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Geometría Moderna II. Potencia de un punto

1.1 Potencia de un punto

Denotaremos la circunferencia como \(C(O,r)\) con \(O\) como el centro y \(r\) el radio.

Sea una circunferencia dada en un plano y \(P\) un punto cualquiera en esta, se tiene \(l\) una linea que interseca \(C(O,r)\) en \(A\) y \(B\) ; El producto de \(PA\) y \(PB\) es constante es decir: \(PA \times PB = cte\) . (Se demostrara mas adelante)

Definición

La potencia de un punto \(P\) con respecto a una circunferencia es el producto de sus distancias a cualquier pareja de puntos en una circunferencia que sean colineales con \(P\) . ( \(Pot(P,C)\) es definido como la potencia de \(P\) con respecto a una circunferencia \(C\) )

\(PA \times PB = Pot(P,C)\)

De esto se sigue que la potencia de un punto es:

  1. \(Pot(P,C) > 0\) Positiva
  2. \(Pot(P,C) < 0\) Negativa
  3. \(Pot(P,C) = 0\) Cero

Lo anterior es porque el punto P esta dentro, fuera o en la circunferencia.

Casos:

  • Sea \(P\) un punto externo a \( C(O,r)\) entonces $PA>0$ y $PB>0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) > 0\)
  • Sea \(P\) un punto interno a \( C(O,r)\) entonces $PA<0$ y $PB>0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) < 0\)
  • Sea \(P\) un punto en \( C(O,r)\) entonces $PA=0$ ó $PB=0$ $\Rightarrow$ \(Pot(P,C) = 0\)

Por otra parte se denotan 3 proposiciones:

Proposición 1:

Sea $l$ una recta secante que pasa por un punto $P$ a una circunferencia $C(O,r)$ $\Rightarrow$ $Pot(P,C) =PA \times PB = PC \times PD = cte$.

Demostración (Por casos cuando $P$ esta adentro o fuera de la circunferencia)

  • Dentro de la circunferencia:

Sean dos cuerdas arbitrarias $AB$ y $CD$ en la circunferencia que se cortan en $P$; Los triangulos $\triangle APC$ y $\triangle DPB$ son semejantes ya que :

  1. $\angle PAC = \angle PDB $ mismo arco $\overline{BC}$.
  2. $\angle APC = \angle BPD $ por opuestos al vertice.
  3. $\angle PCA = \angle PBD $

Entonces de la semejanza $\triangle APC \cong \triangle DPB $

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB} \Rightarrow PA\times PB =PC \times PD$

$\Rightarrow cte=PA\times PB=PC\times PD=Pot(P,C)$ $\blacksquare$

  • Fuera de la circunferencia:

Sean $AB$ y $CD$ dos secantes que se intersecan en $P$ exterior a $C$ .

$\triangle APC \cong \triangle DPB $ son semejantes ya que:

  1. El cuadrilatero $\square ABDC$ es cíclico entonces: $\angle ACD + \angle ABD = 180^o $ y $\angle ABD + \angle DBP = 180^o $ $\Rightarrow$ $\angle DBP = \angle ACD $
  2. $\angle BPD$ y $\angle CPA$ son los mismos angulos.

Entonces $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$

$\Rightarrow PA\times PB=PC\times PD=cte=Pot(P,C)$ $\blacksquare$

Proposición 2:

Desde un punto exterior $P$ de una circunferencia $C$, su potencia es igual al cuadrado de la longitud de una tangente de él a la circunferencia.

Es decir

Sea $PT$ una tangente a $C(O,r)$ $\Rightarrow$ $Pot(P,C)=PT^2$

Demostración (Por demostrar $PA\times PB =PT^2$)

El angulo $\angle PTA$ es semi-inscrito y es igual al ángulo inscrito $ \angle TBA$ pues ambos tienen el mismo arco $\overline{AT}$.

