Introducción
En esta entrada ejercitaremos los conceptos de matriz transpuesta y matriz de bloque mediante ejercicios resueltos. Además, para los últimos tres problemas definiremos un concepto que aunque no se estudia a fondo en este curso, aparece en muchas áreas de las matemáticas y de la física: el de producto tensorial.
Problemas resueltos
Problema. Sea ) una matriz con una única entrada distinta de cero en cada renglón y columna, dicha entrada es igual a
ó
. Demuestra que
es una matriz ortogonal.
Solución. Sea . Queremos ver que
. Sean
. Entonces la entrada
-ésima de
es
Supongamos que es distinto de cero para algún
, por tanto
y
son distintos de cero.
Si sucediera que , entonces
tiene al menos dos entradas distintas de cero en la columna
, pero esto es imposible. Así, si
, entonces
para todo
y por consiguiente la
ésima entrada de
es 0.
Por otro lado, si , entonces
Como por hipótesis se tiene que todas las entradas del -esimo renglón de
son todas
salvo una que es
ó
, entonces
y así
cuando
. Concluimos que
.
Mediante un argumento análogo se ve que
Problema. a) Sea una matriz tal que
. Demuestra que
.
b) ¿El inciso a) seguirá siendo cierto si reemplazamos por
?
Solución. a) Sea . Por la regla del producto de matrices se tiene que la
-ésima entrada de
es
Como , concluimos que para toda
se tiene que
Como cada es un número real, al elevarlo al cuadrado obtenemos números no negativos. De lo anterior se sigue que
para toda
. Como la
fue tomada de manera arbitraria, concluimos que
b) El resultado no necesariamente es cierto si cambiamos el campo de los reales por el campo de los complejos. Busquemos una matriz simétrica tal que
, pero como
es simétrica, lo anterior solamente es
y además se puede escribir como
para algunos números complejos y
. Ahora
Así que buscamos números complejos con al menos uno de ellos distinto de cero y tales que
Basta con asegurar que y
, para lo cual tomamos
.
Producto tensorial
A continuación definiremos el producto tensorial. Es importante mencionar que esto es meramente para ejemplificar la teoría que se ha visto hasta ahora, por lo que no se profundizará en este tema.
Si y
son matrices, entonces definimos el producto de Kronecker o producto tensorial de
y
como la matriz de bloque
definida por
Problema. Calcula el producto tensorial de las matrices
Solución. Usamos directamente la definición de producto tensorial
Problema. ¿El producto tensorial es conmutativo?
Solución. En general, el producto tensorial, no es conmutativo. Sean y
como en el problema anterior. Entonces
Comparando con lo obtenido en el problema anterior, ser verifica que el producto tensorial no es conmutativo.
Problema. Verifica que
Solución. Por definición sabemos que . Ahora veamos que
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Hola, buenas tardes.
Disculpe, en el segundo problema se dice que A es una matriz de m x n, y se define como A=[A_{i,j}], mi pregunta es si A es una matriz de bloques o tendría que sea A=[a_{i,j}].
Gracias.
Hola,
A es una matriz de n por n y no es matriz de bloque.