Introducción
En esta entrada haremos una serie de problemas que nos ayudarán como repaso de los temas vistos durante las últimas dos semanas. Mostraremos algunas propiedades bastante interesantes acerca de las transformaciones alternantes y antisimétricas, así como de la transformación estrella de esta semana: el determinante.
Problemas de transformaciones antisimétricas
En la entrada del miércoles 6 de mayo, hablábamos sobre la equivalencia entre transformaciones alternantes y antisimétricas, justo resaltamos que ésto no es cierto si el campo es
, y el siguiente ejemplo lo expone:
Ejemplo. Sea definido como
. Claramente
es bilineal, pero no es alternate ya que
. Por otro lado,
es antisimétrica, porque
.
De manera natural surge la pregunta: ¿cómo podemos construir una transformación -lineal antisimétrica o alternante? El siguiente problema muestra un camino para obtener una transformación antisimétrica dada un mapeo
-lineal
.
Problema. Sea una transformación
-lineal. Demuestra que
es un mapeo -lineal antisimétrico.
Solución. Es fácil ver que es una transformación
-lineal, dado que
es una combinación lineal de mapeos
-lineales. Queremos probar que, para
,
. Notemos que
Usando el hecho que y que
, obtenemos que
Por lo tanto, .
Problemas de determinantes
Ahora continuando con la discusiones del determinante, sabemos que éste es una forma -lineal alternante, y además que cualquier otra forma
-lineal alternante varía de
únicamente por un factor multiplicativo. Otro resultado interesante ese teorema es el siguiente:
Problema. Sea un espacio vectorial sobre
de dimensión finita. Sea
una base de
y sea
una transformación lineal. Demuestra que para todo
tenemos que
donde todos los determinantes están calculados en la base canónica y es la traza de la matriz de
(con respecto a la base canónica).
Solución. Definimos el mapeo como
Esta transformación es la suma de transformaciones -lineales, por lo tanto
es
-lineal. Más aún, es alternante, ya que si asumimos, por ejemplo, que
, entonces
debido a que el determinante es antisimétrico.
Por el último teorema visto en la clase del viernes pasado, existe escalar tal que
para todo . Sea
la matriz de
con respecto a la base canónica. Si tomamos
, por el mismo teorema tenemos que
Por lo tanto, obtenemos lo que queremos.
Por último, los siguientes dos problemas nos ilustran como podemos obtener información de las matrices de manera fácil y «bonita», usando algunas propiedades de los determinantes vistas en la sesión del martes pasado.
Problema. Sea un número impar y sean
matrices tal que
. Prueba que la matriz
no es invertible.
Solución. Notemos que
Por la propiedad del determinante de un producto, tenemos que
Suponemos que es invertible, entonces
. Además sabemos que
esto implica que Como consecuencia,
es un número real, contradiciendo al hecho que
es impar. Por lo tanto
.
Problema. Para , definimos
como el número de divisores positivos en común de
y
y definimos
igual a 1 si
divide
e igual a 0 si no.
- Probar que
, donde
y
.
- ¿Qué podemos decir de la forma de
?
- Calcula
.
Solución. 1) Fijando tenemos que
Notemos que no es cero (
) si y sólo si
divide a
y a
, esto implica que la cantidad de términos de la suma no ceros corresponde exactamente con la cantidad de los divisores en común que tengan
y
. Por lo tanto
.
2) Si , no es posible que
divida a
. Entonces
para todo
, esto significa que
es, al menos, triangular inferior. Un dato más que podemos asegurar es que
para toda
, por lo tanto, al menos, todos los términos de la diagonal de
son iguales a 1.
3) Dada la propiedad multiplicativa del determinante, dado que y usando el inciso (1), tenemos que
Pero por el inciso (2),
, concluimos que
.
Entradas relacionadas
- Ir a Álgebra Lineal I
- Entrada anterior del curso: Propiedades de determinantes
- Siguiente entrada del curso: Técnicas básicas de cálculo de determinantes
Hola Leo.
En el problema de A^2 + B^2 = 0_n, podrías profundizar más en el último párrafo, es decir, en la parte de «Como consecuencia, i^n es un número real, contradiciendo al hecho que n es impar. Por lo tanto det(BA-AB)=0 »
No comprendo por qué se menciona lo de «contradiciendo al hecho de que n es impar»
Hola Lorena. Lo que sucede es que las potencias del número imaginario i alternan entre ser reales e imaginarias:
i=i
i^2=-1
^3=-i
i^4=1
i^5=i
i^6=-1
etcétera.
Si la potencia es par, entonces queda un número real (1 ó -1). Si la potencia es impar, entonces queda un número imaginario (i ó -i). Si quieres puedes pensarlo al revés: como n es impar, entonces a la derecha en la última igualdad tenemos un imaginario, pero a la izquierda hay un real. Esto es una contradicción.
En el último problema solución del 1 hay un error de subindices, donde la derecha de la ecuación de igualdad debe leer $\sum\limits_{k=1}^n$. Todo lo demás esta bien.