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Teoría de los Conjuntos I: Axiomas de existencia, de comprensión y de extensión

Por Gabriela Hernández Aguilar

Introducción

«Se entiende por un conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente».

Georg Cantor

Para iniciar tu aventura por la teoría de los conjuntos es importante plantear un sistema axiomático pues en este curso entenderemos por conjunto todo aquello que los axiomas nos permitan obtener como conjunto. Una particularidad de nuestros axiomas es que los elementos de conjuntos siempre serán otros conjuntos y es que de hecho en este curso todo es conjunto.

Axioma de existencia

Para siquiera hablar de conjuntos, es importante garantizar que hay por lo menos un conjunto. El axioma de existencia nos garantiza eso.

Axioma de existencia. Existe un conjunto que no tiene elementos.

Hay diversas formas para describir a un conjunto que no tiene elementos. Una de las propiedades que podemos utilizar es la siguiente:

«$P(x): x \text{es un conjunto distinto de sí mismo}$».

Si lo piensas, no existe nadie que cumpla esta propiedad pues cualquier conjunto que demos siempre será igual a sí mismo. Una forma de imaginarnos a este conjunto es pensar en una bolsa que no tenga nada adentro, como se muestra en la siguiente imagen.

Ten cuidado, pues esta manera de pensar a un conjunto sin elementos es informal. Sin embargo, en los ejercicios al final, verás cómo formalizarla.

La siguiente noción importante que nos dan los axiomas es la de igualdad de conjuntos.

Axioma de extensión. $X=Y$ si para cualquier conjunto $x$, $x\in X$ si y sólo si $x\in Y$.

Este axioma nos permite decir cuándo dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales. Esto ocurre cuando todos los conjuntos que son elementos de $X$ también lo son de $Y$ y viceversa.

Definición. Sean $X$ y $Y$ conjuntos. Diremos que $X$ está contenido en $Y$, en símbolos $X\subseteq Y$, si para todo $x\in X$ se tiene $x\in Y$.

Para demostrar la igualdad entre conjuntos, tenemos que probar que $X\subseteq Y$ y $Y\subseteq X$ de acuerdo al axioma de extensión.

Con este axioma y la definición de contención, podemos probar que el conjunto que nos otorga el axioma de existencia es único. Podríamos pensar, a partir de nuestra imagen anterior, que si tenemos dos bolsas de un color distinto que no tengan nada adentro, resultarían en dos conjuntos distintos. Sin embargo, dado que solo nos interesa quienés son los elementos de estas bolsas, si ambas no tienen nada adentro resultará que son iguales.

Antes de realizar la demostración de que el conjunto que nos da el axioma de existencia es único, acordaremos que, para demostrar la igualdad entre conjuntos $x$ y $y$, es necesario demostrar que $x\subseteq y$ y $y\subseteq x$, por lo que para referirnos a que se esta demostrando la primera contención pondremos «$\subseteq$]» al inicio de la prueba y para probar la segunda contención pondremos «$\supseteq$]» al inicio de la prueba.

Proposición. Existe un único conjunto sin elementos.

Demostración. Sean $A$ y $B$ conjuntos que no tienen elementos, veamos que $A=B$.

$\subseteq$] Por vacuidad, si $x\in A$, entonces $x\in B$, pues no hay nadie en $A$.

$\supseteq$] Por vacuidad, si $x\in B$, entonces $x\in A$, pues no hay nadie en $B$.

Por lo tanto, $A=B$.

$\square$

Definición. Al único conjunto que no tiene elementos le llamaremos conjunto vacío y será denotado por $\emptyset$.

Presentamos el último ingrediente axiomático de esta entrada. En vez de llamarse «axioma» se llama «esquema» pues condensa muchos axiomas, uno por cada propiedad $P$ y cada conjunto $A$.

Esquema de comprensión. Sea $P(x)$ una propiedad. Para cualquier conjunto $A$ existe un conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y satisface $P(x)$.

Este esquema nos permite construir conjuntos con elementos de otro conjunto que satisfacen una propiedad. Esto último evitará tener contradicciones como la paradoja del barbero que veremos en la siguiente entrada.

Tarea moral

  1. Da 2 propiedades diferentes tal que para cualquier conjunto que des, no exista un conjunto que las cumpla y nos den otra forma de escribir al conjunto vacío.
  2. ¿Es verdadero o falso $\emptyset\in \emptyset$? Argumenta tu respuesta.
  3. Prueba que si $P(x)$ es una propiedad, para todo conjunto $A$ existe un único conjunto $B$ tal que $x\in B$ si y sólo si $x\in A$ y $P(x)$. (Esto prueba que el conjunto que nos otorga el esquema de comprensión es único).
  4. Imagina que cambiamos el axioma de existencia por «Existe por lo menos un conjunto $X$.» Mediante este nuevo axioma y el esquema de comprensión, demuestra la existencia del conjunto vacío. Como sugerencia usa la discusión intuitiva que dimos del vacío.

Más adelante…

En esta entrada hablamos de axiomas básicos y de construcción, los cuales nos permitirán hablar de nuevos conjuntos, así mismo, con ellos probaremos teoremas importantes de la teoría de los conjuntos. En la siguiente sección, abordaremos una de las famosas paradojas que tiene las matemáticas en esta área, la cual es conocida como la paradoja del barbero o la paradoja de Russell.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»