(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)
Introducción
En la entrada anterior descubrimos que toda permutación se puede factorizar en producto de transposiciones. Mas aún, el polinomio de Vandermonde nos permite saber que, aunque hayan varias factorizaciones, en realidad, todas siempre tienen una cantidad par (o un cantidad impar) de transposiciones. Con esto, podemos definir el signo de una permutación. La secuencia que se seguirá para abordar el signo de una permutación es la presentada en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, es decir se usarán los resultados de la entrada previa de acuerdo al enfoque de Herstein, para introducir la función signo y probar que es multiplicativa, y con ello obtener la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman (todos estos libros son los que se mencionan en la bibliografía).
Ya teniendo una noción de la paridad de una permutación podemos jugar con las consecuencias: podemos deducir qué pasa si multiplicamos dos permutación con la misma paridad, qué sucede cuando tienen distinta paridad y además, como es raro en los cursos de matemáticas… ¡podemos agrupar por paridad! En esta entrada, descubrimos que el conjunto de transposiciones con signo par, es en realidad un grupo con $\frac{n!}{2}$ elementos. Este conjunto es llamado el grupo alternante.
¿Pares o impares?
Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha$ espar si $\alpha = \text{id}$ o si $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones. Por otro lado, $\alpha$ es impar si es un producto de un número impar de transposiciones.
La función signo es $sgn: S_n \to \{+1, -1\}$ definida como \begin{align*} sgn \; \alpha = \begin{cases} +1 & \text{si } \alpha \text{ es par} \\ -1 & \text{si } \alpha \text{ es impar} \end{cases} \end{align*}
Observación. Sean $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r \in S_n$, con $\tau_{1}, \cdots, \tau_r$ transposiciones. Entonces $sgn\;\alpha = (-1)^r$.
Demostración. La definición nos asegura que $sgn\;\alpha = +1$ si y sólo si $r$ es par.
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Proposición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Entonces $$sgn \;(\alpha \, \beta) = sgn\, \alpha \; sgn \, \beta.$$
Esto nos dice que la función signo ($sgn$) es multiplicativa. Esto lo hace más sencilla de trabajar.
Demostración.
Esto es bastante fácil de demostrar, para usar lo que vimos tenemos que expresar a estas permutaciones como producto de transposiciones.
Sean $\alpha, \beta \in S_n$, con $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r$, $\beta = \rho_1 \cdots \rho_t$. Donde, $\tau_1, \cdots, \tau_r, \rho_{1}, \cdots, \rho_t$ son transposiciones.
Si calculamos el signo del producto $\alpha\,\beta$ y usando la observación anterior, obtenemos lo siguiente: \begin{align*} sgn(\alpha \, \beta) &= sgn(\tau_1 \cdots \tau_r \, \rho_1 \cdots \rho_t) \\ & = (-1)^{r+t} & \text{Observación anterior}\\ & = (-1)^r \, (-1)^t & \text{Propiedades de las potencias}\\ & = sgn\, \alpha \; sgn\, \beta &\text{Observación anterior} \end{align*}
Esto es precisamente lo que queríamos probar.
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Podemos concluir que para calcular el signo de un producto, basta entender el signo de cada uno de los factores.
Calculando el signo de una permutación
Seguiremos puliendo la idea que nos dio la proposición anterior hasta llegar a una fórmula para sacar el signo de una permutación. Pero por ahora, veamos qué sucede con los $r$-ciclos.
Lema. Sea $\sigma = (i_1 \cdots i_r) \in S_n$ un $r$-ciclo. Entonces $sgn\, \sigma = (-1)^{r-1}$.
Demostración. Recordemos que en la entrada anterior vimos que podemos ver a $\sigma$ como producto de transposiciones: \begin{align*} \sigma &= (i_1 \cdots i_r) = (i_1\,i_r) \cdots (i_1 \, i_2). \end{align*} Intuitivamente, estamos intercambiando a $i_1$ con los elementos que le siguen, esto nos da $r-1$ transposiciones. Por lo tanto, $\sigma$ es un producto de $r-1$ transposiciones. De acuerdo con la observación, podemos concluir que $sgn \, \sigma = (-1)^{r-1}$.
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Estamos listos para enunciar y probar la fórmula del signo que aparece en el libro de Rotman que se menciona en la bibliografía, y que resulta muy útil para calcular el signo de una permutación.
Teorema. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Entonces $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$, donde $t$ es la cantidad de factores que tiene la factorización completa de $\alpha$.
Demostración. Como el signo es multiplicativo, \begin{align*} sgn\,\alpha = \prod_{i=1}^t sgn\,\beta_i. \end{align*} Estamos tomando una factorización completa de $\alpha$, entonces todos los $\beta_i$ son ciclos disjuntos. Así que su signo está dado por la longitud del ciclo (de acuerdo al lema dado): \begin{align*} sgn\,\beta_i = (-1)^{\text{long}\,\beta_i-1} \qquad \forall i\in\{1,\dots,t\}. \end{align*} Juntando ambas ecuaciones y sumando los $t$ exponentes obtenemos las siguientes igualdades \begin{align*} sgn\,\alpha &= \prod_{i = 1}^{t} sgn \,\beta_i & \text{Proposición} \\&= \prod_{i = 1}^t (-1)^{\text{long}\,\beta_i – 1} &\text{Lema}\\ & = (-1)^{\left(\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i \right) -\;\large{ t}} = (-1)^{n-t}. &\text{Leyes de exponentes} \end{align*}
Como la factorización es completa, la siguiente igualdad se cumple: $$\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i = n.$$
Por lo tanto $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$.
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Esta forma resulta útil porque ya no necesito descomponer una permutación en producto de transposiciones, nos basta con encontrar una factorización completa. Veamos esto con un ejemplo.
También podemos escribirla como $\alpha = (1\;2\;4\;5)(3\;7)(6\;8\;9)(10)$. Esto nos muestra que $\alpha$ es una factorización completa con 4 factores.
Entonces, de acuerdo con el teorema que acabamos de probar, $$sgn\,\alpha = (-1)^{10-4} = (-1)^6 = +1.$$
Por otro lado podemos sacar una factorización de $\alpha$ en transposiciones: $\alpha = (1 \; 5)(1 \; 4)(1 \; 2)(3 \; 7)(6 \; 9)(6 \; 8)$ que tiene 6 transposiciones. Entonces, efectivamente $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones.
Hora de Agrupar
Hemos visto que la función $sgn$ es una función mutliplicativa. Esto nos da como consecuencia que al multiplicar dos permutaciones con la misma paridad, te da como resultado una permutación par. En caso contrario, el resultado es impar. Ahora nos fijaremos solamente en las permutaciones pares.
Definición. El grupo alternante para $n$ elementos está definido como
Observación. $A_n$ efectivamente es un subgrupo de $S_n$.
Demostración. Si $\alpha = \text{id}$, por definición del signo, $sgn\,\text{id} = +1$. Así, $\text{id}\in A_n$.
Sean $\alpha, \beta \in A_n$. Como la función signo es multiplicativa: \begin{align*} sgn\,\alpha\beta = sgn \, \alpha \; sgn \, \beta = (+1)(+1) = +1. \end{align*} Así, $\alpha\beta \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo el producto.
Por último, sea $\alpha \in A_n$.
Por un lado, usando la propiedad multiplicativa del signo obtenemos: \begin{align*} sgn\,(\alpha\alpha^{-1}) = sgn \, \alpha \; sgn \, \alpha^{-1} = (+1)\, sgn\, \alpha^{-1}. \end{align*}
Por otro lado, como $\alpha \,\alpha^{-1} = \text{id}$, tenemos: \begin{align*} sgn\,(\alpha\,\alpha^{-1}) = sgn\, \text{id} = +1. \end{align*}
Por lo tanto $sgn\,(\alpha\, \alpha^{-1}) = +1$, así $\alpha^{-1} \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo inversos.
Por lo tanto $A_n$ es un subgrupo de $S_n$.
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El siguiente resultado nos muestra que el grupo alternante $A_n$ «parte en dos» a las permutaciones, es decir, la mitad de permutaciones son pares.
Proposición. Sea $n>1$, entonces $|A_n| = \frac{n!}{2}$.
Demostración. Podemos ver a $S_n$ como la unión de las permutaciones pares e impares, esto se expresa así $$S_n = A_n \cup (S_n\setminus A_n).$$ Pero, podemos dar una biyección definida como $\phi: A_n \to S_n\setminus A_n$, definida como $\phi \, \alpha = (1\;2)\alpha$.
Notación. Para denotar la cardinalidad u orden de un conjunto $A$, usamos dos notaciones: \begin{align*} |A| \to & \;\text{Si $A$ es un grupo.}\\ \# A \to & \;\text{Si $A$ no es un grupo (o si no sabemos si $A$ es un grupo o no).} \end{align*}
Encuentra $\alpha^{-1}$, el signo de $\alpha$ y el de $\alpha^{-1}$.
En general, ¿qué pasará con el signo de una permutación y de su inversa?
Sea $\alpha$ un $r$ ciclo en $S_n$. ¿Podemos determinar el signo de $\alpha$ a partir de la paridad de $r$?
Dada $\alpha \in S_n$ decimos que los números $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$ forman una inversión si $i<j$ pero $\alpha(i) > \alpha(j)$. ¿Qué relación existe entre la paridad y el número de inversiones de $\alpha$?
Encuentra todos los elementos de $A_4$.
Más adelante…
Esta entrada nos sirvió para construir los cimientos, es importante que lo tengamos claro antes de avanzar. En la siguiente entrada definiremos el producto de $S$ con $T$, veremos en qué situaciones el producto de los subconjuntos conmuta, cuándo se cumple que $ST$ es un subgrupo de $G$. Esto nos ayudará para definir las clases laterales. Más adelante, estas clases nos ayudarán a definir una nueva relación de equivalencia.
En entradas anteriores hemos estudiado a detalle sistemas de dos ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$. Resolvimos tales sistemas de manera analítica, hallando su solución general, y también estudiamos el comportamiento de las curvas solución en el plano fase. Vimos que los valores propios asociados al sistema determinan la estabilidad de los puntos de equilibrio y la forma del plano fase. Finalmente, en la entrada anterior clasificamos las formas de los planos fase y los puntos de equilibrio, según la traza y el determinante de la matriz asociada al sistema.
