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Variable Compleja I: Logaritmo complejo y potencias complejas

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En la entrada anterior definimos a la exponencial compleja y vimos que dicha función extiende a la función exponencial real, por lo que comparten ciertas propiedades. Sin embargo, vimos que esta nueva función cumple propiedades que no se tienen en su versión real, entre ellas la periodicidad, razón por la cual esta función no es inyectiva en $\mathbb{C}$.

Nuestro objetivo en esta entrada será definir a la función logaritmo complejo de tal modo que obtengamos una «función inversa» para la exponencial compleja. Como veremos esta función requerirá cierta sutileza pues será una función multivaluada.

En nuestros cursos de Cálculo y/o Análisis se verifica que para $a>1$ y para toda $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{align*} a^x a^y = a^{x+y},\\ \left(a^x\right)^y = a^{xy}. \end{align*}

Además se prueba que la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ dada por $f(x)=a^x$ es biyectiva y se define a su inversa como el logaritmo de $y$ en base $a$, denotado como $\operatorname{log}_{a}(y)$.

Motivados en esto, nos gustaría definir una función inversa para la función exponencial compleja que extienda la definición de la función logaritmo real. Sin embargo, dado que la función exponencial compleja no es inyectiva en $\mathbb{C}$, debemos dar una definición precisa para la función logaritmo complejo, con el fin de evitar cualquier ambigüedad.

Supongamos que queremos resolver la ecuación $ e^w = z$. La primera pregunta que podemos hacernos es si existe solo una solución. Por ejemplo, si planteamos $e^w = i$, no es difícil verificar que $w_1=i\dfrac{\pi}{2}$, $w_2=i\dfrac{5\pi}{2}$ y $w_3 = – i\dfrac{3\pi}{2}$ son soluciones de esta ecuación.

De acuerdo con la proposición 20.3 de la entrada anterior, sabemos que la función exponencial compleja es suprayectiva en $\mathbb{C}\setminus{0}$, por lo que para $z=0$ la ecuación planteada no tendrá solución. Supongamos entonces que $z\neq 0$. Veamos que en tal caso dicha ecuación tiene infinitas soluciones.

Primeramente, recordemos que queremos definir a la función logaritmo complejo, denotada por $\operatorname{log}(z)$, como la inversa de la función exponencial compleja. Para $z\neq 0$, si hacemos $w = \operatorname{log}(z)$, entonces podemos plantear: \begin{equation*} w = \operatorname{log}(z) \quad \Leftrightarrow \quad e^w = z, \end{equation*} para determinar a $w$ en términos de $z$.

Haciendo $w = u +iv$ y $z = r e^{i\theta}$, con $r = |\,z\,| > 0$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$, entonces tenemos que: \begin{equation*} e^w = z \quad \Longleftrightarrow \quad e^{u+iv} = e^u e^{iv} = re^{i\theta} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} |\,e^w\,| = |\,z\,|\\ \\ \operatorname{arg}\left(e^w\right) = \operatorname{arg}\left(z\right), \end{array} \right. \end{equation*} de donde: \begin{equation*} e^u = r \quad \text{y} \quad v+2\pi n_1 = \theta + 2\pi n_2, \,\,\, n_1, n_2\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

De la primera expresión tenemos que $u=\operatorname{ln}(r)$, donde $\operatorname{ln}(x)$ denota la función real logaritmo natural, $x\in\mathbb{R}^+$.

Por otra parte, de la segunda ecuación tenemos que: \begin{equation*} v = \theta + 2\pi k = \operatorname{Arg}(z) + 2\pi k, \quad k = n_2 – n_1\in\mathbb{Z}, \end{equation*} es decir $v = \operatorname{arg}(z)$.

Dado que la función $G(z) = \operatorname{arg}(z)$ es multivaluada, entonces existen infinitas soluciones para la ecuación $e^w = z$, con $z = re^{i\theta}\neq 0$, las cuales están dadas por: \begin{equation*} w = \operatorname{ln}(r) + i \operatorname{arg}(z). \end{equation*}

Lo anterior nos motiva a dar la siguiente:

Definición 21.1. (Logaritmo complejo.)
Sea $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Definimos a la función multivaluada logaritmo complejo, denotada por $\operatorname{log}(z)$, como: \begin{align*} \operatorname{log}(z) & = \operatorname{ln}|\,z\,| + i\operatorname{arg}(z)\\ & = \operatorname{ln}(r) + i\left(\theta + 2\pi k\right),\,\,\, k\in\mathbb{Z}, \end{align*} donde $r=|\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$.

Observación 21.1.
Notemos que en la definición anterior no es necesario que $\theta$ sea el argumento principal, en realidad basta con que sea cualquier argumento que permita representar a $z\neq 0$ en su forma exponencial, es decir $z = re^{i\theta}$.

Definición 21.2. (Rama principal del logaritmo complejo.)
Sea $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Definimos a la rama principal del logaritmo complejo, denotada por $\operatorname{Log}(z)$, como: \begin{equation*} \operatorname{Log}(z) = \operatorname{ln}|\,z\,| + i\operatorname{Arg}(z), \end{equation*} la cual es una función univaluada.

Verificar que $\operatorname{Log}(z)$ es univaluada es sencillo si recordamos la definición 20.3 y la proposición 13.2, ya que si $z = re^{i\theta} \neq 0$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$, entonces: \begin{align*} \operatorname{Log}\left(z(r,\theta+2\pi)\right) & = \operatorname{Log}\left(re^{i\theta + 2\pi}\right)\\ & = \operatorname{ln}(r) + i\operatorname{Arg}\left(re^{i\theta + 2\pi}\right)\\ & = \operatorname{ln}(r) + i\left(\theta + 2\pi + 2\pi(-1)\right)\\ & = \operatorname{ln}(r) + i\theta\\ & = \operatorname{Log}\left(re^{i\theta}\right)\\ & = \operatorname{Log}\left(z(r,\theta)\right). \end{align*}

Observación 21.2.
Debe ser claro que $\operatorname{Log}(z)$ determina un valor particular de $\operatorname{log}(z)$, para el cual su parte imaginaria es tal que $\operatorname{Arg}(z) \in (-\pi, \pi]$. De acuerdo con la definición 21.1 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{log}(z) = \operatorname{Log}(z) + i2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}, \end{equation*} es decir que los valores de $\operatorname{log}(z)$ difieren de la rama principal en $i2k\pi$.

Ejemplo 21.1.
Determinemos los siguientes logaritmos:
a) $\operatorname{log}(i)$.
b) $\operatorname{log}(5)$.
c) $\operatorname{log}(-2)$.
d) $\operatorname{Log}\left(\sqrt{3} + i\right)$.

Solución. De acuerdo con la observación 21.2, en los cuatro incisos basta con determinar la rama principal del logaritmo.

a) Sabemos que para $z = i$ tenemos que $|\,z\,| = 1$ y $\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{2}$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}(i) = \operatorname{ln}(1) + i \frac{\pi}{2} = 0 + i \frac{\pi}{2} = i \frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{log}(i) = \operatorname{Log}(i) + i2\pi k = i \frac{\pi}{2} + i2\pi k = i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

b) Para $z = 5$ tenemos que $|\,z\,| = 5$ y $\operatorname{Arg}(z) = 0$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}(5) = \operatorname{ln}(5) + i 0 = \operatorname{ln}(5). \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{log}(5) = \operatorname{Log}(5) + i2\pi k = \operatorname{ln}(5) + i2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

c) Sabemos que para $z = -2$ tenemos que $|\,z\,| = -(-2) = 2$ y $\operatorname{Arg}(z) = \pi$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}(-2) = \operatorname{ln}(2) + i \pi. \end{equation*}

Entonces: \begin{align*} \operatorname{log}(-2) & = \operatorname{Log}(-2) + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) + i \pi + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) + i\left(\pi + 2\pi k\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

d) Sea $z = \sqrt{3} + i$, entonces $|\,z\,| = \sqrt{4} = 2$. Por otra parte: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arctan}\left(\frac{1 {\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}. \end{equation*}

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(\sqrt{3} + i\right) = \operatorname{ln}(2) + i \frac{\pi}{6}. \end{equation*}

Entonces: \begin{align*} \operatorname{log}\left(\sqrt{3} + i\right) & = \operatorname{Log}\left(\sqrt{3} + i\right) + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) + i \frac{\pi}{6} + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) + i\left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

Observación 21.3.
Es interesante notar que si $z \in \mathbb{R}^+$, es decir es un número real positivo, la rama principal del logaritmo coincide con la función real logaritmo natural. Sin embargo, el logaritmo complejo de un número real positivo tendrá infinitos valores, como vimos en el ejemplo anterior para $z=5$.

Ejemplo 21.2.
Obtengamos todas las soluciones de las siguientes ecuaciones:
a) $e^w = -2i$.
b) $e^w = 1+i$.

Solución. Notemos que para cada ecuación, el conjunto de soluciones están dados por el logaritmo complejo, es decir $w = \operatorname{log}(z)$.

a) Sea $z = -2i$. Tenemos que $|\,z\,| = \sqrt{(-2)^2} = 2$ y $\operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2}$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(-2i\right) = \operatorname{ln}(2) – i \frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Por lo que las soluciones de la ecuación $e^w = -2i$ son: \begin{align*} w = \operatorname{log}\left(-2i\right) & = \operatorname{Log}\left(-2i\right) + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) – i \frac{\pi}{2} + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}(2) + i\left(2\pi k – \frac{\pi}{2}\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

b) Sea $z = 1+i$. Tenemos que $|\,z\,| = \sqrt{2}$ y: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arctan}(1) = \frac{\pi}{4} \end{equation*}

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(\ 1+i\right) = \operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right) + i \frac{\pi}{4}. \end{equation*}

Entonces, las soluciones de la ecuación $e^w = 1+i$ son: \begin{align*} w = \operatorname{log}\left(1+i\right) & = \operatorname{Log}\left(1+i\right) + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right) + i \frac{\pi}{4} + i2\pi k\\ & = \operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right) + i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

De acuerdo con la definición 13.4 y la observación 15.4, debe ser claro que es posible definir diferentes ramas del logaritmo al elegir diferentes intervalos semiabiertos donde tome valores el argumento. Es decir, si tomamos a un número $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo, entonces podemos trabajar con diferentes ramas de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, definidas sobre $\mathbb{C} \setminus\{0\}$, que tomen valores en intervalos semiabiertos de la forma $I = (\alpha, \alpha+2\pi]$ ó $I =[\alpha, \alpha+2\pi)$ y dadas por $\operatorname{Arg}_I(z) \in I$.

Definición 21.3. (Rama $I$ del logaritmo complejo.)
Sean $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo, $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ e $I$ un intervalo semiabierto de longitud $2\pi$, es decir de la forma $I = (\alpha, \alpha+2\pi]$ ó $I =[\alpha, \alpha+2\pi)$. Definimos a la rama $I$ del logaritmo complejo, denotada por $\operatorname{Log}_{I}(z)$, como: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{I}(z) = \operatorname{ln}|\,z\,| + i\operatorname{Arg}_{I}(z). \end{equation*}

Observación 21.4.
Al igual que con la rama principal del logaritmo, notemos que una rama $I$ del logaritmo es una función univaluada desde que hemos restringido al argumento de $z\neq 0$ a ser el único argumento tal que $\alpha < \operatorname{arg} z \leq \alpha + 2\pi$.

Además, a través de la rama $I$ del logaritmo podemos obtener al logaritmo complejo como con la rama principal, observación 21.2, es decir: \begin{equation*} \operatorname{log}(z) = \operatorname{Log}_{I}(z) + i2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Ejemplo 21.3.
Obtengamos el valor de las siguientes ramas del logartimo.
a) Sea $\alpha =0$. Para $I=[0,2\pi)$ determina $\operatorname{Log}_{I}\left(-2i\right)$.
b) Sea $\alpha =\frac{\pi}{2}$. Para $I=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$ determina $\operatorname{Log}_{I}\left(i\right)$.
c) Sea $\alpha =\frac{3\pi}{2}$. Para $I=\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]$ determina $\operatorname{Log}_{I}\left(-2\right)$.

Solución.
a) Para $I=[0,2\pi)$, recordemos que se obtiene el argumento natural de un número complejo, entrada 13, por lo que si $z = -2i$, entonces: \begin{equation*} |\,z\,| = \sqrt{(-2)^2} = 2, \quad \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}(z) = \frac{3\pi}{2}. \end{equation*}

Por tanto: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}\left(-2i\right) = \operatorname{ln}(2) + i \frac{3\pi}{2}. \end{equation*}

De acuerdo con el ejemplo 21.2(a), notemos que: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{[0,2\pi)}\left(-2i\right) \neq \operatorname{Log}(-2i). \end{equation*}

b) De acuerdo con la proposición 13.3, para $I=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]$ y $z = i$ tenemos que $|\,z\,|=1$ y: \begin{align*} \operatorname{Arg}_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]}(z) & = \operatorname{Arg}\left(-ie^{-i\frac{\pi}{2}}\right) + \frac{\pi}{2} + \pi\\ & = \operatorname{Arg}\left(-i(-i)\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & = \operatorname{Arg}\left(-1\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & =\pi + \frac{3\pi}{2}\\ & = \frac{5\pi}{2}. \end{align*}

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]}\left(i\right) = \operatorname{ln}(1) + i \frac{5\pi}{2} = i \frac{5\pi}{2}. \end{equation*}

De acuerdo con el ejemplo 21.1(a), notemos que: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right]}\left(i\right) \neq \operatorname{Log}(i). \end{equation*}

c) Sea $I=\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]$. Para $z = -2$ tenemos que $|\,z\,| = 2$ y: \begin{align*} \operatorname{Arg}_{\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]}(z) & = \operatorname{Arg}\left(-(-2)e^{-i\frac{3\pi}{2}}\right) + \frac{3\pi}{2} + \pi\\ & = \operatorname{Arg}\left(2(i)\right) + \frac{5\pi}{2}\\ & =\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{2}\\ & = 3\pi. \end{align*}

Por lo que:
\begin{equation*} \operatorname{Log}_{\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]}\left(-2\right) = \operatorname{ln}(2) + i 3\pi. \end{equation*}

De acuerdo con el ejemplo 21.1(c), notemos que: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]}\left(-2\right) \neq \operatorname{Log}(-2). \end{equation*}

Proposición 20.1. (Propiedades del logaritmo.)
Para $z_1, z_2, z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $n\in\mathbb{Z}$ se cumple que:

  1. $\operatorname{log}(z_1 z_2) = \operatorname{log}(z_1) + \operatorname{log}(z_2)$.
  2. $\operatorname{log}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{log}(z_1) – \operatorname{log}(z_2)$.
  3. $\operatorname{log}\left(\dfrac{1}{z_1}\right) = -\operatorname{log}(z_1)$.
  4. $\operatorname{log}\left(z^n\right) = n \operatorname{log}(z)$.
  5. $e^{\operatorname{log}\left(z\right)} = z$.
  6. $\operatorname{log}\left(e^{z}\right) = z + i 2k\pi$, para $k\in\mathbb{Z}$.

Demostración. Sean $z_1, z_2, z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $n\in\mathbb{Z}$.

  1. Sabemos que para $r_1, r_2>0$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{ln}\left(r_1 r_2\right) = \operatorname{ln}\left(r_1\right) + \operatorname{ln}\left(r_2\right). \end{equation*} Por otra parte, por la observación 13.6, sabemos que: \begin{equation*} \operatorname{arg}(z_1 z_2) = \operatorname{arg}(z_1) + \operatorname{arg}(z_2). \end{equation*} De acuerdo con lo anterior tenemos que: \begin{align*} \operatorname{log}(z_1 z_2) & = \operatorname{ln}|\,z_1 z_2\,| + i \operatorname{arg}(z_1 z_2)\\ & = \operatorname{ln}\left(|\,z_1\,|\,\,|\,z_2\,| \right)+ i \left[\operatorname{arg}(z_1) + \operatorname{arg}(z_2)\right] \\ & = \operatorname{ln}|\,z_1\,|+ \operatorname{ln}|\,z_2\,| + i \operatorname{arg}(z_1) + i \operatorname{arg}(z_2)\\ & = \operatorname{ln}|\,z_1\,| + i \operatorname{arg}(z_1) + \operatorname{ln}|\,z_2\,| + i \operatorname{arg}(z_2)\\ &=\operatorname{log}(z_1) + \operatorname{log}(z_2). \end{align*}
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.
  4. Sabemos que para $r>0$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{ln}\left(r^n\right) = n\operatorname{ln}\left(r\right). \end{equation*} Por otra parte, por la observación 13.6, sabemos que para todo $n\in\mathbb{Z}$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{arg}\left(z^n\right) = n \operatorname{arg}(z). \end{equation*} Entonces: \begin{align*} \operatorname{log}\left(z^n\right) & = \operatorname{ln}\left|\,z^n\,\right| + i \operatorname{arg}\left(z^n\right)\\ & = \operatorname{ln}\left|\,z\,\right|^n+ i\, n\operatorname{arg}(z)\\ & = n \operatorname{ln}\left|\,z\,\right|+ i\, n\operatorname{arg}(z)\\ & = n \left[\operatorname{ln}\left|\,z\,\right|+ i \operatorname{arg}(z)\right]\\ & = n\operatorname{log}(z). \end{align*}
  5. Sea $z=re^{i\theta}$, con $r=|\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{arg}(z)$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{log}(z) = \operatorname{ln}(r) + i \theta, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} e^{\operatorname{log}\left(z\right)} = e^{\operatorname{ln}(r) + i \theta} = e^{\operatorname{ln}(r)} e^{i \theta} = re^{i \theta} = z. \end{equation*}
  6. Sea $z=x+iy$, entonces $e^z = e^{x}e^{iy}$, por lo que $|\,e^z\,| = e^{x}$ y $\operatorname{arg}\left(e^z\right) = y + 2\pi k$, con $k\in\mathbb{Z}$.
    Entonces: \begin{align*} \operatorname{log}\left(e^{z}\right) & = \operatorname{ln}\left(e^{z}\right) + i \operatorname{arg}\left(e^{z}\right)\\ & = \operatorname{ln}\left(e^{x}\right) + i\left( y + 2\pi k\right)\\ & = x + iy + i2\pi k\\ & = z + i2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{align*}

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En general, las propiedades anteriores no siempre se cumplen para la rama principal del logaritmo.

Ejemplo 21.5.
a) Si $z_1 = i$ y $z_2 =-1$, entonces $z_1 z_2 =-i$, por lo que: \begin{align*} \operatorname{Log}(-i) & = \operatorname{ln}|-i| + i\operatorname{Arg}(-i)\\ & = \operatorname{ln}(1) + i\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = – i\frac{\pi}{2}. \end{align*}

Por otra parte: \begin{align*} \operatorname{Log}(-1) & = \operatorname{ln}|-1| + i\operatorname{Arg}(-1)\\ & = \operatorname{ln}(1) + i\left(\pi \right)\\ & = i\pi. \end{align*}

Y del ejemplo 21.1(a) sabemos que $\operatorname{Log}(i) = i\dfrac{\pi}{2}$, por lo que:
\begin{equation*} \operatorname{Log}(-i) = – i\frac{\pi}{2} \neq i\frac{3\pi}{2} = \operatorname{Log}(i) + \operatorname{Log}(-1). \end{equation*}

b) Si $z = -1$, entonces: \begin{align*} \operatorname{Log}\left((-1)^{-1}\right) & = \operatorname{ln}|(-1)^{-1}| + i\operatorname{Arg}\left((-1)^{-1}\right)\\ & = -\operatorname{ln}(1) + i\left(\pi \right)\\ & = i\pi. \end{align*}

Mientras que: \begin{align*} \operatorname{Log}\left(-1\right) & = -\operatorname{ln}|-1| – i \operatorname{Arg}\left(-1\right)\\
& = -\operatorname{ln}(1) – i\left(\pi \right)\\ & = -i\pi. \end{align*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left((-1)^{-1}\right) = i\pi \neq -i\pi = – \operatorname{Log}\left(-1\right). \end{equation*}

Corolario 21.1. (Propiedades de la rama principal del logaritmo.)
Para $z_1, z_2, z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $n\in\mathbb{Z}$ se cumple que:

  1. $\operatorname{Log}(z_1 z_2) = \operatorname{Log}(z_1) + \operatorname{Log}(z_2) + i 2\pi N_{+}$,
  2. $\operatorname{Log}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Log}(z_1) – \operatorname{Log}(z_2) + i 2\pi N_{-}$, donde $N_{\pm}$ son números enteros dados por: \begin{equation*} N_{\pm} = \left\{ \begin{array}{lcc} -1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) > \pi, \\ \\ 0 & \text{si} & -\pi < \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq \pi,\\ \\ 1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq -\pi. \end{array} \right. \end{equation*}
  3. \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(z^{-1}\right) = \left\{ \begin{array}{lcc} – \operatorname{Log}\left(z\right) & \text{si} & z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}^{-},\\ \\ -\operatorname{Log}\left(z\right) + i 2\pi & \text{si} & z\in\mathbb{R}^{-}, \end{array} \right. \end{equation*} donde $\mathbb{R}^{-} = (-\infty, 0)$.
  4. \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(z^n\right) = n\, \operatorname{Log}\left(z\right) + i 2\pi N_{n}, \end{equation*} donde $N_n$ es un número entero dado por: \begin{equation*} N_n = \left[ \frac{1}{2} – \frac{n}{2\pi} \operatorname{Arg}(z)\right], \end{equation*} con $[\, x \,]$ la función parte entera de $x$.

Demostración. Se sigue de la proposición 21.1 y la proposición 13.2, por lo que los detalles se dejan como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

Ejemplo 21.6.
Considerando el corolario anterior y el ejemplo 21.4 tenemos lo siguiente.
a) Si $z_1 = i$ y $z_2 =-1$, entonces $\operatorname{Arg}(z_1) = \frac{\pi}{2}$ y $\operatorname{Arg}(z_2) =\pi$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} > \pi. \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}(z_1 z_2) = – i\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2} + i\pi – i2\pi = \operatorname{Log}(i) + \operatorname{Log}(-1) + i2\pi N_{+}. \end{equation*}

b) Si $z = -1$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \pi$, por lo que:
\begin{equation*} N_{-1} = \left[\frac{1}{2}-\left(\frac{-1}{2\pi}\right)\pi\right] = \left[1\right] = 1. \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left((-1)^{-1}\right) = i\pi = -i\pi + i2\pi(1) = – \operatorname{Log}\left(-1\right) + i2\pi N_{-1}. \end{equation*}

Ejemplo 21.7.
Sean $z_1, z_2, \ldots, z_n \in\mathbb{C}$ tales que $\operatorname{Re}(z_k)>0$ y $\operatorname{Re}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right)>0$, para $1\leq k \leq n$. Veamos que: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(z_1 z_2 \cdots z_n\right) = \operatorname{Log}\left(z_1\right) + \cdots + \operatorname{Log}\left(z_n\right). \end{equation*} ¿Son necesarias las condiciones dadas?

Solución. Dadas las hipótesis, como $\operatorname{Re}(z_k)>0$ y $\operatorname{Re}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right)>0$, para $1\leq k \leq n$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_k) = \operatorname{arc tan}\left(\frac{\operatorname{Im}(z_k)}{\operatorname{Re}(z_k)}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{Arg}(b) = \operatorname{arc tan}\left(\frac{\operatorname{Im}(b)}{\operatorname{Re}(b}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \end{equation*} con $b = z_1 z_2 \cdots z_k$, para $1\leq k \leq n$.

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}(z_k) = \operatorname{ln}|z_k| + i \operatorname{Arg}(z_k), \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right) = \operatorname{ln}\left|z_1 z_2 \cdots z_k\right| + i \operatorname{Arg}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right) \end{equation*} para $1\leq k \leq n$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Primeramente, consideremos el caso $n=2$. Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$ bajo las condiciones dadas, entonces: \begin{equation*} -\frac{\pi}{2} < \operatorname{Arg}(z_1) < \frac{\pi}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} < \operatorname{Arg}(z_1) < \frac{\pi}{2}, \quad -\frac{\pi}{2} < \operatorname{Arg}(z_1 z_2) < \frac{\pi}{2}, \end{equation*}

de donde: \begin{equation*} -\pi< \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) < \pi \quad \Longrightarrow \quad \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2). \end{equation*}

Entonces:
\begin{align*} \operatorname{Log}\left(z_1 z_2\right) & = \operatorname{ln}\left|z_1 z_2\right| + i \operatorname{Arg}\left(z_1 z_2\right)\\ & = \operatorname{ln}\left|z_1\right| + \operatorname{ln}\left|z_2\right| + i \operatorname{Arg}\left(z_1\right) + i\operatorname{Arg}\left(z_2\right)\\ & = \operatorname{Log}\left(z_1\right) + \operatorname{Log}\left(z_2\right). \end{align*}

Supongamos que el resultado es válido para $n=k-1$. Sean $z_1,\ldots, z_k \in\mathbb{C}$ bajo las condiciones dadas. Entonces: \begin{align*} \operatorname{Log}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right) & = \operatorname{Log}\left(\left[z_1 z_2 \cdots z_{k-1}\right] z_k\right)\\ & = \operatorname{Log}\left(z_1 z_2 \cdots z_{k-1}\right) + \operatorname{Log}\left(z_k\right)\\ & = \operatorname{Log}\left(z_1\right) + \cdots + \operatorname{Log}\left(z_{k-1}\right) + \operatorname{Log}\left(z_k\right). \end{align*}

Por lo que, el resultado es válido para toda $n\in\mathbb{N}^+$ tal que los $z_k \in \mathbb{C}$, con $1\leq k\leq n$, cumplen las condiciones dadas.

Por último veamos que las condiciones dadas son necesarias para que se cumpla el resultado.

Supongamos que no es necesaria la condición $\operatorname{Re}(z_k)>0$, para $1\leq k \leq n$. Sean $z_1 = z_2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1) = \operatorname{Arg}(z_2) = \operatorname{arc tan}\left(-\sqrt{3}\right) + \pi = \frac{2\pi}{3}. \end{equation*}

Pero: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{arc tan}\left(\sqrt{3}\right) – \pi = – \frac{2\pi}{3}. \end{equation*}

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 z_2) \neq \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2), \end{equation*} entonces $\operatorname{Log}(z_1 z_2) \neq \operatorname{Log}(z_1) + \operatorname{Log}(z_2)$.

Supongamos ahora que la condición $\operatorname{Re}\left(z_1 z_2 \cdots z_k\right)>0$, para $1\leq k \leq n$, no es necesaria.

Sean $z_1 = \cdots = z_9 = e^{i \frac{\pi}{4}}$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 \cdots z_9) = \operatorname{arc tan}\left(1\right) = \frac{\pi}{4}, \end{equation*}

pero: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1) = \cdots = \operatorname{Arg}(z_9) = \frac{\pi}{4}, \end{equation*}

es decir: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1) + \cdots + \operatorname{Arg}(z_9) = \frac{9\pi}{4}. \end{equation*}

Por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 \cdots z_9) \neq \operatorname{Arg}(z_1) + \cdots + \operatorname{Arg}(z_9), \end{equation*}

entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}(z_1 \cdots z_9) \neq \operatorname{Log}(z_1) + \cdots + \operatorname{Log}(z_9). \end{equation*}

En este caso la igualdad no se cumple desde que $\operatorname{Re}(z_1 z_2 z_3) < 0$.

Proposición 21.2. (Continuidad de la rama principal del logaritmo.)
Sea $D = \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$. La rama principal del logaritmo complejo, $f(z) = \operatorname{Log}(z)$, es una función continua para todo $z\in D$. Para $z\in(-\infty, 0]$, las discontinuidades de $\operatorname{Log}(z)$ son irremovibles.

Demostración. Tenemos que la rama principal del logaritmo es: \begin{equation*} f(z) = \operatorname{Log}(z) = \operatorname{ln}|\,z\,| + i\operatorname{Arg}(z), \quad z\neq 0. \end{equation*}

Es claro que dicha función está dada por la suma de dos funciones, por lo que el dominio donde $f$ es continua dependerá de la continuidad de cada una de las funciones que la conforman.

Primeramente, sabemos que la función $|\,z\,|$ determina una función real de variable compleja, la cual es continua para todo $z\in\mathbb{C}$, mientras que la función real logaritmo natural es continua para todo $x>0$, por lo que la composición $\operatorname{ln}|\,z\,|$ será continua para todo $z\neq 0$.

Por otra parte, de acuerdo con el ejemplo 15.5, sabemos que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es continua para todo $z\in\mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$. Además, los $z\in(-\infty, 0]$ son discontinuidades irremovibles, por lo que también serán discontinuidades irremovibles de la función $\operatorname{Log}(z)$.

Por lo tanto, $f(z) = \operatorname{Log}(z)$ es una función continua en $\mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, es decir es una rama de la función multivaluada $F(z) = \operatorname{log}(z)$.

Observación 21.5.
Notemos que: \begin{equation*} L_{-\pi} = \left\{re^{-i\pi} : r\geq 0\right\} = \left\{-r : r\geq 0\right\} = (-\infty, 0], \end{equation*} es decir que dicha semirrecta representa el corte de rama de la función $\operatorname{Log}(z)$, figura 79.

