Introducción

En esta nota iniciaremos el estudio de los números naturales, hasta ahora sabemos trabajar con conjuntos, podemos considerar su complemento, unirlos, intersecarlos, considerar subconjuntos de ellos, considerar particiones y relaciones de equivalencia, etc. Con estas herramientas vamos a dar una definición de los números naturales basada en el sucesor, esta definición implicará los llamados axiomas de Peano, en honor al matemático Giuseppe Peano quien en el siglo XIX, los estableció para definir los números naturales. Así nuestro primer objetivo es dar una definición conjuntista de los números naturales y ver que implica los axiomas de Peano. Puedes consultar el siguiente enlace para conocer más a profundidad la historia de cómo se formalizó la aritmética: Los axiomas de Peano.

Empecemos definiendo lo que es el sucesor de un conjunto $x.$

Definición

Sea $x$ un conjunto, el sucesor de $x$ es:

$x^+=x\cup\set{x}$

Observa que si definimos al cero como el conjunto vacío tenemos que:

$0=\emptyset$

Y entonces su sucesor $0^+$ es:

$0^+=\emptyset^+ =\emptyset\cup \set{ \emptyset}= \set{ \emptyset} =\set{ 0}$

Ese sucesor $0^+$ será el natural $1$, entonces:

$1^+=1\cup\set{1}=\set{0}\cup \set{1}=\set{0,1}=2$

que es el número 2, y así sucesivamente:

$2^+=2\cup \set{2}= \set{0,1}\cup \set{2}=\set{0,1,2}=3$

$3^+=3\cup \set{3}= \set{0,1,2}\cup \set{3}=\set{0,1,2,3}=4$

$\vdots$

$n^+=n\cup \set{n}= \set{0,\dotsc,n-1}\cup \set{n}=\set{0,\dotsc,n}=n+1$

Aceptaremos que esta construcción puede ser llevada a infinito, y lo postularemos como un axioma.

Axioma del infinito

Existe un conjunto que tiene al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Démosle ahora nombre a un tipo especial de conjuntos, aquellos que tienen al cero y todos sus sucesores.

Definición

Sea $A$ un conjunto. Decimos que $A$ es un conjunto de sucesores si tiene como elemento al cero y al sucesor de cada uno de sus elementos.

Observemos que el Axioma del infinito asegura la existencia de al menos un conjunto de sucesores. Tiene sentido entonces considerar la intersección de todos los conjuntos de sucesores y veremos que la intersección también es un conjunto de sucesores.

Lema

Si $\set{A_i\mid i\in I}$ es una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I,$ entonces $\bigcap\limits_{i\in I} A_{i}$ es un conjunto de sucesores.

Demostración

Sea $\set{A_i\mid i\in I}$ una familia no vacía con $A_i$ un conjunto de sucesores $\forall i\in I$.

Como $A_i$ es un conjunto de sucesores $\forall i\in I$, etonces $0\in A_i\,\,\forall i\in I$, así $0\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$.

Veamos ahora que $ \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ tiene al sucesor de cada uno de sus elementos.

Sea $x\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ entonces $x\in A_i$ $\forall i\in I$. Como cada $A_i$ es un conjunto de sucesores, se tiene que $x^+\in A_i$ $\forall i\in I$, así $x^+\in \bigcap\limits_{i\in I} A_i$ y por lo tanto $\bigcap\limits_{i\in I} A_i$ es un conjunto de sucesores.

$\square$

Con esta definición de conjunto de sucesores y el lema anterior vamos a definir a los números naturales como la intersección de todos los $S$ que son conjunto de sucesores.

Definición

El conjunto de los números naturales es:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$

Por el lema anterior, $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, así $0\in \mathbb N$ y si $x\in \mathbb N$ entonces $x^+\in \mathbb N$.

Proposición

Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Demostración

Sea $A\subseteq \mathbb N$ que cumple las condiciones $i$ y $ii$, entonces $A$ es un conjunto de sucesores por definición, y así $A$ es uno de los conjuntos que se intersecan para formar a $\mathbb N$. Por lo tanto:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S\subseteq A.$ Así, $\mathbb N\subseteq A$.

Y por hipotesis $A\subseteq \mathbb N$ , por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Veremos que la definición que dimos de los números naturales anteriormente implica los axiomas de Peano. Enunciemos dichos axiomas y notemos cómo se derivan de nuestra definición.

Axiomas de Peano

1. $0\in \mathbb N$.

2. Si $n\in \mathbb N$, entonces $n^+\in \mathbb N$.

3. $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

4. $\forall n,m\in \mathbb N$ si $n^+=m^+$ entonces $n=m$.

5. Si $A\subseteq \mathbb N$ es tal que:

$i)$ $0\in A$

$ii)$ $\forall n$, si $n\in A$ entonces $n^+\in A$

Se tiene que $\mathbb N\subseteq A$ y así $A=\mathbb N$.

Vamos a proceder a su demostración en base a la definición de los naturales como:

$\mathbb N= \bigcap\limits_{S\text{ es un conjunto de sucesores}} S$.

