Cálculo Diferencial e Integral I: Conjuntos infinitos (Adicional)

Introducción

En esta última entrada de la unidad veremos un poco sobre la cardinalidad de un conjunto, un par de definiciones para decir cuando un conjunto es infinito o finito y algunos teoremas útiles. Dado que se trata de un tema adicional varios de los teoremas y resultados sólo serán enunciados.

Cardinalidad de un conjunto

Definición (Cardinalidad): Sea $A$ un conjunto. Definimos a la cardinalidad de $A$ cómo el número de elementos de $A$ y la denotaremos como:
$$|A|$$

Ejemplo: Sea $A= \left\{ 1,2,3,g,y,b \right\}$ así tenemos que su cardinalidad sería:
$$|A|=6$$

Definición: Decimos que $|A| \leq |B|$ si existe una función $f: A \rightarrow B$ inyectiva.

Misma cardinalidad

Definición: Sean $A,B$ conjuntos. Decimos que $A$ y $B$ tienen la misma cardinalidad $$|A|=|B|$$ si existe una función $f: A \leftrightarrow B$ biyectiva.

Ejemplo: Si consideramos los intervalos $[0,1]$ y $(0,1)$. Vemos que:
$$|[0,1]| = |(0,1)|$$
Primero tomamos los valores $0$ y $1$ en el intervalo $[0,1]$ y los enviamos a los valores $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente en el intervalo $(0,1)$.

Ahora consideramos los valores de la forma $\frac{1}{n}$ con $n \in \mathbb{N}$ y $n \geq 2$. A estos valores los enviaremos a los de la forma $\frac{1}{x+2}$. De este modo lo que haremos será enviarlos al $(0,1)$ cómo en el ejemplo de la siguiente imagen:

Y por último, a los valores restantes los enviamos a ellos mismos en el intervalo $(0,1)$

Así la función biyectiva sería $f: [0,1] \leftrightarrow (0,1)$:
\begin{equation*}
f(x)=
\begin{cases}
x &\text{si $x \neq 0,1,\frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\frac{1}{2} & \text{si $x= 1$}\\
\frac{1}{3} &\text{si $x=0$}\\
\frac{1}{x+2} &\text{si $x = \frac{1}{n}$ con $n\geq 2$}\\
\end{cases}
\end{equation*}

Conjuntos finitos e infinitos

Definición (1): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es finito si existe una función biyectiva $f: A \leftrightarrow \left\{1,2, \cdots , N \right\}$ para algún $N \in \mathbb{N}$.
  • $A$ es infinito si no es finito

Definición (2): Sea $A$ un conjunto.

  • $A$ es infinito si existe $A’ \subset A$ subconjunto propio de A y una función biyectiva $f: A’ \leftrightarrow A$.
  • $A$ es finito si no es infinito.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos no vacíos. Si $A \subseteq B$ entonces
$$|A| \leq |B|$$
Demostración: Proponemos a la función $f: A \rightarrow B$ como $f(x)=x$. Observamos que $f$ es inyectiva y cumple que para todo $x \in A$ se sigue que $x \in B$. Por definición se sigue que $|A| \leq |B|$

$\square$

Observación: Si $A,B$ son conjuntos infinitos puede ocurrir que $A \subset B$ y que $|A|=|B|$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos finitos.

  • Si $A \cap B = \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$ entonces:
    $|A \cup B|= |A|+|B|-|A \cap B|$

Definición (3): Un conjunto $A$ es infinito si existe $B \subseteq A$ tal que
$$|B|=|\mathbb{N}|$$

Conjuntos numerables

Definición: Sea $A$ un conjunto no vacío. Decimos que $A$ es numerable si $|A|=|\mathbb{N}|$ es decir si existe una función biyectiva:
$$f: A \rightarrow \mathbb{N}$$

Observación: Todo conjunto finito es numerable.

