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Teoría de los Conjuntos I: Paradoja de Russell

Introducción

En esta sección tendremos un acercamiento a una de las grandes controversias que tuvo la teoría de los conjuntos: la paradoja de Russell, también llamada paradoja del barbero. A su vez estudiaremos desde la perspectiva de Russell al contradictorio conjunto de todos los conjuntos, el cual de hecho, no es un conjunto.

La paradoja del barbero

«En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos solo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por si mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

-En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme!. Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero como yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.»

Si analizamos la historia anterior, As-Samet estaba metido en verdaderos problemas debido al mandato del emir. Dado que As-Samet era barbero podía afeitarse a sí mismo, entonces el barbero no debía afeitarlo. Sin embargo, decir que él mismo se puede afeitar es igual a decir que el barbero lo afeitará y eso desobedece el mandato, por lo tanto no debe afeitarse.

Ahora, como no se puede afeitar a sí mismo, entonces el barbero debe afeitarlo, es decir, él debe afeitarse, y eso también desobedece el mandato. Por lo tanto, As-Samet debe afeitarse si y solo si As-Samet no debe afeitarse, lo cual es un absurdo.

Formalización de la paradoja del barbero

Como es común, en matemáticas buscamos formalizar absolutamente todo, por lo que a continuación presentaremos esta paradoja dando una propiedad y un conjunto $B=\set{x: P(x)}$. El conjunto $B$ será una prueba de que no cualquier colección será un conjunto. Para construir conjuntos haremos uso obligatorio de los axiomas que ya mencionamos y que iremos viendo en las siguientes secciones.

Sea «$P(x): x\notin x$» que se interpreta como los conjuntos $x$ que no se pertenecen a sí mismos. Definimos $B=\set{x:P(x)}$ , tenemos lo siguientes casos para el conjunto $B$:

  • Si $B\in B$, entonces $P(B)$ se cumple, es decir, $B\notin B$.
  • Si $B\notin B$, entonces $P(B)$ no se satisface, es decir, no es cierto que $B\notin B$, por lo que $B\in B$.

Ahora, si juntamos los casos anteriores tendremos que $B\in B$ si y sólo si $B\notin B$, lo cual es siempre falso. Por lo tanto, es imposible que $B$ sea un conjunto, sin embargo $B$ si es una colección.

El conjunto de todos los conjuntos

Proposición: El conjunto de todos los conjuntos no existe.

Demostración: (Por reducción al absurdo)

Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos si existe. Sea $V$ dicho conjunto y consideremos $P(x): x\notin x$, tenemos que $A=\set{x\in V: x\notin x}$ es un conjunto por el axioma de comprensión. De modo que $A\in V$ pues $V$ tiene a todos los conjuntos, además $P(A)$ puede o no ser verdadero, evaluemos los dos casos posibles.

  • Si $P(A)$ es verdadero, entonces $A\notin A$ y por lo tanto, $A\in A$.
  • Si $P(A)$ es falso, entonces $A\in A$ y por lo tanto, $A\notin A$.

Por lo tanto, $A\in A$ si y sólo si $A\notin A$ lo cuál es una contradicción. Dado que está vino de suponer que $V$ es un conjunto, concluimos que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

$\square$

Denotaremos a $V$ como la colección de todos los conjuntos. Dado que $V$ no es un conjunto, le llamaremos colección o clase en este curso.

La conclusión que obtenemos es que para dar un conjunto requerimos más que una propiedad, necesitamos también que los elementos que satisfagan dicha propiedad sean elementos de algo que previamente ya sabemos es un conjunto. Este problema lo soluciona el axioma de comprensión.

Más adelante…

En la siguiente sección hablaremos de axiomas de construcción: el axioma del par, axioma de unión. Estos últimos junto con el axioma de comprensión nos permitirán construir nuevos conjuntos.

Enlaces

Teoría de los Conjuntos I: Axioma de existencia, de comprensión y de extensión

Introducción

En esta entrada hablaremos de la definición no formal, pero que podremos aceptar, de un conjunto. Comenzaremos a estudiar tres de los primeros axiomas de la teoría de los conjuntos: de existencia, de extensión y el axioma esquema de comprensión. Dichos axiomas nos permitirán construir nuestros primeros conjuntos y, a su vez, ver cuando son iguales.

¿Qué es un conjunto?

En la sección anterior hicimos un recordatorio sobre la definición de conjunto que dio Georg Cantor, sin embargo, aunque parezca increíble no existe una definición formal de este concepto pues le generaría contradicciones a nuestra teoría. Si bien esto es cierto podemos aceptar una «definición» que más bien será una idea intuitiva de lo que es.

Definición: Un conjunto es una colección de objetos que comparten una propiedad, donde una propiedad es un predicado tal que para cualquier objeto es posible decidir si se cumple o no, es decir, no existen ambigüedades.

Ejemplo:

Consideremos la propiedad «$P(x)=x$ es un número entero tal que $0\leq x\leq 9$». De modo que si $A$ es el conjunto que tiene como elementos a $x$ tal que $P(x)$ es verdadero, inferimos que $A=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. Entonces diremos que los elementos de $A$ son $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, y $9$ y lo podemos denotar como $0\in A$, $1\in A$, …, $9\in A$.

A si mismo podremos decidir si un elemento no forma parte de nuestro conjunto, como $x=10$ ya que en este caso $P(x)$ es falso. En cambio, si decimos que «$Q(x)= x$ es una persona gorda» no podremos decir quienes serán los elementos de la colección $B=\set{x : Q(x)}$. Esto último debido a que la propiedad resulta poco clara y depende de que significa ser una persona gorda. Es decir, requiere que se defina a partir de cuantos kilogramos una persona tiene esta característica.

$\square$

Primeros axiomas

Axioma de existencia: Existe un conjunto que no tiene elementos.

Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos, una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:

«$P(x): x\not=x$»

Si lo piensas no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier objeto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen:

Axioma de extensión: $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Este axioma nos permite decir cuando dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales, esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.

Ejemplo:

Sean $A=\set{1,2,3,4}$ y $B=\set{2,3,4,1}$, tenemos que $A=B$. En efecto, los elementos de $A$ son $1$, $2$, $3$ y $4$, y son los mismos elementos que tiene el conjunto $B$.

$\square$

Proposición: Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración: Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Sea $x\in A$, entonces $x\in B$ es verdadero por vacuidad. Por lo tanto $A\subseteq B$.

$\subseteq$] Sea $x\in B$, entonces $x\in A$ es verdadero por vacuidad. Por lo tanto $B\subseteq A$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición: Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Axioma esquema de comprensión: Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Antes vimos que un conjunto es una colección de elementos tales que cumplen una propiedad, sin embargo dijimos que no existía una definición formal de conjunto pues de ser así obtendríamos contradicciones en nuestra teoría y es con este último axioma que lograremos quitarlas.

Tarea moral

  1. Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des sean falsas y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
  2. Di si $\emptyset\in emptyset$ es verdadero o falso. Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el axioma de comprensión es único).

Más adelante…

En esta sección hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.

Enlaces

En el siguiente enlace podrás encontrar más contenido acerca de los primeros axiomas de la teoría de conjuntos: