Introducción

Con esta sección acabamos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II, por lo que daremos una breve introducción a funciones de varias variables ya que su siguiente curso de Cálculo Diferencial e Integral III se enfoca en varias variables. Comencemos definiendo una función en varias variables.

Funciones en varias variables

Def: Una función $f:D\subset \mathbb{R}^{n}\mapsto \mathbb{R}^{m}$ es que a cada punto $X \space \epsilon \space D$ le corresponde un único punto $Y \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ lo cual se denota como $Y=f(X)$ y que llamaremos la imagen del punto $X$ mediante la función $f$.

Observemos que a $X$ se define como:

$$X=(x_{1}, x_{2}, x_{3}, …., x_{n})$$

y la función $f$:

$$f(X)=(f_{1}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}), …., f_{m}(x_{1}, x_{2}, …., x_{n}))$$

Donde cada $f_{i}$ con $i=1,….,m$ es la componente i-esima de la función $f$, asi:

$$f=(f_{1},…., f_{m})$$

Ejemplos

• Sea $f:D\subset \mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{2}$ definida como:

$$f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2}, \frac{sen(xy)}{x-y})$$

Donde $D={(x,y,z) \space\epsilon \space \mathbb{R}^{3}}$ con $\space x \neq y$. Las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\space \space \space \space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=\frac{sen(xy)}{x-y}$$

• Sea $f:\mathbb{R}^{3}\mapsto \mathbb{R}^{3}$ definida como $f(x,y,z)=(x^{2}, y^{2}, x^{2}-z^{2})$ por lo que las componentes de $f$ son:

$$f_{1}(x,y,z)=x^{2}\space \space \space \space f_{2}(x,y,z)=y^{2} \space \space \space \space f_{3}(x,y,z)=x^{2}-z^{2}$$

El conjunto $\mathbb{R}^{n}$ tiene estructura de espacio vectorial si definimos las operaciones de suma y producto por escalares como sigue:

• Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, Y=(y_{1}, ….., y_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$X+Y=(x_{1}, …., x_{n})+(y_{1}, …., y_{n})=(x_{1}+y_{1}, …., x_{n}+y_{n})$$.

• Dados $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}, \lambda \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$,

$$\lambda X=\lambda (x_{1}, …., x_{n})=(\lambda x_{1}, …., \lambda x_{n})$$.

Por eso mismo, a $X=(x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n}$ se les denomina vectores.

Def:

Si $m=1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$ es una función real o campo escalar de n-variables.

Si $m>1$ se dice que la función $f: D \subseteq \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ es una función vectorial o un campo vectorial de n-variables y m-componentes.

Veamos la definición de una grafica en varias variables.

Def: Sea $f: D \subset \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}$. Se define la gráfica de la función $f$ como:

$$Gr(f)={(x_{1}, …., x_{n},y) \space \epsilon \space \mathbb{R}^{n+1}: (x_{1}, …., x_{n}) \space \epsilon \space D, y=f(x_{1}, …., x_{n}) }$$

Cuando $n=1$ la representación de $f$ nos proporciona una curva en $\mathbb{R}^{2}$, en el caso cuando $n=2$ nos proporciona una superficie en $\mathbb{R}^{3}$.

Curvas de nivel

En general, para una función de dos variables no es facil graficarla por lo que tenemos que recurrir a otras tecnicas para graficar estas funciones, una tecnica se le conoce como curvas de nivel el cual consiste en que la función se igual a una constante.

$$f(x,y)=k$$

Donde $k$ es una constante.

Gráficamente lo que se esta haciendo es que a la grafica de la función $f(x,y)$ la estamos cortando en «rebanadas» para cada valor de $k$ distinta por lo que veremos para cada corte, una parte de la grafica de la función $f(x,y)$.

Veamos el siguiente ejemplo.

De la figura $(1)$ tenemos la función de dos variables $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ que es el cono azul de la figura $1$, si le hacemos unos cortes por dos planos con valores $k=2$ y $k=4$ obtendremos que las curvas de nivel (viéndolos desde la perspectiva de arriba) se notan como circunferencias como se muestran en la figura $(2)$.

Análogamente a este método de graficar funciones de dos variables, para tres variables se puede hacer lo mismo el cual se le conoce como el método de curvas de superficies.

Otro concepto importante para esta introducción a varias variables es la topología, lo que es usual en una variable el concepto de una función dentro de un intervalo abierto, cerrado, propio o impropio, se extiende estos concepto para funciones de varias variables. Como esta sección es una pequeña introducción a funciones de varias variables no se verán estos conceptos pero si se recomienda tener un poco de noción de estos conceptos de topología.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionado con el tema visto.

1. Encuentra el dominio y el rango de la función $f(x,y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$
2. Sea la función $f(x,y)=x^{2}+3y^{2}$, hallas las curva de nivel con $k=1,2 \space y \space 3$
3. Obtén la grafica de la función $z=x^{2}-y^{2}$
4. Hallar las superficies de nivel de la función $f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}$ con $k=0$ y $k=-1$

Más adelante…

En esta entrada vimos una introducción a las funciones de varias variables como paso para estudiar estas funciones de varias variables con mas detenimiento en el curso de Cálculo Diferencial e Integral III, así como se estudio las funciones de una variable.

