Álgebra Lineal I: Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial

Introducción

En esta entrada resolveremos algunos problemas acerca de transformaciones lineales, de su efecto en conjuntos generadores, independientes y bases, y de la forma matricial de transformaciones lineales.

Problemas resueltos

El siguiente problema es para repasar qué le hace una transformación lineal a una combinación lineal, y cómo podemos usar este hecho para saber cuánto vale una transformación lineal evaluada en un vector, sabiendo qué le hace a los elementos de una base.

Problema. Sean

    \[v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,0), v_3=(1,1,1),\]

y sea T:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2 una transformación lineal tal que

    \begin{align*}T(v_1)&=(3,2)\\ T(v_2)&=(-1,2)\\ T(v_3)&=(0,1).\end{align*}

Calcula el valor de T(5,3,1).

Solución. Primero observemos que {(1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)} es una base de \mathbb{R}^3, entonces existen a,b,c\in \mathbb{R} tales que

    \[(5,3,1)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1).\]


Si logramos expresar a (5,3,1) de esta forma, después podremos usar que T es lineal para encontrar el valor que queremos. Encontrar los valores de a,b,c que satisfacen la ecuación anterior lo podemos ver como el sistema de ecuaciones

    \[\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}.\]

Para resolver este sistema, consideramos la matriz extendida del sistema y la reducimos

    \begin{align*} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 5\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ \to &\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 1 & 3\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix} \\ \to & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 1\end{pmatrix}\end{align*}

Así, a=2, b=2, c=1.

Finalmente, usando que T es transformación lineal,

    \begin{align*}T(5,3,1)&=T(2(1,0,0)+2(1,1,0)+(1,1,1))\\&=2T(1,0,0)+2T(1,1,0)+T(1,1,1)\\&=2(3,2)+2(-1,2)+(0,1)\\&=(6,4)+(-2,4)+(0,1)\\&=(4,9).\end{align*}

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Veamos ahora un problema para practicar encontrar la matriz correspondiente a una base.

Problema. Sea \mathbb{R}_n[x] el espacio de los polinomios de grado a lo más n con coeficientes reales.

Considera la transformación lineal T:\mathbb{R}_3[x]\to \mathbb{R}_2[x] dada por T(p(x))=p'(x), es decir, aquella que manda a cada polinomio a su derivada.

Sean \beta=(1,x,x^2,x^3) y \gamma=(1,x,x^2) las bases canónicas ordenadas de \mathbb{R}_3[x] y \mathbb{R}_2[x], respectivamente. Encuentra la representación matricial de la transformación T.

Solución. Primero le aplicamos T a cada uno de los elementos de \beta, que simplemente consiste en derivarlos. Obtenemos que:

T(1)=0=0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2
T(x)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2
T(x^2)=2x=0\cdot 1 + 2\cdot x + 0\cdot x^2
T(x^3)=3x^2=0\cdot 1 + 0\cdot x + 3\cdot x^2

Para construir la matriz de cambio de base, lo que tenemos que hacer es formar una matriz con cuatro columnas (una por cada elemento de la base \beta). La primera columna debe tener las coordenadas de T(1) en la base \gamma. La segunda columna, las coordenadas de T(x) en la base \gamma. Y así sucesivamente. Continuando de este modo, llegamos a que

    \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{pmatrix}\]


es la forma matricial de T con respecto a las bases canónicas.

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Finalmente, el siguiente problema combina muchas de las ideas relacionadas con la forma matricial de una matriz. Se recomienda fuertemente que lo leas con detenimiento. Es un ejemplo en el que encontramos tres formas matriciales: las de dos transformaciones y las de su composición. Después, se verifica que la de la composición en efecto es el producto de las correspondientes a las dos transformaciones.

Problema. Considera las transformaciones

    \begin{align*}T:\mathbb{R}^3&\to \mathbb{R}_2[x]\quad\text{y}\\S:\mathbb{R}_2[x] &\to M_2(\mathbb{R})\end{align*}

dadas por

    \begin{align*}T(a,b,c)&=a+2bx+3cx^2\quad \text{y}\\S(a+bx+cx^2)&=\begin{pmatrix}a & a+b\\a-c & b\end{pmatrix}.\end{align*}

Consideramos la base ordenada B_1=(1,x,x^2) de \mathbb{R}_2[x], la base canónica ordenada B_2 de \mathbb{R}^3 y la base ordenada B_3=(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}) de M_2(\mathbb{R}).

  1. Verifica que T y S son transformaciones lineales.
  2. Escribe las matrices asociadas a T y S con respecto a las bases dadas.
  3. Encuentra la matriz asociada a la composición S\circ T con respecto a las bases anteriores usando el resultado que dice que es el producto de las dos matrices que ya encontraste.
  4. Calcula explícitamente S\circ T, después encuentra directamente su matriz asociada con respecto a las bases anteriores y verifica que el resultado obtenido aquí es el mismo que en el inciso anterior.

