Archivo de la etiqueta: plano complejo

Variable Compleja I: El plano complejo extendido $\mathbb{C}_{\infty}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Al estudiar matemáticas un concepto que no puede pasar desapercibido es el del infinito. Intuitivamente cuando pensamos en el infinito estamos considerando a algo que no tiene fin, algo sin límites. Aunque dicho concepto aparece en diversas ramas de las matemáticas como el cálculo, el análisis, la geometría, la teoría de conjuntos, entre otras, es claro que la idea que tenemos sobre él es equivalente entre todas estas ramas y su importancia radica en que nos permite entender y describir mejor alguna problemática puntual. Por ejemplo cuando queremos hablar sobre el comportamiento de una sucesión conforme está crece cada vez más y más hacemos uso del límite al infinito de nuestra variable, o cuando hablamos de la cardinalidad de un conjunto que tiene una cantidad de elementos numerable, intuitivamente pensamos en que dicho conjunto tiene una infinidad de elementos.

Lo anterior no es la excepción al estudiar Variable Compleja. Desde que el campo de los números complejos $\mathbb{C}$ no puede ordenarse bajo la relación de ser positivo, la idea de que un número complejo $z = a + ib$ crezca o decrezca no tiene sentido. Sin embargo podemos preguntarnos en qué sucede con su módulo $|\,z\,|$, ya que conforme crece $|\,z\,|$ de manera arbitraria tendremos que el número complejo $z$ se alejará más del origen. Entonces, al pensar en que $z \rightarrow \infty$ no tendremos que distinguir entre las direcciones de los ejes, sino simplemente recordar que estamos pensando en que el módulo $|\,z\,|$ crece sin límite a lo largo de los ejes real e imaginario, por lo que la notación $|\,z\,| \rightarrow \infty$ será lo mismo que $a^2+b^2 \rightarrow \infty$.

En su momento veremos que es necesario estudiar funciones de variable compleja para las que el módulo de la variable crezca de manera arbitraria, por lo que resulta conveniente agregar al plano complejo un punto ideal, llamado el punto al infinito, denotado por $\infty$.

Definición 11.1. (El plano complejo extendido.)
Se define al plano complejo extendido como el conjunto dotado con el punto $z_\infty=\infty$ como: \begin{equation*}
\mathbb{C}_{\infty} := \mathbb{C}\cup \{\infty\}.
\end{equation*}

Observación 11.1.
Es claro que en el plano complejo $\mathbb{C}$ no existe un lugar destinado para el punto al infinito. Sin embargo, ¿qué pasa con aquellos puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z\,|>\frac{1}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon>0$ suficientemente pequeño? El punto al infinito nos permite responder esta pregunta, ya que a los puntos con dicha propiedad los podemos pensar como un $\varepsilon$-vecindario del punto al infinito.

Primeramente debemos establecer las siguientes reglas aritméticas para poder operar con este nuevo punto del plano complejo extendido: \begin{align*}
z \pm \infty = \infty \pm z = \infty, \quad \forall z \in \mathbb{C}.\\
z \cdot \infty = \infty \cdot z = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{0} = \infty, \quad \text{si}\,\,\, z \neq 0.\\
\frac{z}{\infty} = 0, \quad \text{si}\,\,\, z \neq \infty.\
\end{align*}

Un módelo que nos permite representar al plano complejo extendido es la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$, cuyo centro es el punto $(0,0,1)$, situada sobre el plano complejo $\mathbb{C}$, figura~\ref{fig:f52}, es decir el conjunto: \begin{equation*}
\mathbb{S} = \{ (x,y,u) \in \mathbb{R}^3 \, : \, x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1 \},
\end{equation*} dotada con los puntos $N=(0,0,2)$, llamado el polo norte o el punto al infinito y $O=(0,0,0)$ llamado el polo sur o el origen. A dicho modelo se le denomina la esfera de Riemann.

Es posible identificar a $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ con el plano complejo si consideramos a $\mathbb{C}$ como el plano: \begin{equation*}
\Pi = \{(a,b,0)\in\mathbb{R}^3 \, : \, a,b \in \mathbb{R}\}, \tag{11.1}
\end{equation*} y al punto $N$ con el punto al infinito.

Figura 52: La esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dada por $x^2 + y^2 + (u-1)^2 = 1$, y el plano complejo $\mathbb{C}$, dado por (11.1), relacionados mediante la proyección estereográfica.

De acuerdo con la gráfica, tenemos que un número complejo $z=a+ib$ con un módulo demasiado grande se aleja del origen $(0,0,0)$ conforme el punto $P=(x_0,y_0,u_0)$ está más cerca del punto al infinito $N$.

Notemos que si trazamos una recta desde $N$ hasta el número complejo $z=a+ib$ en el plano complejo, al cual le corresponde el punto $(a,b,0)$ en $\mathbb{R}^3$, entonces existe un único punto $P=(x_0, y_0, u_0)$ en la esfera de Riemann tal que pertenece a dicha recta. Por otra parte, para un punto $P=(x_0, y_0, u_0)\in\mathbb{S}$, distinto de $N$, es posible extender el segmento de recta que une a $N$ con dicho punto $P$ hasta intersecar al plano complejo $\mathbb{C}$ en un único punto $z=a+ib$, figura 52.

Lo anterior nos deja ver que existe una relación biunívoca entre $\mathbb{S}\setminus\{N\}$ y $\mathbb{C}$, pensado como el plano (11.1), descrita a continuación.

Podemos escribir a la recta que pasa por los puntos $N=(0,0,2)$ y $P=(x_0,y_0,u_0)$ en su forma paramétrica como:
\begin{equation*}
N + (P-N)t, \quad t\in\mathbb{R}.
\tag{11.2} \end{equation*} Dado que la recta (11.2) interseca al plano $\mathbb{C}$, dado por (11.1), en el número complejo $z=a+ib$, es decir el punto $(a,b,0)$, entonces se tiene que para algún $t\in\mathbb{R}$: \begin{align*}
(a,b,0) &= N + (P-N)t\\
& = (tx_0,ty_0, 2 + t(u_0-2)).
\end{align*} De lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: \begin{align*}
a = t x_0,\tag{11.3.1} \\
b = t y_0,\tag{11.3.2} \\
2(t-1) = t u_0. \tag{11.3.3}
\end{align*} Además de (11.3.3) es claro que: \begin{equation*}
t = \frac{2}{2-u_0}. \tag{11.3.4}
\end{equation*} Sustituyendo (11.3.4) en (11.3.1) y (11.3.2) tenemos: \begin{align*}
a = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b = \frac{2y_0}{2-u_0}. \tag{11.4}
\end{align*}

Por otra parte, sabemos que $P=(x_0,y_0,u_0) \in \mathbb{S}$, por lo que satisface: \begin{equation*}
x_0^2 + y_0^2 + (u_0 – 1)^2 = 1.
\end{equation*}

Multiplicando ésta última expresión por $t^2$ obtenemos: \begin{align*}(tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0 -t)^2 = t^2\\
\\
\Longrightarrow \quad (tx_0)^2 + (ty_0)^2 + (tu_0)^2 = 2t^2 u_0. \tag{11.5.1} \end{align*}

Dado que $z=a+ib\in\mathbb{C}$, sabemos que $|\,z\,|^2 = a^2 + b^2 $, por lo que sustituyendo (11.3.1), (11.3.2) y (11.3.3) en (11.5.1) tenemos:
\begin{align*}
a^2 + b^2 + 4(t-1)^2 = 4t(t-1).\\
\\
\Longrightarrow \quad t = \frac{|\,z\,|^2 + 4}{4}\tag{11.5.2}
\end{align*}

De (11.3.1), (11.3.2), (11.3.3) y (11.5.2) se sigue que: \begin{align*}
x_0 = \frac{a}{t} = \frac{4a}{|\,z\,|^2 + 4},\\
y_0 = \frac{b}{t} = \frac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \tag{11.6}
\end{align*} \begin{equation*}
u_0 = \frac{2(t-1)}{t} = \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}.
\end{equation*}

Esta forma de asociar o hacer corresponder a los putos $z$ de $\mathbb{C}$ con la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, dotada con $N=(0,0,2)$ y $O=(0,0,0)$, se le conoce como la proyección estereográfica.

Definición 11.2. (La proyección estereográfica.)
Definimos a la proyección estereográfica como la función $\varphi:\mathbb{S} \to \mathbb{C}_{\infty}$ tal que para $P=(x,y,u)\in \mathbb{S}$: \begin{equation*}
\varphi(P) = \left\{\begin{array}{lcc}
\infty, & \text{si} & P=N=(0,0,2),\\
\\ z= a+ib, & \text{si} & P \neq N,
\end{array}
\right.
\end{equation*} donde $z=a+ib\in\mathbb{C}$ representa al punto $(a,b,0)$ de $\mathbb{R}^3$ tal que $a = \dfrac{2x}{2-u}$, $b=\dfrac{2y}{2-u}$.

Proposición 11.1.
Sea $\mathbb{S}^* = \mathbb{S}\setminus{N}$. La proyección estereográfica es un homeomorfismo entre $(\mathbb{S}^*,d_{\mathbb{R}^3})$ y $(\mathbb{C},d)$, donde $d_{\mathbb{R}^3}$ es la distancia usual de $\mathbb{R}^3$ y $d$ la métrica euclidiana en $\mathbb{C}$.

Demostración. Veamos que está función es biyectiva. Es claro que si $P,Q\in\mathbb{S}^*$, entonces para algún $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$ se tiene:
\begin{align*}
\varphi(P) = \varphi(Q) \quad & \Longrightarrow \quad z_1 = z_2\\
& \Longrightarrow \quad \operatorname{Re}(z_1) = \operatorname{Re}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \operatorname{Im}(z_1) =\operatorname{Im}(z_2)\\
& \quad \quad \quad \, \, \text{y} \,\, |\,z_1\,| = |\,z_2\,|. \end{align*} Por lo que $P=Q$, entonces $\varphi$ es inyectiva.

