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Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa

Por Karen González Cárdenas

Introducción

Anteriormente, vimos las operaciones que podemos llevar a cabo entre las funciones. Ahora revisaremos las características que debe cumplir una función para poder determinar si es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. De igual manera, definiremos el concepto de función inversa.

Definición de función inyectiva

Definición (1): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos distintos en $A$, la función le asocia elementos distintos en $B$, es decir,
$$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$.

Definición (2): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera dos elementos iguales en $B$, provienen de dos elementos iguales en $A$ bajo la función, es decir,
$$f(x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow x_{1} = x_{2}$$
para cualesquiera $x_{1}, x_{2} \in A$.

Ejemplo

Sea $f: (-\infty,-1] \rightarrow \r$ definida como:
$$f(x)=11- \sqrt{x^{2}-4x-5}\quad\text{.}$$

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in (-\infty,-1]$ tales que $f(x_{1}) = f(x_{2})$. Así queremos probar que $x_{1}=x_{2}$.
Como $f(x_{1}) = f(x_{2})$ tenemos que:
\begin{align*}
11- \sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=11- \sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5}\\
– \sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=- \sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5} \quad \text{sumando $11$}\\
\sqrt{x_{1}^{2}-4x_{1}-5} &=\sqrt{x_{2}^{2}-4x_{2}-5} \quad \text{multiplcando por $-1$}\\
\sqrt{(x_{1}-2)^{2}-9} &=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}-9} \quad \text{factorizando}\\
\sqrt{(x_{1}-2)^{2}} &=\sqrt{(x_{2}-2)^{2}}\\
|x_{1}-2| &=|x_{2}-2|\quad \text{quitando la raíz cuadrada}\\
\end{align*}
De la igualdad anterior tenemos que $x_{1}-2$ y $x_{2}-2$ son iguales en valor absoluto. Recordemos que para cualesquiera $a, b\in \mathbb{R}$ si:
$$|a| = b \Rightarrow a = b \quad \text{ o } \quad a = -b $$

Aplicando esto a nuestra igualdad $|x_{1} – 2| = |x_{2} – 2|$ tenemos los siguientes dos casos:
CASO 1: $x_{1} – 2 = x_{2} – 2$

\begin{align*}
&\Rightarrow x_{1} – 2 = x_{2} – 2\\
&\Rightarrow x_{1} = x_{2}\\
&\therefore x_{1} = x_{2}\\
\end{align*}

CASO 2: $x_{1} – 2 = -(x_{2} – 2)$

\begin{align*}
&\Rightarrow x_{1} – 2 = -x_{2} + 2\\
&\Rightarrow x_{1} + x_{2} = 4
\end{align*}

Ya que $x_1$ y $x_2 $ son números negativos, $x_1 + x_2$ debe ser una suma de dos números negativos, la que siempre resulta en un número negativo. Sin embargo, en el caso $2$ tenemos que $x_{1} + x_{2} = 4$.

Esto implica que la suma de $x_1$ y $x_2$ es positiva, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, el segundo caso no es posible si $x_1 $ y $x_2 $ son ambos negativos.

Concluyendo así que la única posibilidad es el primer caso:

$$\therefore x_{1} = x_{2}$$
De lo anterior vemos que $f$ es inyectiva.

Definición de función sobreyectiva

Definición (1): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si todo elemento en $B$ proviene de algún elemento en $A$ bajo la función, es decir, para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$$f(x)=y\quad\text{.}$$

Definición (2): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es sobreyectiva si
$$Im_{f}=Codom_{f}\quad\text{.}$$

Ejemplo

Un ejemplo sería la función tangente, ya que su $Im_{f}= \mathbb{R} $ y su $Codom_{f}= \mathbb{R}$, más adelante veremos su definición con mayor detenimiento:
$$f(x)=tan(x)\quad\text{.}$$

Definición de función biyectiva

Definición: Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo

Sea $f: \r \rightarrow \r$ definida como:
$$Id(x)=x\quad\text{.}$$

Veremos que esta función es inyectiva:
Tomemos $x_{1}, x_{2} \in \r$ distintos, queremos ver que $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$. Como tenemos que:
$$f(x_{1})= x_{1},$$
$$f(x_{2})= x_{2}\quad\text{.}$$
Y como sabemos $x_{1} \neq x_{2}$ se sigue así:
$$f(x_{1})\neq f(x_{2})\quad\text{.}$$
Por lo que $Id(x)$ es inyectiva.

Ahora vemos que también cumple ser sobreyectiva:
Consideremos $y \in \r$. Por definición de la función identidad tenemos que:
$$y=Id(y)\quad\text{.}$$
Así vemos que cumple ser sobreyectiva.

De lo anterior podemos concluimos que $Id(x)$ es una función biyectiva.

Proposición

Proposición: Si tomamos las funciones $g: A \rightarrow B$ y $f: B \rightarrow C$ se cumple que:

$f$ inyectiva y $g$ inyectiva $\quad \Rightarrow \quad f \circ g$ es inyectiva.
$f$ sobreyectiva y $g$ sobreyectiva $\quad \Rightarrow \quad f \circ g$ es sobreyectiva.
$f$ biyectiva y $g$ biyectiva $\quad \Rightarrow \quad f \circ g$ es biyectiva.

Demostración:

Tomemos $x_{1}, x_{2} \in A$ tales que $f \circ g (x_{1})= f \circ g (x_{2})$. Queremos probar que:
$x_{1}=x_{2}$.
Observemos que por hipótesis tenemos que:
$$f(g(x_{1}))= f(g(x_{2}))$$
donde $g(x_{1}), g(x_{2}) \in B$.
Como $f$ es una función inyectiva entonces se cumple:
$$g(x_{1})=g(x_{2})\quad\text{.}$$
Y al ser $g$ inyectiva obtenemos:
$$x_{1}=x_{2}\quad\text{.}$$
Como $f \circ g : A \rightarrow C$ por lo que tomemos $c \in C$. Queremos ver que existe $a \in A$ tal que $f(a)=c$.
Ya sabemos que $f: B \rightarrow C$ es sobreyectiva entonces existe $b \in B$ tal que:
$$f(b)=c\quad\text{.}$$
Recordemos que $g: A \rightarrow B$ al ser sobreyectiva ocurre que existe $a \in A$ tal que:
$$g(a)=b\quad\text{.}$$
De lo anterior al sustituir en la composición de funciones se sigue:
\begin{align*}
f \circ g(a)&=f(g(a))\\
&=f(b)\\
&=c
\end{align*}
Se queda como ejercicio de tarea moral.

