000$
b. $f(36) = 1000 \cdot 2^{3} = 1000 \cdot 8 = 8000$
c. Buscamos $t$ tal que $1000 \cdot 2^{t/12} > 32000$
Dividiendo: $2^{t/12} > 32$
Como $2^5 = 32$, entonces $\frac{t}{12} > 5 \Rightarrow t > 60$
Respuesta: después de 60 horas

Problema 2. Dosis y respuesta
a. $R(1) = 10 \cdot \log(2) \approx 10 \cdot 0.301 = 3.01$
b. $R(9) = 10 \cdot \log(10) = 10 \cdot 1 = 10$
c. $R(4) = 10 \cdot \log(5) \approx 10 \cdot 0.699 = 6.99$,
$R(8) = 10 \cdot \log(9) \approx 10 \cdot 0.954 = 9.54$
La respuesta no se duplica, el crecimiento es más lento por la naturaleza logarítmica

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicios

a. Tipos de soluciones
Para cada sistema, indica el tipo de solución (única, infinitas o ninguna).
1. $\begin{cases} x + y = 4 \ x – y = 2 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 2x – y = 4 \ 4x – 2y = 8 \end{cases}$
3. $\begin{cases} 3x + y = 7 \ 3x + y = 2 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$
5. $\begin{cases} 2x + 3y = 6 \ 4x + 6y = 12 \end{cases}$

b. Método gráfico
Grafica cada sistema y determina visualmente su solución.
1. $\begin{cases} y = x + 1 \ y = -x + 5 \end{cases}$
2. $\begin{cases} y = 2x – 3 \ y = 2x + 1 \end{cases}$
3. $\begin{cases} x + y = 3 \ x – y = 1 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = -x + 2 \ y = x – 4 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = 0.5x \ y = -2x + 5 \end{cases}$

c. Método de sustitución
Resuelve cada sistema usando sustitución.
1. $\begin{cases} x + y = 7 \ x – y = 1 \end{cases}$
2. $\begin{cases} x = 2y \ x + y = 6 \end{cases}$
3. $\begin{cases} y = 3x – 5 \ 2x + y = 7 \end{cases}$
4. $\begin{cases} x = y + 4 \ x + y = 10 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = -x + 2 \ 2x + y = 4 \end{cases}$

d. Método de igualación
Resuelve cada sistema usando igualación.
1. $\begin{cases} y = 2x + 1 \ y = -x + 4 \end{cases}$
2. $\begin{cases} y = x – 3 \ y = -2x + 6 \end{cases}$
3. $\begin{cases} y = 3x + 2 \ y = x + 6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 4 \ y = -x + 1 \end{cases}$
5. $\begin{cases} y = 4x – 5 \ y = 2x + 1 \end{cases}$

e. Método de reducción
Resuelve cada sistema usando reducción (suma o resta).
1. $\begin{cases} x + y = 8 \ x – y = 2 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \ 5x – 2y = 8 \end{cases}$
3. $\begin{cases} 4x + y = 11 \ -4x + 2y = -6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x – 2y = 1 \ 2x + y = 7 \end{cases}$

Respuestas modelo

a. Tipos de soluciones
1. Una única solución
2. Infinitas soluciones
3. Ninguna solución
4. Una única solución
5. Infinitas soluciones

b. Método gráfico (estimación visual)
1. Se cortan en (2, 3)
2. Son paralelas → ninguna solución
3. Se cortan en (2, 1)
4. Se cortan en (3, -1)
5. Se cortan en (2, 1)

c. Método de sustitución
1. $x = 4$, $y = 3$ → (4, 3)
2. $x = 4$, $y = 2$ → (4, 2)
3. Sustituimos: $2x + (3x – 5) = 7 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{5}$
$y = 3 \cdot \frac{12}{5} – 5 = \frac{36}{5} – 5 = \frac{11}{5}$ → $\left( \frac{12}{5}, \frac{11}{5} \right)$
4. $x = y + 4$, sustituyendo: $y + 4 + y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$, $x = 7$ → (7, 3)
5. $y = -x + 2$, sustituyendo en la otra: $2x + (-x + 2) = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 0$ → (2, 0)

d. Método de igualación
1. $2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$, $y = 3$ → (1, 3)
2. $x – 3 = -2x + 6 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$, $y = 0$ → (3, 0)
3. $3x + 2 = x + 6 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 8$ → (2, 8)
4. $\frac{1}{2}x + 4 = -x + 1 \Rightarrow \frac{3}{2}x = -3 \Rightarrow x = -2$, $y = 3$ → (-2, 3)
5. $4x – 5 = 2x + 1 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$, $y = 7$ → (3, 7)

e. Método de reducción
1. Sumamos: $2x = 10 \Rightarrow x = 5$, $y = 3$ → (5, 3)
2. Sumamos: $8x = 20 \Rightarrow x = 2.5$, $y = 2.25$ → (2.5, 2.25)
3. Sumamos: $3y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{3}$, $x = \frac{11 – \frac{5}{3}}{4} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$ → $\left( \frac{7}{3}, \frac{5}{3} \right)$
4. Reducción directa: las ecuaciones son múltiplos → infinitas soluciones
5. Multiplicamos primera por 2: $2x – 4y = 2$
Restamos: $2x – 4y – (2x + y) = 2 – 7 \Rightarrow -5y = -5 \Rightarrow y = 1$
$x = 1 + 2 = 3$ → (3, 1)

Problemas

Problema 1. Mezcla de soluciones
En un laboratorio necesita preparar 10 litros de una solución al 40% de sal. Se tiene disponibles soluciones al 30% y al 60%.
Sea x la cantidad (en litros) de solución al 30% e y la del 60%.
a. ¿Cuántos litros de cada solución debe mezclar?

Problema 2. Nutrición celular
Una célula requiere exactamente 12 mg de proteína y 18 mg de glucosa. Dos soluciones nutritivas ofrecen:
• Solución A: 2 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota
• Solución B: 4 mg de proteína y 3 mg de glucosa por gota
¿Cuántas gotas de cada solución se necesitan para satisfacer los requerimientos?

Respuestas modelo

Problema 1. Mezcla de soluciones
Sistema:
$\begin{cases} x + y = 10 \ 0.30x + 0.60y = 0.40 \cdot 10 = 4 \end{cases}$
Multiplicamos segunda por 100:
$30x + 60y = 400$
Reducimos usando la primera:
$x = 10 – y$
$30(10 – y) + 60y = 400 \Rightarrow 300 – 30y + 60y = 400 \Rightarrow 30y = 100 \Rightarrow y = \frac{10}{3}$
$x = \frac{20}{3}$
Solución: Mezclar $\frac{20}{3} \approx 6.67$ L de solución al 30% y $\frac{10}{3} \approx 3.33$ L de la del 60%.

Problema 2. Nutrición celular
Sistema:
$\begin{cases} 2x + 4y = 12 \ 3x + 3y = 18 \end{cases}$
Simplificamos segunda: $x + y = 6$
Primera: $2x + 4y = 12$
Multiplicamos segunda por 2: $2x + 2y = 12$
Restamos: $2x + 4y – (2x + 2y) = 12 – 12 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0$
$x = 6$
Solución: 6 gotas de solución A y 0 gotas de B.

