Álgebra Superior I: Demostraciones por reducción al absurdo

Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. Cada una es independiente de la otra, y para su explicación, se usa el siguiente diagrama de un mundo imaginario llamado el mundo de los Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Introducción

Ya hemos empezado a ver algunas estrategias para empezar a demostrar cosas. Ahora veremos una siguiente que es muy común de encontrar, en esta vamos a empezar con una proposición que queremos demostrar, y para hacerlo, supondremos que no es cierta. Puede sonarte que es un poco extraño, pero en esta entrada revisaremos de qué forma esta suposición nos ayudará.

La contradicción

Puede que en tu vida hayas escuchado la palabra contradicción usada en alguno u otro contexto. Podemos decir por ejemplo que una persona se contradice a sí misma cuando dice que es alérgica al camarón después de haberse comido un coctél de camarón. Esto suena poco convincente, ¿no? Pues al decir que alguien es alérgico al camarón sabemos que no puede comer camarón, al mismo tiempo que vemos a la persona haciéndolo. Esta idea va a ser similar en las matemáticas. Pero recuerda que aquí estamos en el lenguaje de las proposiciones.

Definición. Una contradicción es una proposición matemática de la forma $(Q \land \neg Q)$.

Ahora observa la siguiente regla de inferencia:

\begin{array}{rl}
Q \\
\neg Q \\
\hline
\therefore R.
\end{array}

Se puede probar que esta es una inferencia válida. Analiza un poco la regla y piensa: ¿Esto qué significa? Pues observa que en ningún momento aparece el término $R$ en las premisas y sin embargo es una conclusión. En pocas palabras, esto nos quiere decir «De una contradicción puede suceder lo que sea». Es decir, si llegamos a una contradicción, ya nada tiene sentido, pues cualquier cosa sería cierta. Si cambiamos $R$ por «La luna es de queso», podemos concluirlo de una contradicción, y esto no tiene sentido. Es por eso que si en algún momento en las matemáticas llegamos a una contradicción, es que algo está raro. Bajo esta idea funcionará la reducción al absurdo.

Demostración por contradicción

Como hemos dicho en el párrafo anterior, para esta estrategia usaremos la contradicción. Como de esta podríamos llegar a la conclusión de que cualquier proposición es cierta, lo cual no pasa. Entonces la estrategia general en probar una proposición $P$ por reducción al absurdo (o contradicción) es la siguiente:

  1. Suponemos que $P$ es falsa.
  2. Mediante una serie de pasos lógicos exploramos las consecuencias de que $P$ sea falsa.
  3. Llegamos a una contradicción.

En matemáticas las contradicciones nos dicen que hay algo raro, pues sabemos que una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez (recuerda que esto es una contradicción). Entonces el error que hicimos fue suponer que $P$ era falsa, y como no es falsa, tiene que ser verdadera. Veamos un ejemplo para que quede más claro.

Otra forma en que te puedas imaginar la reducción al absurdo es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}.$$

Pues esto nos dice que suponiendo primero que $P$ es verdad y llegando mediante una serie de pasos lógicos que pasa $Q$ y $\neg Q$, entonces es porque en primer lugar $P$ no es verdadera. Piénsalo como mejor te acomodes.

Proposición. Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia.

Demostración. Vamos a hacer esta prueba por contradicción. Como dijimos antes, las pruebas por contradicción se basan en que para demostrar una proposición $P$, se empieza suponiendo $\neg P$, y a partir de ahí ver las consecuencias de este hecho para llegar a una contradicción. Ahora veamos la traducción de esto a nuestra proposición.

$$P = \text{Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia,}$$

$$\neg P = \text{Los Blurgs comen con cinco o más días de diferencia}$$.

Entonces empecemos con $ \neg P$ y veamos qué obtenemos. Ahora, sabemos que $Q =\text {Los blurgs comen los lunes}$ y que $S = \text {Los blurgs comen los viernes}$. Estamos suponiendo que los Blurgs comen con al menos cinco días de diferencia, entonces como $Q$ es verdad, los Blurgs comen los lunes, y eso significaría que no comen los cuatro días siguientes: martes, miércoles jueves y viernes. Lo que significa que $R = \text {Los Blurgs no comen los viernes}$. ¿Eso no es una contradicción? Pues resulta que sí, ya que $\neg S = T$. Lo que quiere decir que a partir de suponer $\neg P$ llegamos a que $S$ es verdad (es un Axioma o costumbre que tienen los Blorgs) ya que estamos diciendo que los Blurgs comen y no comen los viernes. Nuestro error fue suponer que $P$ no era cierta, por lo tanto tiene que ser cierta $P$.

$\square$

Algunos ejemplos famosos de demostraciones por contradicción.

Ahorita estamos y seguiremos hablando del mundo de los blorgs, pero para acercárte un poco más a los ejemplos de estrategias usadas, aquí unos ejemplos en las matemáticas que usan la contradicción para demostrar proposiciones, para fines de este curso no necesitas saber demostrar estas proposiciones, únicamente son ejemplos que podrías checar para entender mejor cómo se utiliza esta estrategia:

  • La demostración de que el $0$ es el único neutro aditivo en los números reales (es el único número que al sumarlo a otro número resulta el mismo otro número) utiliza esta estrategia, pues supone que el $0$ no es único. Puedes checar la demostración aquí.
  • En geometría euclideana, existen criterios para decir si dos triángulos son congruentes (son el «mismo» triángulo salvo quizá la reflexión y rotación, es decir hay una forma de rotarlo o reflejarlo para notar que se trata del «mismo» triángulo). Uno de estos se llama el criterio LLA que nos dice que si dos triángulos tienen dos lados que miden lo mismo y comparten un ángulo entonces son congruentes. Una técnica para demostrar esto es con reducción a lo absurdo y supone que el dos lados son iguales junto a un ángulo pero los lados restantes de cada triángulo son distintos. Puedes checar la demostración aquí.

Tarea moral

  1. Prueba que $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}$$ es una regla de inferencia válida.
  2. Prueba que
    \begin{array}{rl}
    Q \\
    \neg Q \\
    \hline
    \therefore R
    \end{array}.
    Es una regla de inferencia válida.
  3. Prueba por contradicción que los blargs no respiran aire.
  4. Prueba por contradicción que los blergs son vegetarianos.

Más adelante…

La siguiente más que estrategia, caso de demostración va a ser cuando tengamos conectores. Estas son las que en las proposiciones a demostrar hay conectores lógicos. Ya hemos visto algunos de estos ejemplos y ahora profundizaremos un poco más en su estructura.

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