$\square$

Función inversa

Definición (función invertible): Sea $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que $f$ es invertible si y sólo si existe una función $g: B \rightarrow A$ tal que cumple las siguientes condiciones:

$g \circ f = Id_{A}$
$f \circ g = Id_{B}$

A continuación veremos una equivalencia que nos será de utilidad para poder decir si una función es invertible:

Teorema: Consideremos a $f: A \rightarrow B$ una función. Decimos que:
$f$ es Invertible $\Leftrightarrow f$ es biyectiva.
Demostración:
$\Rightarrow ):$ Tomemos $f$ invertible, así por definición existe una función $g: B \rightarrow A$ tal que cumple:

$g \circ f = Id_{A}$
$f \circ g = Id_{B}$

Debemos probar que $f$ es biyectiva, por lo que debemos verificar que sea inyectiva y sobreyectiva:

Inyectiva: Sean $x_{1} , x_{2} \in A$ tales que $f(x_{1})= f (x_{2})$ por lo que $g(f(x_{1}))=g( f (x_{2}))$ al ser $g$ función. Reescribiendo lo anterior tenemos lo siguiente:
\begin{align*}
g(f(x_{1}))=g( f (x_{2})) &\Rightarrow (g \circ f)(x_{1})=(g \circ f)(x_{2})\\
&\Rightarrow Id_{A}(x_{1})=Id_{A}(x_{2}) \tag{por definición de $g$}\\
&\Rightarrow x_{1}= x_{2}
\end{align*}

$\therefore f$ es inyectiva
Sobreyectiva: Sea $y \in B$. Debido a que $Id_{B}$ es sobreyectiva tenemos que $Id_{B}(y)=y$. De lo anterior tenemos:
\begin{align*}
Id_{B}(y)=y &\Rightarrow f \circ g (y)= y\\
&\Rightarrow f(g(y))=y\\
&\Rightarrow g(y) \in A
\end{align*}
$\therefore f$ es sobreyectiva
De todo lo anterior concluimos que $f$ es biyectiva.

$\Leftarrow ):$ Sea $f: A \rightarrow B$ una función biyectiva. De este modo para todo $y \in B$ existe $x \in A$ tal que:
$$f(x)=y$$
ya que $f$ es sobreyectiva. De igual manera cumple ser inyectiva por lo que esa $x$ es única.

Consideremos la función $g: B \rightarrow A$ tal que:
$$g(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y\quad\text{.}$$
Por lo que al realizar la siguiente composición de funciones tenemos:
$$ (g \circ f)(x)=g(f(x)) =g(y)=x = Id_{A}(x),$$
$$(f \circ g)(y)= f(g(y))= f(x)=y = Id_{B}(y)$$\quad\text{.}
Vemos que esto cumple la definición de ser invertible.
$\therefore f$ es una función invertible.

$\square$

Definición: Sea $f: A \rightarrow B$ entonces:

$f$ tiene inversa izquierda si existe $g: B \rightarrow A$ tal que $g \circ f=Id_{A}$.
$f$ tiene inversa derecha si existe $h: B \rightarrow A$ tal que $f\circ h=Id_{B}$.

Definición (función inversa): Si $f: A \rightarrow B$ es invertible donde $g: B \rightarrow A$ que cumple lo anterior. Decimos que $f^{-1}=g$ es la inversa de $f$.

Corolario: Si $f: A \rightarrow B$ es una función invertible entonces $f^{-1}$ también es biyectiva.

Demostración:
Como $f$ es invertible por definición cumple:

$f^{-1} \circ f =Id_{A}$
$f \circ f^{-1}=Id_{B}$

Por lo que cumple ser inyectiva y sobreyectiva.

$\square$

Del resultado anterior observamos que $f^{-1}$ es función inversa al componer por la derecha y por la izquierda.

Teorema: Si $f: A \rightarrow B$ entonces es equivalente lo siguiente:

$f$ es una función inyectiva
$f$ tiene inversa izquierda

Teorema: Si $f: A \subseteq \r \rightarrow \r$ entonces es equivalente lo siguiente:

$f$ es una función suprayectiva
$f$ tiene inversa derecha

Más adelante

En la siguiente entrada veremos otras características que las funciones pueden cumplir para clasificarse como pares o impares. Veremos su definición formal, algunos ejemplos y resultados.

Tarea moral

Demuestra que $f: [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ definida como:
$$f(x)= x^{2}$$
es inyectiva.

Argumenta porque la función $f: \r \rightarrow \r$ definida como:
$$f(x)= x^{2}$$
no es inyectiva.

Demuestra que $f: \r \rightarrow \r$ definida como:
$$f(x)= -2x+1$$
es inyectiva.

Prueba que si $f$ y $g$ son funciones biyectivas entonces $f \circ g$ es biyectiva.
Demuestra la siguiente igualdad:
$$(f \circ g)^{-1}= f^{-1} \circ g^{-1}$$

Entradas relacionadas

Ir a: Cálculo Diferencial e Integral I
Entrada anterior del curso: Cálculo Diferencial e Integral I:Suma, producto, cociente y composición de funciones.
Entrada siguiente del curso: Cálculo Diferencial e Integral I: Funciones pares e impares.
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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Ecuaciones de Bessel y Legendre

Por Eduardo Vera Rosales

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos el estudio a algunas ecuaciones especiales de segundo orden que aparecen con frecuencia en otras áreas de estudio, principalmente en la física. En particular, encontramos soluciones por series a las ecuaciones de Hermite y Laguerre, y mencionamos cómo los polinomios de orden $n$ que llevan los mismos nombres son soluciones particulares a las ecuaciones diferenciales para $\lambda=n$, respectivamente.

