MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
En matemáticas, el infinito suele ser difícil de manejar. Sin embargo, existe un concepto que actúa como un puente mágico: la compacidad. Con frecuencia decimos que un conjunto compacto se porta casi como si fuera un conjunto finito, y la herramienta que hace tangible esta idea es la $\varepsilon\text{-$red$}.$
En esta sección, exploraremos cómo, a través de estas redes, podemos «pixelar» un espacio infinito para cubrirlo con un número finito de piezas. Entenderemos que ser compacto no es solo ser cerrado y acotado, sino poseer una estructura tan robusta que nos permite controlar todo el espacio con apenas un puñado de puntos. Prepárate para descubrir cómo la compacidad es, en esencia, la generalización de la finitud.
En la entrada conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados hablamos de la propiedad que tiene un conjunto cuando podemos cubrirlo con una cantidad finita de bolas muy pequeñitas, en concreto, hablamos de la definición de un conjunto totalmente acotado en un espacio métrico. También vimos que un espacio compacto tiene esa propiedad.
En esta ocasión veremos una definición equivalente, a través del concepto de las $\varepsilon\text{-$redes$}.\,$ No profundizaremos en la argumentación de los resultados, pero esperamos que sean de tu interés y puedas consultarlos en la bibliografía presentada.
Definición. $\varepsilon\text{-$red$}\,$ de un conjunto. Sea $(X,d)$ un espacio métrico, $A \subset X$ y $\varepsilon>0.$ Decimos que $S\subset X$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ de $A$ si para cada $a \in A$ se cumple que $\text{dist}(a,S):= \underset{s \in S}{inf \,} d(a,s) \leq \varepsilon.$ Nota que esta distancia, de un punto a un conjunto, ya se había definido en la métrica de Hausdorff.
Presentamos una definición alternativa a los conjuntos totalmente acotados. La prueba queda como tarea moral.
Proposición. $A\subset X$ es totalmente acotado si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita de $A.$
Demostración: Ejercicio.
Mientras pruebas esto verás que basta con tomar los centros de las bolitas de radio $\varepsilon,$ que son una cantidad finita, para formar con ellos una $\varepsilon\text{-$red$},\,$ lo que nos permite cambiar nuestra idea mental de ellas en conjuntos totalmente acotados:
Recordemos que la distancia de Hausdorff, $d_H,$ asigna distancias entre conjuntos de un espacio métrico.
Si $A$ es el conjunto representado por la estrella rosa y $B,$ el representado por la estrella verde, dado que $d_H(A,B) = max \left\{\underset{a \in A}{sup} \, d(a,B), \underset{b \in B}{sup} \, d(b,A) \right\},$ podemos pensar en que dos conjuntos $A,B$ están «muy cerca» en la distancia de Hausdorff cuando cada punto de $A$ está muy cerca de algún punto en $B$ y viceversa.
El concepto de $\varepsilon\text{-$red$}\,$ está naturalmente relacionado con $d_H$ de la siguiente manera:
Dado un espacio métrico $(X,d)$ y un subconjunto $S \subset X,$ es inmediato verificar que si $d_{H}(S,X) < \varepsilon$ entonces $S$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ para $X$ y así mismo, $X$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ para $S.$
Esta reformulación y el hecho de que un espacio compacto es totalmente acotado (visto en Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados) hacen aparente un hecho conceptualmente interesante:
Si $X$ es compacto entonces para cada $\varepsilon >0$ podemos encontrar $S_{\varepsilon} \subset X$ tal que $S_{\varepsilon}$ es una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita de $X.$
Observa que si tenemos $0 <\varepsilon_2 < \varepsilon_1$ se tiene que $S_{\varepsilon_2}$ refina a $S_{\varepsilon_1},$ es decir, $S_{\varepsilon_2}$ tiene puntos que están «más cerca» de los puntos de $X.$
De modo que si $\, (\varepsilon_n)_{n \in \mathbb{N}} \to 0 \,$ tendremos que $\, d_{H} (S_{\varepsilon_n},X) \to 0.$ Esto significa que las $\varepsilon\text{-$redes$}\,$ se «parecen cada vez más» al conjunto $X.$
En otras palabras, si $X$ es compacto, se puede aproximar por conjuntos finitos, (es decir, existe una sucesión de conjuntos en el espacio métrico de Hausdorff que converge a $X).$ ¡La compacidad se puede ver como una generalización de la finitud!
Para ponerlo de otra forma, los espacios métricos compactos son aquellos que le siguen en complejidad a los espacios finitos, en cierto sentido.
Como nota curiosa, M. Cassorla demostró que, cuando el espacio es geodésico, la aproximación no se limita a puntos aislados. Es posible aproximar mediante ‘gráficas métricas’ (grafos con una métrica definida), donde la clave consiste en conectar los puntos de nuestras $\varepsilon\text{-$redes$}\,$ mediante aristas colocadas de forma estratégica. Para profundizar en este resultado y otra generalización hacia superficies suaves, puedes consultar el artículo: Cassorla, M., Approximating Compact Inner Metric Spaces by Surfaces. Indiana University Mathematics Journal, 1992. Págs: 505-513.
Este análisis nos permite ir un paso más allá. Si exploramos la distancia de Gromov-Hausdorff $(d_{GH}),$ un concepto clave en el capítulo 7 de Burago, Burago e Ivanov, que define distancias entre espacios métricos, descubriremos que el mismo razonamiento asegura que la clase de espacios finitos es $d_{GH}$-densa en la clase de espacios compactos.
Más allá de la belleza técnica, esto tiene una utilidad asombrosa: nos permite estudiar propiedades de la Geometría Diferencial fijándonos solo en configuraciones finitas de puntos. Un ejemplo fascinante ocurre con la curvatura seccional (denotada comúnmente como $sec \geq k$). Aunque tradicionalmente esta noción se define para variedades diferenciables (objetos suaves donde podemos usar cálculo), es posible describirla únicamente comparando distancias en triángulos. Gracias a que el límite de Gromov-Hausdorff preserva estas relaciones, la condición $sec \geq k$ se vuelve «estable». Esto permite extender conceptos geométricos avanzados a espacios métricos mucho más generales que no poseen una estructura suave, abriendo la puerta a lo que hoy conocemos como Geometría Métrica.
Más adelante…
Ahora que entendemos cómo las
$\varepsilon-redes$ nos permiten «atrapar» la esencia de un espacio compacto mediante un conjunto finito de puntos, surge una pregunta ¿qué sucede si combinamos dos o más espacios con estas propiedades?
En nuestra próxima entrada, exploraremos los Productos de espacios métricos.
Tarea moral
- Prueba que $A\subset X$ es totalmente acotado (según la definición vista en Conjuntos relativamente compactos y totalmente acotados) si y solo si para cada $\varepsilon >0$ existe una $\varepsilon\text{-$red$}\,$ finita de $A.$
Bibliografía
- Burago, D., Burago, Y., Ivanov, S., A course in Metric Geometry. Graduate Studies in Mathematics, 33. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2001. Págs: xiii, 251-265, 101, 307-404.
- Cassorla, M., Approximating Compact Inner Metric Spaces by Surfaces. Indiana University Mathematics Journal, 1992. Págs: 505-513.