Consideremos a $z=a+ib \in\mathbb{C}$, notemos que si $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}^*$, con $x_0$, $y_0$ y $u_0$ dados como en (11.6) entonces: \begin{align*}
\varphi(P) & = \varphi\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}, \frac{4b}{|\,z\,|^2+4}, \frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}\right)\\
& = \frac{2\left(\frac{4a}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}} + i\, \frac{2\left(\frac{4b}{|\,z\,|^2+4}\right)}{2-\frac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2+4}}\\
& = a + ib\\
& = z.
\end{align*} Por lo tanto, como $z\in\mathbb{C}$ era arbitrario se sigue que para todo número complejo $z$ existe un punto $P\in\mathbb{S}^*$ tal que $\varphi(P) = z$. Por lo tanto $\varphi$ es sobreyectiva.

Dado que la proyección estereográfica es una función biyectiva, entonces existe la función inversa de $\varphi$, digamos $\varphi^{-1}$, la cual es una función que va de $\mathbb{C}_\infty$ a $\mathbb{S}$ tal que para $z\in\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*}
\varphi^{-1}(z) = \left\{\begin{array}{lll}
N=(0,0,2), & \text{si} & z = \infty,\\
P= \left( \dfrac{4a}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{4b}{|\,z\,|^2 + 4}, \dfrac{2\,|\,z\,|^2}{|\,z\,|^2 + 4}\right), & \text{si} & z = a+ib \in\mathbb{C}.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Considerando las ecuaciones que definen a las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$, dadas en (11.4) y en (11.6), no es difícil verificar que ambas funciones son continuas en su respectivo dominio, por lo que se deja como ejercicio.

$\blacksquare$

Observación 11.2.
Consideremos la ecuación general de un plano, es decir: \begin{equation*}
Ax+By+Cu+D=0.
\end{equation*} Si dicho plano pasa por el centro de la esfera $\mathbb{S}$, es decir por el punto $(0,0,1)$, entonces dicho plano es de la forma: \begin{equation*}
Ax+By+C(u-1)=0. \tag{11.7}
\end{equation*} Más aún, al intersecar a la esfera $\mathbb{S}$ con un plano de la forma (11.7) se obtiene una circunferencia máxima.

Observación 11.3.
Notemos que bajo la proyección estereográfica los lugares geométricos del plano complejo $\mathbb{C}$ corresponden con lugares geométricos de la esfera de Riemann $\mathbb{S}$ y viceversa. Es importante recordar que no existe un punto en el plano complejo destinado para el punto al infinito, sin embargo no es difícil observar de manera geométrica que líneas longitudinales que pasan por el polo norte $N$, como el meridiano 0 o meridiano de Greenwich, corresponden con rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen $z=0$. Por otra parte, en la esfera de Riemann las líneas de latitud, como el ecuador, corresponden con circunferencias en el plano complejo $\mathbb{C}$ centradas en el origen $z=0$, mientras que una circunferencia arbitraria en la esfera de Riemann, que no pase por el polo norte $N$, corresponde con una circunferencia en el plano complejo $\mathbb{C}$. No debe ser difícil notar que conforme el radio de las circunferencias tiende a infinito, las líneas de latitud en la esfera tienden al polo norte $N$ que corresponde con el punto al infinito.

Figura 53: La proyección estereográfica manda circunferencias que pasan por el polo norte en rectas.
Figura 54: La proyección estereográfica manda circunferencias que no pasan por el polo norte en circunferencias.

Proposición 11.2.
Bajo la proyección esterográfica, circunferencias en la esfera de Riemann, $\mathbb{S}$, corresponden con circunferencias o rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$, figuras 53 y 54.

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Observación 11.4.
De nuestros cursos de Geometría Analítica y Cálculo sabemos que una trayectoria o camino en $\mathbb{R}^n$ es una función $\gamma:(c,d)\rightarrow \mathbb{R}^n$, y al conjunto $\Gamma = \{ \gamma(t) \, : \, t\in(c,d)\}$ lo llamamos la curva descrita por $\gamma$. Además sabemos que podemos expresar a una trayectoria $\gamma$ por medio de sus funciones componentes, por ejemplo en $\mathbb{R}^3$ tenemos que $\gamma(t) = \left(x(t),y(t),z(t)\right)$ donde $x(t),y(t),z(t)$ son sus funciones componentes.
Por otra parte, decimos que una curva es suave en $(c,d)$ si es diferenciable en $(c,d)$, es decir si sus funciones componentes son derivables en $(c,d)$ y sus derivadas no se anulan simultáneamente en $(c,d)$, excepto quizás en $c$ o $d$.

Observación 11.5.
Por otra parte, sabemos que el ángulo $\theta$ entre dos vectores $u,v$ en $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ se puede obtener mediante: \begin{equation*}
\operatorname{cos}(\theta) = \frac{u \cdot v}{\left\lVert u \right\rVert \left\lVert v \right\rVert},
\end{equation*} donde $\cdot$ representa el producto interior entre $u$ y $v$, mientras que $\left\lVert \cdot \right\rVert$ la norma de cada vector.

Dadas dos curvas suaves, descritas por $\gamma_1$ y $\gamma_2$, podemos definir el ángulo entre ellas como el ángulo que se forma entre las rectas tangentes a cada curva en un punto de intersección. Es claro que dadas dos rectas tangentes, que se intersecan entre sí, se obtienen dos ángulos distintos, digamos $\theta_1$ y $\theta_2$ cuya relación entre ellos está dada por $\theta_1 + \theta_2 = \pi$, por lo que para evitar confusión sobre cuál de los dos ángulos obtenidos se está considerando, diremos que el ángulo $\theta$ que se forma entre dos curvas suaves será tal que $\theta\in(0,\pi/2)$. Con esta consideración tenemos que $\operatorname{cos}(\theta)>0$.

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué pasa con los ángulos entre cualesquiera dos curvas suaves en el plano complejo $\mathbb{C}$ o en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$?, es decir, ¿bajo la proyección estereográfica se conserva el ángulo entre dos curvas suaves? Para responder esta pregunta primeramente podemos realizar un análisis geométrico.

De acuerdo con nuestros cursos de Cálculo y Geometría sabemos que es posible encontrar el plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_P$. Consideremos al plano $u=2$, es decir el plano tangente a $\mathbb{S}$ en el polo norte $N$, digamos $\Pi_N$ y consideremos al plano que pasa por el centro de $\mathbb{S}$, por el polo norte $N$ y por el punto $P$, digamos $\Pi_{CNP}$. No es difícil convencerse de que la intersección de dicho plano con la esfera $\mathbb{S}$ determina una circunferencia máxima, digamos $\mathcal{C}$, además la intersección del plano $\Pi_{CNP}$ con los planos $\Pi_P$, $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ determina tres rectas, digamos $\mathcal{L}_P$, $\mathcal{L}_N$ y $\mathcal{L}_O$, la primera recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $P$ y la segunda recta es tangente a $\mathcal{C}$ en $N$, mientras que la tercera recta es tangente a $\mathbb{S}$ en el origen y pasa por el punto $z_0=\varphi(P)$. Notemos que $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_N$ se intersecan en un punto $Q\in\mathbb{R}^3$ y las rectas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_O$ se intersecan en un punto $w\in\mathbb{C}$. Por otra parte la intersección de los planos $\Pi_N$ y $\mathbb{C}$ con el plano $\Pi_P$ determinan otras dos rectas, digamos $\mathcal{L}_Q$ y $\mathcal{L}_w$, la primera pasa por $Q$ y la segunda pasa por $w$. Por construcción es claro que la recta $\mathcal{L}_N$ pasa por el punto $Q$, figura 55.

Dada la perfecta simetría de la esfera, es fácil concluir que los planos $\Pi_N$ y $\Pi_P$ forman los mismos ángulos con la recta que pasa por $N$ y $P$, digamos $\mathcal{L}_{NP}$, y que la recta $\mathcal{L}_Q$ es perpendicular a la recta $\mathcal{L}_{NP}$. Para ver esto más claro consideremos el corte transversal hecho sobre la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Más aún, como el plano $\Pi_N$ es paralelo al plano complejo $\mathbb{C}$, es claro que los planos $\Pi_P$ y $\mathbb{C}$ forman los mismos ángulos con la recta $\mathcal{L}_{NP}$ en el punto $z_0\in\mathbb{C}$ dado por la proyección estereográfica, figura 55. De acuerdo con la figura 56 es claro que los triángulos $NQP$ y $Pwz_0$ son semejantes.

Supongamos que dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, digamos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P\neq N$. Sean $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ las respectivas rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P$ y sea $\beta$ el ángulo entre ellas, es decir $\beta\in(0,\pi/2)$.

Sin perder generalidad consideremos a la recta tangente $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto $P\in\mathbb{S}$. Es fácil convencerse que la recta tangente bajo la proyección estereográfica en el punto $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, digamos $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, está dada por la intersección de un plano que contiene a $\mathcal{L}_{2T}$ y $\mathcal{L}_{NP}$, digamos $\pi$, con el plano complejo $\mathbb{C}$. Considerando lo anterior tenemos que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_{NP}$. Más aún, dado que la intersección del plano $\Pi_P$ con $\mathbb{C}$ determina a la recta $\mathcal{L}_w$ entonces es fácil concluir que las rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$ forman los mismos ángulos con $\mathcal{L}_w$, figura 57.

Haciendo lo mismo con la recta tangente $\mathcal{L}_{1T}$ concluimos que los ángulos que forman las dos rectas tangentes a las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, es decir $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman los mismos ángulos que las rectas tangentes a las imágenes de las curvas, digamos $\varphi\left(\Gamma_1\right)$ y $\varphi\left(\Gamma_2\right)$, dadas por la proyección estereográfica en el punto de intersección $z_0=\varphi(P)\in\mathbb{C}$, figura 58.

Figura 55: Intersección de los planos tangentes, $\Pi_{N}$, $\Pi_{P}$ y $\mathbb{C}$, a $\mathbb{S}$ en los puntos $N$, $P$ y $O$, con el plano $\Pi_{CNP}$.
Figura 56: Circunferencia máxima $\mathcal{C}$ dada por la intersección de la esfera $\mathbb{S}$ con el plano $\Pi_{CNP}$. Las líneas $\mathcal{L}_P$ y $\mathcal{L}_{N}$ forman los mismos ángulos con la línea $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 57: Rectas tangentes $\mathcal{L}_{2T}$ y $\varphi\left(\mathcal{L}_{2T}\right)$, dadas por las intersecciones de los planos $\pi$ con $\Pi_P$ y $\pi$ con $\mathbb{C}$ respectivamente, forman los mismos ángulos con las rectas $\mathcal{L}_w$ y $\mathcal{L}_{NP}$.
Figura 58: Las rectas tangentes $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ forman el mismo ángulo, que sus imágenes bajo la proyección estereográfica.

