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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Introducción

Bienvenidos a la última entrada del curso. En esta ocasión nos enfocaremos en demostrar y analizar el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano que dice lo siguiente:

Teorema (Poincaré – Bendixson): Sea $\Omega$ un conjunto límite en un sistema de dos ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$. Si $\Omega$ es no vacío, cerrado y acotado, y tal que no contiene puntos de equilibrio del sistema, entonces es una órbita cerrada (función periódica).

Durante las entradas anteriores revisamos una gran diversidad de ejemplos y vimos que existen sistemas que tienen curvas solución notables que vale la pena estudiar. Tales curvas son (casi siempre) periódicas, y las demás curvas solución del sistema tienden a esta de una manera asintótica. Un par de ejemplos son los siguientes:

  • $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -x+(1-x^{2})y. \end{array}$$
  • $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \lambda x-y-x(x^{2}+y^{2}) \\ \dot{y} & = & x+\lambda y-y(x^{2}+y^{ 2}) \end{array}, \,\ \lambda>0.$$

Estudiar tales curvas es bastante complicado, y más aún, verificar que son órbitas cerradas. Afortunadamente el teorema de Poincaré – Bendixson nos ayudará a resolver este problema. El teorema es nombrado así debido al matemático francés Henri Poincaré, y al sueco Ivan Otto Bendixson. El primero de ellos fue el que sentó las bases para la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales.

Demostrar el teorema no es algo sencillo, por lo que iremos enunciando poco a poco las herramientas necesarias para la demostración. Definiremos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite, $\alpha$-conjunto límite, sección local en un punto, caja de flujo para una sección local, el mapeo de primer retorno de Poincaré y enunciaremos sus propiedades básicas, necesarias para la demostración del teorema.

Finalmente demostraremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano, y comentaremos brevemente las consecuencias de este resultado, uno de los más importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.

Breve introducción al teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Conjuntos límite

Enunciamos brevemente el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano. Posteriormente definimos los conceptos de $\omega$-punto límite, $\alpha$-punto límite, $\omega$-conjunto límite y $\alpha$-conjunto límite, revisamos algunos ejemplos y enunciamos las propiedades necesarias para la demostración del teorema.

Secciones locales

Definimos los conceptos de sección local en un punto $\textbf{X}_{0}$ del plano tal que no es punto de equilibrio del sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$. Además definimos una caja de flujos para $\textbf{X}_{0}$ y analizamos el comportamiento de las soluciones al sistema en una vecindad de $\textbf{X}_{0}$.

Mapeo de Poincaré

Definimos el mapeo de primer retorno de Poincaré y lo relacionamos con la sección local de un punto $\textbf{X}_{0}$ que pertenece a una órbita cerrada $\gamma$ del sistema $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$ .

Teorema de Poincaré – Bendixson en el plano

Demostramos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano y enunciamos algunas consecuencias de este teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Determina el $\omega$-conjunto límite de un punto $\textbf{X}_{0}$ perteneciente a una solución periódica.
  • Prueba que si $\gamma$ es una órbita cerrada para el sistema de ecuaciones $\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\textbf{X})$ y $S$ es una sección local en cualquier punto, entonces $\gamma$ intersecta a $S$ en a lo más un punto.

Los siguientes ejercicios muestran una estrategia para demostrar la existencia de soluciones periódicas no triviales a un sistema de ecuaciones.

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -x+y(1-2x^{2}-3y^{2}). \end{array}$$

  • Considera la función $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$. Sea $(x(t),y(t))$ una solución no trivial al sistema. Prueba que $\dot{L}(x(t),y(t))>0$ en la región dada por $x^{2}+y^{2}<1/3$ y que $\dot{L}(x(t),y(t))<0$ en la región dada por $x^{2}+y^{2}>1/2$.
  • Sea $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} | \frac{1}{3}<x^{2}+y^{2}<\frac{1}{2}\}$. Prueba que existe un $\omega$-conjunto límite contenido en $A$.
  • Prueba que no existen puntos de equilibrio contenidos en $A$.
  • Concluye que existe una órbita cerrada para el sistema.
  • Esboza el plano fase del sistema.

