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Álgebra Superior I: Demostraciones por contradicción

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

Introducción

Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. En esta entrada se habla sobre demostraciones por contradicción. Cada entrada está ligeramente relacionada con las otras. Para entenderlas bien, usamos el siguiente diagrama que recopila cómo se comporta un mundo fantástico llamado Axios, en donde habitan creaturas llamadas Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Ya hemos empezado a ver algunas estrategias para empezar a demostrar cosas. Ahora veremos una siguiente que es muy común de encontrar: las demostraciones por contradicción. Comenzando con una proposición que queremos demostrar, supondremos que no es cierta. Puede sonarte que es un poco extraño, pero en esta entrada revisaremos de qué forma esta suposición nos ayudará.

La contradicción

Puede que en tu vida hayas escuchado la palabra contradicción usada en alguno u otro contexto. Podemos decir por ejemplo que una persona se contradice a sí misma cuando dice que es alérgica al camarón después de haberse comido un coctél de camarón. Esto suena poco convincente, ¿no? Pues al decir que alguien es alérgico al camarón sabemos que no puede comer camarón, al mismo tiempo que vemos a la persona haciéndolo. Esta idea va a ser similar en las matemáticas. Pero recuerda que aquí estamos en el lenguaje de las proposiciones.

Definición. Una contradicción es una fórmula proposicional en la cual sin importar la asignación de verdad de las variables proposicionales, siempre se obtiene algo falso.

Un ejemplo muy sencillo es la fórmula proposicional $(P \land \neg P)$. Si $P$ es falso, entonces la conjunción es falsa. Y si $P$ es verdadero, entonces $\neg P$ es falso y entonces también la conjunción es falsa.

Ahora observa la siguiente regla de inferencia:

\begin{array}{rl}
P \\
\neg P \\
\hline
\therefore Q.
\end{array}

Se puede probar que esta es una inferencia válida (es uno de los ejercicios al final de la entrada). Analiza un poco la regla y piensa: ¿esto qué significa? Observa que en ningún momento aparece el término $Q$ en las premisas y sin embargo es una conclusión. La parte de las premisas de la regla de inferencia sería $P\land \neg P$. En pocas palabras, esto nos quiere decir que «de una contradicción se puede deducir lo que sea». Es decir, si en algún momento llegamos a una contradicción, ya nada tiene sentido, pues cualquier cosa sería cierta. Si cambiamos $Q$ por «La luna es de queso», podemos concluirlo de una contradicción, y esto no tiene sentido. Es por eso que si en algún momento en las matemáticas llegamos a una contradicción, es que algo está raro. Bajo esta idea funcionarán las demostraciones por contradicción.

Demostraciones por contradicción

Hablemos ahora sí de la estrategia de hacer demostraciones por contradicción. Como platicamos en la sección anterior, de una contradicción podemos concluir cualquier cosa. En particular, podemos concluir lo que queremos demostrar. Esto, ¿cómo se ve en pasos específicos que tenemos que hacer? La estrategia general es la siguiente.

Pensemos que de ciertas premisas $Q_1, Q_2, \ldots, Q_n$ queremos llegar a la conclusión $P$.
Supongamos que además de dichas premisas, también tenemos a $\neg P$ como premisa.
A partir de $Q_1,\ldots,Q_n,\neg P$, obtengamos todas las cosas ciertas que podamos, con el objetivo de simultáneamente probar que tanto cierta proposición $R$ como cierta proposición $\neg R$ son ciertas.
Como ya tendremos $R$ y $\neg R$ en nuestras premisas, podremos concluir lo que sea, en particular, $P$.
Otra manera de pensarlo es que en el momento en que hemos encontrado tanto $R$ como $\neg R$. En matemáticas las contradicciones nos dicen que hay algo raro, pues sabemos que una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez (recuerda que esto es una contradicción). Así, habremos encontrado un problema lógico. Entonces nuestra suposición de que $\neg P$ es verdadera es imposible. Por lo tanto, $P$ es verdadera.

Otra manera en la que en que te puedas imaginar la reducción al absurdo es mediante la validez de la siguiente regla de inferencia (también tendrás que justificarla como uno de los ejercicios):

$$ \begin{array}{rl} & \neg P \Rightarrow (R \land \neg R) \\ \hline \therefore & P \end{array}.$$

Esto nos dice que si $P$ es falso (es decir, que $\neg P$ es verdad) implica tanto cierta proposición $Q$, como su negación $\neg Q$, entonces en realidad $P$ no puede ser falso, y por lo tanto es verdadero. Piénsalo como mejor te acomodes.

Ejemplo de demostración por contradicción

Hagamos una prueba en el mundo Axios.

Proposición. Para todo Blurg $x$, si $x$ come un cierto día, entonces pasan como mínimo tres días antes de que $x$ vuelva a comer.

Demostración. Vamos a hacer esta prueba por contradicción. Como dijimos antes, las pruebas por contradicción se basan en que para demostrar una proposición $P$, se empieza suponiendo $\neg P$, y a partir de ahí se ven las consecuencias y se intenta llegar a una contradicción. Ahora veamos la traducción de esto a nuestra proposición.

$P$ = Para todo Blurg $x$, si $x$ come un cierto día, entonces pasan como mínimo tres días antes de que $x$ vuelva a comer.

La negación es (recuerda que la negación de $\forall x: A(x)\Rightarrow B(x)$ es $\exists x: A\land \neg B$):

$\neg P$ = Existe un Blurg $x$ que comió cierto día, y no pasaron como mínimo tres días antes que de $x$ volviera a comer.

Otra manera de escribir esto es

$\neg P$ = Existe un Blurg $x$ que comió cierto día, y pasaron máximo dos días antes que de $x$ volviera a comer.

Entonces empecemos con $ \neg P$ y veamos qué obtenemos. Tomemos dicho Blurg $x$ que existe. Uno de nuestros axiomas dice que $Q =\text {Para todo Blurg $x$, se tiene que $x$ come exactamente los lunes y los viernes}$. Así, la primera vez que $x$ comió fue o lunes, o viernes.

Si comió el lunes, entonces como estamos suponiendo $\neg P$, tenemos que $x$ comió máximo el martes o el jueves. Pero esto es $\neg Q$, pues existió un Blurg que no comió exactamente los lunes o viernes. Así, tendríamos $Q$ y $\neg Q$, una contradicción.
Si comió el viernes, entonces como estamos suponiendo $\neg P$, tenemos que $x$ comió máximo el sábado, o el domingo. Pero esto es $\neg Q$ también, pues existió un Blurg que no comió exactamente los lunes o viernes. Una vez más tenemos $Q$ y $\neg Q$, una contradicción.

En cualquiera de los casos, llegamos a una contradicción. Nuestro error fue suponer que $P$ no era cierta, por lo tanto tiene que ser cierta $P$.

$\square$

Algunos ejemplos famosos de demostraciones por contradicción.

Ahorita estamos en Axios y seguiremos en él. Pero para acercárte un poco más a cómo se usa esta estrategia en matemáticas, aquí te compartimos unos ejemplos de demostraciones por contradicción. Para fines de este curso no necesitas saber demostrar estas proposiciones, únicamente son ejemplos que podrías checar para entender mejor cómo se utiliza esta estrategia.

