Las siguientes notas son las correspondientes al curso de Álgebra Superior I, que se imparte en el primer semestre de la carrera de matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Están divididas en 4 unidades, la primera correspondiente a conjuntos y funciones, la segunda está dedicada a la construcción y propiedades de los números naturales, la tercera es una introducción al estudio del espacio vectorial $\mathbb R^n$ , la cuarta y última unidad al estudio de matrices y determinantes.
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Conjuntos y funciones
- Unidad 2: Los números naturales
- Unidad 3: El espacio vectorial $\mathbb{R}^n$
- Unidad 4: Matrices y determinantes
Notas y videos del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso. Han sido trabajadas por el estudiante Julio César Soria Ramírez a partir de las notas de clase de la profesora Diana Avella Alaminos. Se irán agregando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Estas notas a su vez se elaboraron a partir de la bibliografía abajo indicada y no pretenden presentar demostraciones originales sino organizar y unificar el material de dichos textos, agregando explicaciones, ejemplos, ejercicios, enlaces, etc., para que los alumnos lo puedan entender de forma accesible, siguiendo por completo el temario oficial de la materia, y presentando sólo lo que podría estudiarse de manera realista en un curso de un semestre con tres horas a la semana de clases con el profesor titular. Cabe mencionar que cada entrada del blog corresponde al material que puede ser impartido en aproximadamente una hora de clase.
Sugerimos al lector que desee ampliar su estudio en la materia, revisar los textos a partir de los cuales se estructuró el curso.
Los videos fueron elaborados en su totalidad por la profesora Diana Avella Alaminos.
Unidad 1: Conjuntos y funciones
Notas
- Nota 1. Noción de Conjunto.
- Nota 2. Subconjuntos.
- Nota 3. El complemento de un conjunto.
- Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos.
- Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica.
- Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano.
- Nota 7. Relaciones y funciones.
- Nota 8. Imagen directa e inversa de una función.
- Nota 9. Composición de funciones.
- Nota 10. Función inversa.
- Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
- Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
- Nota 13. Relación de equivalencia.
- Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones.
- Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones.
Videos
- Video 1. Definición de conjunto y un ejemplo
- Video 2. Colecciones definidas mediante alguna propiedad
- Video 3. Algunos axiomas de la teoría de conjuntos
- Video 4. Contención
- Video 5. Cómo hacer una demostración
- Video 6. Propiedades de la contención
- Video 7. Igualdad de conjuntos
- Video 8. Complemento de un conjunto
- Video 10. Unión e intersección de conjuntos
- Video 11. Leyes de De Morgan
- Video 12. Diferencia de conjuntos y diferencia simétrica
- Video 13. Conjunto potencia
- Video 14. Par ordenado
- Video 15. Producto cartesiano
- Video 16. Relaciones entre conjuntos
- Video 17. Funciones
- Video 18. Imagen directa e imagen inversa
- Video 19. Imagen directa de la imagen inversa de un conjunto, e imagen inversa de la imagen directa de un conjunto
- Video 20. Composición de funciones
- Video 21. Asociatividad de la composición de funciones y funciones identidad
- Video 22. Inversas derechas e izquierdas, inversa de una función
- Video 23. Ejemplos de inversas derechas e izquierdas
- Video 24. Si una función tiene inversa izquierda y derecha, éstas coinciden
- Video 25. Funciones inyectivas
- Video 26. Funciones suprayectivas
- Video 27. Funciones biyectivas
- Video 28. Composición de funciones inyectivas o suprayectivas
- Video 29. Cancelación de funciones inyectivas o suprayectivas
- Video 30. Relaciones de equivalencia
- Video 31. Clases de equivalencia
- Video 32. Familias de conjuntos
- Video 33. Ejemplos de familias de conjuntos
- Video 34. Particiones
- Video 35. Las clases de equivalencia dan lugar a una partición del conjunto
- Video 36. Ejemplos de algunas funciones inducidas por relaciones de equivalencia y viceversa
- Video 37. Prueba de que existe una biyección entre el conjunto de relaciones de equivalencia de un conjunto y la colección de particiones del conjunto
Unidad 2: Los números naturales
Notas
- Nota 16. Los números naturales.