Solucion. 1. Sea u\in \mathbb{R} y sean (a,b,c), (a',b',c')\in \mathbb{R}^3.
Entonces

    \begin{align*}T(u&(a,b,c)+(a',b',c'))\\&=T(au+a',bu+b',cu+c')\\&=(au+a')+2(bu+b')x+3(cu+c')x^2\\&=u(a+2bx+3cx^2)+(a'+2b'x+3c'x^2)\\&=uT(a,b,c)+T(a',b',c').\end{align*}

Así, T es lineal.

Ahora, sea u\in \mathbb{R} y sean a+bx+cx^2, a'+b'x+c'x^2\in \mathbb{R}_2[x].
Entonces

    \begin{align*}S(u&(a+bx+cx^2)+(a'+b'x+c'x^2))\\&=S(ua+a'+(ub+b')x+(uc+c')x^2)\\&=\begin{pmatrix}ua+a' & (ua+a')+(ub+b')\\ua+a'-(uc+c') & ub+b'\end{pmatrix}\\&=u\begin{pmatrix}a & a+b\\a-c & b\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a' & a'+b'\\a'-c' & b'\end{pmatrix}\\&=uS(a+bx+cx^2)+S(a'+b'x+c'x^2).\end{align*}

Así, S es lineal.

2. Empezamos calculando la matriz \Mat_{B_1,B_2}(T) de T con respecto a B_1 y B_2. La base B_2 es la base canónica ordenada de \mathbb{R}^3, es decir, B_2=(e_1,e_2,e_3). Aplicando T en cada uno de estos vectores,

    \begin{align*}T(e_1)&=T(1,0,0)=1=1\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2,\\T(e_2)&=T(0,1,0)=2x= 0\cdot 1 + 2\cdot x + 0 \cdot x^2,\\T(e_3)&=T(0,0,1)=3x^2= 0\cdot 1 + 0\cdot x + 3 \cdot x^2.\end{align*}


Así,

    \[\Mat_{B_1,B_2}(T)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0& 0 & 3\end{pmatrix}.\]

De manera análoga, calculamos

    \begin{align*}S(1)&=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix} \\&= 1 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22},\\S(x)&=\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 1\end{pmatrix} \\&= 0 \cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 1\cdot E_{22},\\S(x^2)&=\begin{pmatrix}0 & 0\\-1 & 0\end{pmatrix} \\&= 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} + (-1) \cdot E_{21} + 0\cdot E_{22}.\end{align*}

Por lo tanto

    \[\Mat_{B_3,B_1}(S)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}.\]

3. Usando el resultado de que la forma matricial de una composición de transformaciones es el producto de sus formas matriciales,

    \[\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)=\Mat_{B_3,B_1}(S)\cdot \Mat_{B_1,B_2}(T).\]

Así, tenemos que:

    \begin{align*}\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)&=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 3\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

4. Calculamos la composición directamente como sigue:

    \begin{align*}(S\circ T)(a,b,c)&=S(T(a,b,c))\\&= S(a+2bx+3cx^2)\\&=\begin{pmatrix}a & a+2b\\a-3c & 2b\end{pmatrix}.\end{align*}

Para encontrar la matriz que representa a esta transformación lineal, evaluamos en cada elemento de B_2.

    \begin{align*}(S\circ T)(e_1)&=\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\\& = 1\cdot E_{11} + 1 \cdot E_{12} + 1 \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22},\\(S\circ T)(e_2)&=\begin{pmatrix}0 & 2\\0 & 2\end{pmatrix} \\&= 0\cdot E_{11} + 2 \cdot E_{12} + 0 \cdot E_{21} + 2 \cdot E_{22},\\(S\circ T)(e_2)&=\begin{pmatrix}0 & 0\\-3 & 0\end{pmatrix} \\&= 0 \cdot E_{11} + 0 \cdot E_{12} +(-3) \cdot E_{21} + 0 \cdot E_{22}.\end{align*}


Así, la matriz asociada a S\circ T con las bases indicadas es

    \[\Mat_{B_3,B_2}(S\circ T)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & -3\\0 & 2 & 0\end{pmatrix}.\]

Esto es, por supuesto, justo lo que se obtuvo en el inciso 3.

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2 comentarios en “Álgebra Lineal I: Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial

    1. LeoLeo

      Hola Vale. Lo que hace la transformación T es mandar al polinomio p a su derivada: T(p)=p’. Si tomamos al polinomio 1, entonces su derivada es 0, que se escribe como 0*1+0*x+0*x^2 en términos de la base (1,x,x^2). Si tomamos al polinomio x, su derivada es 1, que se escribe como 1*1+0*x+0*x^2. Con el polinomio x^2 es parecido, pues su derivada es 2x, y entonces lo escribimos como 0*1+2*x+0*x^2 (siempre para escribir el resultado como combinación lineal de la base). Es lo mismo para x^3.

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