Esta es la página del curso Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Organización del curso
El curso está dividido en cinco unidades temáticas.
- Unidad 1: Introducción y preliminares
- Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
- Unidad 3: Series de números complejos
- Unidad 4: Integración compleja
- Unidad 5: Aplicaciones
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso.
Unidad 1: Introducción y preliminares
- Introducción a los números complejos.
- El campo de los números complejos $\mathbb{C}$.
- El plano complejo $\mathbb{C}$.
- Forma polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
- Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.
- Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
- Topología de $\mathbb{C}$.
- Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.
- Continuidad en un espacio métrico.
- Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
- El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$.
Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
- Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.
- Funciones multivaluadas.
- Límites en $\mathbb{C}$.
- Continuidad en $\mathbb{C}$.
- Diferenciabilidad en el sentido complejo.
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.
- Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
- Exponencial compleja.
- Logaritmo complejo y potencias complejas.
- Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
- Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
- Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$.
- Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius.
- Funciones complejas como mapeos. Técnicas de graficación.
Unidad 3: Series de números complejos
- Preliminares de series de números complejos.
- Sucesiones y series de funciones.
- Series de potencias. Introducción y criterios de convergencia.
- Series de potencias y funciones.
- Funciones complejas elementales como series de potencias.
Unidad 4: Integración compleja
- Trayectorias, curvas y caminos en el plano complejo $\mathbb{C}$.
- Conceptos básicos. Integrales de línea.
- Lemas de Goursat.
- Teorema integral de Cauchy y sus consecuencias.
- Teorema integral de Cauchy versión homótopica.
- Teorema de Liouville y el Teorema fundamental del Álgebra.
- Funciones conjugadas armónicas y funciones conformes.
- Técnicas para construir funciones analíticas.
- Teoremas de Weierstrass.
Unidad 5: Aplicaciones
- Series de Taylor y series de Laurent.
- Clasificación de singularidades. Cálculo de residuos
- Teorema del residuo.
- Integrales impropias de funciones racionales.
- Integrales trigonométricas.
- Transformada de Fourier.
- Transformada de Laplace.
- Cálculo de intergrales usando cortes de rama.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en los siguientes libros/notas:
- Notas para un curso de Variable Compleja I, Oscar Palmas Velasco, Alberto Lazcano García, Facultad de Ciencias, UNAM.
- Complex Analysis, Joseph Bak.
- Theory of Complex Functions, Reinhold Remmert.
- An introduction to Complex Analysis, Ravi P. Agarwal.
- Numbers, H.-D Ebbinghaus.
- Complex Variables and Applications, Ruel V. Churchill.
- A First Course in Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill.
- Function of One Complex Variable, John B. Conway.
- Complex Analysis with Applications, Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.
- Complex Analysis, Ian Stewart, David Tall.
- Complex Analysis and Applications, Hemant Kumar Pathak.
- Curso de variable compleja, Norman Levinson, Raymond M. Redheffer.
- Introducción a funciones analíticas y transformaciones conformes, Gabriel D. Villa Salvador.
- Manual de Variable Compleja, Artemio González López.
- Análisis complejo: Teoría de las funciones analíticas de una variable, Enrique De Amo Artero, Manuel Úbeda Flores.
- Teoría de funciones de una variable compleja, Felipe Zaldívar.
- Funciones de Variable Compleja, Carlos Ivorra Castillo.
- Variable Compleja I, Laura Hidalgo Solís.
- Fundamentos del análisis complejo de una variable, Jairo Charris Castañeda, Rodrigo de Castro Korgi, Januario Varela Borda.
- Complex Analysis, Juan Carlos Ponce Campuzano.
- Análisis Matemático, Mónica Clapp.
- Complex Analysis for Mathematics and Engineering, John H. Mathews, Russell W. Howell.
- Complex Numbers from A to …Z, Titu Andreescu, Dorin Andrica.
- Introduction to Complex Analysis – excerpts, B.V. Shabat.
Créditos
Las siguientes personas han ayudado a crear material para este curso.
- Alberto Lazcano García
- Alexander Enrique Ibarra Panek
- Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
- Pedro Rivera Herrera
- Juan Pablo Rodríguez Villagrán