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Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Por Julio César Soria Ramírez

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(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia generan particiones y finalmente concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, toda partición tiene asociada una única relación de equivalencia, con esto concluiremos esta primera unidad de conjuntos y funciones.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$, entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Demostración

Sea $A$ un conjunto, $\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$

Por demostrar que:

$\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Vamos a mostrar que el conjunto $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ cumple la definición de partición.

i) Por demostrar que $\overline{x}\neq \emptyset$, $\forall x\in A$.

Sea $x\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $x\sim x$, así $x\in \overline{x}$ y entonces $\overline{x}\neq \emptyset$.

ii) Por demostrar que si $x,y\in A$ son tales que $\overline{x}\neq \overline{y} $, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$.

En la nota anterior mostramos que: $x\sim y\Longrightarrow \overline{x}=\overline{y}$, que es equivalente a: $\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $ (llamada la contrapositiva de la implicación ). También mostramos que $x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$, así tenemos que:

$ \overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y $

y

$x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset$

Por lo tanto se sigue que:

$\overline{x}\neq \overline{y} \Longrightarrow x\nsim y \Longrightarrow \overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

Así tenemos lo que queríamos mostrar pues si $\overline{x}\neq \overline{y}$, entonces $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $.

iii) Por demostrar que $\bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}=A$

Prueba por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$, entonces $z\in \overline{x}=\set{y\in A\mid y\sim x}$ para alguna $x\in A$, en particular $z\in A$, y por lo tanto $ \bigcup\limits_{x\in A}\subseteq A$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $z\in A$, como $\mathcal R$ es reflexiva $z\sim z$ así $z\in \overline{z}$, concluimos que $z\in \bigcup\limits_{x\in A} \overline{x}$.

Como se cumplen las tres condiciones para que sea una partición entonces $\set{\overline{x}\mid x\in A}$ es una partición de $A$.

Ejemplos

1. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R=\set{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,5), (5,1) (2,5), (5,2) , (3,4),(4,3)}$

$\overline{1}=\set{1,2,5}$

$\overline{3}=\set{3,4}$

$\set{ \overline{1}, \overline{3}}=\set{ \set{1,2,5}, \set{3,4}} $

2. $A=\set{1,2,3,4,5}$

$\mathcal R$ una relación de equivalencia en $A$. Si la partición en $A$ inducida por $\mathcal R$ es:

$ \set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $

¿Quién es $\mathcal R$?

$\mathcal R=\set{ (3,3), (2,2), (2,4), (4,4), (4,2), (1,1), (1,5), (5,5), (5,1) }$

Es una relación de equivalencia que induce la partición $\set{ \overline{3}, \overline{2}, \overline{1} }=\set{ \set{3}, \set{2,4}, \set{1,5} } $.

Teorema

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Afirmación: Existe una biyección entre $\mathcal R_A$ y $\mathcal P_A$

Demostración

Sea $A$ un conjunto, consideremos:

$\mathcal R_A=\set{r\mid r \, \,es \, \, una \, \, relación \, \, de \, \, equivalencia }$

$\mathcal P_A=\set{p\mid p \, \,es \, \, una \, \, partición \, \, de \, \, A }$

Definimos:

$\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ con

$\psi(r)=\set{\overline{x}^r\mid x\in A}\, \, \, \forall r\in \mathcal R_A$

donde $ \overline{x}^r =\set{y\in A\mid (y,x)\in r} $, es decir $\psi(r)$ es la colección de clases de equivalencia dadas por la relación $r$.

Veamos que $\psi$ es inyectiva.

Sean $r,\rho\in \mathcal R_A$ tales que $\psi(r)=\psi(\rho)$.

Por demostrar que $r=\rho$.

La prueba se hará por doble contención

$\subseteq$ primera contención.

Sea $(a,b)\in r$ entonces por simetría $(b,a)\in r$ y entonces $b\in \overline{a}^r$.

Por otro lado $ \overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }=\psi(r)$ que por hipótesis es igual $\psi(\rho)= \set{ \overline{x}^{\rho}\mid x\in A }$ , de manera que $ \overline{a}^r = \overline{c}^{\rho}$ para alguna $c\in A$, como $b\in \overline{a}^r$ entonces $b\in \overline{c}^{\rho}$, así $(b,c)\in \rho$, por simetría $(c,b)\in \rho$. También $a\in \overline{a}^r= \overline{c}^{\rho}$ así $(a,c)\in \rho$. Como $(a,c)\in \rho$ y $(c,b)\in \rho$, por transitividad $(a,b)\in \rho$ y así $r\subseteq \rho$.