La demostración de que el $0$ es el único neutro aditivo en los números reales (es el único número que al sumarlo a otro número resulta el mismo otro número) utiliza esta estrategia, pues al suponer que no es único, se llega a una contradicción. Puedes checar la demostración aquí.
En geometría euclideana, existen criterios para decir si dos triángulos son congruentes (son el «mismo» triángulo salvo quizá la reflexión y rotación, es decir hay una forma de rotarlo o reflejarlo para notar que se trata del «mismo» triángulo). Uno de estos se llama el criterio LAL que nos dice que si dos triángulos tienen dos lados que miden lo mismo y comparten el ángulo entre esos lados, entonces son congruentes. Una técnica para demostrar esto es con reducción a lo absurdo y supone que dos lados y el ángulo entre ellos son iguales, pero que el lado restante es distinto. De ahí se puede llegar a una contradicción. Puedes checar la demostración aquí.
En el estudio de los tipos de números, se usa una prueba por contradicción para mostrar que el número $\sqrt{2}$ es irracional. Si fuera racional, se podría escribir como $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ con $a$ y $b$ enteros positivos que no comparten factores en común. Pero de esa igualdad se llega a $2b^2=a^2$, de donde se puede justificar con algunos pasos que tanto $a$ como $b$ son pares. Así, ¡simultáneamente $a$ y $b$ deberían y no deberían tener factores en común! Esa contradicción muestra la irracionalidad de $\sqrt{2}$.
También puedes ver una colección de videos con pruebas por contradicción en el siguiente enlace: Busca una contradicción.

Más adelante…

En las siguientes entradas seguiremos hablando de cómo hacer demostraciones. Más que estrategias generales, serán una guía sobre cómo demostrar proposiciones que involucran conectores lógicos o cuantificadores. Ya hemos visto algunos de estos ejemplos y ahora profundizaremos un poco más en su estructura.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Usa tablas de verdad para ver que $(P\Rightarrow Q) \land (Q\Rightarrow P) \land P \land \neg Q$ es una contradicción.
Prueba que $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (R \land \neg R) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}$$ es una regla de inferencia válida.
Prueba que
\begin{array}{rl}
P \\
\neg P \\
\hline
\therefore R
\end{array}
es una regla de inferencia válida.
Prueba por contradicción que «Para todo Blorg $x$, si $x$ no come fresas, ni come los viernes, entonces $x$ es un Blarg». Como ayuda, la negación es «Existe un Blorg $x$ tal que ni come fresas, ni come los viernes, ni es Blarg». Si no es Blarg, ¿qué casos hay y cómo llegas a una contradicción en cada uno de ellos?
El viernes pasado iba caminando y encontré un Blorg $A$ que estaba platicando con un amigo suyo, un Blorg $B$ el cual estaba comiendo. Luego, el Blorg $B$ se encontró a un amigo suyo que estaba comiendo lo mismo. ¿Tiene sentido mi historia? ¿Qué sucedería si toda mi historia es verdadera?

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Demostraciones directas e indirectas

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. En esta entrada se habla sobre demostraciones directas e indirectas. Cada entrada está ligeramente relacionada con las otras. Para entenderlas bien, usamos el siguiente diagrama que recopila cómo se comporta un mundo fantástico llamado Axios, en donde habitan creaturas llamadas Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Hasta ahora hemos introducido algunos conceptos introductorios de lo que es una demostración matemática, pero apenas estamos por iniciar este recorrido hacia lo que son estas. Ahora, empezaremos por ver dos formas de pensar al demostrar que son las demostraciones directas e indirectas.

Demostraciones directas

Ahora vamos a explorar un poco más esto de las demostraciones, qué son y cómo nos ayudan. ¿Recuerdas nuestro ejemplo de que todos los Blorgs verdes comían peces? Este es un ejemplo de lo que llamamos demostraciones directas. Este nombre viene del hecho de que partimos de una lista de proposiciones válidas y vamos obteniendo más proposiciones válidas a través de reglas de inferencia básicas hasta que tenemos la conclusión deseada. En general este tipo de demostraciones van a ser cadenas de implicaciones. Por ejemplo partiendo de

$P_0 \Rightarrow P_1, P_1\Rightarrow P_2, P_2 \Rightarrow P_3, \dots, P_{n-1} \Rightarrow P_{n} $

concluiremos que $P_0 \Rightarrow P_{n}$. Esto en términos sencillos quiere decir: las demostraciones directas van a ser aquellas que podemos dar «el paso claro». Retomando nuestra analogía con las piezas Leog, si sabemos que con madera podemos construir las patas y el asiento, y con patas y el asiento podemos construir una silla, entonces ya sabríamos que con madera podemos construir una silla, pues decimos: «Primero con la madera construimos las patas y el asiento, y después con las patas y el asiento construimos la silla». Cuando veamos otros tipos de demostraciones, verás más fácilmente porqué tienen este nombre. Mientras tanto veamos otro ejemplo.

Proposición. Si un Blorg vive en las montañas, entonces come los lunes.

Demostración. Recordemos cómo empezamos la demostración de la entrada pasada, empezamos con un Blorg que vive en las montañas y veremos poco a poco que come los lunes. Para empezar, nota que con las siguientes proposiciones:

$P(x) = x \text{ vive en las montañas} $

$Q(x) = x \text{ es un Blerg},$

tenemos como axioma (y por lo tanto como cierto) que

$$P(x) \Rightarrow Q(x).$$

Además, sabemos que todos los Blergs comen los lunes, es decir, suponiendo que $R(x) = x \text{ come los lunes}$ entonces es cierto que

$$Q(x) \Rightarrow R(x).$$

Y la siguiente regla de inferencia es válida:

\begin{array}{rl}
& P \Rightarrow Q \\
& Q \Rightarrow R \\
\hline
\therefore & P \Rightarrow R.
\end{array}

Entonces podemos aplicar esta regla de inferencia a nuestro problema, dando como resultado que

$$P(x) \Rightarrow R(x).$$

Ahora recuerda que en las demostraciones nuestro objetivo va a ser «generalizar». No basta con que un Blorg en las montañas coma los lunes, si no quisieramos que siempre que veamos a un Blorg en las montañas, sepamos que come los lunes.

Para esto, empezaremos con un Blorg a quien le llamaremos $x$ y lo único que sabemos de este Blorg es que vive en las montañas, es decir $P(x)$. Ahora, aplicando las reglas de inferencia, sabemos que si $P(x)$ entonces también $R(x)$. Esto quiere decir que sabiendo que un Blorg vive en las montañas, ya sabemos que también come los lunes. Recuerda que para hacer este paso aplicamos las reglas de inferencia. De esta manera, $x$ come los lunes.

Por lo tanto, los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes.

$\square$

Demostraciones indirectas

Otra estrategia para demostrar cosas va a ser mediante lo que se conoce como demostraciones indirectas. Esta forma de demostrar proposiciones va a usar la siguiente regla de inferencia:

\begin{array}{rl}
& P \Rightarrow Q \\
\hline
\therefore &(\neg Q) \Rightarrow (\neg P).
\end{array}

¿Recuerdas que la premisa es equivalente a la conclusión? Pues el que sea equivalente es suficiente para que sea una regla de inferencia válida. Puedes verificarlo haciendo la tabla de verdad.

