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Variable Compleja I: El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Al estudiar matemáticas un concepto que no puede pasar desapercibido es el del infinito. Intuitivamente cuando pensamos en el infinito estamos considerando a algo que no tiene fin, algo sin límites. Aunque dicho concepto aparece en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo, el análisis, la geometría, la teoría de conjuntos, entre otras, es claro que la idea que tenemos sobre él es equivalente entre todas estas ramas y su importancia radica en que nos permite entender y describir mejor alguna problemática puntual. Por ejemplo cuando queremos hablar sobre el comportamiento de una sucesión conforme está crece cada vez más y más hacemos uso del límite al infinito de nuestra variable, o cuando hablamos de la cardinalidad de un conjunto que tiene una cantidad de elementos numerable, intuitivamente pensamos en que dicho conjunto tiene una infinidad de elementos.

Lo anterior no es la excepción al estudiar Variable Compleja. Dado que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ no puede ordenarse bajo la relación de ser positivo, la idea de que un número complejo $z = a + ib$ crezca o decrezca no tiene sentido. Sin embargo podemos preguntarnos en qué sucede con su módulo $|\,z\,|$, ya que conforme crece $|\,z\,|$ de manera arbitraria tendremos que el número complejo $z$ se alejará más del origen. Entonces, al pensar en que $z \rightarrow \infty$ no tendremos que distinguir entre las direcciones de los ejes, sino simplemente recordar que estamos pensando en que el módulo $|\,z\,|$ crece sin límite a lo largo de los ejes real e imaginario, por lo que la notación $|\,z\,| \rightarrow \infty$ será lo mismo que $a^2+b^2 \rightarrow \infty$.

En su momento veremos que es necesario estudiar funciones de variable compleja para las que el módulo de la variable crezca de manera arbitraria, por lo que resulta conveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al infinito, denotado por $\infty$.

Definición 11.1. (El plano complejo extendido.)
Se define al plano complejo extendido como el conjunto dotado con el punto $z_\infty=\infty$ como: \begin{equation*}
\mathbb{C}_{\infty} := \mathbb{C}\cup \{\infty\}.
\end{equation*}

Observación 11.1.
Es claro que en el plano complejo $\mathbb{C}$ no existe un lugar destinado para el punto al infinito. Sin embargo, ¿qué pasa con aquellos puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z\,|>\frac{1}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon>0$ suficientemente pequeño? El punto al infinito nos permite responder esta pregunta, ya que a los puntos con dicha propiedad los podemos pensar como un $\varepsilon$-vecindario del punto al infinito.

Primeramente debemos establecer las siguientes reglas aritméticas para poder operar con este nuevo punto del plano complejo extendido: \begin{align*}
z \pm \infty = \infty \pm z = \infty, \quad \forall z \in \mathbb{C}.\\
z \cdot \infty = \infty \cdot z = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{0} = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{\infty} = 0, \quad \text{si}\,\,\, z \neq \infty.\
\end{align*}

Un módelo que nos permite representar al plano complejo extendido es la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$, cuyo centro es el punto $(0,0,1)$, situada sobre el plano complejo $\mathbb{C}$, figura 52, es decir el conjunto: \begin{equation*}
\mathbb{S} = \{ (x,y,u) \in \mathbb{R}^3 \, : \, x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1 \},
\end{equation*} dotada con los puntos $N=(0,0,2)$, llamado el polo norte o el punto al infinito y $O=(0,0,0)$ llamado el polo sur o el origen. A dicho modelo se le denomina la esfera de Riemann.

Es posible identificar a $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ con el plano complejo si consideramos a $\mathbb{C}$ como el plano: \begin{equation*}
\Pi = \{(a,b,0)\in\mathbb{R}^3 \, : \, a,b \in \mathbb{R}\}, \tag{11.1}
\end{equation*} y al punto $N$ con el punto al infinito.

Figura 52: La esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dada por $x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1$, y el plano complejo $\mathbb{C}$, dado por (11.1), relacionados mediante la proyección estereográfica.

De acuerdo con la gráfica, tenemos que un número complejo $z=a+ib$ con un módulo demasiado grande se aleja del origen $(0,0,0)$ conforme el punto $P=(x_0,y_0,u_0)$ está más cerca del punto al infinito $N$.

Notemos que si trazamos una recta desde $N$ hasta el número complejo $z=a+ib$ en el plano complejo, al cual le corresponde el punto $(a,b,0)$ en $\mathbb{R}^3$, entonces existe un único punto $P=(x_0, y_0, u_0)$ en la esfera de Riemann tal que pertenece a dicha recta. Por otra parte, para un punto $P=(x_0, y_0, u_0)\in\mathbb{S}$, distinto de $N$, es posible extender el segmento de recta que une a $N$ con dicho punto $P$ hasta intersecar al plano complejo $\mathbb{C}$ en un único punto $z=a+ib$, figura 52.

Lo anterior nos deja ver que existe una relación biunívoca entre $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ y $\mathbb{C}$, pensado como el plano (11.1), descrita a continuación.

Podemos escribir a la recta que pasa por los puntos $N=(0,0,2)$ y $P=(x_0,y_0,u_0)$ en su forma paramétrica como:
\begin{equation*}
N + (P-N)t, \quad t\in\mathbb{R}.
\tag{11.2} \end{equation*} Dado que la recta (11.2) interseca al plano $\mathbb{C}$, dado por (11.1), en el número complejo $z=a+ib$, es decir el punto $(a,b,0)$, entonces se tiene que para algún $t\in\mathbb{R}$: \begin{align*}
(a,b,0) &= N + (P-N)t\\
& = (tx_0,ty_0, 2 + t(u_0-2)).
\end{align*} De lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*}
a = t x_0,\tag{11.3.1} \\
b = t y_0,\tag{11.3.2} \\
2(t-1) = t u_0. \tag{11.3.3}
\end{align*} Además de (11.3.3) es claro que: \begin{equation*}
t = \frac{2}{2-u_0}. \tag{11.3.4}
\end{equation*} Sustituyendo (11.3.4) en (11.3.1) y (11.3.2) tenemos: \begin{align*}
a = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b = \frac{2y_0}{2-u_0}. \tag{11.4}
\end{align*}

Por otra parte, sabemos que $P=(x_0,y_0,u_0) \in \mathbb{S}$, por lo que satisface: \begin{equation*}
x_0^2 + y_0^2 + (u_0 – 1)^2 = 1.
\end{equation*}

Multiplicando ésta última expresión por $t^2$ obtenemos: \begin{align*}(tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0 -t)^2 = t^2\\
\\
\Longrightarrow \quad (tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0)^2 = 2t^2 u_0. \tag{11.5.1} \end{align*}

Dado que $z=a+ib\in\mathbb{C}$, sabemos que $|\,z\,|^2 = a^2 + b^2 $, por lo que sustituyendo (11.3.1), (11.3.2) y (11.3.3) en (11.5.1) tenemos:
\begin{align*}
a^2 + b^2 + 4(t-1)^2 = 4t(t-1).\\
\\
\Longrightarrow \quad t = \frac{|\,z\,|^2 + 4}{4}\tag{11.5.2}
\end{align*}

De (11.3.1), (11.3.2), (11.3.3) y (11.5.2) se sigue que: \begin{align*}
x_0 = \frac{a}{t} = \frac{4a}{|\,z\,|^2 + 4},\\
y_0 = \frac{b}{t} = \frac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \tag{11.6}
\end{align*} \begin{equation*}
u_0 = \frac{2(t-1)}{t} = \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}.
\end{equation*}

Esta forma de asociar o hacer corresponder a los putos $z$ de $\mathbb{C}$ con la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dotada con $N=(0,0,2)$ y $O=(0,0,0)$, se le conoce como la proyección estereográfica.

Definición 11.2. (La proyección estereográfica.)
Definimos a la proyección estereográfica como la función $\varphi:\mathbb{S} \to \mathbb{C}_{\infty}$ tal que para $P=(x,y,u)\in \mathbb{S}$: \begin{equation*}
\varphi(P) = \left\{\begin{array}{lcc}
\infty, & \text{si} & P=N=(0,0,2),\\
\\ z= a+ib, & \text{si} & P \neq N,
\end{array}
\right.
\end{equation*} donde $z=a+ib\in\mathbb{C}$ representa al punto $(a,b,0)$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $a = \dfrac{2x}{2-u}$, $b=\dfrac{2y}{2-u}$.

Proposición 11.1.
Sea $\mathbb{S}^* = \mathbb{S}\setminus{N}$. La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre $(\mathbb{S}^*,d_{\mathbb{R}^3})$ y $(\mathbb{C},d)$, donde $d_{\mathbb{R}^3}$ es la distancia usual de $\mathbb{R}^3$ y $d$ la métrica euclidiana en $\mathbb{C}$.

Demostración. Veamos que está función es biyectiva. Es claro que si $P,Q\in\mathbb{S}^*$, entonces para algún $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ se tiene:
\begin{align*}
\varphi(P) = \varphi(Q) \quad & \Longrightarrow \quad z_1 = z_2\\
& \Longrightarrow \quad \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \operatorname{Im}(z_1) =\operatorname{Im}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \, \text{y} \,\, |\,z_1\,| = |\,z_2\,|. \end{align*} Por lo que $P=Q$, entonces $\varphi$ es inyectiva.

Consideremos a $z=a+ib \in\mathbb{C}$, notemos que si $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}^*$, con $x_0$, $y_0$ y $u_0$ dados como en (11.6) entonces: \begin{align*}
\varphi(P) & = \varphi\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}, \frac{4b}{|\,z\,|^2+4}, \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}\right)\\
& = \frac{2\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}} + i\, \frac{2\left(\frac{4b}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}}\\
& = a + ib\\
& = z.
\end{align*} Por lo tanto, como $z\in\mathbb{C}$ era arbitrario se sigue que para todo número complejo $z$ existe un punto $P\in\mathbb{S}^*$ tal que $\varphi(P) = z$. Por lo tanto $\varphi$ es sobreyectiva.

Dado que la proyección estereográfica es una función biyectiva, entonces existe la función inversa de $\varphi$, digamos $\varphi^{-1}$, la cual es una función que va de $\mathbb{C}_\infty$ a $\mathbb{S}$ tal que para $z\in\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*}
\varphi^{-1}(z) = \left\{\begin{array}{lll}
N=(0,0,2), & \text{si} & z = \infty,\\
P= \left( \dfrac{4a}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}\right), & \text{si} & z = a+ib \in\mathbb{C}.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Considerando las ecuaciones que definen a las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$, dadas en (11.4) y en (11.6), no es difícil verificar que ambas funciones son continuas en su respectivo dominio, por lo que se deja como ejercicio.

$\blacksquare$

Observación 11.2.
Consideremos la ecuación general de un plano, es decir: \begin{equation*}
Ax+By+Cu+D=0.
\end{equation*} Si dicho plano pasa por el centro de la esfera $\mathbb{S}$, es decir por el punto $(0,0,1)$, entonces dicho plano es de la forma: \begin{equation*}
Ax+By+C(u-1)=0. \tag{11.7}
\end{equation*} Más aún, al intersecar a la esfera $\mathbb{S}$ con un plano de la forma (11.7) se obtiene una circunferencia máxima.

Observación 11.3.
Notemos que bajo la proyección estereográfica los lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ corresponden con lugares geométricos de la esfera de Riemann $\mathbb{S}$ y viceversa. Es importante recordar que no existe un punto en el plano complejo destinado para el punto al infinito, sin embargo no es difícil observar de manera geométrica que líneas longitudinales que pasan por el polo norte $N$, como el meridiano 0 o meridiano de Greenwich, corresponden con rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen $z=0$. Por otra parte, en la esfera de Riemann las líneas de latitud, como el ecuador, corresponden con circunferencias en el plano complejo $\mathbb{C}$ centradas en el origen $z=0$, mientras que una circunferencia arbitraria en la esfera de Riemann, que no pase por el polo norte $N$, corresponde con una circunferencia en el plano complejo $\mathbb{C}$. No debe ser difícil notar que conforme el radio de las circunferencias tiende a infinito, las líneas de latitud en la esfera tienden al polo norte $N$ que corresponde con el punto al infinito.

Figura 53: La proyección estereográfica manda circunferencias que pasan por el polo norte en rectas.

Figura 54: La proyección estereográfica manda circunferencias que no pasan por el polo norte en circunferencias.

Proposición 11.2.
Bajo la proyección esterográfica, circunferencias en la esfera de Riemann, $\mathbb{S}$, corresponden con circunferencias o rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$, figuras 53 y 54.