14. Matrices y determinantes

Ejercicios

a. Definición de matriz
1. Identifica $$a_{12}$ en la matriz $A = \begin{bmatrix} 7 & 8 & 9 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$
2. Determina el tamaño de la matriz $$B = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 5 & 6 \ 8 & 9 \end{bmatrix}$$
3. ¿Cuánto vale $a_{31}$ en la matriz? $$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$$
4. Da el valor de $a_{22}$ en la matriz $$D = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$$
5. ¿Qué posición ocupa el número 4 en la matriz? $$E = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

b. Tipos de matrices
Clasifica la matriz
1. $F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
2. $G = \begin{bmatrix} 7 \ 8 \ 9 \end{bmatrix}$
3. $H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
4. $I = \begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$
5. $J = \begin{bmatrix} 6 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices
Resuelve
• Suma y resta de matrices
1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & 3 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 9 & 0 \ -2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 5 \ 6 & -1 \end{bmatrix}$

• Multiplicación por un escalar
1. $3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 0 & 4 \end{bmatrix}$
2. $-2 \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$
3. $\frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$

• Multiplicación de matrices
1. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 2 & 0 \ 1 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 3 \end{bmatrix}$

d. Determinantes
1. Calcula el determinante de $$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 1 & 4 \end{bmatrix}$$
2. Calcula el determinante de $$B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \ -2 & 3 \end{bmatrix}$$
3. Usa la regl de Sarrus para $$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ -1 & 3 & 1 \ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$
4. ¿Cuál es el determinante de D? $$D = \begin{bmatrix} 2 & -3 \ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
5. Usa la regla de Sarrus en E. $$E = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \ 0 & -1 & 2 \ 4 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$

e. Matriz inversa
1. Verifica si la matriz $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$ tiene inversa
2. Calcula la inversa de $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \ 2 & 6 \end{bmatrix}$
3. Verifica si $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 4 \end{bmatrix}$ es invertible
4. Encuentra $A^{-1}$ si $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 2 & 3 \end{bmatrix}$
5. Verifica que $A \cdot A^{-1} = I$ para $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$

f. Resolución de sistemas con matrices
Resuelve
1. $\begin{cases} x + y = 6 \ 2x – y = 3 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \ x – y = 1 \end{cases}$
3. $\begin{cases} x + 2y = 5 \ 4x + y = 6 \end{cases}$
4. $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \ x – 2y = -3 \end{cases}$
5. $\begin{cases} x + y = 4 \ x – y = 2 \end{cases}$

Respuestas modelo

a. Definición de matriz
1. $a_{12} = 8$
2. Matriz $3 \times 2$
3. $a_{31} = 5$
4. $a_{22} = 4$
5. Está en la posición $(1,2)$

b. Tipos de matrices
1. Rectangular
2. Columna
3. Identidad (cuadrada)
4. Nula
5. Diagonal (cuadrada)

c. Operaciones con matrices
• Suma y resta de matrices
1. $\begin{bmatrix} 5 & 5 \ 5 & 5 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} 4 & 4 \ 4 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 5 & 5 \ 4 & 2 \end{bmatrix}$

• Multiplicación por un escalar
1. $\begin{bmatrix} 3 & -6 \ 0 & 12 \end{bmatrix}$
2. $\begin{bmatrix} -6 & -10 \ 2 & -4 \end{bmatrix}$
3. $\begin{bmatrix} 3 & 4 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$

• Multiplicación de matrices
1. $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = \boxed{11}$
2. $\begin{bmatrix} 2 & 8 \ 7 & 19 \end{bmatrix}$
3. $1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 2 + 0 + 6 = \boxed{8}$

d. Determinantes
1. $\det = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5$
2. $\det = 0 \cdot 3 – 5 \cdot (-2) = 10$
3. $\det = (1)(3)(1) + (0)(1)(2) + (2)(-1)(1) – (2)(3)(2) – (1)(1)(1) – (0)(-1)(1) = 3 + 0 – 2 – 12 – 1 – 0 = -12$
4. $\det = 2 \cdot 5 – (-3) \cdot 4 = 10 + 12 = 22$
5. $\det = 2(-1)(0) + 1(2)(4) + 3(0)(1) – 3(-1)(4) – 2(2)(1) – 1(0)(0) = 0 + 8 + 0 – (-12) – 4 – 0 = 16$

e. Matriz inversa
1. $\det = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 5 = 6 – 5 = 1 \Rightarrow$ sí tiene inversa
2. $\det = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10$
$A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 6 & -7 \ -2 & 4 \end{bmatrix}$
3. $\det = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 = 0 \Rightarrow$ no es invertible
4. $\det = 1 \cdot 3 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5$
$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 3 & 1 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
5. $A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

f. Resolución de sistemas con matrices
1. $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 6 \ 3 \end{bmatrix},\ \det = -3$
$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -1 & -1 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 3 \ 3 \end{bmatrix}$
2. $x = 3,\ y = 2$
3. $x = 1,\ y = 2$
4. $x = 0,\ y = \frac{8}{3}$
5. $x = 3,\ y = 1$

Problemas

Problema 1. Transporte de proteínas
Si se modela el flujo de proteínas entre dos compartimientos celulares con la matriz de transferencia:
$A = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix}$
y la distribución inicial es $B = \begin{bmatrix} 100 \ 50 \end{bmatrix}$.
a. ¿Cuál es la distribución luego de un ciclo?
b. ¿Y luego de dos ciclos?

Problema 2. Ecuaciones químicas
Un sistema de ecuaciones químicas está dado por:
$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \ 4x – y = 10 \end{cases}$
a. Escribe el sistema como $AX = B$
b. Encuentra $X$ usando matrices
c. Interpreta el resultado si $x$ y $y$ representan cantidades de reactivos

Respuestas modelo

Problema 1. Transporte de proteínas
a. $AB = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.3 \ 0.4 & 0.6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 100 \ 50 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 85 \ 70 \end{bmatrix}$
b. Repetimos:
$A \cdot \begin{bmatrix} 85 \ 70 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.7(85) + 0.3(70) \ 0.4(85) + 0.6(70) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 79.5 + 21 = 100.5 \ 34 + 42 = 76 \end{bmatrix}$

Problema 2. Ecuaciones químicas
a. $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 4 & -1 \end{bmatrix},\ X = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix},\ B = \begin{bmatrix} 16 \ 10 \end{bmatrix}$
b. $\det = 2(-1) – 3(4) = -2 – 12 = -14$
$A^{-1} = \frac{1}{-14} \begin{bmatrix} -1 & -3 \ -4 & 2 \end{bmatrix}$
$X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$
c. Se necesitan 2 unidades del primer reactivo y 4 del segundo para cumplir la reacción.

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/KNRxr9bn
• https://www.geogebra.org/m/un4g8hkx
• https://www.geogebra.org/m/xtr5qmcb

¡Ahora nos encontramos en la sección práctica!

Ahora que ya has revisado la teoría, es momento de ejercitar para entender los nuevos conceptos. En esta sección encontrarás ejercicios para ayudarte a reforzar lo aprendido y, sobre todo, para que ganes confianza resolviendo problemas paso a paso. Cada conjunto de ejercicios está organizado para que vaya aumentando de dificultad progresivamente.

La idea no es que sepas todo desde el principio, sino que practiques, cometas errores, aprendas de ellos y sigas avanzando. También encontrarás problemas aplicados a la biología para que veas cómo estos conceptos matemáticos se conectan con las ciencias aplicadas.

Tú decides el ritmo: puedes resolver un par de ejercicios por día, retomar aquellos que se te dificulten o revisar las respuestas modelo cuando lo necesites. Este material está hecho para apoyarte en tu proceso de aprendizaje, no para evaluarte.

Recuerda: cada problema resuelto es un paso más hacia una mejor comprensión de los modelos que dan sentido a los fenómenos biológicos.

¡Sigue adelante, estás haciendo un gran trabajo!

Módulo 1

1. Fracciones

Ejercicios

a. Definición de fracción
Indica en cada caso cuál es el numerador y cuál es el denominador.
1. En la fracción $\frac{3}{7}$:
2. En la fracción $\frac{9}{2}$:
3. En la fracción $\frac{5}{5}$:

b. Simplificación de fracciones
Simplifica cada una de las siguientes fracciones:
1. $\frac{8}{12}$
2. $\frac{15}{25}$
3. $\frac{30}{45}$
4. $\frac{21}{49}$
5. $\frac{18}{27}$

c. Operaciones con fracciones
• Suma y resta con distinto denominador
1. $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$
2. $\frac{5}{12} – \frac{1}{8}$
3. $\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$
4. $\frac{7}{15} – \frac{2}{9}$
5. $\frac{3}{8} + \frac{1}{3}$

• Multiplicación
1. $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$
2. $\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}$
3. $\frac{5}{6} \times \frac{6}{10}$
4. $\frac{4}{9} \times \frac{3}{7}$
5. $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2}$