Entonces los triángulos $\triangle APT$ y $\triangle TPB$ comparten el ángulo con vértice en $P$ y $\angle PTA=\angle TBA$. Por lo cual se tiene por semejanza de ángulos, se sigue $\triangle APT \cong \triangle TPB $ son semejantes y sus lados son proporcionales:

$\frac{AP}{TP} = \frac{PT}{PB} \Longleftrightarrow PA\times PB=PT\times PT=PT^2=Pot(P,C) \blacksquare$

Proposición 3:

Sea $P$ un punto en cualquier posición, su potencia con rspecto a una circunferencia $C(O,r)$, es $\overline{PO}^2 – r^2$

$Pot(P,C) = \overline{OP}^2 – r^2$

Demostración (Por casos)

Caso 1: Punto interno a la circunferencia:

Sea $\overline{AB} $ la cuerda que pasa por el centro $O$ y $P$.

Entonces el producto es : $PA\times PB=(r+d)(r-d)=r^2-d^2$

Entonces sucede lo mismo para cualquier otra cuerda :

$PC\times PD= r^2-d^2 =r^2-OP^2$

Ahora $PC$ y $PD$ son sentidos opuestos $\Rightarrow PC\times PD \leq 0 \Longleftrightarrow -(PC\times PD) \geq 0$ y como $ r^2-OP^2 \geq 0$ $\Rightarrow -( PC\times PD) = r^2 – OP^2 \Rightarrow (PC\times PD) = OP^2 -r^2 $

$\Rightarrow Pot(P,C)=OP^2-r^2$ $\blacksquare$

Caso 2: Punto externo a la circunferencia:

$P$ un punto exterior de $C(O,r)$.

Desde $P$ se traza una tangente a $C(O,r)$. Ahora como $\angle PTO =90^o =\frac{\pi}{2}$ entonces $\triangle POT$ es un triángulo rectangulo, entonces por Pitagoras:

$OP^2=PT^2+OT^2 \Longleftrightarrow PT^2=OP^2-OT^2=OP^2-r^2$

Por proposición 2 $\Rightarrow Pot(P,C) =PT^2=OP^2-r^2 $ $\blacksquare$

Dadas las 3 proposiciones anteriores, se puede expresar lo potencia de un punto $P$ respecto a $C(O,r)$:

$Pot(P,C) = PA \times PB =PT^2=OP^2-r^2$

Más adelante…

Se seguira abordando el tema de potencia de un punto y su relación con el eje radical de dos circunferencias.

Al final de los temas de esta primer unidad se dejara unas series de ejercicios.

Entradas relacionadas

Teoría de los Conjuntos I: Axiomas débiles

Introducción

A continuación hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Veremos que a partir de dichos axiomas podemos deducir a los axiomas de existencia, de par, de unión y de conjunto potencia.

Axiomas débiles

Veamos que nos dicen los axiomas débiles de la teoría de conjuntos:

  • Axioma débil de existencia: Existe un conjunto.
  • Axioma débil del par: Para cualesquiera $a,b$ existe un conjunto $c$ tal que $a\in c$ y $b\in c$.
  • Axioma débil de unión: Para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ tal que $x\in a$ y $a\in s$, entonces $x\in U$.
  • Axioma débil del conjunto potencia: Para cualquier conjunto $a$ existe un conjunto $p$ tal que si $x\subseteq a$ entonces $x\in p$.

Diferencias entre axiomas débiles y los axiomas

Notemos que hay ligeras diferencias con los axiomas que hemos visto hasta ahora, sin embargo, esto hace que no sean iguales.

El axioma débil de existencia nos asegura que existe al menos un conjunto, sin embargo, no necesariamente será el conjunto vacío.

Por su parte, para $a$ y $b$ conjuntos el axioma débil de par nos otorga un conjunto cuyos elementos serán $a$ y $b$, pero no necesariamente serán sus únicos elementos como en el caso del axioma del par.

