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Álgebra Superior I: Demostraciones por reducción al absurdo

Esta entrada es parte de una serie de notas introductorias sobre técnicas de demostración. Cada una es independiente de la otra, y para su explicación, se usa el siguiente diagrama de un mundo imaginario llamado el mundo de los Blorgs. Para leer más sobre ello, haz click aquí.

Introducción

Ya hemos empezado a ver algunas estrategias para empezar a demostrar cosas. Ahora veremos una siguiente que es muy común de encontrar, en esta vamos a empezar con una proposición que queremos demostrar, y para hacerlo, supondremos que no es cierta. Puede sonarte que es un poco extraño, pero en esta entrada revisaremos de qué forma esta suposición nos ayudará.

La contradicción

Puede que en tu vida hayas escuchado la palabra contradicción usada en alguno u otro contexto. Podemos decir por ejemplo que una persona se contradice a sí misma cuando dice que es alérgica al camarón después de haberse comido un coctél de camarón. Esto suena poco convincente, ¿no? Pues al decir que alguien es alérgico al camarón sabemos que no puede comer camarón, al mismo tiempo que vemos a la persona haciéndolo. Esta idea va a ser similar en las matemáticas. Pero recuerda que aquí estamos en el lenguaje de las proposiciones.

Definición. Una contradicción es una proposición matemática de la forma $(Q \land \neg Q)$.

Ahora observa la siguiente regla de inferencia:

\begin{array}{rl}
Q \\
\neg Q \\
\hline
\therefore R.
\end{array}

Se puede probar que esta es una inferencia válida. Analiza un poco la regla y piensa: ¿Esto qué significa? Pues observa que en ningún momento aparece el término $R$ en las premisas y sin embargo es una conclusión. En pocas palabras, esto nos quiere decir “De una contradicción puede suceder lo que sea”. Es decir, si llegamos a una contradicción, ya nada tiene sentido, pues cualquier cosa sería cierta. Si cambiamos $R$ por “La luna es de queso”, podemos concluirlo de una contradicción, y esto no tiene sentido. Es por eso que si en algún momento en las matemáticas llegamos a una contradicción, es que algo está raro. Bajo esta idea funcionará la reducción al absurdo.

Demostración por contradicción

Como hemos dicho en el párrafo anterior, para esta estrategia usaremos la contradicción. Como de esta podríamos llegar a la conclusión de que cualquier proposición es cierta, lo cual no pasa. Entonces la estrategia general en probar una proposición $P$ por reducción al absurdo (o contradicción) es la siguiente:

  1. Suponemos que $P$ es falsa.
  2. Mediante una serie de pasos lógicos exploramos las consecuencias de que $P$ sea falsa.
  3. Llegamos a una contradicción.

En matemáticas las contradicciones nos dicen que hay algo raro, pues sabemos que una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez (recuerda que esto es una contradicción). Entonces el error que hicimos fue suponer que $P$ era falsa, y como no es falsa, tiene que ser verdadera. Veamos un ejemplo para que quede más claro.

Otra forma en que te puedas imaginar la reducción al absurdo es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}.$$

Pues esto nos dice que suponiendo primero que $P$ es verdad y llegando mediante una serie de pasos lógicos que pasa $Q$ y $\neg Q$, entonces es porque en primer lugar $P$ no es verdadera. Piénsalo como mejor te acomodes.

Proposición. Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia.

Demostración. Vamos a hacer esta prueba por contradicción. Como dijimos antes, las pruebas por contradicción se basan en que para demostrar una proposición $P$, se empieza suponiendo $\neg P$, y a partir de ahí ver las consecuencias de este hecho para llegar a una contradicción. Ahora veamos la traducción de esto a nuestra proposición.

$$P = \text{Los Blurgs comen a lo más con cuatro días de diferencia,}$$

$$\neg P = \text{Los Blurgs comen con cinco o más días de diferencia}$$.