• División
1. $\frac{3}{5} \div \frac{2}{3}$
2. $\frac{7}{9} \div \frac{1}{6}$
3. $\frac{8}{11} \div \frac{4}{11}$
4. $\frac{6}{7} \div \frac{3}{2}$
5. $\frac{10}{13} \div \frac{5}{13}$

d. Fracciones equivalentes
Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes:
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{5}$
3. $\frac{4}{7}$
4. $\frac{3}{8}$
5. $\frac{5}{6}$

e. Conversión de fracciones a decimales
Convierte cada fracción a su forma decimal.
1. $\frac{1}{2}$
2. $\frac{3}{4}$
3. $\frac{2}{5}$
4. $\frac{7}{8}$
5. $\frac{5}{6}$

f. Decimales exactos y periódicos
Clasifica cada uno de los siguientes decimales como exacto o periódico:
1. 0.25
2. $0.\overline{6}$
3. 0.125
4. $0.\overline{1}$
5. 0.75

g. Convertir decimales a fracciones
Convierte los siguientes decimales finitos a fracción:
1. 0.4
2. 0.05
3. 0.125
4. 0.2
5. 0.375

h. Convertir decimales periódicos a fracciones
Convierte los siguientes decimales periódicos a fracción:
1. $0.\overline{3}$
2. $0.\overline{6}$
3. $0.\overline{12}$
4. $0.\overline{45}$
5. $0.\overline{142857}$

Respuestas modelo 

a. Definición de fracción
1. Numerador: 3, Denominador: 7
2. Numerador: 9, Denominador: 2
3. Numerador: 5, Denominador: 5

b. Simplificación
1. $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$
3. $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$
4. $\frac{21}{49} = \frac{3}{7}$
5. $\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

c. Operaciones
• Suma/resta con igual denominador
1. $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
3. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
4. $\frac{5}{11}$
5. $\frac{5}{7}$

• Suma/resta con diferente denominador
1. $\frac{5}{12}$
2. $\frac{10}{96} = \frac{5}{48}$
3. $\frac{7}{10}$
4. $\frac{21}{45} – \frac{10}{45} = \frac{11}{45}$
5. $\frac{17}{24}$

• Multiplicación
1. $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
2. $\frac{7}{16}$
3. $\frac{30}{60} = \frac{1}{2}$
4. $\frac{12}{63} = \frac{4}{21}$
5. $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

• División
1. $\frac{9}{10}$
2. $\frac{42}{9} = \frac{14}{3}$
3. $\frac{8}{4} = 2$
4. $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$
5. $\frac{10}{5} = 2$

d. Fracciones equivalentes
1. $\frac{2}{6}, \frac{3}{9}, \frac{4}{12}$
2. $\frac{4}{10}, \frac{6}{15}, \frac{8}{20}$
3. $\frac{8}{14}, \frac{12}{21}, \frac{16}{28}$
4. $\frac{6}{16}, \frac{9}{24}, \frac{12}{32}$
5. $\frac{10}{12}, \frac{15}{18}, \frac{20}{24}$

e. Fracción a decimal
1. 0.5
2. 0.75
3. 0.4
4. 0.875
5. ≈ 0.833

f. Decimales exactos/periódicos
1. Exacto
2. Periódico
3. Exacto
4. Periódico
5. Exacto

g. Decimal a fracción
1. $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
2. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$
3. $\frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
4. $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
5. $\frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$

h. Decimal periódico a fracción
1. $\frac{1}{3}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{12}{99} = \frac{4}{33}$
4. $\frac{45}{99} = \frac{5}{11}$
5. $\frac{142857}{999999} = \frac{1}{7}$

Problemas 

Problema 1. Conteo de células en una muestra
En una muestra de tejido observada en microscopio se encuentra que $\frac{3}{8}$ de las células están en división activa, $\frac{1}{4}$ están en reposo, y el resto están muriendo o muertas.
a. ¿Qué fracción del total representan las células muertas?
b. ¿Qué porcentaje del total representan las células en reposo?
c. Si hay 800 células en total, ¿cuántas están en cada estado?

Problema 2. Dilución de una sustancia
Se necesita preparar una dilución de un antibiótico en un laboratorio. Se mezcla $\frac{2}{5}$ de solución con $\frac{3}{5}$ de agua destilada.
a. Si se preparan 100 mL de la mezcla, ¿cuántos mL corresponden a agua y cuántos a antibiótico?
b. Si la solución original tiene una concentración de 50 mg/mL, ¿cuál es la concentración final de antibiótico en la dilución?

Respuestas modelo

Problema 1. Conteo de células
a. Total = 1 (unidad).
Células en división: $\frac{3}{8}$
Células en reposo: $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$
Células muertas: $1 – \left( \frac{3}{8} + \frac{2}{8} \right) = \frac{3}{8}$
b. $\frac{1}{4} = 25%$
c. Total: 800 células
En división: $\frac{3}{8}$ × 800 = 300 células
En reposo: $\frac{1}{4}$ × 800 = 200 células
Muertas: 800 – (300 + 200) = 300 células

Problema 2. Dilución
a. 100 mL totales:
Agua: $\frac{3}{5} \times 100 = 60$ mL
Antibiótico: $\frac{2}{5} \times 100 = 40$ mL
b. Solución madre: 50 mg/mL
En los 40 mL: 50 × 40 = 2000 mg totales
Disueltos en 100 mL → concentración final: $\frac{2000\ \text{mg}}{100\ \text{mL}} = 20\ \text{mg/mL}$

Recursos digitales

• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles
• https://phet.colorado.edu/sims/html/fractions-intro/latest/fractions-intro_es.html

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2. Porcentajes

Ejercicios

a. Definición de porcentajes
Completa las siguientes oraciones con la fracción equivalente al porcentaje dado:
1. El 25 % de una cantidad es equivalente a $\frac{\quad}{100}$.
2. El 40 % de una muestra se puede expresar como $\frac{\quad}{100}$.
3. El 10 % de algo equivale a dividir entre ________.
4. El 100 % de una cantidad representa $\frac{\quad}{100} =$ ________.
5. Si tienes el 5 % de una población, eso representa una fracción de: ________.

b. Conversión de fracciones y decimales a porcentajes
Convierte las siguientes fracciones y decimales a porcentajes:
1. $\frac{1}{5}$
2. $\frac{2}{3}$
3. $\frac{3}{8}$
4. 0.45
5. 0.125

c. Conversión de porcentajes a decimales o fracciones
Convierte los siguientes porcentajes a decimales y fracciones simplificadas:
1. 60 %
2. 25 %
3. 12.5 %
4. 75 %
5. 5 %

d. Operaciones con porcentajes
Calcula el porcentaje indicado de la cantidad dada:
1. ¿Cuánto es el 20 % de 80?
2. ¿Cuánto es el 15 % de 200?
3. ¿Cuánto es el 60 % de 150?
4. ¿Cuánto es el 7.5 % de 400?
5. ¿Cuánto es el 2.5 % de 320?

Respuestas modelo 

a. Definición
1. $\frac{25}{100}$
2. $\frac{40}{100}$
3. 10
4. $\frac{100}{100} = 1$
5. $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$

b. Fracciones y decimales a porcentaje
1. $\frac{1}{5} = 0.2 \Rightarrow 20%$
2. $\frac{2}{3} \approx 0.666 \Rightarrow 66.6%$
3. $\frac{3}{8} = 0.375 \Rightarrow 37.5%$
4. $0.45 \times 100 = 45%$
5. $0.125 \times 100 = 12.5%$

c. Porcentajes a decimal y fracción
1. 60 % = $\frac{60}{100} = \frac{3}{5}$ = 0.6
2. 25 % = $\frac{1}{4}$ = 0.25
3. 12.5 % = $\frac{1}{8}$ = 0.125
4. 75 % = $\frac{3}{4}$ = 0.75
5. 5 % = $\frac{1}{20}$ = 0.05

d. Porcentaje de una cantidad
1. 20 % de 80 = 0.20 × 80 = 16
2. 15 % de 200 = 0.15 × 200 = 30
3. 60 % de 150 = 0.60 × 150 = 90
4. 7.5 % de 400 = 0.075 × 400 = 30
5. 2.5 % de 320 = 0.025 × 320 = 8

Problemas

Problema 1. Porcentaje de germinación
Una investigadora siembra 240 semillas de una especie vegetal en condiciones controladas. Después de una semana, observa que el 62.5 % ha germinado.
a. ¿Cuántas semillas han germinado?
b. ¿Qué fracción del total representa este porcentaje?
c. ¿Qué porcentaje de semillas no ha germinado?

Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
Una estudiante de biología analiza la dieta de un animal en cautiverio. Detecta que el 18 % del alimento es proteína, el 25 % grasa y el resto carbohidratos.
a. ¿Qué porcentaje de la dieta corresponde a carbohidratos?
b. Si el animal consume 500 gramos de alimento al día, ¿cuántos gramos de proteína consume?
c. ¿Cuál es la fracción que representa la grasa en la dieta?

