Introducción
Esta entrada consiste de puros problemas resueltos. Mediante la solución de estos problemas se puede poner en práctica los conceptos vistos anteriormente. En específico, aquí repasamos los conceptos de suma y producto escalar que vimos al inicio, así como la idea de la entrada anterior de relacionar a matrices con transformaciones lineales.
Problemas resueltos
Problema. Escribe de manera explicita la matriz tal que
Solución. Tomemos como ejemplo a la entrada . Como
y
es par, entonces la entrada
será igual a
. De manera similar, obtenemos que
pues
, que es un número impar. Siguiendo de este modo, obtenemos que
Problema. Para cada par de matrices , explica cuáles de las operaciones
y
tienen sentido, y cuando tengan sentido, haz el cálculo.
Solución:
- Dado que ambas matrices tienen el mismo tamaño, podemos calcular ambas operaciones. Tenemos que hacer las operaciones entrada a entrada. Así, la primer entrada de
será
. Haciendo lo mismo para cada entrada, obtenemos que
De manera similar, obtenemos que - En este caso las operaciones no tienen sentido, pues una matriz tiene 5 renglones y la otra 6.
- Observamos que ambas matrices tienen el mismo tamaño, por lo que sí podemos calcular ambas operaciones:
Problema.
- a) Considera la función
dada por
¿Esuna transformación lineal?
- b) Responde la misma pregunta reemplazando
por
.
Solución.
- a) No,
no es lineal. Vamos a ver un ejemplo en el cual no «abre sumas». Por un lado, tenemos por definición que
. Por otro lado, tenemos que
y que
. Es decir
- b) Si cambiamos el dominio por
entonces
sí es lineal. Lo podemos verificar:
En estas igualdades estamos usando quees el campo con dos elementos, en donde se cumple que
, por lo cual
.
Por otro lado, sies un escalar, entonces
De nuevo estamos usando las propiedades del campoen la última igualdad. Como
es el campo con
elementos, los valores de
sólo pueden ser
o
. Como
y
, tenemos la igualdad. Concluimos que
es lineal.
- b)’ Otra manera de resolver el inciso b) es observar que en
,
para todo
(esto lo usamos con
en la prueba pasada). Luego la función
coincide con la función identidad, y es más fácil verificar que ésta es lineal.
Problema. Da un ejemplo de un mapeo que no sea lineal, pero que cumpla
para cualesquiera y
.
Solución. Proponemos
Verifiquemos que cumple la compatibilidad con escalares. Primero, si
es claro que
Entonces si se cumple la condición. Ahora supongamos que
, tenemos dos subcasos que verificar:
- Si
con
, entonces
y
(pues el producto de reales no nulos es no nulo), por lo que
- Si
entonces
y así
Así verificamos que cumple con la condición buscada. Para ver que
no es lineal, observamos que
Y así tenemos
Es decir, existen y
vectores tales que
, por lo que
no es lineal.
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