En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas p-series, en esta sección veremos otras series especiales llamadas series alternantes, que, como bien dice su nombre, son series cuyos términos van alternando el valor de su signo.
Series alternantes
Una serie alternante puede tener la forma siguiente:
Como vemos, la serie va alternando sus signos para cada $n$.
Existe un teorema de convergencia para estas series alternantes y se llama el teorema de Leibniz, el criterio de Leibniz o el criterio de la serie alternante, enunciado por el siguiente teorema.
Teorema. (Criterio de Leibniz o criterio de la serie alternante)
Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es una sucesión monótona decreciente tal que $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}$ converge.
Demostración:
Consideramos $\left \{ S_{2n} \right \}$ donde $\left \{ S_{n} \right \}$ son las sumas parciales de $a_{n}$, como $a_{n}$ es una serie alternante entonces:
Diga si las siguientes series convergen o divergen.
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$$
Para utilizar el criterio de Leibniz tenemos que ver que sea decreciente, pero claramente la sucesión $\frac{1}{n}$ es decreciente, entonces tomando el límite tenemos que:
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
Diga si la siguientes series convergen o divergen.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
En esta sección vimos el criterio de Leibniz que se aplica a las series alternantes y que estas series tiene que ser monótonamente decreciente y que su límite cuando $n \to \infty$ sea cero para decir si la serie es convergente o divergente, en la siguiente sección veremos más criterios de convergencia que se pueden aplicar a las series alternantes, estos criterios son el criterio de convergencia absoluta.
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
Diga si la siguientes series convergen o divergen.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^{3}}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{1}{8^{n}}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+1}$$
$$\sum_{n=1}^{\infty}-\frac{8}{n}$$
Más adelante…
En esta sección vimos los tipos de series que ya hemos visto, pero faltan por ver unos tipos de series más que se ven en general en los cursos de cálculo que más adelante los veremos, en la siguiente sección veremos las series alternantes, aunque ya las definimos en esta sección, la veremos con más detalle en la siguiente entrada.
En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la raíz y el criterio de la razón. En esta sección veremos el criterio de la integral enunciado el siguiente teorema.
Criterio de la integral
Teo: (Criterio de la integral)
Sea $f$ una función continua, positiva y decreciente en $[1, \infty)$ y sea $\left \{ a_{n} \right \}$ una sucesión tal que $a_{n} = f(n)$ entonces:
Figura 1: Función decreciente en el intervalo $[1,\infty]$ (curva azul), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$ con altura $f(n)$ (figura de la izquierda), área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n+1}$ con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha).
$\Rightarrow \lrcorner$
Supongamos que $\sum_{i=1}^{n}a_{n}$ converge.
De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n)$ (figura de la izquierda) es mayor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, en donde se interpretan a estos rectángulos como el área del valor n-esimo de la sucesión $a_{n}$.
Matemáticamente, podemos interpretar lo anterior como:
$$\Rightarrow a_{n} \geq\int_{n}^{n+1}f(x)dx$$
Si hacemos lo anterior para $n$ rectángulos, se tiene que:
Supongamos que $ \int_{1}^{\infty}f(x)dx \space converge $.
De la figura $(1)$ vemos que el área del rectángulo con altura $f(n+1)$ (figura de la derecha) es menor que el área bajo la curva entre $n$ y $n+1$, vemos en este caso que la sucesión correspondiente es $a_{n+1}$.
Diga si las siguientes series convergen o divergen.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$
Tomemos $f(x)=\frac{1}{x}$, sabemos que la función es continua en el intervalo $[1, \infty)$ y es decreciente, además de que sabemos que es continua, por lo que podemos utilizar el criterio de la integral como sigue:
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
Diga si la siguientes series convergen o divergen.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
En esta sección vimos el criterio de la integral en el cual se toma como función $f(x)$ a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ de la serie, esta función tiene que ser continua, decreciente y positiva en el intervalo $[1,\infty)$ para utilizar este criterio de la integral y observar la convergencia o divergencia de la serie, en la siguiente sección veremos otras series especiales llamadas p-series.
En esta ocasión veremos algunas proposiciones sobre concurrencia de rectas, principalmente el teorema de Ceva y su forma trigonométrica, a partir de los cuales mostraremos otros resultados.