Ejemplo:
Sean $a$ y $b$ conjuntos, existe $c=\set{a, b, \emptyset}$. Tenemos que en efecto $a\in c$ y $b\in c$, sin embargo, $\emptyset\in c$. Por lo que, el conjunto que nos otorga el axioma débil del par no necesariamente resultar ser un par no ordenado.

$\square$

El axioma débil de unión nos asegura que para cualquier conjunto $s$ existe un conjunto $U$ cuyos elementos serán los elementos de los elementos de $s$, sin embargo, $U$ puede tener elementos $x$ que no cumplan que $x\in a$ y $a\in s$.

Ejemplo:

Si $s=\set{\emptyset, \set{\emptyset}}$ tenemos que $U=\set{\emptyset, b}$ con $b\not=\emptyset$ un conjunto. Por un lado, $\emptyset\in \set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\in s$, pero $b\in s$.

$\square$

Finalmente, para el axioma débil del conjunto potencia pasa algo parecido. Si $a$ es un conjunto, el axioma nos otorga un conjunto $p$ cuyos elementos son aquellos que están contenidos en $a$, pero no necesariamente serán los únicos elementos del conjunto $p$.

Ejemplo:

Sea $a=\set{\emptyset}$, tenemos que existe $p=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\set{\emptyset}}}$. Notemos que $\emptyset\subseteq a=\set{\emptyset}$ y $\set{\emptyset}\subseteq a=\set{\emptyset}$. Sin embargo, $\set{\set{\emptyset}}\not\subseteq a$ pues $\set{\emptyset}\in \set{\set{\emptyset}}$ pero $\set{\emptyset}\notin \set{\emptyset}$.

$\square$

Axioma débil de existencia y axioma esquema de comprensión implican axioma de existencia:

Demostración:

Sea $A$ el conjunto que existe por axioma débil de existencia. Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in A: x\not=x}$

es conjunto.

Veamos que $\set{x: x\not=x}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in A: x\not=x}=\set{x:x\not=x}$.

$\subseteq$] Sea $y\in \set{x\in A:x\not=x}$, entonces $y\in A$ y $y\not=y$. Por lo tanto, $y\in \set{x:x\not=x}$.

Así, $\set{x\in A: x\not=x}\subseteq \set{x:x\not=x}$.

$\supseteq$] Supongamos que $\set{x: x\not=x}\not\subseteq\set{x\in A:x\not=x}$ en busca de una contradicción. Entonces existe $y\in \set{x:x\not=x}$ tal que $y\notin {x\in A:x\not=x}.

Dado que $y\in \set{x:x\not=x}$ tenemos que $y\not=y$ lo cuál es una contradicción y por lo tanto, debe ocurrir que $\set{x: x\not=x}\subseteq\set{x\in A:x\not=x}$.

$\square$

Axioma débil de par y axioma esquema de comprensión implican axioma de par:

Demostración:

Sean $a$ y $b$ conjuntos. Sea $c$ el conjunto que existe por axioma débil de par. Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}$

es conjunto.

Veamos que $\set{x: x=a\ o\ x=b}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}=\set{x:x\in a\ o \ x=b}$.

$\subseteq$] Sea $y\in \set{x\in c:x=a\ o\ x=b}$, entonces $y\in c$ y es tal que $y=a$ o $y=b$. Por lo tanto, $y\in \set{x:x=a\ o\ x=b}$.

Así, $\set{x\in c: x=a\ o\ x=b}\subseteq\set{x:x\in a\ o \ x=b}$.

$\supseteq$] Supongamos que $y\in \set{x: x=a\ o\ x=b}$. Entonces $y=a$ o $y=b$.

Caso 1: Si $y=a$, dado que $a\in c$ entonces $y\in c$.

Caso 2: Si $y=b$, dado que $b\in c$ entonces $y\in c$.

Por lo tanto, $y\in \set{x\in c: x=a\ o\ x=b}$ y así $\set{x: x=a\ o\ x=b}=\set{x\in c:x\in a\ o \ x=b}$.