Hasta ahora hemos argumentado de manera geométrica que bajo la proyección estereográfica el ángulo que se forma entre dos curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se conserva, ahora haremos una prueba analítica de esta propiedad, para ello consideremos lo siguiente.

Observación 11.6.
Notemos que para cualesquiera dos curvas suaves en la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, al hablar del ángulo $\alpha$ que se forma entre ellas en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ necesitamos pensar en el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre sus rectas tangentes en dicho punto, pero ¿cómo obtenemos una recta tangente a una curva suave en un punto $P\in\mathbb{S}$? Supongamos que una curva suave en $\mathbb{S}$ está descrita por la trayectoria $\gamma:(c,d)\rightarrow\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$ cuyas funciones componentes son $x(t)$, $y(t)$ y $z(t)$, es decir $\gamma(t) = (x(t), y(t), z(t))$. Dado que la curva es suave en $(c,d)$ tenemos que existe $\gamma'(t)=(x'(t), y'(t), z'(t)) \neq 0$ para toda $t\in(c,d)$. Considerando que la curva descrita por $\gamma$ pasa por el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}$, entonces para algún $t_0\in(c,d)$ se cumple que $\gamma(t_0) = P$, por lo que podemos determinar a la recta tangente a dicha curva en el punto $P$, digamos $\mathcal{L}_{T}$, de forma paramétrica como: \begin{equation*}
\mathcal{L}_T: \quad P + \gamma'(t_0) \lambda, \quad \lambda\in\mathbb{R}.
\end{equation*}

Observación 11.7.
De manera geométrica es claro que $\mathcal{L}_T$ se puede obtener mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el punto $P$, digamos $\Pi_T$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por $P$, digamos $\Pi_{CP}$. Considerando el plano $\Pi_{CP}$, por la observación 11.2 tenemos que existe una circunferencia máxima que que cae en dicho plano y que además pasa por el punto $P\in\mathbb{S}$. Entonces podemos concluir que para una recta tangente a la esfera en un punto $P$ existe una circunferencia máxima que pasa por dicho punto y que cae en el plano $\Pi_{CP}$.

De acuerdo con lo anterior, ver qué pasa con el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman las rectas tangentes a dos curvas suaves en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, es equivalente a ver qué sucede con el ángulo que se forma entre dos circunferencias máximas de la esfera $\mathbb{S}$ bajo la proyección estereográfica, el cual está dado por el ángulo que se forma entre los planos en los que caen dichas circunferencias.

Proposición 11.3.
La proyección estereográfica es conforme o isogonal, es decir preserva ángulos.

Este resultado nos dice que el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que forman dos curvas suaves en la esfera $\mathbb{S}$, en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, se preserva bajo la proyección estereográfica, es decir que en el plano complejo $\mathbb{C}$ las rectas tangentes de las imágenes de dichas curvas bajo la proyección estereográfica, en la imagen del punto de intersección, formarán nuevamente un ángulo $\theta$.
Recíprocamente para dos curvas suaves que se intersecan en el plano complejo $\mathbb{C}$, es decir en el plano $\Pi$ dado por (11.1), el ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ formado por sus rectas tangentes en el punto de intersección se preserva bajo la proyección estereográfica.

Figura 57: El ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto $P\in\mathbb{S}$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Demostración. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos curvas suaves en $\mathbb{S}$, descritas por $\gamma_1:(c,d)\rightarrow\mathbb{R}^3$ y $\gamma_2:(e,f)\rightarrow\mathbb{R}^3$, las cuales se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\gamma_1(t) = (x_1(t),y_1(t),u_1(t)),\\
\gamma_2(t) = (x_2(t),y_2(t),u_2(t)).
\end{align*} Para probar este resultado consideremos los siguientes casos:

  1. El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en el polo norte $N$ (o en el polo sur $O$) se preserva bajo la proyección estereográfica.
  2. El ángulo $\theta\in(0,\pi/2)$ que se forma entre $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ que se intersecan en un punto $P\neq N$ se preserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 1. Dado que el polo norte $N$ y el polo sur $O$ son puntos antipodales en $\mathbb{S}$, una circunferencia máxima que pase por el polo norte también pasa por el polo sur. Entonces, considerando la observación 11.7, tenemos que es indistinto si las dos curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte o en el polo sur, pues el ángulo que forman sus rectas tangentes en cualquiera de dichos puntos será el mismo que forman las dos circunferencias máximas que pasan por dichos puntos, es decir, el ángulo que se forma entre los dos planos que contienen a cada una de las circunferencias máximas.

Entonces, sin pérdida de generalidad supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en el polo norte $N=(0,0,2)$. Por la observación 11.7 sabemos que cada recta tangente a cada curva, en el punto $N=(0,0,2)$, se obtiene mediante la intersección de un plano tangente a la esfera $\mathbb{S}$ en el polo norte, es decir el plano $u=2$, y un plano que pasa por el centro de la esfera y por el punto $N=(0,0,2)$, digamos $\Pi_{CN}$. De acuerdo con la observación 11.2 dichos planos son de la forma: \begin{align*}
\Pi_{1CN}: \quad A_1x+B_1y=0,\\
\Pi_{2CN}: \quad A_2x+B_2y=0.
\end{align*} Más aún, sabemos que en cada uno de estos planos cae una circunferencia máxima que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$. Por lo que considerando las observaciones 11.5 y 11.7 tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que forman dichas circunferencias es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} De acuerdo con la proposición 11.1, tenemos que bajo la proyección estereográfica las dos circunferencias máximas en la esfera $\mathbb{S}$, que pasan por el polo norte $N$, corresponden con dos rectas en el plano complejo $\mathbb{C}$ que pasan por el origen (¿por qué?), cuyas ecuaciones están dadas por: \begin{align*}
A_1x + B_1y =0, \quad u=0,\\
A_2x + B_2y =0,\quad u=0.
\end{align*} Es claro que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que forman estas rectas tangentes a las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estereográfica, en el punto de intersección $z=0$, es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{(A_1,B_1,0) \cdot (A_2,B_2,0)}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}\\
& = \frac{A_1 A_2 + B_1 B_2}{\left\lVert (A_1,B_1,0) \right\rVert \left\lVert (A_2,B_2,0) \right\rVert}.
\end{align*} Por lo que, el ángulo $\alpha$ que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el polo norte o en el polo sur se conserva bajo la proyección estereográfica.

Caso 2. Supongamos que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan en un punto $P\in\mathbb{S}$ con $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$.

Dado que dichas curvas se intersecan en el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, entonces existen $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ tales que: \begin{align*}
\gamma_1(t_0) = (x_1(t_0),y_1(t_0),u_1(t_0)) = P,\\
\gamma_2(t_0^*) = (x_2(t_0^*),y_2(t_0^*),u_2(t_0^*)) = P. \tag{11.8.1}
\end{align*} Como $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son suaves, tenemos que $\gamma_1$ es diferenciable en $(c,d)$ y $\gamma_2$ es diferenciable en $(e,f)$, por lo que: \begin{align*}
\gamma_1′(t_0) \neq 0,\quad \text{para}\,\, t_0\in(c,d),\\
\gamma_2′(t_0^*) \neq 0, \quad \text{para}\,\, t_0^*\in(e,f). \tag{11.8.2} \end{align*} Así, por la observación 11.6, las rectas tangentes a cada curva son respectivamente: \begin{align*}
\mathcal{L}_{1T}: \quad P + \gamma_1′(t_0) \lambda_1, \quad \lambda_1\in\mathbb{R},\\
\mathcal{L}_{2T}: \quad P + \gamma_2′(t_0^*) \lambda_2, \quad \lambda_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\theta<\pi/2$ que se forma entre $\mathcal{L}_{1T}$ y $\mathcal{L}_{2T}$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\theta) & = \frac{\gamma_1′(t_0) \cdot \gamma_2′(t_0^*)}{\left\lVert\gamma_1′(t_0)\right\rVert\left\lVert\gamma_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
&=\frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}. \tag{11.9}
\end{align*} Dado que las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ están en $\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{align*}
x_1(t)^2 + y_1(t)^2 + (u_1(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2(t)^2 + y_2(t)^2 + (u_2(t)-1)^2 = 1, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.1} \end{align*} Y considerando (11.8.1) tenemos que: \begin{align*}
x_1′(t)^2 + y_1′(t)^2 + u_1′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(c,d),\\
x_2′(t)^2 + y_2′(t)^2 + u_2′(t)^2 \neq 0, \quad \forall t\in(e,f). \tag{11.10.2}
\end{align*}

Por otra parte, el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$ de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ bajo la proyección estreográfica corresponde con el punto $z_0=a_0+ib_0\in\mathbb{C}$, donde: \begin{align*}
a_0 = \frac{2x_0}{2-u_0},\\
b_0 = \frac{2y_0}{2-u_0}.
\end{align*} Considerando a $\mathbb{C}$ como el plano dado por (11.1), tenemos que dicho punto $z_0$ lo podemos asociar con el punto $(a_0,b_0,0)$ de $\mathbb{R}^3$.