Teorema de Ceva
Definición 1. Si una recta pasa por el vértice de un triángulo, el segmento comprendido entre el vértice y la intersección con el lado opuesto, se llama ceviana.
Teorema 1, de Ceva. Sean $\triangle ABC$ y $AX$, $BY$, $CZ$ cevianas, entonces $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes si y solo si $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = 1$.
Demostración. Supongamos que $AX$, $BY$ y $CZ$ concurren en $S$.
Figura 1
Aplicamos el teorema de Menelao a $\triangle ABX$ y la trasversal $ZSC$ $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BC}{CX} \dfrac{XS}{SA} = – 1$.
Nuevamente, usamos el teorema de Menelao, ahora en $\triangle AXC$ y la transversal $BYS$ $\dfrac{AS}{SX} \dfrac{XB}{BC} \dfrac{CY}{YA} = – 1$.
Multiplicamos estas dos igualdades y reordenamos $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{XB}{CX} \dfrac{CY}{YA} \dfrac{XS}{SA} \dfrac{AS}{SX} \dfrac{BC}{BC} = 1$.
Conversamente, supongamos que para las tres cevianas $AX$, $BY$ y $CZ$, se cumple la igualdad $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = 1$, sea $S = BY \cap CZ$, queremos ver que $AX$ pasa por $S$.
Sea $X’ = AS \cap BC$, entonces las cevianas $AX’$, $BY$ y $CZ$ son concurrentes por lo tanto $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX’}{X’C} \dfrac{CY}{YA} = 1$.
Como resultado de esta igualdad y nuestra hipótesis obtenemos $\dfrac{BX}{XC} = \dfrac{BX’}{X’C}$.
Es decir, $X$ y $X’$ dividen a $BC$ en la misma razón, por lo tanto, $X = X’$.
$\blacksquare$
Forma trigonométrica del teorema de Ceva
Forma trigonométrica del teorema de Ceva. Sean $AZ$, $BY$ y $CZ$ cevianas de un triángulo $\triangle ABC$, entonces $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes si y solo si $\dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC} \dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA} = 1$.
Demostración. Aplicamos el lema de la razón a los puntos $X$, $Y$, $Z$ (figura 1)
Por el teorema de Ceva, $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = 1$ si y solo si $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.
Por lo tanto, $\dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC} \dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA} = 1$ si y solo si $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.
$\blacksquare$
Conjugados isotómicos
Proposición 1. Sea $\triangle ABC$ y $P$ un punto en el plano, sean $X = AP \cap BC$, $Y = BP \cap CA$, $Z = CP \cap AB$, considera los puntos isotómicos $X’$, $Y’$, $Z’$ de $X$, $Y$, $Z$ respectivamente, entonces las cevianas $AX’$, $BY’$, $CZ’$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como conjugado isotómico de $P$ respecto a $\triangle ABC$.
Demostración. Como $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes, por el teorema de Ceva $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = 1$.
Figura 2
Ya que $X’$, $Y’$, $Z’$ son las reflexiones de $X$, $Y$, $Z$, respectivamente, respecto de los puntos medios de $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente entonces
Por lo tanto, por el teorema de Ceva, $AX’$, $BY’$, $CZ’$ son concurrentes.
$\blacksquare$
Teorema de Blanchet
Definición 2. Si tres cevianas $AX$, $BY$, $CZ$ de un triángulo $\triangle ABC$ concurren en un punto $P$, a $\triangle XYZ$ se le conoce como triángulo de Ceva de $P$ respecto de $\triangle ABC$.
Teorema 2, de Blanchet. Sea $\triangle ABC$ y $X$ el pie de la altura por $A$, sea $P$ cualquier punto en $AX$, $\triangle XYZ$ el triángulo de Ceva de $P$ respecto de $\triangle ABC$, entonces $AX$ es la bisectriz de $\angle ZXY$.
Demostración. Sean $l$ la paralela a $BC$ por $A$, $D = XZ \cap l$, $E = XY \cap l$, entonces tenemos las siguientes semejanzas $\triangle YCX \sim \triangle YAE$, $\triangle ZAD \sim \triangle ZBX$, esto es, $\dfrac{YC}{YA} = \dfrac{CX}{AE}$ y $\dfrac{ZA}{ZB} = \dfrac{AD}{BX}$.