$\supseteq$ Segunda contención. Es análoga y por lo tanto $r=\rho$ y así la función $\psi: \mathcal R_A\to \mathcal P_A$ es inyectiva.

Veamos ahora que $\psi$ es suprayectiva.

Sea $p=\set{A_i\mid i\in I}$ una partición de $A$.

Definimos $r$ una relación en $A$ como:

$(x,y)\in r$ si y sólo si existe $i\in I$ tal que $(x,y)\in A_i$.

Ésta es una relación de equivalencia (demuéstralo).

Por demostrar que $\psi(r)=p$, es decir que $\set{\overline{x}^r\mid x\in A}=p$

La prueba es por doble contención.

$\subseteq$ primera contención.

Sea $\overline{a}^r\in \set{ \overline{x}^r\mid x\in A }$.

Por demostrar que $\overline{a}^r\in p$.

Como $A= \bigcup\limits_{i\in I}A_i$ entonces $a\in A_j$ para alguna $j\in I$. De hecho como $p$ es una partición, $A_j$ es el único elemento de $p$ al que pertenece $a$.

Pero

$\overline{a}^r=\set{b\in A\mid (b,a)\in r}=\set{b\in A\mid \exists i\in I \,\, tal \,\, que \,\, b,a\in A_i}=\set{b\in A\mid b\in A_j}=A_j\in p,$ y por lo tanto $\overline{a}^r\in p,$ y así $\psi(r)\subseteq p$.

$\supseteq$ segunda contención.

Sea $A_j\in p$ con $j\in I$. Sabemos que $A_j\neq \emptyset$, consideremos $a\in A_j$, como acabamos de ver en la primera contención , $A_j=\overline{a}^r\in \set{\overline{x}^r\mid x\in A}=\psi(r)$ y así $p\subseteq \psi(r)$.

Como se cumplen las dos contenciones $p=\psi(r)$. Y de esta forma dada una partición $p$ existe una relación de equivalencia que bajo $psi$ da por resultado $p$ y por lo tanto $\psi$ es suprayectiva.

Como $\psi$ es suprayectiva e inyectiva $\psi$ es biyectiva.

$\square$

Tarea Moral

  1. Encuentra todas las posibles particiones de $\set{3,6,7,9}$, y para cada una de ellas encuentra la relación de equivalencia asociada.
  2. Considera la relación $\mathcal R$ en $\mathbb Z$, dada por: $(a,b)\in \mathcal R$ si y sólo si $4$ divide a $b-a$. Verifica que las distintas clases de equivalencia forman una partición de $\mathbb Z$.
  3. Sea $A=\set{1,2,3,4,5}$ y considera la relación dada por:
    $R=\set{(1,1),(2,3),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(4,5),(5,4)}$
    Encuentra la partición asociada.

Más adelante

Con esta nota hemos terminado la unidad 1 del curso de álgebra superior I. En las siguiente nota pasaremos a la unidad 2 donde haremos un estudio de los números naturales a partir de la definición conjuntista.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 14 Familias de conjuntos y particiones.

Nota siguiente. Nota 16. Los números naturales.

Álgebra Superior I: Demostración de proposiciones con conectores

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. Cada una es independiente de la otra, y para su explicación, se usa el siguiente diagrama de un mundo imaginario llamado el mundo de los Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Introducción

Hasta ahora hemos visto estrategias directas e indirectas para demostrar proposiciones, pero ahora vamos a pensar qué pasan con aquellas proposiciones que tienen conectores, cómo es que se piensan y las consideraciones que deberemos de tener al momento de hacer alguna de estas.

Pensando en conectores

Hasta ahora hemos pensado en las proposiciones que son del estilo $P \Rightarrow Q$ en donde empezamos con una hipótesis $P$ y mediante una sucesión de deducciones lógicas, llegamos hasta $Q$. Sin embargo en la tarea matemática, no se limita el trabajo a solo proposiciones de este estilo. En esta entrada veremos otros ejemplos de proposiciones a demostrar con otros conectores lógicos.