Mientras que bajo la proyección estereográfica las imágenes de las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, digamos $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$, están descritas por las funciones $\alpha_1:(c,d)\to\mathbb{R}^3$ y $\alpha_2:(e,f)\to\mathbb{R}^3$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ y se pueden escribir considerando sus funciones componentes como: \begin{align*}
\alpha_1(t) = (a_1(t),b_1(t),0),\\
\alpha_2(t) = (a_2(t),b_2(t),0),
\end{align*} donde para cada $i=1,2$ se tiene que: \begin{align*}
a_i(t) = \frac{2x_i(t)}{2-u_i(t)},\\
b_i(t) = \frac{2y_i(t)}{2-u_i(t)}. \tag{11.11}
\end{align*}

De acuerdo con lo anterior, es claro que las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ obtenidas bajo la proyección estereográfica son también curvas suaves en sus respectivos dominios $(c,d)$ y $(e,f)$, por lo que considerando el punto de intersección $z_0$ tenemos que para los valores $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ dados se cumple que: \begin{align*}
\alpha_1(t_0) = (a_1(t_0),b_1(t_0),0) = z_0,\\
\alpha_2(t_0^*) = (a_2(t_0^*),b_2(t_0^*),0) = z_0. \tag{11.12.1}
\end{align*} Más aún, como las funciones $\alpha_1$ y $\alpha_2$ son diferenciables en $(c,d)$ y $(e,f)$ respectivamente, entonces tenemos que para $t_0\in(c,d)$ y $t_0^*\in(e,f)$ se cumple: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) = (a_1′(t_0),b_1′(t_0),0) \neq 0,\\
\alpha_2′(t_0^*) = (a_2′(t_0^*),b_2′(t_0^*),0) \neq 0. \tag{11.12.2}
\end{align*} Por lo que las rectas tangentes a las curvas $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el punto de intersección $z_0$ tienen como ecuaciones: \begin{align*}
\ell_{1T}: \quad z_0 + \alpha_1′(t_0) \delta_1, \quad \delta_1\in\mathbb{R},\\ \ell_{2T}: \quad z_0 + \alpha_2′(t_0^*) \delta_2, \quad \delta_2\in\mathbb{R}.
\end{align*} Entonces, considerando la observación 11.5, tenemos que el ángulo $0<\beta<\pi/2$ que se forma entre $\ell_{1T}$ y $\ell_{2T}$ en el punto de intersección $z_0\in\mathbb{C}$ es tal que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{ \alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*)}{\left\lVert \alpha_1′(t_0) \right\rVert \left\lVert \alpha_2′(t_0^*) \right\rVert}\\
& = \frac{a_1′(t_0) \, a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)}{\sqrt{a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2} \sqrt{a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2}}.\tag{11.13}
\end{align*}

Para probar que el ángulo $\theta$, que forman las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el punto de intersección $P\in\mathbb{S}\setminus\{N\}$, se preserva bajo la proyección estereográfica veamos que las ecuaciones (11.9) y (11.13) son iguales.

Derivando las ecuaciones dadas en (11.11) tenemos para cada $i=1,2$ que: \begin{align*}
a_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,x_i(t)+x_i'(t)\,(2-u_i(t))\right],\\
b_i'(t) = \frac{2}{(2-u_i(t))^2}\left[u_i'(t)\,y_i(t)+y_i'(t)\,(2-u_i(t))\right]. \tag{11.14}
\end{align*} Considerando las ecuaciones dadas en (11.6), obtenemos la relación inversa entre las curvas suaves $\varphi(\Gamma_1)$ y $\varphi(\Gamma_2)$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ con las curvas suaves $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en la esfera $\mathbb{S}$. Considerando dicha relación es fácil verificar que para $i=1,2$ se cumple: \begin{equation*}
x_i'(t) \, x_i(t) + y_i'(t)\,y_i(t) + u_i'(t)\left[u_i(t)-1\right] = 0. \tag{11.15}
\end{equation*}

Considerando (11.8.1), (11.10.1), (11.12.1), (11.14) y (11.15) es fácil verificar que para $t_0\in(c,d)$ y para $t_0^*\in(e,f)$ se cumple respectivamente: \begin{align*}
a_1′(t_0)^2 &+ b_1′(t_0)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_1(t_0))^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_1(t_0))^2\Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4}\Bigg(\left[x_1′(t_0)^2+y_1′(t_0)^2+u_1′(t_0)^2\right](2-u_0)^2\Bigg), \tag{11.16.1}
\end{align*} \begin{align*}
a_2′(t_0^*)^2 &+ b_2′(t_0^*)^2\\
&=\frac{4}{(2-u_2(t_0^*))^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_2(t_0^*))^2 \Bigg),\\
&=\frac{4}{(2-u_0)^4} \Bigg( \left[x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2\right] (2-u_0)^2 \Bigg). \tag{11.16.2}
\end{align*} Dado que el punto $P=(x_0,y_0,u_0)\neq N$, entonces $u_0 \neq 2$, por lo que podemos simplificar (11.16.1) y (11.16.2) como: \begin{equation*}
a_1′(t_0)^2 + b_1′(t_0)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg( x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + + u_1′(t_0)^2 \Bigg), \tag{11.17.1}
\end{equation*} \begin{equation*}
a_2′(t_0^*)^2 + b_2′(t_0^*)^2 = \frac{4}{(2-u_0)^2} \Bigg(x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2 \Bigg). \tag{11.17.2}
\end{equation*} Además como $P\in\mathbb{S}$ se cumple que: \begin{equation*}
x_0^2+y_0^2=u_0(2-u_0). \tag{11.18}
\end{equation*}

Considerando (11.12.2), (11.14), (11.15), (11.18) y que $u_0\neq2$ es fácil verificar que: \begin{align*}
\alpha_1′(t_0) \cdot \alpha_2′(t_0^*) & = a_1′(t_0)\,a_2′(t_0^*) + b_1′(t_0)\,b_2′(t_0^*)\\
& = \frac{4}{(2-u_0)^2}\Bigg(x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)\Bigg) \tag{11.19}
\end{align*}

Sustituyendo (11.17.1), (11.17.2) y (11.19) en (11.13) tenemos que: \begin{align*}
\operatorname{cos}(\beta) & = \frac{x_1′(t_0)\,x_2′(t_0^*) + y_1′(t_0)\,y_2′(t_0^*) + u_1′(t_0)\,u_2′(t_0^*)}{\sqrt{x_1′(t_0)^2 + y_1′(t_0)^2 + u_1′(t_0)^2} \sqrt{x_2′(t_0^*)^2 + y_2′(t_0^*)^2 + u_2′(t_0^*)^2}}\\
& = \operatorname{cos}(\theta).
\end{align*}
Por lo tanto el ángulo $\theta$ que se forma entre las curvas $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en un punto de intersección $P\in\mathbb{S}$, distinto del polo norte (o del polo sur), se preserva bajo la proyección estereográfica.

$\blacksquare$

Del mismo modo en que introducimos una métrica en $\mathbb{C}$, es posible definir una métrica en $\mathbb{C}_\infty$, la cual nos permitirá caracterizar y analizar las propiedades de este nuevo conjunto.

Dados dos puntos $z,w\in\mathbb{C}_\infty$ debemos definir una forma de medir distancia entre ellos, es decir una métrica $d:\mathbb{C}_\infty \times \mathbb{C}_\infty \to [0, \infty)$. Desde que la proyección estereográfica nos da una biyección entre el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ y la esfera de Riemann $\mathbb{S}$, podemos definir la métrica de $\mathbb{C}_\infty$ considerando la distancia usual entre dos puntos $P,Q\in\mathbb{R}^3$, es decir la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$. Tenemos que si $P=(x_1,y_1,u_1)$ y $Q=(x_2,y_2,u_2)$ son dos puntos de $\mathbb{R}^3$ entonces: \begin{equation*}
d_{\mathbb{R}^3}(P,Q) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.20}
\end{equation*}
Considerando la proyección estereográfica, podemos hacer corresponder los puntos $z=a+ib$ y $w=\alpha+i\beta$ en $\mathbb{C}_\infty$ con los puntos $P,Q\in\mathbb{S}$ respectivamente, entonces de acuerdo con (11.20) podemos definir la distancia entre $z$ y $w$ como: \begin{equation*} \chi(z,w) = \sqrt{(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2}. \tag{11.21} \end{equation*}
Dado que $P$ y $Q$ son puntos de $\mathbb{S}$, entonces se cumple que: \begin{align*}
x_1^2 + y_1^2 +(u_1 -1)^2 = 1,\\
x_2^2 + y_2^2 +(u_2 -1)^2 = 1. \tag{11.22}
\end{align*} De acuerdo con (11.22) y considerando (11.8), es fácil ver que:
\begin{align*}
(x_1 \,-\, x_2)^2 + (y_1 \,-\, y_2)^2 + (u_1 \,-\, u_2)^2 & = 2\left(u_1 + u_2 \,-\, x_1 x_2 \,-\, y_1 y_2 \,-\, u_1 u_2\right)\\
& = \frac{16 |\, z \,-\, w \,|^2}{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}. \tag{11.23}
\end{align*} Entonces por (11.21) y (11.23) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w) = \frac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{\left(|\,z\,|^2 + 4\right)\left(|\,w\,|^2 + 4\right)}}. \tag{11.24}
\end{equation*}
Notemos que los puntos $z\neq \infty$ y $w=\infty$ de $\mathbb{C}_\infty$ corresponden con los puntos $P=(x,y,u)$ y $N=(0,0,2)$ de $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$, por lo que considerando (11.20) es fácil ver que: \begin{equation*}
\chi(z,\infty) = \frac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}. \tag{11.25}
\end{equation*}

Considerando (11.24) y (11.25) tenemos que: \begin{equation*}
\chi(z,w)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{4 |\, z \,-\, w \,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \,\sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z,w\in\mathbb{C}\\
\dfrac{4}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4}}, & \text{si} & z\in\mathbb{C}, w=\infty,\\
0, & \text{si} & z=\infty, w=\infty.\\
\end{array}
\right.
\end{equation*}
A esta métrica en $\mathbb{C}_\infty$, inducida por la métrica euclidiana de $\mathbb{R}^3$, se le conoce como la métrica cordal.

Notemos que $\mathbb{C}_\infty$ dotado con la métrica cordal forman un espacio métrico, ver ejercicio 4. Considerando la entrada anterior podemos verificar algunas propiedades para este espacio métrico.

Primeramente, dado que la métrica cordal es inducida por la distancia usual de $\mathbb{R}^3$, debe ser claro que si $z,w\in\mathbb{C}_\infty$, entonces: \begin{equation*}
\chi(z,w) \leq 2,
\end{equation*} ya que 2 es el diámetro de $\mathbb{S}\subset\mathbb{R}^3$. Por lo que la métrica cordal es acotada.

Proposición 11.4.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es compacto.

Demostración. Dado que $\mathbb{S} \subset \mathbb{R}^3$ es cerrado y acotado, tenemos por el teorema de Heine – Borel que $\mathbb{S}$ es compacto en $\mathbb{R}^3$. Dado que la proyección estereográfica $\varphi$ define un homeomorfismo de $\mathbb{S}$ en $\mathbb{C}_\infty$, entonces se sigue que $\mathbb{C}_\infty$ es también compacto.