¿Por qué usaremos esta regla de inferencia? Porque a veces queremos mostrar $P\Rightarrow Q$, pero es mucho más «tangible» mostrar la contrapositiva $\neg Q\Rightarrow \neg P$ pues a veces $\neg Q$ nos da más sustancia matemática con la cual trabajar. Por ejemplo, quizás $Q$ tiene un cuantificador universal, y al negarlo se convierte en un cuantificador existencial, que nos permite tomar a un objeto matemático que no tenga cierta propiedad y de ahí mostrar $P$.

Veamos un ejemplo en donde puede aplicarse una demostración indirecta.

Proposición. Si un Blorg come peces, entonces tiene dos tipos de amigos.

Demostración. Aquí podríamos intentar proceder directamente. Tomar un Blorg que coma peces. Pero esto nos lleva a un pequeño problema: al hacer esto la demostración se divide en dos casos: que el Blorg sea Blarg, o que sea Blurg. Podríamos hacer cada caso, y platicaremos de eso más adelante. Pero pensemos en por qué una demostración indirecta nos ayudaría a argumentar más fácilmente. Tomemos las siguientes proposiciones:

$P(x) = x \text{ es come peces}$

$Q(x) = x \text{ tiene dos tipos de amigos}.$

Queremos mostrar que $P(x)\Rightarrow Q(x)$. Pero lo que nos dice la regla de inferencia de arriba es que esto es lo mismo que demostrar que $\neg Q \Rightarrow \neg P$. Ahora notemos que

$\neg Q(x) = x \text{ no tiene dos tipos de amigos} = x \text{ tiene un tipo de amigos}$
$\neg P(x) = x \text{ no come peces} = x\text{ come frutos rojos}.$

Podemos argumentar entonces como sigue. Tomemos $x$ un Blorg que tiene un tipo de amigos. Por ello, $x$ es un Blerg. Además sabemos que «si $x$ es Blerg, entonces come frutos rojos». Por lo tanto, $x$ come frutos rojos.

Hemos mostrado entonces la contrapositiva «Si $x$ tiene un tipo de amigos, entonces $x$ come frutos rojos». Por la equivalencia entre una implicación y su contrapositiva, hemos demostrado que «Si $x$ come peces, entonces tiene dos tipos de amigos.»

$\square$

Algunas notas sobre las demostraciones anteriores

Vamos a hacer algunas observaciones sobre la forma en que demostramos nuestras proposiciones.

En la primera demostración usamos nuevamente una cadena de implicaciones, como en la entrada anterior. Observa que aunque estamos demostrando cosas distintas, en el fondo estamos usando exactamente el mismo tipo de inferencias matemáticas.
En la segunda demostración podíamos, alternativamente, intentar proceder directamente. Si un Blorg come peces, entonces puede ser Blarg o Blurg. Pero este «o» nos lleva a dos posibilidades. Tenemos que cubrir ambas posibilidades mediante una demostración por casos, de la cual hablaremos más adelante. La manera indirecta de proceder nos permitió evitar los casos.

Más adelante…

Hasta ahora tenemos dos formas de demostrar: demostraciones directas e indirectas. En pocas palabras las directas usan sucesiones de proposiciones que ya sabemos para llegar a una conclusión, mientras que las indirectas no empiezan por lo que quiere demostrar, sino que muestran que si la conclusión no es cierta, entonces la premisa no lo es.

Continuando con nuestras estrategias, la siguiente consistirá en hacer demostraciones por contradicción. En pocas palabras para demostrar que una proposición es verdadera, supondremos que no lo es. Y en una serie de pasos lógicos, veremos que habrá proposiciones que son falsas y verdaderas a la vez (esto no puede pasar), llamándose esto una contradicción.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra directamente que los blorgs rojos comen frutas.
Demuestra directamente que los blorgs rojos comen frutas los lunes.
Demuestra indirectamente que si un blorg no come peces, entonces es un blerg.

Entradas relacionadas

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Álgebra Superior I: Demostraciones matemáticas (El mundo de los Blorg)

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

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Introducción

Esta entrada es parte de una serie de notas sobre demostraciones matemáticas. Sin embargo, para llegar a la importancia de demostrar, hablaremos previamente de un pequeño mundo en donde habitan seres fantásticos a quienes les interesa mucho la lógica y para quienes es fundamental poder deducir únicamente verdades. Este lugar lo vistaremos a lo largo de varias entradas y lo que acordemos a partir de ahora será cierto más adelante. Así que presta atención.

El mundo de los Blorgs

Antes de que pienses que te equivocaste de entrada debido al cuento que está por comenzar, déjame decirte que todo está relacionado con la teoría que hemos estado platicando. Sin embargo, antes de comenzar a aplicarla, vamos a conocer a los Blorgs.

Imagina el mundo de los Blorgs. Es un mundo paralelo al nuestro que se puede encontrar en aquel mundo que existe más allá de lo que la esquina del espejo deja ver. Es un lugar que se parece un poco al piso sobre el que estamos, despierta con casi los mismos tonos del alba por la mañana pero con algunas cosas distintas.

Para empezar estamos hablando de un mundo en el que habitan mayoritariamente criaturas llamadas Blorgs. Aquellos que alguna vez los vieron, comentan que curiosamente son pequeñas criaturas parecidas a los conejos. Y con algunas otras descripciones en mente, podríamos empezar a clasificar los Blorgs de acuerdo a distintas características como por ejemplo su dieta, su rutina, dónde viven, etc. Pero se decidió que era mejor clasificarlos según su color, y aquí es donde las cosas se ponen interesantes.

Por un lado están los Blergs, estos son las criaturas rojas que viven por las montañas. Después podemos considerar a los Blargs que son aquellos Blorgs verdes y viven debajo del mar, no son muy sociales pero es lo que hay. Finalmente están los Blurgs que son azules y prefieren vivir en el bosque. Entonces, podemos dividir a los Blorgs en sus razas: Blergs, Blargs y Blurgs. Algo importante que tenemos que decir también: ningún Blorg tiene más de un color.

Quizá sean de color distinto y vivan en lugares diferentes, pero esto no les impide tener algunas cosas en común. Por ejemplo, todos los Blurgs comen pescados, pues tienen un lago cerca de su bosque, y al ser los Blargs marinos, también comen pescados. El hecho de haber vivido tanto tiempo en terreno alto, hizo que los Blergs prefieran cultivar sus cosechas: frutos dulces y verduras siempre comen. Por alguna razón, será costumbre o creencia, todos los Blorgs comen los lunes, es decir, que cada criatura come una vez a la semana. Eso les ha ayudado a no depender tanto de la comida en el día a día. Aunque aquí es donde los Blurgs no coinciden: ellos no esperan tanto y también comen algo los viernes.

La vida siendo Blorg

Tristemente, los Blargs no pueden salir del mar, pues a pesar de ser Blorgs, el salir del agua les despinta lo verde y les quita fuerza. Es por esto que casi no hablan con sus contrapartes terrestres. Por otro lado los Blerg y los Blurg se llevan muy bien. Los Blurgs comparten la madera que tienen con los Blergs y los Blergs comparten los cultivos que hacen con los Blurgs (aunque no para comer, los Blurgs más bien usan los lindos colores de los frutos rojos para pintar).