$\square$

Axioma débil de unión y axioma esquema de comprensión implican axioma de unión:

Demostración:

Sea $a$ un conjunto y sea $d$ el conjunto que nos otorga el axioma débil de unión.

Luego, por axioma esquema de comprensión tenemos que

$\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$

es conjunto.

Veamos que $\set{x: \exists y\in a(x\in y)}$ es conjunto. Para ello basta ver que $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}=\set{x:\exists y\in a(x\in y)}$.

$\subseteq$] Sea $z\in \set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}$, entonces $z\in d$ y es tal que existe $y\in a$ tal que $z\in y$. Por lo tanto, $z\in \set{x: \exists y\in a(x\in y)}$.

Así, $\set{x\in d: \exists y\in a(x\in y)}\subseteq \set{x:\exists y\in a(x\in y)}$.

$\supseteq$] Supongamos que $z\in \set{x:\exists y\in a(x\in y)}$. Entonces, existe $y\in a$ tal que $z\in y$. Así, $z\in d$ y por lo tanto, $z\in \set{x\in d:\exists y\in a(x\in y)}.

Por lo tanto, $\set{x: \exists y\in a(x\in y) }=\set{x\in d:\exists y\in a(x\in y)}$.

$\square$

Tarea moral

La siguiente lista de ejercicios te ayudará a poner en práctica lo que hemos visto en esta sección pues ahora tú tendrás que dar algunos ejemplos distintos a los de esta entrada que nos permitan diferenciar a los axiomas débiles de los axiomas que conocemos de la teoría de los conjuntos:

  • Demuestra que se puede inferir el axioma del conjunto potencia del axioma débil del conjunto potencia y del axioma esquema de comprensión.
  • Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil de par y el axioma de par.
  • Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil de unión y el axioma de unión.
  • Da un ejemplo que muestre la diferencia entre el axioma débil del conjunto potencia y el axioma del conjunto potencia.

Más adelante…

En este momento hemos sentado las bases para nuestro curso de teoría de conjuntos. En la siguiente lección comenzaremos a hablar acerca del complemento de un conjunto. Este nuevo conjunto también se tratara de una operación entre conjuntos. Sus resultados como las leyes de De Morgan, nos serán de gran utilidad para hacer álgebra de conjuntos.

Enlaces

En los siguientes enlaces podrás encontrar algunas entradas que te servirán para repasar los conceptos que utilizaremos más adelante:

Teoría de los Conjuntos I: El axioma de buena fundación

Introducción

En esta entrada hablaremos acerca del axioma de buena fundación. Este axioma nos permitirá decir cuando un conjunto esta bien fundado, es decir, bien construido. Además daremos otro argumento para probar que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Sobre el axioma

Axioma de buena fundación: Para cualquier conjunto $X$ no vacío, existe $u\in X$ tal que $u\cap X=\emptyset$.

Ejemplos:

  • Sea $A=\set{\emptyset}$, el único elemento que tiene $A$ es $\emptyset$ y en efecto, $A\cap \emptyset=\emptyset$. Esto último ocurre pues no existe ningún conjunto $x$ tal que $x\in \set{\emptyset}$ y $x\in \emptyset$.
  • Consideremos al conjunto $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}$. Veamos que existe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$. Dado que $B$ es un conjunto pequeño podemos explorar que ocurre con cada uno de sus elementos:
    – Para $\emptyset\in B$ tenemos que $\emptyset\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\emptyset$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset}\in B$ ocurre que $\set{\emptyset}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\emptyset}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    – Si consideramos $\set{\set{\emptyset}}\in B$ ocurre que $\set{\set{\emptyset}}\cap \set{\emptyset, \set{\emptyset},\set{\set{\emptyset}}}=\set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\set{\emptyset}}$ tampoco funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in B$ tal que $u$ y $B$ no tienen elementos en común.
  • Si $C=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$. Haciendo un análisis de los elementos del conjunto $C$ tenemos lo siguiente:
    – Para $\set{\emptyset}\in C$ tenemos que $\set{\emptyset}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}=\emptyset$ pues $\emptyset\in\set{\emptyset}$ pero $\emptyset\notin \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}$.
    – Ahora, para $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\in C$ ocurre que $\set{\emptyset,\set{\emptyset}}\cap \set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}}= \set{\set{\emptyset}}\not=\emptyset$. Por lo tanto, $\set{\emptyset}$ no es el conjunto que nos funciona.
    Por lo tanto, existe $u=\emptyset\in C$ tal que $u$ y $C$ no tienen elementos en común.