Recordando conectores

Antes de comenzar, vamos a recordar brevemente los conectores lógicos que hemos visto para entender cómo podríamos demostrar proposiciones que contengan estos. Para empezar, recordemos que la conjunción $P \lor Q$ se cumple siempre que alguna de las dos sean verdaderas.

Por ejemplo,

Proposición: Los blorgs comen frutas o peces.

Demostración: Como dijimos anteriormente, bastará con que cualquier blorg que consideres, coma peces o coma frutas. Pero para esto tenemos que recordar que hay tres tipos de Blorgs: Blargs, Blergs y Blurgs. Entonces tenemos que ver que en cada caso, la afirmación es correcta. Para ello consideremos a un Blorg $x$.

En primer lugar, si $x$ es Blerg, entonces come frutas, por lo que la afirmación se cumple.

Enseguida, si $x$ es un Blarg, también es cierta, pues come peces.

Finalmente, si $x$ es Blurg, también come peces, por lo que la afirmación es correcta.

En cualquiera de los casos, la proposición se cumple.

$\square$

De forma similar, podemos demostrar las proposiciones con una conjunción $P \land Q$ demostrando que se cumplen las dos al mismo tiempo. Por ejemplo,

Proposición: Los Blargs comen animales marinos y comen entre semana.

Demostración: Para probar la proposición, será necesario probar dos cosas: Que los Blargs comen animales marinos, y que los Blargs comen entre semana, es decir que no comen el fin de semana.

Ahora notemos que todos los Blargs comen peces, y estos son animales marinos, entonces se cumple la afirmación de que los Blargs comen animales marinos.

Como es una conjunción, ahora tenemos que demostrar que igual comen entre semana. Para esto, recuerda que cada Blarg come los lunes, y como podrás imaginar, esto significa que comen entre semana, por lo que ya demostramos que «Los Blargs comen animales marinos y comen entre semana».

$\square$

Conectando conectores

Ahora, podemos ir más allá y hacer combinaciones con los conectores, aunque en las proposiciones a veces parezcan un poco complicadas, será necesario analizar detenidamente qué dice la proposición para poder demostrarla. Por ejemplo, piensa en la siguiente proposición:

Proposición: Si un blorg no es amarillo, entonces come los días antes del sábado o tiene amigos de color azul.

Antes de continuar con la demostración, vamos a desmenuzar la oración en sus partes escribiéndola con lógica proposicional. Si consideramos:

$ P(x): x$ no es amarillo,

$ Q(x): x$ no come los días antes del sábado,

$ R(x): x$ tiene amigos de color azul,

entonces la proposición es de la forma

$\forall x (P(x) \Rightarrow (Q(x) \lor R(x))).$

De esta forma ya tenemos un poco más claro qué queremos demostrar. Empezaremos con un Blorg $x$ para el cual la proposición $P(x)$ sea válida y demostraremos que sucede $Q(x)$ o sucede $R(x)$.

Demostración: Sea $x$ un Blorg que no es amarillo. Esto significa que no es un Blarg, entonces tenemos dos casos:

Caso 1: $x$ es un Blerg.

Si $x$ es un Blerg, entonces es amigo de los Blurgs. Y como recordarás, los Blurgs son azules, de esta manera se cumple la proposición.

Caso 2: $x$ es un Blurg.

Si nuestro Blorg es un Blurg, entonces come los viernes, que resulta que son los días antes del sábado. De esta manera la proposición también se cumple.

En cualquiera de los casos, la proposición es válida.

$\square$

Más adelante…

Ya hemos recorrido algunas de las formas de demostraciones que te encontrarás a lo largo de tu viaje matemático, sin embargo aún hay algunas cosas que tendrás que saber antes, como el caso específico de las dobles condicionales y cómo afectan los cuantificadores. Esta última es la que revisaremos en la siguiente entrada. ¿Qué pasa cuando usamos los cuantificadores «existe» o «para todo» dentro de una proposición que queramos demostrar? Esto revisaremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba que «Los Blergs no comen los jueves o comen frutas».
  2. Prueba que «Los Blorgs es amarillo, rojo o azul».
  3. Prueba que «Los Blorgs comen los lunes y comen animales marinos o son vegetarianos». Para esto, recuerda que una dieta vegetariana solo excluye alimentos de origen animal.
  4. Escribe con lógica proposicional la proposición: «Si un Blorg come los viernes entonces en su hábitat hay árboles y come animales marinos».
  5. Demuestra que «Si un Blorg come los viernes entonces en su hábitat hay árboles y come animales marinos».