Ahora es turno de revisar las ecuaciones de Bessel y Legendre, debidas a los matemáticos Friedrich Wilhelm Bessel y Adrien-Marie Legendre. Resolveremos la ecuación de Bessel alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ para algunos casos del valor $\lambda$. Por otra parte resolveremos la ecuación de Legendre alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$, y mencionamos la relación de la ecuación de Legendre con los polinomios que llevan el mismo nombre.

Ecuación de Bessel

En el primer video hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden $\lambda$ alrededor del punto singular regular $t_{0}=0$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\lambda^{2})y=0, \,\,\, t>0.$$ Posteriormente encontramos una solución a la misma ecuación cuando $\lambda=0$.

En el segundo video resolvemos la ecuación de Bessel de orden $\lambda=1$ bajo las mismas hipótesis del caso anterior.

Ecuación de Legendre

En el último video de la entrada resolvemos la ecuación de Legendre de forma general alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ y hacemos una importante observación acerca de las soluciones a dicha ecuación.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden cero $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+t^{2}y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.

Encuentra una segunda solución a la ecuación de Bessel de orden uno $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-1)y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.

Halla una solución a la ecuación de Bessel de orden $\frac{1}{2}$ $$t^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+t\frac{dy}{dt}+(t^{2}-\frac{1}{2})y=0$$ cerca del punto singular regular $t_{0}=0$, $t>0$.

Investiga los primeros cuatro polinomios de Legendre. Prueba que son solución particular a la ecuación de Legendre $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+\lambda(\lambda+1)y=0$$ alrededor del punto ordinario $t_{0}=0$ para los valores $\lambda=0,1,2,3$, respectivamente.

Mediante el método de soluciones por series de potencias, halla una solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=4$ $$(1-t^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-2t\frac{dy}{dt}+20y=0.$$ En general, el $n$-ésimo polinomio de Legendre es solución a la ecuación de Legendre con $\lambda=n$.

Verifica que $t_{0}=1$ es un punto singular regular para la ecuación de Legendre y encuentra una solución cerca de $t_{0}=1$, $t>0$.

Más adelante

Hasta el momento hemos revisado cuatro de las seis ecuaciones especiales de segundo orden que vamos a estudiar. Finalizaremos esta serie de entradas revisando la ecuación de Chebyshev y la ecuación hipergeométrica.

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Siguiente entrada del curso: Ecuaciones de Chebyshev e hipergeométrica

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Geometría Moderna I: Cuadrilátero ortodiagonal

Por Rubén Alexander Ocampo Arellano

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Introducción

Decimos que un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si sus diagonales son perpendiculares. En esta entrada veremos algunas propiedades del cuadrilátero ortodiagonal.

Dos caracterizaciones para el cuadrilátero ortodiagonal

Teorema 1. Un cuadrilátero convexo es ortodiagonal si y solo si la suma de los cuadrados de dos lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados de los restantes lados opuestos.

Demostración. Sea $\square ABCD$ convexo, consideremos $P$ la intersección de las diagonales, $\phi = \angle APB$, $\psi = \angle BPC$.

Como $\phi + \psi = \pi$ entonces $\cos \phi = – \cos \psi$.

Aplicando la ley de los cosenos a los triángulos $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$ y $\triangle APD$ obtenemos,
$AB^2 = AP^2 + BP^2 – 2AP \times BP \cos \phi$,
$BC^2 = BP^2 + CP^2 – 2BP \times CP \cos \psi$,
$CD^2 = CP^2 + DP^2 – 2CP \times DP \cos \phi$,
$AD^2 = AP^2 + DP^2 – 2AP \times DP \cos \psi$.

Por lo tanto,
$AB^2 + CD^2 – BC^2 – AD^2 $
$= (AP^2 + BP^2 + 2AP \times BP \cos \psi) + (CP^2 + DP^2 + 2CP \times DP \cos \psi)$
$- (BP^2 + CP^2 – 2BP \times CP \cos \psi) – (AP^2 + DP^2 – 2AP \times DP \cos \psi)$
$= 2 \cos \psi (AP \times BP + CP \times DP + BP \times CP + AP \times DP)$.

Notemos que $0 < \psi < \pi$, por lo tanto,
$\overline{AC} \perp \overline{BD} \Leftrightarrow \psi = \dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow \cos \psi = 0$
$\Leftrightarrow AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$.

$\blacksquare$

Proposición 1. Sean $\square ABCD$ convexo, $P$ la intersección de las diagonales, $m_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ las medianas de los triángulos $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$ y $\triangle APD$, que pasan por $P$, entonces $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si $m_{1}^2 + m_{3}^2 = m_{2}^2 + m_{4}^2$.

Demostración. Aplicando el teorema de Apolonio para calcular la longitud de las medianas en términos de los lados de sus respectivos triángulos obtenemos,

$m_{1}^2 + m_{3}^2 = m_{2}^2 + m_{4}^2$
$\Leftrightarrow 4m_{1}^2 + 4m_{3}^2 = 4m_{2}^2 + 4m_{4}^2$
$\Leftrightarrow 2(AP^2 + BP^2) – AB^2 + 2(CP^2 + DP^2) – CD^2$
$ = 2(BP^2 + CP^2) – BC^2 + 2(AP^2 + DP^2) – AD^2$
$\Leftrightarrow AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$.

La última doble implicación es cierta por el teorema 1.

$\blacksquare$

Circunferencia de los 8 puntos del cuadrilátero ortodiagonal

Definición. Al cuadrilátero formado por los pies de las $m$-alturas de un cuadrilátero convexo se le conoce como cuadrilátero principal órtico.