$\square$

Conjuntos que no existen

El axioma de buena fundación juega un papel importante para decir que conjuntos no pueden existir. Veamos los siguientes resultados:

Teorema: Para cualquier conjunto $x\not=\emptyset$, no es cierto que $x\in x$. Es decir, ningún conjunto se puede pertenecer a si mismo.

Demostración:
Supongamos que si existe un conjunto $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$. Luego, $\set{x}$ es un conjunto por el axioma de par y es tal que $x\in \set{x}$.
De lo anterior tenemos que $x\cap \set{x}=x$ lo cuál contradice al axioma de buena fundación. Dado que la contradicción vino de suponer que existe $x\not=\emptyset$ tal que $x\in x$ va a resultar que no existe un conjunto que haga tal cosa.

$\square$

Teorema: Sean $a$ y $b$ conjuntos no vacíos. No existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

Demostración:
Supongamos que si existen ciclos de $a\in b\in c$. Luego, por el axioma de par podemos considerar al conjunto $\set{a,b}$. Dado que $\set{a,b}$ es un conjunto pequeño podemos analizar que pasa con cada uno de sus elementos:
– Para $a\in\set{a,b}$ tenemos que $a\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $b\in a$ y $b\in \set{a,b}$,
– Si tomamos a $b\in\set{a,b}$ tenemos que $b\cap\set{a,b}\not=\emptyset$ pues $a\in b$ y $a\in \set{a,b}$.

Sin embargo, en todas las posibilidades obtenemos una contradicción al axioma de fundación. Así, no existen ciclos de la forma $a\in b\in a$.

$\square$

El conjunto de todos los conjuntos

Antes probamos que la colección que tiene como elementos a todos los conjuntos no es un conjunto con ayuda de la paradoja de Russell. En esta sección también probaremos que no es un conjunto pero esta vez apoyados del axioma de buena fundación.

Proposición: Para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

Demostración:

Supongamos que $\mathcal{P}(x)\subseteq x$, entonces para cualquier $y\in \mathcal{P}(x)$, $y\in x$. Dado que $x\subseteq x$, entonces $x\in \mathcal{P}(x)$. Así, $x\in x$ y por lo tanto, $x\cap \mathcal{P}(x)\not=\emptyset$. Esto último contradice al axioma de buena fundación. Por lo tanto, para cualquier conjunto $x$, $\mathcal{P}(x)\not\subseteq x$.

$\square$

Teorema: Demuestra que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración:

Supongamos que si existe. Sea $V$ el conjunto de todos los conjuntos. Por axioma de conjunto potencia tenemos que $\mathcal{P}(V)$ es un conjunto y es tal que $\mathcal{P}(V)\not\subseteq V$. Así, existe $x\in \mathcal{P}(V)$ tal que $x\notin V$ lo que comtradice que $V$ tiene a todos los conjuntos.

Por lo tanto, el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

La intersección del conjunto vacío

Así como existen diversas formas de escribir al conjunto vacío, también hay varias formas de escribir a la colección de todos los conjuntos. Resulta que si queremos intersecar al conjunto vacío no obtenemos al vacío, sino que obtenemos dicha colección, al conjunto universo.

$\bigcap \emptyset$ no es un conjunto.

