Introducción
En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.
Problemas resueltos
Problema. ¿Para cuáles números reales se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.
Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por vemos que
De lo anterior se sigue que el único número real para el cuál el sistema es consistente es
, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.
Cuando , tenemos entonces una única ecuación
. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de
arbitrariamente como un número real
. Una vez fijado
, obtenemos que
. Así, el conjunto de soluciones es
Problema. Encuentra todos para los cuales los sistemas
y
son equivalentes.
Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos :
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
Luego sustituimos el valor de


Ahora, para encontrar los valores de




De la segunda ecuación es inmediato que

Por otro lado, despejando

Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
Más ejemplos de forma escalonada reducida
Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.
Ejemplo. La matriz
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.
Ejemplo. La matriz
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a

En cambio
sí está en forma escalonada reducida.
Ejemplo. La matriz no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz
sí está en forma escalonada reducida.
Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
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- Entrada anterior del curso: Forma escalonada reducida
- Siguiente entrada del curso: Teorema de reducción gaussiana
En el ejercicio 2 al momento de concluir, el valor de a está mal porque debe ser a = -1/4 ¿no?
Hola Karina,
Gracias por la observación, ya lo corregí.