Entonces empecemos con $ \neg P$ y veamos qué obtenemos. Ahora, sabemos que $Q =\text {Los blurgs comen los lunes}$ y que $S = \text {Los blurgs comen los viernes}$. Estamos suponiendo que los Blurgs comen con al menos cinco días de diferencia, entonces como $Q$ es verdad, los Blurgs comen los lunes, y eso significaría que no comen los cuatro días siguientes: martes, miércoles jueves y viernes. Lo que significa que $R = \text {Los Blurgs no comen los viernes}$. ¿Eso no es una contradicción? Pues resulta que sí, ya que $\neg S = T$. Lo que quiere decir que a partir de suponer $\neg P$ llegamos a que $S$ es verdad (es un Axioma o costumbre que tienen los Blorgs) ya que estamos diciendo que los Blurgs comen y no comen los viernes. Nuestro error fue suponer que $P$ no era cierta, por lo tanto tiene que ser cierta $P$.

$\square$

Algunos ejemplos famosos de demostraciones por contradicción.

Ahorita estamos y seguiremos hablando del mundo de los blorgs, pero para acercárte un poco más a los ejemplos de estrategias usadas, aquí unos ejemplos en las matemáticas que usan la contradicción para demostrar proposiciones, para fines de este curso no necesitas saber demostrar estas proposiciones, únicamente son ejemplos que podrías checar para entender mejor cómo se utiliza esta estrategia:

  • La demostración de que el $0$ es el único neutro aditivo en los números reales (es el único número que al sumarlo a otro número resulta el mismo otro número) utiliza esta estrategia, pues supone que el $0$ no es único. Puedes checar la demostración aquí.
  • En geometría euclideana, existen criterios para decir si dos triángulos son congruentes (son el “mismo” triángulo salvo quizá la reflexión y rotación, es decir hay una forma de rotarlo o reflejarlo para notar que se trata del “mismo” triángulo). Uno de estos se llama el criterio LLA que nos dice que si dos triángulos tienen dos lados que miden lo mismo y comparten un ángulo entonces son congruentes. Una técnica para demostrar esto es con reducción a lo absurdo y supone que el dos lados son iguales junto a un ángulo pero los lados restantes de cada triángulo son distintos. Puedes checar la demostración aquí.

Tarea moral

  1. Prueba que $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow (Q \land \neg Q) \\ \hline \therefore & \neg P \end{array}$$ es una regla de inferencia válida.
  2. Prueba que
    \begin{array}{rl}
    Q \\
    \neg Q \\
    \hline
    \therefore R
    \end{array}.
    Es una regla de inferencia válida.
  3. Prueba por contradicción que los blargs no respiran aire.
  4. Prueba por contradicción que los blergs son vegetarianos.

Más adelante…

La siguiente más que estrategia, caso de demostración va a ser cuando tengamos conectores. Estas son las que en las proposiciones a demostrar hay conectores lógicos. Ya hemos visto algunos de estos ejemplos y ahora profundizaremos un poco más en su estructura.

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Álgebra Superior I: Demostraciones matemáticas (El mundo de los Blorg)

Introducción

Esta entrada es parte de una serie de notas sobre demostra

Antes de empezar a encontrarnos con lo que son las demostraciones matemáticas, vamos a empezar con un pequeño mundo, este es un lugar que estaremos visitando a lo largo de varias entradas, así que será bueno que pongas atención.

El mundo de los Blorgs

Antes de que pienses que te equivocaste de entrada y veas un pequeño cuento, déjame decirte que todo está relacionado. Solo que antes de continuar vamos a conocer a los Blorgs, después verás cómo se relaciona todo.

Imagina por un momento el mundo de los Blorgs, es un mundo paralelo al nuestro que se puede encontrar en aquel mundo que existe más allá de lo que la esquina del espejo deja ver. Es un lugar que se parece un poco al piso sobre el que estamos, despierta con casi los mismos tonos del alba por la mañana pero con algunas cosas distintas. Para empezar estamos hablando de un mundo en el que habitan mayoritariamente criaturas llamadas Blorgs. Aquellos que alguna vez los vieron, comentan que curiosamente son pequeñas criaturas parecidas a los conejos. Y con algunas otras descripciones en mente, podríamos empezar a clasificar los Blorgs de acuerdo a distintas características como por ejemplo su dieta, su rutina, dónde viven, etc. Pero se decidió que era mejor clasificarlos según su color, y aquí es donde las cosas se ponen interesantes. Por un lado están los Blergs, estos son las criaturas rojas que viven por las montañas. Después podemos considerar a los Blargs que son aquellos Blorgs amarillos y viven debajo del mar, no son muy sociales pero es lo que hay. Finalmente están los Blurgs que son azules y prefieren vivir en el bosque. Entonces podemos dividir a los Blorgs en sus razas: Blergs, Blargs y Blurgs. Algo importante que tenemos que decir también: Ningún blorg tiene más de un color.

