MATERIAL EN REVISIÓN
Introducción
El concepto de $\varepsilon -$ red está naturalmente relacionado con la distancia de Hausdorff.
Dado un espacio métrico $(X,d)$ y un subconjunto $S \subset X,$ es inmediato verificar que si $d_{H}(S,X) < \varepsilon$ entonces $S$ es una $\varepsilon -$ red en $X$ y viceversa.
Esta reformulación además hace aparente un hecho conceptualmente interesante:
Si $X$ es compacto entonces para cada $\varepsilon >0$ podemos encontrar $S_{\varepsilon} \subset X$ una $\varepsilon -$ red finita.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que para $\varepsilon _1 < \varepsilon _2,$ se tiene que $S_{\varepsilon_1}$ refina a $S_{\varepsilon_2},$ de modo que:
$d_{H} (S_{\varepsilon},X) \to 0$ cuando $\varepsilon \to 0$
En otras palabras, $X$ se puede aproximar por conjuntos finitos, (es decir, existe una sucesión que converge a $X$ en $d_{H}$). ¡La compacidad se puede ver como una generalización de la finitud!
Para ponerlo de otra forma, los espacios métricos compactos son aquellos que le siguen en complejidad a los espacios finitos, en cierto sentido.
Es interesante mencionar que M. Cassarla probó que también se puede aproximar en el caso compacto a $X$ por otros objetos llamados «gráficas métricas» (que representa, a grandes rasgos un grafo dotado de una métrica) si $X$ es geodésico; la construcción básicamente se reduce a colocar aristas entre los puntos de las $\varepsilon -$ redes de manera inteligente.
Para este resultado y otra generalización aproximada por superficies suaves, ver cita artículo de Cassarla «Approximating compact inner spaces by surfaces».
Podemos sacarle aún más jugo a este análisis. Si ahora nos enfocamos en la llamada distancia de Gromov-Hausdorff (ver Burago-Burago-Ivanov capítulo 6), ¡el mismo razonamiento nos dice que la clase de espacios finitos es $d_{GH}$ -densa en la clase de espacios compactos!
Esto además de ser bonito, tiene consecuencias geniales; en esencia, toda propiedad geométrica que se pueda formular en términos de las distancias entre configuraciones finitas de puntos, es estable bajo convergencia en Gromov-Hausdorff. Por ejemplo, para aquellos que hayan llevado un curso de Geometría Diferencial, es posible describir la condición
$$sec \geq k$$
en términos de triángulos. Por lo tanto $sec \geq k$ es estable bajo $d_{GH},$ lo cual ayuda a definir el concepto de curvatura seccional en espacios métricos que no sean variedades diferenciables. (Para ver más al respecto ver Burago-Burago-Ivanov).