Las siguientes notas son las correspondientes al curso de Álgebra Superior I, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Están divididas en 4 unidades, la primera correspondiente a conjuntos y funciones, la segunda está dedicada a la construcción y propiedades de los números naturales, la tercera es una introducción al estudio del espacio vectorial $\mathbb R^n$ , la cuarta y última unidad al estudio de matrices y determinantes.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Conjuntos y funciones
- Unidad 2: Los números naturales
- Unidad 3: El espacio vectorial $\mathbb{R}^n$
- Unidad 4: Matrices y determinantes
Notas y videos del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por el estudiante Julio César Soria Ramírez a partir de las notas de clase de la profesora Diana Avella Alaminos. Se irán agregando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Estas notas a su vez se elaboraron a partir de la bibliografía abajo indicada y no pretenden presentar demostraciones originales sino organizar y unificar el material de dichos textos, agregando explicaciones, ejemplos, ejercicios, enlaces, etc., para que los alumnos lo puedan entender de forma accesible, siguiendo por completo el temario oficial de la materia, y presentando sólo lo que podría estudiarse de manera realista en un curso de un semestre con tres horas a la semana de clases con el profesor titular. Cabe mencionar que cada entrada del blog corresponde al material que puede ser impartido en aproximadamente una hora de clase.
Sugerimos al lector que desee ampliar su estudio en la materia, revisar los textos a partir de los cuales se estructuró el curso.
Los videos fueron elaborados en su totalidad por la profesora Diana Avella Alaminos.
Unidad 1: Conjuntos y funciones
Notas
- Nota 1. Noción de Conjunto.
- Nota 2. Subconjuntos.
- Nota 3. El complemento de un conjunto.
- Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos.
- Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica.
- Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.
- Nota 7. Relaciones y funciones.
- Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.
- Nota 9. Composición de funciones.
- Nota 10. Función inversa.
- Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
- Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
- Nota 13. Relación de equivalencia.
- Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.
- Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.
Videos
- Video 1. Definición de conjunto y un ejemplo
- Video 2. Colecciones definidas mediante alguna propiedad
- Video 3. Algunos axiomas de la teoría de conjuntos
- Video 4. Contención
- Video 5. Cómo hacer una demostración
- Video 6. Propiedades de la contención
- Video 7. Igualdad de conjuntos
- Video 8. Complemento de un conjunto
- Video 10. Unión e intersección de conjuntos
- Video 11. Leyes de De Morgan
- Video 12. Diferencia de conjuntos y diferencia simétrica
- Video 13. Conjunto potencia
- Video 14. Par ordenado
- Video 15. Producto cartesiano
- Video 16. Relaciones entre conjuntos
- Video 17. Funciones
- Video 18. Imagen directa e imagen inversa
- Video 19. Imagen directa de la imagen inversa de un conjunto, e imagen inversa de la imagen directa de un conjunto
- Video 20. Composición de funciones
- Video 21. Asociatividad de la composición de funciones y funciones identidad
- Video 22. Inversas derechas e izquierdas, inversa de una función
- Video 23. Ejemplos de inversas derechas e izquierdas
- Video 24. Si una función tiene inversa izquierda y derecha, éstas coinciden
- Video 25. Funciones inyectivas
- Video 26. Funciones suprayectivas
- Video 27. Funciones biyectivas
- Video 28. Composición de funciones inyectivas o suprayectivas
- Video 29. Cancelación de funciones inyectivas o suprayectivas
- Video 30. Relaciones de equivalencia
- Video 31. Clases de equivalencia
- Video 32. Familias de conjuntos
- Video 33. Ejemplos de familias de conjuntos
- Video 34. Particiones
- Video 35. Las clases de equivalencia dan lugar a una partición del conjunto
- Video 36. Ejemplos de algunas funciones inducidas por relaciones de equivalencia y viceversa
- Video 37. Prueba de que existe una biyección entre el conjunto de relaciones de equivalencia de un conjunto y la colección de particiones del conjunto
Unidad 2: Los números naturales
Notas
- Nota 16. Los números naturales.
- Nota 17. El orden en los números naturales.
- Nota 18. El principio de inducción matemática.
- Nota 18b. Demostraciones por inducción de las propiedades de las operaciones de los números naturales
- Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad.
- Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.
- Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición.
- Nota 22. Conteo. Ordenaciones.
