Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

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Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema. ¿Para cuáles números reales a se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2y &=1\\4x+8y &=a.\end{cases}\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por 4 vemos que

    \begin{align*}4x+8y=4\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real a para el cuál el sistema es consistente es a=4, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando a=4, tenemos entonces una única ecuación x+2y=1. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de y arbitrariamente como un número real r. Una vez fijado y, obtenemos que x=1-2y=1-2r. Así, el conjunto de soluciones es

    \[\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.\]

\square

Problema. Encuentra todos a,b\in\mathbb{R} para los cuales los sistemas

    \begin{align*}\begin{cases}2x + 3y &=-2\\x - 2y &=6\end{cases}\end{align*}


y

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos x:

    \begin{align*}x=6+2y.\end{align*}


Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2(6+2y)+3y&=-2\\ 12+7y&=-2\\7y&=-14\\y&=-2.\end{align*}


Luego sustituimos el valor de y para encontrar x

    \begin{align*}x&=6+2y\\&=6+2(-2)\\&=2.\end{align*}


Ahora, para encontrar los valores de a y b, sustituimos los valores de x y y que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.

    \begin{align*}\begin{cases}x + 2ay &=3\\-x - y &=b\end{cases}\end{align*}


    \begin{align*}\begin{cases}2 + 2a(-2) &=3\\-2 - (-2) &=b\end{cases}\end{align*}


De la segunda ecuación es inmediato que b=0.
Por otro lado, despejando a de la primera ecuación se tiene

    \begin{align*}2-4a&=3\\-4a&=1\\a&=-\frac{1}{4}\end{align*}


Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando

    \begin{align*}a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.\end{align*}

\square

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}2 & -1 & 3 & 1\\1 & 0 & 2 & 2\\3 & 1 & 7 & 0\\1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

\square

Ejemplo. La matriz

    \begin{align*}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & -5 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{align*}


no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a 1.


En cambio

    \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 1\\0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


sí está en forma escalonada reducida.

\square

Ejemplo. La matriz \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} sí está en forma escalonada reducida.

\square

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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