Respuestas modelo

Problema 1. Porcentaje de germinación
a. 62.5 % de 240 = 0.625 × 240 = 150 semillas germinadas
b. 62.5 % = $\frac{5}{8}$
c. 100 % – 62.5 % = 37.5 % no germinadas → 0.375 × 240 = 90 semillas

Problema 2. Porcentaje de proteína en la dieta
a. 100% – (18 % + 25 %) = 57 % → carbohidratos
b. 18% de 500 = 0.18 × 500 = 90 gramos de proteína
c. 25 = $\frac{1}{4}$

Recursos digitales

• https://www.mathsisfun.com/percentage.html 
• https://polypad.amplify.com/p#fraction-circles

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3. Proporciones y razones

Ejercicios

a. Cálculo de proporciones
Resuelve las siguientes proporciones utilizando el producto cruzado:
1. $\frac{3}{4} = \frac{6}{x}$
2. $\frac{x}{5} = \frac{8}{10}$
3. $\frac{7}{x} = \frac{21}{9}$
4. $\frac{2}{x} = \frac{10}{25}$
5. $\frac{x}{12} = \frac{6}{18}$

b. Proporciones directas e inversas
Relaciona cada situación con proporción directa o inversa, y resuélvela si es posible:
1. Si 4 trabajadores construyen una cerca en 6 días, ¿cuántos días tomarán 2 trabajadores?
2. Una receta requiere 200 g de harina para 4 porciones. ¿Cuánta harina se necesita para 10 porciones?
3. Si un automóvil recorre 120 km en 2 horas, ¿cuántos km recorrerá en 5 horas a la misma velocidad?
4. Si 3 bombas vacían un tanque en 8 horas, ¿cuánto tardarán 6 bombas?
5. Si 6 estudiantes necesitan 12 libros, ¿cuántos libros necesitarán 9 estudiantes?

Respuestas modelo

a. Cálculo de proporciones
1. $3 × x = 4 × 6 \Rightarrow x = 8$
2. $x = \frac{5 × 8}{10} = 4$
3. $7 × 9 = 63 \Rightarrow x = 3$
4. $2 × 25 = 10 × x \Rightarrow x = 5$
5. $x = \frac{12 × 6}{18} = 4$

b. Proporciones directas e inversas
1. Inversa: $4 × 6 = 2 × x \Rightarrow x = 12$ días
2. Directa: $200 × \frac{10}{4} = 500$ g
3. Directa: $120 ÷ 2 = 60$ km/h × 5 = 300 km
4. Inversa: $3 × 8 = 6 × x \Rightarrow x = 4$ horas
5. Directa: $12 ÷ 6 = 2$ libros/estudiante → $2 × 9 = 18$ libros

Problemas 

Problema 1. Cultivo de bacterias
En un experimento de laboratorio, se cultivan bacterias en un medio durante 5 horas, observándose una relación directa entre el tiempo de cultivo y la población de bacterias. Si en 5 horas se observan 1 200 bacterias, ¿cuántas se esperan en 8 horas, suponiendo el mismo ritmo de crecimiento?

Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
Una veterinaria prescribe 15 mg de un fármaco por cada kg de peso corporal. ¿Cuántos mg necesita administrar a un animal que pesa 12 kg?

Problema 3. Proporción inversa en filtración
Un filtro puede purificar un volumen de agua en 10 horas. Si se utilizan 4 filtros trabajando a la vez, ¿en cuántas horas se hará el mismo trabajo?

Respuestas modelo 

Problema 1. Cutivo de bacterias
Proporción directa: $\frac{1200}{5} = x / 8 \Rightarrow x = \frac{1200 \times 8}{5} = 1920$ bacterias

Problema 2. Dosis proporcional de medicamento
15 mg por kg → 15 × 12 = 180 mg necesarios

Problema 3. Proporción inversa en filtración
Proporción inversa:
1 filtro → 10 horas
4 filtros: $1 \times 10 = 4 \times x \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2.5$ horas

Recursos digitales

• https://phet.colorado.edu/sims/html/ratio-and-proportion/latest/ratio-and-proportion_es.html

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4. Medidas de tendencia central

Ejercicios

a. Calcular la media
1. 6, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 1.2, 2.5, 3.0, 2.8
4. 10, 10, 10, 10
5. 5, 10, 15, 20, 25

b. Calcular la mediana
1. 4, 8, 10, 12, 14
2. 3, 7, 7, 9, 11, 13
3. 2.5, 1.0, 3.0, 2.0
4. 15, 10, 20, 5, 25
5. 4, 6, 6, 6, 8, 10

c. Calcular la moda
1. 4, 6, 4, 7, 4, 8
2. 2, 3, 3, 4, 4, 5
3. 5, 5, 3, 5, 5
4. 1, 2, 3, 4, 5
5. 3, 3, 6, 6, 6, 3

Respuestas modelo 

a. Media
1. $(6 + 8 + 10 + 12 + 14)/5 = 50/5 = 10$
2. $50/6 ≈ 8.33$
3. $1.2 + 2.5 + 3.0 + 2.8 = 9.5 \Rightarrow 9.5/4 = 2.375$
4. $40/4 = 10$
5. $75/5 = 15$

b. Mediana
1. Datos ordenados: 4, 8, 10, 12, 14 → Mediana = 10
2. Ordenados: 3, 7, 7, 9, 11, 13 → Mediana = $(7 + 9)/2 = 8$
3. Ordenados: 1.0, 2.0, 2.5, 3.0 → Mediana = $(2.0 + 2.5)/2 = 2.25$
4. Ordenados: 5, 10, 15, 20, 25 → Mediana = 15
5. Ordenados: 4, 6, 6, 6, 8, 10 → Mediana = $(6 + 6)/2 = 6$

c. Moda
1. Moda = 4
2. Modas = 3 y 4 (bimodal)
3. Moda = 5
4. No hay moda
5. Modas = 3 y 6 (ambas se repiten 3 veces)

Problemas

Problema 1. Longitud de hojas
Una bióloga mide la longitud (en cm) de las hojas de una planta: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. ¿Cuál es la media de las longitudes?
b. ¿Cuál es la mediana?
c. ¿Cuál es la moda?

Problema 2. Conteo de semillas
En un estudio de campo, se cuenta el número de semillas por fruto en una muestra de 7 frutos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. ¿Cuál es la media de semillas por fruto?
b. ¿Cuál es la moda?
c. ¿Cuál es la mediana?

Respuestas modelo

Problema 1. Longitud de hojas
Datos: 8.5, 9.0, 10.2, 9.5, 9.0
a. Media: $(8.5 + 9.0 + 10.2 + 9.5 + 9.0)/5 = 46.2/5 = 9.24$ cm
b. Mediana: Datos ordenados → 8.5, 9.0, 9.0, 9.5, 10.2 → Mediana = 9.0 cm
c. Moda: 9.0 (aparece 2 veces)

Problema 2. Conteo de semillas
Datos: 15, 18, 15, 19, 20, 15, 17
a. Media: $(15 + 18 + 15 + 19 + 20 + 15 + 17)/7 = 119/7 = 17$
b. Moda: 15 (aparece 3 veces)
c. Mediana: Ordenados → 15, 15, 15, 17, 18, 19, 20 → Mediana = 17

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/VwrBs6Pd
• https://www.geogebra.org/m/DHd6tXbh
• https://phet.colorado.edu/es/simulations/center-and-variability/activities

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5. Sucesiones

Ejercicios

a. Sucesiones aritméticas
1. Encuentra el término número 10 de la sucesión $4, 7, 10, 13, \dots$
2. ¿Cuál es la razón y el término 15 de la sucesión $-3, 0, 3, 6, \dots$?
3. Si $a_1 = 12$ y $d = -4$, encuentra $a_6$.
4. Encuentra el valor de $n$ tal que $a_n = 31$ en la sucesión $1, 5, 9, 13, \dots$
5. Determina los cinco primeros términos de una sucesión aritmética con $a_1 = 2$ y $d = 5$.

b. Sucesiones geométricas
1. Calcula el término número 6 de la sucesión $1, 2, 4, 8, \dots$
2. Si $a_1 = 5$ y $r = 3$, encuentra $a_4$.
3. ¿Cuál es la razón y el valor de $a_7$ para la sucesión $729, 243, 81, \dots$?
4. Encuentra los cinco primeros términos de la sucesión geométrica con $a_1 = 2$ y $r = -2$.
5. Si $a_3 = 36$, $a_1 = 4$, encuentra la razón $r$.

c. Sucesiones especiales
1. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión de Fibonacci.
2. Escribe los primeros 6 términos de la sucesión de cuadrados.
3. Determina si la sucesión $1, 2, 4, 7, 11, 16, \dots$ sigue un patrón. ¿Cuál es?
4. Escribe una sucesión que representa el doble de los números naturales.
5. En la sucesión de cubos $1, 8, 27, 64, \dots$, encuentra el término número 5.