El quinto axioma de Peano se conoce como el Principio de inducción y se usa mucho para hacer pruebas referentes a afirmaciones de los números naturales.

Observa que en nuestro caso estas afirmaciones no se están tomando como axiomas pues hemos construido los números naturales a partir de conjuntos, así que verificaremos que con esta construcción los naturales cumplen las condiciones enunciadas.

Demostración

Observa que $1$ y $2$ se cumplen ya que por el lema $\mathbb N$ es un conjunto de sucesores, $5$ se cumple por la proposición antes demostrada.

Demostración de 3

Queremos demostrar que: $\forall n\in \mathbb N$, $n^+\neq 0$.

Sea $n\in \mathbb N$, por definición $n^+=n\cup\set{n}$, así $n\in n^+$ y entonces $n^+\neq \emptyset=0$.

Para probar $4$ requerimos un resultado.

Lema

Todo elemento de un número natural es también subconjunto de éste.

Demostración

Sea $A=\set{n\in \mathbb N\mid si\,\,x\in n \,\, entonces \,\, x\subseteq n}\subseteq \mathbb N$. Probaremos que $A$ cumple $i$ y $ii$ y usando el inciso 5 ya demostrado concluiremos que $A=\mathbb N.$

Como $0=\emptyset$, $0$ no tiene elementos, así $0\in A$ y se cumple $i$.

Ahora, sea $n\in A$. Por demostrar que $n^+\in A.$

Sea $x\in n^+=n\cup \set{n}$.

Caso $1$, $x\in n$

Como $n\in A$ y $x\in n$ entonces $x\subseteq n$, además $n\subseteq n\cup \set{n}= n^+$, entonces $x\subseteq n^+$.

Caso $2$, $x\in \set{n}$

En este caso $x=n$ y como $x=n\subseteq n\cup \set{n}=n^+$, así $x\subseteq n^+.$

En ambos casos se tiene que $x\in n^+$ implica que $x\subseteq n^+,$ así $n^+$ es un elemento de $A$. El conjunto $A$ cumple entonces las condiciones del quinto axioma de Peano que ya hemos demostrado, y por lo tanto $A=\mathbb N$.

$\square$

Demostración de 4

Sea $n,m\in \mathbb N$ tales que $n^+=m^+$, entonces $n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$. Así $n\in n\cup \set{n}= m\cup \set{m}$, lo que implica que $n\in m$ o $n=m$. Por otro lado $m\in m\cup \set{m}= n\cup \set{n}$, entonces $m\in n$ o $m=n$.

Supongamos por reducción al absurdo que $n\neq m$, entonces se concluye de lo anterior que $n\in m$ y $m\in n$. Por el lema previo $n\subseteq m$ y $m\subseteq n$, así $n=m$, lo cual es una contradicción y por lo tanto $n=m$.

Y con esto hemos verificado que la construcción que dimos de los números naturales cumple los axiomas de Peano.

$\square$

Para concluir esta nota, mencionaremos las definiciones y propiedades de la suma y el producto de los números naturales que acabamos de definir. Aunque se presentan las definiciones y se enuncian las propiedades, cabe destacar que las pruebas de las mismas, realizadas por inducción, no se incluyen en estas notas con el fin de no desviar la atención del lector y de estudiar la inducción matemática en casos menos abstractos.

Se pueden consultar las pruebas en el libro: Avella D., Campero G., Curso introductorio de Álgebra I, Colección Papirhos, Instituto de Matemáticas de la UNAM, México, 2017.

Definición. Suma en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n+0=n$

$n+m^+=(n+m)^+$ $\forall m\in \mathbb N$

Propiedades de la suma

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

1. $n+0=n$
2. $(n+m)+l=n+(m+l)$
3. Si $n+l=m+l$, entonces $n=m$.
4. $n+m=m+n$.
5. Si $n\neq 0$ o $m\neq 0$, entonces $n+m\neq 0$

Definición. Producto en $\mathbb N$

Dado $n\in \mathbb N$ definimos:

$n\cdot 1=n$

$n\cdot m^+=n \cdot m+n$ $\forall m\in\mathbb N$

Propiedades del producto

Sean $n,m,l\in \mathbb N.$

1. $n\cdot 1=n$
2. $(n+m)\cdot l=n\cdot l+m\cdot l$.
3. $n\cdot m=m\cdot n$.
4. $(n\cdot m)\cdot l=n\cdot (m\cdot l)$.
5. Si $n\neq 0$ y $m\neq 0$, entonces $n\cdot m\neq 0$
6. Si $l\neq 0$ y $n\cdot l=m\cdot l$ entonces $n=m$.

Tarea Moral

1. Describe a los números naturales $3$, $5$, $7$, como conjuntos, usando la definición conjuntista.

2. Determina si las siguientes afirmaciones se cumplen o no.

• $3\subseteq 5$
• $7\subseteq 5$
• $3\in 5$
• $7\in 3$

Más adelante

En la siguiente nota definiremos el orden en los números naturales y veremos distintos ejemplos donde aplicaremos el principio de inducción matemática para hacer demostraciones.

Enlaces relacionados

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Nota anterior. Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.

Nota siguiente. Nota 17. El orden en los números naturales.