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Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

En la entrada anterior descubrimos que toda permutación se puede factorizar en producto de transposiciones. Mas aún, el polinomio de Vandermonde nos permite saber que, aunque hayan varias factorizaciones, en realidad, todas siempre tienen una cantidad par (o un cantidad impar) de transposiciones. Con esto, podemos definir el signo de una permutación.

Ya teniendo una noción de la paridad de una permutación podemos jugar con las consecuencias: podemos deducir qué pasa si multiplicamos dos permutación con la misma paridad, qué sucede cuando tienen distinta paridad y además, como es raro en los cursos de matemáticas… ¡podemos agrupar por paridad! En esta entrada, descubrimos que el conjunto de transposiciones con signo par, es en realidad un grupo con $\frac{n!}{2}$ elementos. Este conjunto es llamado el grupo alternante.

¿Pares o impares?

Definición. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha$ es par si $\alpha = \text{id}$ o si $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones. Por otro lado, $\alpha$ es impar si es un producto de un número impar de transposiciones.

La función signo es $sgn: S_n \to \{+1, -1\}$ definida como
\begin{align*}
sgn \; \alpha = \begin{cases} +1 & \text{si } \alpha \text{ es par} \\
-1 & \text{si } \alpha \text{ es impar}
\end{cases}
\end{align*}

Observación. Sean $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r \in S_n$, con $\tau_{1}, \cdots, \tau_r$ transposiciones. Entonces $sgn\;\alpha = (-1)^r$.

Demostración.
La definición nos asegura que $sgn\;\alpha = +1$ si y sólo si $r$ es par.

$\square$

Proposición. Sean $\alpha, \beta \in S_n$. Entonces $$sgn \;(\alpha \, \beta) = sgn\, \alpha \; sgn \, \beta.$$

Esto nos dice que la función signo ($sgn$) es multiplicativa. Esto lo hace más sencilla de trabajar.

Demostración.

Esto es bastante fácil de demostrar, para usar lo que vimos tenemos que expresar a estas permutaciones como producto de transposiciones.

Sean $\alpha, \beta \in S_n$, con $\alpha = \tau_{1} \cdots \tau_r$, $\beta = \rho_1 \cdots \rho_t$. Donde, $\tau_1, \cdots, \tau_r, \rho_{1}, \cdots, \rho_t$ son transposiciones.

Si calculamos el signo del producto $\alpha\,\beta$ y usando la observación anterior, obtenemos lo siguiente:
\begin{align*}
sgn(\alpha \, \beta) &= sgn(\tau_1 \cdots \tau_r \, \rho_1 \cdots \rho_t) \\
& = (-1)^{r+t} & \text{Observación anterior}\\
& = (-1)^r \, (-1)^t & \text{Propiedades de las potencias}\\
& = sgn\, \alpha \; sgn\, \beta &\text{Observación anterior}
\end{align*}

Esto es precisamente lo que queríamos probar.

$\square$

Podemos concluir que para calcular el signo de un producto, basta entender el signo de cada uno de los factores.

Calculando el signo de una transposición

Seguiremos puliendo la idea que nos dio la proposición anterior hasta llegar a una fórmula para sacar el signo de una permutación. Pero por ahora, veamos qué sucede con los $r$-ciclos

Lema. Sea $\sigma = (i_1 \cdots i_r) \in S_n$ un $r$-ciclo. Entonces $sgn\, \sigma = (-1)^{r-1}$.

Demostración.
Recordemos que en la entrada anterior vimos que podemos ver a $\sigma$ como producto de transposiciones:
\begin{align*}
\sigma &= (i_1 \cdots i_r) = (i_1\,i_r) \cdots (i_1 \, i_2).
\end{align*}
Ituitivamente, estamos intercambiando a $i_1$ con los elementos que le siguen, esto nos da $r-1$ transposiciones. Por lo tanto, $\sigma$ es un producto de $r-1$ transposiciones. De acuerdo con la observación, podemos concluir que $sgn \, \sigma = (-1)^{r-1}$.