Figura 3
Como las cevianas $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes, por el teorema de Ceva tenemos $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = 1$.
Sustituimos las ecuaciones derivadas de la semejanza $\dfrac{DA}{BX} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{XC}{AE} = 1$.
Esto implica que $DA = AE$.
Como $\angle EAX = \angle XAD = \dfrac{\pi}{2}$, por criterio de congruencia LAL, $\triangle XAE \cong \triangle XAD$.
Por lo tanto, $\angle DXA = \angle AXE$.
$\blacksquare$
Teorema del nido de Ceva
Teorema 3. Sean $AD$, $BE$, $CF$ tres cevianas de un triángulo $\triangle ABC$; $DX$, $EY$, $FZ$, tres cevianas de $\triangle DEF$, si dos de las tercias $(AD, BE, CF)$; $(DX, EY, FZ)$; $(AX, BY, CZ)$, entonces la tercera también es concurrente.
Demostración. Supongamos que $(AD, BE, CF)$ y $(DX, EY, FZ)$ son concurrentes, la prueba para otros casos es análoga.
Aplicamos el lema de la razón a los triángulos $\triangle AEF$, $\triangle BFD$, $\triangle CDE$ y los respectivos puntos $X$, $Y$, $Z$,
Sean $X’ = AX \cap BC$, $Y’ = BY \cap CA$, $Z’ = CZ \cap AB$, recordemos que si dos ángulos son suplementarios su seno es igual, ahora multiplicamos las tres ecuaciones y reacomodamos
Por lo tanto, $\dfrac{\sin \angle ACZ’}{\sin \angle Z’CB} \dfrac{\sin \angle X’AB}{\sin \angle X’AC} \dfrac{\sin \angle CBY’}{\sin \angle Y’BA} = 1$.
Por la forma trigonométrica del teorema de Ceva, $AX’ = AX$, $BY’ = BY$, $CZ’ = CZ$, son concurrentes.
$\blacksquare$
Teorema de Jacobi
Teorema 4, de Jacobi. Sean $\triangle ABC$, $X$, $Y$, $Z$ puntos tales que $\angle XBC = \angle ABZ = \beta_1$, $\angle BCX = \angle YCA = \gamma_1$, $\angle CAY = \angle ZAB = \alpha_1$, entonces las rectas $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes, al punto de concurrencia se le conoce como punto de Jacobi.
Multiplicando estas tres ecuaciones y obtenemos $\dfrac{\sin \angle ACZ}{\sin \angle ZCB} \dfrac{\sin \angle BAX}{\sin \angle XAC}\dfrac{\sin \angle CBY}{\sin \angle YBA} = 1$.
Lo que significa, por la forma trigonométrica del teorema de Ceva que $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.
Observación. Notemos que el punto de Jacobi es una generalización de los puntos de Fermat que vimos en la unidad 2.
$\blacksquare$
Puntos de Napoleón
Corolario. Sea $ABCA’B’C’$ una configuración externa (interna) de Napoleón, sean $I_a$, $I_b$, $I_c$, los incentros de $\triangle A’BC$, $\angle AB’C$, $\angle ABC’$ respectivamente, entonces $AI_a$, $BI_b$, $CI_c$ son concurrentes, al punto de concurrencia $N_+$ ($N_-$) se le conoce como primer (segundo) punto de Napoleón.
Demostración. Como $\triangle A’BC$, $\triangle AB’C$, $\triangle ABC’$ son equiláteros y están construidos externamente (internamente) sobre los lados de $\triangle ABC$ entonces $\angle I_aBC = \angle ABI_c = \angle BCI_a = \angle I_bCA = \angle CAI_b = \angle I_cAB = \dfrac{\pi}{6}$.
Figura 6
Por el teorema de Jacobi, $AI_a$, $BI_b$, $CI_c$ son concurrentes.