Quizá sean de color distinto y vivan en lugares diferentes, pero esto no les impide tener algunas cosas en común. Por ejemplo, todos los Blurgs comen pescados, pues tienen un lago cerca de su bosque, y al ser los Blargs marinos, también comen peces. El hecho de haber vivido tanto tiempo en terreno alto, hizo que los Blergs prefieran cultivar sus cosechas: Frutos dulces y verduras siempre comen. Por alguna razón, será costumbre o creencia, todos los Blorgs comen solamente los lunes, es decir, que cada criatura come una vez a la semana, eso les ha ayudado a no depender tanto de la comida en el día a día. Aunque aquí es donde los Blurgs no coinciden: ellos no esperan tanto y también comen algo los viernes.

La vida siendo Blorg

Tristemente, los Blargs no pueden salir del mar, pues a pesar de ser Blorgs, el salir del agua les despinta lo amarillo y les quita fuerza es por esto que casi no hablan con sus contrapartes terrestres. Por otro lado los Blerg y los Blurg se llevan muy bien, los Blurgs comparten la madera que tienen con los Blergs y los Blergs comparten los cultivos que hacen con los Blurgs. No está de más decir que todos los Blergs son amigos de los Blurgs. Esto hace que los Blargs se sientan más ajenos a ellos, pues aunque sí se llevan con los Blurgs, prefieren juntarse con los delfines que viven junto a ellos, son amistosos con los Blargs y siempre están dispuestos a negociar peces a cambio de paseos a lo largo del mar. Pero nadie se queja, así es la vida siendo un Blorg.

De esta manera, podemos resumir la información que sabemos de los Blorgs en el siguiente diagrama:

Una diferencia que podemos saber de los Blorgs es que ellos le llaman al lugar en donde viven “Axios” y dentro de ella, no hacen diferencia entre lo que es una característica o costumbre, ellos no tienen una palabra para cada una de ellas, ellos en su lugar usan la palabra “Axioma“* (¿recuerdas qué significa esta palabra?). Esto quiere decir que para los Blargs, ser amarillos es un axioma, al igual que para ellos hablar con delfines o comer peces es un axioma.

Así que es natural poder hacer conclusiones a partir de estos Axiomas. Por ejemplo: ¿Qué opinarías si te digo que todos los Blorgs comen peces? ¿O si te digo que todos los Blorgs que viven en montañas comen los lunes? Pues quizá puedas dar respuesta a estas preguntas intuitivamente. Pero ¿Cómo es que nos aseguramos que la respuesta es correcta o no? En Axios no basta con decir que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes. Los Blorgs no entienden la intuición, pero nosotros sí. A ellos hay que convencerlos con demostraciones, a ellos tenemos que explicarles mediante lógica el porqué una proposición sucede. Es decir que si queremos afirmar que todos los Blorgs que viven en las montañas comen los lunes, tenemos que decir paso a paso el porqué es así. Y esto lo lograremos mediante reglas de inferencia válidas. Vamos a anotar esto que acabamos de dcir como una definición (¿recuerdas qué era una definición?):

Definición: Una demostración matemática es el uso de pasos lógicos usando reglas de inferencia válidas para llegar de una hipótesis a una conclusión.

La intuición con inferencia

Para introducir un poco más qué van a ser las demostraciones en las matemáticas, vamos a pensar en Legos, aquellos pequeños bloques que encajan unos con otros con los que se pueden armar lo que se te ocurra. Y piensa a las reglas de inferencia como las instrucciones para armar algo.