Observación 21.6.
En general, las ramas definidas en 21.3 serán ramas de la función multivaluada $F(z) = \operatorname{log}(z)$ en el sentido estricto, es decir de acuerdo con la definición 13.2, siempre que se restringa su dominio al conjunto $\mathbb{C} \setminus L_\alpha$, con $ L_{\alpha} = \left\{re^{i\alpha} : r\geq 0\right\}$, pues como vimos en la observación 15.4 la función $\operatorname{Arg}_{I}(z)$ es discontinua en la semirrecta $ L_\alpha$ que parte desde el origen y forma un ángulo $\alpha$ con respecto al eje real positivo. Dicha semirrecta corresponde con el corte de rama de la función $\operatorname{Log}_{I}(z)$, figura 79.

Figura 79: Cortes de rama de las funciones $\operatorname{Log}(z)$ y $\operatorname{Log}_{I}(z)$.

Podemos generalizar lo anterior mediante la siguiente:

Definición 21.4. (Rama del logaritmo.)
Si $D\subset \mathbb{C}\setminus\{0\}$ es un dominio y $f:D \to \mathbb{C}$ es una función continua tal que $e^{f(z)} = z$ para todo $z\in D$, entonces diremos que $f$ es una rama del logaritmo en $D$.

Recordemos que definimos al logaritmo complejo como la solución a la ecuación $e^w = z$, es decir como «la inversa» de la exponencial. Sin embargo, de acuerdo con la proposición 21.1(6), sabemos que en general $\operatorname{log}\left(e^z\right) = z + i2\pi k$, para algún $k\in\mathbb{Z}$. Este hecho nos lleva a preguntarnos bajo qué restricciones se cumple que $\operatorname{log}\left(e^z\right) = z$.

Proposición 21.3. (Inversa de la función exponencial compleja.)
Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo. Definimos a la banda abierta: \begin{equation*} S_{\alpha} = \left\{z = x+iy \in\mathbb{C} : x\in\mathbb{R}, \,\, \alpha < y <\alpha +2\pi\right\}, \end{equation*} y al plano complejo cortado: \begin{equation*} D_{\alpha} = \mathbb{C} \setminus L_{\alpha} = \left\{w\in\mathbb{C} : |w|>0, \,\, \alpha<\operatorname{arg}(w) < \alpha + 2\pi \right\}, \end{equation*} donde $L_\alpha = \left\{re^{i\alpha} : r\geq 0\right\}$.

Entonces, la función $f:S_{\alpha} \to D_{\alpha}$, dada por $f(z) = e^z$, es biyectiva.

Demostración. Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo. Primero probemos la inyectividad.

Sean $z_1 = x_1 + iy_1, z_2 = x_2 + iy_2 \in S_\alpha$ y supongamos que $e^{z_1} = e^{z_2}$, entonces: \begin{equation*} |\,e^{z_1}\,| = |\,e^{z_2}\,|, \quad \operatorname{arg}\left(e^{z_1}\right) = \operatorname{arg}\left(e^{z_2}\right). \end{equation*}

Por lo que $e^{x_1} = e^{x_2}$ y $y_2 = y_1 + 2\pi n$, con $n\in\mathbb{Z}$. Dado que $z_1, z_2 \in S_{\alpha}$, tenemos que $x_1, x_2\in\mathbb{R}$ y $y_1, y_2 \in (\alpha, \alpha + 2\pi)$. Entonces $x_1 = x_2$ y: \begin{equation*} -2\pi < y_2 – y_1 < 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -2\pi < 2n\pi < 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad n=0, \end{equation*} por lo que $y_1 = y_2$, es decir $z_1 = z_2$.

Verifiquemos ahora la supreyectividad. Sea $w = re^{i\theta}\in D_\alpha$, con $r = |w|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}_{I}(w) \in I$, donde $I=(\alpha, \alpha +2\pi)$. Definimos: \begin{equation*} z = \operatorname{ln}(r) + i\theta. \end{equation*}

Claramente $z\in S_\alpha$ y $e^{z} = e^{\operatorname{ln}(r) + i\theta} = e^{\operatorname{ln}(r)} e^{i\theta} = re^{i\theta} = w$.

Por lo tanto, $f(z) = e^z$ biyecta la banda abierta $S_\alpha$ en el plano complejo cortado $D_\alpha$, figura 80.

$\blacksquare$

Observación 21.7.
En la entrada 26 veremos que al considerar a las funciones $f(z) = e^z$ y $g(z) = \operatorname{Log}(z)$ como mapeos, es posible verificar geométricamente las transformaciones del plano complejo dadas en la figura 80.

Observación 21.8.
Dado que una rama del logaritmo, definida sobre el plano complejo cortado $D_\alpha$, corresponde con una rama de la función multivaluada $F(z) = \operatorname{log}(z)$, definición 13.2, entonces se sigue del resultado anterior que cualquier rama del logaritmo, bajo dicha restricción, será una inversa de la función exponencial compleja.

Este hecho resulta de suma importancia pues nos dice que la inversa de la función exponencial compleja no es única y que habrá tantas inversas como ramas del logaritmo complejo.

Figura 80: La función exponencial biyecta la banda abierta $S_\alpha$ en el plano cortado $D_\alpha$.

Corolario 21.2. (La rama principal del logaritmo es una inversa de la función exponencial.)
La función exponencial compleja, $f(z) = e^z$, definida en la región fundamental:
\begin{equation*} S_{-\pi} = \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x\in\mathbb{R},\,\, -\pi< y <\pi\right\}, \end{equation*} con valores en el plano complejo cortado $D_{-\pi} = \mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$, es biyectiva y su inversa es la rama principal del logaritmo.

Demostración. La primera parte del resultado se sigue de la proposición anterior, por lo que solo resta ver que en efecto la rama principal del logaritmo es la inversa de la función exponencial, bajo estas restricciones.

Por la proposición 21.1 es claro que $e^{\operatorname{Log}(z)} = z$. Veamos que $\operatorname{Log}\left(e^z\right) = z$.

Sea $z = x+iy \in S_{-\pi}$, entonces $x\in\mathbb{R}$ y $-\pi < y < \pi$. Tenemos que $e^z = e^x e^{iy}$, por lo que $\left|e^z\right| = e^x $ y $\operatorname{Arg}\left(e^z\right) = y$. Entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}\left(e^z\right) = \operatorname{ln}\left(e^x\right) + i \operatorname{Arg}\left(e^z\right) = x + iy = z. \end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 21.4. (Analicidad de la rama principal del logaritmo.)
La rama principal del logaritmo $g(z) = \operatorname{Log}(z)$ es analítica en $D_{-\pi} = \mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ y su derivada es: \begin{equation*} \frac{d}{dz} \operatorname{Log}(z) = \frac{1}{z}, \quad \forall z\in D_{-\pi}. \end{equation*}

Demostración. Del corolario 21.2 se sigue que la función $f: S_{-\pi} \to D_{-\pi}$ dada por $f(z)=e^z$ es biyectiva y su inversa es la función $g:D_{-\pi} \to S_{-\pi}$ dada por $g(z) = \operatorname{Log}(z)$, la cual es continua en $D_{-\pi}$ (proposición 21.2).

Por la proposición 20.1 sabemos que la función $f(z)=e^z$ es entera y que su derivada es $f'(z)=e^z$. Más aún, sabemos por la proposición 20.2(4) que $e^z\neq 0$ para todo $z\in\mathbb{C}$. Por lo que $f$ es una función analítica en $S_{-\pi}$ tal que $f'(g(z)) \neq 0$ para todo $z\in D_{-\pi}$, con $g$ continua en dicho dominio.

Entonces, por el teorema de la función inversa (proposición 16.6), se sigue que $g$ es analítica en $D_{-\pi}$ y su derivada es: \begin{equation*} g'(z) = \frac{1}{f'(g(z))} = \frac{1}{e^{\operatorname{Log}(z)}} = \frac{1}{z}, \quad \forall z\in D_{-\pi}. \end{equation*}

$\blacksquare$

Proposición 21.5. (Analicidad de una rama $I$ del logaritmo.)
Sean $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo e $I = (\alpha, \alpha+2\pi)$. La rama $\operatorname{Log}_{I} : D_{\alpha} \to S_{\alpha}$ dada por: \begin{equation*} \operatorname{Log}{I}(z) = \operatorname{ln}|z| + i\operatorname{Arg}_{I}(z), \end{equation*} es una función analítica en $D_{\alpha}$ y su derivada es: \begin{equation*} \frac{d}{dz}\operatorname{Log}_{I}(z) = \frac{1}{z},\quad \forall z\in D_{\alpha}. \end{equation*}

Demostración. Su prueba es análoga a la de la proposición 21.3, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$\blacksquare$

De manera general tenemos que:

Proposición 21.6.
Sean $D\subset \mathbb{C}\setminus\{0\}$ un dominio y $L:D \to \mathbb{C}$ una rama del logaritmo en $D$. Entonces $L$ es analítica en $D$ y $L'(z) = 1/z$ para todo $z\in D$.

Demostración. Dadas las hipótesis, como $L$ es una rama del logaritmo en $D$, entonces por la definición 21.4 tenemos que: \begin{equation*} e^{L(z)} = z, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

Dado que la función $f(z)=e^z$ es entera y $f'(z)=e^z\neq 0$ para todo $z\in \mathbb{C}$, entonces si restringimos $f:L(D) \to \mathbb{C}$, es claro que $f$ y $L$ serán inversas, por lo que se sigue del teorema de la función inversa (proposición 16.6) que $L$ es analítica en $D$ y su derivada está dada por: \begin{equation*} L'(z) = \frac{1}{f'(L(z))} = \frac{1}{e^{L(z)}} = \frac{1}{z}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

$\blacksquare$

Ejemplo 21.8.
Estudiemos la analicidad de las siguientes funciones y obtengamos su derivada.
a) $f(z) = \operatorname{Log}(z-i)$.
b) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Log}(z+4)}{z^2+i}$.

Solución.
a) Sabemos que la función $g(w) = \operatorname{Log}(w)$ es analítica en el dominio $D=\mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$. Procedemos a determinar el corte de rama de $f$. Sea $w = z – i$, con $z=x+iy \in \mathbb{C}$, entonces: \begin{equation*} w \in (-\infty,0] = L_{-\pi} = \left\{-r \in \mathbb{C} : r \geq 0\right\} \quad \Longleftrightarrow \quad w\in \left\{w\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(w) \leq 0, \,\, \operatorname{Im}(w) = 0\right\}. \end{equation*}

Por lo que, el corte de rama de $f$ está dado por las condiciones: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(z-i) = x \leq 0,\\ \\ \operatorname{Im}(z-i) = y-1 = 0, \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} x \leq 0,\\ \\ y=1. \end{array} \right. \end{equation*}

Es decir, el corte de rama de $f$ es el conjunto: \begin{equation*} A = \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x\leq 0,\,\, y = 1\right\}. \end{equation*}

Entonces, $f$ es analítica en el dominio $D_1 = \mathbb{C} \setminus A$, figura 81(a).

Dado que $f = g\circ h$, con $g(z) = \operatorname{Log}(z)$ y $h(z) = z-i$, entonces por la regla de la cadena tenemos que: \begin{equation*} \frac{d}{dz}\operatorname{Log}(z-i) = g'(h(z)) h'(z) = \frac{1}{z-i}, \quad \forall z\in D_1. \end{equation*}

b) Dado que $f$ es una función racional, es claro que los puntos donde el denominador se anule no serán elementos del dominio de analicidad de $f$. Tenemos que: \begin{equation*} z^2+i = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = \pm \sqrt{1} e^{-i\frac{\pi}{4}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right). \end{equation*}

Por otra parte, procediendo como en el inciso anterior, para $w=z+4$, con $z=x+iy\in\mathbb{C}$, tenemos que las condiciones que determinan el corte de rama de $f$ son: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(z+4) = x +4 \leq 0,\\ \\ \operatorname{Im}(z+4) = y = 0, \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} x \leq -4,\\ \\ y=0. \end{array} \right. \end{equation*}

De donde se sigue que el corte de rama de $f$ es el conjunto: \begin{equation*} B = \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x\leq-4,\,\, y=0 \right\}. \end{equation*}

Por lo que, al tener los puntos donde $f$ no está definida y el corte de rama del númerador, concluimos que $f$ es analítica en el dominio, figura 81(b): \begin{equation*} D_2 = \mathbb{C} \setminus \left\{ B \cup \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right), \frac{\sqrt{2}}{2}\left(i-1\right)\right\}\right\}. \end{equation*}

Procedemos a obtener la derivada de $f$ utilizando las reglas de derivación y la regla de la cadena, entonces: \begin{align*} \frac{d}{dz}f(z) &= \frac{\left[\frac{d}{dz} \operatorname{Log}(z+4)\right] – \left[\frac{d}{dz}(z^2+i)\right]\operatorname{Log}(z+4)}{(z^2+i)^2}\\ & = \frac{\left[\frac{1}{z+4}\right] -\left[2z\right]\operatorname{Log}(z+4)}{(z^2+i)^2}\\ & = \frac{z^2+i-2z(z+4)\operatorname{Log}(z+4)}{(z^2+i)^2(z+4)}, \quad \forall z\in D_2. \end{align*}

Figura 81: Dominios de analicidad de las funciones del ejemplo 21.8.

Proposición 21.7.
Sean $D\subset \mathbb{C}\setminus\{0\}$ un dominio y $f:D \to \mathbb{C}$ una función analítica. Entonces $f$ es una rama del logaritmo si y solo si $f'(z) = 1/z$ para todo $z\in D$ y $e^{f(a)} = a$ para al menos un $a \in D$.

Demostración. Dadas las hipótesis.

$\Rightarrow)$

Supongamos que $f$ es una rama del logaritmo, entonces por definición: \begin{equation*} e^{f(z)} = z, \quad \forall z \in D. \end{equation*}

Claramente $e^{f(a)} = a$ para al menos un $a\in D$.

Por otra parte, dado que $f$ es analítica en $D$, tenemos que la función $e^{f(z)}$ es analítica en $D$, entonces derivando de ambos lados de la igualdad, por la regla de la cadena, tenemos que: \begin{equation*} e^{f(z)} \cdot f'(z) = 1 \quad \Rightarrow \quad f'(z) = \frac{1}{e^{f(z)}}, \end{equation*}

por lo que: \begin{equation*} f'(z) = \frac{1}{z}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

$(\Leftarrow$

Supongamos que $f'(z) = 1/z$ para todo $z\in D$ y que existe $a\in D$ tal que $e^{f(a)} = a$. Veamos que $f$ es una rama del logaritmo.

Definimos a la función $g(z) = z \cdot e^{-f(z)}$. Claramente $g$ es una función analítica en $D$ y por tanto diferenciable. Entonces para todo $z\in D$ se cumple que: \begin{align*} g'(z) & = \frac{d}{dz} \left( z e^{-f(z)} \right)\\ & = e^{-f(z)} \dfrac{dz}{dz} + z \frac{d}{dz}\left( e^{-f(z)}\right)\\ & = e^{-f(z)} – z e^{-f(z)} f'(z)\\ & = e^{-f(z)} – z e^{-f(z)} \left(\frac{1}{z}\right)\\ & = e^{-f(z)} – e^{-f(z)}\\ & = 0, \end{align*} por lo que $g$ es una función constante, es decir: \begin{equation*} g(z) = k, \quad k\in\mathbb{C}. \end{equation*}

Procedemos a determinar el valor de dicha constante. Sea $z = a$, entonces: \begin{equation*} g(a) = a \cdot e^{-f(a)} = k. \end{equation*}

Dado que $e^{f(a)} = a$, tenemos que: \begin{equation*} e^{-f(a)} = \frac{1}{a}, \end{equation*}

por lo tanto: \begin{equation*} k = a \cdot e^{-f(a)} = a \left(\frac{1}{a} \right) = 1. \end{equation*}

Se sigue que $g(z) = 1$, es decir: \begin{equation} z \cdot e^{-f(z)} = 1, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} e^{f(z)} = z, \quad \forall z\in D, \end{equation*} por lo que $f$ es una rama del logaritmo.

$\blacksquare$

Proposición 21.8.
Sean $D\subset \mathbb{C}\setminus\{0\}$ un dominio y $L:D \to \mathbb{C}$ una rama del logaritmo en $D$. Entonces, todas las ramas del logaritmo en $D$ son de la forma:
\begin{equation*} l(z) = L(z) + i2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z} \tag{21.1}. \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, primeramente notemos que para $k\in\mathbb{Z}$ la función $l(z)$ dada en (21.1) es continua en $D$ y: \begin{equation*} e^{l(z)} = e^{L(z) + i2\pi k} = e^{L(z)}e^{i2\pi k} = e^{L(z)} = z, \end{equation*} es decir que $l(z)$ define otra rama del logaritmo en $D$.

Supongamos que $l:D\to\mathbb{C}$ es otra rama del logaritmo en $D$, distinta de $L$. Entonces para todo $z\in D$ tenemos que: \begin{equation*} e^{L(z) – l(z)} = \frac{e^{L(z)}}{e^{l(z)}} = \frac{z}{z} = 1. \end{equation*}

De acuerdo con la proposición 20.2(10), lo anterior implica que $L(z) – l(z) = i2k\pi$, para algún $k\in\mathbb{Z}$. Notemos que el mismo $k\in\mathbb{Z}$ funciona para todo $z\in D$, ya que si definimos a la función: \begin{equation*} k(z) = \frac{L(z) – l(z)}{i2\pi}, \end{equation*} es claro que $k(z)$ es una función continua en $D$ y su imagen es un subconjunto de $\mathbb{Z}$. Dado que $D$ es conexo y $k(z)$ es continua, entonces por la proposición 10.3 tenemos que $k(D)$ es un conjunto conexo, por lo que $k(D) = \left\{k\right\}$ para un único $k\in\mathbb{Z}$ tal que $l(z) = L(z) + i2k\pi$ para todo $z\in D$. Es decir, dos ramas del logaritmo en $D$ difieren a lo más en un múltiplo entero de $2\pi i$, por lo que su diferencia es constante, de donde se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Ejemplo 21.9.
Determinemos los puntos de ramificación de la función multivaluada $F(z) = \operatorname{log}(z^2-1)$.

Solución. Primeramente notemos que la función multivaluada: \begin{equation*} G(w) = \operatorname{log}(w) = \operatorname{ln}|w| + i \operatorname{arg}(w), \end{equation*} no está definida para $w = 0$, por lo que tiene sentido que dicho punto sea un punto de ramificación de $G$, lo cual es claro desde que $w=0$ es un punto de ramificación de la función multivaluada $\operatorname{arg}(w)$, pues siempre que un punto arbitrario de una vuelta completa alrededor de dicho punto, su argumento habrá aumentado en $2\pi$ y por tanto habrá cambiado de rama del argumento.

Notemos que: \begin{align*} F(z) & =\operatorname{log}(z^2-1)\\ & =\operatorname{log}\left((z-1)(z+1)\right)\\ & = \operatorname{log}(z-1) + \operatorname{log}(z+1). \end{align*}

Entonces, considerando lo anterior, tenemos que los posibles puntos de ramificación son $z=1$ y $z=-1$.

Sean: \begin{align*} z-1 = r_1 e^{i\theta_1}, \quad r_1 = |z-1|, \,\, \theta_1 = \operatorname{arg}(z-1),\\ z+1 = r_2 e^{i\theta_2}, \quad r_2 = |z+1|, \,\, \theta_2 = \operatorname{arg}(z+1), \end{align*}

entonces: \begin{equation*} F(z) = \operatorname{ln}(r_1) + \operatorname{ln}(r_2) + i(\theta_1 + \theta_2). \end{equation*}

Procediendo como en el ejemplo 13.15, si tomamos un punto $z_0$ sobre una circunferencia con centro en el punto $z=1$ y de radio lo suficientemente pequeño como para que el punto $z=-1$ sea exterior a ella, entonces tenemos que: \begin{equation*} F(z_0) = \operatorname{ln}(r_1) + \operatorname{ln}(r_2) + i(\theta_1 + \theta_2). \end{equation*}

Si el punto $z_0$ da una vuelta alrededor de $z=1$, entonces solo el argumento de $z_0-1$ se verá modificado, es decir: \begin{equation*} F(z_0) = \operatorname{ln}(r_1) + \operatorname{ln}(r_2) + i(\theta_1 + + 2\pi + \theta_2), \end{equation*} por lo que $F$ cambio de rama. Entonces $z=1$ es un punto de ramificación de $F$.

De manera análoga podemos concluir que $z=-1$ también es un punto de ramificación de $F$.

A diferencia del ejemplo 13.15, en este caso el punto $z_\infty = \infty$ sí será un punto de ramificación de $F$.

Tenemos que: \begin{align*} F\left(\frac{1}{z}\right) & =\operatorname{log}\left(\frac{1}{z^2}-1\right)\\ & =\operatorname{log}\left(\frac{1 – z^2}{z^2}\right)\\ & = \operatorname{log}(1-z^2) – \operatorname{log}(z^2)\\ & = \operatorname{log}(1-z^2) – 2\operatorname{log}(z). \end{align*}

Entonces, es claro que $z=0$ es un punto de ramificación de $F(1/z)$, por lo que $z_\infty = \infty$ será también un punto de ramificación de $F(z)$.

Al igual que en el caso real, podemos utilizar a las funciones complejas exponencial y logaritmo para definir a las potencias complejas. Recordemos que para todo $a>0$ y $b\in\mathbb{R}$, definimos a la potencia real de base $a$ y exponente $b$ como $a^b = e^{b \operatorname{ln}(a)}$.

Sabemos que para todo $z\neq 0$ se cumple que: \begin{equation*} z = e^{\operatorname{log}(z)}, \end{equation*} pero como la función $\operatorname{log}(z)$ es multivaluada, entonces existen infinitos logaritmos de $z$, tantos como múltiplos enteros de $i2\pi$, pues: \begin{equation*} \operatorname{log}(z) = \operatorname{Log}(z) + i2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Considerando lo anterior, tenemos la siguiente:

Definición 21.5. (Potencias complejas.)
Sean $a\in\mathbb{C}$ y $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Definimos a la potencia compleja, de base $z$ y exponente $a$, como: \begin{equation*} z^{a} = e^{a \operatorname{log}(z)}. \end{equation*}

Observación 21.9.
En general, la potencia compleja de $z\neq 0$ define a una función multivaluada, por lo que, al elegir una rama del logaritmo complejo obtendremos una función univaluada a la cual llamaremos rama de la potencia compleja. En particular, si elegimos a la rama principal del logaritmo entonces obtendremos el valor principal o la rama principal de $z^{a}$, es decir: \begin{equation*} z^{a} = e^{a \operatorname{Log}(z)}. \end{equation*}

Por otra parte, si elegimos a una rama $I$ del logaritmo, entonces obtenemos la rama $I$ de $z^{a}$, es decir: \begin{equation*} z^{a} = e^{a \operatorname{Log}_{I}(z)}. \end{equation*}

Recordemos que para hablar de ramas de una función multivaluada debemos tener funciones continuas, por lo que, de acuerdo con los resultados previos, bastará con tomar intervalos abiertos $I$ de longitud $2\pi$, es decir de la forma $I=(\alpha, \alpha+2\pi)$, con $\alpha\in \mathbb{R}$ fijo, para garantizar que la rama del logaritmo elegida sea en efecto continua.

Ejemplo 21.10.
Determinar todos los valores de las siguientes potencias complejas.
a) $1^i$.
b) $(-2)^i$.
c) $i^{-2i}$.

Solución.
a) Dado que $|1| = 1$ y $\operatorname{Arg}(1) = 0$, entonces: \begin{align*} \operatorname{Log}(1) & = \operatorname{ln}(1) + i \operatorname{Arg}(1)\\ & = 0 + i 0\\ & = 0, \end{align*} de donde $\operatorname{log}(1) = \operatorname{Log}(1) + i2\pi k = i2\pi k$, con $k\in\mathbb{Z}$. Entonces: \begin{equation*} 1^i = e^{i \operatorname{log}(1)} = e^{-2\pi k}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

b) De acuerdo con el ejercicio 21.1(c) sabemos que $\operatorname{log}(-2) = \operatorname{ln}(2) + i\left(\pi + 2\pi k\right)$, con $k\in\mathbb{Z}$. Entonces: \begin{equation*} (-2)^i = e^{i \operatorname{log}(-2)} = e^{i\operatorname{ln}(2)} e^{-\left(\pi + 2\pi k\right)}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

c) Por el ejercicio 21.1(a) sabemos que $\operatorname{log}(i) = i\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$, con $k\in\mathbb{Z}$. Entonces: \begin{equation*} i^{-2i} = e^{-2i \operatorname{log}(i)} = e^{2\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)} = e^{(4k + 1)\pi}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Es interesante notar que las potencias complejas no siempre devuelven valores complejos, como es el caso de los incisos a) y c) del ejemplo anterior, cuyos valores son siempre números reales.

Ejemplo 21.11.
Para $z=-i$ y $a=1+i$, calculemos las siguientes potencias complejas.
a) Si $I=(-\pi, \pi)$, determinar el valor de $z^a$.
b) Si $I=(0, 2\pi)$, determinar el valor de $z^a$.
c) Determinar todos los valores de $z^a$.

Solución.
a) Si $I=(-\pi,\pi)$, entonces estamos considerando a la rama principal del logaritmo. Para $z=-i$ y $a=1+i$, tenemos que $|z| = 1$ y $\operatorname{Arg}(z) = -\frac{\pi}{2}$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Log}(-i) = \operatorname{ln}(1) + i\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -i\frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Entonces: \begin{align*} (-i)^{1+i} & = e^{(1+i) \operatorname{Log}(-i)}\\ & = e^{(1+i)\left(-i\frac{\pi}{2}\right)}\\ & = e^{-i\frac{\pi}{2}}e^{\frac{\pi}{2}}\\ & = -i e^{\frac{\pi}{2}}. \end{align*}

b) Si $I=(0, 2\pi)$, entonces estamos considerando la rama natural del argumento, por lo que para $z=-i$ tenemos que $\operatorname{Arg}_{(0, 2\pi)}(z) = \frac{3\pi}{2}$. Entonces: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{I}(-i) = \operatorname{ln}(1) + i\left(\frac{3\pi}{2}\right) = i\frac{3\pi}{2}. \end{equation*}

Por lo que: \begin{align*} (-i)^{1+i} & = e^{(1+i) \operatorname{Log}_{I}(-i)}\\ & = e^{(1+i)\left(i\frac{3\pi}{2}\right)}\\ & = e^{i\frac{3\pi}{2}}e^{-\frac{3\pi}{2}}\\ & = -i e^{-\frac{3\pi}{2}}. \end{align*}

Claramente $-i e^{-\frac{3\pi}{2}} \neq -i e^{\frac{\pi}{2}}$, por lo que el valor de $(-i)^{1+i}$ es distinto al considerar estas dos ramas del logaritmo.

c) De acuerdo con el inciso a) tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{log}(-i) = \operatorname{Log}(-i)+i2\pi k = i\frac{\pi}{2}\left(4k-1\right), \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} (-i)^{1+i} = e^{(1+i) \operatorname{log}(-i)} = e^{i\frac{\pi}{2}\left(4k-1\right)} e^{-\frac{\pi}{2}\left(4k-1\right)}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

En particular si $k=1$ obtenemos la rama del inciso b) y si $k=0$ obtenemos la rama del inciso a).

