Álgebra Lineal I: Reducción gaussiana para determinar inversas de matrices

Introducción

En entradas anteriores hablamos de las matrices en forma escalonada reducida y de cómo cualquier matriz puede ser llevada a esta forma usando el algoritmo de reducción gaussiana. Usamos esto para resolver sistemas de ecuaciones lineales arbitrarios, es decir, de la forma AX=b. en esta ocasión estudiaremos cómo ver si una matriz es invertible y cómo determinar inversas de matrices mediante el algoritmo de reducción gaussiana.

Inversas de matrices elementales

Recordemos que una matriz A\in M_n(F) es invertible si existe una matriz B tal que AB=BA=I_n. Dicha matriz B es única, se conoce como la matriz inversa de A y se denota por A^{-1}.

Es importante observar que las matrices elementales son invertibles, puesto que las operaciones elementales se pueden revertir (esto también nos dice que la inversa de una matriz elemental también es una matriz elemental). Por ejemplo, si la matriz E se obtiene de I_n intercambiando los renglones i y j, entonces E^{-1} se obtiene de I_n haciendo la misma operación, por lo que E^{-1}=E. Por otro lado, si E se obtiene de sumar \lambda veces el renglón j al renglón i en I_n, entonces E^{-1} se obtiene de sumar -\lambda veces el renglón j al renglón i en I_n. El argumento para reescalamientos queda como tarea moral.

Debido a su importancia, enunciaremos este resultado como una proposición.

Proposición. Las matrices elementales son invertibles y sus inversas también son matrices elementales. Como consecuencia, cualquier producto de matrices elementales es invertible.

Algunas equivalencias de matrices invertibles

Hasta el momento sólo tenemos la definición de matrices invertibles para verificar si una matriz es invertible o no. Esto es poco práctico, pues dada una matriz, tendríamos que sacar otra “de la nada”.

El siguiente resultado empieza a decirnos cómo saber de manera práctica cuándo una matriz cuadrada es invertible. También habla de una propiedad importante que cumplen las matrices invertibles.

Teorema. Para una matriz A\in M_n(F) las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) A es invertible.
(b) A_{red}=I_n.
(c) A es producto de matrices elementales.

Demostración. Para empezar, notemos que el producto de matrices invertibles es invertible , pues cualquier matriz elemental es invertible y las matrices invertibles son estables bajo productos. Esto prueba que (c) implica (a).

Ahora, supongamos que (a) se satisface. Recordemos que para una matriz A\in M_{m,n}(F) podemos encontrar una matriz B\in M_m(F) que es producto de matrices elementales y tal que A_{red}=BA. Como A es invertible (por hipótesis) y B es invertible (por la proposición de la sección anterior), entonces BA es invertible y por consiguiente A_{red} también lo es. En particular, todos los renglones de A_{red} son distintos de cero y por lo tanto A_{red} tiene n pivotes, uno en cada columna. Como A_{red} está en forma escalonada reducida, necesariamente A_{red}=I_n. Esto prueba que (a) implica (b).

Finalmente, supongamos que (b) se satisface. Entonces existe una matriz B, la cual es producto de matrices elementales y tal que BA=I_n. Por la proposición anterior B es invertible y B^{-1} es producto de matrices elementales. Como BA=I_n, tenemos que A=B^{-1}BA=B^{-1} y así A es producto de matrices elementales, de manera que (b) implica (c).

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Ya podemos responder de manera práctica la pregunta “¿A es invertible?”. Para ello, basta aplicarle reducción gaussiana a A. Por el teorema anterior, A es invertible si y sólo si la forma escalonada reducida obtenida es I_n. Por supuesto, esto aún no nos dice exactamente quién es la inversa.

Invertibilidad y sistemas de ecuaciones

La siguiente proposición expresa las soluciones del sistema AX=b cuando A es una matriz cuadrada e invertible. Para facilitar las cosas hay que tener un algoritmo para encontrar la inversa de una matriz. Más adelante veremos uno de estos algoritmos basado en reducción gaussiana.

Proposición. Si A\in M_n(F) es una matriz invertible, entonces para todo b\in F^n el sistema AX=b tiene una única solución, dada por X=A^{-1}b.