No está de más decir que todos los Blergs son amigos de todos los Blurgs. Esto hace que los Blargs se sientan más ajenos a ellos, pues aunque sí se llevan con los Blurgs, prefieren juntarse con los delfines que viven junto a ellos. Los blurgs son amistosos con los Blargs y Blergs, y siempre están dispuestos a negociar peces a cambio de paseos a lo largo del mar. Pero nadie se queja, así es la vida siendo un Blorg.

De esta manera, podemos resumir la información que sabemos de los Blorgs en el siguiente diagrama:

Sobre Axios y demostraciones matemáticas

Una cualidad que podemos saber de los Blorgs es que ellos le llaman al lugar en donde viven «Axios» y dentro de ella, no hacen diferencia entre lo que es una característica o costumbre, ellos no tienen una palabra para cada una de ellas. En su lugar usan la palabra «Axioma«* (¿recuerdas qué significa esta palabra?). Esto quiere decir que para los Blargs, ser verdes es un axioma, al igual que para ellos hablar con delfines o comer peces es un axioma.

Así que es natural poder hacer conclusiones a partir de estos Axiomas. Por ejemplo: ¿Qué opinarías si te digo que todos los Blorgs comen peces? ¿O si te digo que todos los Blorgs que viven en montañas comen los lunes? Pues quizá puedas dar respuesta a estas preguntas intuitivamente. Pero, ¿cómo es que nos aseguramos que la respuesta es correcta o no?

En Axios no basta con decir que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes. Los Blorgs no entienden la intuición, pero nosotros sí. A ellos hay que convencerlos con demostraciones, a ellos tenemos que explicarles mediante lógica el porqué una proposición sucede. Es decir que si queremos afirmar que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes, tenemos que decir paso a paso el porqué es así. Y esto lo lograremos sólo mediante reglas de inferencia válidas. Vamos a anotar esto que acabamos de decir como una definición (¿recuerdas qué era una definición?):

Definición. Una demostración matemática es el uso de pasos lógicos usando reglas de inferencia válidas para llegar de la veracidad de ciertas hipótesis a la veracidad de una conclusión.

La intuición con inferencia

Para introducir un poco más qué van a ser las demostraciones en las matemáticas, vamos a pensar en Legos, aquellos pequeños bloques que encajan unos con otros con los que se pueden armar lo que se te ocurra. Y piensa a las reglas de inferencia como las instrucciones para armar algo.

Imagina que queremos armar un cuarto con una mesa, cama y lámpara con estas piezas. Primero, tendríamos que armar una mesa, para lo cual necesitamos armar las patas y después la superfice. Las reglas de inferencia nos van a ayudar diciéndonos: las patas hay que acomodarlas de cierta manera junto a la superficie para que se haga una mesa. Y una vez construida la mesa, ahora podemos usar otras reglas de inferencia para crear la cama y otras para la lámpara, juntando las tres partes (mesa, cama y lámpara) tendríamos hecho un cuarto.

Así, si quisiéramos «demostrar» cómo se hace un cuarto con estas piezas de Lego, tendríamos que explicar cómo se hace la lámpara, cómo se hace la cama y cómo la mesa. Esto es lo que haremos en matemáticas: construir cosas dando las instrucciones adecuadas. Incluso podríamos ir más allá: Una vez que sabemos cómo construir un cuarto, podríamos también demostrar cómo se hace una cocina y un baño. Entonces si tuviéramos ese conocimiento de cómo se hacen estos tres, podríamos construir una casa. Y después sabiendo cómo se construyen casas, podríamos crear ciudades y países enteros. Pero como todo: un paso a la vez.

Armando piezas con los Blorgs

Nuestras piezas de Lego con los Blorgs van a ser los axiomas. Ahora si le dijeramos a un Blorg que los Blorgs verdes comen peces, no nos creería. Debemos darle una demostración de esto:

Proposición. Los Blorgs verdes comen peces.

Demostración. Para empezar, vamos a notar que es una proposición del tipo «Si $x$ es un Blorg verde, entonces $x$ come peces». Esto es lo que queremos demostrar. Para ello, vamos a ir armando poco a poco el argumento con las piezas que sí conocemos:

Usaremos que todos los Blorgs verdes son Blargs. Es decir «si $x$ es un Blorg verde, entonces $x$ es un Blarg»
Usaremos que todos los Blargs comen peces. Es decir «si $x$ es un Blarg, entonces $x$ come peces»

En las demostraciones vamos a ir usando cosas que ya conocemos (en este caso los axiomas) para poder ir aplicando pasos lógicos y reglas de inferencia para llegar a la conclusión deseada. Entonces como queremos ver que todos los Blorgs verdes comen peces, entonces resulta natural «agarrar» o «elegir» un Blorg verde y ver que ese Blorg come peces (si pasa con un Blorg verde, pasará para todos los Blorgs verdes pues todos nuestros pasos lógicos aplicarán para todos los Blorgs verdes). Así que empecemos considerando a $x$ un Blorg verde . Sabemos que «si $x$ es un Blorg verde, entonces $x$ es un Blarg» entonces como nuestro $x$ es un Blorg verde, entonces es un Blarg.

Ahora, sabemos que nuestro $x$ es un Blarg, pero además sabemos que «si $x$ es un Blarg, entonces $x$ come peces» entonces también nuestro Blarg come peces. Por lo tanto los Blorgs verdes comen peces.

$\square$

¿Viste cómo es que hicimos la demostración? Si consideramos

$ P(x) : x$ es blorg verde,
$ Q(x) : x$ es blarg,
$ R(x) : x$ come peces,

entonces realmente lo que hicimos fue usar la siguiente regla de inferencia válida:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}.$$

La razón por la que $P\Rightarrow Q$ y $Q\Rightarrow R$ los tomamos como premisas, es porque acordamos que son axiomas. Recuerda que los axiomas los tomamos como verdaderos.

En este caso solo usamos una regla de inferencia. Más veremos cómo se pueden usar varias reglas de inferencia en una misma demostración. Apenas estamos empezando este tema, así que si aún tienes muchas dudas, no te preocupes y vuelve a leer la demostración si es necesario.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de cultura matemática

* Esta palabra viene del griego ἀξίωμα que significa «lo que se considera justo» y de hecho viene de la palabra ἄξιος (áxios) que significa «valioso» y en la antigua grecia se consideraban aquellas cosas que parecían evidentes y no hacía falta justificar.

Más adelante…

Apenas estamos empezando a explicar qué son estas «demostraciones matemáticas». En el mundo de la matemática no hay algo como el recetario de las demostraciones, pero hay ideas o formas de pensar los problemas que te servirán para tener una idea de por dónde empezar a pensar a la hora de demostrar. Así que en las siguientes entradas vamos a ver algunas de estas «formas» de pensar los problemas y lo haremos con ayuda de los Blorgs.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

¿Qué color necesita tener un Blorg para ser amigo de los delfines?
¿Es cierto que existe un Blorg que coma frutos rojos en viernes?
¿Qué argumentos lógicos podrías usar para demostrar que todo Blorg rojo come los lunes? ¿Y qué argumentos usarías para demostrar que si un Blorg vive en el mar, entonces no come los viernes? Finalmente, ¿puedes argumentar por que si un Blorg no es Blurg, entonces sus Blorg amigos comen los viernes?
Verifica que

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

es una regla de inferencia válida.