En la observación 21.8 hemos mencionado que en general la función $z^a$, con $z\neq 0$, corresponde con una función multivaluada, por lo que podemos preguntarnos bajo qué condiciones no lo es. Para responder esta pregunta notemos que para $z\neq 0$ y $a\in\mathbb{C}$ se cumple que: \begin{equation*} z^a = e^{a\operatorname{log}(z)} = e^{a\left(\operatorname{Log}(z) + i2\pi k\right)} = e^{a\operatorname{Log}(z)}e^{i2a\pi k}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Por lo que, para determinar el número de valores distintos que toma $z^a$ basta con determinar el número de valores distintos que toma $e^{i2a\pi k}$, con $k\in\mathbb{Z}$. Planteamos los siguientes casos:

  1. Si $a \in\mathbb{Z}$. Si $a$ es un entero tenemos que la expresión $i2a\pi k$ determina un múltiplo entero de $i2\pi$. Entonces, por la proposición 20.2(10), se tiene que $e^{i2a\pi k} = 1$ para todo $k\in\mathbb{Z}$, de donde se concluye que $z^a$ determina un único valor, es decir es una función univaluada, lo cual es concordante con las funciones de la forma $z^n$, con $n\in\mathbb{Z}$, es decir las potencias enteras.
  2. Si $a \in \mathbb{Q}$. Si $a$ es un número real racional entonces se puede escribir de la forma $a = \frac{p}{q}$, con $p,q\in\mathbb{Z}$, $q\neq 0$, coprimos. Por lo que, la expresión $e^{i2a\pi k} = e^{i2\pi \frac{pk}{q}}$ tendrá exactamente $q$ valores distintos para $k = 0, 1, \ldots, q-1$ (observación 5.4, entrada 5). Entonces, para cada valor de $k \in \left\{0, 1, \ldots, q-1\right\}$ obtendremos una potencia compleja distinta, es decir una función de la forma: \begin{equation*} z^{\frac{p}{q}} = e^{\frac{p}{q} \operatorname{Log}(z)} e^{i2\pi\frac{pk}{q}}, \end{equation*} correspondiente con una rama de la función $z^{\frac{p}{q}}$. En particular, para $k=0$ obtendremos la rama principal de la función multivaluada $z^{\frac{p}{q}}$. Es claro que el caso 1 es un caso particular del caso 2 tomando $q=1$.
  3. Si $a \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ ó $a\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$. En este caso tenemos que $a$ puede ser un número real irracional o un número complejo cuya parte imaginaria es distinta de cero. Veamos que en cualquiera de estos casos los valores de la expresión $e^{i2a\pi k}$ serán distintos para todo $k\in\mathbb{Z}$.
    Supongamos que $a \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ y que: \begin{equation*} e^{i2a\pi k} = e^{i2a\pi j}, \quad k,j\in\mathbb{Z}, \tag{21.2} \end{equation*} entonces: \begin{equation*} e^{i2a\pi k – i2a\pi j} = e^{i2a\pi(k -j)} = 1, \quad k,j\in\mathbb{Z}, \end{equation*} pero lo anterior se cumple si y solo si $a(k -j) \in\mathbb{Z}$, lo cual claramente no es posible pues $a$ es un número irracional. Por lo que, la igualdad en (21.2) no se cumple para ningunos enteros $k$ y $j$, es decir que $z^a$ tendrá un número infinito de valores.
    Supongamos ahora que $a = x+iy$, con $y\neq 0$, entonces: \begin{equation*} e^{i2a\pi k} = e^{i2\pi k(x+iy)} =e^{i2\pi k x} e^{-2\pi k y}, \quad k\in\mathbb{Z}, \end{equation*} de donde es claro que la expresión $e^{-2\pi k y}$ determina una infinidad de valores distintos para cada $k\in\mathbb{Z}$, por lo que de nueva cuenta $z^a$ tendrá un número infinito de valores.
    Al igual que en el caso 2, cada valor de $k$ determina una rama distinta de la función $z^a$, sin embargo en este caso se tendrá una infinidad de ramas distintas.

Observación 21.10.
Notemos que nuestra definición de potencia compleja es inconsistente con nuestra definición de la exponencial compleja $e^z$. Si tomamos $z=e$ y $a = z’\in\mathbb{C}$, entonces: \begin{equation*} e^{z’} = e^{z’\operatorname{log}(e)} = e^{z’\operatorname{ln}(e)} e^{i2\pi z’k} = e^{z’} e^{i2\pi z’k}, \quad k\in\mathbb{Z}, \end{equation*} la cual es, en general, una función multivaluada. Por tal motivo, siempre que utilicemos la expresión $e^z$ nos referiremos a la función univaluada exponencial compleja.

Para formalizar lo anterior tenemos la siguiente:

Definición 21.6. (Ramas principales de las funciones $b^z$ y $z^a$.)
Sean $a\in\mathbb{C}$ y $b\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$. Definimos a la función univaluada exponencial compleja de base $b$ como: \begin{equation*} \operatorname{exp}_b(z) = b^z = e^{z\operatorname{Log}(b)}, \quad z\in\mathbb{C}, \end{equation*} la cual corresponde con la rama principal de la función multivaluada $b^z$.

Por otra parte, definimos a la función multivaluada potencia compleja, de exponente $a$, como: \begin{equation*} z^a = e^{a\operatorname{log}(z)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}. \end{equation*}

Observación 21.11.
Es importante mencionar que en general, no todas las propiedades de las potencias reales con las que estamos familiarizados, se cumplen para el caso complejo.

Sean $a,b\in\mathbb{C}$, $z_1, z_2 \in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y $n\in\mathbb{Z}$, en general, no siempre se cumple que:

  1. $\left(z_1 z_2\right)^a = z_1^a z_2^a$.
  2. $\left(z_1\right)^{a+b} = z_1^a z_1^b$.
  3. $ z_1^{a-b} = \dfrac{z_1^a}{z_1^b}$.
  4. $\left(z_1^a\right)^{n} = z_1^{na}$.
  5. $\left(z_1^a\right)^{b} = z_1^{ba}$.

Ejemplo 21.12.
a) Sean $z_1=z_2= – 1$ y $a = 1/2$. Considerando a la rama principal de la función multivaluada $z^a$, tenemos que: \begin{equation*} (z_1 z_2)^a = 1^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\left(\operatorname{Log}(1)\right)} = e^0 =1, \end{equation*}

pero: \begin{equation*} z_1^a = z_2^a = (-1)^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\left(\operatorname{Log}(-1)\right)} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i, \end{equation*} de donde $(z_1 z_2)^a = 1 \neq -1 = z_1^a z_2^a$.

b) Sean $z_1 = – 1$ y $a = 1/2 =-b$. Es claro que $z_1^{a+b} = (-1)^{0} = 1$, pero: \begin{align*} z_1^a = (-1)^{1/2} & = e^{\frac{1}{2}\left(\operatorname{log}(-1)\right)}\\ & = e^{\frac{1}{2}\left(\operatorname{Log}(-1) + i2\pi m\right)}\\ & = e^{\frac{1}{2}\left(i\pi + i2\pi m\right)}\\ & = e^{i\frac{\pi}{2}} e^{i\pi m}\\ & = (-1)^m i, \quad m\in\mathbb{Z}, \end{align*} \begin{align*} z_1^b = (-1)^{-1/2} & = e^{-\frac{1}{2}\left(\operatorname{log}(-1)\right)}\\ & = e^{-\frac{1}{2}\left(i\pi + i2\pi n\right)}\\
& = e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{-i\pi n}\\ & = (-1)^n(-i)\\
& = (-1)^{n+1}i, \quad n\in\mathbb{Z}, \end{align*}

por lo que: \begin{equation*} z_1^{a} z_1^{b}= (-1)^{m+n+1}i^2 =(-1)^{m+n+1}(-1) = (-1)^{m+n+2} = (-1)^{k}, \quad k =m+n+2 \in \mathbb{Z}, \end{equation*} de donde, $z_1^{a+b} = 1 \neq (-1)^k = z_1^a z_1^b$ para todo $k\in\mathbb{Z}$ impar.

c) Sean $z_1 = a = b = i$. Tenemos que: \begin{equation*} z_1^{ab} = i^{i^2} = i^{-1} = \frac{1}{i} = -i. \end{equation*}

Por otra parte: \begin{equation*} i^i = e^{i \operatorname{log}(i)} = e^{i^2\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)} = e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)}, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Entonces, para toda $k\in\mathbb{Z}$ tenemos que: \begin{align*} \left(z_1^a\right)^b = \left(i^i\right)^i = \left( e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)}\right)^i & = e^{i\operatorname{log}\left( e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)}\right)}\\ & = e^{i\operatorname{ln}\left( e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)}\right)} e^{i^2\operatorname{arg}\left( e^{-\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)}\right)}\\ & = e^{-i\frac{\pi}{2}} e^{-i2\pi k} e^{-2\pi n}\\ & = -ie^{-2\pi n}, \quad n\in\mathbb{Z}. \end{align*}

De donde se sigue que $ \left(z_1^a\right)^b \neq z_1^{ab}$ para todo $n\in\mathbb{Z}$, con $n\neq 0$.

En este caso, notemos que para $a=b=i$ y $z_1 \neq 0$, $z_1^{ab}$ define una función univaluada, mientras que $\left(z_1^a\right)^{b}$ determina una función multivaluada.

Proposición 21.9. (Analicidad de las ramas principales de $z^a$ y $b^z$.)
Sean $a\in\mathbb{C}$ y $b\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. La rama principal de la función multivaluada $z^a$, es decir: \begin{equation*} f(z) = z^a = e^{a\operatorname{Log}(z)}, \end{equation*} es analítica en $D = \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$ y su derivada es: \begin{equation*} \frac{d}{dz} z^a = az^{a-1}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

Mientras que la rama principal de la función multivaluada $b^z$, es decir: \begin{equation*} \operatorname{exp}_b(z) = b^z = e^{z\operatorname{Log}(b)}, \end{equation*} es entera y su derivada es: \begin{equation*} \frac{d}{dz} b^z = b^z\operatorname{Log}(b), \quad \forall z\in \mathbb{C}. \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, primeramente notemos que la rama principal de la función multivaluada $z^a$ está dada como la composición de las funciones $g(z) = e^z$ y $h(z) = a \operatorname{Log}(z)$, de las cuales $g$ es una función entera y $h$ es analítica en el dominio $D = \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, por lo que $f=g\circ h$ también será analítica en $D$ y podemos obtener su derivada mediante la regla de la cadena, es decir para todo $z\in D$ tenemos que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} z^a = \frac{d}{dz} g(h(z)) = g'(h(z)) h'(z) = e^{a \operatorname{Log}(z)} \left(\frac{a}{z}\right) = z^a\left(\frac{a}{z}\right) = az^{a-1}. \end{equation*}

Análogamente, notemos que la rama principal de la función multivaluada $b^z$ está dada como la composición de las funciones $g(z) = e^z$ y $h(z) = z \operatorname{Log}(b)$, las cuales son funciones enteras, por lo que $\operatorname{exp}_b = g \circ h$ también es una función entera. Entonces, utilizando la regla de la cadena, para todo $z\in \mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} \frac{d}{dz} b^z = \frac{d}{dz} g(h(z)) = g'(h(z)) h'(z) = e^{z \operatorname{Log}(b)} \left(\operatorname{Log}(b)\right) = b^z\operatorname{Log}(b). \end{equation*}

$\blacksquare$

Ejemplo 21.13.
Determinemos la rama $f$ de la función multivaluada $F(z) = \sqrt[4]{z-i}$ para la cual $f(1+i)=1$ y calculemos $f(0)$, $f(1)$, $f(-1)$. Veamos donde es analítica $f$ y obtengamos su derivada.

Solución. Notemos que: \begin{equation*} F(z) = \sqrt[4]{z-i} = e^{\frac{1}{4} \operatorname{log}(z-i)} = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(z-i)} e^{i2\pi \frac{k}{4}}, \end{equation*} para $k =0,1,2,3$.

Entonces, para cada valor de $k$ obtendremos una rama diferente de $F$.

Dado que $\operatorname{Log}(1) = 0$, entonces: \begin{equation*} f(1+i) = F_k(1+i) = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(1)} e^{i2\pi \frac{k}{4}} = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad k =0, \end{equation*} por lo que la rama buscada es la función: \begin{equation*} f(z):= F_0(z) = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(z-i)}. \end{equation*}

Tenemos que: \begin{equation*} f(0) = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(-i)} = e^{\frac{1}{4} \left[0-i\frac{\pi}{2}\right]} = e^{-i\frac{\pi}{8}}. \end{equation*} \begin{equation*} f(1) = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(1-i)} = e^{\frac{1}{4} \left[\operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right)-i\frac{\pi}{4}\right]} = e^{\frac{\operatorname{ln}(2)}{8}} e^{-i\frac{\pi}{16}}. \end{equation*} \begin{equation*} f(-1) = e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(-1-i)} = e^{\frac{1}{4} \left[\operatorname{ln}\left(\sqrt{2}\right)-i\frac{3\pi}{4}\right]} = e^{\frac{\operatorname{ln}(2)}{8}} e^{-i\frac{3\pi}{16}}. \end{equation*}

Por último, de acuerdo con el ejemplo 21.7(a) sabemos que la función $h(z) = \frac{1}{4}\operatorname{Log}(z-i)$ es analítica en el dominio, figura 81(a): \begin{equation*} D = \mathbb{C} \setminus \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x\leq 0, y =1\right\}. \end{equation*}

Por lo que, al ser $f = g \circ h$, es decir la composición de $g(z) = e^z$ y $h(z) = \frac{1}{4}\operatorname{Log}(z-i)$, entonces $f$ es analítica en $D$ y por la regla de la cadena su derivada es: \begin{align*} \frac{d}{dz} f(z) = g'(h(z)) h'(z) & = \left(e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(z-i)}\right) \frac{1}{4}\left(\frac{1}{z-i}\right)\\ & = \frac{1}{4(z-i)}\left(e^{\frac{1}{4} \operatorname{Log}(z-i)}\right)\\ & = \frac{1}{4(z-i)}\left(\left(z-i\right)^{1/4}\right)\\ & = \frac{1}{4}\left(z-i\right)^{-\frac{3}{4}} \quad \forall z\in D. \end{align*}

En el resultado anterior hemos considerando la rama principal del logaritmo para poder escribir a $f$ como $f(z) = \left(z-i\right)^{1/4}$, es decir estamos trabajando con la rama principal de la función multivaluada $F(z) = \sqrt[4]{z-i}$.

Considerando este hecho, podemos utilizar la regla de la cadena y el resultado dado en la proposición 21.8 para obtener la derivada de $f$ de manera directa, es decir: \begin{equation*} \frac{d}{dz} f(z) = \frac{1}{4}\left(z-i\right)^{\frac{1}{4} – 1} = \frac{1}{4}\left(z-i\right)^{-\frac{3}{4}}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

Tarea moral

  1. Completa las pruebas de las proposiciones de esta entrada.
  2. Determina todas las soluciones para las siguientes ecuaciones.
    a) $e^z = 4i$.
    b) $e^{z-1} = -ie^3$.
    c) $e^{2z} + e^z + 1 = 0$.
    d) $e^z = 2-2i$
  3. Determina todos los valores de las siguientes potencias complejas.
    a) $\left(-1\right)^{3i}$.
    b) $\left(-1+i\sqrt{3}\right)^{3/2}$.
    c) $\left(1+i\right)^{1-i}$.
    d) $\left(-1\right)^{\pi}$.
  4. Para cada una de las siguientes funciones determina su dominio de analicidad y encuentra su derivada.
    a) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Log}(3z-1)}{z^2+1}$.
    b) $f(z) = \operatorname{Log}(z^3+1)$.
    c) $f(z) = \operatorname{Log}_{I}(z+1)$, con $I=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\right)$.
    d) $f(z) = 3z^2 – e^{i2z} + i\operatorname{Log}(z)$.
  5. Considera la función multivaluada $F(z) = z + \sqrt[3]{\left(z-1\right)^2}$. A partir del corte de rama, figura 82, dado por: \begin{equation*} CR = \left\{ z=x+iy \in\mathbb{C} : x=1,\,\, -\infty< y\leq 0\right\}, \end{equation*} determina la rama $f$ tal que $f(0) = 1$ y calcula $f(1+i)$ y $f(-i)$. ¿Dónde es analítica $f$? Obtén su derivada.
    Hint: Observa que si $z\in\mathbb{C}\setminus CR$, entonces $z – 1 = |z-1| e^{i\theta}$, con $|z-1|>0$ y $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{3\pi}{2}$. En particular, para $z_0 = 0$ se cumple que $\theta_0 = \pi$.
Figura 82: Corte de rama $CR$ ejercicio 5.
  1. Sean $D\subset \mathbb{C} \setminus\{0\}$ un dominio y $n\in\mathbb{Z}$. Supón que $f:D\to\mathbb{C}$ es una rama del logaritmo en $D$. Prueba que: \begin{equation*} z^n = e^{nf(z)}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}
  2. Considera a la función multivaluada $F(z) = \operatorname{log}(iz-1)$. Determina sus puntos de ramificación. Después, considera a la rama principal $f(z)=\operatorname{Log}(iz-1)$. ¿Cuál es el corte de rama de $f$? ¿Cuál es el dominio de analicidad de $f$? Obtén su derivada.
  3. Muestra que las tres ramas de la función $z^{1/3}$ son: \begin{equation*} b_1(z) = e^{\frac{1}{3} \operatorname{Log}(z)}, \quad b_2(z) = e^{i\frac{2\pi}{3}}e^{\frac{1}{3} \operatorname{Log}(z)}, \quad b_3(z) = e^{i\frac{4\pi}{3}} e^{\frac{1}{3} \operatorname{Log}(z)}. \end{equation*} ¿Cuál es el dominio de analicidad de cada rama? Determina la derivada de cada rama.
  4. Considera la función multivaluada $F(z) = \sqrt[4]{z}$. Utilizando la rama natural del logaritmo, determina la rama $f$ tal que $f(-1) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right)$. ¿Cuál es el dominio de analicidad de $f$?. Determina el valor de $f'(-i)$.
    Hint: Recuerda que la rama natural del logaritmo es: \begin{equation*} \operatorname{Log}_{(0, 2\pi)}(z) = \operatorname{ln}|z| + i\operatorname{Arg}_{(0,2\pi)}(z), \end{equation*} la cual es analítica en el dominio $D = \mathbb{C}\setminus[0, \infty)$.

Más adelante…

En esta entrada hemos dado una definición para las funciones logaritmo y exponecial complejas. A diferencia de sus versiones reales, vimos que estas funciones son, en general, multivaluadas, por lo que debemos elegir alguna rama para poder estudiar las propiedades de cada una de estas funciones, como la continuidad y analicidad. Por simplicidad es común trabajar con las ramas principales, sin embargo en ciertas ocasiones cambiar de ramas nos permitirá resolver algún problema de manera más sencilla.

De acuerdo con los resultados de esta entrada, vimos que la rama principal del logaritmo extiende al logaritmo natural real y que nos permite obtener logaritmos para número reales negativos. Además de que bajo ciertas restricciones esta rama es una de las inversas de la función exponencial compleja.

Para el caso de las potencias complejas, vimos que, en general, no se cumplen las propiedades de las potencias reales con las que estamos familiarizados. Sin embargo, trabajar con potencias complejas nos facilita el trabajo a la hora de determinar ramas específicas de una función multivaluada.

La siguiente entrada definiremos otras funciones elementales, las funciones trigonométricas e hiperbólicas y estudiaremos algunas de sus propiedades más elementales. Veremos que a través de la exponencial y el logaritmo podremos definir a estas funciones y sus inversas.

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Variable Compleja I: Exponencial compleja

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

Hasta ahora hemos visto la definición de función compleja y hemos estudiado los conceptos de límite, continuidad y diferenciabilidad de dicho objeto matemático. En la entrada anterior, a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos caracterizado la diferenciabilidad compleja y probamos que no basta la diferenciabilidad de las funciones escalares reales para garantizar la diferenciabilidad compleja, aún cuando toda función compleja queda completamente determinada por dos funciones escalares reales a las que llamamos su parte real e imaginaria.

En esta entrada definiremos una de las funciones complejas más elementales, recordando que hemos hecho una extensión de los números reales $\mathbb{R}$ a través de la construcción del campo de los números complejos $\mathbb{C}$, por lo que nos gustaría que la función exponencial compleja preservará las propiedades de su versión real correspondiente. Motivados en este hecho procedemos a deducir una definición para la función exponencial compleja.

Queremos definir una función analítica $f$ tal que si $z_1, z_2\in\mathbb{C}$, entonces: \begin{equation*} f(z_1 + z_2) = f(z_1)f(z_1), \end{equation*} además, que para toda $z=x\in\mathbb{R}$ cumpla que: \begin{equation*} f(z) = f(x) = e^x. \end{equation*}

De acuerdo con estas propiedades, si $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se debe cumplir que: \begin{align*} f(z) &= f(x+iy)\\ &= f(x)f(iy)\\ &= e^x f(iy). \end{align*}

Tomando $f(iy) = A(y) + iB(y)$, tenemos: \begin{align*} f(z) &= e^x\left[ A(y) + iB(y) \right]\\ &= e^xA(y) + ie^xB(y), \end{align*} de donde $u(x,y) = e^x A(y)$ y $v(x,y) = e^x B(y)$.

Para que $f$ sea una función analítica se deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir: \begin{equation*} u_x(x,y) = e^x A(y) = e^x B'(y) = v_y(x,y) \end{equation*} \begin{equation*} u_y(x,y) = e^x A'(y) = – e^x B(y) = – v_x(x,y), \end{equation*} por lo que las funciones reales $A(y)$ y $B(y)$ deben cumplir que:
\begin{align*} A(y) = B'(y),\\ B(y) = -A'(y), \tag{20.1} \end{align*} de donde: \begin{equation*} A»(y) = – A(y), \quad B»(y) = – B(y). \end{equation*}

Sean $\alpha,\beta \in\mathbb{R}$. Tomando: \begin{equation*} A(y) := \alpha \operatorname{cos}(y) + \beta \operatorname{sen}(y), \end{equation*} tenemos que: \begin{equation*} A'(y) = – \alpha \operatorname{sen}(y) + \beta \operatorname{cos}(y), \end{equation*} \begin{equation*} A»(y) = – \left[\alpha \operatorname{cos}(y) – \beta \operatorname{sen}(y)\right] = – A(y), \end{equation*} de donde: \begin{equation*} B(y) := -\beta \operatorname{cos}(y) + \alpha \operatorname{sen}(y), \end{equation*} \begin{equation*} B»(y) = \left[-\beta \operatorname{cos}(y) + \alpha \operatorname{sen}(y)\right] = -B(y). \end{equation*}

Claramente las funciones reales $A(y)$ y $B(y)$ propuestas cumplen (20.1).

Entonces, para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{align*} f(z) & = e^x\left[ A(y) + iB(y) \right]\\ &= e^x\left[ (\alpha-i\beta)\operatorname{cos}(y) + (\beta + i \alpha)\operatorname{sen}(y) \right]. \end{align*} Como $f(z) = e^x$ para $z=x+i0\in\mathbb{R}$, entonces: \begin{align*} f(z) & = e^x \left[(\alpha-i\beta)\operatorname{cos}(0) + (\beta + i \alpha)\operatorname{sen}(0)\right]\\ & = e^x\left(\alpha-i\beta\right)\\ & = e^x, \end{align*} lo cual se cumple si y solo si $\alpha = 1$ y $\beta = 0$.

De acuerdo con lo anterior hemos motivado la siguiente:

Definición 20.1. (Exponencial compleja.)
Si $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces se define a la función exponencial compleja, denotada por $\operatorname{exp}(z)$, como el número complejo: \begin{equation*} \operatorname{exp}(z) = e^x\left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right], \end{equation*} donde $e^x$, $\operatorname{cos}(y)$ y $\operatorname{sen}(y)$ corresponden a las funciones reales exponencial, coseno y seno, respectivamente.

Observación 20.1.
La función exponencial compleja extiende a la exponencial real, por lo que se utilizarán de forma indistinta las expresiones $\operatorname{exp}(z)$ y $e^z$ para denotar a dicha función. La justificación de este hecho se dará más adelante al hablar de series de potencias, donde se verá que las definiciones de las funciones más elementales, en particular de la exponencial compleja, que veremos en esta unidad coinciden con las definiciones de nuestros cursos de Cálculo.

Ejemplo 20.1.
Obtengamos el valor de $f(z)= e^z$ para $z=3-i\frac{\pi}{3}$, $z = 2+3\pi i$ y $z = -1+\pi i$.

Solución. De acuerdo con la definición de la función exponencial compleja tenemos que:
a) $f\left(3-i\frac{\pi}{3}\right) = e^{3}\left[\operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right] = e^{3} \left( \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
b) $f(2+3\pi) = e^{2}\left[\operatorname{cos}(3\pi) + i \operatorname{sen}(3\pi)\right] = e^{2}\left(-1\right) = -e^2$.
c) $f(-1+\pi i) = e^{-1}\left[\operatorname{cos}(\pi) + i \operatorname{sen}(\pi)\right] = e^{-1} (-1) = -\dfrac{1}{e}$.

Proposición 20.1. (Analicidad de la exponencial compleja.)
La función exponencial compleja, $f(z) = e^z$, es una función entera y su derivada está dada por: \begin{equation*} \frac{d}{dz} e^z = e^z. \end{equation*}

Demostración.
De acuerdo con la definición de la función exponencial compleja para $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{align*} \operatorname{Re}(e^z) = u(x,y) = e^x \operatorname{cos}(y),\\ \operatorname{Im}(e^z) = v(x,y) = e^x \operatorname{sen}(y). \end{align*}

Es claro que las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son continuas en $\mathbb{R}^2$ y que ambas tienen derivadas parciales de primer orden continuas para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. Notemos que: \begin{align*} \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \operatorname{cos}(y) = \frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \operatorname{sen}(y) = -\frac{\partial v}{\partial x}, \end{align*} es decir que $u$ y $v$ satisfacen las ecuaciones de C-R para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$, por lo que de acuerdo con el teorema 18.1 (o el teorema 18.3) concluimos que la función $f(z) = e^z$ es analítica en $\mathbb{C}$, por lo que es una función entera.

Más aún, sabemos que la derivada de $f$ está dada por: \begin{align*} \frac{d}{dz}e^z & = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x}\\ & = e^x \operatorname{cos}(y) + i e^x \operatorname{sen}(y)\\ & =e^x\left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right]\\ & = e^z. \end{align*} para todo $z=x+iy\in \mathbb{C}$.

$\blacksquare$

Corolario 20.1. (Continuidad de la exponencial compleja.)
La función exponencial compleja, $f(z) = e^z$, es continua en $\mathbb{C}$.

Demostración. Se sigue de la proposición 16.1.

$\blacksquare$

Observación 20.2.
Notemos que utilizando la proposición 20.1 y la regla de la cadena podemos deducir que si $f(z)$ es una función analítica en un dominio $D$, entonces la función $e^{f(z)}$ también será analítica en $D$ y su derivada está dada por: \begin{equation*} \frac{d}{dz}e^{f(z)} = f'(z)e^{f(z)}, \quad \forall z\in D. \end{equation*}

Ejemplo 20.2.
Estudiemos la analicidad de las siguientes funciones y determinemos su derivada.
a) $f(z) = iz^3(z-e^{z^2})$.
b) $f(z) = e^{z^2-(1+i)z+3}$.

Solución.
a) Primeramente notemos que $f$ está dada como el producto de las funciones $h(z) = iz^3$ y $g(z) = z-e^{z^2}$. Claramente la función $h$ es entera pues es un polinomio complejo. Por otra parte, notemos que $h$ está dada como la resta de dos funciones, pero ambas son funciones enteras pues la primera función es un polinomio complejo y la segunda función es una composición entre las funciones $e^z$ y $z^2$ que sabemos son enteras, por tanto la función $f$ es entera y su derivada está dada por la regla del producto, es decir: \begin{align*} f'(z) & = h'(z) g(z) + g'(z)h(z)\\ & = 3iz^2\left(z-e^{z^2}\right) + \left(1-e{z^2}(2z)\right)\left(iz^{3}\right)\\ & = iz^{2}\left(4z – e^{z^2}\left(2z^2+3\right)\right). \end{align*} b) Notemos que $f$ está dada por la composición de las funciones $h(z) = e^z$ y $g(z)= z^2-(1+i)z+3$ las cuales son enteras por tratarse de la exponencial compleja y de un polinomio complejo, por lo que considerando la regla de la cadena tenemos que su derivada es: \begin{align*} f'(z) & = h'(g(z))g'(z)\\ & = e^{z^2-(1+i)z+3}\left(2z-1-i\right). \end{align*}

Ejemplo 20.3.
Veamos que al igual que en el caso real, para la función exponencial compleja se cumple que: \begin{equation*} \lim_{z\to 0} \frac{e^z – 1}{z} = 1. \end{equation*}

Solución. De acuerdo con la proposición 20.1 sabemos que la función $f(z) = e^z$ es entera. En particular notemos que: \begin{equation*} 1 = e^0 = f'(0) = \lim_{z \to 0}\frac{f(z) – f(0)}{z-0} = \lim_{z \to 0}\frac{e^z – 1}{z}. \end{equation*}

Ejemplo 20.4.
Estudiemos la analicidad de las siguientes funciones. Determinemos los puntos donde son al menos diferenciables y de existir obtengamos sus derivadas.
a) $f(z) = e^{|\,z\,|^2}$.
b) $f(z) = \overline{z} e^{-|\,z\,|^2}$.

Solución.
a) De acuerdo con el ejercicio 3(a) de la entrada 17, sabemos que la función $g(z) = |\,z\,|^2$ no es analítica para ningún $z\in\mathbb{C}$, pero que al menos es diferenciable en $z=0$. Considerando la observación 20.2 veamos que esto se mantiene para la función $f$.

Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$, entonces: \begin{equation*} f(z) = e^{|\,z\,|^2} = e^{x^2 + y^2}, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} u(x,y) = e^{x^2 + y^2}, \quad v(x,y) = 0. \end{equation*}

Notemos que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} u_x(x,y) = 2x e^{x^2 + y^2}, \quad u_y(x,y) = 2y e^{x^2 + y^2}, \end{equation*} \begin{equation*} v_x(x,y) = 0, \quad u_y(x,y) = 0. \end{equation*}

Entonces $ u_x(x,y) = v_y(x,y)$ y $ u_y(x,y) = – v_x(x,y)$ si y solo si $x=0=y$, es decir para $z=0$.