Respuestas modelo

a. Sucesiones aritméticas
1. $a_{10} = 4 + (10 – 1) \cdot 3 = 4 + 27 = 31$
2. $d = 3$; $a_{15} = -3 + (15 – 1) \cdot 3 = -3 + 42 = 39$
3. $a_6 = 12 + (6 – 1)(-4) = 12 – 20 = -8$
4. $a_n = 1 + (n – 1) \cdot 4 = 31 \Rightarrow 4(n – 1) = 30 \Rightarrow n = 9$
5. Términos: 2, 7, 12, 17, 22

b. Sucesiones geométricas
1. $a_6 = 1 \cdot 2^5 = 32$
2. $a_4 = 5 \cdot 3^3 = 135$
3. $r = \frac{243}{729} = \frac{1}{3}$; $a_7 = 729 \cdot (\frac{1}{3})^6 = 1$
4. Términos: 2, -4, 8, -16, 32
5. $a_3 = a_1 \cdot r^2 \Rightarrow 36 = 4 \cdot r^2 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3$ o $r = -3$

c. Sucesiones especiales
1. Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34
2. Cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36
3. La diferencia entre términos crece en +1: $+1, +2, +3, +4, +5 \dots$
→ Sucesión con incremento creciente
4. Sucesión: $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$
5. $a_5 = 5^3 = 125$

Problemas

Problema 1. División celular
Una bacteria se divide en dos cada hora. Si comenzamos con una sola célula, ¿cuántas habrá después de 10 horas?

Problema 2. Longitud de una planta
Una planta crece 3 cm por semana. Si mide 10 cm en la semana 1, ¿cuánto medirá en la semana 12?

Problema 3. Semillas en espiral
Una flor presenta una espiral de semillas que sigue la sucesión de Fibonacci. Si el número de semillas en cada fila sigue esa regla, ¿cuántas semillas habrá en la 9ª fila?

Respuestas modelo

Problema 1. División celular
Sucesión: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$ (geométrica, $a_1 = 1$, $r = 2$)
$a_{11} = 1 \cdot 2^{10} = 1024$ células

Problema 2. Longitud de una planta
Sucesión: aritmética con $a_1 = 10$, $d = 3$
$a_{12} = 10 + (12 – 1) \cdot 3 = 10 + 33 = 43$ cm

Problema 3. Semillas en espiral
Fibonacci: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$
→ 9ª fila: 34 semillas

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6. Potencias y exponentes

Ejercicios

a. Definición de potencia
1. $(-2)^5$
2. $-2^5$
3. $3^4$
4. $5^{-3}$
5. $2^{-5}$

b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4}$
2. $\frac{3^8}{3^5}$
3. $(2^6)^2$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2)$
5. $\left(\frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}}\right)^2$

c. Exponentes especiales
1. $7^0$
2. $\frac{4^7}{4^7}$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}$

d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$

e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3}$
2. $8^{3/2}$
3. $16^{1/4}$
4. $32^{-4/5}$
5. $16^{-5/4}$

Respuestas modelo

a. Evaluación de potencias
1. $(-2)^5 = -32$
2. $-2^5 = -(2^5) = -32$
3. $3^4 = 81$
4. $5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
5. $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

b. Propiedades de las potencias
1. $\frac{4^7}{4^4} = 4^{7-4} = 4^3 = 64$
2. $\frac{3^8}{3^5} = 3^{8-5} = 3^3 = 27$
3. $(2^6)^2 = 2^{6 \cdot 2} = 2^{12} = 4096$
4. $(2a^2b^3)(3a^4b^2) = 6a^{2+4}b^{3+2} = 6a^6b^5$
5. $\left( \frac{2x^{3/4}y^2}{x^{1/2}y^{1/3}} \right)^2 = \left( 2x^{3/4 – 1/2}y^{2 – 1/3} \right)^2 = \left( 2x^{1/4}y^{5/3} \right)^2 = 4x^{1/2}y^{10/3}$

c. Exponentes especiales
1. $7^0 = 1$
2. $\frac{4^7}{4^7} = 4^{7 – 7} = 4^0 = 1$
3. $\left(\frac{8}{15}\right)^{-3} = \left(\frac{15}{8}\right)^3 = \frac{3375}{512}$
4. $\left(\frac{5}{9}\right)^{-1} = \frac{9}{5}$
5. $\left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{1}\right)^2 = 16$

d. Potencias con fracciones
1. $\left(\frac{3}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{5}{3}\right)^4 = \frac{625}{81}$
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$
3. $\left(\frac{5}{11}\right)^{-6} = \left(\frac{11}{5}\right)^6 = \frac{1771561}{15625}$
4. $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$
5. $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}$

e. Exponentes fraccionarios
1. $27^{2/3} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
2. $8^{3/2} = (\sqrt{8})^3 = (2\sqrt{2})^3 = 8\sqrt{2} \approx 11.31$
3. $16^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2$
4. $32^{-4/5} = \left( \sqrt[5]{32} \right)^{-4} = (2)^{-4} = \frac{1}{16}$
5. $16^{-5/4} = \left( \sqrt[4]{16} \right)^{-5} = (2)^{-5} = \frac{1}{32}$

Problemas

Problema 1. Crecimiento bacteriano
En un cultivo de laboratorio, una cepa bacteriana se reproduce por mitosis, duplicando su cantidad cada hora. Si se empieza con 1 bacteria:
a. ¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas?
b. ¿Y después de 10 horas?
c. ¿Después de cuántas horas habrá más de 1 000 bacterias?
Pista: Usa la fórmula $N = 2^t$, donde $N$ es el número de bacterias y $t$ el tiempo en horas.

Problema 2. Concentración de una sustancia
Una sustancia radiactiva utilizada en un experimento biológico se desintegra siguiendo la ley: $C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$, donde: $C_0$ es la concentración inicial, $t$ es el tiempo en horas. Si $C_0 = 80$ mg/L, responde:
a. ¿Cuál es la concentración después de 3 horas?
b. ¿Y después de 6 horas?
c. ¿Después de cuánto tiempo la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$?

Respuestas modelo

Problema 1. Crecimiento bacteriano
a. $2^6 = 64$ bacterias
b. $2^{10} = 1024$ bacterias
c. Buscamos $t$ tal que $2^t > 1000$.
Como $2^{10} = 1024$, la respuesta es después de 10 horas.

Problema 2. Sustancia radioactiva
Dada la fórmula: $C(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3}$
a. $C(3) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40\ \text{mg/L}$
b. $C(6) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\ \text{mg/L}$
c. Buscamos $t$ tal que:
$80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < 10 \Rightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{t/3} < \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{t}{3} > 3 \Rightarrow t > 9$
Entonces, la concentración será menor a $10\ \text{mg/L}$ después de 9 horas.

Recursos digitales

• https://www.geogebra.org/m/gVCB8NH5
• https://www.geogebra.org/m/MVHA2rAU
• https://www.geogebra.org/m/RF9x43uA

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7. Radicales y racionalización

Ejercicios

a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72}$
2. $\sqrt{50}$
3. $\sqrt{98}$
4. $\sqrt{200}$
5. $\sqrt{432}$

b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2}$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}}$
3. $\sqrt{49x^2}$
4. $\sqrt[3]{27x^3}$
5. Escribe como potencia de exponente fraccionario y simplifica: $\sqrt[4]{16x^8}$

c. Racionaliza 
1. $\frac{1}{\sqrt{5}}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}}$

d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2}$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}}$

Respuestas modelo

a. Simplifica las raíces
1. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
2. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
3. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
4. $\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$
5. $\sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$

b. Aplica las propiedades de raíces y simplifica
1. $\sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$
2. $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$
3. $\sqrt{49x^2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{x^2} = 7|x|$
4. $\sqrt[3]{27x^3} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{x^3} = 3x$
5. $\sqrt[4]{16x^8} = (16x^8)^{1/4} = 2x^2$

c. Racionaliza
1. $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$
2. $\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
3. $\frac{5}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$
4. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$
5. $\frac{7}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{11}$

d. Racionaliza con conjugados (binomios)
1. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} – 1} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2 – 1} = \sqrt{2} – 1$
2. $\frac{3}{\sqrt{5} – 2} \cdot \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{3(\sqrt{5} + 2)}{5 – 4} = 3(\sqrt{5} + 2) = 3\sqrt{5} + 6$
3. $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} – 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{3 – 1} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$
4. $\frac{2}{3 + \sqrt{7}} \cdot \frac{3 – \sqrt{7}}{3 – \sqrt{7}} = \frac{2(3 – \sqrt{7})}{9 – 7} = \frac{6 – 2\sqrt{7}}{2} = 3 – \sqrt{7}$
5. $\frac{4}{\sqrt{2} – \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 – 3} = \frac{4(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -4\sqrt{2} – 4\sqrt{3}$

Problemas 

Problema 1. Transporte de nutrientes
Un estudio calcula que la velocidad de absorción de nutrientes en una raíz sigue una relación proporcional a $\sqrt{t}$, donde $t$ es el tiempo en horas.
Si después de 4 horas la velocidad es de 2 cm/h, ¿cuál sería la velocidad después de 9 horas?

