Álgebra Lineal I: Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales

Introducción

Esta entrada consiste de puros problemas resueltos. Mediante la solución de estos problemas se puede poner en práctica los conceptos vistos anteriormente. En específico, aquí repasamos los conceptos de suma y producto escalar que vimos al inicio, así como la idea de la entrada anterior de relacionar a matrices con transformaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema. Escribe de manera explicita la matriz A=[a_{ij}]\in M_{2,3}(\mathbb{R}) tal que

    \begin{align*}a_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{si } i+j \text{ es par}\\ 0 & \text{si } i+j\text{ es impar}\end{cases}\end{align*}

Solución. Tomemos como ejemplo a la entrada a_{11}. Como 1+1=2 y 2 es par, entonces la entrada a_{11} será igual a 1. De manera similar, obtenemos que a_{12}=0 pues 1+2=3, que es un número impar. Siguiendo de este modo, obtenemos que

    \begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\0 & 1& 0 \end{pmatrix}.\end{align*}

\square

Problema. Para cada par de matrices (A,B), explica cuáles de las operaciones A+2B y A-B tienen sentido, y cuando tengan sentido, haz el cálculo.

  1.     \begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1 & 1& 0\\0& 1 & 1\\1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y}\hspace{5mm} B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3\\7 & 8 & 9\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}.\end{align*}

  2.     \begin{align*} A=\begin{pmatrix} 192450916\\1\\0 \\1\\2\end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} B= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 199\\ 2020\\ 0\\ 3\end{pmatrix}.\end{align*}

  3.     \begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\3 & 5 & 8 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm}B= \begin{pmatrix} 1&-1 & 1\\ 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}.\end{align*}

Solución:

  1. Dado que ambas matrices tienen el mismo tamaño, podemos calcular ambas operaciones. Tenemos que hacer las operaciones entrada a entrada. Así, la primer entrada de A+2B será 1+2\cdot 1 = 3. Haciendo lo mismo para cada entrada, obtenemos que

        \begin{align*}A+2B= \begin{pmatrix}3 & 5 & 6\\14 & 17 & 19\\9 & 10 & 13\end{pmatrix} \end{align*}


    De manera similar, obtenemos que

        \begin{align*}A-B=\begin{pmatrix}  0 &-1 & -3 \\ -7 & -7 & -8\\ -3 & -5 &-5\end{pmatrix}.\end{align*}

  2. En este caso las operaciones no tienen sentido, pues una matriz tiene 5 renglones y la otra 6.
  3. Observamos que ambas matrices tienen el mismo tamaño, por lo que sí podemos calcular ambas operaciones:

        \begin{align*}A+2B= \begin{pmatrix}3 & -1 & 4\\ 7 & 13 & 24\end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} A-B=\begin{pmatrix} 0 &2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\end{align*}

\square

Problema.

  • a) Considera la función f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 dada por

        \begin{align*}f(x,y)=(x^2,y^2).\end{align*}


    ¿Es f una transformación lineal?
  • b) Responde la misma pregunta reemplazando \mathbb{R} por \mathbb{F}_2.

Solución.

  • a) No, f no es lineal. Vamos a ver un ejemplo en el cual no “abre sumas”. Por un lado, tenemos por definición que f(2,0)=(4,0). Por otro lado, tenemos que (2,0)=(1,0)+(1,0) y que f(1,0)+f(1,0)= (2,0). Es decir

        \begin{align*}f( (1,0)+(1,0) ) \neq f(1,0)+f(1,0).\end{align*}

  • b) Si cambiamos el dominio por \mathbb{F}_2 entonces f sí es lineal. Lo podemos verificar:

        \begin{align*}f(x+y,z+w)&= \left((x+y)^2, (z+w)^2\right)\\&= \left( x^2+y^2+2xy, z^2+w^2+2wz\right)\\&=\left(x^2+y^2, z^2+w^2\right)\\&= \left(x^2,z^2\right)+\left(y^2,w^2\right)\\&= f(x,z)+f(y,w).\end{align*}


    En estas igualdades estamos usando que \mathbb{F}_2 es el campo con dos elementos, en donde se cumple que 2=1+1=0, por lo cual 2xy=0=2wz.
    Por otro lado, si \alpha\in \mathbb{F}_2 es un escalar, entonces

        \begin{align*}f(\alpha\cdot(x,y))&= f(\alpha x, \alpha y)\\&= (\alpha^2 x^2, \alpha^2 y^2)\\&= \alpha^2 \cdot (x^2,y^2)\\&= \alpha \cdot f(x,y).\end{align*}


    De nuevo estamos usando las propiedades del campo \mathbb{F}_2 en la última igualdad. Como \mathbb{F}_2 es el campo con 2 elementos, los valores de \alpha, x,y sólo pueden ser 0 o 1. Como 0^2=0 y 1^2=1, tenemos la igualdad. Concluimos que f es lineal.
  • b)’ Otra manera de resolver el inciso b) es observar que en \mathbb{F}_2, x^2=x para todo x (esto lo usamos con \alpha, x, y en la prueba pasada). Luego la función f coincide con la función identidad, y es más fácil verificar que ésta es lineal.

\square

Problema. Da un ejemplo de un mapeo f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} que no sea lineal, pero que cumpla

    \begin{align*}f(av)= af(v)\end{align*}

para cualesquiera v\in \mathbb{R}^2 y a\in \mathbb{R}.

Solución. Proponemos

    \begin{align*}f(x,y)= \begin{cases} x & \text{si } y=0\\  y & \text{si } y\neq 0\end{cases}.\end{align*}

Verifiquemos que f cumple la compatibilidad con escalares. Primero, si a=0 es claro que

    \begin{align*}f(av) &= f(0,0)\\&= 0\\&= 0 \cdot f(v)\\&= a\cdot f(v).\end{align*}

Entonces si a=0 se cumple la condición. Ahora supongamos que a\neq 0, tenemos dos subcasos que verificar:

  • Si v=(x,y) con y\neq 0, entonces av= (ax,ay) y ay\neq 0 (pues el producto de reales no nulos es no nulo), por lo que

        \begin{align*}f(av)&= f(ax,ay)\\&= ay\\&= a\cdot f(x,y)=a\cdot f(v).\end{align*}

  • Si v=(x,0) entonces av= (ax,0) y así

        \begin{align*}f(av)&= f(ax,0)\\&= ax\\&= a\cdot f(x,0)=a\cdot f(v).\end{align*}

Así verificamos que f cumple con la condición buscada. Para ver que f no es lineal, observamos que

  • f(1,0)=1
  • f(0,1)=1
  • f(1,1)=1

Y así tenemos

    \begin{align*}f(0,1)+f(1,0)&= 2\\&\neq 1\\&= f(1,1)\\&=f((1,0)+(0,1))\end{align*}

Es decir, existen u y v vectores tales que f(u+v)\neq f(u)+f(v), por lo que f no es lineal.

\square

Entradas relacionadas

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Este sitio usa Akismet para reducir el spam. Aprende cómo se procesan los datos de tus comentarios.