Problemas de vectores, matrices y sus operaciones

Introducción

Esta entrada consiste de puros problemas resueltos. Mediante la solución de estos problemas se puede poner en práctica los conceptos vistos anteriormente. En específico, aquí repasamos los conceptos de suma y producto escalar que vimos al inicio, así como la idea de la entrada anterior de relacionar a matrices con transformaciones lineales.

Problemas resueltos

Problema. Escribe de manera explicita la matriz $A=[a_{ij}]\in M_{2,3}(\mathbb{R})$ tal que

$\begin{align*}a_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{si } i+j \text{ es par}\\ 0 & \text{si } i+j\text{ es impar}\end{cases}\end{align*}$

Solución. Tomemos como ejemplo a la entrada $a_{11}$ . Como $1+1=2$ y $2$ es par, entonces la entrada $a_{11}$ será igual a $1$ . De manera similar, obtenemos que $a_{12}=0$ pues $1+2=3$ , que es un número impar. Siguiendo de este modo, obtenemos que

$\begin{align*}A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\0 & 1& 0 \end{pmatrix}.\end{align*}$

$\square$

Problema. Para cada par de matrices $(A,B)$ , explica cuáles de las operaciones $A+2B$ y $A-B$ tienen sentido, y cuando tengan sentido, haz el cálculo.

$\begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1 & 1& 0\\0& 1 & 1\\1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y}\hspace{5mm} B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3\\7 & 8 & 9\\4 & 5 & 6\end{pmatrix}.\end{align*}$
$\begin{align*} A=\begin{pmatrix} 192450916\\1\\0 \\1\\2\end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} B= \begin{pmatrix} -1\\ 0 \\ 199\\ 2020\\ 0\\ 3\end{pmatrix}.\end{align*}$
$\begin{align*}A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\3 & 5 & 8 \end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm}B= \begin{pmatrix} 1&-1 & 1\\ 2 & 4 & 8 \end{pmatrix}.\end{align*}$

Solución:

Dado que ambas matrices tienen el mismo tamaño, podemos calcular ambas operaciones. Tenemos que hacer las operaciones entrada a entrada. Así, la primer entrada de $A+2B$ será $1+2\cdot 1 = 3$ . Haciendo lo mismo para cada entrada, obtenemos que
$\begin{align*}A+2B= \begin{pmatrix}3 & 5 & 6\\14 & 17 & 19\\9 & 10 & 13\end{pmatrix} \end{align*}$

De manera similar, obtenemos que
$\begin{align*}A-B=\begin{pmatrix} 0 &-1 & -3 \\ -7 & -7 & -8\\ -3 & -5 &-5\end{pmatrix}.\end{align*}$
En este caso las operaciones no tienen sentido, pues una matriz tiene 5 renglones y la otra 6.
Observamos que ambas matrices tienen el mismo tamaño, por lo que sí podemos calcular ambas operaciones:
$\begin{align*}A+2B= \begin{pmatrix}3 & -1 & 4\\ 7 & 13 & 24\end{pmatrix} \hspace{5mm} \text{y} \hspace{5mm} A-B=\begin{pmatrix} 0 &2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\end{align*}$

$\square$

Problema.

a) Considera la función $f: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ dada por
$\begin{align*}f(x,y)=(x^2,y^2).\end{align*}$

¿Es $f$ una transformación lineal?
b) Responde la misma pregunta reemplazando $\mathbb{R}$ por $\mathbb{F}_2$ .

Solución.

a) No, $f$ no es lineal. Vamos a ver un ejemplo en el cual no “abre sumas”. Por un lado, tenemos por definición que $f(2,0)=(4,0)$ . Por otro lado, tenemos que $(2,0)=(1,0)+(1,0)$ y que $f(1,0)+f(1,0)= (2,0)$ . Es decir
$\begin{align*}f( (1,0)+(1,0) ) \neq f(1,0)+f(1,0).\end{align*}$
b) Si cambiamos el dominio por $\mathbb{F}_2$ entonces $f$ sí es lineal. Lo podemos verificar:
$\begin{align*}f(x+y,z+w)&= \left((x+y)^2, (z+w)^2\right)\\&= \left( x^2+y^2+2xy, z^2+w^2+2wz\right)\\&=\left(x^2+y^2, z^2+w^2\right)\\&= \left(x^2,z^2\right)+\left(y^2,w^2\right)\\&= f(x,z)+f(y,w).\end{align*}$

En estas igualdades estamos usando que $\mathbb{F}_2$ es el campo con dos elementos, en donde se cumple que $2=1+1=0$ , por lo cual $2xy=0=2wz$ .
Por otro lado, si $\alpha\in \mathbb{F}_2$ es un escalar, entonces
$\begin{align*}f(\alpha\cdot(x,y))&= f(\alpha x, \alpha y)\\&= (\alpha^2 x^2, \alpha^2 y^2)\\&= \alpha^2 \cdot (x^2,y^2)\\&= \alpha \cdot f(x,y).\end{align*}$

De nuevo estamos usando las propiedades del campo $\mathbb{F}_2$ en la última igualdad. Como $\mathbb{F}_2$ es el campo con $2$ elementos, los valores de $\alpha, x,y$ sólo pueden ser $0$ o $1$ . Como $0^2=0$ y $1^2=1$ , tenemos la igualdad. Concluimos que $f$ es lineal.
b)’ Otra manera de resolver el inciso b) es observar que en $\mathbb{F}_2$ , $x^2=x$ para todo $x$ (esto lo usamos con $\alpha, x, y$ en la prueba pasada). Luego la función $f$ coincide con la función identidad, y es más fácil verificar que ésta es lineal.

$\square$

Problema. Da un ejemplo de un mapeo $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ que no sea lineal, pero que cumpla

$\begin{align*}f(av)= af(v)\end{align*}$

para cualesquiera $v\in \mathbb{R}^2$ y $a\in \mathbb{R}$ .

Solución. Proponemos

$\begin{align*}f(x,y)= \begin{cases} x & \text{si } y=0\\ y & \text{si } y\neq 0\end{cases}.\end{align*}$

Verifiquemos que $f$ cumple la compatibilidad con escalares. Primero, si $a=0$ es claro que

$\begin{align*}f(av) &= f(0,0)\\&= 0\\&= 0 \cdot f(v)\\&= a\cdot f(v).\end{align*}$

Entonces si $a=0$ se cumple la condición. Ahora supongamos que $a\neq 0$ , tenemos dos subcasos que verificar:

Si $v=(x,y)$ con $y\neq 0$ , entonces $av= (ax,ay)$ y $ay\neq 0$ (pues el producto de reales no nulos es no nulo), por lo que
$\begin{align*}f(av)&= f(ax,ay)\\&= ay\\&= a\cdot f(x,y)=a\cdot f(v).\end{align*}$
Si $v=(x,0)$ entonces $av= (ax,0)$ y así
$\begin{align*}f(av)&= f(ax,0)\\&= ax\\&= a\cdot f(x,0)=a\cdot f(v).\end{align*}$