Esta es la página del curso Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.

Organización del curso

El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.

• Unidad 1: Introducción y preliminares
• Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
• Unidad 3: Integración compleja
• Unidad 4: Series y aplicaciones

Notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso.

Unidad 1: Introducción y preliminares

1. Introducción a los números complejos.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$.
4. Forma polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.
6. Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
7. Topología de $\mathbb{C}$.
8. Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.
9. Continuidad en un espacio métrico.
10. Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
11. El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$.

Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja

12. Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.
13. Funciones multivaluadas.
14. Límites en $\mathbb{C}$.
15. Continuidad en $\mathbb{C}$.
16. Diferenciabilidad en el sentido complejo.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
20. Exponencial compleja.
21. Logaritmo complejo y potencias complejas.
22. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
23. Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
24. Funciones conjugadas y funciones armónicas.
25. Construcción de funciones analíticas.
26. Funciones complejas como mapeos. Técnicas de graficación.
27. Transformaciones lineales en $\mathbb{C}$.
28. Transformaciones de Möbius.
29. Transformaciones de funciones elementales en $\mathbb{C}$.

Unidad 3: Integración compleja

29. Trayectorias en el plano complejo $\mathbb{C}$.
30. Funciones conformes.
31. Integrales de línea.
32. Teorema de Green.
33. Lema de Goursat.
34. Teorema de Cauchy.

Unidad 4: Series y aplicaciones

• Series de Potencias.
• Funciones elementales como series de potencias.
• Series de Laurent.
• Teorema del Residuo.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en los siguientes libros:

• Complex Analysis, Joseph Bak.
• Theory of Complex Functions, Reinhold Remmert.
• An introduction to Complex Analysis, Ravi P. Agarwal.
• Numbers, H.-D Ebbinghaus.
• Complex Variables and Applications, Ruel V. Churchill.
• A First Course in Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill.
• Function of One Complex Variable, John B. Conway.
• Complex Analysis with Applications, Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.
• Complex Analysis, Ian Stewart, David Tall.
• Complex Analysis and Applications, Hemant Kumar Pathak.
• Curso de variable compleja, Norman Levinson, Raymond M. Redheffer.
• Introducción a funciones analíticas y transformaciones conformes, Gabriel D. Villa Salvador.
• Manual de Variable Compleja, Artemio González López.
• Análisis complejo: Teoría de las funciones analíticas de una variable, Enrique De Amo Artero, Manuel Úbeda Flores.
• Teoría de funciones de una variable compleja,  Felipe Zaldívar.
• Funciones de Variable Compleja, Carlos Ivorra Castillo.
• Variable Compleja I, Laura Hidalgo Solís.
• Fundamentos del análisis complejo de una variable, Jairo Charris Castañeda, Rodrigo de Castro Korgi, Januario Varela Borda.
• Complex Analysis, Juan Carlos Ponce Campuzano.
• Análisis Matemático, Mónica Clapp.

Créditos

Las siguientes personas han ayudado a crear material para este curso.

• Alberto Lazcano García
• Alexander Enrique Ibarra Panek
• Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
• Pedro Rivera Herrera