$\blacksquare$

Proposición 11.5.
El espacio métrico $(\mathbb{C}_\infty, d)$, donde $d$ es la métrica cordal, es completo.

Demostración. Ejercicio.

$\blacksquare$

Tarea moral

  1. Considera la proposición 11.1. Argumenta porqué la proyección estereográfica y su inversa, es decir las funciones $\varphi$ y $\varphi^{-1}$ son continuas. Hint: Consulta la entrada 9.
  2. Demuestra la proposición 11.2. Hint: Utiliza la observación 11.2.
  3. ¿Por qué una circunferencia en $\mathbb{S}$ que pasa por $N=(0,0,2)$ y por $O=(0,0,0)$ corresponde a una recta que pasa por el origen en el plano complejo $\mathbb{C}$?
  4. Muestra que las igualdades del caso 2 de la proposición 11.2 son ciertas. Argumenta tus desarrollos.
  5. Verifica que la igualdad dada por (11.23) es cierta.
  6. Demuestra que la métrica cordal satisface las condiciones de métrica, es decir, demuestra que para cualesquiera $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}_\infty$ se cumple:
    i) $\chi(z_2, z_1) \geq 0$.
    ii) $\chi(z_2, z_1) = 0$ si y solo si $z_1=z_2$.
    iii) Simetría: $\chi(z_1, z_2) = \chi(z_2, z_1)$.
    iv) Desigualdad del triángulo: $\chi(z_2, z_1) \leq \chi(z_2, z_3) + \chi(z_3, z_1)$. Hint: Utiliza los ejercicios 8 y 9 de la entrada 3, sección de tarea moral, para probar la desigualdad del triángulo.
  7. Considera a la función: \begin{equation*}
    \chi(z,w) = \frac{4 \, |\,z\,-\,w\,|}{\sqrt{|\,z\,|^2 + 4} \, \sqrt{|\,w\,|^2 + 4}}, \quad \forall z,w\in\mathbb{C},
    \end{equation*} de acuerdo con el ejercicio anterior es claro que dicha función es un métrica en $\mathbb{C}$. Prueba que dicha métrica $\chi$ y la métrica euclidiana $d(z,w) = |\,z\,-\,w\,|$ son equivalentes.
  8. De acuerdo con la entrada anterior, sea $z_0\in\mathbb{C}_\infty$ y sea $d$ la métrica cordal, una pregunta que puede resultar es, dado $\rho>0$, ¿cómo se define un $\rho$-vecindario de $z_0$ en $\mathbb{C}_\infty$? Describe a dicho conjunto.
  9. Demuestra la proposición 11.5.

Más adelante…

En esta entrada hemos hecho una compactificación del plano complejo agregándole un punto ideal, llamado el punto al infinito, obteniendo así el plano complejo extendido $\mathbb{C}_\infty$ el cual representamos mediante el módelo de la esfera de Riemann.

Hemos visto que existe una relación biunívoca entre el plano complejo extendido y la esfera de Riemann dada por la proyección estreográfica, la cual resulto tener propiedades interesantes que aparecerán más adelante para caracterizar a algunas funciones.

Además dotamos al plano complejo extendido con una métrica, llamada la métrica cordal, la cual nos permite tratar a $\mathbb{C}_\infty$ como un espacio métrico, por lo que podemos considerar algunas propiedades de la entrada anterior para caracterizar la topología de este espacio métrico.

La importancia de trabajar con esta extensión se verá a lo largo del curso cuando requiramos trabajar con funciones complejas para las cuales el módulo de la variable crezca de manera arbitraria.

Con esta entrada finalizamos la primera unidad de este curso: Introducción y preliminares. La siguiente entrada comenzaremos la segunda unidad titulada: Analicidad y funciones de variable compleja.

Entradas relacionadas

Variable Compleja I: Lugares geométricos en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos definido al módulo de un número complejo en términos de su parte real e imaginaria. De manera geométrica observamos que el módulo nos determina la distancia que hay entre un número complejo y el origen. Por otra parte sabemos que el módulo en $\mathbb{C}$ cumple ciertas propiedades como el ser un número real no negativo y la desigualdad del triángulo. Por lo que razonando de manera análoga al caso en $\mathbb{R}^2$, mediante el módulo definiremos la distancia entre dos números complejos $z_1$ y $z_2$ como la longitud del segmento de recta que los une, figura 26.

El objetivo de esta entrada es describir algunos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$, haciendo uso de nuestros resultados de Geometría Analítica, para familiarizarnos con algunos conjuntos de puntos en el plano complejo con los cuales trabajaremos en la siguiente entrada y que en general nos serán de utilidad para describir de manera geométrica a los conjuntos de puntos de $\mathbb{C}$ que cumplan alguna propiedad en particular.

Métrica euclidiana en $\mathbb{C}$

Para comenzar esta entrada, primeramente consideremos la siguiente:

Definición 6.1. (Métrica euclidiana.)
Sean $z_1 = a_1 + ib_1$ y $z_2 = a_2 + ib_2$ números complejos. Definimos la distancia entre $z_2$ y $z_1$, denotada por $d(z_2, z_1)$, como:
\begin{equation*}
d(z_2, z_1) = |z_2 \, – \, z_1| = \sqrt{\left(a_2 \, – \, a_1\right)^2 + \left(b_2 \, – \, b_1\right)^2}.
\end{equation*}

A esta distancia se le conoce como la distancia o métrica euclidiana de $\mathbb{C}$, figura 26.

Figura 26: Distancia euclidiana entre $z_2$ y $z_1$.

Por nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que al hablar de un lugar geométrico nos referimos a un conjunto de puntos que satisfacen una condición dada. Entonces podemos interpretar de manera geométrica a una ecuación como el lugar geométrico de los puntos en el plano cuyas coordenadas la satisfacen.
En este sentido, consideraremos a los lugares geométricos del plano complejo como conjuntos de puntos en $\mathbb{R}^2$ que satisfacen una ecuación y viceversa, por lo que será necesario expresar en términos de números complejos las ecuaciones de los lugares geométricos de $\mathbb{R}^2$.

De acuerdo con las entradas anteriores sabemos que podemos ubicar a un número complejo en el plano, pensado como un par ordenado de números reales, en coordenadas cartesianas o coordenadas polares. Sin embargo, considerando la observación 2.3 sabemos que para $z\in\mathbb{C}$ se cumple:
\begin{equation*}
\text{Re}(z) = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad \text{Im}(z) = \frac{z-\overline{z}}{2i}. \end{equation*}

Lo anterior nos motiva a dar la siguiente:

Definición 6.2. (Coordenadas conjugadas complejas.)
Dado un número complejo $z = x+iy$, es posible representarlo en el plano complejo mediante las coordenadas $(z,\overline{z})$, a las cuales llamaremos coordenadas conjugadas complejas o simplemente coordenadas conjugadas considerando:
\begin{equation*}
x = \frac{z+\overline{z}}{2}, \quad y = \frac{z-\overline{z}}{2i}.
\end{equation*}

Observación 6.1.
Recordemos que para $A,C,D,E,F\in\mathbb{R}$ la ecuación general de segundo grado:
\begin{equation*}
Ax^2 + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0, \tag{6.1}
\end{equation*}

nos determina algunos lugares geométricos en $\mathbb{R}^2$. Analicemos dos de ellos para identificarlos en el plano complejo.

  1. Dado $A=C=0$ en la ecuación (6.1), entonces se obtiene la ecuación general de la recta:
    \begin{equation*}
    Dx + Ey + F = 0.
    \end{equation*}

De acuerdo con la definición 6.2, podemos expresar la ecuación de la recta utilizando coordenadas conjugadas como sigue:
\begin{align*}
D\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right) + E\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + F = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\left(D-iE\right) + \overline{z}\left(D+iE\right) +2F = 0.
\end{align*}

Haciendo $a=D+iE$ y $b=2F$, tenemos:
\begin{equation*}
\mathcal{L}: \,\, z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.1}
\end{equation*}

la cual llamaremos ecuación general de la recta $\mathcal{L}$ en $\mathbb{C}$.

  1. Si tenemos $A=C\neq0$ en la ecuación (6.1), entonces se obtiene la ecuación general de la circunferencia:
    \begin{equation*}
    A(x^2+y^2) + Dx + Ey + F = 0.
    \end{equation*}

De acuerdo con la definición 6.2, podemos expresar la ecuación general de la circunferencia utilizando coordenadas conjugadas como sigue:
\begin{align*}
A z\overline{z} + D\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right) + E\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) + F = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\overline{z} + z \left(\frac{D-iE}{2A}\right) + \overline{z}\left(\frac{D+iE}{2A}\right) + \frac{F}{A} = 0.
\end{align*}

Haciendo $a=\frac{D+iE}{2A}$ y $b=\frac{F}{A}$, tenemos:
\begin{equation*}
z\overline{z} + z\overline{a}+\overline{z}a + b = |\,z\,|^2 + z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.2}
\end{equation*}

la cual llamaremos ecuación general de la circunferencia en $\mathbb{C}$ cuyo centro es $-a$ y su radio es $\sqrt{|\,a\,|^2 – b}$.

Ejemplo 6.1.
Expresemos las siguientes ecuaciones en términos de las coordenadas conjugadas:

  • a) Ecuación de una recta en el plano cartesiano $2x+3y=7$.
  • b) Ecuación de una circunferencia en el plano cartesiano $x^2+(y-1)^2 = 25$.

Solución.

  • a) De acuerdo con la observación 6.1 tenemos:

\begin{align*}
2\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right)+3\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)=7,\\
\\
\Longrightarrow \quad \mathcal{L}: \,\, z\overline{a} + \overline{z}a = 14, \tag{6.1.3}
\end{align*}

con $a=2+3i$, la cual es la ecuación de una recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo.

Considerando (6.1.3), notamos que los puntos $z_1 = 3{.}5$ y $z_2 = 2 + i$ pertenecen a la recta, figura 27.

Figura 27: Gráfica de la recta $\mathcal{L}$, dada por (6.1.3), en $\mathbb{C}$ con $a=2+3i$.
  • b) Notemos que:

\begin{equation*}
x^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 -2y + 1 =25,
\end{equation*}

por lo que, considerando la observación 6.1, con $a = -i$ y $b = -24$ tenemos:
\begin{align*}
z\overline{z} – 2\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right) -24 = 0,\\
\\
\Longrightarrow \quad z\overline{z} + z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0, \tag{6.1.4} \end{align*}

la ecuación de una circunferencia en el plano complejo cuyo centro es $-a = i$ y su radio es $\sqrt{|i|^2 – (-24)} = \sqrt{25} = 5$, figura 32.