Entradas relacionadas

  • Ir a Álgebra Superior I
  • Entrada anterior del curso: Problemas introductorios a demostraciones
  • Siguiente entrada del curso: Demostración de proposiciones con cuantificadores

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Demostraciones por reducción al absurdo

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. Cada una es independiente de la otra, y para su explicación, se usa el siguiente diagrama de un mundo imaginario llamado el mundo de los Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Introducción

Ya hemos empezado a ver algunas estrategias para empezar a demostrar cosas. Ahora veremos una siguiente que es muy común de encontrar, en esta vamos a empezar con una proposición que queremos demostrar, y para hacerlo, supondremos que no es cierta. Puede sonarte que es un poco extraño, pero en esta entrada revisaremos de qué forma esta suposición nos ayudará.

La contradicción

Puede que en tu vida hayas escuchado la palabra contradicción usada en alguno u otro contexto. Podemos decir por ejemplo que una persona se contradice a sí misma cuando dice que es alérgica al camarón después de haberse comido un coctél de camarón. Esto suena poco convincente, ¿no? Pues al decir que alguien es alérgico al camarón sabemos que no puede comer camarón, al mismo tiempo que vemos a la persona haciéndolo. Esta idea va a ser similar en las matemáticas. Pero recuerda que aquí estamos en el lenguaje de las proposiciones.

Definición. Una contradicción es una proposición matemática de la forma $(Q \land \neg Q)$.

Ahora observa la siguiente regla de inferencia:

\begin{array}{rl}
Q \\
\neg Q \\
\hline
\therefore R.
\end{array}

Se puede probar que esta es una inferencia válida. Analiza un poco la regla y piensa: ¿Esto qué significa? Pues observa que en ningún momento aparece el término $R$ en las premisas y sin embargo es una conclusión. En pocas palabras, esto nos quiere decir «De una contradicción puede suceder lo que sea». Es decir, si llegamos a una contradicción, ya nada tiene sentido, pues cualquier cosa sería cierta. Si cambiamos $R$ por «La luna es de queso», podemos concluirlo de una contradicción, y esto no tiene sentido. Es por eso que si en algún momento en las matemáticas llegamos a una contradicción, es que algo está raro. Bajo esta idea funcionará la reducción al absurdo.

Demostración por contradicción

Como hemos dicho en el párrafo anterior, para esta estrategia usaremos la contradicción. Como de esta podríamos llegar a la conclusión de que cualquier proposición es cierta, lo cual no pasa. Entonces la estrategia general en probar una proposición $P$ por reducción al absurdo (o contradicción) es la siguiente:

  1. Suponemos que $P$ es falsa.
  2. Mediante una serie de pasos lógicos exploramos las consecuencias de que $P$ sea falsa.
  3. Llegamos a una contradicción.

En matemáticas las contradicciones nos dicen que hay algo raro, pues sabemos que una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez (recuerda que esto es una contradicción). Entonces el error que hicimos fue suponer que $P$ era falsa, y como no es falsa, tiene que ser verdadera. Veamos un ejemplo para que quede más claro.

Otra forma en que te puedas imaginar la reducción al absurdo es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}.$$

Pues esto nos dice que suponiendo primero que $P$ es verdad y llegando mediante una serie de pasos lógicos que pasa $Q$ y $\neg Q$, entonces es porque en primer lugar $P$ no es verdadera. Piénsalo como mejor te acomodes.

Proposición. Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia.

Demostración. Vamos a hacer esta prueba por contradicción. Como dijimos antes, las pruebas por contradicción se basan en que para demostrar una proposición $P$, se empieza suponiendo $\neg P$, y a partir de ahí ver las consecuencias de este hecho para llegar a una contradicción. Ahora veamos la traducción de esto a nuestra proposición.

$$P = \text{Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia,}$$

$$\neg P = \text{Los Blurgs comen con cinco o más días de diferencia}$$.

