Esta es la página del curso Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.

Organización del curso

El curso está dividido en cinco unidades temáticas.

• Unidad 1: Introducción y preliminares
• Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
• Unidad 3: Series de números complejos
• Unidad 4: Integración compleja
• Unidad 5: Aplicaciones

Notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso.

Unidad 1: Introducción y preliminares

1. Introducción a los números complejos.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$.
4. Forma polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.
6. Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
7. Topología de $\mathbb{C}$.
8. Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.
9. Continuidad en un espacio métrico.
10. Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
11. El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$.

Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja

12. Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.
13. Funciones multivaluadas.
14. Límites en $\mathbb{C}$.
15. Continuidad en $\mathbb{C}$.
16. Diferenciabilidad en el sentido complejo.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
20. Exponencial compleja.
21. Logaritmo complejo y potencias complejas.
22. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
23. Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
24. Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$.
25. Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius.
26. Funciones complejas como mapeos. Técnicas de graficación.

Unidad 3: Series de números complejos

27. Preliminares de series de números complejos.
28. Sucesiones y series de funciones.
29. Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia.
30. Series de potencias y funciones.
31. Funciones complejas elementales como series de potencias.

Unidad 4: Integración compleja

32. Trayectorias, curvas y caminos en el plano complejo $\mathbb{C}$.
33. Conceptos básicos. Integrales de línea.
34. Lemas de Goursat.
35. Teorema integral de Cauchy y sus consecuencias.
36. Teorema integral de Cauchy versión homótopica.
37. Teorema de Liouville y el Teorema fundamental del Álgebra.
38. Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes.
39. Técnicas para construir funciones analíticas.
40. Teoremas de Weierstrass.

Unidad 5: Aplicaciones

40. Series de Taylor y series de Laurent.
41. Clasificación de singularidades. Cálculo de residuos
42. Teorema del residuo.
43. Integrales impropias de funciones racionales.
44. Integrales trigonométricas.
45. Transformada de Fourier.
46. Transformada de Laplace.
47. Cálculo de intergrales usando cortes de rama.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en los siguientes libros/notas:

• Notas para un curso de Variable Compleja I, Oscar Palmas Velasco, Alberto Lazcano García, Facultad de Ciencias, UNAM.
• Complex Analysis, Joseph Bak.
• Theory of Complex Functions, Reinhold Remmert.
• An introduction to Complex Analysis, Ravi P. Agarwal.
• Numbers, H.-D Ebbinghaus.
• Complex Variables and Applications, Ruel V. Churchill.
• A First Course in Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill.
• Function of One Complex Variable, John B. Conway.
• Complex Analysis with Applications, Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.
• Complex Analysis, Ian Stewart, David Tall.
• Complex Analysis and Applications, Hemant Kumar Pathak.
• Curso de variable compleja, Norman Levinson, Raymond M. Redheffer.
• Introducción a funciones analíticas y transformaciones conformes, Gabriel D. Villa Salvador.
• Manual de Variable Compleja, Artemio González López.
• Análisis complejo: Teoría de las funciones analíticas de una variable, Enrique De Amo Artero, Manuel Úbeda Flores.
• Teoría de funciones de una variable compleja,  Felipe Zaldívar.
• Funciones de Variable Compleja, Carlos Ivorra Castillo.
• Variable Compleja I, Laura Hidalgo Solís.
• Fundamentos del análisis complejo de una variable, Jairo Charris Castañeda, Rodrigo de Castro Korgi, Januario Varela Borda.
• Complex Analysis, Juan Carlos Ponce Campuzano.
• Análisis Matemático, Mónica Clapp.
• Complex Analysis for Mathematics and Engineering, John H. Mathews, Russell W. Howell.
• Complex Numbers from A to …Z, Titu Andreescu, Dorin Andrica.
• Introduction to Complex Analysis – excerpts, B.V. Shabat.

Créditos

Las siguientes personas han ayudado a crear material para este curso.

• Alberto Lazcano García
• Alexander Enrique Ibarra Panek
• Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
• Pedro Rivera Herrera
• Juan Pablo Rodríguez Villagrán