Introducción
En esta entrada comenzaremos revisando las propiedades básicas de los números reales relacionadas con las operaciones suma y multiplicación. Daremos un vistazo a los resultados derivados de ellas.
Propiedades básicas de los números reales
A continuación enlistaremos una serie de propiedades que cumplen respectivamente la suma y la multiplicación en el conjunto de números reales $\mathbb{R}$.
Definición (Propiedades básicas): Consideremos $\mathbb{R}$ y las operaciones suma ($+$) y multiplicación ($\cdot$) se cumple que:
S1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b \in \mathbb{R}$ (Cerradura de la suma)
S2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b = b+a$ (Conmutatividad de la suma)
S3.- Para cualesquiera $a,b,c\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a + (b+c) = (a+b)+c$ (Asociatividad de la suma)
S4.- Existe $0\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$ :
$a + 0 =0+a=a$ (Neutro aditivo)
S5.- Para cualquier $a\in \mathbb{R}$ existe $-a\in \mathbb{R}$ tal que:
$a + (-a) = (-a)+ a = 0$ (Inverso aditivo)
M1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b \in \mathbb{R}$ (Cerradura de la multiplicación)
M2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b = b\cdot a$ (Conmutatividad de la multiplicación)
M3.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a \cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ (Asociatividad de la multiplicación)
M4.- Existe $1\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$:
$a \cdot 1 = 1\cdot a=a$ (Neutro multiplicativo)
M5.- Para cualquier $a \in \mathbb{R}$ con $a\neq 0$, existe $a^{-1} \in \r$ tal que:
$a \cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$ (Inverso multiplicativo)
A.- $1\neq 0$ (El neutro aditivo es distinto del neutro multiplicativo)
D.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$ (Ley distributiva)
Esta lista de propiedades serán nuestras «reglas del juego» con las cuales iremos probando los siguientes resultados. Aconsejamos tenerla disponible ya que haremos referencia a ella en todas las demostraciones siguientes.
Primeras observaciones
Proposición: Los neutros e inversos son únicos en $\mathbb{R}$. Es decir:
- $0$ es único
- $1$ es único
- Para todo $a \in\mathbb{R}$, $-a$ es único
- Para todo $a \in\mathbb{R}$, $a^{-1}$ es único
En esta ocasión demostraremos sólo los puntos 1 y 3.
Demostración punto 1: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $0$ no es único, entonces existe un $0^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + 0^{*} = a$
Y como $ a + 0 = a$ $$\Rightarrow a + 0 = a + 0^{*}$$
Así tenemos que:
\begin{align}
&\Rightarrow (-a) + (a + 0) = (-a) + (a + 0^{*})\\
&\Rightarrow ((-a )+ a) + 0 = ((-a )+ a) + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 + 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0^{*}\\
\end{align}
En $(1)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(2)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(3)$. Aplicando S4 para $0 +0$ en $(4)$. Volvemos a aplicamos S4 para $0 +0^{*}$ en $(5)$.
$\therefore 0$ es único.
Demostración punto 3: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $-a$ no es único, entonces existe un $-a^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + (-a^{*}) = 0$
Y como $ a + (-a) = 0$ $$\Rightarrow a + (-a) = a + (-a^{*})$$
Así tenemos que:
\begin{align}
& \Rightarrow (-a) + (a + (-a)) = (-a) + a + (-a^{*})\\
& \Rightarrow ((-a )+ a) + (-a) = ((-a )+ a) + (-a^{*})\\
& \Rightarrow 0 + (-a) = 0 +(-a^{*})\\
&\Rightarrow -a = – a ^{*}\\
\end{align}
En $(6)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(7)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(8)$. Aplicando S4 en ambos lados en $(9)$.
$\therefore -a$ es único.
$\square$
Algunos resultados
Proposición: Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:
- $a \cdot 0 = 0$
- $-a = (-1)(a)$
- $-(-a) = a$
- $(-a)(b)= – (ab)$
- $(-a)(-b)= ab$
Nota: Escribiremos $ab$ para referirnos al producto $a \cdot b$.
Demostración:
1. $P.d.$ $a \cdot 0 = 0$
Comencemos con el lado izquierdo de la igualdad:
\begin{align*}
a \cdot 0 = a \cdot (0+0) &\Rightarrow a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\tag{por S4 y D}\\
&\Rightarrow a \cdot 0 + (-a\cdot 0) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por sumar $-a\cdot 0$}\\
&\Rightarrow 0 = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0))\tag{por S3}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + 0\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0\tag{por S4} \\
\end{align*}
$$\therefore a \cdot 0 = 0$$
2. $P.d.$ $-a = (-1)(a)$
Observemos que si probamos que $a + ((-1)(a)) =0$ implicaría que $(-1)(a)$ es el inverso aditivo de $a$ que por lo visto anteriormente sabemos es único.
Así a partir del lado izquierdo de la igualdad tenemos:
\begin{align*}
a + ((-1)(a)) &= a\cdot 1 + ((-1)(a))\tag{por M4}\\
&= a\cdot 1 + (a)(-1)\tag{por M2}\\
&= a (1+(-1))\tag{por D}\\
&= a\cdot 0\tag{por S5}\\
&= 0\tag{por 1.}
\end{align*}
Por lo que ya tenemos $a + ((-1)(a))=0$ . Y como ya probamos que el inverso aditivo es único concluimos $$-a = (-1)(a)$$.
3. $P.d.$ $-(-a) = a$
Vemos que si probáramos que $-(-a)$ es el inverso aditivo de $-a$ terminaríamos.
\begin{align*}
(-a)+(-(-a)) &= (-a)\cdot 1 + (-1)(-a)\tag{por M4 y 2.}\\
&= (-a)\cdot 1 + (-a)(-1)\tag{por M2}\\
&= (-a)(1+(-1)\tag{por D}\\
&=(-a)(0)\tag{por S5}\\
&=0\tag{por 2.}\\
\end{align*}
Así obtenemos que: $$(-a)+(-(-a)) =0 \Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= 0+a$$.
Por lo anterior se sigue que:
\begin{align*}
&\Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= a\tag{por S4}\\
&\Rightarrow ((-(-a))+(-a))+a =a\tag{por S2}\\
&\Rightarrow (-(-a))+((-a)+a)=a\tag{por S3}\\
&\Rightarrow (-(-a))+ 0=a\tag{por S5}\\
&\Rightarrow -(-a)=a\tag{por S4}
\end{align*}
$$\therefore -(-a)=a$$
$\square$
El resto de los incisos se dejarán como ejercicios en la Tarea moral. Recuerda que para realizarlos puedes hacer uso de todos los resultados probados en esta entrada, a menos que se indique lo contrario.
Tarea moral
Demuestra las siguientes propiedades.:
- $1$ es único en $\RR$.
- Para todo $a \in\mathbb{R}$, $a^{-1}$ es único.
- Sin usar el resultado $-(-a) = a$, demuestra que $-(-1) = 1$.
Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:
- $(-a)(b)= – (ab)$
- $(-a)(-b)= ab$
Más adelante
En la siguiente entrada continuaremos viendo resultados derivados de las propiedades de la suma y la multiplicación de los números reales por lo que nuestra primer lista será de suma utilidad.