Álgebra Lineal I: Proyecciones, simetrías y subespacios estables

Introducción

Anteriormente introdujimos el concepto de transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales. Vimos diversas propiedades que toda transformación lineal debe satisfacer. Finalmente, se presentaron las definiciones de kernel e imagen. Lo que haremos ahora es hablar de algunos tipos especiales de transformaciones lineales: las proyecciones y las simetrías. Para ello, aprovecharemos lo que ya estudiamos de suma y suma directas de subespacios.

Además, hablaremos del concepto de subespacios estables. Intuitivamente, un subespacio es estable para una transformación lineal si al aplicarla en elementos del subespacio, “no nos salimos del subespacio”.

Proyecciones

Hablemos de una clase fundamental de transformaciones lineales: las proyecciones sobre subespacios. Para ellas, se comienza expresando a un espacio vectorial como una suma directa V=W_1\oplus W_2. Recuerda que, a grandes rasgos, esto quiere decir que cada vector v de V se puede expresar de manera única como v=w_1+w_2, donde w_1 está en W_1 y w_2 está en W_2.

Definición. Sea V un espacio vectorial y sean W_1 y W_2 dos subespacios de V tales que V=W_1\oplus W_2. La proyección sobre W_1 es la función \pi_1:V\rightarrow W_1 definido como: para cada v\in V, se tiene que \pi_1(v) es el único vector en W_1 tal que v-\pi_1(v) está en W_2.

De manera similar podemos definir la proyección sobre W_2, llamada \pi_2:V\rightarrow W_2.

Hay otra forma de decir esto. Dado que V=W_1\oplus W_2, para todo v\in V existen únicos vectores v_1\in W_1 y v_2\in W_2 tales que v=v_1+v_2. Entonces \pi_1(v)=v_1 y \pi_2(v)=v_2.

Ejemplo. Sea V=\mathbb{R}^2, y sean W_1=\{(a,0): a\in\mathbb{R}\} y W_2=\{(0,b):b\in\mathbb{R}\}. Sabemos que W_1 y W_2 son subespacios y que V=W_1\oplus W_2. Entonces, si (a,b)\in V, se tiene que \pi_1((a,b))=(a,0) y \pi_2((a,b))=(0,b).

\square

Cuando hablamos de una proyección \pi de un espacio vectorial V, sin indicar el subespacio, de manera implícita nos referimos a una función para la cual existe una descomposición V=W_1\oplus W_2 tal que \pi es la proyección sobre W_1.

Problema. Muestra que la transformación lineal \pi:M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}) tal que

    \[\pi\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + b & 0 \\ c  & 0 \end{pmatrix}\]

es una proyección.

Solución. Para resolver el problema, tenemos que mostrar que se puede escribir M_2(\mathbb{R})=W_1\oplus W_2, de modo que \pi sea una proyección sobre W_1.

Proponemos

    \[W_1=\left\{\begin{pmatrix} r & 0 \\ s & 0\end{pmatrix}: r,s, \in \mathbb{R}\right\}\]

y W_2 como

    \[W_2=\left\{\begin{pmatrix} -r & r \\ 0 & s\end{pmatrix}: r,s, \in \mathbb{R}\right\}.\]

Si una matriz está simultánteamente en W_1 y W_2, es sencillo mostrar que únicamente puede ser la matriz cero, es decir O_2. Esto lo puedes verificar por tu cuenta. Además, cualquier matriz en M_2(\mathbb{R}) se puede escribir como suma de elementos en W_1 y W_2 como sigue:

    \[\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a +b & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -b & b \\ 0 & d \end{pmatrix}.\]

Justo \pi es la primer matriz. Esto muestra que \pi es una proyección, pues es la proyección sobre W_1 en la descomposición V=W_1\oplus W_2.

\square

Aún no hemos mostrado que las proyecciones son transformaciones lineales. Hacemos esto a continuación.

Proposición. Sea V un espacio vectorial y W_1 y un subespacio de V. Sea \pi:V\to W_1 una proyección de V sobre W_1. Entonces \pi es una transformación lineal.

Demostración. Sean v,v' \in V. Sean w=\pi(v) y w'=\pi(v'), ambos en W_1. Por definición, tenemos v-w,v'-w' \in W_2. Como W_1, W_2 son subespacios vectoriales, w+w'\in W_1 y

    \[(v+v')-(w+w')=(v-w)+(v'-w')\in W_2,\]

deducimos que \pi(v+v')=w+w'=\pi(v)+\pi(v').