Entonces empecemos con $ \neg P$ y veamos qué obtenemos. Ahora, sabemos que $Q =\text {Los blurgs comen los lunes}$ y que $S = \text {Los blurgs comen los viernes}$. Estamos suponiendo que los Blurgs comen con al menos cinco días de diferencia, entonces como $Q$ es verdad, los Blurgs comen los lunes, y eso significaría que no comen los cuatro días siguientes: martes, miércoles jueves y viernes. Lo que significa que $R = \text {Los Blurgs no comen los viernes}$. ¿Eso no es una contradicción? Pues resulta que sí, ya que $\neg S = T$. Lo que quiere decir que a partir de suponer $\neg P$ llegamos a que $S$ es verdad (es un Axioma o costumbre que tienen los Blorgs) ya que estamos diciendo que los Blurgs comen y no comen los viernes. Nuestro error fue suponer que $P$ no era cierta, por lo tanto tiene que ser cierta $P$.

$\square$

Algunos ejemplos famosos de demostraciones por contradicción.

Ahorita estamos y seguiremos hablando del mundo de los blorgs, pero para acercárte un poco más a los ejemplos de estrategias usadas, aquí unos ejemplos en las matemáticas que usan la contradicción para demostrar proposiciones, para fines de este curso no necesitas saber demostrar estas proposiciones, únicamente son ejemplos que podrías checar para entender mejor cómo se utiliza esta estrategia:

  • La demostración de que el $0$ es el único neutro aditivo en los números reales (es el único número que al sumarlo a otro número resulta el mismo otro número) utiliza esta estrategia, pues supone que el $0$ no es único. Puedes checar la demostración aquí.
  • En geometría euclideana, existen criterios para decir si dos triángulos son congruentes (son el «mismo» triángulo salvo quizá la reflexión y rotación, es decir hay una forma de rotarlo o reflejarlo para notar que se trata del «mismo» triángulo). Uno de estos se llama el criterio LLA que nos dice que si dos triángulos tienen dos lados que miden lo mismo y comparten un ángulo entonces son congruentes. Una técnica para demostrar esto es con reducción a lo absurdo y supone que el dos lados son iguales junto a un ángulo pero los lados restantes de cada triángulo son distintos. Puedes checar la demostración aquí.

Más adelante…

La siguiente más que estrategia, caso de demostración va a ser cuando tengamos conectores. Estas son las que en las proposiciones a demostrar hay conectores lógicos. Ya hemos visto algunos de estos ejemplos y ahora profundizaremos un poco más en su estructura.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Prueba que $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}$$ es una regla de inferencia válida.
  2. Prueba que
    \begin{array}{rl}
    Q \\
    \neg Q \\
    \hline
    \therefore R
    \end{array}.
    Es una regla de inferencia válida.
  3. Prueba por contradicción que los blargs no respiran aire.
  4. Prueba por contradicción que los blergs son vegetarianos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Demostraciones matemáticas (El mundo de los Blorg)

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Esta entrada es parte de una serie de notas sobre demostrar

Antes de empezar a encontrarnos con lo que son las demostraciones matemáticas, vamos a empezar con un pequeño mundo, este es un lugar que estaremos visitando a lo largo de varias entradas, así que será bueno que pongas atención.

El mundo de los Blorgs

Antes de que pienses que te equivocaste de entrada y veas un pequeño cuento, déjame decirte que todo está relacionado. Solo que antes de continuar vamos a conocer a los Blorgs, después verás cómo se relaciona todo.

Imagina por un momento el mundo de los Blorgs, es un mundo paralelo al nuestro que se puede encontrar en aquel mundo que existe más allá de lo que la esquina del espejo deja ver. Es un lugar que se parece un poco al piso sobre el que estamos, despierta con casi los mismos tonos del alba por la mañana pero con algunas cosas distintas. Para empezar estamos hablando de un mundo en el que habitan mayoritariamente criaturas llamadas Blorgs. Aquellos que alguna vez los vieron, comentan que curiosamente son pequeñas criaturas parecidas a los conejos. Y con algunas otras descripciones en mente, podríamos empezar a clasificar los Blorgs de acuerdo a distintas características como por ejemplo su dieta, su rutina, dónde viven, etc. Pero se decidió que era mejor clasificarlos según su color, y aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Por un lado están los Blergs, estos son las criaturas rojas que viven por las montañas. Después podemos considerar a los Blargs que son aquellos Blorgs amarillos y viven debajo del mar, no son muy sociales pero es lo que hay. Finalmente están los Blurgs que son azules y prefieren vivir en el bosque. Entonces podemos dividir a los Blorgs en sus razas: Blergs, Blargs y Blurgs. Algo importante que tenemos que decir también: Ningún blorg tiene más de un color.