Problema 2. Células bajo el microscopio
La superficie visible de una célula vista al microscopio se modela con $\sqrt{A}$, donde $A$ es el área proyectada en $\mu m^2$. Si un biólogo observa dos células con áreas de 72 y 50 $\mu m^2$, ¿cuál es la diferencia entre sus superficies visibles simplificadas?

Respuestas modelo

Problema 1. Transporte de nutrientes
La relación es proporcional a $\sqrt{t}$.
Después de 4 horas: $\sqrt{4} = 2 \Rightarrow 2$ cm/h
Después de 9 horas: $\sqrt{9} = 3 \Rightarrow 3$ cm/h
Respuesta: La velocidad después de 9 horas es de 3 cm/h

Problema 2. Células bajo el microscopio
Área 1: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$
Área 2: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
Diferencia: $6\sqrt{2} – 5\sqrt{2} = \sqrt{2}$
Respuesta: La diferencia entre las superficies visibles es de $\sqrt{2} , \mu m$

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¡Hola de nuevo!

Si estás leyendo esto, ya recorriste un buen tramo en el camino de Modelos Biomatemáticos I. En este segundo módulo encontrarás herramientas que te ayudarán a comprender conceptos más complejos, pero igual de interesantes, y así ampliar tu capacidad para modelar, interpretar y comprender fenómenos biológicos.

En este segundo módulo exploraremos contenidos esenciales como ecuaciones, logaritmos, desigualdades, iteraciones, funciones, sistemas de ecuaciones, matrices y más. Aunque algunos de estos temas pueden parecer desafiantes, no estás solo en este proceso: encontrarás aquí explicaciones claras, ejemplos aplicados y ejercicios pensados para ayudarte a conectar estos conceptos con situaciones reales en biología.

Tómate tu tiempo, explora, equivócate sin miedo y vuelve a intentar. Este es un espacio para aprender y seguir construyendo confianza.

Espero que este material te siga acompañando y ayudando a ver las matemáticas no solo como una asignatura más, sino como una herramienta para seguir navegando en el mundo biomatemático. Vamos paso a paso… pero ya estás mucho más cerca de dominarlo.

¡Ánimo!

Módulo 2

8. Ecuaciones y factorización

a. Definición de ecuación

Una ecuación es una igualdad que contiene una o más variables, y representa una condición que debe cumplirse.

Ejemplo: $2x + 3 = 7$

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad.

b. Ecuaciones lineales (primer grado)

Las ecuaciones lineales de primer grado tienen la forma general: $ax + b = c$.

Para resolver:
Paso 1. Agrupar términos semejantes.
Paso 2. Aislar la variable.
Paso 3. Despejar.

Ejemplo: $5(x + 2)-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 10-3 = 2x + 4 \Rightarrow 5x + 7 = 2x + 4 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1$

c. Resolución de ecuaciones cuadráticas (segundo grado)

Las ecuaciones de segundo grado tienen la forma general: $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$, b y c son constantes.

• Factorización
  Factorizar una expresión algebraica es reescribirla como un producto de factores más simples. Esto es muy útil para resolver ecuaciones y simplificar expresiones.

Casos comunes:

■ Factor común: $abx^2 + acx = ax(bx + c)$

Se saca el mayor factor que todos los términos tienen en común.

Ejemplo: $4x^4 + 8x^3 = 4x^3(x + 2)$

■ Diferencia de cuadrados: $a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)$

Ejemplo: $9x^2 – 16 = (3x – 4)(3x + 4)$

■ Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Ejemplo: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

■ Trinomio general: $ax^2 + bx + c = (dx + e)(fx + g)$

Buscamos dos números que multiplicados den $a \cdot c$ y que sumen b.
Luego se reescribe y agrupa.

Ejemplo: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

■ Suma o diferencia de cubos: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$

■ Agrupación: Se agrupan en pares y se factoriza dos veces.

Ejemplo: $x^3 – 6x^2 – 4x + 24 = (x^2 – 6x) – (4x – 24) = x(x – 6) -4(x – 6) = (x – 4)(x – 6)$

• Fórmula general
  La fórmula general permite resolver cualquier ecuación cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a},$$ donde a, b, y c son los coeficientes de la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$.
El término $b^2 – 4ac$ se llama discriminante, y nos indica que:

○ si $b^2-4ac > 0$, hay dos soluciones reales distintas,
○ si $b^2-4ac = 0$, hay una solución real doble,
○ si $b^2-4ac < 0$, no hay soluciones reales (son complejas).

Ejemplo: $2x^2-4x-6 = 0$

Identificamos que a = 2, b = −4, c = −6

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{4}$$

$$x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x = \frac{12}{4} = 3, \quad x = \frac{-4}{4} = -1$$

• Completando el cuadrado
  Este método transforma un trinomio cuadrático en el cuadrado de un binomio, útil en geometría analítica, física y más.

Se procede de la siguiente manera:

Paso 1. Asegúrate de que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Si no lo es, divide toda la ecuación.
Paso 2. Toma la mitad del coeficiente de x, elévalo al cuadrado.
Paso 3. Súmalo y réstalo en la expresión.
Paso 4. Agrupa el trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:

$x^2 + 6x + 5$

Tomamos la mitad de 6 → $\frac{6}{2} = 3$, al cuadrado: 9

$x^2 + 6x + 9 – 4 = (x + 3)^2 – 4$

Otro ejemplo con coeficiente diferente de 1:

$2x^2 + 8x + 3$

Factor común en los dos primeros términos:

$2(x^2 + 4x) + 3$

Completo cuadrado dentro del paréntesis:

$2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 3 = 2((x + 2)^2 – 4) + 3 = 2(x + 2)^2 – 8 + 3 = 2(x + 2)^2 – 5$

9. Desigualdades

a. Definición de desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que compara dos expresiones usando los símbolos de menor que (<), mayor que (>), menor o igual que (≤) y mayor o igual que (≥).

Ejemplos:
• $3 < 5$
• $x + 2 \geq 10$
A diferencia de las ecuaciones, que tienen soluciones exactas, las desigualdades representan conjuntos de soluciones que satisfacen una condición.

b. Propiedades de las desigualdades

Suma y resta:
Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$.
Es análogo para la resta: Si $a < b$, entonces $a – c < b – c$.

Multiplicación o división por un número positivo:
Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$.

Multiplicación o división por un número negativo:
Si $a < b$ y $c < 0$, entonces $ac > bc$. 
Ojo: ¡El signo de desigualdad se invierte!


Ejemplo 1. Desigualdad lineal simple

Resolviendo: $2x – 3 < 5$
Paso 1. Sumar 3 a ambos lados: $2x < 8$
Paso 2. Dividir entre 2: $x < 4$
Solución: Todos los x menores que 4.

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo abierto en 4 y una flecha hacia la izquierda.