Ahora que tenemos esta información a nuestra disposición, podemos estudiar sistemas de ecuaciones no lineales. Como en el caso lineal, nos enfocaremos en sistemas autónomos, donde la variable independiente $t$ no aparece explícitamente en el sistema. Lo primero que haremos será analizar algunos sistemas y sus campos vectoriales asociados, los cuales van a sugerir soluciones que ya no tienen un comportamiento conocido o fácil de interpretar como en los sistemas lineales. Necesitaremos nuevos métodos para conocer el plano fase por completo.
De tu curso de Cálculo de varias variables, sabes que la mejor aproximación lineal a una función $\textbf{F}:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ en un punto $(x_{0},y_{0})$ está dada por la matriz jacobiana evaluada en dicho punto. En nuestro caso, tenemos que $$\textbf{F}(x,y)=(F_{1}(x,y).F_{2}(x,y))$$ entonces la matriz jacobiana se convierte en $$\textbf{DF}(x_{0},y_{0})= \begin{pmatrix} \frac{\partial{F_{1}}}{\partial{x}}(x_{0},y_{0}) & \frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}(x_{0},y_{0}) \\ \frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}(x_{0},y_{0}) & \frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}(x_{0},y_{0}) \end{pmatrix}.$$ Esta matriz tendrá coeficientes constantes, y al sistema $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{DF}(x_{0},y_{0})\textbf{X}$$ ya sabemos analizarlo.
El teorema de Hartman – Grobman nos garantizará que las soluciones al sistema no lineal cercanas al punto de equilibrio se comportarán de una manera similar a las curvas del plano fase del sistema lineal obtenido por la linealización. Con este método, podremos conocer una parte del plano fase.
Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio
En el primer video revisamos tres ejemplos de sistemas de ecuaciones no lineales, estudiamos sus planos fase a través del campo vectorial asociado y vemos las dificultades que se presentan. Posteriormente linealizamos un sistema de ecuaciones cerca de sus puntos de equilibrio mediante la matriz jacobiana del campo asociado. Finalmente enunciamos el teorema de Hartman – Grobman.
En el segundo video linealizamos dos sistemas de ecuaciones no lineales, y estudiamos el comportamiento de las curvas solución cerca de los puntos de equilibrio.
El péndulo simple
Estudiamos el sistema de ecuaciones asociado al movimiento simple de un péndulo. Linealizamos los puntos de equilibrio, estudiamos el plano fase y por último, interpretamos las curvas solución del plano fase.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.
Los campos vectoriales de las imágenes fueron realizados en el siguiente enlace.
Construye un sistema de dos ecuaciones no lineal tal que $(0,0)$ sea el único punto de equilibrio, y tal que las soluciones cerca del origen se comporten como espirales. Justifica tu respuesta.
Prueba que el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}-xy^{3} \\ \dot{y} & = & x+y^{2} \end{array}$$ tiene dos puntos de equilibrio. Linealiza cerca de los puntos de equilibrio y determina el comportamiento de las soluciones cercanas, siempre y cuando esto sea posible.
Campo vectorial del ejercicio 1
Determina los puntos de equilibrio y el comportamiento de las soluciones cerca de estos, del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -2x+y \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$
Campo vectorial del ejercicio 2
Calcula los puntos de equilibrio del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}-y^{2} \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$ Determina el comportamiento de los puntos de equilibrio, cuando esto sea posible.
Campo vectorial del ejercicio 3
Encuentra los puntos de equilibrio y el comportamiento de las soluciones cerca de estos, para el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \sin{x} \\ \dot{y} & = & \cos{y} \end{array}$$ cuando sea posible.
Más adelante
Hemos avanzado un poco en nuestro propósito de estudiar el plano fase de sistemas de dos ecuaciones no lineales. Al obtener la linealización de los puntos de equilibrio conocemos, al menos, el comportamiento de las curvas solución cerca de estos.
En la siguiente entrada estudiaremos el método de las nulclinas, que nos permitirá conocer más aspectos del plano fase a un sistema no lineal, no solamente cerca de los puntos de equilibrio, sino que además nos permitirá conocer el comportamiento de soluciones lejanas. Las nulclinas son los conjuntos de puntos donde las funciones coordenadas $\textbf{F}_{i}$ del campo vectorial asociado al sistema se anulan. En el caso de sistemas de dos ecuaciones, las nulclinas dividirán el plano $x(t)-y(t)$ en regiones. Estudiaremos el comportamiento de las soluciones en cada región y podremos tener un mejor conocimiento del plano fase entero.
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»
En esta entrada hablaremos acerca de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos. Algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.
Conceptos previos
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos arbitrarios, definimos la diferencia simétrica de $A$ con $B$, como:
Si observamos con detalle el ejemplo anterior podremos notar que el conjunto que nos resulta también es igual a $(A\cup B)\setminus (A\cap B)$. De hecho, no solo ocurre para este caso en particular, sino que ocurre para cualesquiera conjuntos. Vamos a probarlo a continuación:
Proposición. Para cualesquiera $A, B$ conjuntos, se cumple que $A\triangle B=(A\cup B)\setminus (A\cap B)$.
Proposición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Sea $X$ un conjunto con respecto al cual tomaremos complementos. Se cumplen las siguientes igualdades de conjuntos:
Proposición. $A\triangle B=\emptyset$ si y sólo si $A=B$.
Demostración.
Supongamos primero que $A=B$, entonces $A\triangle B= (A\setminus B)\cup (B\setminus A)= (A\setminus A)\cup (A\setminus A)=\emptyset\cup \emptyset=\emptyset$.
Por otro lado, si $A\triangle B=\emptyset$, tenemos que $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)= \emptyset$. Esto implica que $A\setminus B=\emptyset=B\setminus A$ pues de otra forma la unión de estos conjuntos no resultaría ser el conjunto vacío. Por un lado, $A\setminus B=\emptyset$ implica que $A\subseteq B$ y $B\setminus A=\emptyset$ implica que $B\subseteq A$. Por lo tanto, $A=B$.
$\square$
Tarea moral
Para $A$, $B$ y $C$ conjuntos, demuestra que se satisfacen las siguientes propiedades:
En la siguiente entrada introduciremos nuevos conceptos: definiremos qué es un par ordenado y a partir de éste concepto definiremos al producto cartesiano. Será necesario que recuerdes el concepto de par no ordenado. (Ver Teoría de los Conjuntos I: Axioma de unión y axioma de par).
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»
Al estudiar matemáticas un concepto que no puede pasar desapercibido es el del infinito. Intuitivamente cuando pensamos en el infinito estamos considerando a algo que no tiene fin, algo sin límites. Aunque dicho concepto aparece en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo, el análisis, la geometría, la teoría de conjuntos, entre otras, es claro que la idea que tenemos sobre él es equivalente entre todas estas ramas y su importancia radica en que nos permite entender y describir mejor alguna problemática puntual. Por ejemplo cuando queremos hablar sobre el comportamiento de una sucesión conforme está crece cada vez más y más hacemos uso del límite al infinito de nuestra variable, o cuando hablamos de la cardinalidad de un conjunto que tiene una cantidad de elementos numerable, intuitivamente pensamos en que dicho conjunto tiene una infinidad de elementos.
Lo anterior no es la excepción al estudiar Variable Compleja. Dado que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ no puede ordenarse bajo la relación de ser positivo, la idea de que un número complejo $z = a + ib$ crezca o decrezca no tiene sentido. Sin embargo podemos preguntarnos en qué sucede con su módulo $|\,z\,|$, ya que conforme crece $|\,z\,|$ de manera arbitraria tendremos que el número complejo $z$ se alejará más del origen. Entonces, al pensar en que $z \rightarrow \infty$ no tendremos que distinguir entre las direcciones de los ejes, sino simplemente recordar que estamos pensando en que el módulo $|\,z\,|$ crece sin límite a lo largo de los ejes real e imaginario, por lo que la notación $|\,z\,| \rightarrow \infty$ será lo mismo que $a^2+b^2 \rightarrow \infty$.
En su momento veremos que es necesario estudiar funciones de variable compleja para las que el módulo de la variable crezca de manera arbitraria, por lo que resulta conveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al infinito, denotado por $\infty$.
Definición 11.1. (El plano complejo extendido.) Se define al plano complejo extendido como el conjunto dotado con el punto $z_\infty=\infty$ como: \begin{equation*} \mathbb{C}_{\infty} := \mathbb{C}\cup \{\infty\}. \end{equation*}
Observación 11.1. Es claro que en el plano complejo $\mathbb{C}$ no existe un lugar destinado para el punto al infinito. Sin embargo, ¿qué pasa con aquellos puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z\,|>\frac{1}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon>0$ suficientemente pequeño? El punto al infinito nos permite responder esta pregunta, ya que a los puntos con dicha propiedad los podemos pensar como un $\varepsilon$-vecindario del punto al infinito.
Primeramente debemos establecer las siguientes reglas aritméticas para poder operar con este nuevo punto del plano complejo extendido: \begin{align*} z \pm \infty = \infty \pm z = \infty, \quad \forall z \in \mathbb{C}.\\ z \cdot \infty = \infty \cdot z = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\ \frac{z}{0} = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\ \frac{z}{\infty} = 0, \quad \text{si}\,\,\, z \neq \infty.\ \end{align*}
Un módelo que nos permite representar al plano complejo extendido es la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$, cuyo centro es el punto $(0,0,1)$, situada sobre el plano complejo $\mathbb{C}$, figura 52, es decir el conjunto: \begin{equation*} \mathbb{S} = \{ (x,y,u) \in \mathbb{R}^3 \, : \, x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1 \}, \end{equation*} dotada con los puntos $N=(0,0,2)$, llamado el polo norte o el punto al infinito y $O=(0,0,0)$ llamado el polo sur o el origen. A dicho modelo se le denomina la esfera de Riemann.
Es posible identificar a $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ con el plano complejo si consideramos a $\mathbb{C}$ como el plano: \begin{equation*} \Pi = \{(a,b,0)\in\mathbb{R}^3 \, : \, a,b \in \mathbb{R}\}, \tag{11.1} \end{equation*} y al punto $N$ con el punto al infinito.
Figura 52: La esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dada por $x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1$, y el plano complejo $\mathbb{C}$, dado por (11.1), relacionados mediante la proyección estereográfica.
