Introducción
En está sección estudiaremos el concepto de punto de acumulación, el cual, permite describir el comportamiento de un conjunto alrededor de determinados puntos, incluso cuando estos no pertenecen al conjunto. De manera intuitiva, el conjunto de puntos de acumulación define a los puntos infinitamente cercanos a un conjunto.
Sea A un subconjunto arbitrario de $\mathbb{R}^{n}$. Se dice que $\overline{x}\in \mathbb{R^{n}}$ es un $\textit{punto de acumulación}$ de $A$, si toda bola abierta con centro en $\overline{x}$ contiene un punto de $A$ distinto de $\overline{x}$ es decir $$\forall r>0 \quad \left(B(\overline{x},r)-{\overline{x}}\right)\bigcap A\neq \emptyset$$
Al conjunto de puntos de acumulación de $A$ se le denomina el conjunto derivado de $A$ y se le denota $A^{a}$
Lema 1.- Sea $A\subset\mathbb{R}^n$. Entonces, $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$ es un punto de acumulación de $A$ si y solo si $\bar{x}\in \overline{A-{\bar{x}}}$.
Demostración. Si $\bar{x}$ es un punto de acumulación de A entonces \quad $\forall \, r > 0$ \quad $B(\bar{x},r)-{\bar{x}}\cap A \neq \varnothing$ esta expresión es equivalente a $$B(\bar{x},r)\cap A -{\bar{x}}\neq \varnothing$$
por lo que $$B(\bar{x},r) \cap {\bar{x}}^c\cap A
= [B(\bar{x},r) \cap {\bar{x}}^c]\cap A= B(\bar{x},r)\cap A -{\bar{x}}\neq
\varnothing$$
pero esto significa que $\bar{x}$ es un punto de
adherencia de $A -{\bar{x}}$
$\therefore$ $\bar{x}\in \overline{A-{\bar{x}}}$ $\square$
Ejercicio. Pruebe que $A’\subset \overline{A}$
Demostración. Sea $x\in~A’$ se tiene entonces
$$x\in~A’~\Rightarrow~x\in \overline{A-{\bar{x}}}~\underbrace{\Rightarrow}_{ \overline{A-{\bar{x}}}\subset~\overline{A}}~x\in \overline{A}$$
por lo tanto $A’\subset \overline{A}$
Ejercicio. Pruebe que $A\subset B~\Rightarrow~A’\subset~B’$
Demostración. Sea $x\in~A’$ se tiene entonces
$$x\in~A’~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}~\underbrace{\Rightarrow}_{ \overline{A-{x}}\subset~\overline{B-{x}}}~x\in \overline{B-{x}}~\Rightarrow~x\in~B’$$
por lo tanto $A’\subset B’$ $\square$
Proposición 1.-Si $\bar{x}\in\mathbb{R}^n$ es un punto de acumulación de $A$, entonces toda bola abierta $B(\bar{x},r)$ contiene una infinidad de puntos de $A$.
Demostración. Sea $B(\bar{x},r)$ una bola abierta arbitraria con centro $\bar{x}$,
supongase que esta bola tuviese solamente un número finito de puntos de $A$, digamos $\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_k$ cada uno distinto de $\bar{x}$ elijamos
$r_0=\min{d(\bar{x},\bar{x}_1),\ldots,d(\bar{x},\bar{x}_k)}$ $\therefore$ $d(\bar{x},\bar{x}_i)\leq r$. Consideremos ahora la bola abierta $B(\bar{x},r_0)$. Es claro que $B(\bar{x},r_0) \subset B(\bar{x},r)$ y de la desigualdad se sigue que $B(\bar{x},r_0)$ no contiene puntos de $A$ distintos de $\bar{x}$ pues todo punto de $A$ que estubiese en $B(\bar{x},r_0)$ también sería elemento de $B(\bar{x},r)$ lo cual no es posible ya que $\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_k$ son los únicos elementos de $A$ que están en $B(\bar{x},r)$. Entonces la bola abierta $B(\bar{x},r_0)$ no tiene puntos de $A$ diferentes de $\bar{x}$, esto contradice la hipotesis de que $\bar{x}$ es punto de acumulación. $\square$
Teorema 1.- Un conjunto $A$ es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación.
Demostración. Sea $\bar{x}$ un punto de acumulación de $A$. si $\bar{x} \not\in A $, el conjunto abieto $A^{c}$ es una vecindad de $\bar{x}$, que debe contener cuando menos un punto de $A$, pero esto no es posible, por lo tanto se concluye $x\in A$.
Inversamente:Si A contiene a todos sus puntos de acumulación se habrá de probar que
$A^{c}$ es abierto.
Sea $y \in A^{c}$ entonces $y$ no es punto de acumulación de $A$. Por lo tanto, existe una vecindad $r$ de $y$ tal que $A \cap v = \varnothing$.
En consecuencia $v_y\subset A^{c}$. Dado que esto es válido $\forall \ y \in A^{c}$ se deduce que $A^{c}$ es abierto $\therefore$ $A$ es cerrado. $\square$
Ejercicio. Sean $A, B\in\mathbb{R}^{n}$. Pruebe que $$(A\bigcup B)’=A’\bigcup B’$$
Demostración. Tenemos que
$$x\in (A\bigcup B)’~\Rightarrow~x\in\overline{A\bigcup B}-{x}$$
$$~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}\bigcup \overline{B-{x}}$$
$$~\Rightarrow~x\in \overline{A-{x}}\acute{o}x\in \overline{B-{x}} $$
$$~\Rightarrow~x\in A’\acute{o}x\in B’$$
$$~\Rightarrow~x\in A’\bigcup B’$$
Inversamente
$$A\subset A\bigcup B~\Rightarrow~A’\subset (A\bigcup B)’$$
$$B\subset A\bigcup B~\Rightarrow~B’\subset (A\bigcup B)’$$
de lo anterior se tiene
$$A’\bigcup B’\subset (A\bigcup B)’$$ $\square$
Ejercicio. Pruebe que $(A\bigcap B)’\subset A’\bigcap B’$
Demostración.
$$ A\bigcap B~\subset~A~\Rightarrow~(A\bigcap B)’\subset A’$$
$$ A\bigcap B~\subset~B~\Rightarrow~(A\bigcap B)’\subset B’$$
de lo anterior se tiene
$$(A\bigcup B)’\subset A’\bigcup B’$$ $\square$
Más adelante
En la siguiente entrada abordaremos el tema de conjuntos convexos, los cuales, se caracterizan porque todos sus puntos resultan ser puntos de acumulación.
Tarea moral
1.- Prueba que si $A \subset \mathbb{R}^n $ es un conjunto arbitrario entonces
$$int(A) \subset A’ \subset int(A) \bigcup Fr(A)$$
2.- Prueba que $A \cup A’= \overline{A}$
3.- Sea $A=\left\{(m,0) \in \mathbb{R}^2 | m \in \mathbb{Z}\right\}$ Describe y prueba quién es $A’$
4.- Determina quien es el $S’$ de $S=\left\{ (\dfrac{1}{n},0 ) |n \in \mathbb{N} \right\} \subset \mathbb{R}^2$
5.-Da un ejemplo de un conjunto $S$ en $\mathbb{R}^2$ donde $S’$ sólo tenga un punto de acumulación y otro donde contenga una infinidad.
Enlaces
El siguiente enlace muestra la gráfica de la sucesión $\left\{ \frac{1}{n} \right\}$ en geogebra. Puedes modificar en la última entrada el valor de 50, representa la cantidad de elementos de la sucesión, entre más hay, puedes observar como la sucesión tiende al $(0,0)$ que es su punto de acumulación