Introducción

Antes de entrar de lleno a lo que será una parte importante en tu carrera en las matemáticas, vamos a establecer algunas definiciones que nos permiten aterrizar un poco la idea de usar una serie de proposiciones para ‘demostrar’ otras cosas. En esta entrada veremos algo llamado inferencias matemáticas.

La implicación para deducir verdades

Pensemos un momento en las siguientes dos expresiones:

$$P \qquad P\Rightarrow Q,.$$

¿Qué sucedería si acordamos o sabemos por cualquier razón, que $P$ es verdadera y que $P\Rightarrow Q$ es verdadera? Entonces, debe pasar forzosamente que $Q$ debe ser verdadera. En efecto, esto podemos verificarlo en una tabla de verdad:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

El único renglón en donde $P$ es $1$ y $P\Rightarrow Q$ es $1$ es el cuarto renglón, en el cual en efecto $Q$ es $1$. De la veracidad de $P$ y $P\Rightarrow Q$ se obtiene la veracidad de $Q$. Esto es muy importante, pues nos dice que de $P$ y de $P\Rightarrow Q$ se puede deducir $Q$.

Pensemos ahora en la siguiente fórmula proposicional:

$$(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $$

Por lo que entendemos del $\Rightarrow$ de la derecha, estamos diciendo algo similar a lo que pusimos arriba: «$P$ y $P\Rightarrow Q$ implican $Q$». Abajo haremos una conexión más explícita.

Por el momento, puedes tomar el siguiente ejemplo. Imagina que sabes que las siguientes dos cosas son ciertas simultáneamente:

• Si $n$ es un entero impar, entonces $n+1$ es un entero par.
• $n$ es un entero impar.

¿Qué podrías concluir a partir de la veracidad de estas dos oraciones? Que $n+1$ es un entero par. Más concretamente, imagina por un momento que no sabes si 8 es impar o par, pero que sí sabemos la veracidad de la primera oración de arriba y que $7$ es impar. Esta información es suficiente para saber que 8 es par, ¿No lo crees?

Inferencias matemáticas: premisas y conclusiones

Lo que hicimos en el ejemplo de la sección anterior fue tomar dos proposiciones $P\Rightarrow Q$ y $Q$ y que acordamos/sabemos que simultánteamente eran verdaderas. A partir de las veracidades de ellas, logramos concluir la veracidad de otra proposición $P$. Nuestro argumento de que «la veracidad de las premisas hizo que la conclusión fuera verdadera» fue a través de la tabla de verdad. Decimos que usamos una inferencia matemática o una regla de inferencia.

Más formalmente, una regla de inferencia está conformada por unas premisas $P_1, P_2,\ldots, P_n$, que son usualmente fórmulas proposicionales en ciertas variables proposicionales que estamos usando; y una conclusión $Q$ que también es una fórmula proposicional. La regla de inferencia es entonces la fórmula proposicional

$$( P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q.$$

La forma en que escribiremos las reglas de inferencia es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P_1\\&P_2\\ & \vdots \\ &P_n\\ \hline \therefore & Q\end{array}$$

El símbolo $\therefore$ se lee «por lo tanto».

Hasta aquí hemos definido qué es una regla de inferencia. Pero hay reglas de inferencia válidas y otras que no lo son. Es decir, hay algunas inferencias matemáticas que son válidas: a partir de la veracidad de las premisas se puede obtener la veracidad de la conclusión (como en el ejemplo que discutimos en la sección anterior). Y hay otras que no, que son inválidas. Es decir, son inferencias matemáticas en las que aunque las premisas sean verdaderas, no podemos concluir nada de la veracidad de la conclusión. ¿Cómo saber cuáles reglas de inferencia son válidas y cuáles no?