- Nota 23. Combinaciones.
- Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.
Videos
- Video 38. Construcción de los números naturales
- Video 39. Axiomas de Peano
- Video 40. Suma y producto de los números naturales
- Video 41. Orden de los números naturales
- Video 42. Idea intuitiva del principio de inducción
- Video 43. Ejemplo de inducción
- Video 44. Ejemplo de inducción
- Video 45. Ejemplo de inducción
- Video 46. Segundo principio de inducción y principio del buen orden
- Video 47. Conjuntos equipotentes
- Video 48. Más ejemplos de equipotencia
- Video 49. Conjuntos finitos
- Video 50. Principio de la suma
- Video 51. Cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos
- Video 52. Cardinalidad de un producto cartesiano de dos conjuntos finitos
- Video 53. Funciones inyectivas y suprayectivas entre conjuntos finitos
- Video 54. Funciones entre conjuntos finitos con el mismo número de elementos
- Video 55. Motivación ordenaciones con repetición
- Video 56. Definición de ordenaciones con repetición y un ejemplo
- Video 57. Fórmula de ordenaciones con repetición
- Video 58. Motivación ordenaciones
- Video 59. Definición de ordenaciones
- Video 60. Lema ordenaciones
- Video 61. Ejemplo y fórmula de ordenaciones
- Video 62. Definición de permutaciones y ejemplo
- Video 63. Definición de combinaciones y ejemplo
- Video 64. Fórmula de combinaciones
- Video 65. Fórmula del triángulo de Pascal
- Video 66. Binomio de Newton
Unidad 3: El espacio vectorial $\mathbb{R}^n$
Notas
- Nota 25. Espacios vectoriales.
- Nota 26. Propiedades de $\mathbb R^n$.
- Nota 27. Subespacios vectoriales.
- Nota 28. Combinaciones lineales.
- Nota 29. Subespacio generado.
- Nota 30. Dependencia e independencia lineal.
- Nota 31. Bases de $\mathbb R^n$.
- Nota 32. Dimensión de un $\mathbb R-$espacio vectorial.
Videos
- Video 67. Introducción a los espacios vectoriales
- Video 68. El espacio de n-adas reales es un espacio vectorial
- Video 69. Continuación de que las n-adas de reales forman un espacio vectorial
- Video 70. Unicidad del neutro e inversos y leyes de cancelación
- Video 71. Algunas propiedades del inverso de un vector
- Video 72. Definición de subespacio y ejemplos
- Video 73. La intersección de dos subespacios es un subespacio
- Video 74. Definición de combinación lineal
- Video 75. La colección de las combinaciones lineales de S
- Video 76. Definición de generado por un conjunto y ejemplos
- Video 77. Más ejemplos del generado por un conjunto
- Video 78. Definición de conjuntos linealmente dependientes e independientes
- Video 79. Ejemplos y propiedades de conjuntos linealmente (in)dependientes
- Video 80. Definición de base de un subespacio y ejemplos
- Video 81. Existencia de bases y justificación de que todo conjunto linealmente independiente se puede completar a una base
- Video 82. Dimensión de un subespacio y ejemplos
- Video 83. Reducir un conjunto generador a una base; un subconjunto linealmente independiente o generador de W con dim W elementos es una base de W
- Video 84. Resultados acerca de bases de un subespacio contenido en otro
Unidad 4: Matrices y determinantes
Notas
- Nota 33. Matrices.
- Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta.
- Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales.
- Nota 36. Matriz escalonada reducida por renglones.
- Nota 37. El rango de una matriz.
- Nota 38. Sistemas de ecuaciones.
- Nota 39. Ejemplos de sistemas de ecuaciones
- Nota 40. Determinantes.
- Nota 41. Propiedades de los determinantes.
- Nota 42. Fórmula para obtener el determinante.
- Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices.