Puesto que las derivadas parciales existen y son continuas para todo $z=x+iy \in\mathbb{C}$, entonces $f$ solo es diferenciable en $z=0$ y como no existe disco abierto alrededor de $z=0$ donde $f$ sea diferenciable, entonces $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Por último, tenemos que: \begin{align*} f'(0) & = \lim_{z\to 0}\frac{f(z) – f(0)}{z-0}\\ & = \lim_{z\to 0}\frac{e^{|\,z\,|^2} – 1}{z}\\ & = \lim_{z\to 0} \overline{z} \left(\frac{e^{|\,z\,|^2} – 1}{z \overline{z}}\right)\\ & = \left( \lim_{z\to 0} \overline{z}\right) \left(\lim_{z\to 0}\frac{e^{|\,z\,|^2} – 1}{|\,z\,|^2}\right)\\ & = 0(1)\\ & = 0. \end{align*}

b) Podemos proceder de manera similar que en el inciso anterior, sin embargo considerando los resultados de la entrada anterior, tenemos que: \begin{equation*} f(z) = \overline{z} e^{-|\,z\,|^2} = \overline{z} e^{-z \overline{z}} =g(z,\overline{z}). \end{equation*}

Por los ejercicios 8 y 9 de la entrada anterior tenemos que: \begin{equation*} f_{z} = \frac{\partial g}{\partial z} = 0 + \overline{z}\left(e^{-z \overline{z}} \left(-\overline{z}\right)\right) = – \overline{z}^2 e^{-z \overline{z}} = – \overline{z}^2 e^{-|\,z\,|^2}. \end{equation*} \begin{equation*} f_{\overline{z}} = \frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = e^{-z \overline{z}} + \overline{z}\left(e^{-z \overline{z}} \left(-z\right)\right) = e^{-z \overline{z}}\left(1-z\overline{z}\right) = e^{-|\,z\,|^2}\left(1-|\,z\,|^2\right). \end{equation*}

Claramente $f_z$ y $f_{\overline{z}}$ existen y son continuas para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que las derivadas parciales $u_x, u_y, v_x$ y $v_y$ existen y son continuas para todo punto $z=x+iy\in\mathbb{C}$, es decir $f$ es de clase $C^1$.

Notemos que: \begin{equation*} f_{\overline{z}} =0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{-|\,z\,|^2}\left(1-|\,z\,|^2\right) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 1-|\,z\,|^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad |\,z\,| = 1. \end{equation*}

Entonces, las ecuaciones de C-R solo la satisfacen los puntos $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tales que $|\,z\,|=1$, es decir los puntos sobre la circunferencia unitaria $C(0,1)$, por lo que al existir y ser continuas las cuatro derivadas parciales en todo $\mathbb{C}$, en particular en $C(0,1)$, concluimos que $f$ solo es diferenciable en los puntos sobre la circunferencia unitaria. Más aún, para $z=x+iy\in C(0,1)$, es decir $|\,z\,|=1$, tenemos que: \begin{align*} f'(z) = f_z(z) & = – \overline{z}^2 e^{-|\,z\,|^2}\\ & = -(\overline{x+iy})^2 e^{-(1^2)}\\ & = -e^{-1}\left(x-iy\right)^2\\ & = -e^{-1}\left(x^2-i2xy-y^2\right)\\ & = -e^{-1}\left(x^2-i2xy-(1-x^2)\right)\\ & = e^{-1}\left(1-2x^2+i2xy\right). \end{align*}

Dado que para ningún $z\in C(0,1)$ existe disco abierto, alrededor de dicho punto, donde $f$ sea diferenciable, entonces $f$ no es analítica en ningún punto en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 20.5.
Determinemos dónde es analítica la función $f(z) = \sqrt{1+e^z}$ y obtengamos su derivada.

Solución. Recordemos que la función $F(w) = \sqrt{w}$ es multivaluada, por lo que si elegimos a la rama principal del argumento, es decir $-\pi < \operatorname{Arg}(w) \leq \pi$ obtenemos a la rama principal de $F$, que de acuerdo con el ejemplo 16.5 sabemos que dicha rama es analítica en el dominio: \begin{equation*} D = \mathbb{C} \setminus (-\infty,0] = \mathbb{C} \setminus \left\{w\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(w)\leq 0, \operatorname{Im}(w)=0 \right\}. \end{equation*}

Procedemos a determinar el corte de rama de la función $f$ restringida a la rama principal del argumento, es decir los puntos donde $f$ es discontinua, entonces para $w=1+e^z$ y $z=x+iy\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} \left{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(1+e^z) = 1 + e^x \operatorname{cos}(y)\leq 0,\ \ \operatorname{Im}(1+e^z) = e^x\operatorname{sen}(y) = 0. \end{array} \right. \end{equation*}

Dado que para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple que $e^x>0$, entonces de la segunda condición se sigue que $y=k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$.

Notemos que si $k=2n$, con $n\in\mathbb{Z}$, entonces $\operatorname{cos}(2n\pi) =1 $, por lo que de la primera condición se sigue que: \begin{equation*} 1+e^x(1) \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \leq -1, \end{equation*} lo cual claramente no es posible desde que $x\in\mathbb{R}$.

Entonces $k=2n+1$, con $n\in\mathbb{Z}$, por lo que de la primera condición se sigue que: \begin{equation*} 1+e^x(-1) \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -e^x \leq -1 \quad \Longleftrightarrow \quad e^x \geq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad x \geq 0. \end{equation*}

Por lo que ambas condiciones se satisfacen si $z=x+i(2n+1)\pi$, con $x\geq 0$ y $k\in\mathbb{Z}$, es decir que $f$ es una función analítica en el dominio: \begin{equation*} A = \mathbb{C} \setminus \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x\geq 0, y=(2n+1)\pi, n\in\mathbb{Z}\right\}. \end{equation*}

Figura 76: Dominio de analicidad $A$ de la función $f(z) = \sqrt{1+e^z}$ del ejemplo 20.5.

Por último, para determinar la derivada de $f$ en $A$ procedemos a utilizar la regla de la cadena.

Por el ejemplo 16.5, sabemos que la derivada de la rama principal de la función multivaluada $F(w) = \sqrt{w}$, es decir $f_0(w) =\sqrt{w}$ con $w\in\mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, es: \begin{equation*} f_0^{‘}(w) = \frac{1}{2\sqrt{w}}. \end{equation*}

Notemos que $f = f_0 \circ g$, con $g(z) = 1+e^z$ una función entera, entonces por la regla de la cadena para $z\in A$ tenemos que: \begin{equation*} f'(z) = f_0′(g(z))g'(z) = \frac{e^z}{2\sqrt{1+e^z}}. \end{equation*}

Proposición 20.2. (Propiedades exponencial.)
La función exponencial compleja satisface las siguientes propiedades:

  1. $e^{z_1} \cdot e^{z_2} = e^{z_1 + z_2}$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$.
  2. $e^0 = 1$.
  3. $\dfrac{e^{z_1}}{e^{z_2}} = e^{z_1 – z_2}$, para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$. En particular $e^{-z} = \dfrac{1}{e^z}$.
  4. $|\,e^z\,| = e^x$ y $e^z \neq 0$, para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$.
  5. $e^{i\theta} =\operatorname{cis}(\theta) = \operatorname{cos}(\theta) + i\operatorname{sen}(\theta)$, con $\theta\in\mathbb{R}$, fórmula de Euler.
  6. Para todo $\theta \in\mathbb{R}$ se tiene que $|\,e^{i\theta}\,| = 1$, en particular se cumple la identidad de Euler $e^{i \pi} = -1$ y \begin{equation*} e^{\pm i 2\pi} = 1, \quad e^{i \frac{\pi}{2}} = i, \quad e^{i \frac{3\pi}{2}} = -i. \end{equation*}
  7. $\left(e^z\right)^n = e^{nz}$, para todo $z\in\mathbb{C}$ y para todo $n\in\mathbb{Z}$.
  8. $\overline{e^z} = e^{\overline{z}}$, para todo $z\in\mathbb{C}$.
  9. $e^{z+i\pi} = – e^z$, para todo $z\in\mathbb{C}$.
  10. $e^z = 1$ si y solo si $z = i 2k\pi$ para algún $k\in\mathbb{Z}$.

Demostración.

  1. Sean $z_1, z_2\in\mathbb{C}$ tales que $z_1=x_1+iy_1$ y $z_2=x_2+iy_2$.
    Por definición tenemos que:\begin{align*} e^{z_1} \cdot e^{z_1} & = e^{x_1}\left[ \operatorname{cos}(y_1) + i \operatorname{sen}(y_1)\right] e^{x_2}\left[ \operatorname{cos}(y_2) + i \operatorname{sen}(y_2)\right]\\ & = e^{x_1 + x_2}\left(\left[ \operatorname{cos}(y_1) \operatorname{cos}(y_2) – \operatorname{sen}(y_1) \operatorname{sen}(y_2)\right] \right. \\ & \left. \quad \quad \quad \quad+ i\left[ \operatorname{sen}(y_1)\operatorname{cos}(y_2) + \operatorname{sen}(y_2)\operatorname{cos}(y_1)\right]\right)\\ & = e^{x_1 + x_2} \left[ \operatorname{cos}(y_1 + y_2) + i \operatorname{sen}(y_1 + y_2)\right]\\ & = e^{z_1 + z_2} \end{align*}
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.
  4. Sea $z = x+iy \in\mathbb{C}$, entonces: \begin{align*}|\,e^z\,| & = |\, e^x\left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right] \,|\\ & = |\, e^x \,| |\,\operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\,|\\ & = e^x \left[\operatorname{cos}^2(y) + \operatorname{sen}^2(y)\right]\\ & = e^x. \end{align*} Dado que para todo $x\in\mathbb{R}$ se tiene que $e^x > 0$, entonces: \begin{equation*} |\,e^z\,| = e^x \neq 0, \end{equation*} por lo que $e^z \neq 0$ para todo $z\in\mathbb{C}$.
  5. Sea $z = iy$, con $y\in\mathbb{R}$, es decir $\operatorname{Re}(z) = x = 0$, entonces: \begin{align*} e^z = e^{0 + iy} & = e^0\left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right]\\ & = \operatorname{cos}(y) + i\operatorname{sen}(y). \end{align*}
  6. Por el inciso anterior sabemos que para $\theta \in\mathbb{R}$ se tiene que: \begin{equation*} e^{i\theta} = \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y), \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} |\,e^{i\theta}\,|^2 = \operatorname{cos}^2(y) + \operatorname{sen}^2(y) = 1, \end{equation*} de donde se sigue el resultado.
    Notemos que: \begin{equation*} e^{\pm i \pi} = \operatorname{cos}\left(\pm \pi\right) + i \operatorname{sen}\left(\pm \pi\right) = -1 + i 0 = -1, \end{equation*} \begin{equation*} e^{\pm i 2\pi} = \operatorname{cos}\left(\pm 2\pi\right) + i \operatorname{sen}\left(\pm 2\pi\right) = 1 + i 0 = 1, \end{equation*} \begin{equation*} e^{i \frac{\pi}{2}} = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i, \end{equation*} \begin{equation*} e^{i \frac{3\pi}{2}} = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i (-1) = -i. \end{equation*}
  7. Se deja como ejercicio al lector.
  8. Se deja como ejercicio al lector.
  9. Sea $z\in \mathbb{C}$, por (1) y (6) tenemos que: \begin{equation*} e^{z+i\pi} = e^{z} e^{i\pi} = – e^{z}. \end{equation*}
  10. $\Rightarrow)$
    Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Tenemos que: \begin{equation*} e^{z} = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{x}\operatorname{cos}(y) + i e^{x}\operatorname{sen}(y) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} e^{x}\operatorname{cos}(y) = 1\\ e^{x}\operatorname{sen}(y)=0. \end{array} \right. \end{equation*} Dado que $e^x>0$ para todo $x\in\mathbb{R}$, entonces de la segunda ecuación tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(y)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad y = k\pi, \,\,\, \text{para algún} \,\,\, k\in\mathbb{Z}. \end{equation*} Dado que $\operatorname{cos}(k\pi) = (-1)^k$, para $k\in\mathbb{Z}$, entonces: \begin{equation*} e^{x}\operatorname{cos}(k\pi) = 1 \quad \Longleftrightarrow \quad e^{x}(-1)^k =1, \end{equation*} de donde $k = 2n$, con $n\in\mathbb{Z}$. Por lo tanto, tenemos que $e^x = 1$ si y solo si $x= 0$. Entonces $z = x +iy = 0 + i2k\pi = i2k\pi$, para algún $k\in\mathbb{Z}$.

    $(\Leftarrow$
    Sea $z = i2k\pi$, con $k\in\mathbb{Z}$. Por (6) y (7) tenemos que: \begin{equation*} e^z = e^{i2k\pi} = \left( e^{i2\pi} \right)^k = \left( 1 \right)^k = 1, \end{equation*} para todo $k\in\mathbb{Z}$.

$\blacksquare$

Observación 20.3.
De acuerdo con el ejercicio 2 de la entrada 15, notemos que la función compleja de variable real $f:\mathbb{R} \to \mathbb{C}$ dada por: \begin{equation*} f(\theta) = e^{i\theta} = \operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta), \end{equation*} es una función continua desde que las funciones $u(\theta) = \operatorname{cos}(\theta)$ y $v(\theta) = \operatorname{sen}(\theta)$ son continuas en $\mathbb{R}$.

Observación 20.4.
De la fórmula de Euler se sigue que, para $z\in\mathbb{C}$, podemos expresar a la función exponencial compleja como: \begin{equation*} f(z) = e^z = e^x\left[ \operatorname{cos}(y) + i \operatorname{sen}(y)\right] = e^x e^{iy}, \end{equation*} lo cual es consecuente con las propiedades de la exponencial compleja.

De esta última igualdad es claro que si $f(z) = e^z = w$, entonces: \begin{equation*} |\,w\,| = e^x, \quad \operatorname{arg} w = y + 2\pi k, \,\,\, k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Más aún, la fórmula de Euler resulta de mucha utilidad pues nos permite establecer una relación entre la forma polar de un número complejo $z\neq 0$ y la exponencial compleja, es decir: \begin{equation*} z = r\operatorname{cis}(\theta) = r e^{i\theta}, \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$.

Esta última expresión suele llamarse representación exponencial de un número complejo y nos permite aprovechar las propiedades de la exponencial compleja al trabajar con la forma polar de un número complejo, lo cual resulta de mucha utilidad pues simplifica muchos cálculos. Muestra de esto es que dada una función analítica, de acuerdo con la proposición 17.1, podemos obtener su derivada mediante las ecuaciones de C-R en su forma polar.

Ejemplo 20.6.
Sea $\theta\in\mathbb{R}$. Determinemos expresiones para $\operatorname{sen}(3\theta)$ y $\operatorname{cos}(3\theta)$ en términos de $\operatorname{sen}(\theta)$ y $\operatorname{cos}(\theta)$, respectivamente.

Solución. Notemos que: \begin{align*} \operatorname{cos}(3\theta) + i \operatorname{sen}(3\theta) = e^{i3\theta} & = \left(e^{i\theta}\right)^3\\ & = \left(\operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta)\right)^3\\ & = \operatorname{cos}^3(\theta) + i3\operatorname{cos}^2(\theta)\operatorname{sen}(\theta)-3\operatorname{cos}(\theta)\operatorname{sen}^2(\theta)-i\operatorname{sen}^3(\theta)\\ & = \operatorname{cos}^3(\theta) – 3\operatorname{cos}(\theta)\operatorname{sen}^2(\theta) +i\left(3\operatorname{cos}^2(\theta)\operatorname{sen}(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta)\right). \end{align*}

Igualando las partes real e imaginaria tenemos que: \begin{align*} \operatorname{cos}(3\theta) & = \operatorname{cos}^3(\theta) – 3\operatorname{cos}(\theta)\operatorname{sen}^2(\theta)\\ & = \operatorname{cos}^3(\theta) – 3\operatorname{cos}(\theta)\left[1 – \operatorname{cos}^2(\theta)\right]\\ & = 4\operatorname{cos}^3(\theta) – 3\operatorname{cos}(\theta). \end{align*} \begin{align*} \operatorname{sen}(3\theta) & = 3\operatorname{cos}^2(\theta)\operatorname{sen}(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta)\\ & = 3\left[1 – \operatorname{sen}^2(\theta)\right]\operatorname{sen}(\theta) – \operatorname{sen}^3(\theta)\\ & = 3\operatorname{sen}(\theta) -4\operatorname{sen}^3(\theta). \end{align*}

Ejemplo 20.7.
Sea $\alpha\in\mathbb{R}$ fijo y sea $I=(\alpha, \alpha+2\pi]$. Definimos: \begin{equation*} f(z) = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{r} \operatorname{exp}\left(i\frac{\theta(z)}{3}\right), \end{equation*} con $z\in \mathbb{C}\setminus L_\alpha$, $r = |\,z\,|$ y $\theta(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$, donde $L_\alpha = \left\{ re^{i \alpha} : r\geq 0 \right\}$.

Veamos que la función $f$ corresponde con una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/3}$. Determinemos dónde es analítica $f$ y obtengamos su derivada.

Solución. Sabemos que el conjunto $L_\alpha$ corresponde con la semirrecta que parte del origen y que forma un ángulo $\alpha$ con el semieje real positivo, figura 77.

Figura 77: Dominio $D$ de la función $f$ del ejemplo 20.7.

De acuerdo con la observación 15.4, sabemos que la función $\theta(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ es continua en el dominio: \begin{equation*} D = \mathbb{C}\setminus L\alpha = \left\{z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, \,\, \alpha < \operatorname{arg} z < \alpha + 2\pi\right\}, \end{equation*} por lo que la función $f(z)$ es continua en el mismo dominio, es decir para $z \in D$ tenemos que $f$ determina una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/3}$.

Sea $z \in D$ dado por $z = r e^{i\theta}$, con $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$ tal que $\alpha<\theta <\alpha+2\pi$, entonces: \begin{equation*} f(z) = \sqrt[3]{r} e^{i\frac{\theta}{3}} = \sqrt[3]{r} \operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right) + i \sqrt[3]{r} \operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right), \end{equation*} de donde:

\begin{equation*} u(r,\theta) = \sqrt[3]{r} \operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right), \quad v(r,\theta) = \sqrt[3]{r}\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{3}\right). \end{equation*}

Es claro que para todo $z\in D$ existen y son continuas las derivadas parciales: \begin{align*} u_r(r,\theta) = \frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}}, \quad u_\theta(r,\theta) = -\frac{r^{1/3}}{3} \operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{3}\right),\\ v_r(r,\theta) = \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}}, \quad v_\theta(r,\theta) = \frac{r^{1/3}}{3} \operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right). \end{align*}

Notemos que para todo $z\in D$ se cumple que: \begin{align*} u_r(r,\theta) = \frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}} = \frac{1}{r} v_\theta(r,\theta),\\ v_r(r,\theta) = \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}} = -\frac{1}{r} u_\theta(r,\theta), \end{align*} es decir que se satisfacen las ecuaciones de C-R en su forma polar en $D$, por lo que, de acuerdo con los ejercicios 1 y 2 de la entrada 17 y el teorema 18.1, tenemos que $f$ es una función analítica en $D$. Más aún, por la proposición 17.1 tenemos que la derivada de $f$ está dada por: \begin{align*} f'(z) & = e^{-i\theta} \left[ u_r(r, \theta) + i v_r(r, \theta)\right]\\ & = e^{-i\theta} \left[\frac{\operatorname{cos}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}} + i \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{\theta}{3}\right)}{3 r^{2/3}}\right]\\ & = \frac{1}{3 r^{2/3}} e^{-i\theta} e^{i \frac{\theta}{3}}\\ & = \frac{1}{3 r^{2/3}e^{i 2/3 \theta}}\\ & = \frac{1}{3\left(\sqrt[3]{r}e^{i \frac{\theta}{3}}\right)^2}\\ & = \frac{1}{3 z^{2/3}}, \end{align*} para todo $z\in D$.

Definición 20.2. (Función periódica.)
Sea $f:S\subset\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ una función. Diremos que $f$ es una función periódica con período $T$ si para todo $z\in S$ se tiene que: \begin{equation*} f(z+T) = f(z). \end{equation*}

Observación 20.5.
Una diferencia importante entre la función exponencial real y la exponencial compleja es que la exponencial compleja es periódica. Este hecho se justifica en que la exponencial compleja está definida en términos de las funciones reales trigonométricas seno y coseno, las cuales son periódicas.

Proposición 20.3. (Periodicidad de la función exponencial.)
La función exponencial compleja, $f(z) = e^z$, es periódica con periodo imaginario $2\pi i$. En consecuencia la exponencial compleja no es una función inyectiva. Además es una función suprayectiva en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Demostración. Sea $z\in\mathbb{C}$. De acuerdo con la proposición 20.2 tenemos que:
\begin{align*} f(z + 2\pi i) & = e^{z + 2\pi i}\\ & = e^{z} e^{2\pi i}\\ & = e^z\\ & = f(z). \end{align*}

Dado que $z + 2\pi i \neq z$ para todo $z\in\mathbb{C}$, entonces la exponencial compleja no es una función inyectiva.

Por último, veamos que $f(z) = e^z$ es una función suprayectiva en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Sea $w \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ tal que: \begin{equation*} w = r_0 \operatorname{cis}(\theta_0) = r_0 e^{i\theta_0}, \end{equation*} donde $r_0 = |\,w\,| > 0$ y $\theta_0 = \operatorname{Arg} w$, es decir $\theta_0 \in(-\pi, \pi]$.

Queremos ver que existe $z = x+iy \in \mathbb{C}$ tal que $e^z = w$. Sea $z = \operatorname{ln}(r_0) + i(\theta_0)$, tenemos que: \begin{equation*} e^z = e^{\operatorname{ln}(r_0)}e^{i\theta_0} = r_0 e^{i\theta_0} = w, \end{equation*} donde $\operatorname{ln}(x)$ corresponde con la función real logaritmo natural.

$\blacksquare$

Corolario 20.2.
Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$, entonces $e^{z_1} = e^{z_2}$ si y solo si $z_2 = z_1 + i 2\pi n$ para algún entero $n$.

Demostración. Sean $z_1, z_2 \in\mathbb{C}$.

$\Rightarrow)$
Supongamos que $e^{z_1} = e^{z_2}$. Considerando las propiedades de la exponencial, lo anterior implica que: \begin{equation*} \frac{e^{z_2}}{e^{z_1}} = e^{z_2}e^{-z_1} = e^{z_2-z_1} = 1. \end{equation*}

Entonces, de acuerdo con la proposición 20.2(10), tenemos que $z_2 – z_1 = i2\pi n$ para algún $n\in\mathbb{Z}$, de donde se sigue el resultado.

$(\Leftarrow$
Supongamos que $z_2 = z_1 + i2\pi n$, para algún $n\in\mathbb{Z}$, entonces: \begin{equation*} e^{z_2} = e^{z_1 + i2\pi n} = e^{z_1} e^{i2\pi n} = e^{z_1}. \end{equation*}

$\blacksquare$

Debido a la periodicidad de la función exponencial compleja, $f(z) = e^z$, tenemos que:
\begin{equation*} f(z) = e^z = e^{z+i2\pi} = e^{(z+i2\pi)+i2\pi} = f(z + i4\pi). \end{equation*}

Procediendo de manera similar podemos concluir que: \begin{equation*} f(z) = e^z = e^{z+i2\pi n} = f(z + i2\pi n), \quad n\in\mathbb{Z}, \end{equation*} es decir que $\pm i2\pi, \pm i4\pi, \pm i6\pi, \ldots$, son también periodos de la función exponencial compleja.

Más aún, dado que $f$ no es inyectiva, tenemos que si $z\in\mathbb{C}$ es tal que $f(z)=w$, es decir si $z$ se mapea bajo $f$ en un punto $w$, entonces bajo $f$ los puntos $z\pm i2\pi, z\pm i4\pi, z\pm i6\pi, \ldots$, también serán mapeados al punto $w$. Por lo que, podemos restringir los valores de $z$ que toma $f$ a una banda horizontal infinita de ancho $2\pi$ en el plano complejo $z$, figura 78, para garantizar que los valores $w$ que asigna $f$ sean distintos. Es decir, para $y_0\in\mathbb{R}$ fijo, todos los valores $w$ distintos que toma la función exponencial compleja $f$, estarán dados por los $z$ en la banda: \begin{equation*} S_{y_0} = \left\{z = x+iy\in\mathbb{C} : -\infty <x<\infty, y_0 < y \leq y_0 + 2\pi \right\}. \end{equation*}

En la figura 78 hemos divido el plano complejo en bandas horizontales, de ancho $2\pi$, fijando el valor de $y_0$ a múltiplos impares de $\pi$. En general, podemos dividir el plano complejo en bandas horizontales infinitas, de ancho $2\pi$, considerando solo múltiplos de impares de $\pi$, es decir, para $n\in\mathbb{Z}$ definimos a las bandas: \begin{equation*} S_n = \left\{z = x+iy\in\mathbb{C} : -\infty<x<\infty, \,\, (2n-1)\pi < y \leq (2n+1)\pi\right\}. \end{equation*}

En cualquiera de estas bandas la función exponencial compleja tendrá el mismo comportamiento.

Si tomamos $y_0 = -\pi \in\mathbb{R}$ ó $n=0$, entonces obtenemos la banda: \begin{equation*} S_0 = \left\{z\in\mathbb{C} : -\infty<\operatorname{Re}(z)<\infty, -\pi < \operatorname{Im}(z) \leq \pi \right\}, \end{equation*} a la cual llamaremos la región fundamental de la función exponencial compleja y se representa en color azul en la figura 78.

Figura 78: Región fundamental de la función exponencial compleja.

Proposición 20.4.
La función exponencial compleja es inyectiva si se restringe su dominio a la región fundamental.

Demostración. Sea $f(z) = e^z$ definida sobre el dominio $S_0$ y sean $z_1=x_1+iy_1, z_2 =x_2+iy_2 \in S_0$.

Supongamos que $e^{z_1} = e^{z_2}$, entonces: \begin{equation*} |\,e^{z_1}\,| = |\,e^{z_2}\,|, \quad \operatorname{arg}\left(e^{z_1}\right) = \operatorname{arg}\left(e^{z_2}\right). \tag{20.2} \end{equation*}

De acuerdo con la observación 20.4, de (20.2) tenemos que: \begin{equation*} e^{x_1} = e^{x_2}, \quad y_2 = y_1 +2\pi n, \,\,\, n\in\mathbb{Z}. \tag{20.3} \end{equation*}

Como $z_1, z_2 \in S_0$, entonces $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ y $y_1,y_2\in(-\pi, \pi]$. Por lo que, se sigue de (20.3) que $x_1 = x_2$ y $y_1 = y_2$, de donde $z_1 = z_2$.

$\blacksquare$

Ejemplo 20.8.
Determinemos las soluciones de la ecuación $e^{z}= i$.

Solución. Sea $z=x+iy\in\mathbb{C}$. Por la observación 20.4 y la proposición 20.2(6) tenemos que: \begin{align*} e^{z}= i \quad \Longleftrightarrow \quad e^x e^{iy} = 1 e^{i\frac{\pi}{2}} \quad & \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} |\,e^z\,| = |i|,\\ \operatorname{arg}\left(e^z\right) = \operatorname{arg}\left(i\right). \end{array} \right. \\ \quad & \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} e^x =1,\\ y +2\pi n_1 = \dfrac{\pi}{2} +2\pi n_2, \,\, n_1, n_2\in\mathbb{Z}. \end{array} \right. \end{align*}

De la primera ecuación es claro que $x=0$. Por otra parte, de la segunda ecuación tenemos que: \begin{equation*} y = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi \left(n_2 – n_1\right) = \dfrac{\pi}{2}\left(4k +1\right), \quad k = n_2 – n_1 \in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Por lo que, las soluciones de la ecuación $e^{z}= i$ son:
\begin{equation*} z = x + iy = 0 + i\left(4k+1\right)\frac{\pi}{2} = i\frac{\pi}{2} + 2k \pi i, \quad k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Es interesante notar que todas las soluciones difieren por $2k\pi i$, con $k\in\mathbb{Z}$.

Observación 20.6 (Condición función univaluada.)
Notemos que a través de la representación exponencial de un número complejo podemos caracterizar a las funciones multivaluadas y univaluadas.

Sea $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, escribiendo a $z$ en su representación exponencial tenemos: \begin{equation*} z=z(r,\theta)=re^{i\theta}, \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg} z \in(-\pi, \pi]$.

Si aumentamos de $\theta$ a $\theta + 2\pi$, entonces: \begin{align*} z(r,\theta + 2\pi) & = re^{i(\theta+2\pi)}\\ & = re^{i\theta} e^{i2\pi}\\ & = re^{i\theta}\\ & = z(r,\theta), \end{align*} es decir, al aumentar el argumento principal de $z$ en $2\pi$ tenemos que $z$ regresa a su valor original.