Demostración. Sea X una solución del sistema. Multiplicando la igualdad AX=b por la izquierda por A^{-1} obtenemos A^{-1}(AX)=A^{-1}b. Como

    \begin{align*}A^{-1}(AX)=(A^{-1}A)X=I_nX=X,\end{align*}


concluimos que X=A^{-1}b, por lo tanto el sistema tiene a lo más una solución. Para ver que esta es en efecto una solución, calculamos

    \begin{align*}A(A^{-1}b)=(AA^{-1})b=I_nb=b.\end{align*}

\square

A continuación presentamos un resultado más, que relaciona matrices invertibles con que sus sistemas lineales correspondientes tengan soluciones únicas.

Teorema. Sea A\in M_n(F) una matriz. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) A es invertible.
(b) Para toda b\in F^n el sistema AX=b tiene una única solución X\in F^n.
(c) Para toda b\in F^n el sistema AX=b es consistente.

Demostración. Ya demostramos que (a) implica (b). Es claro que (b) implica (c) pues si el sistema tiene una única solución, en particular tiene una solución.

Así, supongamos que que (c) se satisface. Sea A_{red} la forma escalonada reducida de A. Por una proposición ya antes mencionada en esta entrada sabemos que existe una matriz B la cual es producto de matrices elementales (por lo tanto invertible) y tal que A_{red}=BA. Deducimos que el sistema A_{red}X=Bb tiene al menos una solución para todo b\in F^n (pues si AX=b, entonces A_{red}X=BAX=Bb).

Ahora, para cualquier b'\in F^n podemos encontrar b tal que b'=Bb, tomando b=B^{-1}b'. Aquí estamos usando que B es invertible por ser producto de matrices elementales. Concluimos que el sistema A_{red}X=b es consistente para cada b\in F^n, pero entonces cualquier renglón de A_{red} debe ser distinto de cero (si la fila i es cero, entonces escogiendo cada vector b con la i-ésima coordenada igual a 1 se obtiene un sistema inconsistente) y, como en la demostración del teorema anterior, se tiene que A_{red}=I_n. Usando el teorema anterior concluimos que A es invertible.

\square

Hasta ahora, al tomar un matriz cuadrada A y proponer una inversa B, la definición de invertibilidad nos exige mostrar ambas igualdades AB=I_n y BA=I_n. Finalmente tenemos las herramientas necesarias para mostrar que basta mostrar una de estas igualdades para que ambas se cumplan.

Corolario. Sean A,B\in M_n(F) matrices.
(a) Si AB=I_n, entonces A es invertible y B=A^{-1}.
(b) Si BA=I_n, entonces A es invertible y B=A^{-1}.

Demostración. (a) Para cada b\in F^n el vector X=Bb satisface

    \begin{align*}AX=A(Bb)=(AB)b=b,\end{align*}


por lo tanto el sistema AX=b es consistente para cada b\in M_n(F). Por el teorema anterior, A es invertible. Multiplicando la igualdad AB=I_n por la izquierda por A^{-1} obtenemos B=A^{-1}AB=A^{-1}, y así B=A^{-1}.
(b) Por el inciso (a), sabemos que B es invertible y A=B^{-1}, pero entonces A es invertible y A^{-1}=B.

\square

Determinar inversas usando reducción gaussiana

El corolario anterior nos da una manera práctica de saber si una matriz es invertible y, en esos casos, determinar inversas de matrices. En efecto, A es invertible si y sólo si podemos encontrar una matriz X tal que AX=I_n y de aquí X=A^{-1}.

La ecuación AX=I_n es equivalente a los siguientes sistemas lineales:

    \begin{align*}AX_1=e_1, \hspace{2mm}, AX_2=e_2, \hspace{2mm} \dots , \hspace{2mm} AX_n=e_n.\end{align*}


donde e_i es la i-ésima columna de I_n y X_i denota la i-ésima columna de X. Ya sabemos cómo resolver sistemas lineales usando reducción gaussiana. Esto nos da una manera práctica de calcular X: si al menos uno de estos sistemas es inconsistente, entonces A no es invertible; si todos son consistentes, entonces las soluciones X_1,\ldots,X_n son las columnas de la inversa.

En la práctica, uno puede evitar resolver n sistemas lineales considerando el siguiente truco:

En lugar de tomar n matrices aumentadas [A| e_i] considera sólo la matriz aumentada [A|I_n], en la cual agregamos la matriz I_n a la derecha de A (de manera que [A|I_n] tiene 2n columnas). Finalmente sólo hay que encontrar la forma escalonada reducida [A'|X] de la matriz de n\times 2n \hspace{2mm} [A|I_n]. Si A' resulta ser distinto de I_n, entonces A no es inverible. Si A'=I_n, entonces la inversa de A es simplemente la matriz X.

