Introducción
El desarrollo del cálculo está basado en gran medida en el sistema de números reales. Los reales son aquellos que pueden ser expresados haciendo uso de decimales, como:
\begin{align*}
\frac{3}{4}&=0.75\\
\frac{1}{3}&=0.3333 \dots\\
\end{align*}
donde los puntos $\dots$ indican que la sucesión de decimales continúa expandiéndose para siempre. De este modo cada expansión decimal que nos podamos imaginar representa un número real.
Geométricamente los números reales pueden ser representados como puntos sobre una línea recta, la denominada recta real.
Sus propiedades se encuentran divididas en tres categorías: algebraicas, de orden y de completitud. En esta entrada comenzaremos revisando las propiedades algebraicas básicas relacionadas con las operaciones suma y multiplicación. Daremos un vistazo a los resultados derivados de ellas.
Propiedades básicas de los números reales
A continuación enlistaremos una serie de propiedades que cumplen respectivamente la suma y la multiplicación en el conjunto de números reales $\mathbb{R}$.
Definición (Propiedades básicas): Consideremos $\mathbb{R}$ y las operaciones suma $(+)$ y multiplicación $(\cdot)$, se cumple que:
S1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b \in \mathbb{R}$ (Cerradura de la suma)
S2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a+b = b+a$ (Conmutatividad de la suma)
S3.- Para cualesquiera $a,b,c\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a + (b+c) = (a+b)+c$ (Asociatividad de la suma)
S4.- Existe $0\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$ :
$a + 0 =0+a=a$ (Neutro aditivo)
S5.- Para cualquier $a\in \mathbb{R}$ existe $-a\in \mathbb{R}$ tal que:
$a + (-a) = (-a)+ a = 0$ (Inverso aditivo)
M1.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b \in \mathbb{R}$ (Cerradura de la multiplicación)
M2.- Para cualesquiera $a,b\in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot b = b\cdot a$ (Conmutatividad de la multiplicación)
M3.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a \cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ (Asociatividad de la multiplicación)
M4.- Existe $1\in \mathbb{R}$ tal que para cualquier $a\in \mathbb{R}$:
$a \cdot 1 = 1\cdot a=a$ (Neutro multiplicativo)
M5.- Para cualquier $a \in \mathbb{R}$ con $a\neq 0$, existe $a^{-1} \in \r$ tal que:
$a \cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$ (Inverso multiplicativo)
A.- $1\neq 0$ (El neutro aditivo es distinto del neutro multiplicativo)
D.- Para cualesquiera $a,b,c \in \mathbb{R}$ se cumple que:
$a\cdot (b+c) = a \cdot b + a\cdot c$ (Ley distributiva)
Esta lista de propiedades serán nuestras «reglas del juego» con las cuales iremos probando los siguientes resultados. Aconsejamos tenerla disponible ya que haremos referencia a ella en todas las demostraciones siguientes.
Primeras observaciones
Proposición: Los neutros e inversos son únicos en $\mathbb{R}$. Es decir:
- $0$ es único
- $1$ es único
- Para todo $a \in\mathbb{R}$, $-a$ es único
- Para todo $a \in\mathbb{R}$ y $a \neq 0$, $a^{-1}$ es único
En esta ocasión demostraremos sólo los puntos 1 y 3.
Demostración punto 1: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $0$ no es único, entonces existe un $0^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + 0^{*} = a$
Y como $ a + 0 = a$ $$\Rightarrow a + 0 = a + 0^{*}$$
Así tenemos que:
\begin{align}
&\Rightarrow (-a) + (a + 0) = (-a) + (a + 0^{*})\\
&\Rightarrow ((-a )+ a) + 0 = ((-a )+ a) + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 + 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0 + 0^{*}\\
&\Rightarrow 0 = 0^{*}\\
\end{align}
En $(1)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(2)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(3)$. Aplicando S4 para $0 +0$ en $(4)$. Volvemos a aplicamos S4 para $0 +0^{*}$ en $(5)$.
$\therefore 0$ es único.