$\blacksquare$
Teorema de Routh
Teorema 5, de Routh. Sean $AX$, $BY$, $CZ$ cevianas de un triángulo $\triangle ABC$ y considera $D = BY \cap AX$, $E = BY \cap CZ$, $F = AX \cap CZ$, $z = \dfrac{AZ}{ZB}$, $x = \dfrac{BX}{XC}$, $y = \dfrac{CY}{YB}$ entonces el área de $\triangle DEF$ se puede calcular mediante la siguiente formula: $(\triangle DEF) = \dfrac{(1 – xyz)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)}(\triangle ABC)$.
Demostración. Como $\triangle AFC$ y $\triangle AXC$ tienen la misma altura desde $C$ entonces. $\dfrac{(\triangle AFC)}{(\triangle AXC)} = \dfrac{AF}{AX} = \dfrac{AF}{AF + FX} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{FX}{AF}}$.
Figura 7
Aplicando el teorema de Menelao en $\triangle ABX$ y la transversal $ZFC$ $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BC}{CX} \dfrac{XF}{FA} = – 1$ $\Leftrightarrow \dfrac{XF}{FA} = \dfrac{ZB}{AZ} \dfrac{XC}{BC} = \dfrac{1}{z} \times \dfrac{XC}{BX + XC} = \dfrac{1}{z(x + 1)}$.
Finalmente $(\triangle DEF) = (\triangle ABC) – (\triangle AFC) – (\triangle BDA) – (\triangle CEB)$ $= (\triangle ABC)(1 – \dfrac{z}{zx + z + 1} – \dfrac{x}{xy + x + 1} – \dfrac{y}{yz + y + 1})$ $= \dfrac{(1 – xyz)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)} (\triangle ABC)$.
Los cálculos de la última ecuación quedan para el lector.
$\blacksquare$
Observación. Notemos que este resultado generaliza el teorema de Ceva pues si $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes entonces $(\triangle DEF) = 0$, lo que implica que $\dfrac{AZ}{ZB} \dfrac{BX}{XC} \dfrac{CY}{YA} = xyz = 1$.
Por el contrario, si $xyz = 1$, entonces $(\triangle DEF) = 0$, es decir $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.
Más adelante…
En la siguiente entrada hablaremos sobre el punto de Nagel, un punto notable del triángulo con varias propiedades interesantes, la existencia de los conjugados isotómicos nos permitirá presentar este punto.
Tarea moral
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
Empleando el teorema de Menelao, muestra que las medianas, las alturas y las bisectrices internas de todo triángulo son concurrentes.
Sea $\triangle ABC$ y $X$, $X’ \in BC$; $Y$, $Y’ \in CA$; $Z$, $Z’ \in AB$, los puntos en que una circunferencia interseca a los lados de $\triangle ABC$, prueba que si $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes, entonces $AX’$, $BY’$, $CZ’$ son concurrentes.
In un triangulo $\triangle ABC$, $D$, $E$, $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$, $C$, muestra que las perpendiculares desde $A$, $B$, y $C$ a $EF$, $DF$ y $DE$, respectivamente son concurrentes.
Si las diagonales de un cuadrilátero convexo $\square ABCD$ se intersecan en $P$ muestra que $\dfrac{\sin \angle PAD}{\sin \angle PAB}\dfrac{\sin \angle PBA}{\sin \angle PBC}\dfrac{\sin \angle PCB}{\sin \angle PCD}\dfrac{\sin \angle PDC}{\sin \angle PDA} = 1$.
Teorema de Kariya. Sea $\Gamma(I)$ el incírculo de un triángulo $\triangle ABC$, sean $D$, $E$, $F$ los puntos de tangencia de $\Gamma(I)$ con $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente, sean $(I, r)$ una circunferencia con centro en $I$ y radio $r$, $X = (I, r) \cap ID$, $Y = (I, r) \cap IE$, $Z = (I, r) \cap IF$, demuestra que $AX$, $BY$, $CZ$ son concurrentes.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.
Criterio de la razón
Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)
Sea $\left \{a_{n} \right \}$ una sucesión positiva y supón que:
$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$
Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $r<1$, diverge si $r>1$ y si $r=1$ no es concluyente.
Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.
Diga si la siguientes series convergen o divergen.
A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.
En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión $a_{n+1}$ y $a_{n}$ nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.