Demostración. Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Observación 11.4.
De nuestros cursos de Geometría Analítica y Cálculo sabemos que una trayectoria o camino en $\mathbb{R}^n$ es una función continua $\gamma:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}^n$, y al conjunto $\Gamma = \{ \gamma(t) \, : \, t\in(c,d)\}$ lo llamamos la curva descrita por $\gamma$. Además sabemos que podemos expresar a una trayectoria $\gamma$ por medio de sus funciones componentes, por ejemplo en $\mathbb{R}^3$ tenemos que $\gamma(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)$ donde $x(t),y(t),z(t)$ son funciones reales continuas llamadas las componentes de $\gamma$. Por otra parte, decimos que una curva es suave en $(c,d)$ si es diferenciable en $(c,d)$, es decir si sus funciones componentes son derivables en $(c,d)$ y sus derivadas no se anulan simultáneamente en $(c,d)$, excepto quizás en $c$ o $d$.

Observación 11.5.
Por otra parte, sabemos que el ángulo $\theta$ entre dos vectores $u,v$ en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ se puede obtener mediante: \begin{equation*}
\operatorname{cos}(\theta) = \frac{u \cdot v}{\left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert},
\end{equation*} donde «$\cdot$» representa el producto interior entre $u$ y $v$, mientras que $\left\lVert \cdot \right\rVert$ la norma de cada vector.

Dadas dos curvas suaves, descritas por $\gamma_1$ y $\gamma_2$, podemos definir el ángulo entre ellas como el ángulo que se forma entre las rectas tangentes a cada curva en un punto de intersección. Es claro que dadas dos rectas tangentes, que se intersecan entre sí, se obtienen dos ángulos distintos, digamos $\theta_1$ y $\theta_2$ cuya relación entre ellos está dada por $\theta_1 + \theta_2 = \pi$, por lo que para evitar confusión sobre cuál de los dos ángulos obtenidos se está considerando, diremos que el ángulo $\theta$ que se forma entre dos curvas suaves será tal que $\theta\in(0,\pi/2)$. Con esta consideración tenemos que $\operatorname{cos}(\theta)>0$.

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué pasa con los ángulos entre cualesquiera dos curvas suaves en el plano complejo $\mathbb{C}$ o en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$?, es decir, ¿bajo la proyección estereográfica se conserva el ángulo entre dos curvas suaves? Para responder esta pregunta primeramente podemos realizar un análisis geométrico.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo y Geometría sabemos que es posible encontrar el plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_P$. Consideremos al plano $u=2$, es decir el plano tangente a $\mathbb{S}$ en el polo norte $N$, digamos $\Pi_N$ y consideremos al plano que pasa por el centro de $\mathbb{S}$, por el polo norte $N$ y por el punto $P$, digamos $\Pi_{CNP}$. No es difícil convencerse de que la intersección de dicho plano con la esfera $\mathbb{S}$ determina una circunferencia máxima, digamos $\mathcal{C}$, además la intersección del plano $\Pi_{CNP}$ con los planos $\Pi_P$, $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ determina tres rectas, digamos $\mathcal{L}_P$, $\mathcal{L}_N$ y $\mathcal{L}_O$, la primera recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $P$ y la segunda recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $N$, mientras que la tercera recta es tangente a $\mathbb{S}$ en el origen y pasa por el punto $z_0=\varphi(P)$. Notemos que $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_N$ se intersecan en un punto $Q\in\mathbb{R}^3$ y las rectas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_O$ se intersecan en un punto $w\in\mathbb{C}$. Por otra parte la intersección de los planos $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ con el plano $\Pi_P$ determinan otras dos rectas, digamos $\mathcal{L}_Q$ y $\mathcal{L}_w$, la primera pasa por $Q$ y la segunda pasa por $w$. Por construcción es claro que la recta $\mathcal{L}_N$ pasa por el punto $Q$, figura 55.

Dada la perfecta simetría de la esfera, es fácil concluir que los planos $\Pi_N$ y $\Pi_P$ forman los mismos ángulos con la recta que pasa por $N$ y $P$, digamos $\mathcal{L}_{NP}$, y que la recta $\mathcal{L}_Q$ es perpendicular a la recta $\mathcal{L}_{NP}$. Para ver esto más claro consideremos el corte transversal hecho sobre la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Más aún, como el plano $\Pi_N$ es paralelo al plano complejo $\mathbb{C}$, es claro que los planos $\Pi_P$ y $\mathbb{C}$ forman los mismos ángulos con la recta $\mathcal{L}_{NP}$ en el punto $z_0\in\mathbb{C}$ dado por la proyección estereográfica, figura 55. De acuerdo con la figura 56 es claro que los triángulos $NQP$ y $Pwz_0$ son semejantes.

Supongamos que dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, digamos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P\neq N$. Sean $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ las respectivas rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P$ y sea $\beta$ el ángulo entre ellas, es decir $\beta\in(0,\pi/2)$.

Sin perder generalidad consideremos a la recta tangente $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto $P\in\mathbb{S}$. Es fácil convencerse que la recta tangente bajo la proyección estereográfica en el punto $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, digamos $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, está dada por la intersección de un plano que contiene a $\mathcal{L}_{2T}$ y $\mathcal{L}_{NP}$, digamos $\pi$, con el plano complejo $\mathbb{C}$. Considerando lo anterior tenemos que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_{NP}$. Más aún, dado que la intersección del plano $\Pi_P$ con $\mathbb{C}$ determina a la recta $\mathcal{L}_w$ entonces es fácil concluir que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_w$, figura 57.

Haciendo lo mismo con la recta tangente $\mathcal{L}_{1T}$ concluimos que los ángulos que forman las dos rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, es decir $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman los mismos ángulos que las rectas tangentes a las imágenes de las curvas, digamos $\varphi\left(\Gamma_1\right)$ y $\varphi\left(\Gamma_2\right)$, dadas por la proyección estereográfica en el punto de intersección $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, figura 58.

Figura 55: Intersección de los planos tangentes, $\Pi_{N}$, $\Pi_{P}$ y $\mathbb{C}$, a $\mathbb{S}$ en los puntos $N$, $P$ y $O$, con el plano $\Pi_{CNP}$.

Figura 56: Circunferencia máxima $\mathcal{C}$ dada por la intersección de la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Las líneas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_{N}$ forman los mismos ángulos con la línea $\mathcal{L}_{NP}$.

Figura 57: Rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, dadas por las intersecciones de los planos $\pi$ con $\Pi_P$ y $\pi$ con $\mathbb{C}$ respectivamente, forman los mismos ángulos con las rectas $\mathcal{L}_w$ y $\mathcal{L}_{NP}$.

Figura 58: Las rectas tangentes $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman el mismo ángulo, que sus imágenes bajo la proyección estereográfica.

Hasta ahora hemos argumentado de manera geométrica que bajo la proyección estereográfica el ángulo que se forma entre dos curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se conserva, ahora haremos una prueba analítica de esta propiedad, para ello consideremos lo siguiente.

Observación 11.6.
Notemos que para cualesquiera dos curvas suaves en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, al hablar del ángulo $\alpha$ que se forma entre ellas en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ necesitamos pensar en el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre sus rectas tangentes en dicho punto, pero ¿cómo obtenemos una recta tangente a una curva suave en un punto $P\in\mathbb{S}$? Supongamos que una curva suave en $\mathbb{S}$ está descrita por la trayectoria $\gamma:(c,d)\rightarrow\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$ cuyas funciones componentes son $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$, es decir $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$. Dado que la curva es suave en $(c,d)$ tenemos que existe $\gamma'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t)) \neq 0$ para toda $t\in(c,d)$. Considerando que la curva descrita por $\gamma$ pasa por el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}$, entonces para algún $t_0\in(c,d)$ se cumple que $\gamma(t_0) = P$, por lo que podemos determinar a la recta tangente a dicha curva en el punto $P$, digamos $\mathcal{L}_{T}$, de forma paramétrica como: \begin{equation*}
\mathcal{L}_T: \quad P + \gamma'(t_0) \lambda, \quad \lambda\in\mathbb{R}.
\end{equation*}

Observación 11.7.
De manera geométrica es claro que $\mathcal{L}_T$ se puede obtener mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_T$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por $P$, digamos $\Pi_{CP}$. Considerando el plano $\Pi_{CP}$, por la observación 11.2 tenemos que existe una circunferencia máxima que que cae en dicho plano y que además pasa por el punto $P\in\mathbb{S}$. Entonces podemos concluir que para una recta tangente a la esfera en un punto $P$ existe una circunferencia máxima que pasa por dicho punto y que cae en el plano $\Pi_{CP}$.

De acuerdo con lo anterior, ver qué pasa con el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman las rectas tangentes a dos curvas suaves en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, es equivalente a ver qué sucede con el ángulo que se forma entre dos circunferencias máximas de la esfera $\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, el cual está dado por el ángulo que se forma entre los planos en los que caen dichas circunferencias.

Proposición 11.3.
La proyección estereográfica es conforme o isogonal, es decir preserva ángulos.

Este resultado nos dice que el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que forman dos curvas suaves en la esfera $\mathbb{S}$, en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, se preserva bajo la proyección estereográfica, es decir que en el plano complejo $\mathbb{C}$ las rectas tangentes de las imágenes de dichas curvas bajo la proyección estereográfica, en la imagen del punto de intersección, formarán nuevamente un ángulo $\theta$.
Recíprocamente para dos curvas suaves que se intersecan en el plano complejo $\mathbb{C}$, es decir en el plano $\Pi$ dado por (11.1), el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ formado por sus rectas tangentes en el punto de intersección se preserva bajo la proyección estereográfica.

Figura 57: El ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P\in\mathbb{S}$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Demostración. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, descritas por $\gamma_1:(c,d)\rightarrow\mathbb{R}^3$ y $\gamma_2:(e,f)\rightarrow\mathbb{R}^3$, las cuales se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\gamma_1(t) = (x_1(t),y_1(t),u_1(t)),\\
\gamma_2(t) = (x_2(t),y_2(t),u_2(t)).
\end{align*} Para probar este resultado consideremos los siguientes casos:

El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en el polo norte $N$ (o en el polo sur $O$) se preserva bajo la proyección estereográfica.
El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en un punto $P\neq N$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 1. Dado que el polo norte $N$ y el polo sur $O$ son puntos antipodales en $\mathbb{S}$, una circunferencia máxima que pase por el polo norte también pasa por el polo sur. Entonces, considerando la observación 11.7, tenemos que es indistinto si las dos curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte o en el polo sur, pues el ángulo que forman sus rectas tangentes en cualquiera de dichos puntos será el mismo que forman las dos circunferencias máximas que pasan por dichos puntos, es decir, el ángulo que se forma entre los dos planos que contienen a cada una de las circunferencias máximas.

Entonces, sin pérdida de generalidad supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte $N=(0,0,2)$. Por la observación 11.7 sabemos que cada recta tangente a cada curva, en el punto $N=(0,0,2)$, se obtiene mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el polo norte, es decir el plano $u=2$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por el punto $N=(0,0,2)$, digamos $\Pi_{CN}$. De acuerdo con la observación 11.2 dichos planos son de la forma: \begin{align*}
\Pi_{1CN}: \quad A_1x+B_1y=0,\\
\Pi_{2CN}: \quad A_2x+B_2y=0.
\end{align*} Más aún, sabemos que en cada uno de estos planos cae una circunferencia máxima que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$. Por lo que considerando las observaciones 11.5 y 11.7 tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman dichas circunferencias es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} De acuerdo con la proposición 11.1, tenemos que bajo la proyección estereográfica las dos circunferencias máximas en la esfera $\mathbb{S}$, que pasan por el polo norte $N$, corresponden con dos rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen (¿por qué?), cuyas ecuaciones están dadas por: \begin{align*}
A_1x + B_1y =0, \quad u=0,\\
A_2x + B_2y =0,\quad u=0.
\end{align*} Es claro que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que forman estas rectas tangentes a las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estereográfica, en el punto de intersección $z=0$, es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} Por lo que, el ángulo $\alpha$ que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el polo norte o en el polo sur se conserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 2. Supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$.