Demostración punto 3: Sea $a \in \mathbb{R}$. Supongamos que el $-a$ no es único, entonces existe un $-a^{*} \in \mathbb{R}$ tal que cumple lo siguiente: $a + (-a^{*}) = 0$
Y como $ a + (-a) = 0$ $$\Rightarrow a + (-a) = a + (-a^{*})$$
Así tenemos que:
\begin{align}
& \Rightarrow (-a) + (a + (-a)) = (-a) + a + (-a^{*})\\
& \Rightarrow ((-a )+ a) + (-a) = ((-a )+ a) + (-a^{*})\\
& \Rightarrow 0 + (-a) = 0 +(-a^{*})\\
&\Rightarrow -a = – a ^{*}\\
\end{align}
En $(6)$ sumamos $-a$ en ambos lados de la igualdad. Para $(7)$ aplicamos S3. Por la propiedad S5 en ambos lados de la igualdad se sigue $(8)$. Aplicando S4 en ambos lados en $(9)$.
$\therefore -a$ es único.
$\square$
Algunos resultados
Proposición: Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:
- $a \cdot 0 = 0$
- $-a = (-1)(a)$
- $-(-a) = a$
- $(-a)(b)= – (ab)$
- $(-a)(-b)= ab$
Nota: Escribiremos $ab$ para referirnos al producto $a \cdot b$.
Demostración:
1. $P.d.$ $a \cdot 0 = 0$
Comencemos con el lado izquierdo de la igualdad:
\begin{align*}
a \cdot 0 = a \cdot (0+0) &\Rightarrow a \cdot 0 = a \cdot 0 + a \cdot 0\tag{por S4 y D}\\
&\Rightarrow a \cdot 0 + (-a\cdot 0) = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por sumar $-a\cdot 0$}\\
&\Rightarrow 0 = (a \cdot 0 + a \cdot 0) + (-a \cdot 0)\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + (a \cdot 0 + (-a \cdot 0))\tag{por S3}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0 + 0\tag{por S5}\\
&\Rightarrow 0 = a \cdot 0\tag{por S4} \\
\end{align*}
$$\therefore a \cdot 0 = 0$$
2. $P.d.$ $-a = (-1)(a)$
Observemos que si probamos que $a + ((-1)(a)) =0$ implicaría que $(-1)(a)$ es el inverso aditivo de $a$ que por lo visto anteriormente sabemos es único.
Así a partir del lado izquierdo de la igualdad tenemos:
\begin{align*}
a + ((-1)(a)) &= a\cdot 1 + ((-1)(a))\tag{por M4}\\
&= a\cdot 1 + (a)(-1)\tag{por M2}\\
&= a (1+(-1))\tag{por D}\\
&= a\cdot 0\tag{por S5}\\
&= 0\tag{por 1.}
\end{align*}
Por lo que ya tenemos $a + ((-1)(a))=0$ . Y como ya probamos que el inverso aditivo es único concluimos $$-a = (-1)(a)$$.
3. $P.d.$ $-(-a) = a$
Vemos que si probáramos que $-(-a)$ es el inverso aditivo de $-a$ terminaríamos.
\begin{align*}
(-a)+(-(-a)) &= (-a)\cdot 1 + (-1)(-a)\tag{por M4 y 2.}\\
&= (-a)\cdot 1 + (-a)(-1)\tag{por M2}\\
&= (-a)(1+(-1)\tag{por D}\\
&=(-a)(0)\tag{por S5}\\
&=0\tag{por 2.}\\
\end{align*}
Así obtenemos que: $$(-a)+(-(-a)) =0 \Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= 0+a$$.
Por lo anterior se sigue que:
\begin{align*}
&\Rightarrow ((-a)+(-(-a)))+a= a\tag{por S4}\\
&\Rightarrow ((-(-a))+(-a))+a =a\tag{por S2}\\
&\Rightarrow (-(-a))+((-a)+a)=a\tag{por S3}\\
&\Rightarrow (-(-a))+ 0=a\tag{por S5}\\
&\Rightarrow -(-a)=a\tag{por S4}
\end{align*}
$$\therefore -(-a)=a$$
$\square$
El resto de los incisos se dejarán como ejercicios en la Tarea moral. Recuerda que para realizarlos puedes hacer uso de todos los resultados probados en esta entrada, a menos que se indique lo contrario.
Tarea moral
Demuestra las siguientes propiedades:
- $1$ es único en $\RR$.
- Para todo $a \in\mathbb{R}$ y $a \neq 0$, $a^{-1}$ es único.
- Sin usar el resultado $-(-a) = a$, demuestra que $-(-1) = 1$.
Para $a,b \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente:
- $(-a)(b)= – (ab)$
- $(-a)(-b)= ab$
Más adelante
En la siguiente entrada continuaremos viendo resultados derivados de las propiedades de la suma y la multiplicación de los números reales por lo que nuestra primera lista será de suma utilidad.
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