De acuerdo con la gráfica, tenemos que un número complejo $z=a+ib$ con un módulo demasiado grande se aleja del origen $(0,0,0)$ conforme el punto $P=(x_0,y_0,u_0)$ está más cerca del punto al infinito $N$.
Notemos que si trazamos una recta desde $N$ hasta el número complejo $z=a+ib$ en el plano complejo, al cual le corresponde el punto $(a,b,0)$ en $\mathbb{R}^3$, entonces existe un único punto $P=(x_0, y_0, u_0)$ en la esfera de Riemann tal que pertenece a dicha recta. Por otra parte, para un punto $P=(x_0, y_0, u_0)\in\mathbb{S}$, distinto de $N$, es posible extender el segmento de recta que une a $N$ con dicho punto $P$ hasta intersecar al plano complejo $\mathbb{C}$ en un único punto $z=a+ib$, figura 52.
Lo anterior nos deja ver que existe una relación biunívoca entre $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ y $\mathbb{C}$, pensado como el plano (11.1), descrita a continuación.
Podemos escribir a la recta que pasa por los puntos $N=(0,0,2)$ y $P=(x_0,y_0,u_0)$ en su forma paramétrica como: \begin{equation*} N + (P-N)t, \quad t\in\mathbb{R}. \tag{11.2} \end{equation*} Dado que la recta (11.2) interseca al plano $\mathbb{C}$, dado por (11.1), en el número complejo $z=a+ib$, es decir el punto $(a,b,0)$, entonces se tiene que para algún $t\in\mathbb{R}$: \begin{align*} (a,b,0) &= N + (P-N)t\\ & = (tx_0,ty_0, 2 + t(u_0-2)). \end{align*} De lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*} a = t x_0,\tag{11.3.1} \\ b = t y_0,\tag{11.3.2} \\ 2(t-1) = t u_0. \tag{11.3.3} \end{align*} Además de (11.3.3) es claro que: \begin{equation*} t = \frac{2}{2-u_0}. \tag{11.3.4} \end{equation*} Sustituyendo (11.3.4) en (11.3.1) y (11.3.2) tenemos: \begin{align*} a = \frac{2x_0}{2-u_0},\\ b = \frac{2y_0}{2-u_0}. \tag{11.4} \end{align*}
Por otra parte, sabemos que $P=(x_0,y_0,u_0) \in \mathbb{S}$, por lo que satisface: \begin{equation*} x_0^2 + y_0^2 + (u_0 – 1)^2 = 1. \end{equation*}
Dado que $z=a+ib\in\mathbb{C}$, sabemos que $|\,z\,|^2 = a^2 + b^2 $, por lo que sustituyendo (11.3.1), (11.3.2) y (11.3.3) en (11.5.1) tenemos: \begin{align*} a^2 + b^2 + 4(t-1)^2 = 4t(t-1).\\ \\ \Longrightarrow \quad t = \frac{|\,z\,|^2 + 4}{4}\tag{11.5.2} \end{align*}
De (11.3.1), (11.3.2), (11.3.3) y (11.5.2) se sigue que: \begin{align*} x_0 = \frac{a}{t} = \frac{4a}{|\,z\,|^2 + 4},\\ y_0 = \frac{b}{t} = \frac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \tag{11.6} \end{align*} \begin{equation*} u_0 = \frac{2(t-1)}{t} = \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}. \end{equation*}
Esta forma de asociar o hacer corresponder a los putos $z$ de $\mathbb{C}$ con la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dotada con $N=(0,0,2)$ y $O=(0,0,0)$, se le conoce como la proyección estereográfica.
Definición 11.2. (La proyección estereográfica.) Definimos a la proyección estereográfica como la función $\varphi:\mathbb{S} \to \mathbb{C}_{\infty}$ tal que para $P=(x,y,u)\in \mathbb{S}$: \begin{equation*} \varphi(P) = \left\{\begin{array}{lcc} \infty, & \text{si} & P=N=(0,0,2),\\ \\ z= a+ib, & \text{si} & P \neq N, \end{array} \right. \end{equation*} donde $z=a+ib\in\mathbb{C}$ representa al punto $(a,b,0)$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $a = \dfrac{2x}{2-u}$, $b=\dfrac{2y}{2-u}$.
Proposición 11.1. Sea $\mathbb{S}^* = \mathbb{S}\setminus{N}$. La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre $(\mathbb{S}^*,d_{\mathbb{R}^3})$ y $(\mathbb{C},d)$, donde $d_{\mathbb{R}^3}$ es la distancia usual de $\mathbb{R}^3$ y $d$ la métrica euclidiana en $\mathbb{C}$.
Demostración. Veamos que está función es biyectiva. Es claro que si $P,Q\in\mathbb{S}^*$, entonces para algún $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ se tiene: \begin{align*} \varphi(P) = \varphi(Q) \quad & \Longrightarrow \quad z_1 = z_2\\ & \Longrightarrow \quad \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2)\\ & \quad \quad \quad \, \operatorname{Im}(z_1) =\operatorname{Im}(z_2)\\ & \quad \quad \quad \, \, \text{y} \,\, |\,z_1\,| = |\,z_2\,|. \end{align*} Por lo que $P=Q$, entonces $\varphi$ es inyectiva.
Consideremos a $z=a+ib \in\mathbb{C}$, notemos que si $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}^*$, con $x_0$, $y_0$ y $u_0$ dados como en (11.6) entonces: \begin{align*} \varphi(P) & = \varphi\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}, \frac{4b}{|\,z\,|^2+4}, \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}\right)\\ & = \frac{2\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}} + i\, \frac{2\left(\frac{4b}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}}\\ & = a + ib\\ & = z. \end{align*} Por lo tanto, como $z\in\mathbb{C}$ era arbitrario se sigue que para todo número complejo $z$ existe un punto $P\in\mathbb{S}^*$ tal que $\varphi(P) = z$. Por lo tanto $\varphi$ es sobreyectiva.
Dado que la proyección estereográfica es una función biyectiva, entonces existe la función inversa de $\varphi$, digamos $\varphi^{-1}$, la cual es una función que va de $\mathbb{C}_\infty$ a $\mathbb{S}$ tal que para $z\in\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*} \varphi^{-1}(z) = \left\{\begin{array}{lll} N=(0,0,2), & \text{si} & z = \infty,\\ P= \left( \dfrac{4a}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}\right), & \text{si} & z = a+ib \in\mathbb{C}. \end{array} \right. \end{equation*} Considerando las ecuaciones que definen a las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$, dadas en (11.4) y en (11.6), no es difícil verificar que ambas funciones son continuas en su respectivo dominio, por lo que se deja como ejercicio.
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Observación 11.2. Consideremos la ecuación general de un plano, es decir: \begin{equation*} Ax+By+Cu+D=0. \end{equation*} Si dicho plano pasa por el centro de la esfera $\mathbb{S}$, es decir por el punto $(0,0,1)$, entonces dicho plano es de la forma: \begin{equation*} Ax+By+C(u-1)=0. \tag{11.7} \end{equation*} Más aún, al intersecar a la esfera $\mathbb{S}$ con un plano de la forma (11.7) se obtiene una circunferencia máxima.
Observación 11.3. Notemos que bajo la proyección estereográfica los lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ corresponden con lugares geométricos de la esfera de Riemann $\mathbb{S}$ y viceversa. Es importante recordar que no existe un punto en el plano complejo destinado para el punto al infinito, sin embargo no es difícil observar de manera geométrica que líneas longitudinales que pasan por el polo norte $N$, como el meridiano 0 o meridiano de Greenwich, corresponden con rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen $z=0$. Por otra parte, en la esfera de Riemann las líneas de latitud, como el ecuador, corresponden con circunferencias en el plano complejo $\mathbb{C}$ centradas en el origen $z=0$, mientras que una circunferencia arbitraria en la esfera de Riemann, que no pase por el polo norte $N$, corresponde con una circunferencia en el plano complejo $\mathbb{C}$. No debe ser difícil notar que conforme el radio de las circunferencias tiende a infinito, las líneas de latitud en la esfera tienden al polo norte $N$ que corresponde con el punto al infinito.
Figura 53: La proyección estereográfica manda circunferencias que pasan por el polo norte en rectas.
Figura 54: La proyección estereográfica manda circunferencias que no pasan por el polo norte en circunferencias.
Proposición 11.2. Bajo la proyección esterográfica, circunferencias en la esfera de Riemann, $\mathbb{S}$, corresponden con circunferencias o rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$, figuras 53 y 54.
Demostración.Se deja como ejercicio al lector.
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Observación 11.4. De nuestros cursos de Geometría Analítica y Cálculo sabemos que una trayectoria o camino en $\mathbb{R}^n$ es una función continua $\gamma:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}^n$, y al conjunto $\Gamma = \{ \gamma(t) \, : \, t\in(c,d)\}$ lo llamamos la curva descrita por $\gamma$. Además sabemos que podemos expresar a una trayectoria $\gamma$ por medio de sus funciones componentes, por ejemplo en $\mathbb{R}^3$ tenemos que $\gamma(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)$ donde $x(t),y(t),z(t)$ son funciones reales continuas llamadas las componentes de $\gamma$. Por otra parte, decimos que una curva es suave en $(c,d)$ si es diferenciable en $(c,d)$, es decir si sus funciones componentes son derivables en $(c,d)$ y sus derivadas no se anulan simultáneamente en $(c,d)$, excepto quizás en $c$ o $d$.
Observación 11.5. Por otra parte, sabemos que el ángulo $\theta$ entre dos vectores $u,v$ en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ se puede obtener mediante: \begin{equation*} \operatorname{cos}(\theta) = \frac{u \cdot v}{\left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert}, \end{equation*} donde «$\cdot$» representa el producto interior entre $u$ y $v$, mientras que $\left\lVert \cdot \right\rVert$ la norma de cada vector.
Dadas dos curvas suaves, descritas por $\gamma_1$ y $\gamma_2$, podemos definir el ángulo entre ellas como el ángulo que se forma entre las rectas tangentes a cada curva en un punto de intersección. Es claro que dadas dos rectas tangentes, que se intersecan entre sí, se obtienen dos ángulos distintos, digamos $\theta_1$ y $\theta_2$ cuya relación entre ellos está dada por $\theta_1 + \theta_2 = \pi$, por lo que para evitar confusión sobre cuál de los dos ángulos obtenidos se está considerando, diremos que el ángulo $\theta$ que se forma entre dos curvas suaves será tal que $\theta\in(0,\pi/2)$. Con esta consideración tenemos que $\operatorname{cos}(\theta)>0$.
Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué pasa con los ángulos entre cualesquiera dos curvas suaves en el plano complejo $\mathbb{C}$ o en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$?, es decir, ¿bajo la proyección estereográfica se conserva el ángulo entre dos curvas suaves? Para responder esta pregunta primeramente podemos realizar un análisis geométrico.
De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo y Geometría sabemos que es posible encontrar el plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_P$. Consideremos al plano $u=2$, es decir el plano tangente a $\mathbb{S}$ en el polo norte $N$, digamos $\Pi_N$ y consideremos al plano que pasa por el centro de $\mathbb{S}$, por el polo norte $N$ y por el punto $P$, digamos $\Pi_{CNP}$. No es difícil convencerse de que la intersección de dicho plano con la esfera $\mathbb{S}$ determina una circunferencia máxima, digamos $\mathcal{C}$, además la intersección del plano $\Pi_{CNP}$ con los planos $\Pi_P$, $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ determina tres rectas, digamos $\mathcal{L}_P$, $\mathcal{L}_N$ y $\mathcal{L}_O$, la primera recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $P$ y la segunda recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $N$, mientras que la tercera recta es tangente a $\mathbb{S}$ en el origen y pasa por el punto $z_0=\varphi(P)$. Notemos que $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_N$ se intersecan en un punto $Q\in\mathbb{R}^3$ y las rectas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_O$ se intersecan en un punto $w\in\mathbb{C}$. Por otra parte la intersección de los planos $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ con el plano $\Pi_P$ determinan otras dos rectas, digamos $\mathcal{L}_Q$ y $\mathcal{L}_w$, la primera pasa por $Q$ y la segunda pasa por $w$. Por construcción es claro que la recta $\mathcal{L}_N$ pasa por el punto $Q$, figura 55.
Dada la perfecta simetría de la esfera, es fácil concluir que los planos $\Pi_N$ y $\Pi_P$ forman los mismos ángulos con la recta que pasa por $N$ y $P$, digamos $\mathcal{L}_{NP}$, y que la recta $\mathcal{L}_Q$ es perpendicular a la recta $\mathcal{L}_{NP}$. Para ver esto más claro consideremos el corte transversal hecho sobre la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Más aún, como el plano $\Pi_N$ es paralelo al plano complejo $\mathbb{C}$, es claro que los planos $\Pi_P$ y $\mathbb{C}$ forman los mismos ángulos con la recta $\mathcal{L}_{NP}$ en el punto $z_0\in\mathbb{C}$ dado por la proyección estereográfica, figura 55. De acuerdo con la figura 56 es claro que los triángulos $NQP$ y $Pwz_0$ son semejantes.
Supongamos que dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, digamos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P\neq N$. Sean $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ las respectivas rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P$ y sea $\beta$ el ángulo entre ellas, es decir $\beta\in(0,\pi/2)$.
Sin perder generalidad consideremos a la recta tangente $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto $P\in\mathbb{S}$. Es fácil convencerse que la recta tangente bajo la proyección estereográfica en el punto $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, digamos $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, está dada por la intersección de un plano que contiene a $\mathcal{L}_{2T}$ y $\mathcal{L}_{NP}$, digamos $\pi$, con el plano complejo $\mathbb{C}$. Considerando lo anterior tenemos que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_{NP}$. Más aún, dado que la intersección del plano $\Pi_P$ con $\mathbb{C}$ determina a la recta $\mathcal{L}_w$ entonces es fácil concluir que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_w$, figura 57.
Haciendo lo mismo con la recta tangente $\mathcal{L}_{1T}$ concluimos que los ángulos que forman las dos rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, es decir $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman los mismos ángulos que las rectas tangentes a las imágenes de las curvas, digamos $\varphi\left(\Gamma_1\right)$ y $\varphi\left(\Gamma_2\right)$, dadas por la proyección estereográfica en el punto de intersección $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, figura 58.
Figura 55: Intersección de los planos tangentes, $\Pi_{N}$, $\Pi_{P}$ y $\mathbb{C}$, a $\mathbb{S}$ en los puntos $N$, $P$ y $O$, con el plano $\Pi_{CNP}$.
Figura 56: Circunferencia máxima $\mathcal{C}$ dada por la intersección de la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Las líneas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_{N}$ forman los mismos ángulos con la línea $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 57: Rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, dadas por las intersecciones de los planos $\pi$ con $\Pi_P$ y $\pi$ con $\mathbb{C}$ respectivamente, forman los mismos ángulos con las rectas $\mathcal{L}_w$ y $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 58: Las rectas tangentes $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman el mismo ángulo, que sus imágenes bajo la proyección estereográfica.
Hasta ahora hemos argumentado de manera geométrica que bajo la proyección estereográfica el ángulo que se forma entre dos curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se conserva, ahora haremos una prueba analítica de esta propiedad, para ello consideremos lo siguiente.
Observación 11.6. Notemos que para cualesquiera dos curvas suaves en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, al hablar del ángulo $\alpha$ que se forma entre ellas en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ necesitamos pensar en el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre sus rectas tangentes en dicho punto, pero ¿cómo obtenemos una recta tangente a una curva suave en un punto $P\in\mathbb{S}$? Supongamos que una curva suave en $\mathbb{S}$ está descrita por la trayectoria $\gamma:(c,d)\rightarrow\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$ cuyas funciones componentes son $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$, es decir $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$. Dado que la curva es suave en $(c,d)$ tenemos que existe $\gamma'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t)) \neq 0$ para toda $t\in(c,d)$. Considerando que la curva descrita por $\gamma$ pasa por el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}$, entonces para algún $t_0\in(c,d)$ se cumple que $\gamma(t_0) = P$, por lo que podemos determinar a la recta tangente a dicha curva en el punto $P$, digamos $\mathcal{L}_{T}$, de forma paramétrica como: \begin{equation*} \mathcal{L}_T: \quad P + \gamma'(t_0) \lambda, \quad \lambda\in\mathbb{R}. \end{equation*}
Observación 11.7. De manera geométrica es claro que $\mathcal{L}_T$ se puede obtener mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_T$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por $P$, digamos $\Pi_{CP}$. Considerando el plano $\Pi_{CP}$, por la observación 11.2 tenemos que existe una circunferencia máxima que que cae en dicho plano y que además pasa por el punto $P\in\mathbb{S}$. Entonces podemos concluir que para una recta tangente a la esfera en un punto $P$ existe una circunferencia máxima que pasa por dicho punto y que cae en el plano $\Pi_{CP}$.
De acuerdo con lo anterior, ver qué pasa con el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman las rectas tangentes a dos curvas suaves en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, es equivalente a ver qué sucede con el ángulo que se forma entre dos circunferencias máximas de la esfera $\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, el cual está dado por el ángulo que se forma entre los planos en los que caen dichas circunferencias.
Proposición 11.3. La proyección estereográfica es conforme o isogonal, es decir preserva ángulos.
Este resultado nos dice que el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que forman dos curvas suaves en la esfera $\mathbb{S}$, en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, se preserva bajo la proyección estereográfica, es decir que en el plano complejo $\mathbb{C}$ las rectas tangentes de las imágenes de dichas curvas bajo la proyección estereográfica, en la imagen del punto de intersección, formarán nuevamente un ángulo $\theta$. Recíprocamente para dos curvas suaves que se intersecan en el plano complejo $\mathbb{C}$, es decir en el plano $\Pi$ dado por (11.1), el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ formado por sus rectas tangentes en el punto de intersección se preserva bajo la proyección estereográfica.
Figura 57: El ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P\in\mathbb{S}$ se preserva bajo la proyección estereográfica.
Demostración. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, descritas por $\gamma_1:(c,d)\rightarrow\mathbb{R}^3$ y $\gamma_2:(e,f)\rightarrow\mathbb{R}^3$, las cuales se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*} \gamma_1(t) = (x_1(t),y_1(t),u_1(t)),\\ \gamma_2(t) = (x_2(t),y_2(t),u_2(t)). \end{align*} Para probar este resultado consideremos los siguientes casos:
El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en el polo norte $N$ (o en el polo sur $O$) se preserva bajo la proyección estereográfica.
El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en un punto $P\neq N$ se preserva bajo la proyección estereográfica.
Caso 1. Dado que el polo norte $N$ y el polo sur $O$ son puntos antipodales en $\mathbb{S}$, una circunferencia máxima que pase por el polo norte también pasa por el polo sur. Entonces, considerando la observación 11.7, tenemos que es indistinto si las dos curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte o en el polo sur, pues el ángulo que forman sus rectas tangentes en cualquiera de dichos puntos será el mismo que forman las dos circunferencias máximas que pasan por dichos puntos, es decir, el ángulo que se forma entre los dos planos que contienen a cada una de las circunferencias máximas.
Entonces, sin pérdida de generalidad supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte $N=(0,0,2)$. Por la observación 11.7 sabemos que cada recta tangente a cada curva, en el punto $N=(0,0,2)$, se obtiene mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el polo norte, es decir el plano $u=2$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por el punto $N=(0,0,2)$, digamos $\Pi_{CN}$. De acuerdo con la observación 11.2 dichos planos son de la forma: \begin{align*} \Pi_{1CN}: \quad A_1x+B_1y=0,\\ \Pi_{2CN}: \quad A_2x+B_2y=0. \end{align*} Más aún, sabemos que en cada uno de estos planos cae una circunferencia máxima que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$. Por lo que considerando las observaciones 11.5 y 11.7 tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman dichas circunferencias es tal que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\theta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\ & = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}. \end{align*} De acuerdo con la proposición 11.1, tenemos que bajo la proyección estereográfica las dos circunferencias máximas en la esfera $\mathbb{S}$, que pasan por el polo norte $N$, corresponden con dos rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen (¿por qué?), cuyas ecuaciones están dadas por: \begin{align*} A_1x + B_1y =0, \quad u=0,\\ A_2x + B_2y =0,\quad u=0. \end{align*} Es claro que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que forman estas rectas tangentes a las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estereográfica, en el punto de intersección $z=0$, es tal que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\beta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\ & = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}. \end{align*} Por lo que, el ángulo $\alpha$ que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el polo norte o en el polo sur se conserva bajo la proyección estereográfica.