Ahora sea c\in F. Notemos que cw=c\pi(v). También dado que v=w+(v-w), tenemos que cv=cw+c(v-w). Por propiedades de subespacios vectoriales, cw\in W_1 y c(v-w)\in W_2. Esto implica que \pi(cv)=cw. Entonces, \pi(cv)=cw=c\pi(v). Por lo tanto, las proyecciones son transformaciones lineales.

\square

Finalmente, notemos que \pi(v)=v para todo v\in W_1 pero \pi(v)=0 si v\in W_2.

Simetrías

Una segunda clase importante de trasnformaciones lineales son las simetrías.

Definición. Sea una descomposición V=W_1\oplus W_2, con W_1, W_2 dos subespacios de V. Decimos que s:V\rightarrow V es una simetría con respecto a W_1 a lo largo de W_2 si para todo v\in V, escrito como v=v_1+v_2 con v_1\in W_1 y v_2 \in W_2, tenemos que

    \[s(v)=v_1-v_2.\]

Al igual que con las proyecciones, no es dificil ver que las simetrías son transformaciones lineales.

Proposición. Sea s:V\rightarrow V una simetría con respecto a W_1 a lo largo de W_2. Entonces, s es una transformación lineal.

Demostración. Sean v,v' \in V. Sean v_1,v'_1\in W_1 y v_2,v'_2 \in W_2 tales que v=v_1+v_2 y v'=v'_1+v'_2. Eso implica que v+v'=(v_1+v'_1)+(v_2+v'_2) con v_1+v'_1 \in W_1 y v_2+v'_2 \in W_2. Entonces

    \[s(v)+s(v')=(v_1-v_2)+(v'_1-v'_2) =(v_1+v'_1)-(v_2+v'_2)= s(v+v').\]


Ahora sea a\in F, entonces as(v)=a(v_1-v_2)=av_1-av_2=s(av_1+av_2)=s(av). Por lo tanto, s es una transformación lineal.

\square

Notemos que si v\in W_1, entonces s(v)=v-0=v, y si v\in W_2, entonces s(v)=0-v=-v.

Subespacios estables

Observemos que las proyecciones y las simetrías satisfacen que \pi(W_1)=W_1 y s(W_1)=W_1. Esta es una propiedad muy linda, pero en general, si T:V\rightarrow V es una transformación lineal cualquiera y W un subespacio de V, no siempre tenemos que T(W)=W, o ni siquiera que T(W)\subset W. Es decir, aunque tomemos un vector w en W, puede pasar que T(w) ya “esté fuera” de W.

Los subespacios W que sí satisfacen esta última propiedad son cruciales en el estudio de este curso, y por ello, merecen un nombre especial.

Definición. Sea V un espacio vectorial y T:V\rightarrow V una transformación lineal. Si W es un subespacio de V tal que T(W)\subset W, decimos que W es un subespacio estable bajo T.

En otras palabras, W es estable bajo T si para todo v en W se tiene que T(v) también está en W. Un ejemplo trivial es la transformación identidad con cualquier subespacio W. Otro ejemplo trivial es que V y \{0\} son dos subespacios estables bajo cualquier transformación lineal T:V\rightarrow V. Otros ejemplos son los ya mencionados: las proyecciones y las simetrías.

En el siguiente ejemplo encontraremos todos los subespacios estables para una cierta transformación.

Ejemplo. Consideremos el mapeo T:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 con T(x,y)=(y,-x). Claramente T es lineal. Sea W un subespacio estable de \mathbb{R}^2 bajo T. Supongamos que W no es ni \mathbb{R}^2, ni el subespacio trivial \{ (0,0) \}.

Veremos que no hay ningún otro subespacio estable. Procedamos por contradicción. Suponiendo que hay otro subespacio estable W, su dimensión tendría que ser exactamente 1. Eso implica que W está generado por un vector no cero, digamos v=(x,y). Es decir, cada w\in W lo podemos escribir como w=av donde a es un escalar. En particular v\in W.