Videos
- Video 85. Definición intuitiva de matriz
- Video 86. Definición formal de matriz
- Video 87. Definición de igualdad de matrices, suma y producto por escalar
- Video 88. Propiedades de la suma y el producto por escalar
- Video 89. Continuación de la prueba de las propiedades de la suma y el producto por escalar de matrices
- Video 90. Motivación de la definición de producto de matrices
- Video 91. Definición del producto de matrices
- Video 92. Propiedades del producto de matrices
- Video 93. Matrices identidad y matrices invertibles
- Video 94. Transpuesta de una matriz y sus propiedades
- Video 95. Operaciones elementales por renglones
- Video 96. Matrices elementales
- Video 97. Ejemplo de escalar matrices y codificar con matrices elementales
- Video 98. Matriz escalonada reducida por renglones
- Video 99. Toda matriz es equivalente por renglones a una escalonada reducida por renglones
- Video 100. Ejemplo de cómo escalonar una matriz
- Video 101. Rango de una matriz
- Video 102. Ejemplos de cómo calcular el rango de una matriz
- Video 103. Definición sistemas de ecuaciones lineales
- Video 104. Las soluciones del sistema se preservan al escalonar
- Video 105. Ejemplo 1 de resolución de sistemas de ecuaciones
- Video 106. Ejemplo 2 de resolución de sistemas de ecuaciones
- Video 107. Ejemplo 3 de resolución de sistemas de ecuaciones
- Video 108. El sistema tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz aumentada
- Video 109. Introducción a determinantes, permutaciones y signo de una permutación
- Video 110. Definición formal del determinante
- Video 111. Propiedades básicas del determinante
- Video 112. Prueba de las propiedades 3 y 4 de determinantes
- Video 113. Prueba de las propiedades 5, 6 y 7 de determinantes
- Video 114. Definición de menor y dos lemas encaminados al desarrollo por menores del determinante
- Video 115. Desarrollo del determinante por menores y un ejemplo
- Video 116. Propiedad multiplicativa del determinante
- Video 117. Condiciones equivalentes a que una matriz sea invertible
Evaluación
La forma específica de evaluar se establece cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
Estas entradas de blog están basadas en las notas de la profesora Diana Avella Alaminos. A su vez, éstas fueron realizadas a partir de los siguientes textos:
Bibliografía a partir de la cual se elaboró el curso
- Amor, J.A., Teoría de conjuntos para estudiantes de Ciencias, Ed. Fac. de Ciencias, México, 1997.
- Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, Ed. Limusa, México, 1994.
- Avella D., Campero G., Curso introductorio de Álgebra I, Colección Papirhos Instituto de Matemáticas de la UNAM, México, 2017.
- Cárdenas, H., et al, Álgebra Superior, Ed. Trillas, México, 1990.
- Espinosa, R., Matemáticas discretas, Ed. Alfaomega, México, 2010.
- Friedberg, S. H., Insel A.J., Spence L.E., et al, Linear Algebra, Ed. Prentice Hall, E.U.
- Gómez, C., Álgebra superior curso completo, Ed. UNAM, México, 2014.
- Halmos, P., Teoría intuitiva de los conjuntos, Ed. Continental, México, 1973.
- Hoffman, K. y Kunze, R., Álgebra Lineal, Ed. Prentice Hall, México,1993.
- Kurosch, A.G., Curso de Álgebra Superior, Ed. Mir, URSS, 1975.
- Zaldívar, F., Fundamentos de álgebra, Ed. Fondo de Cultura Económica, 2005.
Además, sugerimos como complemento los siguientes textos:
Bibliografía disponible en Prometeo tienda UNAM en línea
- Gómez, C., Álgebra superior curso completo, Ed. UNAM, México, 2014.
Bibliografía disponible en la biblioteca digital de la UNAM
- Orta, C., et al, Álgebra Superior,, Ed. McGraw-Hill Interamericana, México, 2014.
- Rodríguez Vallejo, R., Conjuntos numéricos, estructuras algebraicas y fundamentos de álgebra lineal, Ed. Tébar, España, 2013.
Bibliografía disponible de forma gratuita en la red
Moodle
Además de las notas y videos del curso, existe un curso en Moodle en donde hay mucho más material:
- Foros de discusión divididos por cada unidad temática
- Cuestionarios de opción múltiple y respuesta numérica para verificar el entendimiento de cada uno de los temas que cubrimos en el curso
- Tareas y exámenes
Para tener acceso a este material, es necesario tener una cuenta en el portal NekoMath Learn y pedir en un correo la inscripción al curso en línea.
Créditos
El material de este curso fue elaborado con la colaboración de las siguientes personas:
- Diana Avella Alaminos
- Julio César Soria Ramírez
- Diana Belén Bizcaíno Torres