Lema 1. Los vértices del paralelogramo de Varignon y los vértices del cuadrilátero principal órtico de un cuadrilátero convexo que se encuentran sobre lados opuestos, están en dos circunferencias con centro en $G$, el centroide del cuadrilátero.

Demostración. Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ y $M_{4}$ los puntos medios de $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente.

Recordemos que las diagonales del cuadrilátero de Varignon, es decir, las bimedianas $M_{1}M_{3}$ y $M_{2}M_{4}$, se intersecan en su punto medio, $G$, al que llamamos centroide.

Sean $M_{1}H_{1}$, $M_{2}H_{2}$, $M_{3}H_{3}$ y $M_{4}H_{4}$ las $m$-alturas de $\square ABCD$.

Por construcción $\angle M_{3}H_{1}M_{1} = \angle M_{1}H_{3}M_{3} = \dfrac{\pi}{2}$, por lo tanto, $M_{1}M_{3}$ es el diámetro de una circunferencia con centro en $G$ y que pasa por $H_{1}$ y $H_{3}$.

De manera análoga podemos ver que los puntos $H_{2}$ y $H_{4}$ están en una circunferencia de diámetro $M_{2}M_{4}$ con centro en $G$.

$\blacksquare$

Teorema 2. Los vértices del paralelogramo de Varignon y los vértices del cuadrilátero principal órtico de un cuadrilátero convexo están en una misma circunferencia con centro en el centroide del cuadrilátero si y solo si el cuadrilátero es ortodiagonal.

A dicha circunferencia se le conoce como primera circunferencia de los ocho puntos del cuadrilátero ortodiagonal.

Demostración. El lema anterior nos dice que los puntos ${M_{1}, H_{1}, M_{3}, H_{3}}$ y ${M_{2}, H_{2}, M_{4}, H_{4}}$ están en dos circunferencias con centro en $G$, el centroide de $\square ABCD$.

Además, las bimedianas de un cuadrilátero se bisecan en el centroide del cuadrilátero.

Por lo tanto, el paralelogramo de Varignon y el cuadrilátero principal órtico son ambos cíclicos y comparten la misma circunferencia si y solo si $M_{1}M_{3} = M_{2}M_{4}$, es decir, las bimedianas tienen la misma longitud, si y solo si el paralelogramo de Varignon es un rectángulo si y solo si $\square ABCD$ es ortodiagonal.

$\blacksquare$

Teorema de Brahmagupta

Teorema 3. de Brahmagupta. En un cuadrilátero ortodiagonal y cíclico, el anticentro coincide con la intersección de las diagonales del cuadrilátero.

Demostración. Recordemos que en un cuadrilátero cíclico las $m$-alturas son concurrentes y definimos al punto de concurrencia como el anticentro, el cual tiene la propiedad de ser simétrico al circuncentro respecto a $G$, el centroide del cuadrilátero.

Sea $\square ABCD$ ortogonal y cíclico, tracemos el segmento $MP$ que pasa por el punto medio de $AB$ y la intersección de las diagonales $P$, consideremos $H = MP \cap BC$.

En un triángulo rectángulo la distancia del punto medio de la hipotenusa a los tres vértices del triángulo es la misma, por lo tanto, $\triangle AMP$ es isósceles pues $\angle DPA = \dfrac{\pi}{2}$.

Esto implica que $\angle PAM = \angle MPA = \angle HPC$.

Donde la última igualdad se debe a que los ángulos considerados son opuestos por el vértice, además $\angle ADP = \angle PCH$.

Como consecuencia de las últimas dos igualdades tenemos $\triangle APD \sim \triangle PHC$, por criterio de semejanza AA.

Entonces $\angle CHP = \angle DPA = \dfrac{\pi}{2}$, por lo tanto, $MH$ es una $m$-altura de $\square ABCD$.

De manera análoga podemos ver que las otras $m$-alturas pasan por $P$ y como todas las $m$-alturas de un cuadrilátero cíclico concurren en el anticentro entonces este coincide con $P$.

$\blacksquare$

Proposición 2. En un cuadrilátero cíclico y ortodiagonal la distancia desde el circuncentro a uno de los lados del cuadrilátero es igual a la mitad del lado opuesto.

Demostración. Sea $G$ el centroide del cuadrilátero $\square ABCD$ (figura 5) y $N$ el punto medio de $BC$.

Sabemos que $G$ biseca a $MN$ y a $OP$, por lo tanto, $\square MONP$ es un paralelogramo, en consecuencia, la distancia de $O$ a $BC$ es $ON = MP = \dfrac{AD}{2}$.

Donde la primera igualdad se da porque $\square MONP$ es paralelogramo y la segunda porque $M$ es el punto medio de la hipotenusa en $\triangle APD$.

$\blacksquare$

Corolario 1. El circunradio de un cuadrilátero cíclico y ortodiagonal $\square ABCD$ con lados $a = AB$, $b = BC$, $c = CD$ y $d = AD$ cumple la siguiente igualdad, $4R^2 = a^2 + c^2 = b^2 + d^2$.

Demostración. Por la prueba de la proposición anterior sabemos que $\angle ONB = \dfrac{\pi}{2}$ (figura 5), por lo tanto podemos aplicar el teorema de Pitágoras a $\triangle ONB$.

$R^2 = OB^2 = ON^2 + BN^2 = (\dfrac{AD}{2})^2 + (\dfrac{BC}{2})^2$
$\Leftrightarrow 4R^2 = d^2 + b^2$.

De manera análoga se ve que $4R^2 = a^2 + c^2$.

$\blacksquare$

Circunferencia de Droz-Farny

Lema 2. Sean $\square ABCD$ cíclico $O$ y $H$ el circuncentro y el anticentro respectivamente, consideremos el cuadrilátero principal órtico con vértices $H_{1} \in CD$, $H_{2} \in AD$, $H_{3} \in AB$, $H_{4} \in BC$, sean $X_{i}$, $X’_{i}$ las intersecciones de $(H_{i}, H_{i}O)$ (la circunferencia con centro en $H_{i}$ y radio $H_{i}O$) con el lado de $\square ABCD$ al que pertenece $H_{i}$. Entonces los puntos ${X_{1}, X’_{1}, X_{3}, X’_{3}}$ y los putos ${X_{2}, X’_{2}, X_{4}, X’_{4}}$ pertenecen a dos circunferencias con centro en $H$.