- Nota 17. El orden en los números naturales.
- Nota 18. El principio de inducción matemática.
- Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad.
- Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos.
- Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición.
- Nota 22. Conteo. Ordenaciones.
- Nota 23. Combinaciones.
- Nota 24. El triángulo de Pascal y el binomio de Newton.
Videos
- Video 1. Construcción de los números naturales
- Video 2. Axiomas de Peano
- Video 3. Suma y producto de los números naturales
- Video 4. Orden de los números naturales
- Video 5. Idea intuitiva del principio de inducción
- Video 6. Ejemplo de inducción
- Video 7. Ejemplo de inducción
- Video 8. Ejemplo de inducción
- Video 9. Segundo principio de inducción y principio del buen orden
- Video 10. Conjuntos equipotentes
- Video 11. Más ejemplos de equipotencia
- Video 12. Conjuntos finitos
- Video 13. Principio de la suma
- Video 14. Cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos
- Video 15. Cardinalidad de un producto cartesiano de dos conjuntos finitos
- Video 16. Funciones inyectivas y suprayectivas entre conjuntos finitos
- Video 17. Funciones entre conjuntos finitos con el mismo número de elementos
- Video 18. Motivación ordenaciones con repetición
- Video 19. Definición de ordenaciones con repetición y un ejemplo
- Video 20. Fórmula de ordenaciones con repetición
- Video 21. Motivación ordenaciones
- Video 22. Definición de ordenaciones
- Video 23. Lema ordenaciones
- Video 24. Ejemplo y fórmula de ordenaciones
- Video 25. Definición de permutaciones y ejemplo
- Video 26. Definición de combinaciones y ejemplo
- Video 27. Fórmula de combinaciones
- Video 28. Fórmula del triángulo de Pascal
- Video 29. Binomio de Newton
Unidad 3: El espacio vectorial $\mathbb{R}^n$
Resto de la Unidad 3 en elaboración
Unidad 4: Matrices y determinantes
Unidad 4 en elaboración
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
Estas entradas de blog están basadas en las notas de la profesora Diana Avella Alaminos. A su vez, éstas fueron realizadas a partir de los siguientes textos:
Bibliografía a partir de la cual se elaboró el curso
- Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, Ed. Limusa, México, 1994.
- Amor, J.A., Teoría de conjuntos para estudiantes de Ciencias, Ed. Fac.
- de Ciencias, México, 1997.
- Avella D., Campero G., Curso introductorio de Álgebra I, Colección Papirhos Instituto de Matemáticas de la UNAM, México, 2017.
- Cárdenas, H., et al, Álgebra Superior, Ed. Trillas, México, 1990.
- Espinosa, R., Matemáticas discretas, Ed. Alfaomega, México, 2010.
- Friedberg, S., et al,, Linear Algebra, Ed. Prentice Hall, E.U.
- Gómez, C., Álgebra superior curso completo, Ed. UNAM, México, 2014.
- Halmos, P., Teoría intuitiva de los conjuntos, Ed. Continental, México, 1973.
- Hoffman, K. y Kunze, R., Álgebra Lineal, Ed. Prentice Hall, México,1993.
- Zaldívar, F., Fundamentos de álgebra, Ed. Fondo de Cultura Económica, 2005.
Además, sugerimos como complemento los siguientes textos:
Bibliografía disponible en Prometeo tienda UNAM en línea
- Gómez, C., Álgebra superior curso completo, Ed. UNAM, México, 2014.
Bibliografía disponible en la biblioteca digital de la UNAM
- Orta, C., et al, Álgebra Superior,, Ed. McGraw-Hill Interamericana, México, 2014.
- Rodríguez Vallejo, R., Conjuntos numéricos, estructuras algebraicas y fundamentos de álgebra lineal, Ed. Tébar, España, 2013.
Bibliografía disponible de forma gratuita en la red
Créditos
El material de este curso fue elaborado con la colaboración de las siguientes personas:
- Diana Avella Alaminos
- Julio César Soria Ramírez
- Diana Belén Bizcaíno Torres