Demostración: Supongamos que $\bigcap\emptyset$ si es un conjunto. Sea $x\in \bigcap\emptyset$, entonces para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$. Sin embargo, $y\in \emptyset$ es falso para cualquier conjunto $y$ y por lo tanto, para cualquier $y$ tal que $y\in \emptyset$ implica que $x\in y$ es verdadero. (Ver tabla de verdad del conectivo implicación: Teoría de los Conjuntos I: Repaso sobre lenguaje de la Teoría de los Conjuntos)

Esto significa que cualquier conjunto que demos va a pertenecer a $\bigcap \emptyset$, es decir, este conjunto tiene como elementos a todos los conjuntos. Es decir, $\bigcap \emptyset= V$, y por tanto no es un conjunto.

$\square$

Tarea moral

  • Prueba que para $A_1, A_2,\cdots A_n$ conjuntos, el ciclo $A_0\in A_1\in A_2\in\cdots\in A_n\in A_0$ no existe.
  • Sea $A=\set{\set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in A$ tal que $u\cap A=\emptyset$.
  • Sea $B=\set{\emptyset, \set{\emptyset}, \set{\emptyset,\set{\emptyset}}, \set{\emptyset, \set{\emptyset, \set{\emptyset}}}}$. Exhibe $u\in B$ tal que $u\cap B=\emptyset$.
  • Da una propiedad que describa al conjunto de todos los conjuntos.
  • Prueba que para cualquier conjunto $X$, $X\cap \emptyset=\emptyset$.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos acerca de los axiomas débiles de la teoría de los conjuntos. Así mismo veremos como dichos axiomas junto con el de esquema de comprensión implican los axiomas que hemos visto hasta ahora. De modo que la siguiente entrada nos servirá para hacer un recordatorio sobre todo lo que hemos visto hasta este momento.

Enlaces

Puedes acceder a los siguientes enlaces para recordar la paradoja de Russell y la operación intersección:


Cálculo Diferencial e Integral II: Introducción a funciones de varias variables

Introducción

Con esta sección acabamos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II, por lo que daremos una breve introducción a funciones de varias variables ya que su siguiente curso de Cálculo Diferencial e Integral III se enfoca en varias variables. Comencemos definiendo una función en varias variables.

Funciones en varias variables

Def: Una función $f:D\subset \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}$ es que a cada punto $X \space \epsilon \space D$ le corresponde un único punto $Y \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ lo cual se denota como $Y=f(X)$ y que llamaremos la imagen del punto $X$ mediante la función $f$.

Observemos que a $X$ se define como:

$$X=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …., x_{n})$$

y la función $f$:

$$f(X)=(f_{1}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), …., f_{m}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}))$$

Donde cada $f_{i}$ con $i=1,….,m$ es la componente i-esima de la función $f$, asi:

$$f=(f_{1},…., f_{m})$$

Ejemplos

  • Sea $f:D\subset \mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{2}$ definida como:

$$f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \frac{sen(xy)}{x-y})$$

Donde $D={(x,y,z) \space\epsilon \space \mathbb{R}^{3}}$ con $\space x \neq y$. Las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\space \space \space \space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=\frac{sen(xy)}{x-y}$$

  • Sea $f:\mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{3}$ definida como $f(x,y,z)=(x^{2}, y^{2}, x^{2}-z^{2})$ por lo que las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}\space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=y^{2} \space \space \space \space f_{3}(x,y,z)=x^{2}-z^{2}$$

El conjunto $\mathbb{R}^{n}$ tiene estructura de espacio vectorial si definimos las operaciones de suma y producto por escalares como sigue:

  • Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, Y=(y_{1}, ….., y_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$X+Y=(x_{1}, …., x_{n})+(y_{1}, …., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, …., x_{n}+y_{n})$$.

  • Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, \lambda \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$\lambda X=\lambda (x_{1}, …., x_{n})=(\lambda x_{1}, …., \lambda x_{n})$$.

Por eso mismo, a $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores.