Demostración. Veamos que $\square X_{1}X’_{1}X_{3}X’_{3}$ es cíclico.

Dado que $HH_{1}$ es la mediatriz de $X_{1}X’_{1}$ entonces $HX_{1} = HX’_{1}$, de manera similar vemos que $HX_{3} = HX’_{3}$.

Por otra parte, como $X_{1} \in (H_{1}, H_{1}O)$, entonces $H_{1}X_{1} = H_{1}O$.

Sea $G$ el centroide del cuadrilátero $\square ABCD$ y recordemos que $G$ biseca a $OH$.

Aplicando el teorema de Pitágoras a $\triangle HH_{1}X_{1}$ y el teorema de Apolonio a la mediana $H_{1}G$ en $\triangle HH_{1}O$ obtenemos,
$HX_{1}^2 = HH_{1}^2 + H_{1}X_{1}^2 = HH_{1}^2 + H_{1}O^2$
$\begin{equation} = 2H_{1}G^2 + 2OG^2. \end{equation}$

De manera análoga calculamos
$\begin{equation} HX_{3}^2 = 2H_{3}G^2 + 2OG^2. \end{equation}$

Por el lema 1, $H_{1}$ y $H_{3}$ están en una misma circunferencia con centro en $G$ por lo tanto $H_{1}G = H_{3}G$, de $(1)$ y $(2)$ se sigue que $HX’_{1} = HX_{1} = HX_{3} = HX’_{3}$.

Así, $X_{1}$, $X’_{1}$, $X_{3}$ y $X’_{3}$ están en una misma circunferencia con centro en $H$.

De manera análoga se ve que $X_{2}$, $X’_{2}$, $X_{4}$, $X’_{4}$ están en una misma circunferencia concéntrica con la anterior.

$\blacksquare$

Teorema 4. Sea $\square ABCD$ cíclico entonces los 8 puntos $X_{i}$, $X’_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ se encuentran en una misma circunferencia con centro en $H$, el anticentro del cuadrilátero cíclico, si y solo si $\square ABCD$ es ortodiagonal, esta es la primera circunferencia de Droz-Farny del cuadrilátero.

Demostración. Los puntos consideraos son concíclicos si y solo si las dos circunferencias a las que pertenecen tienen el mismo radio es decir $HX_{1} = HX_{2} = HX_{3} = HX_{4}$.

En la demostración del lema anterior vimos que $HX_{i}^2 = 2H_{i}G^2 + 2OG^2$.

Esto implica que $HX_{1} = HX_{2} = HX_{3} = HX_{4} \Leftrightarrow H_{1}G = H_{2}G = H_{3}G = H_{4}G$, esto quiere decir que los vértices del cuadrilátero principal órtico de $\square ABCD$ están en una misma circunferencia con centro en $G$.

Por el teorema 3, esto ocurre si y solo si $\square ABCD$ es ortodiagonal.

$\blacksquare$

Proposición 3. Sea $\square ABCD$ cíclico y ortodiagonal entonces el radio de la primera circunferencia de Droz-Farny es igual al circunradio de $\square ABCD$.

Demostración. Por la prueba de lema 2 sabemos que
$\begin{equation} HX_{1}^2 = 2H_{1}G^2 + 2OG^2. \end{equation}$

El teorema 3 nos dice que el anticentro $H$ coincide con $P$, la intersección de las diagonales, por lo tanto $\triangle CHD$ es rectángulo (figura 7). Si $M_{3}$ es el punto medio de $CD$, la hipotenusa, entonces $M_{3}H = M_{3}C$.

Como $O$ esta en la mediatriz de $CD$, entonces $OM_3 \perp CD$.

Aplicando el teorema de Pitágoras a $\triangle OM_{3}C$ y el teorema de Apolonio a la mediana $M_{3}G$ en $\triangle OHM_{3}$ tenemos,

$\begin{equation} OC^2 = M_{3}O^2 + M_{3}C^2 = M_{3}O^2 + M_{3}H^2 = 2M_{3}G^2 + 2OG^2. \end{equation}$

Por el teorema 3, $M_{3}$ y $H_{1}$ están en una misma circunferencia con centro en $G$, por lo tanto $H_{1}G = M_{3}G$.

De $(3)$ y $(4)$ se sigue que $R = OC = HX_{1}$.

$\blacksquare$

Más adelante…

En la siguiente entrada hablaremos sobre cuadriláteros que tienen un incírculo.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Muestra que de todos los cuadriláteros convexos con diagonales dadas los ortodiagonales son los de mayor área y calcula el área en función de las diagonales.
Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $P$ la intersección de las diagonales, consideremos los circunradios $R_{1}$, $R_{2}$, $R_{3}$ y $R_{4}$ de los triángulos $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$ y $\triangle APD$ respectivamente, demuestra que
$i)$ $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si $R_{1}^2 + R_{3}^2 = R_{2}^2 + R_{4}^2$
$ii)$ $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si los circuncentros de los triángulos $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$ y $\triangle APD$ son los puntos medios de los lados del cuadrilátero.
Sea $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo y $P$ la intersección de las diagonales, considera las alturas $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$ y $h_{4}$, de los triángulos $\triangle APB$, $\triangle BPC$, $\triangle CPD$ y $\triangle APD$ trazadas desde $P$, muestra que $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si $\dfrac{1}{h_{1}^2} + \dfrac{1}{h_{3}^2} = \dfrac{1}{h_{2}^2} + \dfrac{1}{h_{4}^2}$.
Sean $\square ABCD$ un cuadrilátero convexo, $P$ la intersección de las diagonales, $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ y $P_{4}$ las proyecciones trazadas desde $P$ a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $AD$ respectivamente, y considera los puntos $P’_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ como las intersecciones de $PP_{i}$ con el lado opuesto al que pertenece $P_{i}$ prueba que
$i)$ $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si $\angle CBP + \angle PCB + \angle PAD + \angle ADP = \pi$
$ii)$ $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si $\square P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}$ es cíclico.
$iii)$ $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si los 8 puntos $P_{i}$, $P’_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ son cíclicos, a esta circunferencia se le conoce como segunda circunferencia de los ocho puntos del cuadrilátero ortodiagonal.
$iv)$ La primera y la segunda circunferencias de los ocho puntos de un cuadrilátero ortodiagonal son la misma si y solo si el cuadrilátero es cíclico.