Ejemplo 2. Desigualdad con cambio de signo

Representación gráfica: 
Una línea numérica con un círculo cerrado en 1 y una flecha hacia la izquierda.

c. Desigualdades cuadráticas

Para resolver desigualdades del tipo $x^2 – 5x + 6 > 0$ se procede:

Paso 1. Factorizamos: $(x – 2)(x – 3) > 0$
Paso 2. Identificamos los ceros: $x = 2$ y $x = 3$
Paso 3. Probamos los intervalos:
• $x < 2$ → positivo
• $2 < x < 3$ → negativo
• $x > 3$ → positivo
Solución: $x < 2$ o $x > 3$

Representación gráfica: 

d. Formas de escribir las soluciones

Las soluciones de desigualdades se pueden expresar en:

• Forma verbal: Todos los números mayores que 5.
• Notación con desigualdades: $x > 5$
• Notación de intervalo: $(5, \infty)$
Recuerda: Si usas aréntesis ( ), se excluye el número y se llama intervalo cerrado; y si usas corchetes [ ], se incluye el número y se llama intervalo abierto.

10. Logaritmos

a. Definición de logaritmo

Un logaritmo es el exponente al que hay que elevar una base para obtener un número dado. Se expresa como:

$\log_b a = x$ si y solo si $b^x = a$, 

donde b es la base del logaritmo (debe ser positiva y distinta de 1), a es el argumento (el número del que tomamos el logaritmo), x es el resultado, es decir, el exponente que buscamos.

Ejemplos:

• $\log_2 8 = 3$, porque $2^3 = 8$
• $\log_{10} 1000 = 3$, porque $10^3 = 1000$

b. Logaritmos comunes y naturales

• Logaritmo común

Si la base es 10 $\Longrightarrow \log a = \log_{10} a$

• Logaritmo natural

Si la base es e (número de Euler, aprox. 2.718) $\Longrightarrow \ln a = \log_e a$

c. Propiedades de los logaritmos

• Producto: $$\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y$$

• Cociente: $$\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x – \log_b y$$

• Potencia: $$\log_b (x^r) = r \cdot \log_b x$$

• Logaritmo de 1:

$\log_b 1 = 0$ cualquier número elevado a 0 da 1.

• Logaritmo de la base: $$\log_b b = 1$$

d. Cambio de base

A veces necesitamos calcular un logaritmo con una base distinta a la que tenemos disponible (por ejemplo, en una calculadora). La fórmula es:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Usualmente se usa la base 10 o e (logaritmo común o natural).

Ejemplo:

$$\log_2 100 = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 2} \approx \frac{2}{0.3010} \approx 6.64$$

e. Aplicaciones de logaritmos en biología

Los logaritmos aparecen en muchos modelos de crecimiento, poblaciones, reacciones químicas y escalas biológicas.

Ejemplo. Crecimiento poblacional

El modelo exponencial: $P(t) = P_0 e^{kt}$

Si queremos encontrar el tiempo que tarda en alcanzarse cierta población P(t), usamos logaritmos:

$$t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{P(t)}{P_0}\right)$$

Ejemplo. Escala logarítmica en el pH

La fórmula del pH es: $\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]$

Si la concentración de iones hidrógeno $1 \times 10^{-7}$, entonces:

$\text{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = 7$

11. Iteración

a. Definición de iteración

Una iteración es un proceso que consiste en aplicar repetidamente una misma regla o fórmula, donde el valor siguiente depende del valor anterior. Se representa generalmente como:

$$x_{n+1} = f(x_n)$$

Ejemplo:
Comienza con el número 1 y suma 2 en cada paso: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
Aquí cada número se obtiene sumando 2 al anterior. La regla es: $x_{n+1} = x_n + 2$

b. Propiedades de las iteraciones

• Condición inicial: toda iteración necesita un valor de partida. A partir de él, se generan los siguientes valores. Por ejemplo $x_0 = 1$.
• Regla de cambio: es la fórmula o relación que se aplica en cada paso. Por ejemplo $x_{n+1} = 2x_n$.
• Dependencia del tiempo o pasos: iterar es como avanzar en el tiempo, en cada paso, el sistema cambia según la regla dada.

Ejemplo:
Si $x_0 = 1$ y la regla es $x_{n+1} = 2x_n$​, la secuencia será: $1, 2, 4, 8, 16, \dots$

Ejemplo aplicado:
Una población de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio hay 100 bacterias:

$P_0 = 100$, se tiene que $P_{n+1} = 2P_n$​

Los primeros valores son:

$$P_1 = 2(100) = 200 \quad P_2 = 2(200) = 400 \quad P_3 = 2(400) = 800 \dots$$

c. Crecimiento lineal vs. crecimiento exponencial

(agregar grafs)

Paso	Crecimiento lineal (suma 100)	Crecimiento exponencial (duplica)
0	100	100
1	200	200
2	300	400
3	400	800

---

d. Iteraciones con fórmulas más complejas:

Algunas iteraciones incluyen otros elementos, como tasas de crecimiento, disminución, o límites. Por ejemplo:

$$x_{n+1} = x_n + r x_n (1 – \frac{x_n}{K})$$

Esta es una forma iterativa del modelo logístico, usado para describir poblaciones con límite ambiental.

12. Funciones y sus gráficas

a. Definición de función

Una función es una relación matemática entre dos variables, donde a cada elemento del conjunto variables independientes (dominio) le corresponde exactamente un elemento del conjunto de variables dependientes (rango). 

Se representa generalmente como: $f(x) = y$, donde x es la variable independiente (entrada), y es la variable dependiente (salida), f es la regla que asigna a cada x un único valor y.

Ejemplo:
Si $f(x) = 2x + 1$, entonces: $f(1) = 2(1) + 1 = 3,\quad f(2) = 2(2) + 1 = 5$.

b. Función lineal

Una función lineal tiene la forma general $f(x) = mx + b$, donde m es la pendiente (indica el crecimiento), b es la ordenada al origen (el valor de y cuando $x = 0$). 

Análisis gráfico:
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• La pendiente m determina si la recta sube (m > 0) o baja (m < 0).
• El valor b indica el punto donde la recta corta al eje Y.

Ejemplo:
Una planta crece 2 cm por día, con una altura inicial de 5 cm:

$f(x) = 2x + 5$ (5 cm de altura inicial) Graficar

c. Funciones no lineales

No todas las relaciones son lineales. Muchas veces en biología hay curvas, aceleraciones o desaceleraciones.

￭ Cuadrática
Tiene la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$

Análisis gráfico:
• La gráfica es una parábola tal que si a > 0, se abre hacia arriba, si a < 0, se abre hacia abajo.
• El vértice es el punto de mínimo (si a > 0) o máximo (si a < 0).
• Las raíces (o ceros) de la función son los valores de x donde $f(x) = 0$, y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Puntos importantes:
• Vértice: punto máximo o mínimo.
• Raíces: valores de x que hacen que $f(x) = 0$ (pueden calcularse con la fórmula cuadrática).

Ejemplo:

$f(x) = -2x^2 + 4x + 1$ Esta parábola se abre hacia abajo. El vértice y las raíces permiten analizar cómo varía la función con el tiempo, por ejemplo en procesos de crecimiento que luego disminuyen.

￭ Exponencial
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot b^x$, donde a es el valor inicial, si b > 1 hay crecimiento exponencial, si 0 < b < 1 hay decaimiento exponencial.

Análisis gráfico:
• Crece o decrece rápidamente.
• Siempre es positiva si a > 0.
• A medida que $x \to \infty$, f(x) crece si b > 1; si b < 1, decrece hacia 0.

Ejemplo:
Crecimiento bacteriano: $f(x) = 100 \cdot 2^x$

￭ Logarítmica
Tiene la forma general $f(x) = a \cdot \log(x)$, donde se define sólo para x > 0, y a ajusta la escala.

Análisis gráfico:
• Crece, pero muy lentamente conforme x aumenta.
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 (no puede tomar valores negativos).

Ejemplo:
Respuesta fisiológica a un estímulo, como percepción del sonido o intensidad de luz.

￭ Racionales
Su forma general es $f(x) = \frac{1}{x}$. 

Análisis gráfico:
• Tiene dos ramas (una en cada lado del eje y),
• No está definida en x = 0,
• Tiene una asíntota vertical en x = 0 y una asíntota horizontal en y = 0.

Ejemplo:
Relaciones inversas como velocidad y tiempo: a mayor velocidad, menor tiempo.

￭ Potencial o alométrica
Su forma general es $y = a \cdot x^k$, donde a es una constante de proporcionalidad, k puede ser positivo o negativo, entero o fraccionario.

Análisis gráfico:
• Si k > 1: crecimiento acelerado.
• Si 0 < k < 1: crecimiento desacelerado.
• Si k < 0: decrecimiento.