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Álgebra Superior I: Inferencias matemáticas

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

Antes de entrar de lleno a lo que será una parte importante en tu carrera en las matemáticas, vamos a establecer algunas definiciones que nos permiten aterrizar un poco la idea de usar una serie de proposiciones para ‘demostrar’ otras cosas. En esta entrada veremos algo llamado inferencias matemáticas.

La implicación para deducir verdades

Pensemos un momento en las siguientes dos expresiones:

$$P \qquad P\Rightarrow Q,.$$

¿Qué sucedería si acordamos o sabemos por cualquier razón, que $P$ es verdadera y que $P\Rightarrow Q$ es verdadera? Entonces, debe pasar forzosamente que $Q$ debe ser verdadera. En efecto, esto podemos verificarlo en una tabla de verdad:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

El único renglón en donde $P$ es $1$ y $P\Rightarrow Q$ es $1$ es el cuarto renglón, en el cual en efecto $Q$ es $1$. De la veracidad de $P$ y $P\Rightarrow Q$ se obtiene la veracidad de $Q$. Esto es muy importante, pues nos dice que de $P$ y de $P\Rightarrow Q$ se puede deducir $Q$.

Pensemos ahora en la siguiente fórmula proposicional:

$$(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $$

Por lo que entendemos del $\Rightarrow$ de la derecha, estamos diciendo algo similar a lo que pusimos arriba: «$P$ y $P\Rightarrow Q$ implican $Q$». Abajo haremos una conexión más explícita.

Por el momento, puedes tomar el siguiente ejemplo. Imagina que sabes que las siguientes dos cosas son ciertas simultáneamente:

Si $n$ es un entero impar, entonces $n+1$ es un entero par.
$n$ es un entero impar.

¿Qué podrías concluir a partir de la veracidad de estas dos oraciones? Que $n+1$ es un entero par. Más concretamente, imagina por un momento que no sabes si 8 es impar o par, pero que sí sabemos la veracidad de la primera oración de arriba y que $7$ es impar. Esta información es suficiente para saber que 8 es par, ¿No lo crees?

Inferencias matemáticas: premisas y conclusiones

Lo que hicimos en el ejemplo de la sección anterior fue tomar dos proposiciones $P\Rightarrow Q$ y $Q$ y que acordamos/sabemos que simultánteamente eran verdaderas. A partir de las veracidades de ellas, logramos concluir la veracidad de otra proposición $P$. Nuestro argumento de que «la veracidad de las premisas hizo que la conclusión fuera verdadera» fue a través de la tabla de verdad. Decimos que usamos una inferencia matemática o una regla de inferencia.

Más formalmente, una regla de inferencia está conformada por unas premisas $P_1, P_2,\ldots, P_n$, que son usualmente fórmulas proposicionales en ciertas variables proposicionales que estamos usando; y una conclusión $Q$ que también es una fórmula proposicional. La regla de inferencia es entonces la fórmula proposicional

$$( P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q.$$

La forma en que escribiremos las reglas de inferencia es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P_1\\&P_2\\ & \vdots \\ &P_n\\ \hline \therefore & Q\end{array}$$

El símbolo $\therefore$ se lee «por lo tanto».

Hasta aquí hemos definido qué es una regla de inferencia. Pero hay reglas de inferencia válidas y otras que no lo son. Es decir, hay algunas inferencias matemáticas que son válidas: a partir de la veracidad de las premisas se puede obtener la veracidad de la conclusión (como en el ejemplo que discutimos en la sección anterior). Y hay otras que no, que son inválidas. Es decir, son inferencias matemáticas en las que aunque las premisas sean verdaderas, no podemos concluir nada de la veracidad de la conclusión. ¿Cómo saber cuáles reglas de inferencia son válidas y cuáles no?

Volvamos de nuevo a nuestro ejemplo. Las premisas en este caso son $P$ y $P \Rightarrow Q$ y la conclusión es $Q$. Ahora veamos la tabla de verdad de la regla de inferencia $(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $:

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \land (P \Rightarrow Q)$	$(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $
$0$	$0$	0	0	1
$0$	$1$	0	0	1
$1$	$0$	1	0	1
$1$	$1$	1	1	1

¿Notas algo peculiar? ¡Pues resulta que la regla de inferencia que dijimos es una tatuología!

En el caso en donde una regla de inferencia sea una tautología, diremos que es una regla de inferencia válida .

Los ingredientes de la validez

Ahora que tenemos las partes de las inferencias matemáticas, veamos un poco su comportamiento para ver cuándo en efecto es verdadera. Esto a la vez nos ayudará a entender la noción de «de la veracidad de las premisas sale la veracidad de la conclusión».

Supongamos que tenemos una regla de inferencia

$$ (P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q $$

y queremos ver si es válida, pero no queremos hacer todos los renglones de la tabla de verdad. Podemos ahorrarnos mucho trabajo como sigue.

En el lado izquierdo tenemos la conjunción $P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$. Si alguna de las premisas fuera falsa, esta conjunción sería falsa. Pero entonces la implicación $\text{Lado izquierdo}\Rightarrow Q$ sería verdadera (recuerda que en las implicaciones si el lado izquierdo es falso, la implicación es verdadera). Así, todos los renglones de la tabla de verdad donde alguna premisa sea falsa, tendremos gratuitamente que la regla de inferencia es verdadera.

Nos quedan los casos en los que todas las premisas son verdaderas. En ellos, tenemos que ver que la conclusión $Q$ también es verdadera. Así, para ver que la regla de inferencia es válida, basta ver que «en aquellos casos que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es».

Y al revés también se vale. Imagina que sabes que la regla de inferencia es válida y que sabes la veracidad de todas las premisas. Entonces, la conjunción $P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$ es verdadera y, así, forzosamente $Q$ es verdadera. En resumen:

«Si una regla de inferencia es válida (es una tautología), y sus premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. Y viceversa, una regla de inferencia es válida cuando hemos visto que en todas las situaciones que las premisas son verdaderas, la conclusión también».

Algunos ejemplos sencillos de inferencias matemáticas válidas

A continuación vamos a ver algunos ejemplos de algunas inferencias matemáticas válidas.

La regla de inferencia válida más simple que se nos puede ocurrir es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

En donde básicamente estamos diciendo que si tenemos la premisa $P$ entonces va a pasar $P$, lo cual es muy fácil de verificar incluso platicado. Para ver que esta inferencia es válida, necesitamos que $P\Rightarrow P$ sea una tautología. Si $P$ es verdadero, la implicación es verdadera. Si $P$ es falso, la implicación (al tener su antecedente falso), es verdadera.

Veamos otro ejemplo. Considera que tenemos como premisas a $P$ y $Q$ y como conclusión a $P\land Q$. En este caso tendríamos la regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P\\ & Q\\ \hline \therefore & P \land Q \end{array}$$

Esto claramente es válido, pues la proposición $(P \land Q) \Rightarrow (P \land Q)$ siempre es cierta.