Dado que dichas curvas se intersecan en el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, entonces existen $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ tales que: \begin{align*}
\gamma_1(t_0) = (x_1(t_0),y_1(t_0),u_1(t_0)) = P,\\
\gamma_2(t_0^*) = (x_2(t_0^*),y_2(t_0^*),u_2(t_0^*)) = P. \tag{11.8.1}
\end{align*} Como $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son suaves, tenemos que $\gamma_1$ es diferenciable en $(c,d)$ y $\gamma_2$ es diferenciable en $(e,f)$, por lo que: \begin{align*}
\gamma_1′(t_0) \neq 0,\quad \text{para}\,\, t_0\in(c,d),\\
\gamma_2′(t_0^*) \neq 0, \quad \text{para}\,\, t_0^*\in(e,f). \tag{11.8.2} \end{align*} Así, por la observación 11.6, las rectas tangentes a cada curva son respectivamente: \begin{align*}
\mathcal{L}_{1T}: \quad P + \gamma_1′(t_0) \lambda_1, \quad \lambda_1\in\mathbb{R},\\
\mathcal{L}_{2T}: \quad P + \gamma_2′(t_0^*) \lambda_2, \quad \lambda_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{\gamma_1′(t_0) \cdot \gamma_2′(t_0^*)}{\left\lVert\gamma_1′(t_0)\right\rVert\left\lVert\gamma_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
&=\frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}. \tag{11.9}
\end{align*} Dado que las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ están en $\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{align*}
x_1(t)^2 + y_1(t)^2 + (u_1(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2(t)^2 + y_2(t)^2 + (u_2(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.1} \end{align*} Y considerando (11.8.1) tenemos que: \begin{align*}
x_1′(t)^2 + y_1′(t)^2 + u_1′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2′(t)^2 + y_2′(t)^2 + u_2′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.2}
\end{align*}

Por otra parte, el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$ de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estreográfica corresponde con el punto $z_0=a_0+ib_0\in\mathbb{C}$, donde: \begin{align*}
a_0 = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b_0 = \frac{2y_0}{2-u_0}.
\end{align*} Considerando a $\mathbb{C}$ como el plano dado por (11.1), tenemos que dicho punto $z_0$ lo podemos asociar con el punto $(a_0,b_0,0)$ de $\mathbb{R}^3$.

Mientras que bajo la proyección estereográfica las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, digamos $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$, están descritas por las funciones $\alpha_1:(c,d)\to\mathbb{R}^3$ y $\alpha_2:(e,f)\to\mathbb{R}^3$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ y se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\alpha_1(t) = (a_1(t),b_1(t),0),\\
\alpha_2(t) = (a_2(t),b_2(t),0),
\end{align*} donde para cada $i=1,2$ se tiene que: \begin{align*}
a_i(t) = \frac{2x_i(t)}{2-u_i(t)},\\
b_i(t) = \frac{2y_i(t)}{2-u_i(t)}. \tag{11.11}
\end{align*}

De acuerdo con lo anterior, es claro que las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ obtenidas bajo la proyección estereográfica son también curvas suaves en sus respectivos dominios $(c,d)$ y $(e,f)$, por lo que considerando el punto de intersección $z_0$ tenemos que para los valores $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ dados se cumple que: \begin{align*}
\alpha_1(t_0) = (a_1(t_0),b_1(t_0),0) = z_0,\\
\alpha_2(t_0^*) = (a_2(t_0^*),b_2(t_0^*),0) = z_0. \tag{11.12.1}
\end{align*} Más aún, como las funciones $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son diferenciables en $(c,d)$ y $(e,f)$ respectivamente, entonces tenemos que para $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ se cumple: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) = (a_1′(t_0),b_1′(t_0),0) \neq 0,\\
\alpha_2′(t_0^*) = (a_2′(t_0^*),b_2′(t_0^*),0) \neq 0. \tag{11.12.2}
\end{align*} Por lo que las rectas tangentes a las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el punto de intersección $z_0$ tienen como ecuaciones: \begin{align*}
\ell_{1T}: \quad z_0 + \alpha_1′(t_0) \delta_1, \quad \delta_1\in\mathbb{R},\\ \ell_{2T}: \quad z_0 + \alpha_2′(t_0^*) \delta_2, \quad \delta_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que se forma entre $\ell_{1T}$ y $\ell_{2T}$ en el punto de intersección $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{ \alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*)}{\left\lVert \alpha_1′(t_0) \right\rVert \left\lVert \alpha_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
& = \frac{a_1′(t_0) \, a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)}{\sqrt{a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2} \sqrt{a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2}}.\tag{11.13}
\end{align*}

Para probar que el ángulo $\theta$, que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, se preserva bajo la proyección estereográfica veamos que las ecuaciones (11.9) y (11.13) son iguales.

Derivando las ecuaciones dadas en (11.11) tenemos para cada $i=1,2$ que: \begin{align*}
a_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,x_i(t)+x_i'(t)\,(2-u_i(t))\right],\\
b_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,y_i(t)+y_i'(t)\,(2-u_i(t))\right]. \tag{11.14}
\end{align*} Considerando las ecuaciones dadas en (11.6), obtenemos la relación inversa entre las curvas suaves $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ con las curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en la esfera $\mathbb{S}$. Considerando dicha relación es fácil verificar que para $i=1,2$ se cumple: \begin{equation*}
x_i'(t) \, x_i(t) + y_i'(t)\,y_i(t) + u_i'(t)\left[u_i(t)-1\right] = 0. \tag{11.15}
\end{equation*}

Considerando (11.8.1), (11.10.1), (11.12.1), (11.14) y (11.15) es fácil verificar que para $t_0\in(c,d)$ y para $t_0^*\in(e,f)$ se cumple respectivamente: \begin{align*}
a_1′(t_0)^2 &+ b_1′(t_0)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_1(t_0))^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_1(t_0))^2\Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_0)^2\Bigg), \tag{11.16.1}
\end{align*} \begin{align*}
a_2′(t_0^*)^2 &+ b_2′(t_0^*)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_2(t_0^*))^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_2(t_0^*))^2 \Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_0)^2 \Bigg). \tag{11.16.2}
\end{align*} Dado que el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$, entonces $u_0 \neq 2$, por lo que podemos simplificar (11.16.1) y (11.16.2) como: \begin{equation*}
a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg( x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + + u_1′(t_0)^2 \Bigg), \tag{11.17.1}
\end{equation*} \begin{equation*}
a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg(x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2 \Bigg). \tag{11.17.2}
\end{equation*} Además como $P\in\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{equation*}
x_0^2+y_0^2=u_0(2-u_0). \tag{11.18}
\end{equation*}

Considerando (11.12.2), (11.14), (11.15), (11.18) y que $u_0\neq2$ es fácil verificar que: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*) & = a_1′(t_0)\,a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)\\
& = \frac{4}{(2-u_0)^2}\Bigg(x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)\Bigg) \tag{11.19}
\end{align*}

Sustituyendo (11.17.1), (11.17.2) y (11.19) en (11.13) tenemos que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}\\
& = \operatorname{cos}(\theta).
\end{align*}
Por lo tanto el ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, distinto del polo norte (o del polo sur), se preserva bajo la proyección estereográfica.

$\blacksquare$

Del mismo modo en que introducimos una métrica en $\mathbb{C}$, es posible definir una métrica en $\mathbb{C}_\infty$, la cual nos permitirá caracterizar y analizar las propiedades de este nuevo conjunto.

Dados dos puntos $z,w\in\mathbb{C}_\infty$ debemos definir una forma de medir distancia entre ellos, es decir una métrica $d:\mathbb{C}_\infty \times \mathbb{C}_\infty \to [0, \infty)$. Desde que la proyección estereográfica nos da una biyección entre el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ y la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, podemos definir la métrica de $\mathbb{C}_\infty$ considerando la distancia usual entre dos puntos $P,Q\in\mathbb{R}^3$, es decir la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que si $P=(x_1,y_1,u_1)$ y $Q=(x_2,y_2,u_2)$ son dos puntos de $\mathbb{R}^3$ entonces: \begin{equation*}
d_{\mathbb{R}^3}(P,Q) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.20}
\end{equation*}
Considerando la proyección estereográfica, podemos hacer corresponder los puntos $z=a+ib$ y $w=\alpha+i\beta$ en $\mathbb{C}_\infty$ con los puntos $P,Q\in\mathbb{S}$ respectivamente, entonces de acuerdo con (11.20) podemos definir la distancia entre $z$ y $w$ como: \begin{equation*} \chi(z,w) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.21} \end{equation*}
Dado que $P$ y $Q$ son puntos de $\mathbb{S}$, entonces se cumple que: \begin{align*}
x_1^2 + y_1^2 +(u_1 -1)^2 = 1,\\
x_2^2 + y_2^2 +(u_2 -1)^2 = 1. \tag{11.22}
\end{align*} De acuerdo con (11.22) y considerando (11.8), es fácil ver que:
\begin{align*}
(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2 & = 2\left(u_1 + u_2 \,-\, x_1 x_2 \,-\, y_1 y_2 \,-\, u_1 u_2\right)\\
& = \frac{16 |\, z \,-\, w \,|^2}{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}. \tag{11.23}
\end{align*} Entonces por (11.21) y (11.23) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w) = \frac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}}. \tag{11.24}
\end{equation*}
Notemos que los puntos $z\neq \infty$ y $w=\infty$ de $\mathbb{C}_\infty$ corresponden con los puntos $P=(x,y,u)$ y $N=(0,0,2)$ de $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$, por lo que considerando (11.20) es fácil ver que: \begin{equation*}
\chi(z,\infty) = \frac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}. \tag{11.25}
\end{equation*}

Considerando (11.24) y (11.25) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \,\sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z,w\in\mathbb{C}\\
\dfrac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z\in\mathbb{C}, w=\infty,\\
0, & \text{si} & z=\infty, w=\infty.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
A esta métrica en $\mathbb{C}_\infty$, inducida por la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$, se le conoce como la métrica cordal.

Notemos que $\mathbb{C}_\infty$ dotado con la métrica cordal forman un espacio métrico, ver ejercicio 4. Considerando la entrada anterior podemos verificar algunas propiedades para este espacio métrico.

Primeramente, dado que la métrica cordal es inducida por la distancia usual de $\mathbb{R}^3$, debe ser claro que si $z,w\in\mathbb{C}_\infty$, entonces: \begin{equation*}
\chi(z,w) \leq 2,
\end{equation*} ya que 2 es el diámetro de $\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$. Por lo que la métrica cordal es acotada.

Proposición 11.4.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es compacto.

Demostración. Dado que $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$ es cerrado y acotado, tenemos por el teorema de Heine – Borel que $\mathbb{S}$ es compacto en $\mathbb{R}^3$. Dado que la proyección estereográfica $\varphi$ define un homeomorfismo de $\mathbb{S}$ en $\mathbb{C}_\infty$, entonces se sigue que $\mathbb{C}_\infty$ es también compacto.

$\blacksquare$

Proposición 11.5.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es completo.

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Tarea moral

Considera la proposición 11.1. Argumenta porqué la proyección estereográfica y su inversa, es decir las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ son continuas. Hint: Consulta la entrada 9.
Demuestra la proposición 11.2. Hint: Utiliza la observación 11.2.
¿Por qué una circunferencia en $\mathbb{S}$ que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$ corresponde a una recta que pasa por el origen en el plano complejo $\mathbb{C}$?
Muestra que las igualdades del caso 2 de la proposición 11.2 son ciertas. Argumenta tus desarrollos.
Verifica que la igualdad dada por (11.23) es cierta.
Demuestra que la métrica cordal satisface las condiciones de métrica, es decir, demuestra que para cualesquiera $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}_\infty$ se cumple:
i) $\chi(z_2, z_1) \geq 0$.
ii) $\chi(z_2, z_1) = 0$ si y solo si $z_1=z_2$.
iii) Simetría: $\chi(z_1, z_2) = \chi(z_2, z_1)$.
iv) Desigualdad del triángulo: $\chi(z_2, z_1) \leq \chi(z_2, z_3) + \chi(z_3, z_1)$. Hint: Utiliza los ejercicios 8 y 9 de la entrada 3, sección de tarea moral, para probar la desigualdad del triángulo.
Considera a la función: \begin{equation*}
\chi(z,w) = \frac{4 \, |\,z\,-\,w\,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \, \sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, \quad \forall z,w\in\mathbb{C},
\end{equation*} de acuerdo con el ejercicio anterior es claro que dicha función es un métrica en $\mathbb{C}$. Prueba que dicha métrica $\chi$ y la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z\,-\,w\,|$ son equivalentes.
De acuerdo con la entrada anterior, sea $z_0\in\mathbb{C}_\infty$ y sea $d$ la métrica cordal, una pregunta que puede resultar es, dado $\rho>0$, ¿cómo se define un $\rho$-vecindario de $z_0$ en $\mathbb{C}_\infty$? Describe a dicho conjunto.
Demuestra la proposición 11.5.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una compactificación del plano complejo agregándole un punto ideal, llamado el punto al infinito, obteniendo así el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ el cual representamos mediante el módelo de la esfera de Riemann.

Hemos visto que existe una relación biunívoca entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann dada por la proyección estreográfica, la cual resulto tener propiedades interesantes que aparecerán más adelante para caracterizar a algunas funciones.

Además dotamos al plano complejo extendido con una métrica, llamada la métrica cordal, la cual nos permite tratar a $\mathbb{C}_\infty$ como un espacio métrico, por lo que podemos considerar algunas propiedades de la entrada anterior para caracterizar la topología de este espacio métrico.

La importancia de trabajar con esta extensión se verá a lo largo del curso cuando requiramos trabajar con funciones complejas para las cuales el módulo de la variable crezca de manera arbitraria.