Muestra que un cuadrilátero convexo $\square ABCD$ es ortodiagonal si y solo si el cuadrilátero $\square P’_{1}P’_{2}P’_{3}P’_{4}$, definido en el ejercicio anterior (figura 8), es un rectángulo cuyos lados son paralelos a las diagonales de $\square ABCD$.
Sean $\square ABCD$ cíclico, $O$ el circuncentro, $H$ el anticentro y considera los puntos medios $M_{i}$ con $i = 1, 2, 3, 4$ del cuadrilátero (figura 9), define $Y_{i}$, $Y’_{i}$ como las intersecciones de $(M_{i}, M_{i}H)$ (la circunferencia con centro en $M_{i}$ y radio $M_{i}H$) con el lado de $\square ABCD$ al que biseca $M_{i}$.
$i)$ Muestra que los puntos ${Y_{1}, Y’_{1}, Y_{3}, Y’_{3}}$ y los putos ${Y_{2}, Y’_{2}, Y_{4}, Y’_{4}}$ están en dos circunferencias con centro en $O$
$ii)$ Dichas circunferencias son la misma si y solo si $\square ABCD$ es ortodiagonal, esta es la segunda circunferencia de Droz-Farny del cuadrilátero.

Entradas relacionadas

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Otros cursos.

Fuentes

Altshiller, N., College Geometry. New York: Dover, 2007, pp 136-138.
Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario., The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral, Forum Geometricorum, (2011), 11, pp 109–119.
Josefsson, Martin., Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals, Forum Geometricorum, (2012), 12, pp 13–25.
Wikipedia

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Probabilidad I-Videos: Distribución Poisson

Por Aurora Martínez Rivas

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Introducción

Estudiaremos en este video una distribución de probabilidad discreta qué se puede usar para aproximar probabilidades binomiales en las que el tamaño de la muestra es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, mientras el producto del tamaño de la muestra por la probabilidad de éxito permanece constante. Está distribución se conoce con el nombre de distribución Poisson.

Distribución Poisson

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE 104721: “Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM”. Sitio web del proyecto: https://www.matematicasadistancia.com.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Demuestra que la función de probabilidad de la distribución Poisson cumple las condiciones de una función de probabilidad.

Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Demuestra que $f\left(x+1\right)=\frac{\lambda\ }{x+1}f\left(x\right)$ para $x=0, 1, 2, …$

Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Si $λ-1$ es un entero. Demuestra que $f(x)$ alcanza su valor máximo en $x_1=\lambda-1$ y $x_2+1=\lambda$.

Sea $X$ una variable aleatoria tal que $X∼ Poisson(λ)$. Si $λ-1$ no es un entero. Demuestra que $f(x)$ alcanza su valor máximo en $x_1$ definido como el entero más pequeño mayor o igual a $λ-1$.

Llegan autos a un establecimiento de comida rápida de acuerdo con un proceso Poisson con media de 80 autos por hora. Si el empleado hace una llamada telefónica de 1 minuto, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 1 auto llegue durante la llamada?

Más adelante…

La distribución Poisson tiene muchas aplicaciones, es particularmente útil para los fenómenos de contar en unidades de tiempo o espacio. Por ejemplo, contar el número de llamadas telefónicas registradas por un centro en una semana o contar el número de accidentes ocurridos en dos horas en alguna avenida principal especifica.

La variable aleatoria X que corresponde a el número de elementos observados por unidad de tiempo, espacio, volumen o cualquier otra dimensión sigue una distribución Poisson con parámetro λ, donde λ es la media de la distribución.

Entradas relacionadas

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Álgebra Superior I: Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos

Por Guillermo Oswaldo Cota Martínez

2 respuestas

Introducción

Habiendo establecido los axiomas de la teoría de conjuntos, ahora vamos a empezar a trabajar con ellos. En particular en esta entrada nos intereseran tres operaciones: La intersección, la unión y el complemento de conjuntos.

Pensando en conjuntos

Para empezar a hablar de las operaciones que usaremos, pues primero debemos de ponernos de acuerdo a qué nos referiremos y qué queremos construir cuando hablamos de operaciones. Para estos fines, nos interesa qué podemos hacer con los conjuntos y cómo se relacionan los unos a los otros. Por ejemplo: ¿Habrá algunos elementos que pertenezcan a dos conjuntos a la vez? o ¿Qué pasa con el con elementos que sí están en unos conjuntos y en otros no? Pues veremos algunas operaciones, sin embargo hay que ver la idea intuitiva detrás de algunos de ellos.

Será bueno que de igual manera tengas los axiomas a la mano, pues serán útiles para la definición de algunas de estas operaciones:

Axioma 1	Existe un conjunto.
Axioma 2	Podemos hacer conjuntos a partir de proposiciones que cumplen o no cumplen elementos de algún conjunto.
Axioma 3	Si $X$ y $Y$ son conjuntos, entonces $\{X,Y\}$ es un conjunto.
Axioma 4	Dos conjuntos son iguales si todos sus elementos son iguales.
Axioma 5	Existe un conjunto que tiene como elementos a todos los elementos que pertenecen a algún elemento de $X$.
Axioma 6	Para cada conjunto $X$, existe su conjunto potencia $\mathcal P (X)$ cuyos elementos son los subconjuntos de $X$.

