Álgebra Superior I: Inferencias Matemáticas

Introducción

Antes de entrar de lleno a lo que será una parte importante en tu carrera en las matemáticas, vamos a establecer algunas definiciones que nos permiten aterrizar un poco la idea de usar una serie de proposiciones para ‘demostrar’ otras cosas. En esta entrada veremos algo llamado inferencias matemáticas.

La implicación

Pensemos un momento en la siguiente proposición:

$$((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P $$

Lo que nos quiere decir en términos sencillos es «Si sucede que $Q$ implica $P$» y sucede $Q$ entonces sucede $P$, es como decir «Si $n$ es impar entonces $n+1$ es par y además sabemos que $n$ es impar» ¿Qué podrías decir entonces? Por un lado sabes que si $n$ es impar entonces $n+1$ es par, pero aún no sabes nada sobre si $n$ es impar o no, pero la siguiente parte del enunciado, te dice que en efecto, $n$ es impar. Entonces podríamos concluir con estas dos premisas, que $n+1$ es par. Imagina por un momento que no sabes si 8 es impar o par. Entonces tú sabes que 7 es impar, y además sabes que siempre después de un número impar viene uno par, con esta información es suficiente para saber que 8 es par, ¿No lo crees?

Lo que hicimos en este ejemplo fue agarrar dos proposiciones: $P\Rightarrow Q$, $Q$ a las que les llamaremos Premisas y dijimos que si se cumplían ambas, entonces también se cumplía $P$ que en este caso le llamaremos Conclusión.

Premisas y Conclusiones

Esto no es otra cosa que las llamadas reglas de inferencia y estas se forman con proposiciones $P_1,P_2,\dots,P_n$ a las que se les nombra premisas, junto a una proposición $R$ llamada conclusión. Y se le llama regla de inferencia a la siguiente proposición:

$$( P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow R $$

La forma en que escribiremos las reglas de inferencia es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P_1\\&P_2\\ & \vdots \\ &P_n\\ \hline \therefore & R\ \text{(Por lo tanto R)} \end{array}$$

Volvamos de nuevo a nuestro ejemplo. Las premisas en este caso son $Q$ y $Q \Rightarrow P$ y la conclusión es $P$. Ahora veamos la tabla de verdad de la regla de inferencia $((Q \Rightarrow P) \land Q) \Rightarrow P $:

$P$$Q$$Q \Rightarrow P$$Q \Rightarrow P \land Q$$(Q \Rightarrow P \land Q) \Rightarrow P$
$0$$0$ 1 0
$0$$1$ 0 0 1
$1$$0$ 1 0 1
$1$$1$ 1 1

¿Notas algo peculiar? ¡Pues resulta que la regla de inferencia que dijimos es una tatuología! (Y sí, reciclamos las tablas de verdad de la entrada donde introdujimos el concepto tautología). En el caso en donde una regla de inferencia sea una tautología, diremos que es una regla de inferencia válida .

Los ingredientes de la validez

Ahora que tenemos las partes de la inferencia, veamos un poco su comportamiento. Supongamos que tenemos la regla de inferencia válida

$$ (P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n) \Rightarrow Q $$

Sabemos que como es una regla válida, siempre va a ser una tautología. Por un lado tenemos a las premisas $P_1,P_2,\dots P_n$, y estas van a entrar a la regla de inferencia unidas mediante la disyunción :$P_1 \land P_2 \land \dots \land P_n$. Con que una de estas premisas sea falsa, entonces nuestra conclusión ya falla, pues no podríamos decir con seguridad que la conclusión sea válida. Entonces para poder decir que $Q$ se cumple, necesitamos que todas y cada una de las premisas se cumpla.

Algunos ejemplos de inferencias

A continuación vamos a ver algunos ejemplos de algunas reglas de inferencias válidas.

La regla de inferencia válida más simple que se nos puede ocurrir es la siguiente:

$$ \begin{array}{rl}& P\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

En donde básicamente estamos diciendo que si tenemos la premisa $P$ entonces va a pasar $P$, lo cual es muy fácil de verificar.

Ahora considera el caso en donde tenemos las premisas $P$ y $Q$ y la conclusión es $P\land Q$. En este caso tendríamos la regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P\\ & Q\\ \hline \therefore & P \land Q \end{array}$$

Esto claramente es válido, pues la proposición $(P \land Q) \Rightarrow (P \land Q)$ siempre es cierta.

Nota que para que una regla de inferencia no sea válida, se tenga que tener ‘un caso’ en que las premisas sean ciertas y la conclusión no. Por ejemplo, considera la siguiente regla de inferencia:

$$ \begin{array}{rl} & P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

La premisa $P$ puede ser cierta, pero nada nos asegura que $Q$ pase, ya que puede ser cierta o falsa, entonces esta no es una premisa válida. Piensa esto como: ¿Qué pasaría si todas y cada una de las premisas fuera cierta? Entonces ¿podría verificar que la conclusión es cierta?

Retomemos de nuevo el ejemplo con el que empezamos el tema:

$$ \begin{array}{rl} & Q \Rightarrow P \\ & Q\\ \hline \therefore & P \end{array}$$

Y ahora, piensa: ¿Qué pasaría si todas mis premisas fueran ciertas? Entonces sabríamos que pasa $Q$, y anotamos mentalmente que «$Q$ es verdadero». Pero además $Q \Rightarrow P$ también es verdad. Y como tenemos que $Q$ es verdad, entonces $P$ también es verdad. Y justo esta es la conclusión a la que queríamos llegar ¡Yay! Entonces al suponer que todas nuestras premisas fueron verdaderas, y aplicando un poco de «lógica» llegamos a que nuestra conclusión es verdadera. Un poco de esto se va a tratar la matemática que sigue. A partir de ahora vamos a empezar a usar esta forma de pensar, estamos rascando la fibra de la matemática y con ello empieza el viaje hacia un bosque lleno de distintas áreas, desde el álgebra y el cálculo, pasando por la geometría y la probabilidad. Todas ellas llevan la capa de la matemática porque partirán de un tronco común que nosotros estamos sentando en estas hojas. No en muchas entradas verás cómo todo esto se relaciona al quehacer matemático.

Tarea moral

  1. Prueba que $P \Rightarrow P$ es una regla de inferencia válida.
  2. Verifica que las siguientes reglas de inferencia son válidas con tablas de verdad:
  • $$ \begin{array}{rl} & \neg P \Rightarrow \neg Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & \neg Q \end{array}$$
  • $$ \begin{array}{rl} & P \lor Q \\ & \neg P \\ \hline \therefore & Q \end{array}$$

Ahora haz lo mismo pero da un razonamiento «deductivo» (supón que todas las premisas y explica por qué la conclusión es cierta) de porqué es válida la siguiente regla de inferencia:

  • $$ \begin{array}{rl} & P \Rightarrow Q \\ & Q \Rightarrow R \\ \hline \therefore & P \Rightarrow R \end{array}$$

Más adelante…

Acabamos de establecer la base para uno de los cimientos sobre el cuál se sustenta la idea de «matemáticas» que es justo la forma en que pensaremos de ahora en adelante. No te preocupes si aún no puedes expresar bien la lógica detrás de las reglas de inferencia o sus trucos. Esto apenas comienza, pues en las siguientes entradas relacionaremos lo visto ahora con los bloques que construirán a la matemática: las demostraciones. Y por ahí conocerás antes una historia que te introducirán a esta idea.

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