Al igual que en $\mathbb{R}^2$, es posible describir a la recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo mediante su forma paramétrica considerando dos puntos $z_1,z_2\in\mathbb{C}$, $z_1\neq z_2$ y $z_2 \neq 0$, tales que $z_1$ está sobre la recta y el segmento de recta que va del origen a $z_2$ es paralelo a la recta, figura 28(a), entonces la recta $\mathcal{L}$ en $\mathbb{C}$, en su forma paramétrica, está dada como el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
z = z_1 + z_2t, \quad t\in\mathbb{R}. \tag{6.1.5}
\end{equation*}

Si se tiene que $z_1$ y $z_2$, con $z_1\neq z_2$, son puntos de la recta, entonces la forma paramétrica de la ecuación de la recta $\mathcal{L}$, en $\mathbb{C}$, figura 28(b), se puede obtener como el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
z = z_1 + (z_2 \,-\, z_1)t, \quad t\in\mathbb{R}. \tag{6.1.6}
\end{equation*}

Figura 28: Gráficas de una recta en su forma paramétrica en $\mathbb{C}$.

Observación 6.2.
Dado que $z_2 \neq 0$ en (6.1.5), notemos que:
\begin{equation*}
t = \frac{z \,-\, z_1}{z_2} \in \mathbb{R} \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) = 0,
\end{equation*}

por lo que una forma equivalente de expresar a una recta $\mathcal{L}$ dada por (6.1.5) es:
\begin{equation*}
\mathcal{L} = \left\{ z\in\mathbb{C} \,:\, \operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) = 0 \right\}.
\end{equation*}

Una pregunta interesante que podemos hacernos es ¿qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) > 0,
\end{equation*}

\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) < 0.
\end{equation*}

Analicemos la primera desigualdad. Sin pérdida de generalidad, desde que $z_2$ sólo nos determina la dirección de $\mathcal{L}$ entonces podemos suponer que $|\,z_2\,| = 1$. Sean $z_2 = \operatorname{cis}(\beta)$ y $z=r\,\operatorname{cis}(\theta)$.

Notemos que si $z_1=0$, tenemos por (6.1.5) una recta que pasa por el origen, además:
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\left(\frac{z}{z_2}\right) = \operatorname{Im}\left(r\operatorname{cis}(\theta\,-\,\beta)\right) = r\operatorname{sen}(\theta-\beta) > 0,
\end{equation*}

dado que $r=|\,z\,|\geq 0$, entonces $\operatorname{sen}(\theta-\beta) > 0$, lo cual se cumple si $\beta < \theta < \pi + \beta$. Por lo que la primera ecuación con $z_1 = 0$ nos describe un semiplano a la izquiera de la recta $\mathcal{L}$ que pasa por el origen, figura 29(a).

Si ahora consideramos el caso en que $z_1 \neq 0$, entonces por (6.1.5) tenemos una recta $\mathcal{L}$ que pasa por $z_1$ y es paralela a $z_2$, por lo que en dicho caso la ecuación $\operatorname{Im}\left(\dfrac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) > 0$ nos describe al semiplano a la izquierda de la recta $\mathcal{L}$, figura 29(b).

Realizando un razonamiento análogo para la ecuación $\operatorname{Im}\left(\dfrac{z \,-\, z_1}{z_2}\right) < 0$, podemos concluir que dicha ecuación nos describe el semiplano a la derecha de una recta $\mathcal{L}$ que pasa por $z_1$ y es paralela a $z_2$, figura 30.

Figura 29: Gráficas de un semiplano izquierdo o superior en $\mathbb{C}$.

Figura 30: Semiplano derecho o inferior $\operatorname{Im\left(\frac{z-z_1}{z_2}\right)}<0$ en el plano complejo $\mathbb{C}$.

Observación 6.3.
Otra forma de describir una recta $\mathcal{L}$ en el plano complejo $\mathbb{}$ es la siguiente. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}$, con $z_1 \neq z_2$. Notemos que la ecuación:
\begin{equation*}
|\,z \,-\, z_1\,| = |\,z \,-\, z_2\,|,
\end{equation*}

nos dice que la distancia de $z \in \mathbb{C}$ a los puntos $z_1$ y $z_2$ es la misma, es decir que $z$ está en la mediatriz del segmento que une a $z_1$ con $z_2$, figura 31.

Figura 31: Mediatriz $\mathcal{L}$ del segmento que va de $z_1$ a $z_2$ en $\mathbb{C}$.

Por otra parte, sabemos que la ecuación (6.1) determina otras cónicas además de la circunferencia, por lo que es posible proceder del mismo modo que en los dos casos de la observación 6.1 para obtener las ecuaciones correspondientes a dichos lugares geométricos. Sin embargo podemos hacer uso de la distancia euclidiana de $\mathbb{C}$ para describir dichos lugares geométricos mediante sus definiciones, es decir pensando a las cónicas como conjuntos de puntos que satisfacen ciertas condiciones relacionadas con la distancia entre puntos.

Consideremos el ejemplo 6.1, inciso b, sabemos que dicha circunferencia está centrada en $-a=i$ y tiene radio $\rho = 5$. De acuerdo con la definición de una circunferencia sabemos que los puntos cuya distancia al centro $i$ sea igual a 5 pertenecen a la circunferencia descrita por la ecuación (6.1.4), lo cual podemos expresarlo como el conjunto de números complejos $z$ tales que:
\begin{align*}
|\,z \,-\, i\,| = 5 \quad \Longleftrightarrow \quad |\,z \,-\, i\,|^2 = 25. \tag{6.1.7}
\end{align*}

Figura 32: Circunferencia en $\mathbb{C}$ de radio $\rho=5$ y centro $-a=i$ con algunos de sus puntos.

Notemos que podemos reescribir (6.1.7) como (6.1.4) utilizando las propiedades del módulo:
\begin{align*}
|\,z\,-\,i\,|^2 & = (z\,-\,i)\left(\overline{z}-\overline{i}\right)\\
& = |\,z\,|^2 – \, \overline{i}z -i\overline{z} + |\,i\,|^2\\
& = z\overline{z} + zi \, – \, \overline{z}i + 1\\
& = z\overline{z} + z\overline{a} + \overline{z}a + 1\\
& = 25.
\end{align*}

Considerando (6.1.7) es fácil ver que los puntos $z_1 = 5+i$, $z_2 = 6i$, $z_3 = -5 + i$ y $z_4 = -4i$ pertenecen a dicha circunferencia, figura 32.

Lo anterior nos deja ver que tanto (6.1.4) como (6.1.7) nos describen al mismo lugar geométrico en el plano complejo, es decir una circunferencia de radio $\rho=5$ centrada en $i$.

Podemos generalizar el resultado anterior para describir a una circunferencia en el plano complejo expresando a la ecuación (6.1.2) mediante la definición de dicho lugar geométrico, es decir, como el conjunto de números complejos $z$ que equidistan del punto $z_0=-a$, donde $a$ está dada como en (6.1.2), llamado centro, una distancia $\rho$, llamada radio:
\begin{equation*}
|\,z – z_0\,| = \rho \quad \Longleftrightarrow \quad |\,z – z_0\,|^2 = \rho^2. \tag{6.1.8}
\end{equation*}

Figura 33: Circunferencia en $\mathbb{C}$ de radio $\rho$ y centro $z_0$.

Una pregunta que podemos plantearnos es ¿qué lugares geométricos nos describen las siguientes desigualdades?
\begin{align*}
|\,z – z_0\,| < \rho,\\
|\,z – z_0\,| > \rho.
\end{align*}

De manera geométrica es claro que la primera ecuación nos describe a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran dentro de la circunferencia de radio $\rho$ y centro $z_0$, sin considerar propiamente a los que caen en dicha circunferencia, mientras que la segunda ecuación nos describe a los puntos en $z\in\mathbb{C}$ que caen fuera de la circunferencia centrada en $z_0$ y de radio $\rho$, sin considerar tampoco a los puntos de la circunferencia.

Figura 34: Punto $w\in\mathbb{C}$ dentro de la circunferencia $|\,z-z_0\,|=\rho$ y punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la circunferencia $|\,z-z_0\,|=\rho$.

De acuerdo con la observación 3.3, tenemos que para un número complejo $z\neq0$:
\begin{equation*}
z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{| \, z \, |^2}.
\end{equation*}

Analicemos los siguientes casos:

  • Si $|\,z\,|>1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}<1$.
  • Si $|\,z\,|<1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}>1$.
  • Si $|\,z\,|=1$, entonces $\dfrac{1}{|\,z\,|}=1$.

Geométricamente esto nos dice que para los números complejos $z$ que están fuera de la circunferencia unitaria su inverso multiplicativo está dentro de la circunferencia unitaria. Por otro parte, para los números complejos $z$ que están dentro de la circunferencia unitaria se tiene que su inverso multiplicativo está fuera de dicha circunferencia, mientras que para los números complejos $z$ que pertenecen a la circunferencia unitaria se tiene que su inverso multiplicativo también es un punto de dicha circunferencia.

Figura 35: Punto $w\in\mathbb{C}$ dentro de la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$. Punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$ y el número complejo $i$ en la circunferencia unitaria $|\,z\,|=1$.

Recordemos que en $\mathbb{R}^2$ la ecuación ordinaria de una circunferencia con centro en $(x_0, y_0)$ y radio $\rho$ es:
\begin{equation*}
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = \rho^2.
\end{equation*}

Haciendo $x(t) = \rho \operatorname{cos}(t) + x_0$ y $y(t) = \rho \operatorname{sen}(t) + y_0$, con $t\in[0,2\pi)$, obtenemos una ecuación paramétrica de dicha circunferencia.