Con esta entrada concluimos el curso de Cálculo Diferencial e Integral II.

Entradas relacionadas

• Ir a Cálculo Diferencial e Integral II.
• Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral II: Funciones hiperbólicas – El blog de Leo (nekomath.com)
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Introducción

Para poder extender las propiedades de la integral debemos partir de la construcción que generemos para definir la integral, como el límite de la suma:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i$$

Donde el intervalo $[a,b]$ es cortado en subintervalos de longitud $\Delta x_i$, el número $\xi_i$ es cualquier valor en el i-ésimo subintervalo y los $\Delta x_i$ tienden a cero cuando $n \rightarrow \infty$

I. Aditividad

Sea $c$ cualquier valor entre $[a,b]$, entonces.

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

Consideremos una partición $P$ tal que un punto de la partición es igual a $c$. Es decir, $P$ es partición del intervalo $[a,b]$, con $n$ subintervalos y en el k-ésimo intervalo tiene la propiedad qué $x_k=c$. De esta forma, podemos partir la partición $P$ original en 2.

$$P = P_1 \ + \ P_2$$

En donde:

$$P_1 = \{a=x_0, x_1, … , x_k=c\}$$

$$ P_1 = \{c={x_k}, x_{k+1}, … , x_n=b\}$$

Por lo tanto, con lo que hemos visto en la unidad «Motivación de la Integral y Sumas de Riemann», replicamos el proceso con ambas particiones. Como tarea moral queda en replicar en detalle la suma.

En términos generales quedarían de la siguientes sumas.

$$\overline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) $$

$$\underline{S} (f,P) = \underline{S} (f,P_1) \ + \ \underline{S} (f,P_2) $$

Y si restamos ambas sumas, obtendríamos algo de la siguiente manera.

$$ \overline{S} (f,P) \ – \ \underline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) \ – \ \underline{S} (f,P_1) \ – \ \underline{S} (f,P_2) \ < \ \epsilon $$

Y como la resta de las sumas es menor a $\epsilon$

Hasta ahora hemos visto cuando siempre se cumple la condición de $a<b$, vemos otros casos.

a) a=b

Estamos intentando integrar una función de un punto, al mismo punto. Si tomamos la definición de sumar áreas, no hay forma de generar alguna figura geométrica que tenga un área contenida, el área sería cero.

$$ \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Si tomamos la propiedad de la adición, podemos descomponerlo de la siguiente forma.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Por lo que podemos encontrar el siguiente caso:

b) c<a

Con esto podemos definir $ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx $ para $c<a$ por la fórmula

$$ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \ – \ \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx $$

Observación:

Si la propiedad b la ocupamos para la propiedad a, podemos ver lo siguiente.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx ~ – \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ = 0$$

La propiedad b la ocupamos en el ejercicio de la sección anterior porque se necesitaba calcular el área de una sección que se encontraba en el cuarto cuadrante del plano cartesiano, pero esto por la condición del área que debe ser positiva, ¿Qué pasa si una función sigue en el primer cuadrante pero el intervalo es de la forma anterior? Porque, a fin de cuentas, si el valor de la integral es positivo, tiene un signo negativo multiplicando el resultado de la integral y da negativo.

Aquí necesitamos entender que importa en que dirección se construye la gráfica de la función.

Si al momento de graficar la función, el movimiento desde el límite inferior hacía el límite superior es decreciente sobre los valores de las $x’s$, la integral se considerará negativa.

En otras palabras, la integral será negativa si al momento de recorrer el intervalo que se nos da, los valores van decreciendo.

Por ejemplo, si el intervalo es $[5,1]$, la forma en que se recorría al momento de graficar sería del 5 al 1, (5,4,3,a2,1); es un comportamiento decreciente y, si la función es positiva, la integral será negativa.

II. Integral de una suma

Sean $f(x) \ \&\ \ g(x)$ dos funciones integrables, entonces:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

Demostración:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i ] \ + \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$\ = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i \ + \ \sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \lim_{n \to \infty} \{ \sum_{i=1}^{n} [f(\xi_i) \ \ + \ g(\xi_i)] \ \Delta x_i \} $$

$$= \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx$$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx ~ ~ \blacksquare$$

Podemos hacer el caso análogo cuando tenemos una diferencia de funciones.

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ – \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ – \ g(x)] \ dx $$

III. Producto con una constante

Sea $f(x)$ una función integrable y $\alpha$ una cualquier constante real, entonces:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \alpha \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \lim_{n \to \infty} [\alpha \ \sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \alpha \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx ~ \blacksquare$$

IV. Linealidad

Sea $f(x)$ y $g(x)$, par de funciones integrables y sea $\alpha$ y $\beta$ cualesquiera números reales, por lo que se tiene:

$$\int \limits_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] ~ dx = \alpha \int \limits_a^b f(x) ~ dx ~ + ~ \beta \int \limits_a^b g(x) ~ dx $$

Tarea Moral

a) Demuestre la integral de la resta planteada en el inciso B.

b) Demuestra la siguiente propiedad.

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx \ + \int \limits_{a}^{b} \alpha \ g(x) \ dx \ = \ \int \limits_{a}^{b} \alpha [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

c) Demuestra la propiedad de linealidad.