$\square$

Teorema. Sea $\alpha \in S_n$, $\alpha = \beta_1 \cdots \beta_t$ una factorización completa de $\alpha$. Entonces $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$, donde $n$ es la cantidad de elementos que estoy permutando y $t$ es la cantidad de factores que tiene la factorización completa de $\alpha$.

Demostración.
Como el signo es multiplicativo,
\begin{align*}
sgn\,\alpha = \prod_{i=1}^t sgn\,\beta_i.
\end{align*}
Estamos tomando una factorización completa de $\alpha$, entonces todos los $\beta_i$ son ciclos disjuntos. Así que su signo está dado por la longitud del ciclo (de acuerdo al lema dado):
\begin{align*}
sgn\,\beta_i = (-1)^{\text{long}\,\beta_i-1} \qquad \forall i\in\{1,\dots,t\}.
\end{align*}
Juntando ambas ecuaciones y sumando los $t$ exponentes obtenemos las siguientes igualdades
\begin{align*}
sgn\,\alpha &= \prod_{i = 1}^{t} sgn \,\beta_i & \text{Proposición}
\\&= \prod_{i = 1}^t (-1)^{\text{long}\,\beta_i – 1} &\text{Lema}\\
& = (-1)^{\left(\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i \right) – t} = (-1)^{n-t}. &\text{Leyes de exponentes}
\end{align*}

Como la factorización es completa, la siguiente igualdad se cumple: $$\sum_{i = 1}^t \text{long}\,\beta_i = n.$$

Por lo tanto $sgn\,\alpha = (-1)^{n-t}$.

$\square$

Esta forma resulta útil porque ya no necesito descomponer una permutación en producto de transposiciones, nos basta con encontrar una factorización completa. Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo.
Consideremos $\alpha \in S_{10}$ como
\begin{align*}
\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\
2 & 4 & 7 & 5 & 1 & 8 & 3 & 9 & 6 & 10
\end{pmatrix}.
\end{align*}

También podemos escribirla como $\alpha = (1\;2\;4\;5)(3\;7)(6\;8\;9)(10)$. Esto nos muestra que $\alpha$ es una factorización completa con 4 factores.

Entonces, de acuerdo con el teorema que acabamos de probar, $sgn\,\alpha = (-1)^{10-4} = (-1)^6 = +1$.

Por otro lado podemos sacar una factorización de $\alpha$ en transposiciones: $\alpha = (1 \; 5)(1 \; 4)(1 \; 2)(3 \; 7)(6 \; 9)(6 \; 8)$ que tiene 6 transposiciones. Entonces, efectivamente $\alpha$ es un producto de un número par de transposiciones.

Hora de Agrupar

Hemos visto que la función $sgn$ es una función mutliplicativa. Esto nos da como consecuencia que al multiplicar dos permutaciones con la misma paridad, te da como resultado una permutación par. En caso contrario, el resultado es impar. Ahora nos fijaremos solamente en las permutaciones pares.

Definición. El grupo alternante para $n$ elementos está definido como

$$A_n = \{\alpha \in S_n | sgn \, \alpha = +1\}.$$

Observación. $A_n$ efectivamente es un subgrupo de $S_n$.

Demostración.
Si $\alpha = \text{id}$, por definición del signo, $sgn\,\text{id} = +1$. Así, $\text{id}\in A_n$.

Sean $\alpha, \beta \in A_n$.
Como la función signo es multiplicativa:
\begin{align*}
sgn\,\alpha\beta = sgn \, \alpha \; sgn \, \beta = (+1)(+1) = +1.
\end{align*}
Así, $\alpha\beta \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo el producto.

Por último, sea $\alpha \in A_n$.

Por un lado, usando la propiedad multiplicativa del signo obtenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\alpha^{-1}) = sgn \, \alpha \; sgn \, \alpha^{-1} = (+1)\, sgn\, \alpha^{-1}.
\end{align*}

Por otro lado, como $\alpha \,\alpha^{-1} = \text{id}$, tenemos:
\begin{align*}
sgn\,(\alpha\,\alpha^{-1}) = sgn\, \text{id} = +1.
\end{align*}

Por lo tanto $sgn\,(\alpha\, \alpha^{-1}) = +1$, así $\alpha^{-1} \in A_n$. Es decir, $A_n$ es cerrada bajo inversos.