Caso 2. Supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$.
Dado que dichas curvas se intersecan en el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, entonces existen $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ tales que: \begin{align*} \gamma_1(t_0) = (x_1(t_0),y_1(t_0),u_1(t_0)) = P,\\ \gamma_2(t_0^*) = (x_2(t_0^*),y_2(t_0^*),u_2(t_0^*)) = P. \tag{11.8.1} \end{align*} Como $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son suaves, tenemos que $\gamma_1$ es diferenciable en $(c,d)$ y $\gamma_2$ es diferenciable en $(e,f)$, por lo que: \begin{align*} \gamma_1′(t_0) \neq 0,\quad \text{para}\,\, t_0\in(c,d),\\ \gamma_2′(t_0^*) \neq 0, \quad \text{para}\,\, t_0^*\in(e,f). \tag{11.8.2} \end{align*} Así, por la observación 11.6, las rectas tangentes a cada curva son respectivamente: \begin{align*} \mathcal{L}_{1T}: \quad P + \gamma_1′(t_0) \lambda_1, \quad \lambda_1\in\mathbb{R},\\ \mathcal{L}_{2T}: \quad P + \gamma_2′(t_0^*) \lambda_2, \quad \lambda_2\in\mathbb{R}. \end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ es tal que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\theta) & = \frac{\gamma_1′(t_0) \cdot \gamma_2′(t_0^*)}{\left\lVert\gamma_1′(t_0)\right\rVert\left\lVert\gamma_2′(t_0^*) \right\rVert}\\ &=\frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}. \tag{11.9} \end{align*} Dado que las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ están en $\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{align*} x_1(t)^2 + y_1(t)^2 + (u_1(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(c,d),\\ x_2(t)^2 + y_2(t)^2 + (u_2(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.1} \end{align*} Y considerando (11.8.1) tenemos que: \begin{align*} x_1′(t)^2 + y_1′(t)^2 + u_1′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(c,d),\\ x_2′(t)^2 + y_2′(t)^2 + u_2′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.2} \end{align*}
Por otra parte, el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$ de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estreográfica corresponde con el punto $z_0=a_0+ib_0\in\mathbb{C}$, donde: \begin{align*} a_0 = \frac{2x_0}{2-u_0},\\ b_0 = \frac{2y_0}{2-u_0}. \end{align*} Considerando a $\mathbb{C}$ como el plano dado por (11.1), tenemos que dicho punto $z_0$ lo podemos asociar con el punto $(a_0,b_0,0)$ de $\mathbb{R}^3$.
Mientras que bajo la proyección estereográfica las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, digamos $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$, están descritas por las funciones $\alpha_1:(c,d)\to\mathbb{R}^3$ y $\alpha_2:(e,f)\to\mathbb{R}^3$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ y se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*} \alpha_1(t) = (a_1(t),b_1(t),0),\\ \alpha_2(t) = (a_2(t),b_2(t),0), \end{align*} donde para cada $i=1,2$ se tiene que: \begin{align*} a_i(t) = \frac{2x_i(t)}{2-u_i(t)},\\ b_i(t) = \frac{2y_i(t)}{2-u_i(t)}. \tag{11.11} \end{align*}
De acuerdo con lo anterior, es claro que las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ obtenidas bajo la proyección estereográfica son también curvas suaves en sus respectivos dominios $(c,d)$ y $(e,f)$, por lo que considerando el punto de intersección $z_0$ tenemos que para los valores $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ dados se cumple que: \begin{align*} \alpha_1(t_0) = (a_1(t_0),b_1(t_0),0) = z_0,\\ \alpha_2(t_0^*) = (a_2(t_0^*),b_2(t_0^*),0) = z_0. \tag{11.12.1} \end{align*} Más aún, como las funciones $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son diferenciables en $(c,d)$ y $(e,f)$ respectivamente, entonces tenemos que para $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ se cumple: \begin{align*} \alpha_1′(t_0) = (a_1′(t_0),b_1′(t_0),0) \neq 0,\\ \alpha_2′(t_0^*) = (a_2′(t_0^*),b_2′(t_0^*),0) \neq 0. \tag{11.12.2} \end{align*} Por lo que las rectas tangentes a las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el punto de intersección $z_0$ tienen como ecuaciones: \begin{align*} \ell_{1T}: \quad z_0 + \alpha_1′(t_0) \delta_1, \quad \delta_1\in\mathbb{R},\\ \ell_{2T}: \quad z_0 + \alpha_2′(t_0^*) \delta_2, \quad \delta_2\in\mathbb{R}. \end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que se forma entre $\ell_{1T}$ y $\ell_{2T}$ en el punto de intersección $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\beta) & = \frac{ \alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*)}{\left\lVert \alpha_1′(t_0) \right\rVert \left\lVert \alpha_2′(t_0^*) \right\rVert}\\ & = \frac{a_1′(t_0) \, a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)}{\sqrt{a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2} \sqrt{a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2}}.\tag{11.13} \end{align*}
Para probar que el ángulo $\theta$, que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, se preserva bajo la proyección estereográfica veamos que las ecuaciones (11.9) y (11.13) son iguales.
Derivando las ecuaciones dadas en (11.11) tenemos para cada $i=1,2$ que: \begin{align*} a_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,x_i(t)+x_i'(t)\,(2-u_i(t))\right],\\ b_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,y_i(t)+y_i'(t)\,(2-u_i(t))\right]. \tag{11.14} \end{align*} Considerando las ecuaciones dadas en (11.6), obtenemos la relación inversa entre las curvas suaves $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ con las curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en la esfera $\mathbb{S}$. Considerando dicha relación es fácil verificar que para $i=1,2$ se cumple: \begin{equation*} x_i'(t) \, x_i(t) + y_i'(t)\,y_i(t) + u_i'(t)\left[u_i(t)-1\right] = 0. \tag{11.15} \end{equation*}
Considerando (11.8.1), (11.10.1), (11.12.1), (11.14) y (11.15) es fácil verificar que para $t_0\in(c,d)$ y para $t_0^*\in(e,f)$ se cumple respectivamente: \begin{align*} a_1′(t_0)^2 &+ b_1′(t_0)^2\\ &=\frac{4}{(2-u_1(t_0))^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_1(t_0))^2\Bigg),\\ &=\frac{4}{(2-u_0)^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_0)^2\Bigg), \tag{11.16.1} \end{align*} \begin{align*} a_2′(t_0^*)^2 &+ b_2′(t_0^*)^2\\ &=\frac{4}{(2-u_2(t_0^*))^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_2(t_0^*))^2 \Bigg),\\ &=\frac{4}{(2-u_0)^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_0)^2 \Bigg). \tag{11.16.2} \end{align*} Dado que el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$, entonces $u_0 \neq 2$, por lo que podemos simplificar (11.16.1) y (11.16.2) como: \begin{equation*} a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg( x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + + u_1′(t_0)^2 \Bigg), \tag{11.17.1} \end{equation*} \begin{equation*} a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg(x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2 \Bigg). \tag{11.17.2} \end{equation*} Además como $P\in\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{equation*} x_0^2+y_0^2=u_0(2-u_0). \tag{11.18} \end{equation*}
Considerando (11.12.2), (11.14), (11.15), (11.18) y que $u_0\neq2$ es fácil verificar que: \begin{align*} \alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*) & = a_1′(t_0)\,a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)\\ & = \frac{4}{(2-u_0)^2}\Bigg(x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)\Bigg) \tag{11.19} \end{align*}
Sustituyendo (11.17.1), (11.17.2) y (11.19) en (11.13) tenemos que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\beta) & = \frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}\\ & = \operatorname{cos}(\theta). \end{align*} Por lo tanto el ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, distinto del polo norte (o del polo sur), se preserva bajo la proyección estereográfica.
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Del mismo modo en que introducimos una métrica en $\mathbb{C}$, es posible definir una métrica en $\mathbb{C}_\infty$, la cual nos permitirá caracterizar y analizar las propiedades de este nuevo conjunto.
Dados dos puntos $z,w\in\mathbb{C}_\infty$ debemos definir una forma de medir distancia entre ellos, es decir una métrica $d:\mathbb{C}_\infty \times \mathbb{C}_\infty \to [0, \infty)$. Desde que la proyección estereográfica nos da una biyección entre el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ y la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, podemos definir la métrica de $\mathbb{C}_\infty$ considerando la distancia usual entre dos puntos $P,Q\in\mathbb{R}^3$, es decir la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que si $P=(x_1,y_1,u_1)$ y $Q=(x_2,y_2,u_2)$ son dos puntos de $\mathbb{R}^3$ entonces: \begin{equation*} d_{\mathbb{R}^3}(P,Q) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.20} \end{equation*} Considerando la proyección estereográfica, podemos hacer corresponder los puntos $z=a+ib$ y $w=\alpha+i\beta$ en $\mathbb{C}_\infty$ con los puntos $P,Q\in\mathbb{S}$ respectivamente, entonces de acuerdo con (11.20) podemos definir la distancia entre $z$ y $w$ como: \begin{equation*} \chi(z,w) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.21} \end{equation*} Dado que $P$ y $Q$ son puntos de $\mathbb{S}$, entonces se cumple que: \begin{align*} x_1^2 + y_1^2 +(u_1 -1)^2 = 1,\\ x_2^2 + y_2^2 +(u_2 -1)^2 = 1. \tag{11.22} \end{align*} De acuerdo con (11.22) y considerando (11.8), es fácil ver que: \begin{align*} (x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2 & = 2\left(u_1 + u_2 \,-\, x_1 x_2 \,-\, y_1 y_2 \,-\, u_1 u_2\right)\\ & = \frac{16 |\, z \,-\, w \,|^2}{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}. \tag{11.23} \end{align*} Entonces por (11.21) y (11.23) tenemos que: \begin{equation*} \chi(z,w) = \frac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}}. \tag{11.24} \end{equation*} Notemos que los puntos $z\neq \infty$ y $w=\infty$ de $\mathbb{C}_\infty$ corresponden con los puntos $P=(x,y,u)$ y $N=(0,0,2)$ de $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$, por lo que considerando (11.20) es fácil ver que: \begin{equation*} \chi(z,\infty) = \frac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}. \tag{11.25} \end{equation*}
Considerando (11.24) y (11.25) tenemos que: \begin{equation*} \chi(z,w)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \,\sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z,w\in\mathbb{C}\\ \dfrac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z\in\mathbb{C}, w=\infty,\\ 0, & \text{si} & z=\infty, w=\infty.\\ \end{array} \right. \end{equation*} A esta métrica en $\mathbb{C}_\infty$, inducida por la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$, se le conoce como la métrica cordal.
