MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En la entrada conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados hablamos de la propiedad que tiene un conjunto cuando podemos cubrirlo con una cantidad finita de bolas muy pequeñitas, en concreto, hablamos de la definición de un conjunto totalmente acotado en un espacio métrico. También vimos que un espacio compacto tiene esa propiedad.
En esta ocasión veremos una definición equivalente, a través del concepto de las $\varepsilon\text{-$redes$}.\,$ No profundizaremos en la argumentación de los resultados, pero esperamos que sean de tu interés y puedas consultarlos en la bibliografía presentada.
Definición. $\varepsilon\text{-$red$}\,$ de un conjunto. Sea $(X,d)$ un espacio métrico, $A \subset X$ y $\varepsilon>0.$ Decimos que $S\subset X$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ de $A$ si para cada $a \in A$ se cumple que $\text{dist}(a,S):= \underset{s \in S}{inf \,} d(a,s) \leq \varepsilon.$ Nota que esta distancia, de un punto a un conjunto, ya se había definido en la métrica de Hausdorff.
Presentamos una definición alternativa a los conjuntos totalmente acotados. La prueba queda como tarea moral.
Proposición. $A\subset X$ es totalmente acotado si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita de $A.$
Demostración: Ejercicio.
Mientras pruebas esto verás que basta con tomar los centros de las bolitas de radio $\varepsilon,$ que son una cantidad finita, para formar con ellos una $\varepsilon\text{-$red$},\,$ lo que nos permite cambiar nuestra idea mental de ellas en conjuntos totalmente acotados:
Recordemos que la distancia de Hausdorff, $d_H,$ asigna distancias entre conjuntos de un espacio métrico.
Si $A$ es el conjunto representado por la estrella rosa y $B,$ el representado por la estrella verde, dado que $d_H(A,B) = max \left\{\underset{a \in A}{sup} \, d(a,B), \underset{b \in B}{sup} \, d(b,A) \right\},$ podemos pensar en que dos conjuntos $A,B$ están «muy cerca» en la distancia de Hausdorff cuando cada punto de $A$ está muy cerca de algún punto en $B$ y viceversa.
El concepto de $\varepsilon\text{-$red$}\,$ está naturalmente relacionado con $d_H$ de la siguiente manera:
Dado un espacio métrico $(X,d)$ y un subconjunto $S \subset X,$ es inmediato verificar que si $d_{H}(S,X) < \varepsilon$ entonces $S$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ para $X$ y así mismo, $X$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ para $S.$
Esta reformulación y el hecho de que un espacio compacto es totalmente acotado (visto en Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados) hacen aparente un hecho conceptualmente interesante:
Si $X$ es compacto entonces para cada $\varepsilon >0$ podemos encontrar $S_{\varepsilon} \subset X$ una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita.
Observa que si tenemos $0 <\varepsilon_2 < \varepsilon_1$ se tiene que $S_{\varepsilon_2}$ refina a $S_{\varepsilon_1},$ es decir, $S_{\varepsilon_2}$ tiene puntos que están «más cerca» de los puntos de $X.$
De modo que si $\, (\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}} \to 0 \,$ tendremos que $\, d_{H} (S_{\varepsilon_n},X) \to 0.$
En otras palabras, $X$ se puede aproximar por conjuntos finitos, (es decir, existe una sucesión de conjuntos en el espacio métrico de Hausdorff que converge a $X).$ ¡La compacidad se puede ver como una generalización de la finitud!
Para ponerlo de otra forma, los espacios métricos compactos son aquellos que le siguen en complejidad a los espacios finitos, en cierto sentido.
Es interesante mencionar que M. Cassarla probó que también se puede aproximar en el caso compacto a $X$ por otros objetos llamados «gráficas métricas» (que representa, a grandes rasgos un grafo dotado de una métrica) si $X$ es geodésico; la construcción básicamente se reduce a colocar aristas entre los puntos de las $\varepsilon\text{-$redes$}\,$ de manera inteligente.
Para este resultado y otra generalización aproximada por superficies suaves, ver cita artículo de Cassarla «Approximating compact inner spaces by surfaces».
Podemos sacarle aún más jugo a este análisis. Si ahora nos enfocamos en la llamada distancia de Gromov-Hausdorff (ver Burago-Burago-Ivanov capítulo 6), ¡el mismo razonamiento nos dice que la clase de espacios finitos es $d_{GH}$ -densa en la clase de espacios compactos!
Esto además de ser bonito, tiene consecuencias geniales; en esencia, toda propiedad geométrica que se pueda formular en términos de las distancias entre configuraciones finitas de puntos, es estable bajo convergencia en Gromov-Hausdorff. Por ejemplo, para aquellos que hayan llevado un curso de Geometría Diferencial, es posible describir la condición
$$sec \geq k$$
en términos de triángulos. Por lo tanto $sec \geq k$ es estable bajo $d_{GH},$ lo cual ayuda a definir el concepto de curvatura seccional en espacios métricos que no sean variedades diferenciables. (Para ver más al respecto ver Burago-Burago-Ivanov).
Más adelante
Tarea moral
- Prueba que $A\subset X$ es totalmente acotado (según la definición vista en Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados) si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita de $A.$