Introducción
En esta unidad hablaremos de la noción de que dos conjuntos «tengan la misma cantidad de elementos». En esta entrada comenzaremos dando la definición formal que nos interesará. Más adelante, esto nos permitirá hablar de conjuntos finitos, de conjuntos infinitos y de cardinales, que en cierto sentido son los distintos tamaños que pueden tener los conjuntos infinitos.
Equipotencia
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $A$ es equipotente a $B$ si existe una función biyectiva $f:A\to B$. Denotaremos $A$ equipotente a $B$ como $A\sim B$ o bien como $|A|=|B|$.
Ejemplo.
Sea $A=\mathbb{N}$ y $B=\set{x: x=2k\ \text{para algún}\ k\in\mathbb{N}}$.
Afirmación. $A$ y $B$ son equipotentes.
Demostración de la afirmación.
Sea $f:\mathbb{N}\to B$ la función dada por $f(n)=2n$. Veamos que $f$ es biyectiva.
- Inyectividad.
Sean $x,y\in \mathbb{N}$ tales que $f(x)= f(y)$, esto es $2x=2y$. Luego, por ley de la cancelación para el producto tenemos que $x=y$ y, por lo tanto, $f$ es inyectiva. - Suprayectividad.
Si $y\in B$, entonces $y=2k$ para algún $k\in \mathbb{N}$. Así, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $f(k)=2k=y$ y, por consiguiente, $f$ es suprayectiva.
Por lo tanto, $f$ es biyectiva, de modo que $A\sim B$.
$\square$
El siguiente teorema seguro te recordará algunas cosas que discutimos cuando hablamos acerca de relaciones de equivalencia.
Teorema. Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Entonces se satisfacen los siguientes enunciados:
- $A$ es equipotente a $A$.
- Si $A$ es equipotente a $B$, entonces $B$ es equipotente a $A$.
- Si $A$ es equipotente a $B$ y $B$ es equipotente a $C$, entonces $A$ es equipotente a $C$.
Demostración.
- La función $Id_A$ es una función biyectiva, por lo que podemos concluir que $A\sim A$.
- Supongamos que $A\sim B$, entonces existe $f:A\to B$ biyectiva. Luego, $f^{-1}:B\to A$ es una función biyectiva y por lo tanto, $B\sim A$.
- Supongamos que $A\sim B$ y $B\sim C$, esto es, existe $f:A\to B$ biyectiva y $g:B\to C$ biyectiva. Luego, consideremos $g\circ f: A\to C$, como $f$ y $g$ son biyectivas, entonces $g\circ f$ es biyectiva.
Así, $A\sim C$.
$\square$
De esta manera, la equipotencia se comporta «como una relación de equivalencia». Pero, estrictamente hablando, no es una relación de equivalencia, pues dicha relación tendría que darse en la colección de todos los conjuntos, pero ya sabemos que esta colección no es un conjunto.
Por la simetría, en vez de decir «$A$ es equipontente a $B$» podemos simplemente decir que $A$ y $B$ son equipotentes.
Dominancia
Hemos visto que para que un conjunto sea equipotente a otro se requiere que exista una función biyectiva. Esto «se comporta» como una relación de equivalencia. ¿Hay una noción que se comporte como un orden parcial o un orden estricto? Sí. Las siguientes dos definiciones establecen estas ideas.
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $B$ es al menos tan numeroso como $A$ si existe una función inyectiva $f: A\to B$. Lo denotaremos como $A\lesssim B$ o como $|A|\leq |B|$.
Definición. Sean $A$ y $B$ conjuntos. Decimos que $B$ domina a $A$ si existe $f: A\to B$ tal que $f$ es inyectiva, pero no existe una función biyectiva de $A$ en $B$. Lo denotaremos como $|A|<|B|$.
Ejemplo.
Sean $A=\set{1,2,3}$ y $B=\mathbb{N}$. Tenemos que $|A|<|B|$ la función $f=\set{(1,1), (2,2), (3,3)}$ es inyectiva. Sin embargo, no existe $h:A\to B$ tal que $h$ sea suprayectiva.
$\square$
El siguiente teorema formaliza la idea de que $\lesssim$ «se comporta» como un orden parcial.
Teorema. Sean $A$, $B$ y $C$ conjuntos. Entonces, se satisfacen los siguientes enunciados:
- $A\lesssim A$.
- Si $A\lesssim B$ y $B\lesssim C$, entonces $B\lesssim C$.
Demostración.
- La función $Id_A$ es una función biyectiva, en paticular es una función inyectiva por lo que podemos concluir que $A\lesssim A$.
- Supongamos que $A\lesssim B$ y $B\lesssim C$, esto es, existe $f:A\to B$ inyectiva y $g:B\to C$ inyectiva. Luego, consideremos $g\circ f: A\to C$, como $f$ y $g$ son inyectivas, entonces $g\circ f$ es inyectiva. Así, $A\sim C$.
$\square$
Lo siguiente que podemos probar es que si $A$ y $B$ son conjuntos tales que $A\lesssim B$ y $B\lesssim A$, entonces $A\sim B$. Este resultado corresponde al teorema de Cantor-Schröder-Bernstein que demostraremos en la próxima entrada.
Tarea moral
Los siguientes ejercicios te permitirán aprender más resultados acerca de equipotencia y dominancia.
- Sean $n$ y $m$ números naturales. Muestra que $n\leq m$ si y sólo si $n \lesssim m$.
- Demuestra que si $n$ y $m$ son números naturales distintos, entonces, o bien $n$ domina a $m$ o bien $m$ domina a $n$.
- Demuestra que si $A$ es un conjunto, entonces su conjunto potencia es al menos tan numeroso como $A$, es decir, que $A\lesssim P(A)$.
- Demuestra que si $A\subseteq B$, entonces $A\lesssim B$.
- Enuncia formalmente un resultado que diga por qué la noción de «domina a» se comporta como un orden estricto.
- De entre las siguientes afirmaciones, decide cuáles son siempre verdaderas y para cuáles hay contraejemplos.
- Si $|A|=|B|$ y $|C|=|D|$, entonces $|A\cup B|=|C\cup D|$.
- Si $|A|=|B|$ y $|C|=|D|$, entonces $|A\cap B|=|C\cap D|$.
- Si $|A|=|B|$ y $|C|=|D|$, entonces $|A\times B|=|C\times D|$.
Más adelante…
En la siguiente entrada abordaremos el tema de conjuntos finitos. Probaremos el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein. Este teorema nos será de gran utilidad para averiguar si dos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos.
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Agradecimientos
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»