Definición 20.3. (Funciones univaluadas y multivaluadas.)
Diremos que una función compleja $f$ es una función univaluada si $f$ es tal que: \begin{align*} f(z)&= f(z(r,\theta))\ &= f(z(r,\theta + 2\pi)), \end{align*} para todo $z$ en el dominio de $f$. Si $f$ no es univaluada, entonces diremos que $f$ es una función multivaluada.

Ejemplo 20.9.
Sea $f(z) = z^n$, con $z\in\mathbb{C}$, tenemos que:

a) Si $n\in\mathbb{Z}$, entonces $f$ es simple.
Solución. Sabemos que para todo $n\in\mathbb{Z}$ se cumple que: \begin{equation*} e^{i 2\pi n} = 1. \end{equation*} Considerando a $z$ en su representación exponencial, observación 20.4, tenemos que: \begin{align*} f(z(r,\theta+2\pi)) & = \left[ re^{i(\theta + 2\pi)} \right]^n\\ & = r^n e^{in(\theta + 2\pi)}\\ & = r^n e^{in\theta} e^{i 2\pi n}\\ & = r^n e^{in\theta}\\ & = \left[r e^{i\theta}\right]^n\\ & = f(z(r,\theta)). \end{align*}

b) Si $n\notin\mathbb{Z}$, entonces $f$ es multivaluada.
Solución. Dado que $e^{i2\pi n} \neq 1$ para $n\notin\mathbb{Z}$, entonces: \begin{equation*} f(z(r,\theta)) \neq f(z(r,\theta+2\pi)), \end{equation*} por lo que, en tal caso, $f$ es una función multivaluada.

Tarea moral

  1. Completa la demostración de la proposición 20.1.
  2. Determina las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$, correspondientes con la parte real e imaginaria, de las siguientes funciones y en cada caso expresa a $f$ como $f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$.
    a) $f(z) = e^{2\overline{z} + 1}$.
    b) $f(z) = e^{1/z}$.
    c) $f(z) = z^2e^{z + i}$.
    d) $f(z) = \overline{ie^{z} + 1}$.
  3. Para cada una de las siguientes funciones determina su dominio de analicidad y encuentra su derivada.
    a) $f(z) = \dfrac{3e^{2z} – ie^{-z}}{z^3-1+i}$.
    b) $f(z) = i e^{1/z}$.
    c) $f(z) = \dfrac{e^z -1}{e^z + 1}$.
    d) $f(z) = e^{\overline{z}}$.
    e) $f(z) = e^{2\overline{z} + 1}$.
    f) $f(z) = e^{z^2}$.
  4. Determina todas las soluciones para las siguientes ecuaciones.
    a) $e^z = 1+i\sqrt{3}$.
    b) $e^{1/z} = -1$.
    c) $e^{2z} = 1+i$.
    d) $(1-i)e^{z} = 1+i$.
  5. Considera los siguientes planteamientos, en cada caso da una prueba o un contraejemplo.
    a) Sabemos que la función exponencial real es una función creciente, es decir si $x_1 < x_2$ entonces $e^{x_1} < e^{x_2}$. Considera la función exponencial compleja, ¿si $|\,z_1\,| < |\,z_2\,|$ entonces $|\,e^{z_1}\,| < |\,e^{z_2}\,|$?
    b) Sabemos que la función exponencial real siempre es positiva, es decir si $x\in\mathbb{R}$ entonces $e^{x} > 0$. Considera la función exponencial compleja, ¿siempre es positiva o existe $z\in\mathbb{C}$ tal que $e^z <0$?
  6. Muestra que para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ se cumple que:
    a)] $|\,e^z\,|\leq 1$ si y solo si $\operatorname{Re}(z) \leq 0$. ¿Para qué valores se da la igualdad?
    b) $|\,e^z\,|\leq e^{|\,z\,|}$ si y solo si $\operatorname{Re}(z) \leq 0$. ¿Para qué valores se da la igualdad?
    c) $|\,1 + \,e^z\,|\leq 1 + e^x$.
    d) Determina para qué valores se cumple la igualdad en $|\,e^{-iz}\,|\leq 1$.
  7. Supón que $f(z)=f(x+iy)=Re^{i\phi}$ es una función analítica. Muestra que: \begin{equation*} \frac{\partial R}{\partial x} = R \frac{\partial \phi}{\partial y}. \end{equation*} Toma $a,b\in\mathbb{R}$ constantes y $z = re^{i\theta}$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$. Considera a los dominios: \begin{align*} D_a = \left\{z\in\mathbb{C} : a<|\,z\,|<1 \right\}, \quad D_b = \left\{z\in\mathbb{C} : b<|\,z\,|<1 \right\}. \end{align*} Define la función $f:D_a \to D_b$ dada por: \begin{equation*} f\left(re^{i\theta}\right) = \left[\left(\frac{1-b}{1-a}\right)r + \frac{b-a}{1-a}\right]e^{i\theta}. \end{equation*} Muestra que $f$ es una función biyectiva y prueba que $f$ es analítica si y solo si $a=b$.
  8. Verifica que la función: \begin{equation*} f(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} e^{-1/z^4} & \text{si} & z \neq 0, \\ 0 & \text{si} & z \neq 0, \end{array} \right. \end{equation*} satisface las ecuaciones de C-R en todo punto del plano complejo $\mathbb{C}$, pero que la función no es analítica en todo $\mathbb{C}$. ¿Cuál es su dominio de analicidad? Donde exista, obtén su derivada.
    Hint: Estudia la continuidad de $f$ en $z=0$.
  9. Escribe cada una de las siguientes expresiones considerando su representación exponencial, es decir, en la forma $e^{i\alpha}$, con $\alpha\in\mathbb{R}$.
    a) $\dfrac{\operatorname{cos}(\theta) – i\operatorname{sen}(\theta)}{\operatorname{cos}(3\theta) + i\operatorname{sen}(3\theta)}$.
    b) $\left(\dfrac{1}{\operatorname{cos}(\theta) – i\operatorname{sen}(\theta)}\right)^8$.
    c) $\dfrac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{cos}(\theta) – i\frac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{sen}(\theta)\right)^3}$.
    d) $\left[\operatorname{cos}(\theta) + i\operatorname{sen}(\theta)\right] \left[\operatorname{cos}(2\theta) – i\operatorname{sen}(2\theta)\right]$.
  10. Muestra que: \begin{align*} \operatorname{cos}(\theta+\beta+\alpha) & = \operatorname{cos}(\theta)\operatorname{cos}(\beta)\operatorname{cos}(\alpha) – \operatorname{cos}(\theta)\operatorname{sen}(\beta)\operatorname{sen}(\alpha)\\ & \quad – \operatorname{cos}(\beta)\operatorname{sen}(\theta)\operatorname{sen}(\alpha) – \operatorname{cos}(\alpha)\operatorname{sen}(\theta)\operatorname{sen}(\alpha). \end{align*} Determina una expresión similar para $ \operatorname{sen}(\theta+\beta+\alpha)$.

Más adelante…

En esta entrada hemos definido la función exponencial compleja, de tal modo que garantizamos que sea una función entera. A través de esta función hemos extendido a la exponencial real y algunas de sus propiedades.

Es importante recordar que esta nueva función tiene propiedades muy particulares que no se cumplen en su versión real, algunas de ellas son que la exponencial compleja puede tomar valores reales negativos y que es una función
periódica. Este último hecho nos llevo a concluir que la función exponencial compleja no es inyectiva, aunque podemos garantizar esta propiedad al restringir el dominio de dicha función a una banda horizontal infinita de ancho $2\pi$.

La función exponencial compleja juega un papel fundamental en el estudio de las funciones complejas, pues además de ser una función elemental, podemos definir al resto de las funciones complejas elementales en términos de la exponencial compleja, hecho que veremos en las siguientes entradas.

La siguiente entrada definiremos al logaritmo complejo, motivados en determinar una solución a la ecuación $e^w = z$, que como veremos nos llevará a concluir que el logaritmo complejo, es decir la solución a esta ecuación, será una función multivaluada. Veremos que a través del concepto de rama podremos definir una función univaluada que corresponda con una de las inversas de la función exponencial compleja y que nos permita caracterizar a la función logaritmo complejo.

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Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

A lo largo de nuestros cursos hemos trabajado con el concepto de función. Intuitivamente entendemos a una función como una regla que asocia elementos entre dos conjuntos, con la condición de que a cada elemento del primer conjunto se le asigne uno y solo uno del segundo conjunto.

Para el caso complejo el concepto de función que conocemos no es una excepción, sin embargo resulta necesario introducir un nuevo concepto referente a funciones que «asignan más de un valor» a un mismo número complejo, las funciones multivaluadas. En el sentido estricto de la palabra es claro que esta idea de función carece de sentido pues rompe con la definición de lo que entendemos por función, pero para las funciones complejas esta idea resulta algo necesario al abordar el concepto de función inversa. Nuestro objetivo en esta entrada será definir esta nueva idea de «función», la cual nos permitirá ver que los conceptos de función inversa y función multivaluada están estrechamente ligados.

Observación 13.1.
Recordemos que para un número complejo $z\neq 0$, tal que $z=r\operatorname{cis}(\theta)$, con $r=|\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{arg} z$, sus $n$-raíces complejas están dadas por: \begin{equation*} w_k = \sqrt[n]{r} \left[\operatorname{cos}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \operatorname{sen}\left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right)\right], \end{equation*} donde $k=0, 1,\ldots, n-1$.

Para motivar una definición de función multivaluada consideremos el siguiente:

Ejemplo 13.1.
De acuerdo con la observación 4.8 (entrada 4 de la primera unidad) sabemos que para $n\in\mathbb{N}^+$ la expresión $z^{1/n}$ es $n$-valuada. Si consideramos a la función $w= g(z) = z^{1/3}$, con $z\neq 0$, entonces está función es $3$-valuada, es decir, para cada valor de $z$ existen tres valores distintos de $w$ que satisfacen la ecuación $z=w^3$. Por ejemplo, para la ecuación $w^3 = 1$, si consideramos el argumento principal de $z=1$, es decir $\operatorname{Arg} z = 0$, tenemos que: \begin{align*} w_0 = 1,\\ w_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},\\ w_2 = \frac{-1 – i\sqrt{3}}{2}, \end{align*} son las 3 raíces cúbicas de la unidad, es decir las soluciones de la ecuación. Entonces, para $z=1$ la función $g(z) = z^{1/3}$, asigna los valores $w_0, w_1$ y $w_2$ dados.

Notemos que si consideramos a las funciones $f(z)=z^3$ y $g(z) = z^{1/3}$, entonces $g$ no puede ser la inversa de $f$ desde que $f$ no es inyectiva pues claramente $f(w_0) = 1 = f(w_1)$, pero $w_0 \neq w_1$.

Debe ser claro que en general las funciones de la forma $f(z)=z^{1/n}$, con $n\in\mathbb{N}^+$, asignan más de un valor para cada número complejo $z\neq 0$, por lo que en el sentido estricto dichas reglas de asignación no representan a una función, sino a un conjunto de funciones. Podemos visualizar este hecho en el siguiente applet: https://www.geogebra.org/m/mqwkd66u.

Definición 13.1. (Función univaluada y función multivaluada.)
Sea $U\subset\mathbb{C}$ un conjunto abierto y $f:U \to \mathbb{C}$ una función. Diremos que $f$ es una función univaluada o simplemente una función compleja si para cada $z\in U$ existe un único $w\in \mathbb{C}$ tal que $f(z) = w$. En caso contrario diremos que $f$ es una función multivaluada.

Observación 13.2.
Para representar a una función multivaluada usaremos como notación letras mayúsculas, mientras que para referirnos a funciones univaluadas utilizaremos letras minúsculas, así por ejemplo, para $n\in\mathbb{N}^+$, la función $F(z) = z^{1/n}$ es multivaluada, mientras que la función $f(z) = 3z+1$ es univaluada.

Definición 13.2. (Rama de una función multivaluada.)
Sea $F(z)$ una función multivaluada definida en un dominio $D\subset\mathbb{C}$. Diremos que $f(z)$ es una rama de $F(z)$ en $D$ si:

  1. $f$ está bien definida en $D$, es decir $f$ es una función univaluada.
  2. $f(z)$ es uno de los posibles valores de $F(z)$ para cada $z\in D$.
  3. $f$ es continua en $D$.

Observación 13.3.
Cuando representemos ramas de una función multivaluada $F$ utilizaremos subíndices en la notación de función univaluada, por ejemplo $f_0, f_1, f_2, \ldots$.

Observación 13.4.
El concepto de dominio en la definición anterior corresponde con el de una región en el plano complejo $\mathbb{C}$, es decir, un conjunto abierto y conexo.

Observación 13.5.
Aunque en esta entrada no abordaremos formalmente el concepto de continuidad de una función compleja, utilizamos esta propiedad fuertemente en la definición de una rama de una función multivaluada, ya que en ocasiones el dominio de una función multivaluada no corresponderá con el dominio de una rama puesto que puede suceder que la función univaluada no sea continua en dicho conjunto, como veremos en los ejemplos 13.2 y 13.4. Para mayor detalle sobre el concepto de continuidad se puede consultar la entrada 15 de esta unidad.

Ejemplo 13.2.
En la definición 4.1, de la entrada 4, se específico que la notación usada para referirnos al argumento de un número complejo, es decir $\operatorname{arg} z$, no representa a una función de $z$, ya que dicha notación describe a un conjunto de números reales $\theta$ que satisfacen las ecuaciones: \begin{equation*} \text{sen}(\theta) = \frac{\text{Re}(z)}{|\, z \,|}, \quad \text{cos}(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{|\, z \,|}. \tag{13.1} \end{equation*}

Considerando el concepto de función multivaluada podemos hablar de la función $F(z) = \operatorname{arg}(z)$, la cual asignará a cada número complejo $z\neq 0$ una infinidad de argumentos que satisfacen las ecuaciones (13.1), ya que para cada $n\in\mathbb{Z}$, si $\theta\in\mathbb{R}$ satisface las ecuaciones (13.1), entonces $\theta + 2\pi n$ también lo hará.

Si fijamos un valor de $k\in\mathbb{Z}$, obtenemos una función univaluda que comunmente es llamada «rama» de la función $F(z)= \operatorname{arg}(z)$. Es importante hacer énfasis aquí en el hecho de que esta «rama» no es necesariamente una rama en el sentido estricto de la palabra, es decir de acuerdo con la definición 13.2, pues como veremos en el ejemplo 15.6 de la entrada 15, la función argumento es continua en el dominio $\mathbb{C}\setminus\left(-\infty,0\right]$, mientras que la función multivaluada $F(z)= \operatorname{arg}(z)$ está definida en el dominio $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Es claro que existen infinitas ramas, en particular, si elegimos el valor $k = 0$, obtenemos la rama que denominamos la rama principal, que corresponde con el argumento principal de un número complejo $z\neq 0$, es decir $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$.

Definición 13.3. (Argumento principal.)
Sea $U = \mathbb{C}\setminus{0}$. Definimos a la función compleja {\bf argumento principal} como la función $f: U \to (-\pi, \pi]$, denotada como $f(z) = \operatorname{Arg}(z)$, dada por: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right) & \text{si} & x>0,\\ \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y\geq 0,\\ \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right) – \pi & \text{si} & x<0 \quad \text{y} \quad y<0,\\ \frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y>0,\\ -\frac{\pi}{2} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y<0,\\ \text{No definido} & \text{si} & x=0 \quad \text{y} \quad y=0. \end{array} \right. \end{equation*}

Notemos que tanto la función multivaluada $F(z) = \operatorname{arg}(z)$ como la función univaluada $f(z) = \operatorname{Arg}(z)$ están definidas en $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y toman valores en intervalos reales de la forma $\left((2n-1)\pi, (2n+1)\pi\right]$, con $n\in\mathbb{Z}$, por lo que su gráfica tiene lugar en $\mathbb{R}^3$. Podemos visualizar estas gráficas en el siguiente applet: https://www.geogebra.org/m/cwt5ctuf.

Procedemos a deducir una nueva expresión para obtener el argumento principal de un número complejo que nos será de utilidad más adelante.

Proposición 13.1.
Sea $z = x+iy \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right) & \text{si} & z\not\in \mathbb{R}^{-},\\ \pi & \text{si} & z\in \mathbb{R}^{-},\ \end{array} \right. \end{equation*} donde $\mathbb{R}^{-} = (-\infty, 0)$.

Demostración. Sea $z = x+iy \in \mathbb{C}\setminus{0}$.

Supongamos que $z\in \mathbb{R}^{-}$, entonces: \begin{equation*} z = -|\,z\,| = |\,z\,| \left[\operatorname{cos}(\pi) + i \operatorname{sen}(\pi)\right] = |\,z\,| \operatorname{cis}(\pi), \end{equation*} por lo que $\operatorname{Arg}(z) = \pi \in \operatorname{arg} z$ y claramente $\pi \in (-\pi,\pi]$.

Supongamos ahora que $z\not\in \mathbb{R}^{-}$, consideremos a: \begin{equation*} \theta_0:= 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right). \end{equation*}

Como $z\neq 0$, entonces tenemos que: \begin{align*} \theta_0 & = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right)\\ & = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{\dfrac{y}{|\,z\,|}}{\dfrac{|\,z\,| + x}{|\,z\,|}}\right)\\ & = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{\dfrac{y}{|\,z\,|}}{1 + \dfrac{x}{|\,z\,|}}\right)\\ & := 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{b}{1 + a}\right), \end{align*}

de donde: \begin{equation*} \tan\left(\frac{\theta_0}{2}\right) = \dfrac{b}{1 + a}. \end{equation*}

Recordemos que se cumplen las siguientes identidades trigonométricas: \begin{equation*} \tan\left(\frac{\theta_0}{2}\right) = \dfrac{\operatorname{sen}(\theta_0)}{1 + \operatorname{cos}(\theta_0)}, \quad \tan^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right) = \dfrac{1 – \operatorname{cos}(\theta_0)}{1 + \operatorname{cos}(\theta_0)}, \quad \tan\left(\frac{\theta_0}{2}\right) = \dfrac{2 \operatorname{tan}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}{1 – \tan^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(\theta_0) = \dfrac{2 \operatorname{tan}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} = b, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{cos}(\theta_0) = \dfrac{1 – \tan^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}{1 + \tan^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)} = a. \end{equation*}

Más aún, dado que $z\neq 0$ y $z\not\in \mathbb{R}^{-}$, es decir $z\not\in (-\infty, 0] = \left\{z = x+iy : x\leq 0, y =0\right\}$, para $z=x+iy$ se cumple que $x>0$ ó $y\neq 0$, por lo que $|\,z\,| + x >0$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right) \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \end{equation*} de donde $\theta_0 \in (-\pi, \pi)$ y: \begin{equation*} z = |\,z\,| \left[\operatorname{cos}(\theta_0) + i \operatorname{sen}(\theta_0)\right] = |\,z\,| \operatorname{cis}(\theta_0). \end{equation*} Por lo tanto, $\theta_0 = \operatorname{Arg}(z)$.

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Observación 13.6.
De acuerdo con los resultados de la entrada 4, Unidad I, sabemos que para $z_1,z_2\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{arg} z_1 z_2 = \operatorname{arg} z_1 + \operatorname{arg} z_2 = \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2 + 2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{arg} \frac{z_1}{z_2} = \operatorname{arg} z_1 – \operatorname{arg} z_2 = \operatorname{Arg} z_1 – \operatorname{Arg} z_2 + 2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}, \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{arg} z_1^k = k \operatorname{arg} z_1 = k \operatorname{Arg} z_1 + 2\pi n, \quad k, n\in\mathbb{Z}, \end{equation*} donde $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$.

Es importante recordar que estas igualdades son entre conjuntos. Sin embargo, considerando la definición de función multivaluada es claro que estas propiedades se heredan a la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, para $z\neq 0$.

Más aún, de nuestros cursos de Cálculo sabemos que la función $f(x) = [x]$, llamada parte entera, determina el mayor entero menor o igual a $x$. Para $x\in\mathbb{R}$ y $n\in\mathbb{Z}$ dicha función cumple que: \begin{equation*} [x] = n \quad \Longleftrightarrow \quad x-1 < n \leq x \quad \Longleftrightarrow \quad n \leq x < n+1. \end{equation*}

Notemos que mediante esta función podemos obtener una expresión para determinar el argumento principal de un número complejo a través de cualquier elemento del conjunto de argumentos, es decir, para $z\in\mathbb{C}$, con $z\neq 0$, sabemos que: \begin{equation*} \operatorname{arg} z = \operatorname{Arg} z + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}, \end{equation*} de donde: \begin{equation*} \operatorname{Arg} z = \operatorname{arg} z + 2\pi n, \quad n=-k\in\mathbb{Z}. \end{equation*}

Puesto que $\operatorname{Arg} z \in (-\pi, \pi]$, entonces: \begin{equation*} -\pi < \operatorname{arg} z + 2\pi n \leq \pi \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi} – 1 < n \leq \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}, \end{equation*} es decir: \begin{equation*} \operatorname{Arg} z = \operatorname{arg} z + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{\operatorname{arg} z}{2\pi}\right], \end{equation*} donde $[\,x\,]$ corresponde con la función parte entera y $\operatorname{arg} z$ es un argumento $\theta$ cualquiera que satisface (13.1).

De acuerdo con observación anterior, no es difícil verificar que la función argumento principal definida antes, satisface las siguientes propiedades.

Proposición 13.2. (Propiedades argumento principal.)
Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, entonces:

  1. $\operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) + 2\pi N_{+}$,
  2. $\operatorname{Arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right) = \operatorname{Arg}(z_1) – \operatorname{Arg}(z_2) + 2\pi N_{-}$, donde $N_{\pm}$ son números enteros dados por: \begin{equation*} N_{\pm} = \left\{ \begin{array}{lcc} -1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) > \pi, \\ 0 & \text{si} & -\pi < \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq \pi, \\ 1 & \text{si} & \operatorname{Arg}(z_1) \pm \operatorname{Arg}(z_2) \leq -\pi. \end{array} \right. \end{equation*}
  3. \begin{equation*}
    \operatorname{Arg}\left(z_1^{-1}\right) = \operatorname{Arg}\left(\overline{z_1}\right) = \left\{ \begin{array}{lcc} \operatorname{Arg}\left(z_1\right) & \text{si} & \operatorname{Im}(z_1) =0 \, \, \, \, \text{y} \,\,\,\, z_1\neq 0,\\ -\operatorname{Arg}\left(z_1\right) & \text{si} & \operatorname{Im}(z_1) \neq 0. \end{array} \right. \end{equation*}
  4. Para todo $n\in\mathbb{Z}$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}\left(z_1^n\right) = n\, \operatorname{Arg}\left(z_1\right) + 2\pi N_{n}, \end{equation*} donde $N_n$ es un número entero dado por: \begin{equation*} N_n = \left[ \frac{1}{2} – \frac{n}{2\pi}\operatorname{Arg}(z_1)\right], \end{equation*} con $[\, x \,]$ la función parte entera de $x$.

Demostración. Sean $z_1, z_2 \in \mathbb{C}\setminus\{0\}$.

  1. Sean $\theta_1 = \operatorname{Arg}(z_1)$ y $\theta_1 = \operatorname{Arg}(z_2)$, entonces $\theta_1, \theta_2 \in (-\pi, \pi]$, por lo que: \begin{equation*} -2\pi < \theta_1 + \theta_2 \leq 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -2\pi \leq -\left(\theta_1 + \theta_2\right) < 2\pi. \end{equation*} De acuerdo con la observación 13.6 es claro que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = \theta_1 + \theta_2 + 2\pi N_{+}, \end{equation*} donde $N_{+} = \left[ \dfrac{1}{2} – \dfrac{\theta_1 + \theta_2}{2\pi}\right] \in \mathbb{Z}$.

    Entonces: \begin{equation*} -\dfrac{1}{2} – \frac{2\pi}{2\pi} \leq -\dfrac{1}{2} – \dfrac{\theta_1 + \theta_2}{2\pi} < N_{+} \leq \dfrac{1}{2} – \dfrac{\theta_1 + \theta_2}{2\pi} < \dfrac{1}{2} + \dfrac{2\pi}{2\pi}, \end{equation*} es decir $-\dfrac{3}{2} < N_{+} < \dfrac{3}{2}$, por lo que $N_{+} \in \left\{-1, 0, 1\right\}$.

    Dado que $ \operatorname{Arg}(z_1 z_2) \in (-\pi, \pi]$, entonces: \begin{equation*} -\pi < \theta_1 + \theta_2 +2\pi N_{+} \leq \pi. \end{equation*} Si $ -2\pi < \theta_1 + \theta_2 \leq -\pi$, entonces $N_{+} = 1$. Mientras que si $ \pi < \theta_1 + \theta_2 \leq 2\pi$, entonces $N_{+} = -1$.
  2. Se deja como ejercicio al lector.
  3. Se deja como ejercicio al lector.
  4. Se sigue de la observación 13.6.

$\blacksquare$

Ejemplo 13.3.
Sean $z_1 = i$ y $z_2 = -1$. Calcular:

a) $\operatorname{Arg}(z_1 z_2)$.

Solución. Tenemos que $z_1 z_2 = -i$, por lo que $\operatorname{Arg}\left(z_1 z_2\right) = -\dfrac{\pi}{2}$.

Por otra parte, tenemos que $\operatorname{Arg}\left(z_1\right) = \dfrac{\pi}{2}$ y $\operatorname{Arg}\left(z_2\right) = \pi$, por lo que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}\left(z_1\right) + \operatorname{Arg}\left(z_2\right) = \dfrac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}. \end{equation*} De acuerdo con la propiedad 1, como $\operatorname{Arg}\left(z_1\right) + \operatorname{Arg}\left(z_2\right) > \pi$, entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_1 z_2) = -\frac{\pi}{2} = \operatorname{Arg}(z_1) + \operatorname{Arg}(z_2) -2\pi. \end{equation*} b) $\operatorname{Arg}\left(z_2^{-1}\right)$.

Solución. Como $\operatorname{Im}(z_2) = 0$ y $z_2\neq 0$, entonces por la propiedad 3 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}\left(z_2^{-1}\right) = \operatorname{Arg}(z_2) = \pi. \end{equation*} c) $\operatorname{Arg}(z_1^2)$.

Solución. Dado que $\operatorname{Arg}\left(z_1\right) = \dfrac{\pi}{2}$, entonces considerando la propiedad 4 tenemos que: \begin{align*} \operatorname{Arg}\left(z_1^2\right) & = 2 \left(\dfrac{\pi}{2}\right) + 2\pi \left[ \frac{1}{2} – \frac{2}{2\pi} \left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right]\\ & = \pi + 2\pi(0)\\ & = \pi. \end{align*}

Observación 13.7.
De nuestros cursos de Cálculo sabemos que las funciones reales seno y coseno son continuas en $\mathbb{R}$ y que para todo $x\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{equation*} -1 \leq \operatorname{sen}(x) \leq 1 \quad \text{y} \quad -1 \leq \operatorname{cos}(x) \leq 1. \end{equation*}

Por lo que, si $r,s \in [-1,1]$, entonces existen $x,y\in\mathbb{R}$ tales que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(y) = s \quad \text{y} \quad \operatorname{cos}(x) = r. \end{equation*}

Si imponemos la condición $r^2 + s^2 = 1$, es decir que $(r,s)$ cae en la circunferencia unitaria de $\mathbb{R}^2$, entonces se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(y) = \pm \operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}\left(\pm x\right). \end{equation*}

Dado que $\operatorname{cos}\left( \pm x\right) = \operatorname{cos}(x)$, entonces existe $\theta\in\mathbb{R}$ tal que: \begin{equation*} s = \operatorname{sen}\left(\theta\right) \quad \text{y} \quad r = \operatorname{cos}\left(\theta\right). \end{equation*}

Observación 13.8.
Sea $x\in\mathbb{R}$. Definimos: \begin{equation*} x^*:= x – 2\left[\frac{x}{2\pi}\right] \pi. \end{equation*}

De acuerdo con la observación 13.6 sabemos que $\left[\frac{x}{2\pi}\right] \leq \frac{x}{2\pi} < \left[\frac{x}{2\pi}\right] + 1$, entonces $ 0\leq x^* < 2\pi$ y: \begin{equation*} \operatorname{sen}(x^*) = \operatorname{sen}(x), \quad \operatorname{cos}(x^*) = \operatorname{cos}(x). \end{equation*}

En general, para $\alpha, x\in\mathbb{R}$ definimos: \begin{equation*} x^{**} := \left\{ \begin{array}{lcc} x^* + 2\left( \left[\frac{\alpha}{2\pi}\right] + 1\right) \pi & \text{si} & x^* + 2\left[\frac{\alpha}{2\pi}\right]\pi < \alpha, \\ x^* + 2 \left[\frac{\alpha}{2\pi}\right] \pi & \text{si} & x^* + 2\left[\frac{\alpha}{2\pi}\right]\pi \geq \alpha. \end{array} \right. \end{equation*}

Entonces $ \alpha \leq x^{**} < \alpha + 2\pi$ y: \begin{equation*} \operatorname{sen}(x^{**}) = \operatorname{sen}(x), \quad \operatorname{cos}(x^{**}) = \operatorname{cos}(x). \end{equation*}

De las observaciones 13.7 y 13.8 tenemos que si $r,s\in\mathbb{R}$, con $r^2+s^2 = 1$, entonces dado $\alpha\in\mathbb{R}$ existe $\theta \in [\alpha, \alpha+2\pi)$ tal que:
\begin{equation*} s = \operatorname{sen}\left(\theta\right) \quad \text{y} \quad r = \operatorname{cos}\left(\theta\right). \end{equation*}

Notemos que dicho $\theta$ es único. Supongamos que existen $\theta, \theta’ \in [\alpha, \alpha+2\pi)$ tales que: \begin{equation*} \operatorname{sen}\left(\theta\right) = s = \operatorname{sen}\left(\theta’\right) \quad \text{y} \quad \operatorname{cos}\left(\theta\right) = r = \operatorname{cos}\left(\theta’\right), \end{equation*} entonces $\operatorname{cos}(\theta-\theta’) = \operatorname{sen}^2\left(\theta\right) + \operatorname{cos}^2\left(\theta\right) = 1$, pero lo anterior solo es posible si y solo si $\theta – \theta’ = 2k\pi$ para algún $k\in\mathbb{Z}$.