Como W es estable bajo T, entonces T(v)\in W, esto es T(v)=cv para algún c. Así,

    \begin{align*}(y,-x)&=T((x,y))\\&=T(v)\\&=cv\\&=c(x,y)\\&=(cx,cy).\end{align*}

Igualando ambos extremos, obtenemos quey=cx y -x=cy, lo cual implica que (c^2+1)x=0. Como c es real, esto implica x=0 y por lo tanto y=0. Concluimos que v=(0,0), lo cual es una contradicción.

Esto demuestra que los únicos subespacios estables bajo T son \mathbb{R}^2 y \{(0,0)\}.

\square

El siguiente problema estudia un problema inverso. En ella se encuentran todas las transformaciones lineales que dejan fijas “todas las rectas por el vector 0“.

Problema. Sea V un espacio vectorial y T:V\rightarrow V una transformación lineal tal que, para todo v\in V, se tiene que \text{span}(v) es un subespacio estable bajo T. Entonces existe un escalar c\in F tal que T(x)=cx para todo x\in V.

Demostración. Sea x\in V un vector distinto de 0. Si L=\text{span}(x), tenemos que T(L)\subset L por hipótesis. En particular T(x)\in L y por lo tanto existe c_x tal que T(x)=c_x x. Queremos probar que esa constante realmente no depende de x.

Sea y\in V. Hay dos opciones: x,y son linealmente independientes o no. Supongamos primero que x,y son linealmente independientes. Entonces x+y \neq 0 y la igualdad T(x+y)=T(x)+T(y) puede ser escrita como c_{x+y} (x+y)=c_x x+c_y y, esto es equivalente a (c_{x+y}-c_x)x+(c_{x+y}-c_y) y=0. Por independencia lineal, c_{x+y}-c_x=c_{x+y}-c_y=0 y por lo tanto. c_x=c_{x+y}=c_y.

Ahora si x,y no son linealmente independientes, es porque y=0 (en cuyo caso cualquier c_y funciona, en particular c_x) o bien porque y=ax para algún escalar a no cero. Entonces la igualdad T(y)=T(ax)=aT(x) puede ser escrita como c_y y=ac_x x=c_x y, y esto implica que c_y=c_x.

En cualquier caso, hemos mostrado que para todo y\in V, se tiene que c_x=c_y. Definiendo c=c_x, se satisface la afirmación de la proposición.

\square

Las imágenes y kernels son estables

Otros ejemplos importantes de subespacios estables son las imágenes y los kernels. Esto únicamente funciona para cuando tenemos una transformación lineal de un espacio vectorial a sí mismo.

Proposición. Sea T:V\to V una transformación lineal. Entonces \ker(T) e \Ima(T) son subespacios estables bajo T.

Demostración. En la entrada anterior ya vimos que \ker(T) e \Ima(T) son subespacios de V. Veamos que son estables bajo T.

Tomemos v\in \ker(T). Tenemos que mostrar que T(v)\in \ker(T). Pero esto es cierto pues

    \[T(T(v))=T(0)=0.\]

Así T(\ker(T))\subset \ker(T) y por lo tanto \ker(T) es estable bajo T.

Ahora tomemos v\in \Ima(T). De manera inmediata, T(v)\in \Ima(T). Así, \Ima(T) es estable bajo T.

\square

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • Sea Y es el subespacio Y=\{(0,r,0): r\in \mathbb{R}\} de \mathbb{R}^3. Argumenta por qué la transformación \pi:\mathbb{R}^3\to Y dada por \pi(x,y,z)=(0,y,0) es una proyección sobre Y. Para ello tendrás que encontrar un subespacio W de \mathbb{R}^3 tal que \mathbb{R}^3=Y\oplus W y con el cual \pi(x,y,z) satisface la definición.
  • Sea X el subespacio X=\{(r,0,0): r\in \mathbb{R} \}. ¿Es posible ver a la transformación T:\mathbb{R}^3 \to X dada por T(x,y,z)=(x+y+z,0,0) como una proyección sobre X? Si tu respuesta es sí, tendrás que dar un espacio W bajo el cual se satisfaga la definición. Si tu respuesta es no, tendrás que mostrar que ningún subespacio W funciona.
  • En el ejemplo de la sección de subespacios estables, ¿qué sucede si trabajamos en \mathbb{C}^2 en vez de en \mathbb{R}^2? ¿Quienes serían todos los subespacios estables?
  • Sea B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\} una base para un espacio vectorial V sobre un campo F. Sea V_i el espacio vectorial generado por v_i, es decir, el conjunto de vectores de la forma cv_i con c\in F. Como B es base, cada vector v\in V puede escribirse de la forma

        \[a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n\]

    de manera única. Muestra que para toda i\in\{1,2,\ldots,n\} la función \pi_i(v)=a_iv_i es una proyección sobre V_i.
  • Para cada entero n, muestra que \mathbb{R}_n[x] es un subespacio de \mathbb{R}[x] que es estable bajo la transformación lineal T que manda a cada polinomio p(x) a su derivada T(p(x))=p'(x).