Intersección

Supongamos que tenemos dos conjuntos $X,Y$ de números enteros positivos del 1 al 20. $X$ es el conjunto de los números pares y $Y$ es el conjunto de los números primos. Entonces $X$ lo podemos ver como:

Mientras que $Y$ se podría ver como:

Nota que hay un elemento en común con ambos conjuntos, pues $2$ es el único par primo, es decir hay un punto de intersección que es el $2$:

En este caso diremos que $2$ se encuentra en la intersección de $X$ con $Y$, pues está en ambos conjuntos. Con esto en mente definiremos la intersección:

Definición. Sean $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces el conjunto intersección de $X$ y $Y$, $X \cap Y$ es: $$X\cap Y = \{x \in X : x \in Y\} $$

En nuestro ejemplo anterior, $X=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}, Y=\{2,3,5,7,11,13,17,19\}$, y $X \cap Y = \{2\}$ pues es el único par primo.

Como puedes ver, gráficamente el área que representa la intersección entre dos conjuntos es:

Ahora vamos a ver algunas propiedades como: la conmutatividad y la asociatividad .

Proposición. La intersección es conmutativa, es decir: $$X \cap Y = Y \cap X .$$

Demostración. Recuerda que por el axioma 4, tenemos que demostrar dos cosas: primero que $X \cap Y \subset Y \cap X$ y después que $Y \cap X \subset X \cap Y$. Vas a ver una similitud en demostrar este tipo de proposiciones de igualdad de conjuntos a las demostraciones que usan el «si y solo si», pues primero tendremos que demostrar la contención de «ida» y después la del «regreso». Y esto tiene sentido, pues demostrar la igualdad entre conjuntos es demostrar la doble implicación de que un elemento pertenezca a alguno de los dos conjuntos, pues habría que demostrar:

$$\forall x \big( x \in X \cap Y \Leftrightarrow x \in Y \cap X) .$$

Así que empezamos nuestra demostración probando una contención.

$\subset)$ Consideremos $x \in X\cap Y$. Para demostrar que $X \cap Y \subset Y \cap X$, habría que demostrar que cada elemento del primer conjunto se encuentra en el segundo, así que hay que demostrar que $ x \in Y \cap X$. Para ello, nota que $$X \cap Y = \{x \in X: x \in Y\} = \{x \in X: P(x)\}$$ son los elementos de $X$ que cumplen la proposición $P(x):x \in Y$. Entonces sabemos que $x \in Y$. Por otro lado, sabemos que la proposición $Q(x): x \in X$ se cumple, entonces $x$ pertenece al conjunto

$$x \in \{y \in Y: Q(y)\} = \{y \in Y: y \in X\} = Y \cap X$$

puesto que $x$ pertenece a $Y$ y cumple $Q(x)$. De esta forma $X \cap Y \subset Y \cap X$.

$\supset )$ Nota que para demostrar la otra contención, únicamente deberíamos copiar la demostración anterior cambiando de lugar $X$ con $Y$, es decir que nuestra demostración sería muy parecida a la primera contención que hicimos. Lo podríamos poner tal cual haciendo los cambios mencionados, sin embargo puede ser redundante. En este caso diremos que «La demostración de este caso es análoga a la anterior», que significa: para hacer esta demostración tendríamos un razonamiento muy parecido a la anterior sin ningún modificación interesante, pues seguiríamos los mismos pasos. Muchas veces verás este tipo de oraciones en demostraciones, siendo una herramienta para ahorrar palabras y no ser redundante, pues el razonamiento para hacer alguna demostración (en este caso la segunda contención), sigue un razonamiento casi idéntico a algo ya hecho (en este caso la primera contención).

De esta manera, al ser esta contención análoga a la anterior, $Y \cap X \subset X \cap Y$

$\square$

Proposición. La intersección es asociativa, es decir $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$.

Demostración. Podríamos hacer esta demostración como la anterior donde hicimos la conmutatividad, sin embargo emplearemos otro razonamiento en donde cada uno de los pasos es válido. Para ello nota que queremos demostrar que $$X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z$$ y que $$(X \cap Y) \cap Z = X \cap (Y \cap Z)$$. Y para esto debemos de demostrar que $$\big( x \in X \cap (Y \cap Z) \big) \Leftrightarrow \big(x \in (X \cap Y) \cap Z\big).$$

Ahora nota que

\begin{align*}
x \in X \cap (Y \cap Z)& \Leftrightarrow (x \in X) \land \big((x \in Y)\land(x \in Z) \big)\\
& \Leftrightarrow \big((x \in X) \land (x \in Y)\big) \land (x \in Z) \ \ \ (\text{Por la asociatividad de la disyunción}) \\
& \Leftrightarrow x \in (X \cap Y) \cap Z \\
\end{align*}

De esta manera hicimos una cadena de equivalencias lógicas válidas, empezamos con un elemento en el conjunto $X \cap (Y \cap Z)$ y demostramos que ese elemento estaba en $(X \cap Y) \cap Z$ y viceversa. Esto lo hicimos con el conocimiento que ya sabíamos, y como antes ya habíamos demostrado que la disyunción es asociativa, entonces cada paso lógico es válido y con esto demostramos la igualdad entre conjuntos.

$\square$

Unión

Ahora en vez de fijarnos en donde dos conjuntos se intersectan, pensemos en cuando dos conjuntos se unen. Para esto, considera el siguiente ejemplo. Digamos que $X = \{ 1,2,3,4,5\}$ y $Y = \{4, 5,6,7 \}$ son conjuntos de números enteros.

Los conjuntos $X,Y$ son los siguientes:

El siguiente paso es construir el conjunto que tiene como elementos a los elementos de ambos conjuntos ¿Recuerdas el axioma 4? Este nos hablaba de un conjunto que contiene a todos los elementos que son elementos del mismo conjunto. Suena confuso pero este axioma junto al axioma 3 justifican la existencia de este conjunto. Veamos como lo podemos construir:

Por el axioma 3, existe el conjunto $\{X,Y\}$, es decir que existe el conjunto $A = \{\{1,2,3,4,5\}\{4,5,6,7\}\}$.