Ejemplo de determinar inversas

Para ilustrar lo anterior resolveremos el siguiente ejemplo práctico.

Ejemplo. Calcula la inversa de la matriz

    \begin{align*}A= \begin{pmatrix}1 & 5 & 1\\2 & 11 & 5\\9 & -3 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}

Solución. Aplicamos reducción gaussiana a la matriz extendida

    \begin{align*}[A|I_3]= \begin{pmatrix}1 & 5 & 1 & 1 & 0 &0\\2 & 11 & 5 & 0 & 1 & 0\\9 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_2 -2R_1\begin{pmatrix}1 & 5 & 1 & 1 & 0 &0\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\9 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_3 -9R_1\begin{pmatrix}1 & 5 & 1 & 1 & 0 &0\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\0 & -48 & -9 & -9 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}

    \begin{align*}R_1 -5R_2\begin{pmatrix}1 & 0 & -14 & 11 & -5 &0\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\0 & -48 & -9 & -9 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_3 +48R_2\begin{pmatrix}1 & 0 & -14 & 11 & -5 &0\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 135 & -105 & 48 & 1\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}\frac{1}{135}R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & -14 & 11 & -5 &0\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{7}{9} & \frac{16}{45} & \frac{1}{135}\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_1+14R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & -\frac{1}{45} &\frac{14}{135}\\0 & 1 & 3 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{7}{9} & \frac{16}{45} & \frac{1}{135}\end{pmatrix}\end{align*}


    \begin{align*}R_2-3R_3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{1}{9} & -\frac{1}{45} &\frac{14}{135}\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{15} & -\frac{1}{45}\\0 & 0 & 1 & -\frac{7}{9} & \frac{16}{45} & \frac{1}{135}\end{pmatrix}\end{align*}


De donde

    \begin{align*}A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{9} & -\frac{1}{45} &\frac{14}{135}\\\frac{1}{3} & -\frac{1}{15} & -\frac{1}{45}\\-\frac{7}{9} & \frac{16}{45} & \frac{1}{135}\end{pmatrix}.\end{align*}


\square

En el ejemplo anterior hicimos el algoritmo de reducción gaussiana “a mano”, pero también pudimos haber usado una herramienta en línea, como la calculadora de forma escalonada reducida de eMathHelp.

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no forman parte de la evaluación del curso, pero te servirán para entender mucho mejor los conceptos vistos en esta entrada, así como temas posteriores.

  • ¿Cuál sería la operación elemental inversa a aplicar un reescalamiento por un factor c\neq 0 en el renglón de una matriz?
  • Encuentra la inversa de la matriz

        \begin{align*}\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\2 & 0 & 2\\1 & 2 & 0\end{pmatrix}.\end{align*}


    mediante reducción gaussiana.
  • Resuelve el sistema de ecuaciones

        \begin{align*}\begin{cases}x+2y+2z=1\\2x+y+2z=4\\2x+2y+z=5\end{cases}\end{align*}

  • Sea A\in M_n(F) una matriz tal que A_{red}\neq I_n. Explica por qué A no es invertible.
  • Cuando A no es invertible, la matriz [A|I_n] tiene forma escalonada reducida [A_{red}|X], con A_{red}\neq I_n. ¿Qué sucede si en este caso haces la multiplicación AX? ¿Y la multiplicación XA?
  • Demuestra la primera proposición de esta entrada para operaciones elementales sobre las columnas.

Más adelante…

En esta entrada vimos cómo el algoritmo de reducción gaussiana nos permite saber si una matriz es invertible o no. También nos da una forma práctica de determinar inversas. Hay otras formas de hacer esto mediante determinantes. Sin embargo, el método que describimos es bastante rápido y flexible.

Ya que entendemos un poco mejor a las matrices invertibles, el siguiente paso es usarlas para desarrollar nuestra teoría de álgebra lineal. Las matrices invertibles se corresponden con transformaciones lineales que se llaman isomorfismos, las cuales detectan cuándo dos espacios vectoriales son “el mismo”.

También más adelante refinaremos el concepto de ser invertible y no. Esta es una clasificación en sólo dos posibilidades. Cuando definamos y estudiamos el rango de matrices y transformaciones lineales tendremos una forma más precisa de decir “qué tanta información guarda una transformación”.

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