Más adelante…

Las proyecciones y simetrías son dos ejemplos de transformaciones lineales que tienen propiedades específicas. Más adelante, cuando hablemos de geometría de espacios vectoriales y del proceso de Gram-Schmidt, veremos que las proyecciones satisfacen propiedades interesantes en términos de ciertas distancias.

La teoría de subespacios estables es muy útil a la hora de construir bases de subespacios vectoriales de manera inductiva. De hecho, los resultados en esta dirección son uno de los ingredientes que usaremos en la demostración del teorema estelar del curso: el teorema espectral.

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9 comentarios en “Álgebra Lineal I: Proyecciones, simetrías y subespacios estables

  1. Elias Abdul Massih Jiménez

    Profesor, en la parte de la prueba de que la simetría es T.L., en donde usa el escalar, pasa de av1-av2 a que eso es igual a s(av1+av2), no entiendo esa parte, esa no mas bien ya sería directamente s(av)?

    Responder
    1. LeoLeo

      Hola Elías. El paso intermedio es para poder saber quien es s(av). Lo que se tiene que hacer, es expresar a av como suma de un elemento de W_1 y uno de W_2. Por eso primero lo ponemos como av_1 + av_2 (ya que av_1 está en W_1 y av_2 en W_2). Y entonces, ahora sí se puede usar que s es simetría para saber cuánto vale en av.

      Responder
  2. Elias Abdul Massih Jiménez

    Otra duda, para las proyecciones, siempre tenemos que tomar W1 y W2, o si tenemos un espacio como R3, podemos tomarlo como R3=W1+W2+W3, lo digo por el primer ejercicio de la tarea moral, no se si pueda tomar esos 3 subespacios y seguir argumentando de ahí, o a fuerzas para toda proyección solo puedo tomar dos subespacios del espacio original.

    Responder
    1. LeoLeo

      Hola Elías. En la definición de proyección siempre hay sólo dos espacios W1 y W2. Para hacer los problemas en los que hay involucrados más espacios lo que tienes que hacer es agruparlos para que siempre estés trabajando sólo de dos en dos. Por ejemplo, si tienes W1+W2+W3 (con sumas directas), habría que mostrar que ese espacio es el mismo que W1+(W2+W3) (que sólo es asociatividad de la suma). Con esto, entonces ahora sí puedes ver que la función propuesta es proyección sobre W1.

      Si quisieras W2, entonces puedes asociar W2+(W1+W3) (usando asociatividad y conmutatividad de la suma en V).

      Responder
  3. Lorena

    Hola, profe.

    En el ejemplo de subespacio estable. No me queda claro por qué la dim(W) es exactamente 1. Ya que tengo la idea de que la dim(W)<=2, por ser subespacio de R^2.

    Responder
    1. LeoLeo

      Hola Lorena. Estas en lo correcto. La dimensión puede ser 0, 1 o 2. Pero si la dimensión es 2, entonces es todo R^2, y si es 0 es el subespacio trivial {0}, así que los únicos casos interesantes que restan por estudiar son los subespacios de dimensión 1, que son los que se estudian más a detalle en el problema.

      Responder
    1. LeoLeo

      Hola Jeremai. El conjunto que encontraste cumple que T(Z*Z) está contenido en Z*Z. Sin embargo, Z*Z es sólo un subconjunto de R*R, no es un subespacio de R*R. Por ejemplo, si tomas al vector (1,1) de Z*Z y al escalar 1/2 de R, el vector (1/2)*(1,1) =(1/2,1/2) no está en Z*Z, entonces Z*Z no es cerrado bajo la multiplicación escalar del campo.

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  4. sebastian

    Notemos que si v\in W_1, entonces s(v)=v-0=v, y si v\in W_2, entonces s(v)=0-v=-v. Como por definición de suma directa, la intersección de los complementos es el neutro aditivo del espacio vectorial

    Responder

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