Puesto que $\theta, \theta’ \in [\alpha, \alpha+2\pi)$ y $\theta = \theta’ + 2k\pi$, para algún $k\in\mathbb{Z}$, entonces $k = 0$ y por tanto $\theta = \theta’$.

Más aún, dado que para todo $\alpha\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{equation*} \operatorname{sen}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{sen}(\alpha) \quad \text{y} \quad \operatorname{cos}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{cos}(\alpha), \end{equation*} entonces existe un único $\theta’ \in (\alpha, \alpha + 2\pi]$ tal que: \begin{equation*} s = \operatorname{sen}\left(\theta’\right) \quad \text{y} \quad r = \operatorname{cos}\left(\theta’\right). \end{equation*}

Considerando lo anterior, podemos definir una rama arbitraria de la función multivaluada $F(z) = \operatorname{arg}(z)$.

Definición 13.4. (Rama del argumento en un intervalo $I$.)
Sean $\alpha\in\mathbb{R}$, $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ y sea $I\subset\mathbb{R}$ un intervalo semiabierto de longitud $2\pi$, es decir de la forma $[\alpha, \alpha + 2\pi)$ ó $(\alpha, \alpha + 2\pi]$. Al único número real $\theta\in I$ tal que: \begin{equation*} \text{sen}(\theta) = \frac{\text{Re}(z)}{|\, z \,|} \quad \text{y} \quad \text{cos}(\theta) = \frac{\text{Im}(z)}{|\, z \,|}, \end{equation*} lo llamaremos el argumento de $z$ en $I$ y lo denotaremos como $\operatorname{Arg}_{I} z$.

La utilidad de la definición 13.4 la veremos cuando definamos al logaritmo complejo, pues en ocasiones el trabajar con ramas distintas de la principal nos permitirá hablar de ciertas funciones en las que tengamos que estudiar algunas de sus propiedades como la continuidad y la analicidad.

Considerando la definición 13.4, es posible definir a la función $\operatorname{Arg}_{I}: \mathbb{C}\setminus\{0\} \to I$ como $\operatorname{Arg}_{I}(z) = $ el único valor de $\operatorname{arg} z$ que pertenece a $I$.

Observación 13.9.
En general la función $\operatorname{Arg}_{I}(z)$ será una rama, de acuerdo con la definición 13.2, siempre que se defina sobre el dominio $\mathbb{C}\setminus L\alpha$, con $L_\alpha = \{r\operatorname{cis}(\alpha) : r\geq 0\}$, figura 60, es decir todo el plano complejo menos la semirrecta que parte desde el origen y que forma un ángulo $\alpha$ con respecto al eje real positivo, pues en dicha semirrecta la función no es continua, como veremos en el ejemplo 15.6 de la entrada 15.

Figura 60: Semirrecta $L_\alpha$ que parte desde el origen, con $\alpha\in\mathbb{R}$.

Observación 13.10.
Notemos que si $\alpha=-\pi$ e $I = (\alpha, \alpha + 2\pi]$, entonces para $z\neq 0$ se cumple que $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z)$, es decir obtenemos la rama principal o el argumento principal. Mientras que si consideramos a $\alpha=0$ e $I = [\alpha, \alpha + 2\pi)$, entonces para $z\neq 0$ obtenemos $\operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z)$ que suele llamarse el argumento natural de $z$.

Podemos deducir que el argumento principal y el argumento natural de un número complejo $z\neq 0$ están relacionados como sigue: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) & \text{si} & 0 \leq \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) \leq \pi, \\ \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) – 2\pi & \text{si} & \pi < \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) < 2 \pi. \end{array} \right. \end{equation*} \begin{equation*} \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} \operatorname{Arg}(z) & \text{si} & 0 \leq \operatorname{Arg}(z) \leq \pi, \\ \operatorname{Arg}(z) + 2\pi & \text{si} & -\pi < \operatorname{Arg}(z) < 0. \end{array} \right. \end{equation*}

Gráficamente podemos ver dónde toman valores el argumento principal y el argumento natural de un número complejo $z\neq 0$, figura 61.

Figura 61: Argumento principal y argumento natural de un número complejo $z\neq 0$.

Ejemplo 13.4.
Si consideramos $\alpha=-\pi$ e $I = (\alpha, \alpha + 2\pi]$, entonces para $z=-1-i$ tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z) = -\frac{3\pi}{4}. \end{equation*}

Por otra parte si consideramos $\alpha=0$ e $I = [\alpha, \alpha + 2\pi)$, entonces para $z=-1-i$ tenemos que: \begin{equation*} \quad \operatorname{Arg}_{[0, 2\pi)}(z) = \frac{5\pi}{4}. \end{equation*}

Procedemos a establecer un resultado que relacione a la función $\operatorname{Arg}_{I}(z)$ con las funciones $\operatorname{Arg}(z)$ y $\operatorname{Arg}{[0, 2\pi)}(z)$.

Proposición 13.3.
Sean $z\neq 0$, $\alpha\in\mathbb{R}$ y sea $I\subset\mathbb{R}$ un intervalo semiabierto de longitud $2\pi$, es decir de la forma $[\alpha, \alpha + 2\pi)$ ó $(\alpha, \alpha + 2\pi]$.

  1. Si $I= [\alpha, \alpha + 2\pi)$, entonces: $\operatorname{Arg}_{I}(z) = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(z \operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha$.
  2. Si $I= (\alpha, \alpha + 2\pi]$, entonces: $\operatorname{Arg}_{I}(z) = \operatorname{Arg}\left(-z \operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha + \pi$.

Demostración. Dadas las hipótesis, primero notemos que para cualesquiera $\theta,\alpha\in\mathbb{R}$ se cumple que: \begin{align*} \operatorname{cis}(\theta-\alpha) & = \operatorname{cos}(\theta – \alpha) + i \operatorname{sen}(\theta – \alpha)\\ & = \operatorname{cos}(\theta) \operatorname{cos}(\alpha) + \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{sen}(\alpha)\\ & \quad \quad + i \left[ \operatorname{sen}(\theta) \operatorname{cos}(\alpha) – \operatorname{sen}(\alpha) \operatorname{cos}(\theta) \right]\\ & = \operatorname{cos}(\alpha) \left[ \operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta) \right] – i \operatorname{sen}(\alpha) \left[ \operatorname{cos}(\theta) + i \operatorname{sen}(\theta) \right]\\ & = \operatorname{cis}(\theta) \left[ \operatorname{cos}(-\alpha) + i \operatorname{sen}(-\alpha) \right] \\ & = \operatorname{cis}(\theta) \operatorname{cis}(-\alpha). \end{align*}

  1. Sea $I= [\alpha, \alpha + 2\pi)$. Si $\theta \in I$ y $\theta = \operatorname{Arg}_{I}(z)$ entonces $z = |\,z\,| \operatorname{cis}(\theta)$ y: \begin{equation*} \alpha \leq \theta < \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad 0 \leq \theta – \alpha < 2\pi, \end{equation*} por lo que: \begin{align*} \theta – \alpha & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left( \operatorname{cis}(\theta -\alpha)\right)\\ & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left( \operatorname{cis}(\theta) \operatorname{cis}(-\alpha)\right)\\ & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left( \frac{z}{|\,z\,|} \operatorname{cis}(-\alpha)\right)\\ & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left( z \operatorname{cis}(-\alpha)\right), \end{align*} de donde: \begin{equation*} \theta = \operatorname{Arg}_{I}(z) = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(z \operatorname{cis} (-\alpha)\right) + \alpha. \end{equation*}
  2. Sea $I= (\alpha, \alpha + 2\pi]$. Si $\theta \in I$ y $\theta = \operatorname{Arg}_{I}(z)$ entonces $z = |\,z\,| \operatorname{cis}(\theta)$ y: \begin{equation*} \alpha < \theta \leq \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi < \theta – \alpha -\pi \leq \pi, \end{equation*} por lo que: \begin{align*} \operatorname{cis}(\theta – \alpha – \pi) & = \operatorname{cos}(\theta – \alpha – \pi) + i \operatorname{sen}(\theta – \alpha – \pi)\\ & = \operatorname{cos}(\pi) \left [\operatorname{cos}(\theta – \alpha) + i \operatorname{sen}(\theta – \alpha) \right]\\ & = – \operatorname{cis}(\theta) \operatorname{cis}(-\alpha). \end{align*} Entonces: \begin{align*} \theta – \alpha – \pi & = \operatorname{Arg}\left( \operatorname{cis}(\theta -\alpha – \pi)\right)\\ & = \operatorname{Arg}\left( -\operatorname{cis}(\theta) \operatorname{cis}(-\alpha)\right)\\ & = \operatorname{Arg}\left( \frac{z}{|\,z\,|} \operatorname{cis}(-\alpha)\right)\\ & = \operatorname{Arg}\left(-z \operatorname{cis}(-\alpha)\right), \end{align*} de donde: \begin{equation*} \theta = \operatorname{Arg}_{I}(z) = \operatorname{Arg}\left(-z \operatorname{cis} (-\alpha) \right) + \alpha + \pi. \end{equation*}

$\blacksquare$

Ejemplo 13.5.
Sea $\alpha=3\pi/2$. Si $I = [\alpha, \alpha + 2\pi)$, entonces: \begin{equation*} I = \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right). \end{equation*}

Sabemos que: \begin{equation*} \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \operatorname{cos} \left(-\frac{3\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen} \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0 + i(1) = i. \end{equation*}

Notemos que si $z\in \mathbb{R}^+$, es decir $z>0$, entonces: \begin{align*} \operatorname{Arg}_{\left[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right)}(z) & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(z \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(z i\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}\\ & = 2\pi. \end{align*}

Por otra parte, para $z=i$ tenemos que: \begin{equation*} i \, \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = i^2 = -1, \end{equation*} por lo que: \begin{align*} \operatorname{Arg}_{\left[\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right)}(i) & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(i \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}\left(-1\right) + \frac{3\pi}{2}\\ & = \pi + \frac{3\pi}{2}\\ & = \frac{5\pi}{2}. \end{align*}

Ejemplo 13.6.
Sea $\alpha=3\pi/2$. Si $I = (\alpha, \alpha + 2\pi]$, entonces: \begin{equation*} I = \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]. \end{equation*}

Para $z=i$ tenemos que: \begin{equation*} -i \, \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right) = – i^2 = 1, \end{equation*}

por lo que: \begin{align*} \operatorname{Arg}_{\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]}(i) & = \operatorname{Arg}\left(- i \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right) + \frac{3\pi}{2} + \pi\\ & = \operatorname{Arg}\left(1\right) + \frac{5\pi}{2}\\ & = 0 + \frac{5\pi}{2}\\ & = \frac{5\pi}{2}. \end{align*}

Observación 13.11.
En el caso real para garantizar la existencia de la inversa de la función $f(x) = x^2$, bastaba con restringir el dominio de $f$ al intervalo $[0, \infty )$. Sin embargo, dado que en $\mathbb{C}$ el orden inducido en $\mathbb{R}$, bajo la relación «$>0$», no es válido y considerando el hecho de que nuestro candidato para ser la inversa de la función $f(z) = z^2$, es decir la función $F(z) = z^{1/2}$ es una función multivaluada, entonces para el caso complejo debemos ser aún más minuciosos en la elección del dominio al que debemos restringir a la función $f(z) = z^2$ para que sea inyectiva y por tanto invertible.

Ejemplo 13.7.
En el ejemplo 12.7(a) vimos que la función compleja $f(z) = z^2$ no es inyectiva, por lo que no es biyectiva y de acuerdo con la definición 12.4 no podemos hablar de su función inversa. Veamos que si restringimos el dominio de esta función es posible garantizar que $f$ es inyectiva.

Solución. De acuerdo con la observación 13.1 tenemos que para $n=2$ y $z\neq 0$, la función $f(z) = z^2$ tiene dos raíces, las cuales están dadas por: \begin{equation*} w_k = \sqrt{r} \left[\operatorname{cos}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left( \frac{\theta + 2k\pi}{2} \right)\right], \tag{13.2} \end{equation*} donde $k=0, 1$.

Definimos el siguiente dominio: \begin{equation*} D= \left\{z\in\mathbb{C} : -\frac{\pi}{2} < \operatorname{arg} z \leq \frac{\pi}{2}\right\}. \tag{13.3} \end{equation*}

Veamos que $f$ es inyectiva en $D$. Sean $z_1, z_2 \in D$, con $z_1 = r_1 \operatorname{cis}(\theta_1)$ y $z_2 = r_2 \operatorname{cis}(\theta_2)$ ambos distintos de cero, entonces $\theta_1, \theta_2 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

Supongamos que $f(z_1) = f(z_2)$, entonces por la fórmula de De Moivre tenemos que: \begin{equation*} r_1^2 \operatorname{cis}(2\theta_1) = r_2^2 \operatorname{cis}(2\theta_2), \end{equation*} de donde es claro que los números complejos $z_1^2$ y $z_2^2$ tienen el mismo módulo y el mismo argumento principal, es decir: \begin{equation*} r_1^2=r_2^2 \quad \text{y} \quad \operatorname{Arg} z_1^2 = \operatorname{Arg} z_2^2. \end{equation*}

Dado que $r_1, r_2>0$, entonces $r_1 = r_2$. Por otra parte, como $\theta_1, \theta_2 \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, entonces: \begin{equation*} -\pi < 2\theta_1 \leq \pi \quad \text{y} \quad -\pi < 2\theta_2 \leq \pi, \end{equation*} por lo que $\operatorname{Arg} z_1^2 = 2\theta_1$ y $\operatorname{Arg} z_2^2 = 2\theta_2$, es decir $2\theta_1 = 2\theta_2$, entonces $\theta_1 = \theta_2$. Por lo tanto, como $z_1$ y $z_2$ tienen el mismo módulo y el mismo argumento principal, concluimos que $z_1 = z_2$.

Así, $f$ restringida al dominio $D$, dado en (13.3), es inyectiva.

En general, para la función compleja $f(z) = z^n$, con $n\geq 2$, el planteamiento dado en este último ejemplo puede utilizarse para garantizar que dicha función es inyectiva, solo habría que modificar el dominio dado en (13.3) por: \begin{equation*} D_n = \left\{z\in\mathbb{C} : -\frac{\pi}{n} < \operatorname{arg} z \leq \frac{\pi}{n}\right\}. \tag{13.4} \end{equation*}

Observación 13.12.
No es difícil verificar que el dominio dado por (13.4) es mapeado bajo la función $f(z) = z^n$ en el conjunto $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, para más detalle de este hecho se puede consultar la entrada 26 de esta unidad.

Notemos que si hacemos $k=0$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$ en (13.2), entonces obtenemos una función que a cada $z\neq 0$ asigna únicamente una raíz cuadrada, la raíz principal.

Definición 13.5. (Raíz cuadrada principal.)
Sea $z\neq 0$. Definimos a la función raíz cuadrada principal como: \begin{equation*} f(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$.

Debe ser claro que al tomar $\theta = \operatorname{Arg}(z)$ en la definición anterior estamos garantizando que los valores que tomará la función raíz cuadrada principal, es decir su imagen, serán los $z\neq 0$ tales que $-\pi < \operatorname{Arg}(z) \leq \pi$, el cual es un conjunto más grande que el dominio $D$ dado en (13.3.).

Ejemplo 13.8.
Obtengamos el valor de la raíz cuadrada principal de los puntos: $z_1 = -i$, $z_2 = -\sqrt{3}+i$ y $z_3 = 9$.

Solución.

a) Para $z_1 = -i$ tenemos que $|\,z_1\,| = 1$ y $\operatorname{Arg}(z_1) = -\frac{\pi}{2}$, por lo que: \begin{equation*} f(-i) = \sqrt{1} \operatorname{cis}\left(\frac{-\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\left(1-i\right). \end{equation*} b) Para $z_2 = -\sqrt{3}+i$ tenemos que $|\,z_1\,| = 1$ y: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z_2) = \operatorname{arctan}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi = \frac{5\pi}{6}, \end{equation*} por lo que: \begin{equation*} f\left(-\sqrt{3}+i\right) = \sqrt{2} \operatorname{cis}\left(\frac{\frac{5\pi}{6}}{2}\right) = \sqrt{2} \left[\operatorname{cos}\left(\frac{5\pi}{12}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{5\pi}{12}\right)\right] = \frac{\sqrt{3} – 1}{2} + i \frac{\sqrt{3} + 1}{2}. \end{equation*} c) Para $z_1 = 9$ tenemos que $|\,z_3\,| = 9$ y $\operatorname{Arg}(z_1) = 0$, por lo que: \begin{equation*} f(9) = \sqrt{9} \operatorname{cis}\left(0\right) = 3\left[ \operatorname{cos}\left(0\right) + i \operatorname{sen}\left(0\right) \right] = 3. \end{equation*}

Ejemplo 13.9.
Veamos que la función $g(z) = z^{1/2}$, con $g$ la raíz cuadrada principal, es una inversa de la función $f(z) = z^2$ siempre que restrinjamos el dominio de $f$ al dominio $D$ dado por (13.3).

Solución. De acuerdo con el ejemplo 13.7 sabemos que la función $f(z) = z^2$ es inyectiva en el dominio $D$ dado por los $z\neq 0$ tales que $-\pi/2 < \operatorname{Arg}(z) \leq \pi/2$ y por la observación 13.12 tenemos que $f$ es biyectiva en $D$ y por tanto existe $f^{-1}$.

Procedemos ahora a verificar que $g(z) = z^{1/2}$, con $g$ la raíz cuadrada principal, es una inversa de $f$. Sean $z,w\neq 0$ y supongamos que $f^{-1}(z) = w$. Escribiendo a $z$ y $w$ en su forma polar tenemos que: \begin{equation*} z = r\operatorname{cis}(\theta), \quad w = \rho \operatorname{cis}(\alpha), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$, $\rho=|\,w\,|$, $\operatorname{Arg}(z) = \theta$ y $\operatorname{Arg}(w) = \alpha$.

Dado que el rango de $f^{-1}$ es el dominio de $f$, entonces el argumento principal de $w$, es decir $\alpha$, cumple que: \begin{equation*} -\frac{\pi}{2} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}. \end{equation*}

Además, como $f(w) = w^2 = z$, entonces $w$ debe ser una de las dos raíces cuadradas dadas por (13.2), es decir $w = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)$ ó $w = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi}{2}\right)$.

Por reducción al absurdo supongamos que: \begin{equation*} w = f^{-1}(z) = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta + 2\pi}{2}\right). \tag{13.5} \end{equation*}

Como $\operatorname{Arg}(z) = \theta$, entonces $-\pi < \theta \leq \pi$, por lo que:
\begin{equation*} \frac{\pi}{2} < \frac{\theta + 2\pi}{2} \leq \frac{3\pi}{2}. \tag{13.6} \end{equation*}

Tenemos que $\operatorname{Arg}(w) = \alpha$, entonces $\alpha \in (-\pi,\pi]$. Mientras que de (13.5) y (13.6) se sigue que $\pi/2 < \alpha \leq 3\pi/2$, por lo que $\pi/2 < \alpha \leq \pi$ ó $-\pi < \alpha \leq -\pi/2$. Sin embargo ninguna de estas condiciones se cumple desde $-\frac{\pi}{2} < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, por lo que nuestro supuesto en (13.5) es falso, entonces: \begin{equation*} w = f^{-1}(z) = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} la cual corresponde con la función $g(z) = z^{1/2}$ dada en la definición 13.5.

En general, considerando la observación 13.1, podemos definir una función que asigne una sola raíz, en particular la raíz $n$-ésima principal a cada $z\neq 0$, con $n\geq 2$.

Definición 13.6. (Raíz $n$-ésima principal.)
Sea $z\neq 0$. Para $n\geq 2$ definimos a la función raíz $n$-ésima principal como:
\begin{equation*} f(z) = z^{1/n} = \sqrt[n]{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{n}\right), \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$ y $\theta = \operatorname{Arg}(z)$.

Ejemplo 13.10.
De acuerdo con el ejemplo 13.1 sabemos que para la función multivaluada $F(z) = z^{1/3}$ se cumple que: \begin{equation*} F(1) = \left\{ 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 – i\sqrt{3}}{2} \right\}. \end{equation*}

Mientras que si consideramos a la función raíz cúbica principal $f(z) = z^{1/3}$, entonces: $f(1) = 1$.

Observación 13.13.
De nueva cuenta, es importante mencionar que aunque la función raíz $n$-ésima principal, con $n\geq 2$, es una función univaluda, no necesariamente es una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/n}$, pues como veremos en el ejemplo 15.7 de la entrada 15, la función raíz cuadrada principal $f(z)=z^{1/2}$ es discontinua en todo el eje real negativo desde que la función argumento principal es discontinua en dicho conjunto, el cual es un subconjunto del dominio $\mathbb{C}\setminus{0}$, correspondiente con el dominio de definición de dicha función.

De acuerdo con las observaciones 13.10 y 13.13 es interesante notar que podemos definir ramas de la función multivaluada $F(z) = z^{1/n}$, $n\geq 2$, de acuerdo con la definición 13.2, considerando ramas de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, para ello solo debemos hacer uso de la definición 13.4. Más aún, dado un dominio donde esté definida la función $F$, entonces tendremos exactamente $n$ ramas diferentes para dicha función.

Para mostrar esto consideremos el siguiente:

Ejemplo 13.11.
Sea $ I = \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]$. Entonces, para $z\in\mathbb{C}\setminus L_{\frac{3\pi}{2}} = \left\{ z\in\mathbb{C} : |z|>0, \,\, \frac{3\pi}{2} <\operatorname{arg}(z)<\frac{7\pi}{2}\right\}$, podemos definir una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, como: \begin{equation*} f_1(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$, $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$ y $L_{\frac{3\pi}{2}} = \left\{-ir : r\geq 0\right\}$, es decir la semirrecta imaginaria negativa que parte del origen.

Por el ejemplo 13.6 sabemos que para $z=i$ se tiene que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_{\left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]}(i) = \frac{5\pi}{2}. \end{equation*}

Entonces: \begin{equation*} f_1(i) = \sqrt{1} \operatorname{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation*}

Por otra parte, si utilizamos la función raíz cuadrada principal restringida al dominio $\mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, es decir considerando el intervalo $I = (-\pi, \pi]$, tenemos: \begin{equation*} f_0(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\beta}{2}\right), \quad -\pi < \beta < \pi, \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$, $\beta = \operatorname{Arg}(z)$ y $L{-\pi} = \left\{-r : r\geq 0\right\}$, la cual es llamada la rama principal.

Entonces para $z=i$ tenemos que $\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{2}$, por lo que:
\begin{equation*} f_0(i) = \sqrt{1} \operatorname{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation*}

Es claro que $f_0(i) \neq f_1(i)$, por lo que $f_0$ y $f_1$ son dos ramas diferentes de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.

Más aún, si tomamos $ I = \left(\pi, 3\pi\right]$, para para $z \in\mathbb{C}\setminus L_{\frac{3\pi}{2}} = \left\{ z\in\mathbb{C} : |z|>0, \,\, \pi <\operatorname{arg}(z)<3\pi\right\}$, podemos definir una tercera rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, como: \begin{equation*} f_2(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r = |\,z\,|$, $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$ y $L{\pi} = \left\{-r : r\geq 0\right\}$.

Notemos que tanto $f_0$ como $f_2$ comparten el dominio $\mathbb{C}\setminus L_{\pi} = \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$.

Para $z=i$ tenemos que $|\,i\,|=1$ y: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_{(\pi, 3\pi]}(i) = \operatorname{Arg}\left(-i\operatorname{cis}(\pi)\right) + \pi + \pi = \operatorname{Arg}(i) + 2\pi = \frac{5\pi}{2}. \end{equation*}

Por lo que: \begin{equation*} f_2(i) = \sqrt{i} \operatorname{cis}\left(\frac{\frac{5\pi}{2}}{2}\right) = \operatorname{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{equation*}

Desde que $f_0(i) \neq f_2(i)$, es claro que $f_0$ y $f_2$ son dos ramas diferentes de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$. Sin embargo, puesto que $f_0$ y $f_2$ están definidas sobre el mismo dominio podemos obtener la siguiente relación.

Primeramente, procediendo como en la prueba de la proposición 13.3 es fácil verificar que: \begin{equation*} \operatorname{cis}\left(\theta+\beta\right) = \operatorname{cis}\left(\theta\right) \operatorname{cis}\left(\beta\right), \quad \forall \theta, \beta\in\mathbb{R}. \tag{13.7} \end{equation*}

Dado que $\theta\in (\pi, 3\pi)$ y $\beta \in (-\pi, \pi)$, entonces: \begin{equation*} \pi< \theta < 3\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi< \theta – 2\pi < \pi, \end{equation*} por lo que tomando $\beta= \theta – 2\pi$ tenemos que $\theta = \beta + 2\pi$.

Entonces, por (13.7) tenemos que: \begin{align*} f_2(z) &= \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\beta+2\pi}{2}\right)\\ & = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\beta}{2} + \pi \right)\\ & = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\beta}{2} \right) \operatorname{cis}\left(\pi \right)\\ & = – \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\beta}{2} \right),\quad -\pi< \beta < \pi, \end{align*} de donde se sigue que $f_0 = -f_2$.

Haciendo una analogía con el caso real, en el que hablábamos de la raíz positiva y la raíz negativa de un número real positivo, podemos pensar a las ramas $f_0$ y $f_2$, de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, como la raíz positiva y negativa de un número complejo.

Observación 13.14.
De acuerdo con lo anterior, debe ser claro que la función multivaluada $F(z)=z^{1/2}$ está completamente determinada por sus dos ramas, es decir, una vez elegida una rama del argumento, entonces $F$ está dada por sus ramas positiva y negativa.

Sea $z=r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $r=|z|>0$ y $\theta = \operatorname{arg}(z) = \theta_I + 2\pi n$, para $n\in\mathbb{Z}$, $\theta_I = \operatorname{Arg}_{I}(z) \in I$ e $I$ un intervalo de longitud $2\pi$, definición 13.4. Entonces: \begin{align*} F(z) = z^{1/2} & = \left(r\operatorname{cis}(\theta)\right)^{1/2}\\ & = \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ & = \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta_I}{2} + \pi n\right)\\ & = \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta_I}{2} \right) \operatorname{cis}\left(\pi n\right), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{align*}

Considerando los resultados de la entrada 5, sabemos que únicamente $n=0$ y $n=1$ determinan valores distintos para $F$, ya que si $n$ es par obtenemos el mismo valor que $n=0$ y si $n$ es impar obtenemos el mismo valor que $n=1$, es decir que para otros valores enteros de $n$ obtenemos los mismos valores para $F$ que los dados por $n=0$ y $n=1$. Entonces: \begin{equation*} F(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta_I}{2} \right) & \text{si} & n=0,\\ \\- \sqrt{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta_I}{2} \right) & \text{si} & n=1, \end{array} \right. \end{equation*} con $\theta_I \in I$. Es decir, estos dos valores distintos de $F$ determinan sus dos ramas.

Por ejemplo si elegimos a la rama principal del argumento, es decir $\theta_I = \operatorname{Arg}(z)$ con $I = (-\pi, \pi]$, entonces para $z=r\operatorname{cis}\left(\theta_I\right) \neq 0$ tenemos que: \begin{equation*} F(z) = f_{\pm}(z) = \pm \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_I}{2}\right), \quad -\pi < \theta_I < \pi. \end{equation*}

Cerraremos esta entrada con dos nuevos conceptos que también juegan un papel importante al trabajar con funciones multivaluadas, los cuales utilizaremos más adelante.