Más adelante

Esta es la última entrada del curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Espero hayas disfrutado el curso tanto como nosotros al prepararlo. Por supuesto, existen muchos más temas referentes a las ecuaciones diferenciales que puedes buscar por tu cuenta, una vez que hemos mostrado el camino.

Además, puedes consultar más cursos contenidos en este blog que seguro serán de tu agrado.

¡Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Introducción a bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden

Introducción

Al final de la primera unidad del curso, estudiamos bifurcaciones en familias uniparamétricas de ecuaciones autónomas de primer orden de la forma $$\frac{dy}{dt}=f_{\lambda}(y).$$ Los conceptos más elementales de dicha teoría los podemos extender a sistemas de ecuaciones de primer orden. Así podremos estudiar familias de sistemas de ecuaciones de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\textbf{F}(\lambda, \textbf{X})$$ donde $\lambda$ es un parámetro real. Al igual que para ecuaciones autónomas de primer orden, nuestro interés se centrará en estudiar los cambios cualitativos en los puntos de equilibrio y demás soluciones al sistema conforme varía el parámetro $\lambda$. Es decir, estudiaremos las bifurcaciones en familias de sistemas de ecuaciones de primer orden.

Comenzaremos por definir los conceptos más elementales en la teoría de bifurcaciones en términos de sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Posteriormente nos enfocaremos en estudiar algunos casos interesantes que ocurren en familias de sistemas de ecuaciones lineales. En los sistemas lineales podemos introducir el parámetro en los coeficientes de la matriz asociada al sistema. Con ayuda del plano traza – determinante, podremos analizar de mejor manera las bifurcaciones que ocurren para cada caso. En cualquier caso el número de puntos de equilibrio no cambia, ya que al ser sistemas lineales homogéneos, el origen siempre será el único punto de equilibrio, pero conforme varían los parámetros lo que cambiará es su estabilidad.

Para el caso no lineal ofreceremos dos ejemplos típicos de bifurcaciones: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf. Para el primer ejemplo, la bifurcación provoca un cambio en el número de puntos de equilibrio, y por supuesto en la estabilidad de estos. En la bifurcación de Hopf, siempre habrá un único punto de equilibrio, pero lo que cambiará será su estabilidad, y además aparecerá una solución periódica que atrae a todas las demás soluciones.

¡Vamos a comenzar!

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones lineales

En el primer video definimos los conceptos elementales en la teoría de bifurcaciones, tales como familias de ecuaciones de primer orden que dependen de un parámetro y el valor de bifurcación.

En el segundo video estudiamos algunas bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones lineales.

Bifurcaciones en sistemas de ecuaciones no lineales

En el último video de esta entrada estudiamos un par de bifurcaciones que ocurren en sistemas no lineales: la bifurcación de punto silla y la bifurcación de Hopf.

Los campos vectoriales que aparecen en los videos fueron realizados en el siguiente enlace.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Estudia la familia de sistemas de la forma $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$$ donde $a<0$ es un valor fijo y $\lambda$ es un parámetro real. Representa los cambios que ocurren en el plano traza – determinante, según los valores de $\lambda$.
  • Realiza lo mismo que el ejercicio anterior para la familia de sistemas que depende del parámetro $\lambda$ $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}.$$
  • Considera la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}+y \\ \dot{y} & = & x-y+\lambda. \end{array}$$ Encuentra todas las posibles bifurcaciones y estudia los cambios en el comportamiento de las soluciones.
  • Demuestra que bajo un cambio a coordenadas polares, un sistema de dos ecuaciones puede escribirse en la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{r} & = & \frac{x\dot{x}+y\dot{y}}{r} \\ \dot{\theta} & = & \frac{x\dot{y}-\dot{x}y}{r^{2}}. \end{array}$$
  • (Bifurcación de Pitchfork): Realiza un estudio completo de la familia de sistemas $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -x^{3}-\lambda x \\ \dot{y} & = & -y. \end{array}$$

Más adelante

Estamos a punto de concluir nuestro curso de Ecuaciones Diferenciales. En la siguiente entrada estudiaremos los conjuntos límite, los cuáles han estado apareciendo en distintos planos fase que hemos dibujado. Además, enunciaremos y discutiremos el teorema de Poincaré – Bendixson en el plano.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas gradiente

Introducción

En la entrada anterior consideramos nuevamente el sistema de ecuaciones que modelaba el movimiento de un péndulo, en este caso con fricción, de la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y \end{array}$$ y analizamos las diferencias que existen entre este sistema y el que modela al péndulo simple (sin fricción), entre ellas que el nuevo sistema ya no es hamiltoniano. Sin embargo, la función hamiltoniana $H(x,y)=\frac{1}{2}y^{2}-\cos{x}+1$ que define al sistema del péndulo simple fue útil para esbozar el plano fase del sistema con fricción.