Con esta entrada finalizamos la primera unidad de este curso: Introducción y preliminares. La siguiente entrada comenzaremos la segunda unidad titulada: Analicidad y funciones de variable compleja.

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Entrada anterior del curso: Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
Siguiente entrada del curso: Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.

Variable Compleja I: Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

En la entrada anterior vimos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana, inducida por el módulo de un número complejo, forman un espacio métrico.

Al trabajar con espacios métricos, las sucesiones resultan una herramienta fundamental en el estudio del concepto de las aproximaciones. De manera particular en esta entrada abordaremos el concepto de sucesión en el sentido complejo y estudiaremos propiedades de las mismas pues veremos que estas sucesiones están estrechamente ligadas con la topología de $\mathbb{C}$. Además en su momento usaremos los resultados de esta entrada para el estudio de series de números complejos, las cuales resultarán fundamentales en el estudio de la teoría de funciones.

Sucesiones de números complejos

Definición 8.1. (Sucesión.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Una sucesión de puntos en $X$ es una función $f: \mathbb{N}^+ \rightarrow X$ tal que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ asigna de manera única un elemento de $X$. Si $f(n)=x_n\in X$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces denotamos a la sucesión como el conjunto $\left\{x_n\right\}_{n\geq1}$ o simplemente $\left\{x_n\right\}$.

Observación 8.1.
En este punto es conveniente hacer énfasis en las sucesiones de $\mathbb{C}$ pues más adalente probaremos algunos resultados del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$. Sin embargo las definiciones que daremos a continuación son válidas en general para un espacio métrico $(X,d)$. Además será de vital importancia recordar nuestros resultados para sucesiones reales ya que nos serán de utilidad más adelante.

Definición 8.2. (Sucesión compleja convergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$, llamado el límite de $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$, si para toda $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:
\begin{equation*}
|\,z_n \,- \, z\,|<\varepsilon, \quad \forall n \geq N,
\end{equation*} lo cual denotamos como $z_n \rightarrow z$ ó $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De existir dicho límite, este es único. (¿Por qué?)

Notemos que geométricamente la desigualdad $|\,z_n \,- \, z\,|< \varepsilon$ nos dice que para $n\geq N$ todos los términos de la sucesión caen en la $\varepsilon$-vecindad de $z$, es decir $B(z,\varepsilon)$, figura 47.

Figura 47: Convergencia de una sucesión de números complejos.

Ejemplo 8.1.
Veamos que la sucesión de números complejos $\left\{\dfrac{i^{n+1}}{n}\right\}_{n\geq 1}$ converge a cero.
Solución.
Considerando la fórmula de De Moivre es fácil notar que: \begin{equation*}
|\,i^{n+1} \,- \, 0\,| = |\,i^{n+1}\,| = |\,i\,|^{n+1} = 1. \end{equation*} Por otra parte, por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} \left|\,\frac{i^{n+1}}{n} \,- \, 0\,\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{i^{n+1}}{n} = 0$.

Definición 8.3. (Sucesión compleja divergente.)
Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ diverge, lo cual denotaremos como $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = \infty$, si se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} |z_n| = \infty$, es decir si para toda $R>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n\,| \geq R, \quad \forall n \geq N. \end{equation*}

Observación 8.2.
Es común considerar a la «divergencia» como la no existencia del límite dado en la definición 8.1, es decir una sucesión se considera divergente si no es convergente. Sin embargo en el caso complejo es conveniente considerar a la divergencia como la tendencia a infinito. En este sentido tenemos que los conceptos de «no convergencia» y «divergencia» no son equivalentes. Lo cual veremos más adelante.

Definición 8.4. (Operaciones entre sucesiones.)
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ dos sucesiones de $\mathbb{C}$. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para sucesiones se definen respectivamente como:

$\{z_n\}_{n\geq1} \pm \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n \pm w_n\}_{n\geq1}$.
$\{z_n\}_{n\geq1} \cdot \{w_n\}_{n\geq1} = \{z_n w_n\}_{n\geq1}$.
Si $w_n \neq 0 $ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\dfrac{\{z_n\}_{n\geq1}}{\{w_n\}_{n\geq1}} = \left\{\dfrac{z_n}{w_n}\right\}_{n\geq1}$.

Considerando que una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$, entonces posible pensar en sucesiones acotadas.

Definición 8.5. (Sucesión acotada.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ se dice que es acotada si existe un número $M>0$ tal que $|\,z_n\,| \leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$.

Ejemplo 8.2.
La sucesión de números complejos $\{(-1)^n\}_{n \geq 1}$ es acotada, pero no es convergente.

De acuerdo con el ejemplo anterior es fácil concluir que una sucesión acotada no tendría porqué ser convergente. Sin embargo el recíproco sí es cierto, es decir:

Proposición 8.1.
Toda sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ convergente es acotada.

Demostración.
Supongamos que la sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De acuerdo con la definición 8.1 tenemos que para $\varepsilon=1$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_n \,- \,z\,| < 1, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo se tiene que para toda $n\geq N$ se cumple que $|\,z_n\,| < |\,z\,| + 1$. Sea $M = \text{máx}\left\{ 1 + |\,z\,|,|\,z_1\,|,|\,z_2\,|, \ldots, |\,z_N\,|\right\}$, entonces para toda $n\geq 1$ se cumple que $|\,z_n\,|\leq M$.

$\blacksquare$

Utilizando la definición 8.2 es fácil probar las siguientes propiedades para sucesiones complejas.

Proposición 8.2.
Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ sucesiones de números complejos y supongamos que ambas son convergentes en $\mathbb{C}$, con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ y $\lim\limits_{n \to \infty} w_n = w$. Entonces se cumple que:

$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Si además $w_n\neq 0$ para toda $n \geq 1$ y $w\neq 0$, entonces $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{ w_n}\right) = \dfrac{1}{w}$.
$\lim\limits_{n \to \infty} \overline{z_n} = \overline{z}$.
Si $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge y $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, es decir, si existen $r>0$ y $N\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N$ se cumple que $|w_n|\geq r$, entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

Demostración.

Dadas las hipótesis por la definición 8.1 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}
|\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*}\begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, (z_n \pm w_n) \,-\, (z \pm w)\,| & = |\, (z_n \,-\, z) \pm (w_n \,-\, w)\,|\\ & \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N, \end{align*} donde $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$. Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
Dadas las hipótesis, tenemos por la proposición 8.1 que ambas sucesiones son acotadas por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que existe $M>0$ tal que $|\,z_n\,|\leq M$ para toda $n\geq 1$. Por otra parte, por la definición 8.2 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z\,| < \frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*} \begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, z_n w_n \,-\, z w\,| & = |\, z_n w_n \,-\, z_n w + z_n w \,-\, z w \,|\\ & \leq |\,z_n w_n \,-\, z_n w\,| + |\,z_n w \,-\, z w\,|\\ & = |\,z_n\,|\,|\,w_n \,-\, w\,| + |\,w\,|\,|\,z_n \,-\, z \,|\\ & < M \left(\frac{\varepsilon}{2M}\right) + (|\,w\,|+1) \left(\frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}\right) = \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{align*} Por lo que $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Dadas las hipótesis, como $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, entonces existen $r>0$ y $N_1\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N_1$ se cumple que $|w_n|\geq r$. Por otra parte, como $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge, dado $R>0$ existe $N_2\in\mathbb{N}^+$ tal que si $n\geq N_2$, entonces $|z_n|\geq R/r$. Por lo que, para $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$ se cumple que: \begin{equation*} |z_n w_n| = |z_n| \, |w_n| \geq \frac{R}{r} r = R, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.

$\blacksquare$

Observación 8.3.
Considerando la definición 8.2 y la proposición 8.2 es fácil ver que si una sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$ entonces se cumple (¿por qué?): \begin{equation*} z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n \quad \Longleftrightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |\,z_n – z\,| = 0. \end{equation*} Y para $c\in\mathbb{C}$ constante: \begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty} (c z_n) = c \lim\limits_{n\to\infty} z_n. \end{equation*}

Sabemos que todo número complejo $z$ es caracterizado por su parte real y por su parte imaginaria, la cuales son números reales, por lo que considerando al $n$-ésimo término de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ como $z_n = \operatorname{Re}(z_n) + i\operatorname{Im}(z_n)$, es fácil probar el siguiente resultado.

Proposición 8.3.
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$ si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$. En dicho caso tenemos que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*}

Demostración.
Por la proposición 3.1 sabemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} Mientras que por la observación 3.1 tenemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} De acuerdo con la observación 8.3 tenemos que $z = \lim_{n \to \infty} z_n$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0$. Considerando lo anterior es claro que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0 \,\,\, & \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \to \infty} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = 0\\ & \quad \quad \text{y} \, \lim\limits_{n \to \infty} |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = 0. \end{align*} Es decir las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$ (¿por qué?), por lo que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*} De donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

La proposición 8.3 es de gran utilidad al trabajar con sucesiones de números complejos, ya que la convergencia de estas sucesiones se reduce a verificar la convergencia de dos sucesiones de números reales. Más aún, podemos utilizar los resultados conocidos para sucesiones reales en el estudio de las sucesiones complejas, lo cual tiene sentido pues como vimos en la entrada 2 los números reales son un subconjunto de los números complejos, por lo que se deben cumplir las propiedades que ya conocíamos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 8.3.
Estudiemos la convergencia de las siguientes sucesiones:
a) $\left\{\dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)}\right\}_{n\geq 1}$.
b) $\left\{\dfrac{3+in}{n+i2n}\right\}_{n\geq 1}$.

Solución. Para cada $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que:

a) \begin{equation*}
z_n = \dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)} = \dfrac{1}{2^n} + i\left(\dfrac{n}{n+2}\right).
\end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(z_n) = \dfrac{1}{2^n}$ e $\operatorname{Im}(z_n) = \dfrac{n}{n+2}$.
Sabemos que: \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2^n} = 0.\\
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{n+2} = 1.
\end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(z) = 0$ y $\operatorname{Im}(z) = 1$, es decir: \begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} z_n = z = i.
\end{equation*}

b) \begin{equation*}
w_n = \dfrac{3+in}{n+i2n} = \dfrac{3 + 2n}{5n} + i\left(\dfrac{n \,-\, 6}{5n}\right).
\end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(w_n) = \dfrac{3+2n}{5n}$ e $\operatorname{Im}(w_n) = \dfrac{n \,-\, 6}{5n}$.
Sabemos que: \begin{align*}
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3+2n}{5n} = \frac{2}{5}.\\
\lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n \,-\, 6}{5n} = \frac{1}{5}.
\end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(w) = \dfrac{2}{5}$ e $\operatorname{Im}(w) = \dfrac{1}{5}$, es decir: \begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} w_n = w = \frac{2}{5} + i\frac{1}{5}.
\end{equation*}

Completez del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$

Definición 8.6. (Sucesión de Cauchy.)
Una sucesión $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ en $\mathbb{C}$ se dice que es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,|<\varepsilon, \quad \forall\, n,m \geq N. \end{equation*}

Proposición 8.4.
Toda sucesión convergente en $\mathbb{C}$ es de Cauchy.

Demostración.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos convergente con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ para algún $z\in\mathbb{C}$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:\begin{equation*} |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Entonces por la desigualdad del triángulo se tiene que para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}^+$ tales que $n,m\geq N$ se cumple: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,z \,-\, z_m\,| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy.

Considerando la proposición 8.4 es momento de dar un ejemplo para argumentar la observación 8.2, es decir veamos que la divergencia y la no convergencia no son equivalentes.

Ejemplo 8.4
Consideremos la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$. Veamos que dicha sucesión no converge ni diverge.

Solución. Sea $z_n = i^n$. Por la fórmula de De Moivre es claro que para toda $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que: \begin{equation*}
|\,z_n\,| = |\,i^n\,| = |\,i\,|^n = 1, \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} |\,z_n\,| = 1 \neq \infty. \end{equation*} Es decir, la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$ no diverge.

Por otra parte, veamos que dicha sucesión no es de Cauchy. Considerando el argumento principal de $i$, tenemos por la fórmula de De Moivre que: \begin{align*} z_{4n} = i^{4n} = \left(\operatorname{cis}(2\pi)\right)^n = 1^n = 1,\\ z_{4n+2} = i^{4n+2} = i^{4n}i^{2} = 1^n(-1) = -1, \end{align*} por lo que: \begin{align*}|\,z_{4n} \,&-\, z_{4n+2}\,| = 2,\\ & \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty}|\,z_{4n} \,-\, z_{4n+2}\,| = 2 \neq 0. \end{align*} Entonces la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no es de Cauchy, por lo que por la contrapuesta de la proposición 8.4, tenemos que dicha sucesión no es convergente en $\mathbb{C}$.

Así concluimos que la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no diverge, pero tampoco converge.

