Esta es la página del curso Variable Compleja I que se imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia viendo varios problemas y ejemplos en el camino.
Contenido
Organización del curso
El curso está dividido en cuatro unidades temáticas.
- Unidad 1: Introducción y preliminares
- Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
- Unidad 3: Integración compleja
- Unidad 4: Series y aplicaciones
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso.
Unidad 1: Introducción y preliminares
- Introducción a los números complejos.
- El campo de los números complejos $\mathbb{C}$.
- El plano complejo $\mathbb{C}$.
- Forma polar. Potencias en $\mathbb{C}$.
- Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$.
- Lugares geométricos en $\mathbb{C}$.
- Topología de $\mathbb{C}$.
- Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$.
- Continuidad en un espacio métrico.
- Conexidad y compacidad en un espacio métrico.
- El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$.
Unidad 2: Analicidad y funciones de variable compleja
- Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares.
- Límites y continuidad en $\mathbb{C}$.
- Diferenciabilidad en el sentido complejo.
- Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
- Funciones elementales.
- Funciones armónicas.
- Transformaciones en $\mathbb{C}$.
Unidad 3: Integración compleja
- Trayectorias en el plano complejo $\mathbb{C}$.
- Integrales de línea.
- Teorema de Green.
- Lema de Goursat.
- Teorema de Cauchy.
Unidad 4: Series y aplicaciones
- Series de Potencias.
- Funciones elementales como series de potencias.
- Series de Laurent.
- Teorema del Residuo.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
En esta página se pueden encontrar las notas que usamos para llevar el curso. Las notas están basadas principalmente en los siguientes libros:
- Complex Analysis, Joseph Bak.
- Theory of Complex Functions, Reinhold Remmert.
- An introduction to Complex Analysis, Ravi P. Agarwal.
- Numbers, H.-D Ebbinghaus.
- Complex Variables and Applications, Ruel V. Churchill.
- A First Course in Complex Analysis with Applications, Dennis G. Zill.
- Function of One Complex Variable, John B. Conway.
- Complex Analysis with Applications, Nakhlé H. Asmar, Loukas Grafakos.
- Complex Analysis, Ian Stewart, David Tall.
- Complex Analysis and Applications, Hemant Kumar Pathak.
Créditos
Las siguientes personas han ayudado a crear material para este curso.
- Pedro Rivera Herrera
- Juan Pablo Rodríguez Villagrán