Volvamos de nuevo a nuestro ejemplo. Las premisas en este caso son $P$ y $P \Rightarrow Q$ y la conclusión es $Q$. Ahora veamos la tabla de verdad de la regla de inferencia $(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $:

$P$	$Q$	$P \Rightarrow Q$	$P \land (P \Rightarrow Q)$	$(P \land (P \Rightarrow Q)) \Rightarrow Q $
$0$	$0$	0	0	1
$0$	$1$	0	0	1
$1$	$0$	1	0	1
$1$	$1$	1	1	1

¿Notas algo peculiar? ¡Pues resulta que la regla de inferencia que dijimos es una tatuología!

En el caso en donde una regla de inferencia sea una tautología, diremos que es una regla de inferencia válida .

Los ingredientes de la validez

Ahora que tenemos las partes de las inferencias matemáticas, veamos un poco su comportamiento para ver cuándo en efecto es verdadera. Esto a la vez nos ayudará a entender la noción de «de la veracidad de las premisas sale la veracidad de la conclusión».

Supongamos que tenemos una regla de inferencia

$$ (P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q $$

y queremos ver si es válida, pero no queremos hacer todos los renglones de la tabla de verdad. Podemos ahorrarnos mucho trabajo como sigue.

En el lado izquierdo tenemos la conjunción $P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$. Si alguna de las premisas fuera falsa, esta conjunción sería falsa. Pero entonces la implicación $\text{Lado izquierdo}\Rightarrow Q$ sería verdadera (recuerda que en las implicaciones si el lado izquierdo es falso, la implicación es verdadera). Así, todos los renglones de la tabla de verdad donde alguna premisa sea falsa, tendremos gratuitamente que la regla de inferencia es verdadera.

Nos quedan los casos en los que todas las premisas son verdaderas. En ellos, tenemos que ver que la conclusión $Q$ también es verdadera. Así, para ver que la regla de inferencia es válida, basta ver que «en aquellos casos que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es».

Y al revés también se vale. Imagina que sabes que la regla de inferencia es válida y que sabes la veracidad de todas las premisas. Entonces, la conjunción $P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$ es verdadera y, así, forzosamente $Q$ es verdadera. En resumen:

«Si una regla de inferencia es válida (es una tautología), y sus premisas son verdaderas, entonces la conclusión es verdadera. Y viceversa, una regla de inferencia es válida cuando hemos visto que en todas las situaciones que las premisas son verdaderas, la conclusión también».

Algunos ejemplos sencillos de inferencias matemáticas válidas

A continuación vamos a ver algunos ejemplos de algunas inferencias matemáticas válidas.

La regla de inferencia válida más simple que se nos puede ocurrir es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

En donde básicamente estamos diciendo que si tenemos la premisa $P$ entonces va a pasar $P$, lo cual es muy fácil de verificar incluso platicado. Para ver que esta inferencia es válida, necesitamos que $P\Rightarrow P$ sea una tautología. Si $P$ es verdadero, la implicación es verdadera. Si $P$ es falso, la implicación (al tener su antecedente falso), es verdadera.

Veamos otro ejemplo. Considera que tenemos como premisas a $P$ y $Q$ y como conclusión a $P\land Q$. En este caso tendríamos la regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P\\ & Q\\ \hline \therefore & P \land Q \end{array}$$

Esto claramente es válido, pues la proposición $(P \land Q) \Rightarrow (P \land Q)$ siempre es cierta.

Nota que para que una regla de inferencia no sea válida, se tenga que tener ‘un caso’ en que las premisas sean ciertas y la conclusión no. Por ejemplo, considera la siguiente regla de inferencia que nos diría algo así como que «de cualquier cosa $P$ podemos deducir cualquier cosa $Q$»:

$$ \begin{array}{rl} & P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Esta regla de inferencia no es válida (¡qué bueno!). La razón es que la implicación $P\Rightarrow Q$ no es una tautología. Para ver esto, notemos que si $P$ es verdadero y $Q$ es falso, entonces $P\Rightarrow Q$ es falso.