Si consideramos a los números complejos $z$ en su forma polar, es decir $z=\rho \operatorname{cis}(\theta)$, tales que $\theta\in[0,2\pi)$, y a un punto fijo $z_0=x_0 + i y_0 \in\mathbb{C}$, entonces podemos describir a una cirunferencia en $\mathbb{C}$ de forma paramétrica como el conjunto de puntos:
\begin{equation*}
\{ w\in\mathbb{C} \, : \, w = z_0 + z \}.
\end{equation*}

Proposición 6.1. (Distancia de un punto a una recta en $\mathbb{C}$.)
Para un punto $z_0\in\mathbb{C}$, su distancia a una recta $\mathcal{L}$ dada por $z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0$ está dada por:
\begin{equation*}
\frac{|\,z_0\overline{a} + \overline{z_0}a + b\,|}{2\,|\,a\,|}. \tag{6.1.9}
\end{equation*}

Demostración. Sea $z_0 = x_0 + iy_0\in\mathbb{C}$. Sabemos que en $\mathbb{R}^2$ la distancia de un punto $P(x_0,y_0)$ a una recta $Dx + Ey + F = 0$ está dada por:
\begin{equation*}
\frac{|\,Dx_0 + Ey_0 + F \,|}{\sqrt{D^2 + E^2}}. \tag{6.1.10}
\end{equation*}

De acuerdo con la observación 6.1 sabemos que podemos expresar una recta de la forma $Dx + Ey + F = 0$ como $z\overline{a} + \overline{z}a + b = 0$ donde $a = D + iE$ y $b=2F$. Por otra parte tenemos que:
\begin{equation*}
2D = a + \overline{a}, \quad i2E = a – \overline{a}.
\end{equation*}

Sea $z=x+iy$, entonces tenemos:
\begin{align*}
0 & = z\overline{a} + \overline{z}a + b\\
& = (x+iy)\overline{a} + (x-iy)a + b\\
& = x(a+\overline{a}) -iy (a-\overline{a}) + b\\
& = 2Dx +2Ey + 2F.
\end{align*}

Lo anterior nos deja ver que podemos utilizar (6.1.10) para obtener la distancia del punto $z_0 = x_0 + iy_0$ a la recta $z\overline{a}+\overline{z}a + b = 0$ como:
\begin{align*}
\frac{|\,Dx_0 + Ey_0 + F \,|}{\sqrt{D^2 + E^2}} &= \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{\sqrt{(a+\overline{a})^2 + \left(-i(a – \overline{a})\right)^2}}\\
& = \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{\sqrt{4\,|\,a\,|^2}}\\
& = \frac{|\,z_0\overline{a}+\overline{z_0}a + b \,|}{2\,|\,a\,|}.
\end{align*}

$\blacksquare$

Proposición 6.2. (Distancia de un punto a una recta en su forma paramétrica en $\mathbb{C}$.)
Sea $\mathcal{L}$ la recta en $\mathbb{C}$ dada por $z = z_1 + t z_2$, $z_2 \neq 0$. La distancia mínima $\delta$ de un punto $z_0 \in \mathbb{C}$ a la recta $\mathcal{L}$ es:
\begin{equation*}
\delta = \left|\, \frac{\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{\overline{z_2}} \,\right| = \left|\, \frac{(z – z_1)\overline{z_2} – \overline{(z-z_1)z_2}}{2\,\overline{z_2}} \,\right|.
\end{equation*}

Demostración. Sea $f(t) = |\,z \,-\, z_1 -tz_2\,|^2$. Es claro que $f:\mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)$ es una función bien definida.

De acuerdo con la proposición 3.1 tenemos que:
\begin{align*}
f(t) & = |\,z \,-\, z_1 -tz_2\,|^2\\
& = |\,z \,-\, z_1\,|^2 \,-\, 2t\,\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right) + t^2 |\,z_2\,|^2.
\end{align*}

Derivando $f$ tenemos:
\begin{equation*}
f'(t) = -2\,\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right) + 2t\, |\,z_2\,|^2.
\end{equation*}

Entonces el mínimo se alzanza en:
\begin{equation*}
t = \frac{\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{|\,z_2\,|^2}.
\end{equation*}

Dado que $z_2\neq0$, entonces $\dfrac{z_2}{|\,z_2\,|^2} = \dfrac{1}{\overline{z_2}}$.

Considerando la observación 2.3 y evaluando a $f$ en el mínimo obtenemos la distancia buscada al cuadrado, es decir:
\begin{align*}
\delta^2 &= \left|\,(z-z_1) \,-\, z_2\left[\frac{\operatorname{Re}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{|\,z_2\,|^2}\right] \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{2(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, (z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2\, \overline{z_2}} \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2\, \overline{z_2}} \,\right|^2\\
&= \left|\,\frac{1}{\overline{z_2}}\frac{(z-z_1)\overline{z_2} \,-\, \overline{(z-z_1)}z_2}{2i} \,\right|^2\\
&=\left|\,\frac{\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)}{\overline{z_2}}\,\right|^2.
\end{align*}

Por lo que tomando raíz cuadrada se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Es claro que al usar la definición de un lugar geométrico es posible asociarle una ecuación a dicho conjunto y representarlo en el plano complejo $\mathbb{C}$. Por ejemplo, recordemos las definiciones de los siguientes lugares geométricos:

  1. Parábola. Se define una parábola como el lugar geométrico de los puntos en $\mathbb{C}$ tales que la distancia entre estos y un punto fijo, llamado foco $f$, es igual a la distancia entre dichos puntos y una recta fija, llamada directriz $\mathcal{D}$.

Sin pérdida de generalidad, analicemos el caso de una parábola horizontal, es decir una parábola cuya directriz $\mathcal{D}$ es paralela al eje imaginario. En $\mathbb{R}^2$ sabemos que dichas rectas son de la forma $x = p$, con $p\in\mathbb{R}$ constante, por lo que para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que:
\begin{align*}
x \,-\, p = 0 \quad & \Longleftrightarrow \quad z+\overline{z} – 2p = 0\\
\\
& \Longleftrightarrow \quad \text{Re}(z) – p = 0. \tag{6.1.11}
\end{align*}

De acuerdo con (6.1.1), de la observación 6.1 tenemos que la ecuación de una directriz $\mathcal{D}$ paralela al eje imaginario cumple que $a=1$ y $b = -2p$, por lo que considerando la definición de la parábola y la proposición 6.1, tenemos que una parábola con foco $f\in\mathbb{C}$ y directriz $\mathcal{D}$ vertical dada por (6.1.11) es el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que:
\begin{equation*}
\frac{|\,z + \overline{z}+ b\,|}{2\,} = |\,z-f\,|. \tag{6.1.12}
\end{equation*}

Observación 6.3.
Para el caso de una parábola vertical se procede de manera análoga utilizando el hecho de que para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se tiene que $y=\text{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ y que su directriz $\mathcal{D}$ es paralela al eje real.

Observación 6.4.
Considerando la definición de la párabola es posible obtener una ecuación más general que nos permita describir a dicho lugar geométrico. Suponiendo que la directriz $\mathcal{D}$ de una párabola está dada por la ecuación paramétrica $z_1 + tz_2$, con $t\in\mathbb{R}$, y que su foco es el punto $f\in\mathbb{C}$, entonces la ecuación de dicha párabola es:
\begin{equation*}
\left(\operatorname{Im}\left((z-z_1)\overline{z_2}\right)\right)^2 = |\,z_2\,|^2 \, |\,z-f\,|^2.
\end{equation*}

  1. Elipse. Se define a la elipse como el lugar geométrico de los puntos en $\mathbb{C}$ tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos $f_1,f_2\in\mathbb{C}$, llamados focos, es constante, es decir los $z\in\mathbb{C}$ tales que:
    \begin{align*}
    |\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| = 2a,\\
    \\
    \text{con} \,\, 2a>|\,f_1 \,-\, f_2\,|.\tag{6.1.13}
    \end{align*}

De acuerdo con nuestros cursos de Geometría sabemos que dados los focos de una elipse es posible identificar si se trata de una elipse vertical u horizontal, además al punto $z_0\in\mathbb{C}$ tal que $|\,z_0 \,-\, f_1\,| = |\,z_0 \,-\, f_2\,|=c$ se le conoce como el centro de la elipse y al valor $|\,f_1\,-\,f_2\,| =2c$ se le llama la distancia focal.
Por otra parte tenemos que la constante $2a$ determina al eje mayor, mientras que $\frac{|\,f_1\,-\,f_2\,|}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$ nos da la excentricidad de la elipse.

¿Qué lugares geométricos nos describen las siguientes desigualdades?
\begin{align*}
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| < 2a,\\
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| > 2a.
\end{align*}

De manera geométrica es claro que la primera ecuación nos describe al conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran dentro de la elipse con focos $f_1, f_2$ y con eje mayor $2a$. Por otra parte, la segunda ecuación nos describe a los $z\in\mathbb{C}$ que se encuentran fuera de dicha elipse, en ambos casos ninguna de las ecuaciones considera a los puntos $z\in\mathbb{C}$ que caen sobre la elipse, figura 36.

  1. Hipérbola. Se define a la hipérbola como el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que el valor absoluto de las distancias a dos puntos fijos $f_1,f_2\in\mathbb{C}$, llamados focos, es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos, es decir:
    \begin{align*}
    |\,|z-f_1|-|z-f_2|\,| = 2a,\\
    \\
    \text{con} \,\, 2a<|\,f_1 \,-\, f_2\,|.\tag{6.1.14}
    \end{align*}

Donde $|\,f_1\,-\,f_2\,|=2c$ es la distancia focal y al punto $z_0\in\mathbb{C}$ tal que $|\,z_0\,-\,f_1\,|=|\,z_0\,-\,f_2\,|=c$ se le denomina el centro. La excentricidad de la hipérbola está dada por $\frac{|\,f_1\,-\,f_2\,|}{2a} = \frac{2c}{2a} = \frac{c}{a}$.

Figura 36: Punto $\zeta\in\mathbb{C}$ fuera de la elipse centrada en $z_0\in\mathbb{C}$ con focos $f_1, f_2\in\mathbb{C}$. El centro $z_0$ cae dentro de la elipse desde que $|\,z_0-f_1\,|+|\,z_0-f_2\,| = 2c < 2a$.

Observación 6.5.
Notemos que las ecuaciones (6.1.12), (6.1.13) y (6.1.14) obtenidas para estas tres cónicas corresponden a las ecuaciones ordinarias de las cónicas en $\mathbb{R}^2$, por lo que podemos preguntarnos sobre las ecuaciones generales para dichos lugares geométricos, solo recordemos que para hablar de estas expresiones debemos considerar los casos en que sea una cónica horizontal o vertical obtenidos de la ecuación (6.1). Recuerda que la ecuación (6.1) excluye a las cónicas que están rotadas en $\mathbb{R}^2$.