Por lo tanto $A_n$ es un subgrupo de $S_n$.

$\square$

El siguiente resultado nos muestra que el grupo alternante $A_n$ «parte en dos» a las permutaciones, es decir, la mitad de permutaciones son pares.

Proposición. Sea $n>1$, entonces $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Demostración. Podemos ver a $S_n$ como la unión de las permutaciones pares e impares, esto se expresa así $$S_n = A_n \cup (S_n\setminus A_n).$$
Pero, podemos dar una biyección definida como $\phi: A_n \to S_n\setminus A_n$, definida como $\phi \, \alpha = (1\;2)\alpha$.

Entonces, $|A_n| = \# S_n \setminus A_n$.

Así, como dijimos que

$n! = |S_n| = |A_n| + \# S_n\setminus A_n = 2 |A_n|$.

Por lo tanto $|A_n| = \frac{n!}{2}$.

Notación. Para denotar la cardinalidad u orden de un conjunto $A$, usamos dos notaciones:
\begin{align*}
|A| \to & \;\text{Si $A$ es un grupo.}\\
\# A \to & \;\text{Si $A$ no es un grupo (o si no sabemos si $A$ es un grupo o no).}
\end{align*}

Tarea moral

  1. Considera el elemento $\alpha \in S_{12}$ como
    \begin{align*}
    \alpha = \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10&11&12\\
    2 & 11&4& 1 & 8 &12& 3 & 6 & 9 & 5 & 7 & 10
    \end{pmatrix}
    \end{align*}
    1. Encuentra $\alpha^{-1}$, el signo de $\alpha$ y el de $\alpha^{-1}$.
    2. En general, ¿qué pasará con el signo de una permutación y de su inversa?
  2. Sea $\alpha$ un $r$ ciclo en $S_n$. ¿Podemos determinar el signo de $\alpha$ a partir de la paridad de $r$?
  3. Dada $\alpha \in S_n$ decimos que los números $i,j \in \{1,2,\dots,n\}$ forman una inversión si $i<j$ pero $\alpha(i) > \alpha(j)$. ¿Qué relación existe entre la paridad y el número de inversiones de $\alpha$?
  4. Encuentra todos los elementos de $A_4$.

Más adelante…

Esta entrada nos sirvió para construir los cimientos, es importante que lo tengamos claro antes de avanzar. En la siguiente entrada definiremos el producto de $S$ con $T$, veremos en qué situaciones el producto de los subconjuntos conmuta, cuándo se cumple que $ST$ es un subgrupo de $G$. Esto nos ayudará para definir las clases laterales. Más adelante, estas clases nos ayudarán a definir una nueva relación de equivalencia.

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Álgebra Moderna I: Subgrupos

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Ya vimos la definición de un grupo. Es un conjunto con una operación binaria que se comporta «bien», es decir, que es asociativa, tiene un neutro y tal que todo elemento tiene un inverso.

Ahora nos interesa trabajar con una subcolección de $G$, llamémosla $H$. Estudiaremos qué se necesita para que $H$ sea un grupo en sí mismo. La idea es trabajar con la misma operación de $G$, pero ahora usando sólo los elementos de $H$. Para que la operación $*$ siga siendo binaria en $H$, necesitamos que $*$ sea cerrada en $H$. Además, necesitamos que el neutro de $G$, $e_G$, sea elemento de $H$. Porque si $e_G$ deja fijos a todos los elementos de $G$, en particular deja fijos a todos los elementos de $H$. Y la tercera condición es la de los inversos, para todo elemento en $H$, su inverso también debe estar en $H$. La asociatividad, se «hereda» al restringir la operación $*$ a $H$. De esta manera, nos podremos olvidar de $G$ y concentrarnos en $H$.

En esta entrada veremos la definición formal de subgrupos y algunos ejemplos para que quede más clara la definición y la utilidad de definir un grupo dentro de otro.

Definiendo a los subgrupos

Comencemos con la definición formal de subgrupos.