Después, como existe este conjunto $A$, por el axioma 4, existe un conjunto cuyos elementos son elementos que pertenecen a elementos de $\{X,Y\}$, entonces para dicho conjunto que llamaremos $X \cup Y$, sus elementos son $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\}$$.

Entonces el conjunto unión de $X$ y $Y$ $X \cup Y = \{1,2,3,4,5,6,7\}$, pues es el conjunto que contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.

Definición. El conjunto unión de dos conjuntos $X,Y$ es el conjunto: $$X \cup Y = \{x: x \in X \lor x \in Y\} $$

De manera gráfica, podemos ver la unión como:

Ahora enunciaremos las proposiciones que demostramos para la intersección, pero ahora usando la unión:

Proposición. La unión es conmutativa.

Demostración. Considera a $X$ y $Y$ dos conjuntos, entonces

\begin{align*}
x \in X \cup Y & \Leftrightarrow (x \in X) \lor (x \in Y)\\
& \Leftrightarrow (x \in Y) \lor (x \in X) \ \ \ (\text{Por la conmutatividad de la conjunción}) \\
& \Leftrightarrow x \in Y \cup X
\end{align*}

$\square$

Proposición. La unión es asociativa.

Para esta última no daremos demostración, sin embargo es una demotración parecida a su contraparte de la intersección.

Una vez que hemos establecido estas dos operaciones, solo falta una más por revisar ahora. Si la intersección es la disyunción y la unión es la conjunción, la siguiente que definiremos es la negación.

Complemento de conjuntos

Cuando estemos hablando de conjuntos, muchas veces estaremos dentro de un contexto de conjuntos, o un Conjunto universal, dentro del cual siempre estaremos trabajando. Por ejemplo, si estamos en cálculo de una variable, todos los conjuntos o casi todos sobre los que estemos trabajando serán conjuntos de números reales. Nota ahora que cuando estuvimos dando los ejemplos de conjuntos paraexplicar la unión y la intersección, decíamos que $X,Y$ eran conjuntos de números enteros. Es decir, estábamos acordando que nuestro conjunto universal eran los números enteros $\mathbb{Z}$.

Muchas veces el contexto sobre el conjunto universal sobre el que estamos trabajando no será especificado y se puede inferir, pues si estamos trabajando por ejemplo con números reales, no es posible que un conjunto tenga números complejos, por ejemplo.

Ahora con esto acordado, vamos a ver que cualquier conjunto $X$ en un conjunto universal $U$ se puede escribir de la siguiente manera: $$ X = \{x \in U: x \in X\}.$$

Es decir, podemos escribir al conjunto $X$ como los elementos del conjunto universal que están en $X$. Así, definiremos el complemento de $X$ o $X^c$ como: $$X^c = \{x \in U:x \not \in X\}. $$

Definición. Sea $X$ un conjunto sobre el conjunto universal $U$, entonces definimos el complemento de $X$ como $$X^c = \{x \in U: x\not \in X\}^* $$

Por ejemplo, considera $X = \{2,4,6,8,10\}$ al conjunto de los números pares dentro del conjunto de los números enteros del 1 al 10. Entonces en este caso $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y su complemento es $X^c = \{1,3,5,7,9\}$.

Gráficamente, podemos ver al complemento como:

Algunas de las cosas que podemos decir del complemento son:

Proposición. Sea $X$ un conjuntos dentro del conjunto universal $U$. Entonces:

$X \cup X^c = U$
$U^c = \emptyset$

Demostración.

Esta proposición nos quiere decir que un conjunto junto al complemento «llenan» todo el espacio. Para esto, nota que
\begin{align*}
x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\
& \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\}
\end{align*}
Ahora nota que $P(x): x \in X \lor x \not \in X$ es una tautología, es decir, cualquier elemento de $U$ cumple dicha definición, así,
\begin{align*}
x \in X^c \cup X & \Leftrightarrow x \in X^c \lor x \in X \\
& \Leftrightarrow x \in \{x \in U : x \in X \lor x \not \in X\}\\
& \Leftrightarrow x \in U
\end{align*}
Nota primero que ya hemos dicho que $\emptyset$ es subconjunto de cualquier conjunto, así se tiene la contención $\emptyset \subset U$. Para la otra contención, supón que no sucede que $U \subset \emptyset$. Entonces se tiene que existe un elemento $x\in U$ que cumple:$$ x\in \{x \in U: x \not \in U\}. $$ Donde se tendría que $x \in U \land x \not \in U$, lo cual es imposible. Entonces $U \subset \emptyset$. De esta manera se tiene la igualdad entre conjuntos.

$\square$

Nota

*: En la literatura, también puedes encontrar escrito el complemento de un conjunto $A$ escrito como $\bar A$ en lugar de $A^c$

Más adelante…

Ahora ya hemos visto tres operaciones básicas en la teoría de conjuntos, junto a la definición del conjunto universal, que recuerda: no siempre verás implícitamente y puede ser un conjunto que dependa del contexto. En la siguiente entrada veremos dos operaciones más que se pueden definir en términos de las que vimos ahora, así como otras propiedades de las operaciones.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Sea $N = \{1,2,3,4,6,9,10,15,20,30\}$ y $X = \{x \in \mathbb{Z}: x= 2n, n \in N \}$, encuentra:
- $X \cap N$
- $X \cup N$
Demuestra que la unión es asociativa.
Demuestra que la unión de subconjuntos de un conjunto $X$ siempre está contenida en $X$.
Demuestra que si $Y \subset X $ y $Z \subset X$ entonces $Y \cup Z \subset X$
Demuestra que si $X \subset Y$ son dos conjuntos, entonces:
- $X \cap Y = X$
- $X \cup Y = Y$
Demuestra que:
- $X^c \cap X^c = \emptyset$
- $\emptyset^c = U$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»