Definición 8.7. (Completez.)
Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en $X$.

Ejemplo 8.5.
El espacio métrico $(\mathbb{R}, d)$, con $d$ la métrica inducida por el valor absoluto, es completo.

La proposición 8.4 es válida en general para cualquier espacio métrico $(X,d)$. Sin embargo el recíproco es falso en general, por ello la importancia de la definición 8.7. Considerando que $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$ y que el módulo complejo de $\mathbb{C}$ es la extensi\’on del valor absoluto de $\mathbb{R}$, podemos intuir que el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ inducida por el módulo, es también completo.

Proposición 8.5.
El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana es completo.

Demostración. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ en $\mathbb{C}$ una sucesión de Cauchy. Usando la observación 3.1 y la proposición 3.1, como en la prueba de la proposición 8.3, es fácil convencerse de que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy si y solo si las sucesiones reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son de Cauchy en $\mathbb{R}$. Dado que $\mathbb{R}$ es completo con la métrica inducida por el valor absoluto, entonces las sucesiones de Cauchy $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$, por lo que por la proposición 8.3 se sigue que la sucesión de Cauchy $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$, por lo tanto el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, es completo.

$\blacksquare$

Proposición 8.6.
Un punto $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite (o de acumulación) de un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n\geq1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite de $S$, entonces por la definición 7.7 tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ existe: \begin{equation*}
z_n \in B\left(z_0, \tfrac{1}{n}\right)\setminus\{z_0\} \cap S, \end{equation*} es decir que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n \in S$, $z_n\neq z_0$ y $|\,z_n \,-\, z_0\,|<\frac{1}{n}$. Consideremos a la sucesión $\{z_n\}_{n\geq1}$ dada anteriormente. Es claro que dicha sucesión cumple las condiciones del resultado, veamos que converge a $z_0$. Por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_0\,|< \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es tal que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene $z_n \in S$, $z_n \neq z$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$. Por la propiedad arquimediana sabemos que dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_N \,-\, z_0\,|< \frac{1}{N} < \varepsilon. \end{equation*} Como $z_N \neq z_0$ y $z_N \in S$, entonces para todo $\varepsilon>0$ se tiene que: \begin{equation*} z_N \in B(z_0, \varepsilon)\setminus\{z_0\} \cap S. \end{equation*} Por lo que $z_0$ es un punto límite de $S$.

$\blacksquare$

Definición 8.8. (Punto de acumulación de una sucesión.)
Un número $z\in\mathbb{C}$ se llama punto de acumulación de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de elementos $z_n$ de la sucesión tales que $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$, es decir si cada $\varepsilon-$vecindad de $z_0$, $B(z_0,\varepsilon)$, contiene un número infinito de elementos de la sucesión.

Observación 8.4.
No debemos confundir esta definición con la definición 7.7 de punto límite o punto de acumulación de un conjunto. Por ejemplo la sucesión $\{(-1)^n\}_{n\geq 1}$ tiene dos puntos de acumulación los cuales son $-1$ y $1$. Sin embargo el conjunto $\{-1,1\}$, que consiste de los elementos que determinan a la sucesión, no tiene ningún punto límite o de acumulación.

Además, es fácil convencerse de que todo límite de una sucesión es un punto de acumulación de la misma. Sin embargo el recíproco no se cumple, para verlo basta considerar a la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$, la cual tiene cuatro puntos de acumulación los cuales son $1, -1, i$ y $-i$, pero dicha sucesión no converge, es decir no tiene límite.

Definición 8.9. (Subsucesión.)
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Una subsucesión o sucesión parcial de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es cualquier sucesión de la forma $\{z_{\sigma(n)} \}_{n\geq 1}$, donde $\sigma:\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+$, con $\sigma(n) = k_n$, es una función estrictamente creciente.

Ejemplo 8.6.
Si definimos $k_n = 2n$, entonces una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$ está conformada por: \begin{equation*}
-\frac{1}{2}, \,\, \frac{1}{4}, \,\, -\frac{1}{6}, \ldots, \frac{i^{2n}}{2n}, \ldots, \end{equation*} es decir $\left\{\dfrac{i^{2n}}{2n}\right\}_{n\geq 1}$ es una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$.

Proposición 8.7
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Entonces, $z\in\mathbb{C}$ es un punto de acumulación de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si y solo si existe una subsucesión $\{z_{k_n}\}_{n\geq 1}$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} z_{k_n} = z$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$
Por la definición 8.8 tenemos que para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de valores de $n$ para los cuales $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$. Entonces para $\varepsilon=1$ existe un $n=k_1$ tal que $|\,z_{k_1} \,-\, z\,| < 1$. Del mismo modo para $\varepsilon = \frac{1}{2}$ existe $n=k_2$ tal que $|\,z_{k_2} \,-\, z\,| < \frac{1}{2}$. Procediendo de forma análoga podemos obtener, en general, que para $\varepsilon = \frac{1}{n}$ existe algún $k_n>k_{n-1}$ tal que $|\,z_{k_n} \,-\, z \,| < \frac{1}{n}$, por lo que existe una subsucesión $\left\{ z_{k_n} \right\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Por otra parte, tenemos por la propiedad arquimediana que para todo $\varepsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}
|\,z_{k_n} \,-\, z\,| < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N.
\end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n\to \infty} z_{k_n} = z$.

$(\Leftarrow$
Se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Teorema 8.1. (Teorema de Bolzano – Weierstrass.)
Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ acotada tiene una subsucesión convergente.

Demostración. Dadas las hipótesis, por la observación 3.1 es fácil ver que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es acotada si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son acotadas en $\mathbb{R}$. Por el teorema de Bolzano – Weierstrass para sucesiones de números reales sabemos que al ser la sucesión $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ acotada, entonces existe una subsucesión $\{\operatorname{Re}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ convergente para alguna subsucesión $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Dado que $\{\operatorname{Im}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ también es acotada entonces existe alguna subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ tal que $\{\operatorname{Im}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ también converge. Entonces $\{\operatorname{Re}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ es subsucesión de una sucesión convergente, por lo que también es convergente. Por lo tanto, por la proposición 8.3 se sigue que la subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ converge en $\mathbb{C}$.

Tarea moral

Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que si la sucesión converge en $\mathbb{C}$, entonces dicho límite es único.
Considera las siguientes sucesiones:
a) $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$.
b) $\left\{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
c) $\left\{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$.
d) $\left\{\dfrac{n}{2n+1} + i\, \dfrac{n-1}{n}\right\}_{n\geq 1}$.
e) $\left\{n^2\left(i^n -1\right)\right\}_{n\geq 1}$.
Determina cuáles sucesiones son acotadas, cuáles convergen, encuentra su límite y sus puntos de acumulación.
Prueba que si la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ de números complejos converge a $z\in\mathbb{C}$, entonces la sucesión ${|\,z_n\,|}_{n\geq 1}$ converge a $|\,z\,|$. ¿Es cierto el recíproco?
Hint: Recuerda que: $|\,|z_n| – |z|\,| \leq |z_n – z|$.
Sea $z\in\mathbb{C}$, prueba lo siguiente.
a) Si $|\,z\,|<1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = 0$.
b) Si $|\,z\,| > 1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = \infty$.
Considera la observación 8.3, argumenta porqué es cierto el resultado. En general prueba que para un espacio métrico $(X, d_X)$ se cumple que una sucesión de elementos de $X$, digamos $\{x_n\}_{n\geq 1}$, converge a $x\in X$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} d_X (x_n, x) = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = 0$ si y solo si $\lim\limits_{n\to \infty} |\,z_n\,| = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos, sea $z \in \mathbb{C}$ y sea $\{c_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales no negativos. Demuestra lo siguiente.
a) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = 0$ y $|\,z_n – z\,| \leq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z$.
b) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = \infty$ y $|\,z_n \,| \geq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = \infty$.
Sean $\left\{x_n\right\}_{n\geq 1}$ y $\left\{y_n\right\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones convergentes de números reales, tales que $x_n \leq y_n$ para toda $n\in\mathbb{N}$. Prueba que: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n \leq \lim_{n \to \infty} y_n. \end{equation*}

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado el concepto de sucesión compleja con la finalidad de caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ como un espacio métrico completo. Para ello hicimos uso de algunos resultados para sucesiones reales y generalizamos algunos de los mismos, como el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para números complejos.

En general vimos que muchos de los resultados que teníamos para sucesiones reales se comportan de manera similar en el sentido complejo.

Por otra parte introducimos el concepto de la divergencia a infinito, el cual será de utilidad en la entrada 11 al hablar del punto al infinito.

Los resultados de esta entrada serán de utilidad cuando hablemos de las series en el sentido complejo y sobre su convergencia. Además de que nos permitirán obtener una caracterización relacionada con los conceptos de continuidad y continuidad uniforme.

La siguiente entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos.

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Variable Compleja I: Topología de $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

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Introducción

De manera intuitiva podemos considerar a un espacio métrico como un conjunto en el cual se puede hablar de la “distancia” entre sus elementos, por lo que definir lo que entendemos por distancia es de suma importancia. Para ello en esta entrada introduciremos los conceptos de distancia o métrica y espacio métrico. Es importante considerar que estos conceptos se analizan en primera instancia en un curso de Cálculo III y con mayor detalle en un curso de Análisis Matemático, por lo que es recomendable acompañar estos conceptos con algún material complementario, pues algunos resultados de los espacios métricos se darán por válidos y/o conocidos. Puedes consultar los libros Metric Spaces de Satish Shirali y Metric Spaces de Mícheál Ó Searcoid, o cualquier libro sobre topología de espacios métricos.

En la entrada anterior la métrica euclidiana $d$ nos permitió describir algunos lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ con los que ya estábamos familiarizados en $\mathbb{R}^2$. Es importante mencionar que existen otras formas de definir la distancia entre dos números complejos $z$ y $w$. Sin embargo para los fines del curso estaremos utilizando la métrica euclidiana definida en la entrada anterior.

Hablar de la «topología» en $\mathbb{C}$ hace referencia a un resultado de los espacios métricos en el que se prueba que en un espacio métrico $(X,d)$ la métrica $d$ induce una topología en el conjunto $X$. Por lo que en esta entrada analizaremos la topología inducida por la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$ en $\mathbb{C}$.

Lo anterior nos motiva a definir algunos conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que serán necesarios para continuar en el estudio de la topología en $\mathbb{C}$. Por lo que introducir el concepto de disco o vecindad será de gran utilidad para caracterizar a los conjuntos de $\mathbb{C}$, así como para dar una definición formal de límite y continuidad en $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}$ como un espacio métrico

Definición 7.1. (Métrica y espacio métrico.)
Un conjunto $X\neq\emptyset$ dotado con una función $d: X \times X \to [0,\infty)$ es llamado un espacio métrico, lo cual se denota como $(X,d)$, si la función $d$ cumple las siguientes propiedades para todo $x,y, z\in X$:

$d(x, y) \geq 0$.
$d(x,y) = 0$ si y solo si $x=y$.
Simetría: $d(x,y) = d(y,x)$.
Desigualdad del triángulo: $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$.

Dicha función $d$ es llamada métrica en $X$ o función distancia en $X$. Es común denotar a la métrica en $X$ como $d_X$ cuando se están trabajando con varios espacios métricos y se requiere especificar donde está definida dicha métrica.

Ejemplo 7.1.

a) Consideremos al conjunto de los números reales $\mathbb{R}$. La función $d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to [0,\infty)$ dada por:\begin{equation*}
d(x,y) = |\,x-y\,|,
\end{equation*} utilizando las propiedades del valor absoluto es fácil verficar que $d$ es una métrica en $\mathbb{R}$.

b) Si $X = \mathbb{R}^n$, entonces para $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ y $y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ en $X$ se define:\begin{equation*}
d(x,y) = \left(\sum_{k=1}^{n} (x_k – y_k)^2 \right)^{1/2}.
\end{equation*}
La función $d$ es llamada la métrica euclidiana en $\mathbb{R}^n$.

c) Sea $X$ cualquier conjunto no vacío, entonces se define a la métrica discreta en $X$ como la función:
\begin{equation*}
d(x,y) = \left\{
\begin{array}{lcc}
0 & \text{si} & x = y,\\
1 & \text{si} & x \neq y.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Usando la definición del módulo es fácil probar que la distancia euclidiana, dada en la definición 6.1 de la entrada anterior, es una función $d: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \rightarrow [0,\infty)$ que satisface las condiciones para ser una métrica.

Proposición 7.1. (El espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.)
El conjunto $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z-w\,|$, $z,w\in\mathbb{C}$, es un espacio métrico.