Definición. (Subgrupo)
Sea $G$ un grupo, $H$ subconjunto de $G$. Decimos que $H$ es un subgrupo de $G$ si cumple lo siguiente:

  1. El neutro $e_G$ de $G$ está en $H$, es decir, $e_G \in H$.
  2. $H$ es cerrado con la operación, es decir si $a, b \in H$, entonces, $ab\in H$.
  3. Todo elemento de $H$ tiene su inverso en $H$. Es decir, si $a \in H$, entonces $a^{-1} \in H$.

Notación. $H \leq G$ denotará que $H$ es subgrupo de $G$.

Ejemplos.

  1. Si $G$ es un grupo, $\{e\}$ y $G$ son subgrupos de $G$. Puede haber muchos más, pero al menos esos dos seguro son subgrupos.
  2. Sea $X$ un conjunto, $\cS_X = \{f:X \to X | \; f \text{ es biyectiva en } G\}$ es un grupo con la composición.
    Dado $x_0 \in X$ consideramos todos los elementos de $\cS_X$ que dejan fijo a $x_0$
    $\{f \in \cS_X \;|\; f(x_0) = x_0\}$. Este es un subgrupo de $\cS_X$.
  3. Consideremos $(\z, +)$ y su subconjunto $\{n \in \z \;|\; n \text{ es múltiplo de } 2\} \leq \z$.
    Podemos generalizarlo, dado $m\in\z$ consideremos el conjunto de todos los múltiplos de $m$. Este conjunto se denota como $m\z := \{n \in \z \;|\; n \text{ es múltiplo de } m\} \leq \z$ y se tiene que $m\z \leq \z$.

Caracterizaciones de los subgrupos

Observación 1. Dado $G$ un grupo y $H$ un subconjunto de $G$, $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

  1. $H \neq \emptyset$.
  2. Si $a,b\in H$, entonces $ab^{-1}\in H$.

Demostración. La demostración quedará como ejercicio.

Observación 2. Dado $G$ un grupo, $H$ un subconjunto de $G$, $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $H$ es un grupo con la operación restringida a $H$.

Demostración.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $H \leq G$.

Por el inciso 2 de la definición de subgrupo, la operación es cerrada en $H$, entonces es una operación binaria en $H$.

Por el inciso 1 de la definición, $e_G \in H$, y sabemos que $e_G * a = a * e_G$ para toda $a \in G$. En particular $e_G * a = a * e_G$ para toda $a \in H$. Así $e_G$ es neutro en $H$.

Sea $a\in H$, por el inciso 3 de la definición de subgrupo, $a^{-1}\in H$, es decir el inverso de $a$ en $G$ está en $H$, entonces existe $a^{-1} \in H$ tal que $aa^{-1} = a^{-1}a = e_G = e_H$, y así $a^{-1}$ es el inverso de $a$ en $H$.

Por lo tanto, $H$ es un grupo con la operación restringida.

$\Leftarrow |)$ Supongamos que $H$ es un grupo con la operación restrigida. Entonces, $H$ tiene un neutro $e_H \in H$.

Aquí hay que hacer una observación. En principio no sabemos que el neutro de $G$ y el neutro de $H$ son el mismo, porque $e_H$ es un neutro restringido a $H$ y puede no serlo fuera del subconjunto. Además, que sean distintos no rompe la unicidad del neutro ya que $e_H$ es el neutro en $H,$ no en $G$ así que no estamos hablando de dos neutros distintos en $G;$ y si $e_G$ es el neutro en $G,$ pero $e_G \not\in H,$ de nuevo no se rompe la unicidad pues sólo hay un neutro en $H$. Así, lo primero que tenemos que demostrar, es que $e_H = e_G$. Las siguientes operaciones las realizaremos en $G$, porque no podemos asegurar que $e_G$ es un elemento de $H$.

$\begin{align*}
e_H e_G &= e_H & e_G \text{ es neutro en } G \\
&= e_H e_H & e_H \text{ es neutro en } H
\end{align*}$

Entonces $e_H e_G = e_H e_H$ y por la cancelación en $G$, $e_G = e_H$. Así $e_G \in H$.

Sean $a,b \in H$. Como $H$ es un grupo con la operación restringida, esta operación es una operación binaria en $H$ y por tanto cerrada. Así $ab\in H$.