Nota que para que una regla de inferencia no sea válida, se tenga que tener ‘un caso’ en que las premisas sean ciertas y la conclusión no. Por ejemplo, considera la siguiente regla de inferencia que nos diría algo así como que «de cualquier cosa $P$ podemos deducir cualquier cosa $Q$»:

$$ \begin{array}{rl} & P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Esta regla de inferencia no es válida (¡qué bueno!). La razón es que la implicación $P\Rightarrow Q$ no es una tautología. Para ver esto, notemos que si $P$ es verdadero y $Q$ es falso, entonces $P\Rightarrow Q$ es falso.

Un ejemplo más complicado de inferencia válida

Ahora hagamos un ejemplo más elaborado, en el que aprovecharemos lo que platicamos sobre «pensar que las premisas son verdaderas». Imaginemos que queremos pensar que la siguiente inferencia es válida:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ & Q\Rightarrow S \\ &(R\land S) \Rightarrow T \\ & P \\ \hline \therefore & T.\end{array}$$

Si alguna premisa fuera falsa, entonces el antecedente de la conjunción de las premisas es falso, y así la implicación de la inferencia sería verdadera: en los casos en los que alguna premisa es falsa, entonces no hay nada que hacer. Así, pensemos, ¿qué pasa si todas las premisas son verdaderas?

Como $P$ es verdadera y $P\Rightarrow Q$ es verdadera, entonces $Q$ es verdadera. Pero ahora, sabiendo que $Q$ es verdadera y $Q\Rightarrow R$ es verdadera, entonces $R$ es verdadera. De manera similar, $S$ es verdadera.

Como tenemos que $R$ y $S$ son verdaderas, entonces $R\land S$ es verdadera. Y como también $(R\land S) \Rightarrow T$ es verdadera, entonces $T$ es verdadera. ¡Hemos logrado el objetivo! A partir de la veracidad de las premisas llegamos a la veracidad de $T$. ¡Yay! Entonces al suponer que todas nuestras premisas fueron verdaderas, y aplicando un poco de «lógica» llegamos a que nuestra conclusión es verdadera.

Un poco de esto se va a tratar la matemática que sigue. A partir de ahora vamos a empezar a usar esta forma de pensar, estamos rascando la fibra de la matemática y con ello empieza el viaje hacia un bosque lleno de distintas áreas, desde el álgebra y el cálculo, pasando por la geometría y la probabilidad. Todas ellas llevan la capa de la matemática porque partirán de un tronco común que nosotros estamos sentando en estas entradas. Dentro de poco verás cómo todo esto se relaciona al quehacer matemático.

Más adelante…

Acabamos de establecer uno de los cimientos sobre el cuál se sustenta el pensamiento deductivo: realizar inferencias matemáticas. Es como pensaremos de ahora en adelante. No te preocupes si aún no puedes expresar bien la lógica detrás de las reglas de inferencia o sus trucos. Esto apenas comienza, pues en las siguientes entradas relacionaremos lo visto ahora con los bloques que construirán a la matemática: las demostraciones. Y por ahí conocerás un cuento que te introducirá a esta idea.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Prueba que $P \Rightarrow P$ es una regla de inferencia válida.
Verifica que las siguientes reglas de inferencia son válidas con tablas de verdad:

$$ \begin{array}{rl} & \neg P \Rightarrow \neg Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & \neg Q \end{array}$$

$$ \begin{array}{rl} & P \lor Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Ahora haz lo mismo pero da un razonamiento «deductivo» (supón que todas las premisas y explica por qué la conclusión es cierta) de porqué es válida la siguiente regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

Revisa la Tabla de reglas de inferencia en la página de Wikipedia para conocer más reglas de inferencia válidas. Muestra que en efecto son reglas de inferencia válidas haciendo las tablas que verifiquen la tautología requerida.
Cuando estamos viendo si una regla de inferencia es válida, podemos «ir agregando cosas verdaderas que vayamos deduciendo a las premisas» y usarlas a su vez para seguir deduciendo nuevas cosas. El objetivo de este ejercicio es que demuestres esto. Muestra que si $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow Q$ es una inferencia válida y $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \land Q \Rightarrow R$ es una inferencia válida, entonces $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow R$ es una inferencia válida. En otras palabras, ¡prueba que la siguiente inferencia es válida!
$$ \begin{array}{rl} & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow Q\\ & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \land Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow R. \end{array}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Geometría Moderna I: Desigualdades geométricas

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

En esta entrada, con la ayuda de varias fórmulas y resultados que hemos visto hasta ahora, mostraremos algunas desigualdades geométricas básicas e importantes, entre ellas la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética, y la desigualdad de Erdos Mordell.

Medias armónica, geométrica, aritmética y cuadrática

Teorema 1. Dados dos segmentos de longitudes $a$ y $b$ tenemos las siguientes desigualdades:
$\dfrac{2ab}{a + b} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$.

De izquierda a derecha estas cantidades se conocen como media armónica, media geométrica, media aritmética y media cuadrática de $a$ y $b$.

Demostración. Tracemos un semicírculo tomando como diámetro un segmento $BC$ de longitud $a + b$ y sea $D \in BC$ tal que $BD = a$ y $DC = b$, en $D$ levantamos una perpendicular a $BC$ que corta al arco $\overset{\LARGE{\frown}}{CB}$ en $A$, entonces $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo con $\angle A = \dfrac{\pi}{2}$.

Por criterio de semejanza AA $\triangle ADB \sim \triangle CDA$ y tenemos que $\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{BD}{AD}$.

Por lo tanto $AD$ es la media geométrica de $BD$ y $DC$, esto es $AD^2 = BD \times CD$.

Consideremos $O$ el punto medio de $BC$, sea $E \in AO$ tal que $DE \perp AO$, como $\triangle ADO \sim \triangle AED$ entonces
$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AO}{AD}$
$\Rightarrow AE = \dfrac{2AD^2}{2AO} = \dfrac{2BD \times DC}{BC} = \dfrac{2ab}{a + b}$.

Por el teorema de Pitágoras en $\triangle AED$
$AD^2 = AE^2 + DE^2 \Rightarrow AE \leq AD \Rightarrow \dfrac{2ab}{a + b} \leq \sqrt{ab}$.

Por el teorema de Pitágoras en $\triangle ADO$
$AO^2 = AD^2 + DO^2 \Rightarrow AD \leq AO \Rightarrow \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$.

Ahora tracemos $OF$ el radio perpendicular a $BC$, entonces
$OD = \dfrac{a + b}{2} – a = \dfrac{b – a}{2}$.

Aplicando el teorema de Pitágoras a $\triangle ODF$ obtenemos,
$DF^2 = OF^2 + OD^2 = (\dfrac{b – a}{2})^2 + (\dfrac{a + b}{2})^2 =\dfrac{a^2 + b^2}{2}$.

Como $OF \leq DF \Rightarrow \dfrac{a + b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$.

$\blacksquare$

Corolario. Sean $w$, $x$, $y$, $z$ números reales positivos entonces:
$wxyz \leq (\dfrac{w + x + y + z}{4})^4$, y la igualdad se da si y solo si $w = x = y = z$.