Quizá sean de color distinto y vivan en lugares diferentes, pero esto no les impide tener algunas cosas en común. Por ejemplo, todos los Blurgs comen pescados, pues tienen un lago cerca de su bosque, y al ser los Blargs marinos, también comen peces. El hecho de haber vivido tanto tiempo en terreno alto, hizo que los Blergs prefieran cultivar sus cosechas: Frutos dulces y verduras siempre comen. Por alguna razón, será costumbre o creencia, todos los Blorgs comen solamente los lunes, es decir, que cada criatura come una vez a la semana, eso les ha ayudado a no depender tanto de la comida en el día a día. Aunque aquí es donde los Blurgs no coinciden: ellos no esperan tanto y también comen algo los viernes.

La vida siendo Blorg

Tristemente, los Blargs no pueden salir del mar, pues a pesar de ser Blorgs, el salir del agua les despinta lo amarillo y les quita fuerza es por esto que casi no hablan con sus contrapartes terrestres. Por otro lado los Blerg y los Blurg se llevan muy bien, los Blurgs comparten la madera que tienen con los Blergs y los Blergs comparten los cultivos que hacen con los Blurgs. No está de más decir que todos los Blergs son amigos de los Blurgs. Esto hace que los Blargs se sientan más ajenos a ellos, pues aunque sí se llevan con los Blurgs, prefieren juntarse con los delfines que viven junto a ellos, son amistosos con los Blargs y siempre están dispuestos a negociar peces a cambio de paseos a lo largo del mar. Pero nadie se queja, así es la vida siendo un Blorg.

De esta manera, podemos resumir la información que sabemos de los Blorgs en el siguiente diagrama:

Una diferencia que podemos saber de los Blorgs es que ellos le llaman al lugar en donde viven «Axios» y dentro de ella, no hacen diferencia entre lo que es una característica o costumbre, ellos no tienen una palabra para cada una de ellas, ellos en su lugar usan la palabra «Axioma«* (¿recuerdas qué significa esta palabra?). Esto quiere decir que para los Blargs, ser amarillos es un axioma, al igual que para ellos hablar con delfines o comer peces es un axioma.

Así que es natural poder hacer conclusiones a partir de estos Axiomas. Por ejemplo: ¿Qué opinarías si te digo que todos los Blorgs comen peces? ¿O si te digo que todos los Blorgs que viven en montañas comen los lunes? Pues quizá puedas dar respuesta a estas preguntas intuitivamente. Pero ¿Cómo es que nos aseguramos que la respuesta es correcta o no? En Axios no basta con decir que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes. Los Blorgs no entienden la intuición, pero nosotros sí. A ellos hay que convencerlos con demostraciones, a ellos tenemos que explicarles mediante lógica el porqué una proposición sucede. Es decir que si queremos afirmar que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes, tenemos que decir paso a paso el porqué es así. Y esto lo lograremos mediante reglas de inferencia válidas. Vamos a anotar esto que acabamos de dcir como una definición (¿recuerdas qué era una definición?):

Definición: Una demostración matemática es el uso de pasos lógicos usando reglas de inferencia válidas para llegar de una hipótesis a una conclusión.

La intuición con inferencia

Para introducir un poco más qué van a ser las demostraciones en las matemáticas, vamos a pensar en Legos, aquellos pequeños bloques que encajan unos con otros con los que se pueden armar lo que se te ocurra. Y piensa a las reglas de inferencia como las instrucciones para armar algo.