Def:

Si $m=1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$ es una función real o campo escalar de n-variables.

Si $m>1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ es una función vectorial o un campo vectorial de n-variables y m-componentes.

Veamos la definición de una grafica en varias variables.

Def: Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$. Se define la gráfica de la función $f$ como:

$$Gr(f)={(x_{1}, …., x_{n},y) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n+1}: (x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space D, y=f(x_{1}, …., x_{n}) }$$

Cuando $n=1$ la representación de $f$ nos proporciona una curva en $\mathbb{R}^{2}$, en el caso cuando $n=2$ nos proporciona una superficie en $\mathbb{R}^{3}$.

Curvas de nivel

En general, para una función de dos variables no es facil graficarla por lo que tenemos que recurrir a otras tecnicas para graficar estas funciones, una tecnica se le conoce como curvas de nivel el cual consiste en que la función se igual a una constante.

$$f(x,y)=k$$

Donde $k$ es una constante.

Gráficamente lo que se esta haciendo es que a la grafica de la función $f(x,y)$ la estamos cortando en «rebanadas» para cada valor de $k$ distinta por lo que veremos para cada corte, una parte de la grafica de la función $f(x,y)$.

Veamos el siguiente ejemplo.

Figura 1: Función $f(x,y)$ cortada por dos planos.

De la figura $(1)$ tenemos la función de dos variables $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ que es el cono azul de la figura $1$, si le hacemos unos cortes por dos planos con valores $k=2$ y $k=4$ obtendremos que las curvas de nivel (viéndolos desde la perspectiva de arriba) se notan como circunferencias como se muestran en la figura $(2)$.

Figura 2: Curvas de nivel para los valores $k=2$ y $k=4$ a la función $f(x,y)$.

Análogamente a este método de graficar funciones de dos variables, para tres variables se puede hacer lo mismo el cual se le conoce como el método de curvas de superficies.

Otro concepto importante para esta introducción a varias variables es la topología, lo que es usual en una variable el concepto de una función dentro de un intervalo abierto, cerrado, propio o impropio, se extiende estos concepto para funciones de varias variables. Como esta sección es una pequeña introducción a funciones de varias variables no se verán estos conceptos pero si se recomienda tener un poco de noción de estos conceptos de topología.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionado con el tema visto.

  1. Encuentra el dominio y el rango de la función $f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$
  2. Sea la función $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}$, hallas las curva de nivel con $k=1,2 \space y \space 3$
  3. Obtén la grafica de la función $z=x^{2}-y^{2}$
  4. Hallar las superficies de nivel de la función $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ con $k=0$ y $k=-1$

Más adelante…

En esta entrada vimos una introducción a las funciones de varias variables como paso para estudiar estas funciones de varias variables con mas detenimiento en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, así como se estudio las funciones de una variable.

Con esta entrada concluimos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Propiedades Básicas de la Integral Definida.

Introducción

Para poder extender las propiedades de la integral debemos partir de la construcción que generemos para definir la integral, como el límite de la suma:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i$$

Donde el intervalo $[a,b]$ es cortado en subintervalos de longitud $\Delta x_i$, el número $\xi_i$ es cualquier valor en el i-ésimo subintervalo y los $\Delta x_i$ tienden a cero cuando $n \rightarrow \infty$

I. Aditividad

Sea $c$ cualquier valor entre $[a,b]$, entonces.

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

Consideremos una partición $P$ tal que un punto de la partición es igual a $c$. Es decir, $P$ es partición del intervalo $[a,b]$, con $n$ subintervalos y en el k-ésimo intervalo tiene la propiedad qué $x_k=c$. De esta forma, podemos partir la partición $P$ original en 2.

$$P = P_1 \ + \ P_2$$

En donde:

$$P_1 = \{a=x_0, x_1, … , x_k=c\}$$

$$ P_1 = \{c={x_k}, x_{k+1}, … , x_n=b\}$$

Por lo tanto, con lo que hemos visto en la unidad «Motivación de la Integral y Sumas de Riemann», replicamos el proceso con ambas particiones. Como tarea moral queda en replicar en detalle la suma.