Notemos que $\mathbb{C}_\infty$ dotado con la métrica cordal forman un espacio métrico, ver ejercicio 4. Considerando la entrada anterior podemos verificar algunas propiedades para este espacio métrico.
Primeramente, dado que la métrica cordal es inducida por la distancia usual de $\mathbb{R}^3$, debe ser claro que si $z,w\in\mathbb{C}_\infty$, entonces: \begin{equation*} \chi(z,w) \leq 2, \end{equation*} ya que 2 es el diámetro de $\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$. Por lo que la métrica cordal es acotada.
Proposición 11.4. El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es compacto.
Demostración. Dado que $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$ es cerrado y acotado, tenemos por el teorema de Heine – Borel que $\mathbb{S}$ es compacto en $\mathbb{R}^3$. Dado que la proyección estereográfica $\varphi$ define un homeomorfismo de $\mathbb{S}$ en $\mathbb{C}_\infty$, entonces se sigue que $\mathbb{C}_\infty$ es también compacto.
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Proposición 11.5. El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es completo.
Demostración.Ejercicio.
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Tarea moral
Considera la proposición 11.1. Argumenta porqué la proyección estereográfica y su inversa, es decir las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ son continuas. Hint: Consulta la entrada 9.
Demuestra la proposición 11.2. Hint: Utiliza la observación 11.2.
¿Por qué una circunferencia en $\mathbb{S}$ que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$ corresponde a una recta que pasa por el origen en el plano complejo $\mathbb{C}$?
Muestra que las igualdades del caso 2 de la proposición 11.2 son ciertas. Argumenta tus desarrollos.
Verifica que la igualdad dada por (11.23) es cierta.
Demuestra que la métrica cordal satisface las condiciones de métrica, es decir, demuestra que para cualesquiera $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}_\infty$ se cumple: i) $\chi(z_2, z_1) \geq 0$. ii) $\chi(z_2, z_1) = 0$ si y solo si $z_1=z_2$. iii) Simetría: $\chi(z_1, z_2) = \chi(z_2, z_1)$. iv) Desigualdad del triángulo: $\chi(z_2, z_1) \leq \chi(z_2, z_3) + \chi(z_3, z_1)$. Hint: Utiliza los ejercicios 8 y 9 de la entrada 3, sección de tarea moral, para probar la desigualdad del triángulo.
Considera a la función: \begin{equation*} \chi(z,w) = \frac{4 \, |\,z\,-\,w\,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \, \sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, \quad \forall z,w\in\mathbb{C}, \end{equation*} de acuerdo con el ejercicio anterior es claro que dicha función es un métrica en $\mathbb{C}$. Prueba que dicha métrica $\chi$ y la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z\,-\,w\,|$ son equivalentes.
De acuerdo con la entrada anterior, sea $z_0\in\mathbb{C}_\infty$ y sea $d$ la métrica cordal, una pregunta que puede resultar es, dado $\rho>0$, ¿cómo se define un $\rho$-vecindario de $z_0$ en $\mathbb{C}_\infty$? Describe a dicho conjunto.
Demuestra la proposición 11.5.
Más adelante…
En esta entrada hemos hecho una compactificación del plano complejo agregándole un punto ideal, llamado el punto al infinito, obteniendo así el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ el cual representamos mediante el módelo de la esfera de Riemann.
Hemos visto que existe una relación biunívoca entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann dada por la proyección estreográfica, la cual resulto tener propiedades interesantes que aparecerán más adelante para caracterizar a algunas funciones.
Además dotamos al plano complejo extendido con una métrica, llamada la métrica cordal, la cual nos permite tratar a $\mathbb{C}_\infty$ como un espacio métrico, por lo que podemos considerar algunas propiedades de la entrada anterior para caracterizar la topología de este espacio métrico.
La importancia de trabajar con esta extensión se verá a lo largo del curso cuando requiramos trabajar con funciones complejas para las cuales el módulo de la variable crezca de manera arbitraria.
Con esta entrada finalizamos la primera unidad de este curso: Introducción y preliminares. La siguiente entrada comenzaremos la segunda unidad titulada: Analicidad y funciones de variable compleja.
En la entrada anterior vimos que $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana, inducida por el módulo de un número complejo, forman un espacio métrico.
Al trabajar con espacios métricos, las sucesiones resultan una herramienta fundamental en el estudio del concepto de las aproximaciones. De manera particular en esta entrada abordaremos el concepto de sucesión en el sentido complejo y estudiaremos propiedades de las mismas pues veremos que estas sucesiones están estrechamente ligadas con la topología de $\mathbb{C}$. Además en su momento usaremos los resultados de esta entrada para el estudio de series de números complejos, las cuales resultarán fundamentales en el estudio de la teoría de funciones.
Sucesiones de números complejos
Definición 8.1. (Sucesión.) Sea $(X,d_X)$ un espacio métrico. Una sucesión de puntos en $X$ es una función $f: \mathbb{N}^+ \rightarrow X$ tal que para cada $n\in\mathbb{N}^+$ asigna de manera única un elemento de $X$. Si $f(n)=x_n\in X$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces denotamos a la sucesión como el conjunto $\left\{x_n\right\}_{n\geq1}$ o simplemente $\left\{x_n\right\}$.
Observación 8.1. En este punto es conveniente hacer énfasis en las sucesiones de $\mathbb{C}$ pues más adalente probaremos algunos resultados del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$. Sin embargo las definiciones que daremos a continuación son válidas en general para un espacio métrico $(X,d)$. Además será de vital importancia recordar nuestros resultados para sucesiones reales ya que nos serán de utilidad más adelante.
Definición 8.2. (Sucesión compleja convergente.) Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$, llamado el límite de $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$, si para toda $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_n \,- \, z\,|<\varepsilon, \quad \forall n \geq N, \end{equation*} lo cual denotamos como $z_n \rightarrow z$ ó $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De existir dicho límite, este es único. (¿Por qué?)
Notemos que geométricamente la desigualdad $|\,z_n \,- \, z\,|< \varepsilon$ nos dice que para $n\geq N$ todos los términos de la sucesión caen en la $\varepsilon$-vecindad de $z$, es decir $B(z,\varepsilon)$, figura 47.
Figura 47: Convergencia de una sucesión de números complejos.
Ejemplo 8.1. Veamos que la sucesión de números complejos $\left\{\dfrac{i^{n+1}}{n}\right\}_{n\geq 1}$ converge a cero. Solución. Considerando la fórmula de De Moivre es fácil notar que: \begin{equation*} |\,i^{n+1} \,- \, 0\,| = |\,i^{n+1}\,| = |\,i\,|^{n+1} = 1. \end{equation*} Por otra parte, por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} \left|\,\frac{i^{n+1}}{n} \,- \, 0\,\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{i^{n+1}}{n} = 0$.
Definición 8.3. (Sucesión compleja divergente.) Una sucesión de números complejos $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ diverge, lo cual denotaremos como $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = \infty$, si se cumple que $\lim\limits_{n \to \infty} |z_n| = \infty$, es decir si para toda $R>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n\,| \geq R, \quad \forall n \geq N. \end{equation*}
Observación 8.2. Es común considerar a la «divergencia» como la no existencia del límite dado en la definición 8.1, es decir una sucesión se considera divergente si no es convergente. Sin embargo en el caso complejo es conveniente considerar a la divergencia como la tendencia a infinito. En este sentido tenemos que los conceptos de «no convergencia» y «divergencia» no son equivalentes. Lo cual veremos más adelante.
Definición 8.4. (Operaciones entre sucesiones.) Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ dos sucesiones de $\mathbb{C}$. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para sucesiones se definen respectivamente como:
Si $w_n \neq 0 $ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\dfrac{\{z_n\}_{n\geq1}}{\{w_n\}_{n\geq1}} = \left\{\dfrac{z_n}{w_n}\right\}_{n\geq1}$.
Considerando que una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$, entonces posible pensar en sucesiones acotadas.
Definición 8.5. (Sucesión acotada.) Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ se dice que es acotada si existe un número $M>0$ tal que $|\,z_n\,| \leq M$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$.
Ejemplo 8.2. La sucesión de números complejos $\{(-1)^n\}_{n \geq 1}$ es acotada, pero no es convergente.
De acuerdo con el ejemplo anterior es fácil concluir que una sucesión acotada no tendría porqué ser convergente. Sin embargo el recíproco sí es cierto, es decir:
Proposición 8.1. Toda sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ convergente es acotada.
Demostración. Supongamos que la sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$. De acuerdo con la definición 8.1 tenemos que para $\varepsilon=1$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_n \,- \,z\,| < 1, \quad \forall n\geq N. \end{equation*} De acuerdo con la desigualdad del triángulo se tiene que para toda $n\geq N$ se cumple que $|\,z_n\,| < |\,z\,| + 1$. Sea $M = \text{máx}\left\{ 1 + |\,z\,|,|\,z_1\,|,|\,z_2\,|, \ldots, |\,z_N\,|\right\}$, entonces para toda $n\geq 1$ se cumple que $|\,z_n\,|\leq M$.
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Utilizando la definición 8.2 es fácil probar las siguientes propiedades para sucesiones complejas.
Proposición 8.2. Sean $\{z_n\}_{n\geq1}$ y $\{w_n\}_{n\geq1}$ sucesiones de números complejos y supongamos que ambas son convergentes en $\mathbb{C}$, con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ y $\lim\limits_{n \to \infty} w_n = w$. Entonces se cumple que:
$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
$\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Si además $w_n\neq 0$ para toda $n \geq 1$ y $w\neq 0$, entonces $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{ w_n}\right) = \dfrac{1}{w}$.
Si $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge y $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, es decir, si existen $r>0$ y $N\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N$ se cumple que $|w_n|\geq r$, entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.