Sea $a\in H$, como $H$ es un grupo con la operación restringida, $a$ tiene un inverso en $H$, digamos $\hat{a} \in H$, tal que $a \hat{a} = \hat{a} a = e_H$.

Sea $a^{-1}$ el inverso de $a$ en $G$, entonces $aa^{-1} = a^{-1}a = e_G$. Como $e_H = e_G$

$\begin{align*}
a \hat{a} &= a a^{-1}\\
\hat{a} &= a^{-1} & \text{por la ley de cancelación en } G
\end{align*}$

Así $a^{–1} \in H$.

Por lo tanto $H \leq G$.

$\square$

Caracterización de subgrupos finitos

Ya teniendo la definición de subgrupo, podemos considerar sólo subconjuntos finitos de un grupo $G$. En este caso basta pedir sólo dos condiciones al subconjunto para que sea un subgrupo: que sea no vacío y que sea cerrado bajo la operación.

Proposición. Sea $G$ un grupo, $H$ un subconjunto finito de $G$, no vacío. $H$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $ab \in H \quad \forall a,b \in H$.

Demostración. Sea $G$ un grupo. Consideremos $H$ un subconjunto finito no vacío de $G$.

$|\Rightarrow)$ Supongamos que $H\leq G$, entonces se cumple la definición de subgrupo. En particular se cumple el inciso 2, es decir, el producto en $H$ es cerrado.

$\Leftarrow|)$ Supongamos que el producto en $H$ es cerrado.
Como $H\neq \emptyset$ consideremos $h \in H$.

Como el producto de $H$ es cerrado, tenemos que $h^n \in H$ para toda $n \in \z^+$. Entonces los elementos de la lista: $h, h^2, h^3, \cdots$ están en $H$, y como $H$ es finito debe haber repeticiones.

Sean $l, m \in \z^+$ con $l < m$ tales que $h^l = h^m$. Como $h^l \in G$ consideremos su inverso $h^{-l} \in G$. Multiplicando por $h^{-l}$ tenemos que

$h^m h^{-l} = h^l h^{-l} = e_G$

Por las leyes de los exponentes

$h^{m-l} = e_G\quad$ con $\; m-l \in \z^+$

Recordemos que $h^n \in H$ para toda $n \in \z^+$, entonces $e_G \in H$.
Además, $h h^{m-l-1} = e_G$. Entonces tenemos dos casos.
Si $m-l-1 = 0$, entonces $h=e_G\in H$ y $h$ es su propio inverso.
Si $m-l-1\in \z^+$, entonces $h^{m-l-1} \in H$, y como $h h^{m-l-1} = e_G$, entonces $h^{m-l-1}$ es el inverso de $H$.

Así $H$ es cerrado bajo inversos y por lo tanto $H$ es un subgrupo de $G$.

Tarea moral

  1. Demuestra que el ejemplo 2 de la definición de subgrupo efectivamente es un subrupo de $\cS_X$.
  2. Para que un subconjunto $H$ de un grupo $G$ sea un subgrupo ¿es necesario pedir que $H$ tenga al neutro o se puede deducir de la condición de cerradura bajo producto y de la cerradura de los inversos?
  3. Demuestra la observación 1.
  4. Prueba o da un contraejemplo: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo si y sólo si $H$ es no vacío y para cualesquiera dos elementos $a,b \in H$ se tiene que $ab \in H$.
  5. De acuerdo las definiciones en los ejemplos importantes de matrices, prueba que
    • $SL(2, \r) \leq GL(2,\r)$
    • $GL(2, \mathbb{Q}) \leq GL(2,\r)$
  6. Investiga lo que es el diagrama reticular o diagrama de Hasse de los subgrupos de un grupo.

Más adelante…

En la siguiente entrada seguiremos profundizando en los subgrupos. Especialmente analizaremos cuántas veces podemos multiplicar un elemento por sí mismo sin que se repita el resultado. En el caso en que se trate de un subgrupo finito el hecho de que existan repeticiones en las potencias de un elemento se puede justificar con los argumentos que se dieron en la prueba de la última proposición que vimos.