Ahora imagina que queremos armar un escritorio hecho de estas piezas. Entonces primero tendríamos que armar las patas y después la mesa. Entonces las reglas de inferencia nos van a ayudar diciéndonos: Las patas hay que acomodarlas de cierta manera junto a la mesa para que se haga una mesa. Y una vez construido el escritorio, ahora podríamos querer ponerlo en un cuarto junto a una cama y una lámpara. Entonces usaremos otras reglas de inferencia para crear la cama y otras para la lámpara, juntando las tres partes (escritorio, cama y lámpara) tendríamos hecho un cuarto. Entonces si quisiéramos «demostrar» cómo se hace un cuarto con estas piezas de lego, tendríamos que explicar cómo se hace la lámpara, cómo se hace la cama y cómo la lámpara. Esto es lo que haremos en matemáticas: construir cosas dando las instrucciones adecuadas. Incluso podríamos ir más allá: Una vez que sabemos cómo construir un cuarto, podríamos también demostrar cómo se hace una cocina y un baño. Entonces si tuviéramos ese conocimiento de cómo se hacen estos tres, podríamos construir una casa. Y después sabiendo cómo se construyen casas, podríamos crear ciudades y países enteros. Pero como todo: un paso a la vez.

Armando piezas con los Blorgs

Nuestras piezas de lego con los Blorgs van a ser los axiomas. Ahora si le dijeramos a un Blorg que los Blorgs amarillos comen peces, no nos creerían, deberíamos darles una demostración de esto:

Proposición. Los Blorgs amarillos comen peces.

Demostración. Para empezar, vamos a notar que es una proposición del tipo «Si $x$ es un blorg amarillo entonces $x$ come peces». Esto es lo que queremos demostrar, entonces vamos a ir armando las piezas de lego poco a poco con los axiomas que ya sabíamos:

  • Usaremos que todos los Blorgs amarillos son Blargs. Es decir «si $x$ es un blorg amarillo, entonces $x$ es un blarg»
  • Usaremos que todos los Blargs comen peces. Es decir «si $x$ es un blarg, entonces $x$ come peces»

En las demostraciones vamos a ir usando cosas que ya conocemos (en este caso los axiomas) para poder ir aplicando pasos lógicos y reglas de inferencia para llegar a la conclusión deseada. Entonces como queremos ver que todos los Blorgs amarillos comen peces, entonces resulta natural «agarrar» un blorg amarillo y ver que ese blorg come peces (si pasa con un blorg amarillo, pasará para todos los Blorgs amarillos pues todos nuestros pasos lógicos aplicarán para todos los Blorgs amarillos). Así que empecemos considerando a $x$ un blorg amarillo. Sabemos que r «si $x$ es un blorg amarillo, entonces $x$ es un blarg» entonces como nuestro $x$ es un blorg amarillo, entonces es un blarg.

Ahora, sabemos que nuestra $x$ es un blarg, pero además sabemos que «si $x$ es un blarg, entonces $x$ come peces» entonces también nuestro blarg come peces. Por lo tanto los Blorgs amarillos comen peces.

$\square$

¿Viste cómo es que hicimos la demostración? Si consideramos

$ P(x) : x$ es blorg amarillo,

$ Q(x) : x$ es blarg,

$ R(x) : x$ come peces,

entonces realmente lo que hicimos fue usar la siguiente regla de inferencia válida:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}.$$

En este caso solo usamos esta regla de inferencia, pero más adelante veremos cómo se pueden usar otras y distintas reglas de inferencia. Apenas estamos empezando este tema, así que si aún tienes muchas dudas, no te preocupes y vuelve a leer la demostración si es necesario.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de cultura matemática

* Esta palabra viene del griego ἀξίωμα que significa «lo que se considera justo» y de hecho viene de la palabra ἄξιος (áxios) que significa «valioso» y en la antigua grecia se consideraban aquellas cosas que parecían evidentes y no hacía falta justificar.

Más adelante…

Apenas estamos empezando a explicar qué son estas «demostraciones». En el mundo de la matemática no hay algo como el recetario de las demostraciones, pero hay ideas o formas de pensar los problemas que te servirán para tener una idea de por dónde empezar a pensar a la hora de demostrar. Así que en las siguientes entradas vamos a ver algunas de estas «formas» de pensar los problemas y lo haremos con ayuda de los Blorgs.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. ¿Qué necesita un blorg para comer peces y ser amigo de los delfines?
  2. ¿Es posible que un blorg coma peces y frutos?
  3. ¿Qué argumentos lógicos podrías usar para demostrar que todo blorg rojo come los lunes?
  4. Verifica que

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

es una regla de inferencia válida.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»