Demostración. Sean $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C}$, entonces:

$d(z_2, z_1) \geq 0$, se sigue de la definición del módulo de un número complejo.
Ejercicio.
Ejercicio.
Queremos probar que:
\begin{equation*}
d(z_2, z_1) \leq d(z_2, z_3) + d(z_3, z_1),
\end{equation*}o equivalentemente que:
\begin{equation*}
|\,z_2 – z_1\,| \leq |\,z_2 – z_3\,| + |\,z_3 – z_1\,|.
\end{equation*}

Sean $z = z_2 – z_3$ y $w = z_3 – z_1$, entonces podemos reescribir $z + w = z_2 – z_1$ y así probar que:
\begin{equation*}
|\, z + w \, | \leq |\,z\,| + |\,w\,|,
\end{equation*}lo cual se sigue de la proposición 3.2.

$\blacksquare$

Observación 7.1.
De acuerdo con la proposición 7.1 y la definición 7.1 tenemos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana $d$ forma un espacio métrico, denotado por $(\mathbb{C}, d)$. Es importante mencionar que en esta entrada daremos algunos resultados de manera general para un espacio métrico $(X,d_X)$ y cuando sea necesario puntualizar algo del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ trabajaremos de manera particular con dicho espacio métrico.

Definición 7.2.
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se define a la circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho$ en $\mathbb{C}$, figura 40a, como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
C(z_0,\rho)= \left\{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| = \rho\right\}.
\end{equation*}

De acuerdo con la entrada anterior sabemos que las ecuaciones:\begin{align*}
|\,z-z_0\,|< \rho,\\
|\,z-z_0\,|> \rho,
\end{align*} nos describen a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen dentro o fuera de la circunferencia $C(z_0,\rho)$ respectivamente, figura 40b.

Definición 7.3. (Disco o $\rho$-vecindad.)
Dado $z_0\in\mathbb{C}$ un punto fijo y una cantidad $\rho>0$, se definen en $\mathbb{C}$ a los conjuntos: \begin{equation*}
B(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| < \rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho)= \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z-z_0\,| \leq \rho\},
\end{equation*} como el disco abierto de radio $\rho$ y centro $z_0$ o la $\rho$-vecindad de $z_0$, figura 41(a), y el disco cerrado de radio $\rho$ y centro $z_0$, figura 41(b), respectivamente.

Figura 40: Circunferencia de centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Observación 7.2.
En ocasiones será necesario trabajar con una $\rho$-vecindad de $z_0$ sin considerar al punto $z_0$, es decir $B^*(z_0,\rho) = B(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$, en dado caso llamaremos a ese conjunto como una $\rho$-vecindad perforada o un disco perforado.
Análogamente se puede hablar de un disco cerrado perforado como el conjunto $\overline{B}^*(z_0,\rho) = \overline{B}(z_0,\rho) \setminus \{z_0\}$.

Definición 7.4. (Punto interior y conjunto abierto.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$. Diremos que $z_0\in \mathbb{C}$ es un punto interior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho)\subset S$.
Al conjunto de puntos interiores de $S$ se le denota como $\operatorname{int}S$ o $ \mathring{S}$. Si se cumple que $S = \operatorname{int}S$, entonces diremos que $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.

De acuerdo con la definición de $\operatorname{int}S$, notemos $\operatorname{int}S\subset S$. De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\operatorname{int}S$ es un conjunto abierto y es el mayor subconjunto abierto de $X$ contenido en $S$.

Figura 41: Disco abierto y cerrado con centro $z_0$ y radio $\rho>0$.

Definición 7.5. (Conjunto cerrado.)
Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ se dice que es cerrado en $\mathbb{C}$ si su complemento $S^C = \mathbb{C}\setminus S$ es abierto en $\mathbb{C}$.

Observación 7.3.
Comunmente denotaremos a los conjuntos abiertos de $\mathbb{C}$ con la letra $U$ y a los conjuntos cerrados de $\mathbb{C}$ con la letra $F$.

Ejemplo 7.2.
Utilizando la desigualdad del triángulo es fácil verificar que:

a) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0<|\,z\,|<1\}$ es abierto en $\mathbb{C}$, figura 42a.

b) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, figura 42b.

c) El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es abierto ni cerrado en $\mathbb{C}$, figura 43.

d) Los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son conjuntos abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ¿por qué?

Figura 42: Conjuntos del ejemplo 7.1 inciso a) y b).

Figura 43: El conjunto $\{z\in\mathbb{C} : 0< |\,z\,| \leq 1\}$ no es cerrado ni es abierto en $\mathbb{C}$.

Definición 7.6. (Punto exterior y punto frontera.)
Sea $S\subset\mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto exterior de $S$ si existe $\rho>0$ tal que $B(z_0,\rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$.
Por otra parte, diremos que $z_0$ es un punto frontera de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene que $B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset$ y $B(z_0,\rho) \cap \mathbb{C}\setminus S \neq \emptyset$.

Al conjunto de los puntos exteriores de $S$ se le denota como $\operatorname{ext}S$. Mientras que al conjunto de los puntos frontera de $S$ se le denota como $\partial S$.

Definición 7.7. (Punto de acumulación o punto límite y punto aislado.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de acumulación o un punto límite de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho)\setminus\{z_0\} \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*} O equivalentemente que para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
\{ z \in S : 0 < |\,z-z_0\,|<\rho\} \neq \emptyset.
\end{equation*}

Si se cumple que $z_0\in S$, pero $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, entonces diremos que $z_0$ es un punto aislado de $S$. En este caso se tiene que existe algún $\varepsilon>0$ tal que:
\begin{equation*}
B(z_0,\varepsilon) \cap S = \{z_0\}.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de acumulación lo denotaremos como $S’$ y lo llamaremos el conjunto derivado de $S$.

Definición 7.8. (Punto de adherencia.)
Sea $S\subset \mathbb{C}$ y sea $z_0\in\mathbb{C}$. Diremos que $z_0$ es un punto de adherencia de $S$ si para todo $\rho>0$ se tiene:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) \cap S \neq \emptyset.
\end{equation*}

Al conjunto de puntos de adherencia lo llamaremos la cerradura o la clausura de $S$ y lo denotaremos como $\overline{S}$.

De acuerdo con la definición de $\overline{S}$, tenemos que $S \subset \overline{S}$. Además, dado un espacio métrico $(X,d)$ y $S\subset X$, entonces se cumple que $\overline{S}$ es un conjunto cerrado y es el menor subconjunto cerrado de $X$ que contiene a $S$.

De hecho, dado un espacio métrico $(X,d_X)$ y $S\subset X$, se tiene que $S$ es cerrado en $X$ si y solo si $S = \overline{S}$.

Proposición 7.2.
Consideremos al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana. Un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$ si y sólo si $S$ contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración.
$\Rightarrow)$
Supongamos que $S$ es cerrado en $\mathbb{C}$. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$ un punto de acumulación de $S$. Por reducción al absurdo supongamos que $z_0 \in \mathbb{C}\setminus S$. Notemos que por definición $\mathbb{C}\setminus S$ es un conjunto abierto, por lo que para algún $\rho>0$ se tiene que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, es decir que al disco abierto $B(z_0,\rho)$ no pertenece ningún punto de $S$, lo cual contradice el hecho de que $z_0$ es un punto de acumulación de $S$. Por lo tanto $z_0\in S$.

$(\Leftarrow$
Supongamos que a $S$ pertenecen todos sus puntos de acumulación. Entonces para algún $z_0 \in \mathbb{C} \setminus S$ se cumple que $z_0$ no es punto de acumulación de $S$, por lo que existe $\rho>0$ tal que $B(z_0, \rho)$ no tiene puntos de $S$, por lo que $B(z_0, \rho) \subset \mathbb{C}\setminus S$, por tanto $\mathbb{C}\setminus S$ es abierto, de donde se sigue que $S$ es cerrado.

$\blacksquare$

Ejemplo 7.3.
Veamos que no necesariamente todo punto de un conjunto cerrado debe ser un punto de acumulación del mismo. Consideremos al conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{z\in\mathbb{C}\, : \, z = \frac{1}{n}, \,\, n\in\mathbb{N}^+ \right\} \cup \left\{0\right\}.
\end{equation*}

Es claro que $S\subset\mathbb{C}$. Notemos que el único punto de acumulación de $S$ es $z=0$. Desde que dicho punto pertenece a $S$, por la proposición 7.2 es claro que $S$ es cerrado. Por otra parte no es díficil convencerse de que salvo $z=0$, el resto de los puntos de $S$ son puntos aislados, ya que basta con tomar $\rho = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} > 0$ para que se cumpla que:
\begin{equation*}
B\left(\frac{1}{n}, \rho\right) \cap S = \left\{\frac{1}{n}\right\}.
\end{equation*}

Definición 7.9. (Conjunto acotado.)
Un conjunto $S \subset \mathbb{C}$ se dice que es acotado si existe un número real $R>0$ tal que $|\,z\,| < R$ para todo $z\in S$.

Esta definición nos dice que $S$ es acotado si puede ser completamente encerrado por un $R$-vecindario del origen.

Ejemplo 7.4.
Sea $X = \left\{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\right\} \cup \{2\}$, figura 44. Entonces:

a) Los puntos interiores de $X$ son el conjunto $\operatorname{int} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 0<|\,z\,|<1\}$.

b) Los puntos exteriores de $X$ son el conjunto $\operatorname{ext} X = \{z\in\mathbb{C} \, : \, 1 < |\,z\,|\} \cap \{z\in\mathbb{C} \, : \, z \neq 2\}$.

c) La frontera de $X$ es el conjunto $\partial X = \{0, 2\} \cup \{z\in\mathbb{C} \,: \, |\,z\,|=1\}$.

d) Los puntos de acumulación de $X$ son el conjunto $X’ = \{z\in\mathbb{C} \, : \, |\,z\,|\leq 1\}$.

e) El punto $z=2$ es un punto aislado de $X$.

f) Tomando $R=3>0$ es claro que el conjunto $X$ es acotado ya que $|\,z\,|< R$ para todo $z\in X$.

Figura 44: Puntos del conjunto $X$ del ejemplo 7.2.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo (y Análisis Matemático) sabemos que en un espacio métrico, en este caso en $(\mathbb{C},d)$, se cumple que:

Proposición 7.3.
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Sean $z_0 \in X$ y $S\subset X$, entonces:

Los conjuntos $X$ y $\emptyset$ son abiertos en $X$.
Para todo $\rho>0$, la $\rho$-vecindad de $z_0$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
B(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) < \rho\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $X$.
Para todo $\rho>0$, el disco cerrado, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \{ z\in X \,: \, d_X(z,z_0) \leq \rho\},
\end{equation*} es un conjunto cerrado en $X$.
$S’ \subset \overline{S}$.
$\overline{S} = S \cup S’$.
$\overline{S} = \operatorname{int}S \cup \partial S$.
$X = \operatorname{int}S \cup \operatorname{ext}S \cup \partial S$.
Si $A \subset B$, entonces:
a) $\overline{A} \subset \overline{B}$.
b) $\operatorname{int}A \subset \operatorname{int}B$.
La unión de un número arbitrario de conjuntos abiertos en $X$ es también un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número finito de conjuntos abiertos en $X$ es un conjunto abierto en $X$.
La intersección de un número arbitrario de conjuntos cerrados en $X$ es también un conjunto cerrado en $X$.
La unión de un número finito de conjuntos cerrados en $X$ es un conjunto cerrado en $X$.

Demostración.

Ejercicio.
Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in B(z_0,\rho)$ y sea $\varepsilon = \rho – d_X(z_0, z) > 0 $. Considerando la desigualdad del triángulo tenemos que para todo $w \in B(z,\varepsilon)$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(w, z_0) \leq d_X(w, z) + d_X(z, z_0) < \varepsilon + d_X(z, z_0) = \rho,
\end{equation*} por lo que $B(z,\varepsilon) \subset B(z_0, \rho)$ para todo $z\in B(z_0,\rho)$.

Figura 45: Todo disco abierto $B(z_0,\rho)$ es un conjunto abierto en $X$.