Un ejemplo más complicado de inferencia válida

Ahora hagamos un ejemplo más elaborado, en el que aprovecharemos lo que platicamos sobre «pensar que las premisas son verdaderas». Imaginemos que queremos pensar que la siguiente inferencia es válida:

$$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ & Q\Rightarrow S \\ &(R\land S) \Rightarrow T \\ & P \\ \hline \therefore & T.\end{array}$$

Si alguna premisa fuera falsa, entonces el antecedente de la conjunción de las premisas es falso, y así la implicación de la inferencia sería verdadera: en los casos en los que alguna premisa es falsa, entonces no hay nada que hacer. Así, pensemos, ¿qué pasa si todas las premisas son verdaderas?

Como $P$ es verdadera y $P\Rightarrow Q$ es verdadera, entonces $Q$ es verdadera. Pero ahora, sabiendo que $Q$ es verdadera y $Q\Rightarrow R$ es verdadera, entonces $R$ es verdadera. De manera similar, $S$ es verdadera.

Como tenemos que $R$ y $S$ son verdaderas, entonces $R\land S$ es verdadera. Y como también $(R\land S) \Rightarrow T$ es verdadera, entonces $T$ es verdadera. ¡Hemos logrado el objetivo! A partir de la veracidad de las premisas llegamos a la veracidad de $T$. ¡Yay! Entonces al suponer que todas nuestras premisas fueron verdaderas, y aplicando un poco de «lógica» llegamos a que nuestra conclusión es verdadera.

Un poco de esto se va a tratar la matemática que sigue. A partir de ahora vamos a empezar a usar esta forma de pensar, estamos rascando la fibra de la matemática y con ello empieza el viaje hacia un bosque lleno de distintas áreas, desde el álgebra y el cálculo, pasando por la geometría y la probabilidad. Todas ellas llevan la capa de la matemática porque partirán de un tronco común que nosotros estamos sentando en estas entradas. Dentro de poco verás cómo todo esto se relaciona al quehacer matemático.

Más adelante…

Acabamos de establecer uno de los cimientos sobre el cuál se sustenta el pensamiento deductivo: realizar inferencias matemáticas. Es como pensaremos de ahora en adelante. No te preocupes si aún no puedes expresar bien la lógica detrás de las reglas de inferencia o sus trucos. Esto apenas comienza, pues en las siguientes entradas relacionaremos lo visto ahora con los bloques que construirán a la matemática: las demostraciones. Y por ahí conocerás un cuento que te introducirá a esta idea.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

1. Prueba que $P \Rightarrow P$ es una regla de inferencia válida.
2. Verifica que las siguientes reglas de inferencia son válidas con tablas de verdad:

• $$ \begin{array}{rl} & \neg P \Rightarrow \neg Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & \neg Q \end{array}$$

• $$ \begin{array}{rl} & P \lor Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Ahora haz lo mismo pero da un razonamiento «deductivo» (supón que todas las premisas y explica por qué la conclusión es cierta) de porqué es válida la siguiente regla de inferencia:

• $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

3. Revisa la Tabla de reglas de inferencia en la página de Wikipedia para conocer más reglas de inferencia válidas. Muestra que en efecto son reglas de inferencia válidas haciendo las tablas que verifiquen la tautología requerida.
4. Cuando estamos viendo si una regla de inferencia es válida, podemos «ir agregando cosas verdaderas que vayamos deduciendo a las premisas» y usarlas a su vez para seguir deduciendo nuevas cosas. El objetivo de este ejercicio es que demuestres esto. Muestra que si $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow Q$ es una inferencia válida y $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \land Q \Rightarrow R$ es una inferencia válida, entonces $P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow R$ es una inferencia válida. En otras palabras, ¡prueba que la siguiente inferencia es válida!
   $$ \begin{array}{rl} & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow Q\\ & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \land Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P_1 \land P_2 \land \ldots \land P_n \Rightarrow R. \end{array}$$

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»