Definición 13.6.(Punto de ramificación.)
Sea $F(z)$ una función multivaluada definida en un dominio $D\subset\mathbb{C}$ y sea $z_0 \in \mathbb{C}$. Decimos que $z_0$ es un punto de ramificación de $F$ si una vuelta alrededor de $z_0$ (y suficientemente cerca a $z_0$) produce un cambio de rama de la función.

Si $n$ es el menor número natural tal que $n$ vueltas alrededor de $z_0$ llevan cada rama sobre sí misma, decimos que $z_0$ es un punto de ramificación de orden $n-1$. Si nunca vuelve a la rama original, diremos que es de orden $\infty$. El punto al infinito $z_\infty = \infty$ es un punto de ramificación de $F(z)$ si una vuelta alrededor de una circunferencia suficientemente grande provoca un cambio de rama. Equivalentemente, $z_\infty = \infty$ es un punto de ramificación de $F(z)$ si $z = 0$ es un punto de ramificación de la función $F(1/z)$.

Ejemplo 13.12.
Consideremos a la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$. Veamos que $z_0=0$ y $z_\infty = \infty$ son puntos de ramificación de $F$.

Solución. Es claro que la función $F$ no está definida para $z=0$, por lo que no es casualidad que dicho punto sea una punto de ramificación de $F$. Sea $C(z_0,\varepsilon)$ una circunferencia con centro en $z_0=0$ y radio $\varepsilon>0$, con $\varepsilon$ arbitrariamente pequeño. Sabemos que un punto $z\in C(z_0,\varepsilon)$ en su forma polar está dado por: \begin{equation*} z = \varepsilon \operatorname{cis}(\theta), \quad -\pi < \theta \leq \pi, \end{equation*} donde $\theta = \operatorname{Arg}(z)$ y $\varepsilon = |\,z\,|$.

De acuerdo con la observación 13.14, sabemos que la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$ tienes dos ramas diferentes, su rama positiva y su rama negativa, es decir $f_{+}$ y $f_{-}$. Supongamos que a $z_1 \in C(z_0,\varepsilon)$ le hemos aplicado $F$, entonces tenemos que: \begin{equation*} F(z_1) = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right) = f_+(z_1), \quad -\pi < \theta <\pi. \end{equation*}

Si consideramos que $z_1$ ha dado una vuelta completa sobre la circunferencia $C(z_0,\varepsilon)$, en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, es decir que $\theta$ aumento $2\pi$, entonces tenemos que: \begin{align*} F(z_1) & = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta+2\pi}{2}\right)\\ & = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right) \operatorname{cis}\left(\pi\right)\\ &= – \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \quad -\pi < \theta <\pi,\ & = – f_+(z_1)\\ & = f_{-}(z_1), \end{align*} es decir, al partir de un punto arbitrario sobre la circunferencia $C(z_0,\varepsilon)$ y dar una vuelta completa sobre dicha circunferencia la función multivaluada $F(z)=z^{1/2}$ cambio de rama, por lo que $z_0 =0$ es un punto de ramificación de dicha función, figura 62.

Figura 62: $z_0 =0 $ punto de ramificación de la función multivaluada $F(z)=z^{1/2}$.

Notemos que si $z_1$ da dos vueltas completas sobre la circunferencia $C(z_0,\varepsilon)$, es decir $ 3\pi < \theta + 4\pi < 5\pi$, entonces: \begin{align*} F(z_1) & = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta+4\pi}{2}\right)\\ & = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right) \operatorname{cis}(2\pi)\\ & = \sqrt{\varepsilon} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \quad -\pi<\theta<\pi,\\ & = f_+(z_1), \end{align*} por lo que, después de dos vueltas completas alrededor del punto $z_0 = 0$ el valor de la función multivaluada $F$ regresa al valor de la rama principal $f_0$, es decir a su rama positiva, entonces $z_0 = 0$ es un punto de ramificación de orden $1$.

Recordemos que en la esfera de Riemann el punto al infinito $z_\infty=\infty$ corresponde con el polo norte $N$. Por lo que una circunfernecia alrededor de $N$, de radio arbitrariamente pequeño sobre la esfera de Riemann, determina una circunferencia de radio muy grande en el plano complejo. Esta curva rodea, necesariamente, a $z_0=0$. Por lo tanto, una vuelta completa sobre esta circunferencia causará un cambio de rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.

Procediendo como antes, podemos concluir fácilmente que $z_\infty = \infty$ también es un punto de ramificación de orden $1$ de $F$.

Sea $z = r\operatorname{cis}(\theta) \neq 0$, con $\theta = \operatorname{Arg}(z)$ y $r=|\,z\,|$. Notemos que $F(1/z) = \left(z^{-1}\right)^{1/2} = z^{-1/2}$, entonces: \begin{align*} F\left(\frac{1}{z}\right) & = \left(z\right)^{-1/2}\\ & = \left(\sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^{-1}\\ & = r^{-1/2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\theta}{2}\right), \quad -\pi<\theta<\pi,\\ & = f_{+}\left(\frac{1}{z}\right). \end{align*}

Tomemos un punto $z$ sobre la circunferencia $C(z_0,\varepsilon)$, con $z_0 =0$ y $\varepsilon>0$ arbitrariamente pequeño. Si $z$ da una vuelta completa alrededor de $z_0$ tendremos que $\theta$ habrá aumentado $2\pi$, por lo que: \begin{align*} F\left(\frac{1}{z}\right) & = r^{-1/2} \operatorname{cis}\left(\frac{-\theta + 2\pi}{2}\right)\\ & = r^{-1/2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\theta}{2}\right) \operatorname{cis}\left(\pi\right)\\ & = r^{-1/2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\theta}{2}\right) \operatorname{cis}\left(\pi\right)\\ & = -r^{-1/2} \operatorname{cis}\left(-\frac{\theta}{2}\right), \quad -\pi<\theta<\pi,\\ & = f_{-}\left(\frac{1}{z}\right). \end{align*}

Entonces, después de una vuelta alrededor del punto $z_0=0$, la función multivaluada $F(1/z)$ cambio de rama, por lo que $z=0$ es un punto de ramificación de $F(1/z)$ y por tanto $z_\infty = \infty$ es un punto de ramificación de $F(z)$.

De manera análoga, si $z$ da dos vueltas alrededor de $z_0 = 0$, entonces $F$ vuelve a tomar el valor de la rama principal, es decir que con dos vueltas la rama principal regresa a sí misma, por tanto $z_0$ es un un punto de ramificación de orden $2-1 = 1$ de $F(1/z)$.

Definición 13.6.(Corte de rama.)
Un corte de rama es una línea (habitualmente recta) que separa dos ramas de una misma función multivaluada. Equivalentemente, es la línea en la que una rama se hace discontinua.

Observación 13.15.
Los cortes de rama son, en realidad, curvas por las que hacemos discontinuas las ramas y que impiden que podamos dar una vuelta completa alrededor de un punto de ramificación. Es muy importante hacer notar que los cortes de rama no son únicos y podemos elegirlos según nos convenga.

Ejemplo 13.13.
Consideremos a la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$. De acuerdo con el ejemplo 13.11, tenemos que para las ramas $f_0, f_1$ y $f_2$ sus cortes de ramas son, respectivamente, las semirrectas: \begin{align*} L_{-\pi} = \left\{-r : r\geq 0\right\} = (-\infty,0],\\ L_{\frac{3\pi}{2}} = \left\{-ir : r\geq 0\right\},\\ L_{\pi} = \left\{-r : r\geq 0\right\} = (-\infty,0], \end{align*} pues en dichos conjuntos cada una de las ramas no son continuas.

Ejemplo 13.14.
Consideremos a \begin{equation*} I = \left(\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}\right]. \end{equation*}

La función $\operatorname{Arg}_I(z)$ es discontinua en: \begin{equation*} L_{\frac{3\pi}{2}} = \left\{-ir : r\geq 0\right\}, \end{equation*} por lo que dicha semirrecta corresponde con su corte de rama.

Por otra parte, para la función $\operatorname{Arg}(z)$ se tiene que su corte de rama es la semirrecta: \begin{equation*} L_{-\pi} = \left\{-r : r\geq 0\right\} = (-\infty,0], \end{equation*} pues en dicho conjunto la función es discontinua.

Figura 63: Dominios $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ y $\mathbb{C}\setminus[0,\infty)$ de las ramas principal y natural del argumento.

Ejemplo 13.15.
Considerando las ramas principal y natural del argumento determina los corte de rama para la función multivaluada $F(z) = \sqrt{z^2-1}$. ¿Cuáles son los puntos de ramificación de $F$?

Solución. Si elegimos la rama principal del argumento entonces tenemos que: \begin{equation*} -\pi < \operatorname{Arg}(w)\leq \pi \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{w\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(w)\leq 0, \operatorname{Im}(w) = 0 \right\}. \end{equation*}

Por lo que, tomando $w = z^2-1$ y $z=x+iy$, con $x,y\in\mathbb{R}$, tenemos que el corte de rama de la rama principal $f_0(z) = \sqrt{z^2-1}$ está dado por las siguientes condiciones: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(z^2-1) = x^2 – y^2 -1 \leq 0,\\ \operatorname{Im}(z^2-1) = 2xy = 0. \end{array} \right. \end{equation*}

Notemos que si $x=0$, entonces de la primera condición se sigue que $y^2 \leq -1$, lo cual claramente no es posible, por lo que $x\neq 0$.

Dado que $x\neq 0$, se sigue de la segunda condición que $y=0$, por lo que $x^2\leq 1$, es decir $|\,x\,| \leq 1$.

Entonces, considerando la rama principal del argumento, tenemos que el corte de rama de $f_0$ es el segmento de recta dado por: \begin{equation*} L_P = \left\{z =x+iy\in\mathbb{C} : |\,x\,| \leq 1, y = 0 \right\}. \end{equation*}

Mientras que si elegimos la rama natural del argumento entonces tenemos que: \begin{equation*} 0 \leq \operatorname{Arg}(w) < 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{w\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(w)\geq 0, \operatorname{Im}(w) = 0 \right\}. \end{equation*}

Por lo que, tomando $w = z^2-1$ y $z=x+iy$, con $x,y\in\mathbb{R}$, tenemos que el corte de rama de la rama $f(z) = \sqrt{z^2-1}$ está dado está dado por las siguientes condiciones: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \operatorname{Re}(z^2-1) = x^2 – y^2 -1 \geq 0,\\ \operatorname{Im}(z^2-1) = 2xy = 0. \end{array} \right. \end{equation*}

De manera análoga concluimos que $x\neq 0$, por lo que de la segunda condición se sigue que $y=0$, entonces $x^2\geq 1$, es decir $|\,x\,| \geq 1$.

Entonces, considerando la rama natural del argumento, tenemos que el corte de rama de $f$ son dos semirrectas dadas por: \begin{equation*} L_N = \left\{z =x+iy\in\mathbb{C} : |\,x\,| \geq 1, y = 0 \right\}. \end{equation*}

Figura 64: Cortes de rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$ considerando las ramas principal y natural del argumento.

Sabemos que para la función multivaluada $F(w)=\sqrt{w}$, se tiene que $w=0$ y $w=\infty$ son, ambos, puntos de ramificación de orden 1, por lo que si $w=z^2-1$, entonces un primer candidato a ser punto de ramificación es $w=0$, es decir $z^2-1=(z-1)(z+1) = 0$, de donde inferimos que $z=1$ y $z=-1$ son ambos puntos de ramificación.

Sean: \begin{equation*} z-1=r_1 \operatorname{cis}(\alpha_1), \quad r_1 = |\,z-1\,|, \,\, \operatorname{arg}(z-1) = \alpha_1, \end{equation*} \begin{equation*} z+1=r_2 \operatorname{cis}(\alpha_2), \quad r_2 = |\,z+1\,|, \,\, \operatorname{arg}(z+1) = \alpha_2, \end{equation*} donde $\alpha_1 = \theta_1 +2\pi n_1$, $\alpha_2 = \theta_2 +2\pi n_2$ con $\theta_1 = \operatorname{Arg}(z-1)$, $\theta_2 = \operatorname{Arg}(z+1)$ y $n_1, n_2 \in \mathbb{Z}$.

Entonces, considerando la proposición 13.2 tenemos que: \begin{align*} z^2-1 = (z-1)(z+1) & = r_1 r_2\operatorname{cis}\left(\alpha_1 + \alpha_2\right)\\ & = r_1 r_2\operatorname{cis}\left(\theta_1 + \theta_2 + 2n\pi\right), \quad n = n_1+n_2 + N_{+}\in\mathbb{Z}, \end{align*} con $N_{+} \in \{-1, 0, 1\}$.

Por lo que: \begin{align*} F(z) = \sqrt{(z-1)(z+1)} & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} + n\pi\right)\\ & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1 + \theta_2}{2}\right)\operatorname{cis}\left(n\pi\right), \quad n\in\mathbb{Z}. \end{align*}

De acuerdo con la observación 3.14, es claro que las dos ramas diferentes de $F$ están dadas para los valores enteros $n=0$ y $n=1$.

Para $n=0$ tenemos: \begin{equation*} f_{+}(z) = \sqrt{z^2 -1} = \sqrt{(z-1)(z+1)} = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right). \end{equation*}

Y para $n=1$ tenemos: \begin{equation*} f_{-}(z) = \sqrt{z^2 -1} = \sqrt{(z-1)(z+1)} = -\sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right). \end{equation*}

En ambos casos $r_1, r_2 >0$ y $-\pi < \theta_1, \theta_2 <\pi$.

Consideremos una circunferencia con centro en $1$ y radio suficientemente pequeño para que el punto $z=-1$ sea un punto exterior a ella, figura 65, y tomemos a un punto cualquiera $z$ sobre ella, entonces: \begin{equation*} F(z) = \sqrt{z^2 -1} = \sqrt{(z-1)(z+1)} = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) = f_{+}(z). \end{equation*}

Notemos que si damos una vuelta alrededor del punto $z=1$, considerando el punto $z$ sobre la circunferencia dada, entonces solo el argumento de $z-1$ se verá afectado, es decir: \begin{align*} F(z) & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\left(\theta_1 + 2\pi\right) +\theta_2}{2}\right)\\ & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) \operatorname{cis}\left(\pi\right)\\ & = – \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1 +\theta_2}{2}\right)\\ & = f_{-}(z)\\ & \neq f_{+}(z), \end{align*} por lo que, después de una vuelta alrededor del punto $z=1$, la función $F$ cambió de rama, es decir que $z=1$ es un punto de ramificación de orden $1$.

Figura 65: El punto $z$ da una vuelta completa alrededor del punto $z=1$ y se modifica el argumento de $z-1$, por tanto $z=1$ es un punto de ramificación.

De manera similar, si tomamos un punto $z$ sobre una circunferencia con centro en el punto $z=-1$ y radio suficientemente pequeño de tal forma que el punto $z=1$ sea un punto exterior a ella, figura 66, entonces el argumento de $z+1$ se verá modificado en $2\pi$, es decir: \begin{align*} F(z) & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\left(\theta_2 + 2\pi\right) +\theta_1}{2}\right)\\ & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) \operatorname{cis}\left(\pi\right)\\ & = – \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1 +\theta_2}{2}\right)\\ & = f_1(z)\\ & \neq f_0(z), \end{align*} por lo que, de nueva cuenta la función $F$ cambio de rama, entonces $z=-1$ también es un punto de ramificación de orden $1$.

Figura 66: El punto $z$ da una vuelta completa alrededor del punto $z=-1$ y se modifica el argumento de $z+1$, por tanto $z=-1$ es un punto de ramificación.

Por último, tomemos a un punto $z_0\in\mathbb{C}$, con $z_0 \neq 1, -1$, y tracemos una circunferencia con centro en $z_0$ y radio suficientemente pequeño, de tal forma que $1$ y $-1$ sean puntos exteriores a ella, figura 67. Notemos que si un punto $z$ da una vuelta completa sobre dicha circunferencia, entonces los argumentos de $z-1$ y $z+1$ no se ven modificados, por lo que la función $F$ no cambia de rama, es decir que $z_0$ no es un punto de ramificación, por lo que $z=1$ y $z=-1$ son los únicos puntos de ramificación.

Figura 67: El punto $z$ da una vuelta completa alrededor del punto $z_0$, con $z_0$ distinto de $1$ y $-1$, y al no modificarse el argumento de $z-1$ ni de $z+1$, concluimos que $z_0$ no es un punto de ramificación.

Más aún, si tomamos una circunferencia que encierre a ambos puntos de ramificación, al dar una vuelta completa sobre dicha circunferencia tendremos que tanto el argumento de $z-1$ como el de $z+1$ se verán modificados, es decir: \begin{align*} F(z) & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\left(\theta_1 + 2\pi\right) + \left(\theta_2 + 2\pi\right)}{2}\right)\\ & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right) \operatorname{cis}\left(2\pi\right)\\ & = \sqrt{r_1 r_2} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta_1 +\theta_2}{2}\right), \end{align*} de donde se sigue que $z=\infty$ no es un punto de ramificación.

Es sencillo verificar esto último considerando a la función $F(1/z)$, por lo que se deja como ejercicio al lector.

Gráficamente, los cortes de rama dados en la figura 64 nos aseguran que una rama definida en un dominio que excluya a dichos conjuntos en efecto será una función continua univaluada, es decir que solo nos determinará un único valor para cada $z$ en dicho dominio.

Tarea moral

  1. Verifica que se cumple la observación 13.3.
  2. Demuestra la proposición 13.2.
  3. Obtén, en las regiones apropiadas, las funciones inversas $z=g(w)$ de:
    a) $w = f(z) = z^3$.
    b) $w = f(z) = (z-1)^4+i$.
    c) $w = f(z) = z^7+1+i$.
    d) $w = f(z) = 2z^2+iz-i+1$.
  4. Verifica que se cumple (13.7).
  5. Considera a la función multivaluada $F(z) = z^{1/3}$ dada por sus tres ramas $f_0, f_1$ y $f_2$ siguientes: \begin{equation*} F(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} f_0(z) = \sqrt[3]{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{3}\right) & \text{si} & 0 \leq \theta < 2\pi, \\ f_1(z) = \sqrt[3]{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{3}\right) & \text{si} & 2\pi \leq \theta < 4\pi, \\ f_2(z) = \sqrt[3]{r}\operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{3}\right) & \text{si} & 4\pi \leq \theta < 6\pi, \end{array} \right. \end{equation*} donde $\theta = \operatorname{Arg}_{[0,2\pi)}(z)$ y $r=|\,z\,|$.
    Prueba que $z_0 = 0$ y $z_\infty = \infty$ son puntos de ramificación de $F$, ambos de orden $2$.
  6. Muestra que los puntos dados son los puntos de ramificación de las siguientes funciones multivaluadas.
    a) $z=0$, $z=\infty$ ambos de orden $n-1$ para $F(z) = \sqrt[n]{z}$, $n\geq 2$. Recuerda que para esta función existen exactamente $n$ ramas distintas.
    b) $z=5$, $z=i$ y $z=2i-3$, los tres de orden $1$ para $F(z) = \sqrt{(z-5)(z-i)(z-2i+3)}$.
  7. Prueba que el corte de rama de la función $f(z) = \operatorname{Arg}(iz-1)$ es la semirrecta: \begin{equation*} L = \left\{z=x+iy\in\mathbb{C} : x=0, y\geq 0\right\} \end{equation*} Hint: Observa que $-\pi < \operatorname{Arg}(w) \leq \pi \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{w\in\mathbb{C} : \operatorname{Re}(w)\leq 0, \operatorname{Im}(w)=0\right\}$.
  8. Sean $\alpha\in\mathbb{R}$ e $I = (\alpha, \alpha+2\pi]$. Define: \begin{equation*} \alpha^* = \alpha – 2\pi\left(\left\lceil\frac{\alpha}{2\pi}\right\rceil – 1 \right). \end{equation*} Muestra que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_I(z) = \left\{ \begin{array}{lcc} \operatorname{Arg}(z) + 2\pi\left( \left\lceil\frac{\alpha}{2\pi}\right\rceil – 1\right) & \text{si} & \alpha^*< \operatorname{Arg}(z) \leq \pi, \\ \operatorname{Arg}(z) + 2\pi \left\lceil\frac{\alpha}{2\pi}\right\rceil & \text{si} & \alpha^*< \operatorname{Arg}(z) \leq \pi, \end{array} \right. \end{equation*} donde $\lceil x \rceil = n \quad \Longleftrightarrow \quad n-1<x\leq n \quad \Longleftrightarrow \quad x \leq n < x+1$, para $n\in\mathbb{Z}$.

Más adelante…

En esta entrada introducimos de manera formal el concepto de función multivaluada y vimos algunos ejemplos puntuales de funciones de este tipo considerando algunos resultados que habíamos obtenido a lo largo de la unidad anterior.

En resumen, una función multivaluada puede pensarse como una colección de funciones univaluadas a las cuales llamamos ramas de la función. Más aún, las funciones multivaluadas pueden caracterizarse por sus puntos de ramificación y sus cortes de ramas. Los cortes de ramas, nos definen una rama de la función multivaluada, de acuerdo con la definición 13.2, la cual es una función discontinua sobre los puntos del corte ramal.

Dado que cada corte de rama impone una restricción en los valores del argumento, los cuales están limitados a un intervalo de longitud $2\pi$, y a su vez cada rama del argumento implica un corte en el plano complejo, entonces no existe una única forma de definir un corte de rama, esto dependerá en esencia de las necesidades del cálculo en cierto problema.

En las siguientes entradas estaremos trabajando con más ejemplos de funciones multivaluadas, como el logaritmo y las funciones inversas de las funciones trigonométricas e hiperbpolicas, que resultan ser de las funciones más elementales para el caso complejo, por lo que es importante familiarizarnos con este nuevo concepto y con las propiedades que lo definen.

La siguientes dos entradas veremos dos conceptos fundamentales en la teoría de las funciones, el del límite y continuidad. Como vimos en nuestros cursos de Cálculo, es posible estudiar y caracterizar a una función real a través del límite y la continuidad en un punto de la misma. Nuestro objetivo en las siguientes entradas consistirá en trabajar dichos conceptos pero desde la perspectiva de la variable compleja.

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Variable Compleja I: Continuidad en $\mathbb{C}$

Por Pedro Rivera Herrera

Introducción

En esta entrada abordaremos de manera formal el concepto de continuidad en el sentido complejo. El concepto de continuidad en el ámbito matemático se remonta hace cientos de años atrás, aunque fue hasta mediados del siglo XIX cuando matemáticos como Augustin Louis Cauchy comienzan a dar una formulación precisa de dicho concepto. Desde entonces el concepto de continuidad ha sido refinado, abstraído y generalizado para muchas de las ramas de las matemáticas, en particular en el Cálculo y el Análisis.

En el caso real, solíamos asociar la idea intuitiva de que una función real continua era aquella cuya gráfica no tenía «huecos» o «saltos». Sin embargo, como hemos mencionado antes, en el caso complejo nos será imposible visualizar la gráfica de una función compleja, por lo que resulta interesante cuestionarnos sobre cómo podríamos pensar de forma intuitiva dicho concepto en el caso complejo.

Aunque tendremos definiciones similares a las del caso real, no debemos dar por hecho que el comportamiento de las funciones complejas será necesariamente el mismo que el de las funciones reales, de hecho veremos que las funciones complejas extienden ciertas propiedades de las funciones reales de dos variables continuas, pero veremos que en general las funciones complejas se comportan distinto a las funciones vectoriales de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}^2$, pues resultan ser más restrictivas en ciertas propiedades.

Continuidad de funciones complejas

Definición 15.1. (Continuidad de una función compleja.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es continua en un punto $z_0\in S$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $z\in S$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces $|\,f(z)-f(z_0)\,|<\varepsilon$. Si $f$ es continua en todo punto $z_0 \in S$, entonces diremos que $f$ es continua en $S$. Si $f$ no es continua en $z_0\in S$, entonces diremos que es discontinua en $z_0$.

Ejemplo 15.1
a) Veamos que las funciones $f(z) = \operatorname{Re}(z)$ y $g(z) = \operatorname{Im}(z)$ son continuas para todo $z_0\in\mathbb{C}$.
Solución. Sea $z_0 \in \mathbb{C}$. De acuerdo con la observación 3.1 tenemos que: \begin{equation*} |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|,\end{equation*} \begin{equation*}|\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Por lo que para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon >0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z – z_0\,| < \delta$, entonces:
\begin{equation*}|\,f(z) – f(z_0)\,| = |\,\operatorname{Re}(z) – \operatorname{Re}(z_0)\,| < \varepsilon, \end{equation*} \begin{equation*}|\,g(z) – g(z_0)\,| = |\,\operatorname{Im}(z) – \operatorname{Im}(z_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} De donde se sigue el resultado.

b) Veamos que la función $h(z)=|\,z\,|$ es continua para todo $z_0 \in\mathbb{C}$.
Solución. Sean $z, z_0\in\mathbb{C}$, con $z_0$ fijo. Por la proposición 3.3 sabemos que: \begin{equation*}|\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| \leq |\,z – z_0\,|. \end{equation*} Entonces, para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta = \varepsilon>0$ tal que si $z\in\mathbb{C}$ y $|\,z-z_0\,|<\delta$, entonces: \begin{equation*} |\,h(z) – h(z_0)\,| = |\,|\,z\,| – |\,z_0\,| \,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo que $f$ es continua para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Observación 15.1.
Al igual que con el límite, podemos ver que la continuidad de una función compleja $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$, se puede garantizar a través de la continuidad de las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$, correspondientes con la parte real y la parte imaginaria de $f$. Para ello recordemos la definición de continuidad para una función real de dos variables, vista en nuestros cursos de Cálculo.

Definición 15.2. (Continuidad de una función real de dos variables.)
Sean $U\subset\mathbb{R}^2$ y $u:U\to\mathbb{R}$ una función real de dos variables, digamos $x$ e $y$. Para $(x_0, y_0)\in U$ diremos que $u$ es contninua en $(x_0, y_0)$ si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que si $(x,y)\in U$ y $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$, entonces: \begin{equation*} |u(x,y) – u(x_0,y_0)| < \varepsilon. \end{equation*}

Proposición 15.1.
Toda función compleja es continua si y solo si su parte real y su parte imaginaria son continuas.

Demostración. Sean $S \subset \mathbb{C}$ y $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja arbitraria y sea $z = x+iy \in S$.

De acuerdo con la proposición 12.1 sabemos que toda función compleja $f$ puede escribirse de la forma:\begin{equation*} f(z) = u(x,y) + i v(x,y), \end{equation*} donde las funciones reales $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son su parte real y su parte imaginaria, respectivamente.

Para $z_0 = x_0 + iy_0\in S$ fijo tenemos por la observación 3.1 que: \begin{equation*} |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} \begin{equation*} |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,| \leq |\,f(z) – f(z_0)\,| \leq |\,u(x,y) – u(x_0, y_0)\,| + |\,v(x,y) – v(x_0, y_0)\,|, \end{equation*} por lo que considerando las definiciones 15.1, 15.2 y las desigualdades anteriores se sigue el resultado.

$\blacksquare$

Observación 15.2.
Notemos que en la definición 15.1 se tiene implícita la condición de que:

  1. existe $f(z_0)$.

De acuerdo con la proposición 9.4 de la entrada 9, sabemos que para $z_0 \in S\subset\mathbb{C}$ pueden suceder dos casos:

  • $z_0$ es un punto aislado de $S$, es decir que $z_0 \in S \setminus S’$,
  • $z_0$ es un punto de acumulación de $S$, es decir que $z_0 \in S \cap S’$.

Debe ser claro que si $z_0$ es un punto aislado, entonces existe alguna $\delta$-vecindad de $z_0$, digamos $B(z_0,\delta)$, tal que no contiene otros puntos de $S$ aparte de $z_0$, es decir para todo $z\in S$: \begin{equation*} |\,z-z_0\,|<\delta \quad \Longrightarrow \quad z=z_0, \end{equation*} por lo que $|\,f(z) – f(z_0)\,|=0<\varepsilon$. Entonces, de acuerdo con la definición 15.1, una función compleja $f$ es siempre continua en un punto aislado.

Mientras que si $z_0 \in S\cap S’$ también debe cumplirse que:

  1. existe $\lim\limits_{z \to z_0} f(z)$,
  2. y $\lim\limits_{z \to z_0} f(z) = f(z_0)$.

Por lo que basta con que no se cumpla alguna de estas tres condiciones para que una función $f\in\mathcal{F}(S)$ sea discontinua en $z_0\in S\subset\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.2.
Sea $c\in\mathbb{C}$ una constante y $n\in\mathbb{N}^+$. Consideremos a la función $f(z) = c z^n$. Veamos que $f$ es continua en $\mathbb{C}$.

Solución. De acuerdo con la observación 14.5 de la entrada anterior, para toda $n\in\mathbb{N}^+$ tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = c z_0^n. \end{equation*} Por otra parte, tenemos que $f(z_0) = cz_0^n$ para todo $n\in\mathbb{N}^+$, por lo que $f$ es una función continua en $\mathbb{C}$.