Dadas las hipótesis, sea $\rho>0$. Tomemos $z\in \overline{\overline{B}(z_0,\rho)}$, entonces para todo $\varepsilon > 0$ existe:
\begin{equation*}
z_\varepsilon \in B(z,\varepsilon)\cap \overline{B}(z_0,\rho).
\end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo, para todo $\varepsilon > 0$ se cumple que:
\begin{equation*}
d_X(z, z_0) \leq d_X(z, z_\varepsilon) + d_X(z_\varepsilon, z_0) < \varepsilon + \rho,
\end{equation*} de donde se sigue que $d(z, z_0) < \rho$, por lo que $\overline{\overline{B}(z_0,\rho)}\subset \overline{B}(z_0,\rho)$. Entonces
\begin{equation*}
\overline{B}(z_0,\rho) = \overline{\overline{B}(z_0,\rho)},
\end{equation*} por lo tanto, todo disco cerrado es un conjunto cerrado en $X$.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Ejercicio.
Sea $\{ G_j : j\in J\}$, con $J$ un conjunto de índices, una colección de conjuntos abiertos en $X$. Tomemos a $z\in G = \bigcup\limits_{j\in J} G_j$, entonces $z \in G_j$, para algún $j\in J$, así por la definición 7.4 tenemos que existe $\rho>0$ tal que $B(z,\rho) \subset G_j \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Sean $G_1, G_2, \ldots , G_n$ subconjuntos abiertos de $X$ y sea $z \in G = \bigcap\limits_{k=1}^{n} G_k$. Tenemos que $z\in G_k$ para $k=1,2, \ldots, n$, por lo que por la definición 7.4 se tiene que para cada $k$ existe $\rho_k > 0$ tal que $B(z,\rho_k) \subset G_k$. Si tomamos a $\rho = \operatorname{min}{\rho_k : 1 \leq k \leq n}$, entonces para cada $k$, con $1 \leq k \leq n$, se cumple que $B(z,\rho) \subset B(z,\rho_k) \subset G_k$. Entonces $B(z,\rho) \subset G$, por lo que $G$ es abierto.
Ejercicio.
Ejercicio.

$\blacksquare$

Es posible encontrar la prueba de estas propiedades en algún libro de topología o de topología de espacios métricos, como Topología de espacios métricos de Ignacio L. Iribarren.

Definición 7.10. (Conjunto denso.)
Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Diremos que un conjunto $A\subset X$ es denso en $X$ si $\overline{A} = X$.

Ejemplo 7.5.

a) El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ con la métrica usual de $\mathbb{R}$, $d(x,y) = |\,x-y\,|$.

b) El conjunto ${x+iy : x,y\in\mathbb{Q}}$ es denso en $\mathbb{C}$ con la métrica euclidiana.

Tarea moral

Prueba que las siguientes funciones $d_i: \mathbb{C}\times\mathbb{C} \to [0,\infty)$, con $i=1,2$, dadas por:
\begin{equation*}
d_1(x+iy, a+ib) = |\,x-a\,| + |\,y-b\,|,
\end{equation*} \begin{equation*}
d_2(x+iy, a+ib) = \text{máx}\left\{|\,x-a\,|,|\,y-b\,|\right\},
\end{equation*} son también una métrica en $\mathbb{C}$.
Considera la observación 7.2 y argumenta porqué esos conjuntos se pueden definir respectivamente como:
\begin{equation*}
B^*(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|<\rho\},
\end{equation*} \begin{equation*}
\overline{B^*}(z_0,\rho) = \{z\in\mathbb{C}\,:\, 0<|\,z-z_0\,|\leq\rho\}.
\end{equation*} ¿Cómo son esos conjuntos en $\mathbb{C}$? ¿Cerrados, abiertos o ninguno de los dos? Describe al conjunto de puntos interiores, exteriores, frontera, de acumulación y de adherencia. ¿Son acotados esos conjuntos?
Argumenta porqué los conjuntos $\emptyset$ y $\mathbb{C}$ son abiertos y cerrados en $\mathbb{C}$, ejemplo 7.2(c).
Completa la demostración de las proposiciones 7.1 y 7.3.
Hasta ahora sabemos que $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$. Por otra parte, de nuestros cursos de cálculo sabemos que un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, es decir el conjunto:
\begin{equation*}
(a,b) = \{ x\in\mathbb{R} \,:\, a<x<b\},
\end{equation*} es un conjunto abierto en $\mathbb{R}$. Prueba que dicho conjunto no es abierto en $\mathbb{C}$.
Utilizando la definición describe cómo son los siguientes conjuntos de $\mathbb{C}$, es decir ¿son abiertos o cerrados o ninguna de las dos en $\mathbb{C}$? ¿Son acotados?
a) Sean $a,b\in\mathbb{R}$ con $a<b$, definimos:\begin{align*}
A = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Re}(z)<b\},\\
B = \{z\in\mathbb{C}\, :\, a< \operatorname{Im}(z)<b\}.
\end{align*} b) $X = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, \operatorname{Re}(z)<0\} \cup \{0\}$.
c) $Y = \{z\in\mathbb{C} \,:\ \, 0\leq\operatorname{Im}(z)\}$.

Considera a los siguientes conjuntos:
a) $S_1 = B(0,1)$.
b) $S_2 = \overline{B}\left(-1-i\sqrt{2},\frac{7}{8}\right)$.
c) $S_3 = \overline{B}\left(2+i\sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$.
De acuerdo con la proposición 7.2 tenemos que $S_1$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$, mientras que $S_2$ y $S_3$ son conjuntos cerrados en $\mathbb{C}$. Describe los puntos interiores, exteriores y frontera de cada uno de los tres conjuntos.

Considera al siguiente conjunto:
\begin{equation*}
S = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Im}(z)\,| < |\,\operatorname{Re}(z)\,| \right\},
\end{equation*} el cual está representado en la figura 46. Prueba que:
a) $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$.
b) $\partial S = \{ z\in\mathbb{C} \,:\, |\,\operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z)\,|\}$.
c) Los puntos de acumulación de $S$ son precisamente la clausura de $S$, es decir $\overline{S}$.
d) $S$ no es cerrado en $\mathbb{C}$.
e) $S$ no es acotado en $\mathbb{C}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una breve descripción de la topología de los espacios métricos, en particular analizamos la topología del plano complejo $\mathbb{C}$. Esta caracterización de $\mathbb{C}$ como un espacio métrico nos será de gran utilidad en las siguientes entradas para poder continuar el estudio del campo de los números complejos.

En esta entrada hemos visto que existe una estrecha relación entre la topología de $\mathbb{C}$ y $\mathbb{R}^2$, lo cual no debe sorprendernos ya que como espacios vectoriales dichos conjuntos son isomorfos, ver ejercicio 6 de la entrada 2. Más adelante veremos que como espacios métricos son homeomorfos, por lo que muchas propiedades que conocemos para $\mathbb{R}^2$ nos permitirán caracterizar a los números complejos. Por otra parte es fácil convencerse que la topología de $\mathbb{C}$ induce en $\mathbb{R}$ su topología usual considerando la distancia definida mediante el valor absoluto.

La siguiente entrada abordaremos las sucesiones en $\mathbb{C}$ y discutiremos la completez del espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ la métrica euclidiana.

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Teoría de los Conjuntos I: Álgebra de conjuntos

Por Gabriela Hernández Aguilar

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Introducción

En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. Veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.

Algunos recordatorios

En el álgebra de conjuntos lo que se hace es primero probar algunas propiedades fundamentales de las operaciones de conjuntos, y usar estas propiedades repetidamente para demostrar otras, aprovechando que la igualdad de conjuntos es transitiva. Es por ello que nos conviene recopilar varias propiedades de las operaciones que tenemos hasta ahora.

Sean $A$, $B$, $C$ y $X$ conjuntos tales que $A, B,C\subseteq X$. Entonces:

$A\cup \emptyset=A$,
$A\cup A=A$,
$A\cup B=B\cup A$,
$(A\cup B)\cup C = A \cup (B\cup C)$,
$A\cap \emptyset =\emptyset$,
$A\cap A=A$,
$A\cap B = B\cap A$,
$(A\cap B)\cap C =A \cap (B\cap C)$,
$A\cap (B\cup C)= (A\cap B)\cup (A\cap C)$,
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$,
$A\setminus \emptyset=A$,
$A\setminus A=\emptyset$,
$A\setminus B= A\cap (X\setminus B)$,
$A\cap (X\setminus A)=\emptyset$,
$A\cup (X\setminus A)=X$,
$X\setminus (A\cap B)= (X\setminus A)\cup (X\setminus B)$,
$X\setminus (A\cup B)= (X\setminus A)\cap (X\setminus B)$,
$X\setminus (X\setminus A)= A$,
Si $A\subseteq B$, entonces $A\cap B=A$.

Hay otras propiedades que ya hemos demostrado, pero no las pusimos aquí. Podríamos ponerlas para ir recopilando más cosas que sabemos que son válidas.

Demostraciones con álgebra de conjuntos

Ahora veremos algunos ejemplos de cómo se trabaja con álgebra de conjuntos. En varias de las siguientes proposiciones enunciamos resultados para cuando $A$ y $B$ son subconjuntos de un conjunto en común $X$. Toma en cuenta que para $A$ y $B$ arbitrarios, siempre podemos tomar $X=A\cup B$.

Proposición. Sean $A, B\subseteq X$ conjuntos. Prueba que $A\setminus B= A\setminus (A\cap B)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (A\cap B)&= A\cap (X\setminus (A\cap B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus A)\cup(X\setminus B)) \tag{usando 16} \\
&=(A\cap (X\setminus A))\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9} \\
&=\emptyset\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 14} \\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1 y 3} \\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B\subseteq X$ son conjuntos, entonces $A\setminus B= (A\cup B)\setminus B$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus B &= (A\cup B)\cap (X\setminus B) \tag{usando 13}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup (B\cap (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&= (A\cap (X\setminus B))\cup \emptyset \tag{usando 14}\\
&=A\cap (X\setminus B) \tag{usando 1}\\
&=A\setminus B \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Para $A$, $B$, $X$ conjuntos tales que $A, B\subseteq X$, $(A\cap B)\cup (A\setminus B)= A$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\cup (A\setminus B)&= (A\cap B)\cup (A\cap (X\setminus B)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cup (X\setminus B)) \tag{usando 9}\\
&=A\cap X \tag{usando 15}\\
&=A \tag{usando 14}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $A\cap (B\setminus C)=(A\cap B)\setminus C$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C &=(A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 8}\\
&= A\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cap B)\setminus C&= (A\cap B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cap (B\cap X\setminus C) \tag{usando 6 ,7 y 8}\\
&= (A\setminus C)\cap (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\cup B)\setminus C&= (A\cup B)\cap (X\setminus C) \tag{usando 13}\\
&=(A\cap X\setminus C)\cup (B\cap X\setminus C) \tag{usando 9}\\
&= (A\setminus C)\cup (B\setminus C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. $(A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)$.

Demostración.

\begin{align*}
(A\setminus C)\setminus (B\setminus C)&= (A\setminus C)\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup (X\setminus (X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=(A\setminus C)\cap ((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\setminus C\cap (X\setminus B))\cup ((A\setminus C)\cap C) \tag{usando 9}\\
&=((A\cap(X\setminus C))\cap (X\setminus B))\cup ((A\cap(X\setminus C))\cap C) \tag{usando 13}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap((X\setminus C)\cap C)) \tag{usando 8}\\
&=((A\cap(X\setminus B))\cap (X\setminus C))\cup (A\cap\emptyset) \tag{usando 14}\\
&=((A\setminus B)\setminus C)\cup \emptyset \tag{usando 13 y 5}\\
&=(A\setminus B)\setminus C \tag{usando 1}.
\end{align*}

$\square$

Proposición. Sean $A$, $B$, $C$ subconjuntos de $X$. Tenemos que $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$.

Demostración.

\begin{align*}
A\setminus (B\setminus C)&= A\cap (X\setminus (B\setminus C)) \tag{usando 13}\\
&=A\cap (X\setminus (B\cap (X\setminus C))) \tag{usando 13}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup (X\setminus(X\setminus C))) \tag{usando 16}\\
&=A\cap((X\setminus B)\cup C) \tag{usando 18}\\
&=(A\cap (X\setminus B))\cup (A\cap C) \tag{usando 9}\\
&=(A\setminus B)\cup (A\cap C) \tag{usando 13}.
\end{align*}

$\square$

Tras realizar estas demostraciones es importante notar que muchas veces hacer el uso del álgebra nos ayuda a ahorrar tiempo. Sin embargo, para poder lograr esto es necesario utilizar muchas de las propiedades que sí hemos demostrado previamente por doble contención.

Tarea moral

Realiza las siguientes demostraciones haciendo uso del álgebra de conjuntos:

Prueba que para $A, B, C, X$ conjuntos tales que $A, B, C\subseteq X$ se cumple que: $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)= (A\cap C)\setminus B$.
Prueba que $(A\setminus B)\setminus (A\setminus C)=A\cap (C\setminus B)$.
Si $A, B\subseteq X$, entonces $(X\setminus A)\setminus (X\setminus B)=B\setminus A$.
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Entonces $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

Más adelante…

En la siguiente entrada definiremos una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Retomaremos los resultados que hemos visto hasta ahora y seguiremos haciendo uso del álgebra de conjuntos para demostrar algunas propiedades de esta nueva operación.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»

Probabilidad I: Varianza de una Variable Aleatoria

Por Octavio Daniel Ríos García

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Introducción

En esta entrada veremos un concepto que se relaciona cercanamente con el valor esperado: la varianza. Así como el valor esperado, la varianza será una cantidad numérica que tiene la intención de resumir numéricamente otro aspecto del comportamiento probabilístico de una variable aleatoria. En este caso, lo que intentaremos resumir será la variabilidad respecto al valor esperado. Es decir, en promedio, ¿qué tanto se aleja una variable aleatoria del «centro» de su distribución?

