Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

Introducción

En esta entrada nos encargaremos de resolver algunos problemas de sistemas de ecuaciones lineales y de dar algunos ejemplos más de matrices en forma escalonada reducida.

Problemas resueltos

Problema. ¿Para cuáles números reales $a$ se tiene que el siguiente sistema es consistente?. Resuelve el sistema para estos casos.

\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2y &=1\\
4x+8y &=a.
\end{cases}
\end{align*}

Solución. Tomando la primera ecuación y multiplicandola por $4$ vemos que

\begin{align*}
4x+8y=4
\end{align*}

De lo anterior se sigue que el único número real $a$ para el cuál el sistema es consistente es $a=4$, pues en otro caso tendríamos ecuaciones lineales que se contradicen entre sí.

Cuando $a=4$, tenemos entonces una única ecuación $x+2y=1$. Para encontrar todas las soluciones a esta ecuación lineal, podemos fijar el valor de $y$ arbitrariamente como un número real $r$. Una vez fijado $y$, obtenemos que $x=1-2y=1-2r$. Así, el conjunto de soluciones es $$\{(1-2r,r): r \in \mathbb{R}\}.$$

$\square$

Problema. Encuentra todos $a,b\in\mathbb{R}$ para los cuales los sistemas

\begin{align*}
\begin{cases}
2x + 3y &=-2\\
x – 2y &=6
\end{cases}
\end{align*}
y
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
son equivalentes.

Solución. Para resolver el primer sistema tomamos la segunda ecuación y despejamos $x$:
\begin{align*}
x=6+2y.
\end{align*}
Sustituyendo lo anterior en la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2(6+2y)+3y&=-2\\
12+7y&=-2\\
7y&=-14\\
y&=-2.
\end{align*}
Luego sustituimos el valor de $y$ para encontrar $x$
\begin{align*}
x&=6+2y\\
&=6+2(-2)\\
&=2.
\end{align*}
Ahora, para encontrar los valores de $a$ y $b$, sustituimos los valores de $x$ y $y$ que encontramos en el primer sistema y de esta forma garantizamos que ambos sistemas tendrán el mismo conjunto de soluciones, es decir, son equivalentes.
\begin{align*}
\begin{cases}
x + 2ay &=3\\
-x – y &=b
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
2 + 2a(-2) &=3\\
-2 – (-2) &=b
\end{cases}
\end{align*}
De la segunda ecuación es inmediato que $b=0$.
Por otro lado, despejando $a$ de la primera ecuación se tiene
\begin{align*}
2-4a&=3\\
-4a&=1\\
a&=-\frac{1}{4}
\end{align*}
Concluimos que los sistemas son equivalentes cuando
\begin{align*}
a=-\frac{1}{4}, \hspace{4mm} b=0.
\end{align*}

$\square$

Más ejemplos de forma escalonada reducida

Para finalizar con esta entrada veremos más ejemplos de matrices que están en forma escalonada reducida y de matrices que no lo están.

Ejemplo. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 & 1\\
1 & 0 & 2 & 2\\
3 & 1 & 7 & 0\\
1 & 2 & 4 & -1\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues todas las entradas de la primera columna son distintas de cero.
En cambio, la matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida. Queda como tarea moral verificar que esto es cierto.

$\square$

Ejemplo. La matriz
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -5 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\end{align*}
no está en forma escalonada reducida, pues hay filas cero por encima de filas no cero. Otro problema que tiene es que el pivote de la tercer fila no es igual a $1$.


En cambio
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
\end{align*}
sí está en forma escalonada reducida.

$\square$

Ejemplo. La matriz $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ no está en forma escalonada reducida pues el pivote de la segunda fila está más a la izquierda que el de la primera. Sin embargo, si intercambiamos las filas, la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ sí está en forma escalonada reducida.

$\square$

Más adelante veremos un método para llevar una matriz a su forma escalonada reducida y veremos que esto es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

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2 comentarios en “Álgebra Lineal I: Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida

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