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Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo

Por Cecilia del Carmen Villatoro Ramos

Introducción

Cuando se estudian campos vectoriales u otras estructuras algebraicas primero se definen ciertas propiedades básicas y después, otras propiedades importantes que se desprenden de las primeras. Ahora, vamos a ver propiedades de los grupos. Dentro de los grupos mencionamos la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Pero de ahí se desprenden otras propiedades que vamos a usar como la cancelación, la unicidad de los neutros, etc.

Propiedades de grupos

Propiedades. Sea $(G,*)$ un grupo, entonces

  1. Para cualesquiera $x, a, b \in G$, se tiene que $$x*a = x*b \Rightarrow a = b,$$ también se vale cancelar por la derecha, $$a*x = b*x \Rightarrow a = b.$$ Estas propiedades son conocidas como las leyes de cancelación.
  2. El neutro en $(G,*)$ es único.
  3. Cada $a \in G$ tiene un único inverso y se denota por $a^{-1}$.
  4. Para toda $a \in G$, $(a^{-1})^{-1} = a$.

Demostración. 1. Sean $x,a,b \in G$.
Supongamos que $x*b = x*b$. Sea $\tilde{x} \in G$ inverso de $x$. Tenemos que

$\begin{align*}
\text{ }\\
\Rightarrow \\
\Rightarrow\\
\Rightarrow
\end{align*}$

$\begin{align*}
\tilde{x} * (x * a) = \; & \tilde{x} * (x * b) & \text{ }\\
(\tilde{x} * x) * a = \; & (\tilde{x} * x) * b & \text{por la asociatividad}\\
e* a = \; & e * b & \text{por ser $\tilde{x}$ el inverso de $x$}\\
a = \;& b & \text{por ser $e$ el neutro}
\end{align*}$

La cancelación por la derecha es análoga y se deja como ejercicio.

2. Sean $e, e’ \in G$ neutros

$\begin{align*}
e \;{=}\; & e * e’ & \text{ por ser $e’$ un neutro}\\
{=}\; & e’ & \text{ por ser $e$ un neutro}\\
\end{align*}$

$\therefore \; e= \; e’$

3. Sea $a\in G$. Supongamos que $\hat{a}, \tilde{a} \in G$ son inversos de a, entonces:

$\begin{align*}
\hat{a} \;{=}\; & e * \hat{a} & \text{ por ser $e$ el neutro}\\
= \; &(\tilde{a} * a)* \hat{a} & \text{ por ser $\tilde{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; & \tilde{a} * (a * \hat{a}) & \text{ por la asociatividad}\\
=\; & \tilde{a} * e & \text{por ser $\hat{a}$ un inverso de $a$}\\
=\; &\tilde{a} & \text{ por ser $e$ el neutro}
\end{align*}$

$\therefore \hat{a} = \tilde{a}$

4. Sea $a \in G$.
Como $(a^{-1})^{-1}$ es el inverso de $a^{-1}$ tenemos que

$a^{-1} * (a^{-1})^{-1} = e$

Como $a^{-1}$ es el inverso de $a$ tenemos que

$a^{-1} * a = e$

Así $a^{-1}*(a^{-1})^{-1} = a^{-1} *a$, entonces por la propiedad 1 podemos cancelar el elemento $a^{-1}$ por la izquierda y concluir que $(a^{-1})^{-1} = a$.

$\square$

Definición débil de grupo

Teorema. Sea $G$ un conjunto, $*$ una operación binaria en $G$. Supongamos que

  1. $*$ es asociativa,
  2. existe $e \in G$ tal que $e*a = a $ para toda $a \in G$ y
  3. $\forall a \in G$ existe $ \tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a}*a=e$,

entonces $(G,*)$ es un grupo. A partir de ahora, a las propiedades $2$ y $3$ de la definición débil de grupo las denotaremos como $2’$ y $3’$ respectivamente para dejar que los números $2$ y $3$ denoten las propiedades de la definición de grupo.

Demostración. Supongamos que $(G,*)$ cumple $1, 2’$ y $3’$.
Sea $a \in G$, por $3’$, existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a = e$.
Tenemos que $\tilde{a}$ es un inverso izquierdo de $a$. Veamos primero que $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$, es decir que $a * \tilde{a} = e$.