En términos generales quedarían de la siguientes sumas.

$$\overline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) $$

$$\underline{S} (f,P) = \underline{S} (f,P_1) \ + \ \underline{S} (f,P_2) $$

Y si restamos ambas sumas, obtendríamos algo de la siguiente manera.

$$ \overline{S} (f,P) \ – \ \underline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) \ – \ \underline{S} (f,P_1) \ – \ \underline{S} (f,P_2) \ < \ \epsilon $$

Y como la resta de las sumas es menor a $\epsilon$

Hasta ahora hemos visto cuando siempre se cumple la condición de $a<b$, vemos otros casos.

a) a=b

Estamos intentando integrar una función de un punto, al mismo punto. Si tomamos la definición de sumar áreas, no hay forma de generar alguna figura geométrica que tenga un área contenida, el área sería cero.

$$ \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Si tomamos la propiedad de la adición, podemos descomponerlo de la siguiente forma.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Por lo que podemos encontrar el siguiente caso:

b) c<a

Con esto podemos definir $ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx $ para $c<a$ por la fórmula

$$ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \ – \ \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx $$

Observación:

Si la propiedad b la ocupamos para la propiedad a, podemos ver lo siguiente.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx ~ – \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ = 0$$

La propiedad b la ocupamos en el ejercicio de la sección anterior porque se necesitaba calcular el área de una sección que se encontraba en el cuarto cuadrante del plano cartesiano, pero esto por la condición del área que debe ser positiva, ¿Qué pasa si una función sigue en el primer cuadrante pero el intervalo es de la forma anterior? Porque, a fin de cuentas, si el valor de la integral es positivo, tiene un signo negativo multiplicando el resultado de la integral y da negativo.

Aquí necesitamos entender que importa en que dirección se construye la gráfica de la función.

Si al momento de graficar la función, el movimiento desde el límite inferior hacía el límite superior es decreciente sobre los valores de las $x’s$, la integral se considerará negativa.

En otras palabras, la integral será negativa si al momento de recorrer el intervalo que se nos da, los valores van decreciendo.

Por ejemplo, si el intervalo es $[5,1]$, la forma en que se recorría al momento de graficar sería del 5 al 1, (5,4,3,a2,1); es un comportamiento decreciente y, si la función es positiva, la integral será negativa.

II. Integral de una suma

Sean $f(x) \ \&\ \ g(x)$ dos funciones integrables, entonces:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

Demostración:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i ] \ + \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$\ = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i \ + \ \sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \lim_{n \to \infty} \{ \sum_{i=1}^{n} [f(\xi_i) \ \ + \ g(\xi_i)] \ \Delta x_i \} $$

$$= \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx$$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx ~ ~ \blacksquare$$

Podemos hacer el caso análogo cuando tenemos una diferencia de funciones.

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ – \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ – \ g(x)] \ dx $$

III. Producto con una constante

Sea $f(x)$ una función integrable y $\alpha$ una cualquier constante real, entonces:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \alpha \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \lim_{n \to \infty} [\alpha \ \sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \alpha \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx ~ \blacksquare$$

IV. Linealidad

Sea $f(x)$ y $g(x)$, par de funciones integrables y sea $\alpha$ y $\beta$ cualesquiera números reales, por lo que se tiene:

$$\int \limits_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] ~ dx = \alpha \int \limits_a^b f(x) ~ dx ~ + ~ \beta \int \limits_a^b g(x) ~ dx $$

Tarea Moral

a) Demuestre la integral de la resta planteada en el inciso B.

b) Demuestra la siguiente propiedad.

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx \ + \int \limits_{a}^{b} \alpha \ g(x) \ dx \ = \ \int \limits_{a}^{b} \alpha [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

c) Demuestra la propiedad de linealidad.