Observación 6.6.
Hasta ahora hemos utilizado las definiciones, como lugares geométricos, de estas tres cónicas para determinar sus ecuaciones. Sin embargo, de nuestros cursos de Geometría Analítica sabemos que es posible caracterizar a las cónicas mediante el concepto de excentricidad, es decir podemos determinar a las cónicas considerando a una recta fija $\mathcal{D}\in\mathbb{C}$, llamada directriz y a un punto fijo $f\in\mathbb{C}$, llamado foco. Si definimos a $e$ una cantidad positiva como la excentricidad, entonces el conjunto de puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que la razón de su distancia a $f$ y a la recta $\mathcal{D}$ es siempre igual a $e$ es una sección cónica, la cual está dada por:

  • a) Si $e < 1$, entonces es una elipse.
  • b) Si $e = 1$, entonces es una párabola.
  • c) Si $e > 1$, entonces es una hipérbola.

El caso en que $e=0$ nos determina una circunferencia.

Puedes consultar la sección 10.6 del libro Calculus: Early transcendentals de J. Stewart para revisar esta caracterización de las secciones cónicas en $\mathbb{R}^2$.

Considerando esta forma de determinar a las cónicas, es posible utilizar la ecuación de la párabola dada en la observación 6.5 para determinar a la elipse y la hipérbola.

Ejemplo 6.2.

  • a) Hallar la ecuación de la parábola cuyo foco está en $f=3+i$ y su directriz $\mathcal{D}$ está dada por $z+\overline{z}+6 = 0$.

Solución. De acuerdo con la definición de la parábola sabemos que se debe satisfacer (6.1.12), es decir:
\begin{align*}
\frac{|\,z + \overline{z}+ 6\,|}{2\,} = |\,z-(3+i)\,|\\
\\
\underset{(6{.}1{.}11)}{\Longleftrightarrow} \quad |\,\text{Re}(z) + 3\,|= |\,z-(3+i)\,|.
\end{align*}

Notemos que $\operatorname{Re}(z) + 3 \in \mathbb{R}$, por lo que, considerando la proposición 3.1:
\begin{align*}
|\,\text{Re}(z) + 3\,|^2= |\,z-(3+i)\,|^2\\
\\
\Longleftrightarrow \quad \left(\text{Re}(z) + 3\right)^2 = |\,z\,|^2 – 2\,\text{Re}(z(3-i)) + |\,3+i\,|^2.
\end{align*}

Desarrollando lo anterior y utilizando la proposición 3.1 tenemos:
\begin{equation*}
|\,z\,|^2 – \text{Re}^2(z) – 12\,\text{Re}(z) + 2\,\text{Re}(iz) + 1 = 0,
\end{equation*}

la cual es la ecuación de una parábola en $\mathbb{C}$ cuyo foco es $f=3+i$ y su directriz es $\text{Re}(z)=-3$, figura 37.

Si consideramos a $z=x+iy$, entonces la ecuación anterior corresponde a una parábola en $\mathbb{R}^2$ dada por:
\begin{equation*}
y^2-2y-12x+1=0.
\end{equation*}

Figura 37: Parábola en $\mathbb{C}$ con vértice en $v=i$, foco $f=3+i$ y directriz Re$(z) = -3$.
  • b) Hallar la ecuación de una elipse que tiene un foco $f_1 = -5+i$, su centro es $z_0 = x_0 +iy_0 = -1+i$ y que pasa por el punto $z_1=-1-2i$.

Solución. Considerando la definición de la elipse, el segundo foco $f_2$ debe satisfacer que $c=|z_0-f_2|=|z_0-f_1|=4$. De manera geométrica sabemos que $f_1, f_2$ y $z_0$ deben ser colineales, por lo que el segundo foco es $f_2 = (x_0+c)+i y_0 = (-1+4) + i = 3+i$. Considerando que $z_1=-1-2i$ pertenece a la elipse, entonces por (6.1.13) tenemos que:
\begin{align*}
|\,z_1-(-5+i)\,|+ |\,z_1-(3+i)\,| & = |\,4-3i\,| + |\,-4-3i\,|\\
& = 10\\
& = 2a.
\end{align*}

Entonces $a = 5$, por lo que la ecuación que describe a la elipse, figura 38, es:
\begin{equation*}
|\,z-f_1\,| + |\,z-f_2\,| = 10.
\end{equation*}

Figura 38: Elipse en $\mathbb{C}$ con centro en $z_0=-1+i$ y focos $f_1=-5+i$, $f_2=3+i$.
  • c) Encontrar la ecuación de la hipérbola cuyos focos son $f_1=-(\sqrt{20}+3)-3i$, $f_2=(\sqrt{20}-3)-3i$ y que pasa por el punto $z_1=(\sqrt{12}-3)-3i$.

Solución. De acuerdo con la definición de la hipérbola, como el punto $z_1$ dado pertenece a dicho lugar geométrico entonces debe satisfacer (6.1.14), es decir:
\begin{align*}
|\,|\,z_1\,-\,f_1\,| – |\,z_1\,-\,f_2\,|\,| & = |\, |\,\sqrt{12}+\sqrt{20}\,| – |\,\sqrt{12}-\sqrt{20}\,|\,|\\
& = |\,4\sqrt{3}\,|\\
& = 4\sqrt{3}\\
& = 2a. \end{align*}

Entonces $a=2\sqrt{3}$, por lo que la ecuación de la hipérbola, figura 39, es:
\begin{equation*}
|\,|z+\sqrt{20}+3+3i|-|z-\sqrt{20}+3+3i|\,| = 4\sqrt{3}.
\end{equation*}

Figura 39: Hipérbola en $\mathbb{C}$ con centro en $z_0=-3-3i$ y focos $f_1=-(\sqrt{20}+3)-3i$, $f_2=(\sqrt{20}-3)-3i$.

Tarea moral

  1. Considerando la definición de la parábola como lugar geométrico en $\mathbb{C}$, desarrolla la observación 6.3 y determina la ecuación de una parábola vertical. Argumenta tu resultado.
  2. La observación 6.4 nos proporciona una ecuación general de una párabola. Prueba dicha ecuación.
    Hint: utiliza la proposición 6.3.
    Comprueba con el ejemplo 6.2 inciso (a) que el resultado es correcto ¿Obtuviste la misma ecuación?
  3. De acuerdo con la observación 6.5, desarrolla la ecuación (6.1) y trata de determinar las ecuaciones generales de las tres cónicas considerando coordenas conjugadas complejas.
  4. ¿Qué lugares geométricos representan las siguientes ecuaciones? Haz una representación de dichos conjuntos en el plano complejo $\mathbb{C}$.
  • a) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $z = \overline{z}$.
  • b) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $-\theta < \operatorname{Arg}\,z < \theta$.
  • c) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $0 < \operatorname{Im}(z) < \pi$ y $-\pi < \operatorname{Re}(z) < \pi$.
  • d) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z-1\,|^2+|\,z+1\,|^2<8$.
  • e) Los $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z-1-i\,|+|\,z+1+i\,|\leq 2$.
  1. Considera la definición de la hipérbola y la definición de la párabola ¿Es posible hablar de los puntos que se encuentran dentro y fuera de dichos lugares geométricos? Observa que en el caso de una circunferencia y una elipse dichos puntos se daban mediante las siguientes desigualdades respectivamente:
    \begin{equation*}
    |\,z-z_0\,| < \rho \quad \text{y} \quad |\,z-z_0\,| > \rho,
    \end{equation*}

\begin{equation*}
|\,z-z_1\,| + |\,z-z_2\,| < 2a \quad \text{y} \quad |\,z-z_1\,| + |\,z-z_2\,| > 2a. \end{equation*}

  1. Sean $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z_1\,| = |\,z_2\,| = |\,z_3\,|$ y $z_1 + z_2 + z_3 = 0$. Prueba que $z_1, z_2$ y $z_3$ son los vértices de un triángulo equilatero inscrito en la circunferencia unitaria.
  2. Muestra que el lugar geométrico de los puntos $z\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z^2 – a^2\,| = a^2$, con $a\in\mathbb{R}$ una constante, es una lemniscata de Bernoulli.
  3. Sean $z_1, z_2, z_3\in\mathbb{C}$ los vértices de un triángulo en el plano complejo $\mathbb{C}$. Prueba que dicho triángulo es equilatero si y solo si:
    \begin{equation*}
    \frac{1}{z_1 – z_2} + \frac{1}{z_2 – z_3} + \frac{1}{z_3 – z_1} = 0,
    \end{equation*}es decir si y solo si $z_1^2+z_2^2+z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$.
  4. Sean $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$ tres puntos distintos. Prueba que dichos puntos caen en la misma recta si y solo si:
    \begin{equation*}
    \frac{z_1 – z_2}{z_1 – z_3} = t,
    \end{equation*} donde $t$ es un número real.

Más adelante…

En esta entrada hemos definido la distancia entre dos puntos $z$ y $w$ en el plano complejo $\mathbb{C}$ siguiendo la idea de hablar de la distancia entre dichos puntos como la longitud del segmento de recta que los une, a la cual llamamos la distancia o métrica euclidiana. Dicha definición de distancia nos permitió describir algunos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$ haciendo uso de nuestros resultados de geometría y las propiedades del módulo en $\mathbb{C}$.

Es de nuestro interés describir estos lugares geométricos en el plano complejo $\mathbb{C}$ porque nos permite reconocer qué puntos pertenecen o no a un conjunto mediante una condición dada. Esto nos motivará a definir el concepto de disco o vecindad en la siguiente entrada, mediante el cual podremos caracterizar mejor a los conjuntos de $\mathbb{C}$ y con ello a los puntos que los conforman.

La siguiente entrada analizaremos a detalle la distancia recién definida y veremos que resulta ser una función definida en $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ y que toma valores en $[0, \infty)$, la cual recibe propiamente el nombre de métrica. Consideraremos al espacio métrico formado por $\mathbb{C}$ y la métrica euclidiana $d$ y describiremos la topología inducida en $\mathbb{C}$ por dicha métrica. Además probaremos algunos resultados de dicho espacio métrico.

Entradas relacionadas