Lo anterior nos motivó a estudiar a un conjunto de funciones que compartieran las mismas propiedades de $H$, en función de los sistemas de ecuaciones y sus puntos de equilibrio. A dichas funciones $L$ las llamamos funciones de Lyapunov. Estudiamos sus propiedades y establecimos el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos indica la estabilidad de puntos de equilibrio cuando el sistema admite una función de Lyapunov.

En esta entrada estudiaremos un tipo particulas de sistemas para los cuales es relativamente sencillo encontrar una función de Lyapunov, bajo ciertas hipótesis que deben cumplir los puntos de equilibrio del sistema. Tales sistemas son llamados sistemas gradiente y son de la forma $$\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G}(\textbf{X})$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$, que por comodidad, la tomaremos de clase $C^{\infty}$. En términos de sistemas de dos ecuaciones, que son las hemos estado estudiando, tenemos que un sistema es gradiente si $$ \begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -\frac{\partial{G}}{\partial{x}} \\ \dot{y} & = & – \frac{\partial{G}}{\partial{y}} \end{array}$$ para alguna función $G: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$. Estudiaremos sus principales propiedades y como ya mencionamos veremos cuándo este tipo de sistemas admite una función de Lyapunov.

Sistemas gradiente

En el primer video definimos a los sistemas gradientes y estudiamos sus principales propiedades. Además, encontramos una función de Lyapunov para puntos de equilibrio que son mínimos locales estrictos para la función $G$ que define al sistema gradiente.

En el segundo video estudiamos un par de sistemas gradientes, así como su plano fase.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$ un sistema gradiente. Prueba que $\dot{G}(\textbf{X})=0 \iff \textbf{X}$ es un punto de equilibrio del sistema.
  • Considera el sistema gradiente $\dot{\textbf{X}}=-\nabla{G(\textbf{X})}$. Demuestra que si $(x_{0},y_{0})$ es un mínimo local estricto para $G$, entonces es asintóticamente estable.
  • Demuestra que el sistema de dos ecuaciones, obtenido por la linealización de un sistema gradiente en un punto de equilibrio, tiene únicamente valores propios reales.
  • Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y^{2}+2xy \\ \dot{y} & = & x^{2}+2xy \end{array}$$ que estudiamos en el primer ejemplo del segundo video. Linealiza el sistema en el origen y encuentra su estabilidad.
  • Supongamos que un sistema hamiltoniano es gradiente. Prueba que entonces la función hamiltoniana $H$ es armónica, es decir, se satisface $$\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{x}^{2}}+\frac{\partial^{2}{H}}{\partial{y}^{2}}=0.$$ ¿El recíproco es cierto?
  • Da un ejemplo de un sistema que sea hamiltoniano y gradiente a la vez.
  • Verifica que el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x^{2}-2xy \\ \dot{y} & = & y^{2}-x^{2} \end{array}$$ es gradiente. Esboza su plano fase.
  • Considera la función $G(x,y)=x^{4}+2y^{4}$. Define un sistema gradiente con dicha función, encuentra sus puntos de equilibrio, encuentra una función de Lyapunov para el sistema (si existe) y determina la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Más adelante

En la siguiente entrada estudiaremos un poco de bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Es decir, estudiaremos familias de sistemas de primer orden que varían respecto a un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. Estudiaremos primero familias de sistemas lineales, y posteriormente analizaremos un par de sistemas no lineales, cuyas bifurcaciones son comunes en dicha área de las ecuaciones diferenciales.

¡Hasta la próxima!