Ejemplo:
Relación entre masa corporal y tasa metabólica: $f(x) = 70 \cdot x^{0.75}$
Este tipo de función describe cómo cambia una variable fisiológica en función del tamaño corporal.

d. Dominio y codominio

• Dominio: conjunto de todos los posibles valores de entrada x que hacen que la función esté bien definida.

• Codominio: conjunto de todos los posibles valores de salida y.

Ejemplo:
Para $f(x) = \sqrt{x}$, el dominio es $x \geq 0$, porque no se puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo (en los reales).

e. Coeficientes de correlación

Cuando se tiene un conjunto de datos empíricos o experimentales (por ejemplo, mediciones de dos variables en una muestra), es útil saber qué tan fuertemente están relacionadas.

El coeficiente de correlación (r) mide la intensidad y dirección de una relación lineal entre dos variables, es decir, permite cuantificar qué tan bien se ajustan a una función lineal.

$-1 \leq r \leq 1$

• $r \approx 1$: correlación positiva fuerte (ambas variables aumentan juntas).
• $r \approx -1$: correlación negativa fuerte (una aumenta mientras la otra disminuye).
• $r \approx 0$: no hay relación lineal.

Ejemplo:
Si midieras la longitud del ala y el peso de aves, podrías obtener un r cercano a 0.8, indicando una fuerte relación positiva.

Otro ejemplo:
Una investigadora mide la concentración de glucosa en sangre en función del tiempo después de una comida. Si los datos tienen r = −0.92, se puede decir que la concentración de glucosa disminuye de forma lineal conforme pasa el tiempo.

Importante recordar: Correlación no implica causalidad. Que dos variables estén relacionadas no significa que una cause la otra.

13. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Resolver un sistema significa encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente.

a. Solución de un sistema

Una solución puede ser un par ordenado $(x, y)$ que satisfaga todas las ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones:

• Una única solución (sistema compatible determinado)
Las rectas se cortan en un único punto, por lo que el sistema tiene solución única.

• Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
Las rectas son la misma recta (coinciden totalmente), entonces todas las soluciones de una son soluciones de la otra.

• Ninguna solución (sistema incompatible)
Las rectas son paralelas y no se cortan, entonces no hay valores que satisfagan las ecuaciones a la vez.

b. Métodos de resolución

￭ Método gráfico
Consiste en graficar ambas ecuaciones en el plano cartesiano y observar el punto (si existe) donde se cruzan las rectas.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

• Primera recta: $y = -x + 4$
• Segunda recta: $y = x – 2$
Graficando, se cruzan en el punto (3, 1). Esa es la solución del sistema.

￭ Método de sustitución

Paso 1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones.
Paso 2. Se sustituye en la otra ecuación.
Paso 3. Se resuelve y luego se reemplaza para encontrar la otra variable.

Ejemplo:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ x – y = 2 \end{cases}$$

Paso 1. De la primera ecuación, despejamos $x = 4 – y$
Paso 2. Sustituimos en la segunda

$(4 – y) – y = 2 \Rightarrow 4 – 2y = 2 \Rightarrow y = 1$

Paso 3. Reemplazamos en $x = 4 – y$

$x = 4 – 1 = 3$

Solución: (3, 1)

￭ Método de igualación

Paso 1. De despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
Paso 2. De igualan las expresiones.
Paso 3. De resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo:

$$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$$

Paso 1. Como ya están ambas ecuaciones igualadas a y, se continúa al siguiente paso.
Paso 2. Se igualan ambas ecuaciones

$2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$

Paso 3: se resuelve que $y = 2(1) + 1 = 3$
Solución: (1, 3)

￭ Método de reducción (o suma y resta)

Paso 1. Se multiplican las ecuaciones (si es necesario) para que, al sumarlas o restarlas, una variable se elimine.
Paso 2. Se resuelve la variable restante y luego se reemplaza.

Ejemplo:

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x – y = 1 \end{cases}$$

Paso 1. $(2x + y) + (x – y) = 5 + 1 \Longrightarrow 3x = 6 \Longrightarrow x = 2$
Paso 2. $2 – y = 1 \Longrightarrow y = 1$
Solución: (2, 1)

14. Matrices y determinantes

a. Definición de matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, ordenados en filas y columnas.

Se denota por una letra mayúscula (como A, B, M…), y sus elementos se representan con subíndices:

$A = a_{ij}​$, donde i es el número de la fila y j el de la columna.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

Esta es una matriz de 2 filas y 3 columnas, o matriz $2 \times 3$ (se dice “dos por tres”).
En este caso se puede observar que $a_{11} = 1$ y $a_{23} = 6$.

b. Tipos de matrices

Las matrices se pueden clasificar según su forma y contenido. 

Tipo de matriz	Descripción	Ejemplo
Matriz fila	Solo tiene una fila.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$
Matriz columna	Solo tiene una columna.	$\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}​$​​
Matriz rectangular	Número de filas distinto al de columnas.	$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$
Matriz cuadrada	Mismo número de filas y columnas (n × n). Sólo las matrices cuadradas tienen determinante e inversa.	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz diagonal	Cuadrada, sólo tiene elementos no nulos en la diagonal principal.	$\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$
Matriz identidad	Diagonal con unos en la diagonal principal	$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
Matriz nula	Todos sus elementos son cero	$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

c. Operaciones con matrices

Las matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse, siempre que cumplan ciertas condiciones.

• Suma y resta de matrices
Sólo pueden sumarse o restarse matrices del mismo tamaño, es decir, con igual número de filas y de columnas.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$, $$B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

$$A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación por un escalar
Se multiplica cada elemento de la matriz por ese número.

Ejemplo:

$$2 \cdot A = 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$$

• Multiplicación de matrices
Solo se puede multiplicar una matriz $A_{m \times n}$​ por una matriz $B_{n \times p}$​: las columnas de la primera deben coincidir con las filas de la segunda. El resultado será una matriz $C_{m \times p}$​.

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \Rightarrow AB = (1)(3) + (2)(4) = 11$$

d. Determinantes

El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Es importante para saber si un sistema de ecuaciones tiene solución única, calcular la inversa de una matriz.

Se denota como $\det(A)$ o $|A|$.

• Determinante de una matriz 2×2

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad – bc$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \det(A) = (3)(4) – (2)(1) = 12 – 2 = 10$$

• Determinante de una matriz 3×3 (Regla de Sarrus)
La regla de Sarrus permite calcular de forma rápida el determinante de una matriz 3×3.
Dada una matriz

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$$

Paso 1. Repite las dos primeras columnas a la derecha

$$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}​$$

Paso 2. Suma los productos de las diagonales principales

$$a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}$$

Paso 3. Resta los productos de las diagonales secundarias

$$a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}$$

Ejemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}$$

Paso 1.

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{bmatrix}​$$

Paso 2.

$1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 = 45 + 84 + 96 = 225$

Paso 3.

$3 \times 5 \times 7 + 1 \times 6 \times 8 + 2 \times 4 \times 9 = 105 + 48 + 72 = 225$

Determinante: 225 – 225 = 0

e. Matriz inversa
La inversa de una matriz A (si existe), denotada $A^{-1}$, es aquella tal que:

$$A \cdot A^{-1} = I$$

Solo existen inversas para matrices cuadradas y no singulares (es decir, cuyo determinante no es cero).

f. Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices
Un sistema lineal puede escribirse como $AX = B$, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y B es la matriz de resultados.
Si A es invertible, se cumple que $X = A^{-1} \cdot B$.

Ejemplo:
Sea el sistema

$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x – y = 4 \end{cases}$$

Se tiene que

• Matriz de coeficientes: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$
• Incógnitas: $X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
• Resultados: $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$
• $A \cdot X=B$

Luego se calcula la inversa de A
Determinante: $det(A) = (2)(−1) − (3)(1) = − 2 − 3 = −5$
Inversa de A:

$$A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix}$$

Después se multiplica $A^{-1} \cdot B = X$

$$X = A^{-1} \cdot B = \begin{bmatrix} 0.2 & 0.2 \\ 0.6 & -0.4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Multiplicamos:

• Primera fila: $0.2 \times 5 + 0.2 \times 4 = 1 + 0.8 = 1.8$
• Segunda fila: $0.6 \times 5 + (-0.4) \times 4 = 3 – 1.6 = 1.4$
Se obtiene que $X = \begin{bmatrix} 1.8 \\ 1.4 \end{bmatrix} \quad \Longrightarrow \quad x = 1.8,\ y = 1.4$