Variable Compleja I – Alberto Lazcano

Esta es la página del curso Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.

Organización del curso

El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.

  • Unidad 1: Introducción y preliminares
  • Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
  • Unidad 3: Integración compleja
  • Unidad 4: Series y aplicaciones

Notas del curso

A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso.

Unidad 1: Introducción y preliminares

  1. Introducción a los números complejos.
  2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$.
  3. El plano complejo $\mathbb{C}$.
  4. Forma polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
  5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.
  6. Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
  7. Topología de $\mathbb{C}$.
  8. Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.
  9. Continuidad en un espacio métrico.
  10. Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
  11. El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$.

Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja

  1. Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.
  2. Funciones multivaluadas.
  3. Límites en $\mathbb{C}$.
  4. Continuidad en $\mathbb{C}$.
  5. Diferenciabilidad en el sentido complejo.
  6. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja.
  7. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja.
  8. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
  9. Exponencial compleja.
  10. Logaritmo complejo y potencias complejas.
  11. Funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
  12. Funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbólicas complejas.
  13. Funciones conjugadas y funciones armónicas.
  14. Construcción de funciones analíticas.
  15. Funciones complejas como mapeos. Técnicas de graficación.
  16. Transformaciones lineales en $\mathbb{C}$.
  17. Transformaciones de Möbius.
  18. Transformaciones de funciones elementales en $\mathbb{C}$.

Unidad 3: Integración compleja

  1. Trayectorias en el plano complejo $\mathbb{C}$.
  2. Funciones conformes.
  3. Integrales de línea.
  4. Teorema de Green.
  5. Lema de Goursat.
  6. Teorema de Cauchy.

Unidad 4: Series y aplicaciones

  • Series de Potencias.
  • Funciones elementales como series de potencias.
  • Series de Laurent.
  • Teorema del Residuo.

Evaluación

La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.

Bibliografía

En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en los siguientes libros:

Créditos

Las siguientes personas han ayudado a crear material para este curso.

  • Alberto Lazcano García
  • Alexander Enrique Ibarra Panek
  • Leonardo Ignacio Martínez Sandoval
  • Pedro Rivera Herrera