$\begin{align*}
\tilde{a} * (a * \tilde{a}) \;=\;& (\tilde{a} * a) * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
= \; & e * \tilde{a} & \text{por la propiedad }3’\\
= \;& \tilde{a} & \text{ por la propiedad } 2’\\
\end{align*}$

$\Rightarrow \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$.

Por $3’$ existe $b \in G$ tal que $b*\tilde{a}=e$. Multiplicando $ \tilde{a} * (a * \tilde{a}) = \tilde{a}$ a la izquierda por $b$ tenemos que

$\begin{align*}
\text{ }\\
\Rightarrow \\
\Rightarrow\\
\Rightarrow
\end{align*}$

$\begin{align*}
b * (\tilde{a} * (a * \tilde{a})) =\;& b * \tilde{a} & \text{ }\\
(b * \tilde{a}) * (a * \tilde{a}) = \;& b * \tilde{a} & \text{por la asociatividad}\\
e * (a * \tilde{a}) =\;& e & \text{ya que $b$ es un inverso izquierdo de $\tilde{a}$}\\
a * \tilde{a}=\;& e &\text{ya que $e$ es un neutro izquierdo.}
\end{align*}$

Así, $\tilde{a}$ es también un inverso derecho de $a$.

Por $2’$, $e*a=a$ para toda $a\in G$, es decir $e$ es un neutro izquierdo. Veamos ahora que $e$ también es un neutro derecho probando que $a * e = a$ para toda $a \in G$.

Sea $a \in G$, por $3’$ existe $\tilde{a} \in G$ tal que $\tilde{a} * a=e$, y por lo que acabamos de probar $a * \tilde{a} = e$. Usando estas igualdades y la propiedad asociativa tenemos que

$a * e = a * (\tilde{a} * a) = (a * \tilde{a}) * a = e * a$

y como $e$ es un neutro por la izquierda, $e * a = a$. Así $a * e = a$.

Por lo tanto $(G, *)$ es un grupo.

$\square$

Tarea moral

  1. Usando la Definición débil de grupo, determina cuáles de estos conjuntos son un grupo.
    • $G = \r \setminus \{-1\}$, $a*b := a+b+ab$.
    • $G = \r^*$, $a*b = |a|b$.
    • $G = \{r \in \mathbb{Q} \;|\; r = \frac{p}{q} \text{ con } (p,q)= 1 \text{ y } q \text{ impar}\}$, $a*b = a+b$ (la adición usual).
    • Sea $X$ un conjunto. Considera $G = \mathcal{P}(X)$ el conjunto potencia de $X$ con la operación binaria $A \triangle B = (A \cup B)\setminus (A \cap B)$ para todo $A,B \in \mathcal{P}(X)$.
  2. Muestra que $G = \r^*$ con la operación $a * b = |a| b$, tiene un neutro izquierdo $e$ y para cada elemento $a$ existe $\tilde{a}$ tal que $a * \tilde{a} = e$ ¿qué puedes concluir con respecto a la definición débil de un grupo?
  3. Para el conjunto $\mathcal{S}:= \{\bigstar, \blacktriangledown, \blacklozenge, \clubsuit \}$, considera las operaciones que creaste en la tarea moral de una entrada anterior.
    • Si definiste una operación tal que $(\cS, *)$ es un grupo, comprueba las propiedades vistas en esta entrada y verifica la definición débil.
    • Si no, observa si alguna de las propiedades analizadas se cumplen con tu operación.
  4. Si quieres conocer el grupo de transformaciones lee la sección 3.1.1 del libro Introducción analítica a la geometría de Javier Bracho (página 112 a la 115).
  5. Si quieres conocer el grupo diédrico puedes ver el video Dihedral Group de Socratica. El video está en inglés. De todas maneras, después usaremos el grupo diédrico, así que lo definiremos más adelante.

Más adelante…

En la siguiente entrada generalizaremos la propiedad de la asociatividad porque hasta ahora sólo la manejamos con tres elementos. Además, seguiremos formalizando conceptos que ya conocemos intuitivamente: definiremos qué es una potencia, escribiremos las leyes de los exponentes y las demostraremos.

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