Demostración. Aplicamos la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética a los pares de números $w$, $x$; $y$, $z$.
$\sqrt{wx} \leq \dfrac{w + x}{2}$, $\sqrt{yz} \leq \dfrac{y + z}{2}$.

Por lo tanto, $\sqrt{wxyz} \leq (\dfrac{w + x}{2}) (\dfrac{y + z}{2})$.

Ahora volvemos a usar la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética
$\sqrt{\dfrac{(w + x)}{2} \dfrac{(y + z)}{2}} \leq \dfrac{\dfrac{w + x}{2} + \dfrac{y + z}{2}}{2} = \dfrac{w + x + y + z}{4}$

Por lo tanto, $\sqrt[4]{wxyz} \leq \sqrt{\dfrac{(w + x)}{2} \dfrac{(y + z)}{2}} \leq \dfrac{w + x + y + z}{4}$.

En consecuencia, $wxyz \leq (\dfrac{w + x + y + z}{4})^4$.

$\blacksquare$

Desigualdad de Erdos Mordell

Lema de Mordell. Sea $\triangle ABC$ y $P$ un punto en su interior, considera $D$, $E$ y $F$ las proyecciones de $P$ a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, entonces $PA \sin A \geq PF \sin B + PE \sin C$.

Demostración. Notemos que la circunferencia con diámetro $PA$ pasa por $F$ y por $E$, pues $AP$ subtiende ángulos rectos en $F$ y $E$.

Por la ley extendida de los senos,
$\sin BAC = \sin (\pi – BAC) = \sin EPF = \dfrac{EF}{PA}$, esto implica que $PA \sin A = EF$.

Sean $G$ y $H$ las proyecciones de $E$ y $F$ respectivamente en la recta que pasa por $P$ y $D$.

$\square FBDP$ es cíclico, pues $PB$ subtiende ángulos rectos en $F$ y $D$, entonces $\angle DBA$ y $\angle FPD$ son y suplementarios por lo tanto $\sin DBA = \sin HPF = \dfrac{FH}{FP}$.

Como resultado $FP \sin B = FH$, igualmente podemos ver que $PE \sin C = EG$.

Sea $I = EF \cap HP$, por el teorema de Pitágoras podemos ver que $IE \geq GE$ y $FI \geq FH$,

Por lo tanto, $PA \sin A \geq PF \sin B + PE \sin C$.

$\blacksquare$

Teorema 2, desigualdad de Erdos Mordell. Sea $\triangle ABC$ y $P$ un punto en su interior, considera $D$, $E$ y $F$ las proyecciones de $P$ a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente, entonces $PA + PB + PC \geq 2(PD + PE + PF)$.

Demostración. Debido al lema anterior tenemos lo siguiente:
$PA \geq PF\dfrac{\sin B}{\sin A} + PE\dfrac{\sin C}{\sin A}$,
$PB \geq PF\dfrac{\sin A}{\sin B} + PD\dfrac{\sin C}{\sin B}$,
$PC \geq PE\dfrac{\sin A}{\sin C} + PD\dfrac{\sin B}{\sin C}$.

Sumamos estas tres desigualdades
$PA + PB + PC \geq$

$PF(\dfrac{\sin B}{\sin A} + \dfrac{\sin A}{\sin B}) + PE(\dfrac{\sin C}{\sin A} + \dfrac{\sin A}{\sin C}) + PD(\dfrac{\sin B}{\sin C} + \dfrac{\sin C}{\sin B})$

$= PF(\dfrac{\sin^2A + \sin^2 B}{\sin A \sin B}) + PE(\dfrac{\sin^2 A + \sin^2 C}{\sin A \sin C}) + PD(\dfrac{\sin^2 B + \sin^2 C}{\sin B \sin C})$.

Sustituimos $a$ y $b$ por $a^2$ y $b^2$ en la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética
$\dfrac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2}$, por lo tanto, $\dfrac{a^2 + b^2}{ab} \geq 2$.

Aplicamos esto a nuestra suma y como resultado obtenemos
$PA + PB + PC \geq 2(PD + PE + PF)$.

$\blacksquare$

Problema 1. Sea $\triangle ABC$ e $I$ su incentro, considera $P$, $Q$ y $R$ los puntos medios de los arcos $\overset{\LARGE{\frown}}{BC}$, $\overset{\LARGE{\frown}}{CA}$ y $\overset{\LARGE{\frown}}{AB}$ que no contienen a los vértices de $\triangle ABC$, entonces $IP + IQ + IR \geq IA + IB + IC$.

Solución. Sean $D = PQ \cap CR$, $E = QR \cap AP$ y $F = RP \cap BQ$.

Por la entrada anterior sabemos que $Q$ es el centro de una circunferencia que pasa por $I$, $A$ y $C$, y que $R$ es el centro de una circunferencia que pasa por $I$, $A$ y $B$, entonces $QA = QI$ y $RA = RI$.

Por lo tanto, $\square ARIQ$ es un rombo, de esto se sigue que $QR \perp AI$ y $AE = IE$.

Igualmente vemos que $RP \perp BI$, $BF = IF$ y $PQ \perp CI$, $CD = ID$.

Aplicamos la desigualdad de Erdos Mordell a $\triangle PQR$ y al punto $I$
$IP + IQ + IR \geq 2(ID + IE + IF) = 2(\dfrac{IC}{2} + \dfrac{IA}{2} + \dfrac{IB}{2})$.

En conclusión, $IP + IQ + IR \geq IA + IB + IC$.

$\blacksquare$

Desigualdades de Euler y de Padoa

Proposición 1, desigualdad de Euler. El circunradio $R$ y el inradio $r$ de todo triangulo cumplen $R \geq 2r$ y la igualdad se cumple si y solo si el triángulo es equilátero.

Demostración. La fórmula de Euler nos asegura que $0 \leq OI^2 = R(R – 2r) = R^2 – 2Rr$, donde $I$ es el incentro y $O$ el circuncentro del triángulo.

Como resultado, $R \geq 2r$.

$\blacksquare$

Proposición 2, desigualdad de Padoa. Sea $\triangle ABC$ con lados $c = AB$, $a = BC$ y $b = AC$ entonces $abc \geq (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)$.

Demostración. Sean $s = \dfrac{a + b + c}{2}$, $R$ el circunradio y $r$ el inradio de $\triangle ABC$, entonces tenemos las siguientes fórmulas para el área de $\triangle ABC$:
$(\triangle ABC) = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)} = \dfrac{abc}{4R} = rs$.

Notemos lo siguiente
$(a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) = (2s – 2)(2s – 2b)(2s – 2a) = 8(s – c)(s – b)(s – a) $
$= \dfrac{8(\triangle ABC)^2 }{s} = \dfrac{8r^2s^2}{s} = 8r^2s$.

Por otro lado, $abc = 4Rrs$.

Por lo tanto, la desigualdad que queremos mostrar es equivalente a $8r^2s \leq 4Rrs$ que a su vez es equivalente a $2r \leq R$, lo cual es cierto por la proposición anterior.

$\blacksquare$

Transformación de Ravi

Recordemos que las tangentes desde un punto a una circunferencia son iguales, por lo que los puntos de tangencia del incírculo de un triángulo, divide al perímetro del triángulo en tres pares de segmentos iguales, así que podemos expresar a los lados de un triángulo de esta manera para resolver algunas desigualdades geométricas.