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Funciones de Lyapunov

Introducción

En la entrada anterior definimos a los sistemas hamiltonianos, que son aquellos que tienen la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \frac{\partial{H}}{\partial{y}} \\ \dot{y} & = & -\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \end{array}$$ para cierta función $H:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ que llamamos función hamiltoniana. Vimos sus principales propiedades, una de las cuales nos dice que las curvas de nivel de $H$ coinciden con las curvas solución del sistema de ecuaciones. Así, estudiar el plano fase y la estabilidad de los puntos de equilibrio para este tipo de sistemas es bastante sencillo. Lamentablemente no todos los sistemas son hamiltonianos, y por lo tanto no es posible encontrar una función $H$ que sea una cantidad conservada para el sistema.

Comenzaremos estudiando el sistema de ecuaciones que modela el movimiento pendular con fricción. A diferencia del péndulo simple que no tiene fricción, este nuevo sistema no es hamiltoniano. Sin embargo, con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple, podremos hacer un buen esbozo del plano fase. Esto ocurrirá ya que la derivada de $H$ respecto al tiempo satisface $$\dot{H}(x(t),y(t))\leq 0$$ para cualquier solución $(x(t),y(t))$ del sistema. Esto significa que las curvas solución al sistema recorren las curvas de nivel de $H$ de valores mayores a menores.

Con el análisis realizado para el sistema del péndulo con fricción, lo siguiente que haremos será estudiar un tipo de funciones que comparten las propiedades que satisface la función $H$ antes mencionada, y que llamaremos funciones de Lyapunov. Definiremos formalmente a dichas funciones y veremos sus principales propiedades, entre ellas el teorema de estabilidad de Lyapunov que nos dice que si existe una función de Lyapunov $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida en una vecindad $U$ de un punto de equilibrio para un sistema de ecuaciones, entonces el punto de equilibrio es estable. Si además $\dot{L}<0$ en $U$, excepto en el punto de equilibrio, entonces este será asintóticamente estable.

¡Vamos a comenzar!

El péndulo con fricción

Comenzamos estudiando el sistema que modela el movimiento de un péndulo con fricción. Revisamos las diferencias y similitudes que mantiene con el sistema para el péndulo simple y esbozamos su plano fase con ayuda de la función hamiltoniana que define al sistema del péndulo simple.

Funciones de Lyapunov

En el video definimos a las funciones de Lyapunov, revisamos algunas propiedades interesantes y demostramos el Teorema de estabilidad de Lyapunov. Mediante un par de ejemplos observamos cuándo aplicar este último teorema.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Esboza el plano fase del sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy^{4} \\ \dot{y} & = & x^{4}y. \end{array}$$ Verifica que el sistema no es hamiltoniano. Por lo tanto, existen sistemas no hamiltonianos para los cuales existen funciones que son cantidades conservadas. (Por lo dicho en el video, $L(x,y)=x^{4}+y^{4}$ es una cantidad conservada para el sistema).
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y-2x \\ \dot{y} & = & 2x-y-x^{3}. \end{array}$$ Prueba que el origen es un punto de equilibrio. Demuestra que la función $L(x,y)=(x+y)^{2}+\frac{1}{2}x^{4}$ es una función de Lyapunov para el origen. Determina la estabilidad del punto de equilibrio.
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & y \\ \dot{y} & = & -\sin{x}-y. \end{array}$$ Prueba que los puntos de equilibrio de la forma $(m\pi,0)$ con $m$ par son asintóticamente estables, usando el último teorema del segundo video.
  • Prueba que el origen es el único punto de equilbirio para el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -xy \\ \dot{y} & = & x^{2}-y. \end{array}$$ Considera la función $L:U \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $L(x,y)=x^{2}+y^{2}$ donde $U$ es un abierto que contiene a $(0,0)$. Prueba que $L$ es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio. ¿Es $(0,0)$ asintóticamente estable?
  • Considera el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -2x \\ \dot{y} & = & x-y. \end{array}$$ y la función $L(x,y)=c_{1}x^{2}+c_{2}y^{2}$, $c_{1}, c_{2}$ constantes. Encuentra valores para las constantes de tal forma que $L$ sea una función de Lyapunov para el sistema.

Más adelante

En la próxima entrada definiremos un tipo particular de sistemas, los llamados sistemas gradiente. Al igual que los sistemas hamiltonianos, veremos sus principales propiedades. Además, probaremos la existencia de funciones de Lyapunov para algunos puntos de equilibrio en particular de dichos sistemas.