Ahora imagina que queremos armar un escritorio hecho de estas piezas. Entonces primero tendríamos que armar las patas y después la mesa. Entonces las reglas de inferencia nos van a ayudar diciéndonos: Las patas hay que acomodarlas de cierta manera junto a la mesa para que se haga una mesa. Y una vez construido el escritorio, ahora podríamos querer ponerlo en un cuarto junto a una cama y una lámpara. Entonces usaremos otras reglas de inferencia para crear la cama y otras para la lámpara, juntando las tres partes (escritorio, cama y lámpara) tendríamos hecho un cuarto. Entonces si quisiéramos “demostrar” cómo se hace un cuarto con estas piezas de lego, tendríamos que explicar cómo se hace la lámpara, cómo se hace la cama y cómo la lámpara. Esto es lo que haremos en matemáticas: construir cosas dando las instrucciones adecuadas. Incluso podríamos ir más allá: Una vez que sabemos cómo construir un cuarto, podríamos también demostrar cómo se hace una cocina y un baño. Entonces si tuviéramos ese conocimiento de cómo se hacen estos tres, podríamos construir una casa. Y después sabiendo cómo se construyen casas, podríamos crear ciudades y países enteros. Pero como todo: un paso a la vez.

Armando piezas con los Blorgs

Nuestras piezas de lego con los Blorgs van a ser los axiomas. Ahora si le dijeramos a un Blorg que los Blorgs amarillos comen peces, no nos creerían, deberíamos darles una demostración de esto:

Proposición. Los Blorgs amarillos comen peces.

Demostración. Para empezar, vamos a notar que es una proposición del tipo “Si $x$ es un blorg amarillo entonces $x$ come peces”. Esto es lo que queremos demostrar, entonces vamos a ir armando las piezas de lego poco a poco con los axiomas que ya sabíamos:

  • Usaremos que todos los Blorgs amarillos son Blargs. Es decir “si $x$ es un blorg amarillo, entonces $x$ es un blarg”
  • Usaremos que todos los Blargs comen peces. Es decir “si $x$ es un blarg, entonces $x$ come peces”

En las demostraciones vamos a ir usando cosas que ya conocemos (en este caso los axiomas) para poder ir aplicando pasos lógicos y reglas de inferencia para llegar a la conclusión deseada. Entonces como queremos ver que todos los Blorgs amarillos comen peces, entonces resulta natural “agarrar” un blorg amarillo y ver que ese blorg come peces (si pasa con un blorg amarillo, pasará para todos los Blorgs amarillos pues todos nuestros pasos lógicos aplicarán para todos los Blorgs amarillos). Así que empecemos considerando a $x$ un blorg amarillo. Sabemos que r “si $x$ es un blorg amarillo, entonces $x$ es un blarg” entonces como nuestro $x$ es un blorg amarillo, entonces es un blarg.

Ahora, sabemos que nuestra $x$ es un blarg, pero además sabemos que “si $x$ es un blarg, entonces $x$ come peces” entonces tambien nuestro blarg come peces. Por lo tanto los Blorgs amarillos comen peces.

$\square$

¿Viste cómo es que hicimos la demostración? Si consideramos

$ P(x) : x$ es blorg amarillo,

$ Q(x) : x$ es blarg,

$ R(x) : x$ come peces,

entonces realmente lo que hicimos fue usar la siguiente regla de inferencia válida:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}.$$

En este caso solo usamos esta regla de inferencia, pero más adelante veremos cómo se pueden usar otras y distintas reglas de inferencia. Apenas estamos empezando este tema, así que si aún tienes muchas dudas, no te preocupes y vuelve a leer la demostración si es necesario.

Notas

Estas son algunas anotaciones del artículo y no es necesario que las sepas, únicamente son curiosidades o temas por aparte que forman parte de cultura matemática

* Esta palabra viene del griego ἀξίωμα que significa “lo que se considera justo” y de hecho viene de la palabra ἄξιος (áxios) que significa “valioso” y en la antigua grecia se consideraban aquellas cosas que parecían evidentes y no hacía falta justificar.

Tarea moral

  1. ¿Qué necesita un blorg para comer peces y ser amigo de los delfines?
  2. ¿Es posible que un blorg coma peces y frutos?
  3. ¿Qué argumentos lógicos podrías usar para demostrar que todo blorg rojo come los lunes?
  4. Verifica que

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

es una regla de inferencia válida.

Más adelante…

Apenas estamos empezando a explicar qué son estas “demostraciones”. En el mundo de la matemática no hay algo como el recetario de las demostraciones, pero hay ideas o formas de pensar los problemas que te servirán para tener una idea de por dónde empezar a pensar a la hora de demostrar. Así que en las siguientes entradas vamos a ver algunas de estas “formas” de pensar los problemas y lo haremos con ayuda de los Blorgs.

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