Demostración.
Dadas las hipótesis por la definición 8.1 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*} |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*}\begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon/2, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, (z_n \pm w_n) \,-\, (z \pm w)\,| & = |\, (z_n \,-\, z) \pm (w_n \,-\, w)\,|\\ & \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,w_n \,-\, w\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N, \end{align*} donde $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$. Por lo tanto $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n \pm w_n) = z \pm w$.
Dadas las hipótesis, tenemos por la proposición 8.1 que ambas sucesiones son acotadas por lo que sin pérdida de generalidad supongamos que existe $M>0$ tal que $|\,z_n\,|\leq M$ para toda $n\geq 1$. Por otra parte, por la definición 8.2 tenemos que para cualquier $\varepsilon>0$ existen $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$ tales que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z\,| < \frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}, \quad \forall n \geq N_1,\end{equation*} \begin{equation*}|\,w_n \,-\, w\,| < \frac{\varepsilon}{2M}, \quad \forall n \geq N_2. \end{equation*} Notemos que: \begin{align*}|\, z_n w_n \,-\, z w\,| & = |\, z_n w_n \,-\, z_n w + z_n w \,-\, z w \,|\\ & \leq |\,z_n w_n \,-\, z_n w\,| + |\,z_n w \,-\, z w\,|\\ & = |\,z_n\,|\,|\,w_n \,-\, w\,| + |\,w\,|\,|\,z_n \,-\, z \,|\\ & < M \left(\frac{\varepsilon}{2M}\right) + (|\,w\,|+1) \left(\frac{\varepsilon}{2(|\,w\,|+1)}\right) = \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{align*} Por lo que $\lim\limits_{n \to \infty}(z_n w_n) = zw$.
Se deja como ejercicio al lector.
Se deja como ejercicio al lector.
Dadas las hipótesis, como $\{w_n\}_{n\geq1}$ está separada de cero, entonces existen $r>0$ y $N_1\in\mathbb{N}^+$ tales que para $n\geq N_1$ se cumple que $|w_n|\geq r$. Por otra parte, como $\{z_n\}_{n\geq1}$ diverge, dado $R>0$ existe $N_2\in\mathbb{N}^+$ tal que si $n\geq N_2$, entonces $|z_n|\geq R/r$. Por lo que, para $N = \text{máx}\left\{N_1, N_2\right\}$ se cumple que: \begin{equation*} |z_n w_n| = |z_n| \, |w_n| \geq \frac{R}{r} r = R, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} entonces $\{z_n w_n\}_{n\geq1}$ diverge.
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Observación 8.3. Considerando la definición 8.2 y la proposición 8.2 es fácil ver que si una sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ converge a un número complejo $z\in\mathbb{C}$ entonces se cumple (¿por qué?): \begin{equation*} z = \lim\limits_{n \to \infty} z_n \quad \Longleftrightarrow \quad \lim\limits_{n \to \infty} |\,z_n – z\,| = 0. \end{equation*} Y para $c\in\mathbb{C}$ constante: \begin{equation*} \lim\limits_{n\to\infty} (c z_n) = c \lim\limits_{n\to\infty} z_n. \end{equation*}
Sabemos que todo número complejo $z$ es caracterizado por su parte real y por su parte imaginaria, la cuales son números reales, por lo que considerando al $n$-ésimo término de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ como $z_n = \operatorname{Re}(z_n) + i\operatorname{Im}(z_n)$, es fácil probar el siguiente resultado.
Proposición 8.3. Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$ si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$. En dicho caso tenemos que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*}
Demostración. Por la proposición 3.1 sabemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} Mientras que por la observación 3.1 tenemos que: \begin{align*} |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|,\\ |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| \leq |\,\operatorname{Re}(z_n \,-\, z)\,| + |\,\operatorname{Im}(z_n \,-\, z)\,|. \end{align*} De acuerdo con la observación 8.3 tenemos que $z = \lim_{n \to \infty} z_n$ si y solo si $\lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0$. Considerando lo anterior es claro que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} |\,z_n \,-\, z\,| = 0 \,\,\, & \Longleftrightarrow \,\,\, \lim_{n \to \infty} |\,\operatorname{Re}(z_n) \,-\, \operatorname{Re}(z)\,| = 0\\ & \quad \quad \text{y} \, \lim\limits_{n \to \infty} |\,\operatorname{Im}(z_n) \,-\, \operatorname{Im}(z)\,| = 0. \end{align*} Es decir las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$, $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$ (¿por qué?), por lo que: \begin{align*} \lim_{n\to \infty} z_n = z \quad & \Longleftrightarrow \quad \lim_{n\to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \operatorname{Re}(z)\\ & \quad \quad \, \text{y} \,\,\, \lim_{n\to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \operatorname{Im}(z). \end{align*} De donde se sigue el resultado.
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La proposición 8.3 es de gran utilidad al trabajar con sucesiones de números complejos, ya que la convergencia de estas sucesiones se reduce a verificar la convergencia de dos sucesiones de números reales. Más aún, podemos utilizar los resultados conocidos para sucesiones reales en el estudio de las sucesiones complejas, lo cual tiene sentido pues como vimos en la entrada 2 los números reales son un subconjunto de los números complejos, por lo que se deben cumplir las propiedades que ya conocíamos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{C}$.
Ejemplo 8.3. Estudiemos la convergencia de las siguientes sucesiones: a) $\left\{\dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)}\right\}_{n\geq 1}$. b) $\left\{\dfrac{3+in}{n+i2n}\right\}_{n\geq 1}$.
Solución. Para cada $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que:
a) \begin{equation*} z_n = \dfrac{n+2+i2^n n}{2^n(n+2)} = \dfrac{1}{2^n} + i\left(\dfrac{n}{n+2}\right). \end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(z_n) = \dfrac{1}{2^n}$ e $\operatorname{Im}(z_n) = \dfrac{n}{n+2}$. Sabemos que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{2^n} = 0.\\ \lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(z_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n}{n+2} = 1. \end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(z) = 0$ y $\operatorname{Im}(z) = 1$, es decir: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} z_n = z = i. \end{equation*}
b) \begin{equation*} w_n = \dfrac{3+in}{n+i2n} = \dfrac{3 + 2n}{5n} + i\left(\dfrac{n \,-\, 6}{5n}\right). \end{equation*} De donde $\operatorname{Re}(w_n) = \dfrac{3+2n}{5n}$ e $\operatorname{Im}(w_n) = \dfrac{n \,-\, 6}{5n}$. Sabemos que: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \operatorname{Re}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{3+2n}{5n} = \frac{2}{5}.\\ \lim_{n \to \infty} \operatorname{Im}(w_n) = \lim_{n \to \infty}\dfrac{n \,-\, 6}{5n} = \frac{1}{5}. \end{align*} Por lo que considerando la proposición 8.3 se sigue que $\operatorname{Re}(w) = \dfrac{2}{5}$ e $\operatorname{Im}(w) = \dfrac{1}{5}$, es decir: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} w_n = w = \frac{2}{5} + i\frac{1}{5}. \end{equation*}
Completez del espacio métrico $(\mathbb{C},d)$
Definición 8.6. (Sucesión de Cauchy.) Una sucesión $\left\{z_n\right\}_{n\geq1}$ en $\mathbb{C}$ se dice que es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,|<\varepsilon, \quad \forall\, n,m \geq N. \end{equation*}
Proposición 8.4. Toda sucesión convergente en $\mathbb{C}$ es de Cauchy.
Demostración. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos convergente con $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z$ para algún $z\in\mathbb{C}$. Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que:\begin{equation*} |\,z_n \,-\, z\,| < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Entonces por la desigualdad del triángulo se tiene que para cualesquiera $n,m\in \mathbb{N}^+$ tales que $n,m\geq N$ se cumple: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_m\,| \leq |\,z_n \,-\, z\,| + |\,z \,-\, z_m\,| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy.
Considerando la proposición 8.4 es momento de dar un ejemplo para argumentar la observación 8.2, es decir veamos que la divergencia y la no convergencia no son equivalentes.
Ejemplo 8.4 Consideremos la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$. Veamos que dicha sucesión no converge ni diverge.
Solución. Sea $z_n = i^n$. Por la fórmula de De Moivre es claro que para toda $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que: \begin{equation*} |\,z_n\,| = |\,i^n\,| = |\,i\,|^n = 1, \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty} |\,z_n\,| = 1 \neq \infty. \end{equation*} Es decir, la sucesión $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$ no diverge.
Por otra parte, veamos que dicha sucesión no es de Cauchy. Considerando el argumento principal de $i$, tenemos por la fórmula de De Moivre que: \begin{align*} z_{4n} = i^{4n} = \left(\operatorname{cis}(2\pi)\right)^n = 1^n = 1,\\ z_{4n+2} = i^{4n+2} = i^{4n}i^{2} = 1^n(-1) = -1, \end{align*} por lo que: \begin{align*}|\,z_{4n} \,&-\, z_{4n+2}\,| = 2,\\ & \Longrightarrow \quad \lim_{n \to \infty}|\,z_{4n} \,-\, z_{4n+2}\,| = 2 \neq 0. \end{align*} Entonces la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no es de Cauchy, por lo que por la contrapuesta de la proposición 8.4, tenemos que dicha sucesión no es convergente en $\mathbb{C}$.
Así concluimos que la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$ no diverge, pero tampoco converge.
Definición 8.7. (Completez.) Un espacio métrico $(X,d)$ se dice que es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en $X$.
Ejemplo 8.5. El espacio métrico $(\mathbb{R}, d)$, con $d$ la métrica inducida por el valor absoluto, es completo.
La proposición 8.4 es válida en general para cualquier espacio métrico $(X,d)$. Sin embargo el recíproco es falso en general, por ello la importancia de la definición 8.7. Considerando que $\mathbb{R}$ es un subconjunto de $\mathbb{C}$ y que el módulo complejo de $\mathbb{C}$ es la extensi\’on del valor absoluto de $\mathbb{R}$, podemos intuir que el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$, con $d$ inducida por el módulo, es también completo.
Proposición 8.5. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ dotado con la métrica euclidiana es completo.