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ es finito y $B$ es infinito numerable entonces $A \cup B$ es numerable.
Demostración: Cómo $A$ es finito consideremos que tiene $m$ elementos.
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m} \right\}$$
Y cómo $B$ es infinito y numerable entonces es de la forma:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
Así al considerar la unión $A \cup B$ tendríamos:
$$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
Tenemos los siguientes dos casos:

  • Si $A\cap B = \emptyset$ y consideramos la siguiente indización:
    $$A \cup B = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{m}, b_{m+1}, b_{m+2}, \cdots , b_{m+n}, b_{m+n+1}, \cdots \right\}$$
    Vemos $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$
  • Si $A\cap B \neq \emptyset$. Supongamos que tenemos $k$ elementos en la intersección, es decir:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}$$
    $$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots ,a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{m} \right\}$$
    Así consideramos la siguiente indización para la unión:
    $$A \cup B = \left\{ a_{k+1}, a_{k+2}, \cdots , a_{m}, b_{1}, b_{2}, \cdots , b_{n}, \cdots \right\}$$
    Observamos que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$

$\square$

Teorema: Sean $A,B$ conjuntos. Si $A$ y $B$ son infinitos y numerables entonces $A\cup B$ es infinito y numerable.

Teorema: Si $A$ y $B$ son conjuntos infinitos y numerables entonces $A \cup B$ es infinito y numerable.
Demostración: Primero vemos que $A \cup B$ es infinito ya que al ocurrir que:

  • $A \subseteq A \cup B$ con $A$ infinito y numerable
  • $B \subseteq A \cup B$ con $B$ infinito y numerable

por definición (3) concluimos que $A \cup B$ es infinito.

Nos falta ver que $A \cup B$ es numerable, Ya que $A$ es numerable podemos escribirlo de la siguiente manera:
$$A = \left\{ a_{1}, a_{2}, \cdots \right\}$$
análogamente para $B$:
$$B = \left\{ b_{1}, b_{2}, \cdots \right\}$$
por lo que la unión se vería como:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{1},a_{2}, b_{2},a_{3},b_{3} \cdots, a_{n}, b_{n}, \cdots \right\}$$
Observemos que si consideramos la siguiente indización:
$$A \cup B= \left\{ a_{1}, b_{2},a_{3}, b_{4},a_{5},b_{6} \cdots, a_{2n-1}, b_{2n}, \cdots \right\}$$

el conjunto tiene una relación biunívoca con el conjunto de los naturales.
Veamos que sucede en los siguientes casos:

  • Si $A \cap B = \emptyset \Rightarrow |A \cup B|=|\mathbb{N}|$
  • Si $A \cap B \neq \emptyset$. Consideremos que existen k elementos en la intersección, por lo que serían de la forma:
    $$a_{1}= b_{1}, a_{2}= b_{2}, \cdots , a_{k}= b_{k}$$
    Por lo que ahora la unión se vería como:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+1},a_{k+2}, b_{k+2} \cdots, a_{k+n}, b_{k+n}, \cdots \right\}$$
    y si consideramos la siguiente nueva indización:
    $$A \cup B= \left\{ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots,a_{k}, a_{k+1}, b_{k+2},a_{k+3}, b_{k+4} \cdots, a_{k+(2n-1)}, b_{k+2n}, \cdots \right\}$$
    Tenemos que tiene una relación relación biunívoca con $\mathbb{N}$ por lo que también se cumple que $|A \cup B|=|\mathbb{N}|$.

$\square$

A continuación enunciaremos un teorema que generaliza el resultado sobre conjuntos numerables ya visto.

Teorema: Sean $A ,B$ y $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}, \cdots $ conjuntos no vacíos.

  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{N}$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{N} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.
  • Si $A_{1}, A_{2}, \cdots$ son numerables $\Rightarrow \begin{multline*} \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \end{multline*}$ es numerable.

Más adelante

Ahora que hemos concluido con la unidad relacionada a los Números reales, en la próxima iniciaremos el tema de funciones definiendo que es el dominio, rango y regla de correspondencia de una función.

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