Además, con las herramientas que tenemos hasta ahora, podemos desarrollar algunas propiedades de la varianza, que no serán difíciles de demostrar utilizando las herramientas de las últimas entradas sobre valor esperado.

Motivación y definición

Dada una v.a. $X\colon\Omega\to\RR$, vimos que el valor esperado de $X$, $\Esp{X}$, es el valor promedio (a la larga) de $X$. Es decir, que si observamos muchas veces a $X$, el promedio de esas observaciones debe de acercarse a $\Esp{X}$. Además, gracias a la ley del estadístico inconsciente, podemos calcular $\Esp{g(X)}$, que es el valor promedio de $g(X)$.

La varianza de una v.a. $X$ se define como el valor esperado de una transformación particular de $X$, y lo que busca cuantificar la dispersión promedio que tiene $X$ con respecto a su valor esperado. Por ello, se propone la transformación $v\colon\RR\to\RR$ dada por

\begin{align*} v(x) &= {\left(x − \Esp{X}\right)}^{2} & \text{para cada $x\in\RR$.} \end{align*}

Así, observa que $v(X) = {\left(X − \Esp{X}\right)}^{2}$ es una v.a. cuyo valor tiene un significado especial: $v(X)$ es la distancia entre $X$ y su valor esperado, elevada al cuadrado. Por ello, $\Esp{v(X)}$ es la distancia cuadrada promedio entre $X$ y su valor esperado. Esta discusión da lugar a la definición de varianza.

Definición. Sea $X$ una variable aleatoria. La varianza de $X$, denotada con $ \mathrm{Var}(X) $, se define como sigue:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{{\left(X − \Esp{X} \right)}^{2}},\end{align*}

siempre que ${\left(X − \Esp{X} \right)}^{2}$ sea una v.a. con valor esperado finito. En tal caso, se dice que $X$ tiene varianza finita.

Definiciones para el caso discreto y el caso continuo

Debido a la distinción entre valores esperados de v.a.’s discretas y continuas, la varianza tiene dos formas de calcularse directamente. Sin embargo, veremos más adelante en esta entrada que no es necesario hacer el cálculo directo, y puede hacerse mediante una expresión más sencilla.

Varianza (Caso discreto). Si $X$ es una v.a. discreta, entonces la varianza de $X$ tiene la siguiente expresión:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \sum_{x\in X[\Omega]} (x − \Esp{X})^{2} \Prob{X = x}, \end{align*}

siempre que esta serie sea absolutamente convergente.

Varianza (Caso continuo). Si $X$ es una v.a. continua con función de densidad $f_{X}$, entonces la varianza de $X$ puede escribirse de la siguiente manera:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \int_{-\infty}^{\infty} (x − \Esp{X})^{2} f_{X}(x) \, \mathrm{d}x.\end{align*}

Es importante observar que, independientemente del caso en el que nos encontremos, para calcular la varianza de $X$ es necesario conocer el valor esperado de $X$.

Terminología y notación usual

Existe cierta notación especial para la varianza que encontrarás en la literatura referente a probabilidad y estadística. Si $X$ es una v.a., entonces suele denotarse a la varianza de $X$ con $\sigma^{2}$, o con $\sigma_{X}^{2}$, en caso de que sea necesario saber qué v.a. es la varianza. Además, a la raíz cuadrada (positiva) de la varianza (que bajo esta notación sería $\sigma$ o $\sigma_{X}$) se le conoce como desviación estándar. En resumen, si $X$ es una v.a., entonces podrías encontrarte con fuentes que adoptan la siguiente notación:

$\sigma_{X}^{2} := \mathrm{Var}(X)$ para denotar a la varianza.
$\sigma_{X} := \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ para denotar a la desviación estándar.

Nostros no adoptaremos esta notación en general, pero hay una distribución de probabilidad en particular en la que sí la utilizaremos.

Propiedades de la varianza

Debido a que la varianza se define como un valor esperado, tiene algunas propiedades que son consecuencia de lo que hemos estudiado en las últimas entradas.

La primera propiedad es muy elemental, y establece que la varianza de cualquier v.a. es no-negativa.

Propiedad 1. Sea $X$ una variable aleatoria. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) \geq 0. \end{align*}

Demostración. Te la dejamos como tarea moral.

$\square$

Por su parte, la siguiente propiedad establece que la varianza de una constante debe de ser $0$.

Propiedad 2. Sea $c\in\RR$ y $f_{c}$ la v.a. constante igual a $c$. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(f_{c}) &= 0. \end{align*}

Si abusamos un poco de la notación, lo anterior quiere decir que si $c\in\RR$ es un valor constante, entonces $ \mathrm{Var}(c) = 0$.

Demostración. Sea $v\colon\RR\to\RR$ la transformación que define a la varianza (en este caso, para cada $x\in\RR$, $v(x) = x − \Esp{f_{c}}$). Como $\Esp{f_{c}} = c$, entonces se tiene que $v(x) = x − c$. Así, $v(f_{c})$ es la v.a. dada por

\begin{align*} v(f_{c}(\omega)) &= f_{c}(\omega) − c & \text{para cada $\omega\in\Omega$.} \end{align*}

Además, como $f_{c}(\omega) = c$ para cualquier $\omega\in\Omega$, entonces se tiene que $v(f_{c})$ es la v.a. constante igual a $0$. En consecuencia,

\begin{align*} \mathrm{Var}(f_{c}) &= \Esp{v(f_{c})} = \Esp{0} = 0, \end{align*}

que es justamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

La propiedad 2 tiene sentido, pues la dispersión promedio de una v.a. que puede tomar un único valor debe de ser $0$.

La propiedad siguiente nos dice que la varianza es invariante ante traslaciones.

Propiedad 3. Sean $X$ una variable aleatoria y $c \in \RR$. Entonces

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + c) &= \mathrm{Var}(X) . \end{align*}

Demostración. Podemos obtener este resultado directamente desarrollando la expresión de la varianza de $X + c$, recordando que $\Esp{X + c} = \Esp{X} + c$:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + c) &= \Esp{(X + c − \Esp{X + c})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + c − (\Esp{X} + c))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + c − \Esp{X} − c))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} \\[1em] &= \mathrm{Var}(X) ,\end{align*}

que es precisamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

La propiedad 3 quiere decir que si trasladamos una v.a. sumándole una constante, su dispersión promedio no se ve afectada, pues el comportamiento probabilístico sigue siendo el mismo, lo único que se cambia es el «centro» de la distribución. Es decir, la v.a. trasladada tiene el mismo comportamiento, pero centrado alrededor de un valor distinto, por lo que su variabilidad con respecto a ese nuevo centro será la misma.

La propiedad que sigue establece que la varianza saca constantes multiplicando al cuadrado.

Propiedad 4. Sean $X$ una variable aleatoria y $c\in\RR$. Entonces

\begin{align*} \mathrm{Var}(cX) &= c^{2} \mathrm{Var}(X). \end{align*}

Demostración. Al igual que la propiedad 1, te dejamos esta como tarea moral.

$\square$

La siguiente propiedad establece una expresión más sencilla para el cálculo de la varianza de una v.a. $X$.

Propiedad 5. Sea $X$ una variable aleatoria con varianza finita. Entonces se cumple que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2}.\end{align*}

Demostración. Podemos hacer el siguiente desarrollo de la expresión que vimos en la definición de la varianza.

\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \Esp{{\left(X − \Esp{X}\right)}^{2}} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2} − 2 X \Esp{X} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2}} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} + \Esp{−2 X \Esp{X}} + \Esp{\left(\Esp{X}\right)^{2}} \tag{$*$} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − 2\Esp{X}\Esp{X} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2} \tag{$**$} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − 2{\left(\Esp{X}\right)}^{2} + {\left(\Esp{X}\right)}^{2} \\[0.5em] &= \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2}.\end{align*}

Observa que al pasar de $(*)$ a $(**)$ usamos que $−2\Esp{X} \in \RR$ es constante, por lo que «sale multiplicando».

$\square$

La propiedad 5 nos otorga una manera alternativa de calcular la varianza de una v.a. que nos será muy útil más adelante, en especial cuando hayamos visto el tema de la entrada siguiente.

¿La varianza «abre» la suma? ¡No siempre!

Como una última «propiedad», vamos a demostrar que, en general, la varianza no es lineal respecto a la suma. Esto es, en general se tiene que

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + Y) &\neq \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) . \end{align*}

Para confirmarlo, veamos la siguiente proposición.

Proposición 1. Sean $X$, $Y$ variables aleatorias. Entonces se tiene que

\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}.\end{align*}

Demostración. Podemos desarrollar la varianza de $X + Y$ directamente para obtener el resultado:

\begin{align*} \mathrm{Var}(X + Y) &= \Esp{(X + Y − \Esp{X + Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + Y − (\Esp{X} + \Esp{Y}))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X + Y − \Esp{X} − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{((X − \Esp{X}) + (Y − \Esp{Y}))^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2} − 2(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y}) + (Y − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} + \Esp{(Y − \Esp{Y})^{2}} \\[1em] &= \Esp{(X − \Esp{X})^{2}} + \Esp{(Y − \Esp{Y})^{2}} + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} \\[1em] &= \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}, \end{align*}

lo cual concluye la demostración.

$\square$

Con lo anterior, es evidente que no siempre $\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$, pues hay muchas v.a.’s para las cuales el valor $\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}$ es distinto de $0$. Sin embargo, un caso en el que sí se cumple que la varianza abre la suma es cuando $X$ y $Y$ son independientes. En tal caso, basta con demostrar que si $X$ y $Y$ son independientes, entonces

\begin{align*} \Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} &= 0. \end{align*}

De hecho, en el futuro verás que el valor $ \Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}$ es conocido como la covarianza entre $X$ y $Y$, que generalmente se denota con $\mathrm{Cov}(X,Y)$, y busca cuantificar la relación que existe entre $X$ y $Y$. De este modo, el resultado de la Proposición 1 puede reescribirse como sigue:

\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\mathrm{Cov}(X,Y).\end{align*}

Compendio de propiedades de la varianza

Antes de terminar, incluimos una lista de las propiedades vistas (y demostradas) en esta entrada. Todas estarán disponibles para que las uses en tus tareas y exámenes, a menos que tu profesor o profesora indique lo contrario.

Propiedades de la Varianza. Sean $X$ y $Y$ variables aleatorias con varianza finita, y sea $c\in\RR$. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

La varianza es no-negativa: \begin{align*}\mathrm{Var}(X) \geq 0,\end{align*}
La varianza de una constante es $0$: \begin{align*}\mathrm{Var}(c) = 0,\end{align*}
Es invariante ante traslaciones: \begin{align*}\mathrm{Var}(X+c) = \mathrm{Var}{X},\end{align*}
Saca constantes multiplicando al cuadrado: \begin{align*}\mathrm{Var}(cX) = c^{2}\mathrm{Var}(X),\end{align*}
Expresión alternativa para la varianza: \begin{align*}\mathrm{Var}(X) = \Esp{X^{2}} − {\left(\Esp{X}\right)}^{2},\end{align*}
Varianza de la suma de dos v.a.’s:\begin{align*}\mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}) + 2\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})}.\end{align*}

Tarea moral

Los siguientes ejercicios son opcionales. Es decir, no formarán parte de tu calificación. Sin embargo, te recomiendo resolverlos para que desarrolles tu dominio de los conceptos abordados en esta entrada.

Demuestra la Propiedad 1 de la varianza.
Demuestra también la Propiedad 4 de la varianza.
Usando la Proposición 1, demuestra que si $X$ y $Y$ son v.a.’s independientes, entonces\begin{align*} \mathrm{Var}({X + Y}) &= \mathrm{Var}({X}) + \mathrm{Var}({Y}). \end{align*}Sugerencia: En la entrada pasada vimos que cuando $X$ y $Y$ son independientes, $\Esp{XY}$ se puede «abrir». Utilíza eso para ver que $\Esp{(X − \Esp{X})(Y − \Esp{Y})} = 0$.

Más adelante…

Así como el valor esperado, la varianza es un concepto ubicuo en la probabilidad y la estadística. En conjunto, el valor esperado y la varianza son valores numéricos que resumen dos características del comportamiento de una variable aleatoria: la tendencia central y la variabilidad respecto a esa tendencia central. Por ello, incluso sin visualizar la densidad o masa de probabilidad de una v.a., estas cantidades pueden utilizarse para «darse una idea» de su aspecto y de su comportamiento.

En la entrada que sigue veremos un conjunto de valores asociados a la distribución de una variable aleatoria, conocidos como momentos.

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