Demostración. Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ en $\mathbb{C}$ una sucesión de Cauchy. Usando la observación 3.1 y la proposición 3.1, como en la prueba de la proposición 8.3, es fácil convencerse de que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es de Cauchy si y solo si las sucesiones reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son de Cauchy en $\mathbb{R}$. Dado que $\mathbb{R}$ es completo con la métrica inducida por el valor absoluto, entonces las sucesiones de Cauchy $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son convergentes en $\mathbb{R}$, por lo que por la proposición 8.3 se sigue que la sucesión de Cauchy $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es convergente en $\mathbb{C}$, por lo tanto el espacio métrico $(\mathbb{C},d)$, con $d$ la métrica euclidiana, es completo.
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Proposición 8.6. Un punto $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite (o de acumulación) de un conjunto $S\subset\mathbb{C}$ si y solo si existe una sucesión $\{z_n\}_{n\geq1} \subset S$ tal que $z_n \neq z_0$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$ y $\lim\limits_{n \to \infty} z_n = z_0$.
Demostración. $\Rightarrow)$ Supongamos que $z_0\in\mathbb{C}$ es un punto límite de $S$, entonces por la definición 7.7 tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ existe: \begin{equation*} z_n \in B\left(z_0, \tfrac{1}{n}\right)\setminus\{z_0\} \cap S, \end{equation*} es decir que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n \in S$, $z_n\neq z_0$ y $|\,z_n \,-\, z_0\,|<\frac{1}{n}$. Consideremos a la sucesión $\{z_n\}_{n\geq1}$ dada anteriormente. Es claro que dicha sucesión cumple las condiciones del resultado, veamos que converge a $z_0$. Por la propiedad arquimediana se sigue que para todo $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*}|\,z_n \,-\, z_0\,|< \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Por lo que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$.
$(\Leftarrow$ Supongamos que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es tal que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene $z_n \in S$, $z_n \neq z$ y $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z_0$. Por la propiedad arquimediana sabemos que dado $\varepsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_N \,-\, z_0\,|< \frac{1}{N} < \varepsilon. \end{equation*} Como $z_N \neq z_0$ y $z_N \in S$, entonces para todo $\varepsilon>0$ se tiene que: \begin{equation*} z_N \in B(z_0, \varepsilon)\setminus\{z_0\} \cap S. \end{equation*} Por lo que $z_0$ es un punto límite de $S$.
$\blacksquare$
Definición 8.8. (Punto de acumulación de una sucesión.) Un número $z\in\mathbb{C}$ se llama punto de acumulación de una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de elementos $z_n$ de la sucesión tales que $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$, es decir si cada $\varepsilon-$vecindad de $z_0$, $B(z_0,\varepsilon)$, contiene un número infinito de elementos de la sucesión.
Observación 8.4. No debemos confundir esta definición con la definición 7.7 de punto límite o punto de acumulación de un conjunto. Por ejemplo la sucesión $\{(-1)^n\}_{n\geq 1}$ tiene dos puntos de acumulación los cuales son $-1$ y $1$. Sin embargo el conjunto $\{-1,1\}$, que consiste de los elementos que determinan a la sucesión, no tiene ningún punto límite o de acumulación.
Además, es fácil convencerse de que todo límite de una sucesión es un punto de acumulación de la misma. Sin embargo el recíproco no se cumple, para verlo basta considerar a la sucesión $\{i^n\}_{n\geq 1}$, la cual tiene cuatro puntos de acumulación los cuales son $1, -1, i$ y $-i$, pero dicha sucesión no converge, es decir no tiene límite.
Definición 8.9. (Subsucesión.) Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Una subsucesión o sucesión parcial de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es cualquier sucesión de la forma $\{z_{\sigma(n)} \}_{n\geq 1}$, donde $\sigma:\mathbb{N}^+ \rightarrow \mathbb{N}^+$, con $\sigma(n) = k_n$, es una función estrictamente creciente.
Ejemplo 8.6. Si definimos $k_n = 2n$, entonces una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$ está conformada por: \begin{equation*} -\frac{1}{2}, \,\, \frac{1}{4}, \,\, -\frac{1}{6}, \ldots, \frac{i^{2n}}{2n}, \ldots, \end{equation*} es decir $\left\{\dfrac{i^{2n}}{2n}\right\}_{n\geq 1}$ es una subsucesión de $\left\{\dfrac{i^n}{n}\right\}_{n\geq 1}$.
Proposición 8.7 Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Entonces, $z\in\mathbb{C}$ es un punto de acumulación de $\{z_n\}_{n\geq 1}$ si y solo si existe una subsucesión $\{z_{k_n}\}_{n\geq 1}$ tal que $\lim\limits_{n\to\infty} z_{k_n} = z$.
Demostración. Dadas las hipótesis.
$\Rightarrow)$ Por la definición 8.8 tenemos que para todo $\varepsilon>0$ existe un número infinito de valores de $n$ para los cuales $|\,z_n \,-\, z\,|<\varepsilon$. Entonces para $\varepsilon=1$ existe un $n=k_1$ tal que $|\,z_{k_1} \,-\, z\,| < 1$. Del mismo modo para $\varepsilon = \frac{1}{2}$ existe $n=k_2$ tal que $|\,z_{k_2} \,-\, z\,| < \frac{1}{2}$. Procediendo de forma análoga podemos obtener, en general, que para $\varepsilon = \frac{1}{n}$ existe algún $k_n>k_{n-1}$ tal que $|\,z_{k_n} \,-\, z \,| < \frac{1}{n}$, por lo que existe una subsucesión $\left\{ z_{k_n} \right\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Por otra parte, tenemos por la propiedad arquimediana que para todo $\varepsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,z_{k_n} \,-\, z\,| < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon, \quad \forall n \geq N. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{n\to \infty} z_{k_n} = z$.
$(\Leftarrow$ Se deja como ejercicio al lector.
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Teorema 8.1. (Teorema de Bolzano – Weierstrass.) Una sucesión de números complejos $\{z_n\}_{n\geq 1}$ acotada tiene una subsucesión convergente.
Demostración. Dadas las hipótesis, por la observación 3.1 es fácil ver que la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ es acotada si y solo si las sucesiones de números reales $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ e $\{\operatorname{Im}(z_n)\}_{n\geq 1}$ son acotadas en $\mathbb{R}$. Por el teorema de Bolzano – Weierstrass para sucesiones de números reales sabemos que al ser la sucesión $\{\operatorname{Re}(z_n)\}_{n\geq 1}$ acotada, entonces existe una subsucesión $\{\operatorname{Re}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ convergente para alguna subsucesión $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_n\}_{n\geq 1}$. Dado que $\{\operatorname{Im}(z_{n_j})\}_{n\geq 1}$ también es acotada entonces existe alguna subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ de $\{z_{n_j}\}_{n\geq 1}$ tal que $\{\operatorname{Im}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ también converge. Entonces $\{\operatorname{Re}(z_{n_{j_k}})\}_{n\geq 1}$ es subsucesión de una sucesión convergente, por lo que también es convergente. Por lo tanto, por la proposición 8.3 se sigue que la subsucesión $\{z_{n_{j_k}}\}_{n\geq 1}$ converge en $\mathbb{C}$.
Tarea moral
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que si la sucesión converge en $\mathbb{C}$, entonces dicho límite es único.
Considera las siguientes sucesiones: a) $\left\{i^n\right\}_{n\geq 1}$. b) $\left\{\left(\dfrac{1}{1+i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$. c) $\left\{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^n\right\}_{n\geq 1}$. d) $\left\{\dfrac{n}{2n+1} + i\, \dfrac{n-1}{n}\right\}_{n\geq 1}$. e) $\left\{n^2\left(i^n -1\right)\right\}_{n\geq 1}$. Determina cuáles sucesiones son acotadas, cuáles convergen, encuentra su límite y sus puntos de acumulación.
Prueba que si la sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1}$ de números complejos converge a $z\in\mathbb{C}$, entonces la sucesión ${|\,z_n\,|}_{n\geq 1}$ converge a $|\,z\,|$. ¿Es cierto el recíproco? Hint: Recuerda que: $|\,|z_n| – |z|\,| \leq |z_n – z|$.
Sea $z\in\mathbb{C}$, prueba lo siguiente. a) Si $|\,z\,|<1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = 0$. b) Si $|\,z\,| > 1$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z^n = \infty$.
Considera la observación 8.3, argumenta porqué es cierto el resultado. En general prueba que para un espacio métrico $(X, d_X)$ se cumple que una sucesión de elementos de $X$, digamos $\{x_n\}_{n\geq 1}$, converge a $x\in X$ si y solo si $\lim\limits_{n \to \infty} d_X (x_n, x) = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos. Prueba que $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = 0$ si y solo si $\lim\limits_{n\to \infty} |\,z_n\,| = 0$.
Sea $\{z_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión de números complejos, sea $z \in \mathbb{C}$ y sea $\{c_n\}_{n\geq 1}$ una secuencia de números reales no negativos. Demuestra lo siguiente. a) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = 0$ y $|\,z_n – z\,| \leq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = z$. b) Si $\lim\limits_{n\to \infty} c_n = \infty$ y $|\,z_n \,| \geq c_n$ para toda $n\in\mathbb{N}^+$, entonces $\lim\limits_{n\to \infty} z_n = \infty$.
Sean $\left\{x_n\right\}_{n\geq 1}$ y $\left\{y_n\right\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones convergentes de números reales, tales que $x_n \leq y_n$ para toda $n\in\mathbb{N}$. Prueba que: \begin{equation*} \lim_{n \to \infty} x_n \leq \lim_{n \to \infty} y_n. \end{equation*}
Más adelante…
En esta entrada hemos abordado el concepto de sucesión compleja con la finalidad de caracterizar al espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ como un espacio métrico completo. Para ello hicimos uso de algunos resultados para sucesiones reales y generalizamos algunos de los mismos, como el Teorema de Bolzano-Weierstrass, para números complejos.
En general vimos que muchos de los resultados que teníamos para sucesiones reales se comportan de manera similar en el sentido complejo.
Por otra parte introducimos el concepto de la divergencia a infinito, el cual será de utilidad en la entrada 11 al hablar del punto al infinito.
Los resultados de esta entrada serán de utilidad cuando hablemos de las series en el sentido complejo y sobre su convergencia. Además de que nos permitirán obtener una caracterización relacionada con los conceptos de continuidad y continuidad uniforme.
La siguiente entrada abordaremos el concepto de continuidad entre espacios métricos.