Ejemplo 15.3.
a) Verificar si la función $f(z) = z^2 – iz + 2$ es continua en $z_0 = 1 – i \in \mathbb{C}$.
Solución. De acuerdo con la observación 15.2 para ver si la función $f$ es continua en el punto $z_0 \in \mathbb{C}$ basta con ver que se cumplan las tres condiciones establecidas en dicha observación.

  1. Es claro que $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = (1-i)^2 – i(1-i) + 2 = 1 – 3i. \end{equation*}
  2. Considerando la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to z_0} z\right)^2 – i \left( \lim_{z \to z_0} z\right) + 2\\ & = \left(1-i\right)^2 – i \left(1-i\right) + 2\\ & = 1-3i. \end{align*}
  3. Tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto $f$ es continua en $z_0 = 1-i \in \mathbb{C}$.

b) Consideremos a la siguiente función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} z^2 & \text{si} & z \neq i, \\ 0 & si & z = i. \end{array} \right. \end{equation*} Probar que $f$ no es continua en $z_0 = i$.
Solución. Notemos que:

  1. $f$ está definida en $z_0$, y es tal que: \begin{equation*} f(z_0) = 0. \end{equation*}
  2. De acuerdo con la observación 14.6 tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to z_0} f(z) &= \left(\lim_{z \to i} z\right)^2\ & = (i)^2 = -1. \end{align*}
  3. Es claro que: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(z) = -1 \neq 0 = f(z_0). \end{equation*}

Por lo tanto, tenemos que $f$ no es continua en $z_0 = i$.

Observación 15.3.
Dado que $\mathbb{C}$ dotado con el módulo es un espacio métrico, entonces son válidas las propiedades de continuidad para espacios métricos probadas en la entrada 9, en particular establecemos la siguiente caracterización.

Proposición 15.2.
Sean $S\subset \mathbb{C}$, $z_0 \in S$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $z_0$ de acuerdo con la definición 15.1,
  2. para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que: \begin{equation*} B(z_0,\delta) \cap S \subset f^{-1}\left[ B(f(z_0),\varepsilon)\right]. \end{equation*}
  3. $\lim\limits_{n\to\infty} f(z_n) = f(z_0)$, para toda sucesión $\{z_n\}_{n\geq 1} \subset S$ que converge a $z_0$.

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Proposición 15.3.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. $f$ es continua en $S$ de acuerdo con la definición 15.1,
  2. si $U\subset \mathbb{C}$ es abierto en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(U)$ es también abierto en $S$,
  3. si $F\subset \mathbb{C}$ es cerrado en $\mathbb{C}$, entonces $f^{-1}(F)$ es también cerrado en $S$.

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Proposición 15.4.
Sea $H\subset \mathbb{C}$, $g\in\mathcal{F}(H)$ una función tal que $g(H) \subset S \subset\mathbb{C}$ y sea $f\in\mathcal{F}(S)$. Supongamos que $z_0$ es un punto de acumulación de $H$, que $\lim\limits_{z \to z_0} g(z) = w_0 \in S$ y que $f$ es continua en $w_0$. Entonces $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$, es decir: \begin{equation*} \lim_{z \to z_0} f(g(z)) = f\left(\lim_{z \to z_0} g(z) \right). \end{equation*}

Demostración. Dadas las hipótesis, tenemos que dado $\varepsilon>0$ existe $\eta>0$ tal que si $w\in S$ y $|\,w – w_0\,| < \eta $ entonces: \begin{equation*} |\,f(w) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Más aún, tenemos que para dicha $\eta>0$ existe un $\delta>0$ tal que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,g(z) – w_0\,| < \eta. \end{equation*} Por lo que considerando estas dos implicaciones se sigue que si $z\in H$ y $0<|\,z-z_0\,|<\delta$ entonces: \begin{equation*} |\,f(g(z)) – f(w_0)\,| < \varepsilon. \end{equation*} Por lo tanto $\lim\limits_{z \to z_0} f(g(z)) = f(w_0)$.

$\blacksquare$

Proposición 15.5.
Sean $S\subset \mathbb{C}$ y $f,g\in\mathcal{F}(S)$ dos funciones continuas en $S$, entonces:

  1. $f \pm g$ es continua en $S$.
  2. $fg$ es continua en $S$. Si $g$ es constante, es decir si $g(z) = c\in\mathbb{C}$ para todo $z\in S$, entonces $cf$ es continua en $S$.
  3. Si $g(z) \neq 0$ para todo $z\in S$, entonces $\dfrac{f}{g}$ es continua en $S$.
  4. Si $z_0 \in S$ y $h$ es una función definida en un conjunto $U \subset f(S)$ tal que $h$ es continua en $f(z_0)$, entonces la composición $h\circ f$ es continua en $z_0$.

Demostración. Utilizando la definición 15.1 y la proposición 14.3 de la entrada anterior es fácil probar el resultado, por lo que se deja como ejercicio al lector.

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Corolario 15.1.
Los polinomios son continuos en $\mathbb{C}$. Las funciones racionales son continuas en su dominio de definición.

Demostración. Sea $p(z) = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n$, con $z\in\mathbb{C}$, un polinomio de coeficientes complejos, es decir $c_i \in\mathbb{C}$ para toda $i\in{0,1,\ldots, n}$, con $c_n\neq 0$.

Procedemos a realizar la prueba por inducción sobre $n$. Notemos que para $n=0$ se tiene que $p(z) = c_0\neq 0$ es una función constante, entonces considerando el ejemplo 14.1(c) de la entrada anterior, tenemos que: \begin{equation*} \lim_{z\to z_0} p(z) = \lim_{z\to z_0} c_0= c_0 = p(z_0), \end{equation*} por lo que en dicho caso $p(z)$ es continuo para todo $z_0\in\mathbb{C}$.

Para $n=1$, tenemos que $p(z) = c_0 + c_1 z$, por lo que considerando la proposición 15.5(1), al ser $c_0$ y $c_1 z$ funciones continuas en $\mathbb{C}$, entonces $p(z) = c_0 + c_1 z$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$. Supongamos que el polinomio $q(z) = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i$, para algún $k\in\mathbb{N}$ fijo, es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$.

Para $n=k+1$ tenemos que: \begin{align*} p(z) & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k+1}c_i z^i\\ & = c_0 + \sum_{i = 1}^{k}c_i z^i + c_{k+1} z^{k+1}\\ & = q(z) + c_{k+1} z^{k+1}, \end{align*} por hipótesis de inducción tenemos que $q(z)$ es un polinomio continuo y al ser $c_{k+1} z^{k+1}$ una función continua, entonces por la proposición 15.5(1), es claro que para $n=k+1$ el polinomio $p(z)$ es continuo para todo $z\in\mathbb{C}$, por lo que el resultado es válido para todo $n\in\mathbb{N}$.

Por otra parte, consideremos a $f(z) = \dfrac{p(z)}{q(z)}$, la cual es una función racional definida como el cociente de dos polinomios. De acuerdo con la proposición 15.5(3), considerando que todo polinomio es continuo en $\mathbb{C}$ se sigue que $f$ es continua en todo su dominio de definición, es decir en $S =\{z\in\mathbb{C} \, : \, q(z)\neq 0\}$.

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Ejemplo 15.4.
Considera la siguiente función y determina dónde es continua. \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1}. \end{equation*}

Solución. Tenemos que $z^2 + 1 = 0$ si y solo si $z=i$ o $z=-i$, por lo que el dominio natural de $f$ es el conjunto $S = \mathbb{C}\setminus\{i, -i\}$. De acuerdo con el corolario 15.1, dado que $f$ es una función racional entonces $f$ es continua en $S$.

Una pregunta que podemos hacernos es ¿se puede asignar un valor a la función $f$ de tal modo que sea continua en $z=i$?

Notemos que: \begin{equation*} f(z) = \frac{z-i}{z^2 + 1} = \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}. \end{equation*} Para $z\neq i$ tenemos que: \begin{align*} \lim_{z \to i} f(z) & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{z^2 + 1}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{z-i}{(z-i)(z+i)}\\ & = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i}\\ & = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}. \end{align*} Por lo que podemos definir a la función:
\begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z-i}{z^2 + 1} & \text{si} & z \neq -i, \\ -\dfrac{i}{2} & si & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} la cual claramente es una función continua en $z=i$, por lo que la discontinuidad de la función $f(z)$ en el punto $z=i$ pudo removerse.

Definición. 15.3. (Discontinuidad removible.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función discontinua en un punto $z_0\in S$. Se dice que $f(z)$ tiene una {\bf discontinuidad removible} en $z_0$ si existe el límite de $f(z)$ en dicho punto y la función no está definida en $z_0$ o tiene asignado un valor distinto al del límite, en tal caso la función $f(z)$ puede hacerse continua definiendo el valor de la función en $z_0$ como el valor del límite.

Si un punto $z_0 \in S$ no es una discontinuidad removible, diremos que es una discontinuidad irremovible.

Ejemplo 15.5.
Veamos que la función $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z)}{z}$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Solución. De acuerdo con el corolario 15.1, es claro que la función $f(z)$ no es continua en $z=0$. Veamos que el límite de la función $f(z)$ cuando $z$ tiende a $0$ no existe.

Sea $z=x+iy \neq 0$. Si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje real, es decir si $y=0$ y $z=x$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{x}{x}\\ & = \lim_{x\to 0 } 1\\ & = 1. \end{align*} Por otra parte, si nos aproximamos a $0$ a lo largo del eje imaginario, es decir si $x=0$ y $z=iy$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to 0 } f(z) & = \lim_{z\to 0 } \frac{\operatorname{Re}(z)}{z}\\ & = \lim_{x\to 0 } \frac{0}{iy}\\ & = \lim_{x\to 0 } 0\\ & = 0. \end{align*} Por lo que el $\lim\limits_{z \to 0} f(z)$ no existe. Entonces la función tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$.

Ejemplo 15.6.
Veamos que la función $f(z) =\operatorname{Arg}(z)$ tiene una discontinuidad irremovible en $z=0$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible y por tanto que $f$ solo es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sabemos que para $z=0$ la función argumento principal no está definida, por lo que en $z=0$ dicha función no es continua. Veamos que dicho valor es una discontinuidad irremovible mostrando que el límite en dicho punto no existe.

Sabemos que:

  1. si $z=x>0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = 0$,
  2. si $z=x<0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por lo que:

  1. para $x>0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = 0$,
  2. mientras que para $x<0$ se tiene que $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{x \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = \pi$.

Por la unicidad del límite concluimos que no existe $\lim\limits_{z \to 0} \operatorname{Arg}(z)$, por lo que $z=0$ es una discontinuidad irremovible.

Sea $z_0\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$, tal que $z_0 = x_0 < 0$, fijo, entonces $\operatorname{Arg}(z_0) = \pi$. De acuerdo con la definición de la función $\operatorname{Arg}(z)$ dada en la entrada 13, es claro que para $z=x+iy\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, se tiene que:

  1. si $x<0$ y $y\geq0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc\,tan}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi$,
  2. si $x<0$ y $y <0$, entonces $\operatorname{Arg}(z) = \operatorname{arc \,tan}\left( \frac{y}{x} \right) – \pi$.

Por lo que, si nos aproximamos a $z_0$ mediante $z = z_0 + iy$ tenemos:
\begin{align*} \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^+} \operatorname{Arg}(z) = \pi,\\ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z) = \lim\limits_{y \to 0^-} \operatorname{Arg}(z) = -\pi. \end{align*}

Entonces la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $z_0 = x_0<0$ y desde que no existe $ \lim\limits_{z \to z_0} \operatorname{Arg}(z)$ tenemos que $z_0$ es una discontinuidad irremovible. Como $z_0 = x_0<0$ era arbitrario, entonces todo $z_0 \in (-\infty, 0)$ es una discontinuidad irremovible.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Por la proposición 13.1, entrada 13, sabemos que para $z\neq 0$ si $z \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0)$ entonces: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right), \end{equation*} de donde $u(x,y) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right)$ y $v(x,y) =0$, las cuales son funciones reales continuas, entonces de la proposición 15.1 se sigue que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Observación 15.4.
Debe ser claro que la función $f(z) = \operatorname{Arg}(z) = \operatorname{Arg}_{(-\pi, \pi]}(z)$ corresponde con una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$ desde que $f$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0] = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, -\pi < \operatorname{arg} z < \pi \right\}$, dicha rama es llamada la rama principal del argumento.

Más aún, para $\alpha \in \mathbb{R}$ fijo e $I=(\alpha, \alpha+2\pi]$, tenemos por la proposición 13.3 que la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ está dada por: \begin{equation*} \operatorname{Arg}_I(z) = \operatorname{Arg}\left(-z\operatorname{cis}(-\alpha)\right) + \alpha + \pi, \end{equation*} por lo que podemos verificar que $g$ será continua dónde lo sea $f$.

Veamos entonces que $g$ es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$, donde $L_\alpha = \left\{ r\operatorname{cis}(\alpha) : r \geq 0 \right\}$, figura 69.

Notemos que si $z \in L_\alpha$, entonces $z = r\operatorname{cis}(\alpha)$, con $r = |\,z\,|$ y $\alpha = \operatorname{arg} z$. Claramente $r>0$ pues en $z=0$ la función $f$ no está definida. Entonces, por la prueba de la proposición 13.3 tenemos que: \begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha)\operatorname{cis}(-\alpha) = -r\operatorname{cis}(\alpha – \alpha) = -r(1) = -r, \end{equation*} de donde $-r < 0$, por lo que $-r \in (-\infty, 0)$, pero en dicho conjunto $f$ no es continua, por lo que para $z \in L_\alpha$ la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z) $ no es continua.

Por otra parte, si $z \in \mathbb{C}\setminus L_\alpha$ tenemos que $z = \rho \operatorname{cis}(\theta)$, con $\rho = |\,z\,|>0$ y $\theta = \operatorname{Arg}_I(z)$, entonces: \begin{equation*} \alpha < \theta < \alpha + 2\pi \quad \Longleftrightarrow \quad -\pi < \theta – \alpha – \pi < \pi, \end{equation*} pues $\operatorname{cis}(\alpha + 2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha) \operatorname{cis}(2\pi) = \operatorname{cis}(\alpha)$.

Tenemos que:
\begin{equation*} -z \operatorname{cis}(-\alpha) = \operatorname{cis}(-\pi) \, \rho \operatorname{cis}(\theta)\operatorname{cis}(-\alpha) = \rho \operatorname{cis}(\theta – \alpha – \pi ), \end{equation*} por lo que $ -z \operatorname{cis}(-\alpha) \in \mathbb{C}\setminus(-\infty, 0]$, donde $f$ es continua.

Entonces la función $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$ solo es continua en $\mathbb{C}\setminus L_\alpha$. Por lo tanto, la función $g$ determina una rama de la función multivaluada $G(z) = \operatorname{arg}(z)$, siempre que se defina en el dominio, figura 69: \begin{equation*} D = \mathbb{C}\setminus L_\alpha = \left\{ z\in\mathbb{C} : |\,z\,|>0, \alpha < \operatorname{arg} z < \alpha + 2\pi \right\}. \end{equation*}

Figura 69: Dominio de continuidad $D$ de la rama del argumento $g(z) = \operatorname{Arg}_I(z)$.

Ejemplo 15.7.
Veamos que la función $f(z) = z^{1/2}$, correspondiente con la raíz cuadrada principal, definición 13.5, tiene una discontinuidad irremovible en $z=-1$. Más aún, veamos que todo $z$ en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible, aún cuando esta función solo asigna una única raíz. Concluyamos que la raíz cuadrada principal es una rama, la rama principal de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, solo si se restringe al dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$.

Solución. Sea $z =r\operatorname{cis}(\theta)\neq 0$. De acuerdo con la definición 13.5, la raíz cuadrada principal está dada por: \begin{equation*} f(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$.

Sea $z_0 = -1$, veamos que no existe $\lim\limits_{z\to z_0} f(z) = \lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$. Para ello consideremos a la circunferencia unitaria $C(0,1)$, es decir la circunferencia centrada en $z=0$ y de radio $1$, figura 70.

Figura 70: Punto $z\in C(0,1)$ que se aproxima a $z_0=-1$ por dos trayectorias distintas, dadas por la circunferencia $C(0,1)$.

Si $z \in C(0,1)$, entonces podemos aproximarnos a $z_0 = -1$ mediante la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el segundo cuadrante, es decir $\pi/2 < \operatorname{Arg}(z) < \pi$, con $\operatorname{Arg}(z) \to \pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to \pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(1)\\ & = i. \end{align*}

Si ahora nos aproximamos a $z_0=-1$ con $z\in C(0,1)$ a través de la trayectoria dada por el cuarto de circunferencia en el tercer cuadrante, es decir $-\pi < \operatorname{Arg}(z) < -\pi/$, con $\operatorname{Arg}(z) \to -\pi$, entonces: \begin{align*} \lim_{z\to -1} z^{1/2} & = \lim_{z\to -1} \sqrt{|\,z\,|}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \sqrt{1}\operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \lim_{\operatorname{Arg}(z) \to -\pi} \left[ \operatorname{cos}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\right]\\ & = \operatorname{cos}\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ & = 0 + i(-1)\\ & = -i. \end{align*}

Dado que estos dos límites son distintos, concluimos que $\lim\limits_{z\to -1} z^{1/2}$ no existe, por tanto $z_0 = -1$ es una discontinuidad irremovible.

De manera similar podemos probar que cualquier punto en el eje real negativo es una discontinuidad irremovible. Sin embargo, desde que la función $\operatorname{Arg}(z)$ es discontinua en $(-\infty, 0]$ y la función $f$ está dada en términos de dicha función, debe ser claro que $f$ será discontinua en el mismo conjunto.

Procedemos a verificar que $f$ es continua en el dominio $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$, es decir que bajo esa restricción obtenemos una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$, a la cual llamamos la rama principal $f_0$, es decir: \begin{equation*} f_0(z) = z^{1/2} = \sqrt{r} \operatorname{cis}\left(\frac{\theta}{2}\right), \end{equation*} donde $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ y $z \in \mathbb{C} \setminus(-\infty,0] = \left\{ w\in\mathbb{C} : |\,w\,|>0, -\pi < \operatorname{Arg}(w) <\pi \right\}$.

Sea $z = x+iy \in \mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$. Por la proposición 13.1 tenemos que: \begin{equation*} \operatorname{Arg}(z) = 2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{|\,z\,| + x}\right). \end{equation*}

Entonces, para $r=|\,z\,|$ y $\theta =\operatorname{Arg}(z)$ tenemos que: \begin{align*} f_0(z) & = \sqrt{|\,z\,|} \operatorname{cis}\left(\frac{\operatorname{Arg}(z)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cis}\left(\frac{2 \operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)}{2}\right)\\ & = \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{cos}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right) + i \sqrt[4]{x^2+y^2} \operatorname{sen}\left(\operatorname{arc tan}\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2} + x}\right)\right)\\ & := u(x,y) + iv(x,y). \end{align*}

Como las funciones $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son funciones reales continuas, entonces por la proposición 15.1 concluimos que la función $f_0$ es continua en $\mathbb{C} \setminus (-\infty, 0]$ y por tanto que es una rama de la función multivaluada $F(z) = z^{1/2}$.

Observación 15.5.
Considerando la definición 14.2 y la proposición 14.4 de la entrada anterior, notemos que podemos extender el concepto de continuidad para funciones definidas sobre el plano complejo extendido, es decir, diremos que una función $f: \mathbb{C}_\infty \to \mathbb{C}_\infty$ es continua en $\infty$ si \begin{equation*} f(\infty) = \lim_{z\to \infty} f(z) \end{equation*} y si $f(a) = \infty$, entonces $f$ es continua en $a$ si \begin{equation*} f(a) = \infty =\lim_{z\to a} f(z). \end{equation*}

Ejemplo 15.8.
Consideremos a la siguiente función:
\begin{equation*} f(z) = \frac{z+i}{z-i}. \end{equation*} Es claro que dicha función no está definida en $z=i$. Sin embargo, dado que: \begin{equation*} f(i) = \infty = \lim_{z\to i} f(z) \end{equation*} y \begin{equation*} f(\infty) = 1 = \lim_{z\to \infty} f(z), \end{equation*} entonces definiendo: \begin{equation*} g(z)= \left\{ \begin{array}{lcc}
\dfrac{z+i}{z-i} & \text{si} & z \neq i, \\ 1 & \text{si} & z = \infty, \\ \infty & \text{si} & z = i, \end{array} \right. \end{equation*} es claro que $g$ es una función continua de $\mathbb{C}_\infty$ en $\mathbb{C}_\infty$.

De acuerdo con los resultados de la entrada 10 para funciones continuas entre espacios métricos, tenemos que son válidas las siguientes afirmaciones para funciones complejas continuas.

Proposición 15.6. (Funciones continuas sobre conjuntos conexos y compactos.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función continua en $S$.

  1. Si $S$ es un conjunto conexo, entonces $f(S)$ es también conexo.
  2. Si $S$ es un conjunto compacto, entonces $f(S)$ es también compacto.

$\blacksquare$

Cerraremos esta entrada con el siguiente concepto.

Definición 15.4. (Continuidad uniforme.)
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Diremos que $f$ es uniformemente continua en $S$, si para todo $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ (que depende solo de $\varepsilon$) tal que si $z, w \in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$ entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$.

Ejemplo 15.9.
Sea $f(z) = \overline{z}$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Para $z,w\in\mathbb{C}$ tenemos que: \begin{equation*} |\,f(z) – f(w)\,| = |\,\overline{z} – \overline{w}\,| = |\,\overline{\overline{z} – \overline{w}}\,| = |\,z-w\,| < \varepsilon, \end{equation*} por lo que tomando $\delta=\varepsilon>0$ se cumple la definición.

Observación 15.6.
De acuerdo con la definición 15.4, notamos que el concepto de continuidad uniforme es más restrictivo que el de continuidad de una función, por lo que la continuidad uniforme estará sujeta al conjunto $S$ en el que la función esté definida, para ver esto consideremos el siguiente:

Ejemplo 15.10.
a) Sea $f(z) = z^2$ definida en $S = B(0,1)$. Veamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Solución. Notemos que para $z,w\in S$ se tiene que $|\,z\,|<1$ y $|\,w\,|<1$. Entonces: \begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = |\,z – w\,| |\,z + w\,|\\ & < \left( |\,z\,| + |\,w\,|\right) \delta\\ & < 2\delta <\varepsilon, \end{align*} por lo que basta con tomar $\delta = \frac{\varepsilon}{2}>0$ para que se cumpla la definición.

b) Sea $f(z) = z^2$ definida en $\mathbb{C}$. Veamos que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Solución. Sea $\varepsilon=1$, entonces dado $\delta>0$, por la propiedad arquimediana existe $n\in\mathbb{N}^+$ tal que $n\delta >1$. Sean $z = n$ y $w=n+\frac{\delta}{2}$, entonces se tiene que $|\,z-w\,|=\frac{\delta}{2} < \delta$, pero:
\begin{align*} |\,f(z) – f(w)\,| & = |\,z^2 – w^2\,|\\ & = n^2 + n\delta +\frac{\delta^2}{4} – n^2\\ & = n\delta +\frac{\delta^2}{4} > n\delta > 1 = \varepsilon, \end{align*} por lo que $f$ no es uniformemente continua en $\mathbb{C}$.

Proposición 15.7.
Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes.

  1. $f$ es uniformemente continua en $S$,
  2. $\operatorname{Re} f$ e $\operatorname{Im} f$ son uniformemente continuas en $S$,
  3. para cualesquiera sucesiones $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, se cumple que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Dadas las hipótesis, tenemos que:
$1. \Leftrightarrow 2.$ Su prueba es análoga a la de la proposición 15.1, por lo que se deja como ejercicio al lector.

$1. \Rightarrow 3. $
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$ y supongamos que $f$ es uniformemente continua en $S$.

Sea $\varepsilon>0$, entonces existe $\delta>0$ tal que si $z,w\in S$ y $|\,z-w\,|<\delta$, entonces $|\,f(z) – f(w)\,|<\varepsilon$. Como $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces para el $\delta>0$ se tiene que existe $N\in\mathbb{N}^+$ tal que: \begin{equation*} |\,|\,z_n – w_n\,| – 0 \,| = |\,z_n – w_n\,| < \delta, \quad \forall n\geq N, \end{equation*} por lo que para toda $n\geq N$ se cumple que: \begin{equation*} |\,|\,f(z_n) – f(w_n)\,| – 0 \,| = |\,f(z_n) – f(w_n)\,| < \varepsilon, \end{equation*} es decir que $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

$3. \Rightarrow 1.$
Sean $\{z_n\}_{n\geq 1}$ y $\{w_n\}_{n\geq 1}$ dos sucesiones en $S$ tales que si $\lim\limits_{n\to\infty} |\,z_n – w_n\,| = 0$, entonces $\lim\limits_{n\to\infty} |\,f(z_n) – f(w_n)\,| = 0$.

Por reducción al absurdo, supongamos que $f$ no es uniformemente continua en $S$, entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$ existen $z,w\in S$ tales que $|\,z-w\,|<\delta$ y $|\,f(z) – f(w)\,|\geq \varepsilon$.

Tenemos que para todo $n\in\mathbb{N}^+$ se tiene que $z_n, w_n \in S$ y $\frac{1}{n}>0$, por lo que: \begin{equation*} |\,z_n – w_n\,|<\frac{1}{n} \quad \text{y} \quad |\,f(z_n) – f(w_n)\,|\geq \varepsilon, \end{equation*} lo cual contradice nuestra hipótesis, por lo que $f$ es uniformemente convergente.

Tarea moral

  1. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que $f$ es continua en $z_0 \in S$ si y solo si $\overline{f}$ es continua en $z_0 \in S$.
  2. Sea $S = [a,b] = \{ x\in\mathbb{R} \, : \, a\leq x \leq b\}$. Considera a $S\subset \mathbb{C}$ y sea $f: S \to \mathbb{C}$ una función compleja de variable real. Tomando $z=x+i0$ podemos escribir $f(z) = u(x) + i v(x)$. Prueba que $f$ es continua si y solo si $u$ y $v$ son continuas.
  3. Analiza la continuidad de la función: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z^3 – 1}{z-1} & \text{si} & |\,z\,| \neq 1, \\ 3 & \text{si} & |\,z\,| = 1, \end{array} \right. \end{equation*} en los puntos $z_0 = 1$, $z_1 = -1$, $z_2 = i$ y $z_3 = -i$.
  4. Analiza la continuidad de las siguientes funciones y determina el valor de $f(z)$ en el punto $z_0$ de tal forma que la función sea continua en dicho punto.
    a) $f(z) = \dfrac{z^3 – z_0}{z – z_0}$.
    b) $f(z) = \left(\dfrac{1}{z – z_0}\right)\left( \dfrac{1}{z} – \dfrac{1}{z_0}\right)$.
    c) $f(z) = \dfrac{\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)}{|\,z\,|^2}$.
    d) $f(z) = \dfrac{\left(\operatorname{Re}(z)\right)^2 – \left(\operatorname{Im}(z)\right)^2}{|\,z\,|^2}$.
  5. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es continua en $z_0 \in S$, entonces $|\,f\,|$ es continua en $z_0 \in S$. ¿Es cierto el recíproco?
  6. Considera la siguiente función definida en $\mathbb{C}_\infty$: \begin{equation*} f(z)= \left\{ \begin{array}{lcc} \dfrac{z+1}{4z+3} & \text{si} & z \neq \frac{-3}{4}, \\ \infty & \text{si} & z = \frac{-3}{4}. \end{array} \right. \end{equation*} Analiza la continuidad de $f$ en $z = -\frac{3}{4}$.
  7. Sean $S\subset\mathbb{C}$ y $f\in\mathcal{F}(S)$ una función. Prueba que si $f$ es uniformemente continua en $S$, entonces $f$ es continua en $S$. ¿Es cierto el recíproco?
  8. Sea $f(z)=\dfrac{1}{z^2}$, prueba que:
    a) $f$ es uniformemente continua en $S = \left\{z\in\mathbb{C} : \frac{1}{2} \leq |\,z\,| \leq 1\right\}$,
    b) $f$ no es uniformemente continua en $S = \{z\in\mathbb{C} : |\,z\,| \leq 1\}$.

Más adelante…

En esta entrada hemos abordado de manera formal el concepto de continuidad y continuidad uniforme para funciones complejas. Caracterizamos la continuidad (y la continuidad uniforme) de las funciones complejas a través de la continuidad (y la continuidad uniforme) de su parte real e imaginaria, en particular vimos que toda función compleja continua es de la forma $f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$.

Aunque las definiciones que hemos dado en esta entrada son muy similares a las de las funciones reales, veremos en la siguiente entrada que al trabajar con funciones complejas algunos conceptos se vuelven más restrictivos para estas funciones, el cual es el caso de la diferenciabilidad compleja.

La siguiente entrada abordaremos la diferenciabilidad en el sentido complejo y veremos que la diferenciabilidad para $\mathbb{R}^2$, que hemos estudiado en nuestros cursos de Cálculo, no bastará para garantizar la diferenciabilidad en el sentido complejo.

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