$a = BC = y + z$, $b = AC = x + z$, $c = AB = x + y$.

Problema 2. Para los ángulos internos de un triángulo $\triangle ABC$ tenemos la siguiente desigualdad.
$\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2} \leq \dfrac{1}{8}$.

Solución. Usando la identidad para el seno del ángulo medio y la ley de los cosenos tenemos:
$\sin^2 \dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{2}(1 – \cos A) = \dfrac{1}{2}(1 + \dfrac{a^2 – (b^2 + c^2)}{2bc})$
$= \dfrac{a^2 – (b – c)^2}{4bc} = \dfrac{y^2 + 2yz + z^2 – (z – y)^2}{4bc} = \dfrac{yz}{bc}$.

Igualmente tenemos
$\sin^2 \dfrac{B}{2} = \dfrac{xz}{ac}$ y $\sin^2 \dfrac{C}{2} = \dfrac{xy}{ab}$.

A continuación despejamos y hacemos el producto
$\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2} = \dfrac{\sqrt{yz}\sqrt{xz}\sqrt{xy}}{abc}$.

Ahora aplicamos la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética
$\dfrac{\sqrt{yz}\sqrt{xz}\sqrt{xy}}{abc} \leq \dfrac{1}{abc}(\dfrac{y + z}{2})(\dfrac{x + z}{2})(\dfrac{x + y}{2}) = \dfrac{abc}{8abc} = \dfrac{1}{8}$.

Por lo tanto, $\sin \dfrac{A}{2} \sin \dfrac{B}{2} \sin \dfrac{C}{2} \leq \dfrac{1}{8}$.

$\blacksquare$

Desigualdad de Nesbitt

Proposición 3. Sean $a$, $b$ y $c$ tres números positivos entonces la siguiente desigualdad es cierta
$(a +b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) \geq 9$.

Demostración. La desigualdad entre las medias geométrica y aritmética puede ser vista como
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \geq 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \dfrac{b}{a}} = 2$.

Por lo tanto,
$(a +b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + 3 \geq 6 +3 = 9$.

$\blacksquare$

Proposición 4. Desigualdad de Nesbitt. Para cualesquiera números positivos $a$, $b$, $c$ ocurre que $\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \geq \dfrac{3}{2}$.

Demostración.
$\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b}$
$= \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b + c}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{a + c}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} + \dfrac{a + b}{a + b} – 3$
$ = \dfrac{a + b + c}{b + c} + \dfrac{ a + b + c}{a + c} + \dfrac{ a + b + c }{a + b} – 3$
$= (a + b + c)( \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{a + b}) – 3$
$=\dfrac{1}{2}((a + b) + (a + c) + (b + c))( \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{a + c} + \dfrac{1}{a + b}) – 3$
$\geq \dfrac{9}{2} – 3 = \dfrac{3}{2}$.

Donde la última desigualdad se obtiene al aplicar la proposición anterior.

Por lo tanto, $\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{a + c} + \dfrac{c}{a + b} \geq \dfrac{3}{2}$.

$\blacksquare$

Desigualdad de Weitzenböck

Proposición 5. Desigualdad de Weitzenböck. Si $a$, $b$, $c$ son las longitudes de los lados de $\triangle ABC$ entonces $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} (\triangle ABC)$.

Demostración. De acuerdo a la fórmula de Herón
$(\triangle ABC) = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$
$= \sqrt{(\dfrac{a + b + c}{2})(\dfrac{b + c – a}{2})(\dfrac{a + c – b}{2})(\dfrac{a + b – c}{2})}$
$= \dfrac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) – (a^4 + b^4 + c^4)}$.

Por otro lado
$\begin{equation} (a^2 – b^2)^2 + (b^2 – c^2)^2 + (c^2 – a^2)^2 \geq 0 \end{equation}$

$\Leftrightarrow$ $2(a^4 + b^4 + c^4) – 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) \geq 0$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{4}{3} (a^4 + b^4 + c^4) \geq \dfrac{4}{3} (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)$
$ \Leftrightarrow$ $\dfrac{4}{3} (a^4 + b^4 + c^4) + \dfrac{- 3(a^4 + b^4 + c^4) + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)}{3}$
$\geq \dfrac{4}{3} (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) + \dfrac{- 3(a^4 + b^4 + c^4) + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)}{3}$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) – (a^4 + b^4 + c^4)$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq 2(a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) – (a^4 + b^4 + c^4) = (4(\triangle ABC))^2$.
$ \Leftrightarrow$ $a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3} (\triangle ABC)$.

De la desigualdad $(1)$ podemos notar que la igualdad ocurre si y solo si $a = b = c$, es decir el triángulo es equilátero.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la próxima entrada estudiaremos algunas propiedades de las medianas y el centroide de un triángulo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $P$ un punto en el interior de un triangulo $\triangle ABC$, muestra que al menos uno de los ángulos $\angle BAP$, $\angle CBP$ y $\angle ACP$ es igual a $\dfrac{\pi}{6}$.
Considera $P$ un punto en el interior de $\triangle ABC$ cuyo circunradio es $R$, demuestra que $\dfrac{PA}{BC^2} + \dfrac{PB}{AC^2} + \dfrac{PC}{AB^2} \geq \dfrac{1}{R}$.
Sea $P$ un punto en el interior de $\triangle ABC$, denota por $R_a$, $R_b$, $R_c$ los circunradios de los triángulos $\triangle PBC$, $\triangle PAC$ y $\triangle PAB$ respectivamente, prueba que $\dfrac{PB \times PC}{R_a} + \dfrac{PA \times PC}{R_b} + \dfrac{PA \times PB}{R_c} \leq PA + PB + PC$.
Si $a$, $b$ y $c$ son los lados de un triangulo prueba que $(a + b)(b + c)(a + c) \geq 8(a + b – c)(b + c – a)(a + c -b)$.
Sean $\triangle ABC$, $\alpha = \angle BAC$, $\beta = \angle CBA$, $\gamma = \angle ACB$, muestra que $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \dfrac{3}{2}$.
Sean $\triangle ABC$, $AD$, $BE$, $CF$, sus alturas y $H$ el ortocentro muestra que:
$i)$ $\dfrac{AD}{HD} + \dfrac{BE}{HE} + \dfrac{CF}{HF} \geq 9$,
$ii)$ $\dfrac{HD}{HA} + \dfrac{HE}{HB} + \dfrac{HF}{HC} \geq \dfrac{3}{2}$.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$, muestra que se cumple la siguiente desigualdad $a + b \leq \sqrt{2}c$.
Considera $A’$ y $B’$ los puntos medios de $BC$ y $AC$ en $\triangle ABC$, muestra que $3(BC + AC) > 2(AA’ + BB’)$.

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Fuentes

Andreescu, T., Korsky, S. y Pohoata, C., Lemmas in Olympiad Geometry. USA: XYZ Press, 2016, pp 287-297.
Gomez, A. y Bulajich, R., Geometría. México: Instituto de Matemáticas, 2002, pp 27-29, 98-103.
Art of Problem Solving
Wikipedia
Cut the Knot

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»