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Ecuaciones Diferenciales I – Videos: Sistemas hamiltonianos

Introducción

En anteriores entradas, hemos estudiado sistemas no lineales de ecuaciones de primer orden. Hemos visto la dificultad de conocer el comportamiento completo de las curvas solución en el plano fase, debido a que el campo vectorial asociado al sistema puede ser muy complejo. Afortunadamente logramos conocer el comportamiento de las soluciones cercanas a los puntos de equilibrio, gracias a la linealización del sistema, siempre y cuando los puntos de equilibrio fueran hiperbólicos. También estudiamos el método de las nulclinas para esbozar el plano fase de manera completa, pero como ya mencionamos, este método está sujeto a la complejidad del campo vectorial del sistema.

En esta entrada estudiaremos un tipo de sistema cuyo plano fase es relativamente sencillo de estudiar. Estos sistemas son los llamados sistemas hamiltonianos, que son de la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & \frac{\partial{H}}{\partial{y}} \\ \dot{y} & = & -\frac{\partial{H}}{\partial{x}} \end{array}$$ para cierta función $H:\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}.$

Veremos algunas propiedades importantes que satisfacen tanto el sistema hamiltoniano como la función $H$, que llamaremos función hamiltoniana. La más importante será la que nos afirma que las curvas solución del plano fase serán las curvas de nivel de la función hamiltoniana. Así, para los sistemas hamiltonianos el problema de estudiar cualitativamente las curvas solución en el plano fase será equivalente a conocer las curvas de nivel de la función hamiltoniana.

Por supuesto, veremos las condiciones bajo las cuáles un sistema es hamiltoniano, y en caso de que lo sea, desarrollaremos un método para encontrar la función hamiltoniana que define al sistema.

¡Vamos a comenzar!

Sistemas hamiltonianos

En el primer video definimos a los sistemas hamiltonianos, y vemos las principales propiedades que cumplen dichos sistemas, y la función hamiltoniana que los define. Establecemos la condición que debe satisfacer un sistema de ecuaciones para que este sea hamiltoniano, y en caso de serlo, estudiamos una forma de hallar a la función hamiltoniana.

En el segundo video aplicamos todo el conocimiento adquirido en el primer video para estudiar un par de sistemas hamiltonianos y esbozar su plano fase.

Los campos vectoriales que aparecen en los videos fueron realizados en el siguiente enlace.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Verifica si el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x+\sin{y} \\ \dot{y} & = & -y \end{array}$$ es hamiltoniano. En caso de serlo, encuentra una función hamiltoniana y esboza el plano fase del sistema.
  • Haz lo mismo que en el ejercicio anterior para el sistema de ecuaciones $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & -\sin^{2}{x}\sin{y} \\ \dot{y} & = & -2\sin{x}\cos{x}\cos{y}. \end{array}$$
  • Demuestra que el sistema $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & x\cos{xy} \\ \dot{y} & = & -y\cos{xy} \end{array}$$ es hamiltoniano. Encuentra una función hamiltoniana, verifica que es una cantidad conservada para el sistema y esboza el plano fase.
  • Considera el sistema lineal de ecuaciones $$\dot{\textbf{X}}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\textbf{X}.$$ Establece condiciones para las constantes $a,b,c,d$ de tal forma que el sistema sea hamiltoniano.
  • Prueba que si un sistema es hamiltoniano, entonces los puntos de equilibrio del sistema linealizado son únicamente puntos silla o centros.
  • Considera el sistema de ecuaciones de la forma $$\begin{array}{rcl} \dot{x} & = & F_{1}(y) \\ \dot{y} & = & F_{2}(x). \end{array}$$ Demuestra que este sistema es hamiltoniano y encuentra una función hamiltoniana.

Más adelante

Hemos terminado el análisis de los sistemas hamiltonianos. Lamentablemente, no todos los sistemas lo son, y de hecho, casi ninguno lo es. En la siguiente entrada comenzaremos abordando nuevamente el modelo del péndulo, pero ahora agregaremos fricción, por lo que el sistema dejará de ser hamiltoniano. Estudiaremos los problemas que se presentan, posteriormente definiremos un función similar a la función hamiltoniana, la cual es la llamada función de Lyapunov y veremos algunas propiedades interesantes

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