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Álgebra Superior II: Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior hablamos de las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo. También, definimos la forma polar de un número complejo. En esta entrada hablaremos de cómo con la forma polar, de los elementos de $\mathbb{C}$, podemos entender fácilmente su multiplicación. Además, usaremos esto para demostrar la fórmula de De Moivre, que nos dice cómo encontrar las potencias de un complejo.

Como pequeño recordatorio, la forma polar del complejo $z=x+iy$ es $z=r(\cos \theta + i \sin \theta)$, en donde $r$ es la norma de $z$ y $\theta$ es el ángulo que hace con el eje real positivo, pensándolo como el punto $(x,y)$. Esto queda resumido por la siguiente figura:

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

Forma polar, multiplicación y recordatorio trigonométrico

Para ver cómo la forma polar de los complejos nos ayuda a entender la multiplicación en $\mathbb{C}$, necesitamos recordar las siguientes fórmulas trigonométricas
\begin{align*}
\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\\
\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \beta \sin \alpha.
\end{align*}

Si tenemos dos números complejos en forma polar
\begin{align*}
w&=r (\cos\alpha+ i \sin \alpha)\\
z&=s(\cos \beta + i \sin \beta)
\end{align*}

y los multiplicamos con la definición, su producto tendría parte real $$rs(\cos\alpha\cos \beta – \sin \alpha\sin \beta) = rs\cos (\alpha+\beta)$$ y parte imaginaria $$rs(\sin \alpha \cos \beta+ \sin\beta\cos\alpha)=rs\sin (\alpha+\beta).$$

Además, como la norma es multiplicativa, tenemos que la norma de $wz$ es $rs$. Con esto mostramos que la forma polar de $wz$ es exactamente $$wz=(rs)(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)).$$ Esto queda resumido en el siguiente resultado

Proposición. Si tenemos dos números complejos en forma polar
\begin{align*}
w&=r \text{cis}(\alpha)\\
z&=s\text{cis}(\beta),
\end{align*} entonces la forma polar del producto es $$wz=rs\text{cis}(\alpha+\beta).$$

Otra forma de decirlo es que «al multiplicar complejos, multiplicamos normas y sumamos argumentos». Podemos también ver el resultado de forma geométrica mediante la siguiente figura, en donde marcamos con rojo y azul los factores, y con negro al producto.

Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos
Interpretación geométrica de la multiplicación en los complejos

Ejemplo. Vamos a encontrar la forma rectangular del producto de los complejos
\begin{align*}w& =7 \text{cis}\left( \frac{2\pi}{5} \right)\quad\text{y}\\ z&=2\text{cis}\left(\frac{3\pi}{5}\right).\end{align*}

Por la proposición anterior, el producto es exactamente el complejo
\begin{align*}
14 \text{cis}\left(\frac{2+3}{5}\pi \right)=14 \text{cis} (\pi).
\end{align*}

Esta es la forma polar del producto. Por un problema anterior, sabemos que $\text{cis}(\pi)=-1$, de modo que la forma rectangular del producto es $-14$.

Si tenemos un complejo no nulo en forma polar, podemos entender fácilmente su inverso multiplicativo. Esto está dado por la siguiente proposición, cuya demostración es sencilla y se deja como tarea moral.

Proposición. Sea $w\neq 0$ un complejo con forma polar $w=r\text{cis}(\theta)$. Su inverso multiplicativo es el complejo $r^{-1}\text{cis}(-\theta)$.

Ejemplo. Determinemos el inverso multiplicativo del complejo $$w=\sqrt{3}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{7}\right).$$ Para ello, basta usar la proposición anterior, de donde $$w^{-1}=\frac{1}{\sqrt{3}} \text{cis}\left(-\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{cis}\frac{11\pi}{7}.$$

$\triangle$

Fórmula de De Moivre

La proposición para multiplicación de complejos se vuelve todavía más útil si la usamos iteradamente para hacer potencias de complejos.

Teorema (fórmula de De Moivre). Si $z$ es un complejo de norma $r$ y argumento $\theta$ y $n$ es un entero positivo, entonces $z^n$ es el complejo de norma $r^n$ y argumento $n\theta$. En otras palabras, si $z=r(\cos \theta + i \sin \theta)=r\text{cis}(\theta)$, entonces $$z^n=r^n (\cos (n\theta)+i\sin (n\theta))= r^n \text{cis} (n\theta).$$

Demostración. Procedemos por inducción sobre $n$. El caso $n=1$ es inmediato. Supongamos que el resultado es cierto para $n$, es decir, que $$z^n=r^n \text{cis} (n\theta).$$

Por hipótesis inductiva, tenemos entonces que la norma de $z^n$ es $r^n$, de modo que $z^{n+1}=z^n z$ tiene norma $r^nr=r^{n+1}$.

También por hipótesis inductiva, $z^n$ tiene argumento $n\theta$. Por cómo funciona la multiplicación compleja, el argumento de $z^{n+1}=z^n z$ es la suma de los argumentos de $z^n$ y $z$, es decir, $n\theta + \theta = (n+1)\theta$. Esto muestra que $$z^{n+1}=r^{n+1}\text{cis}((n+1)\theta),$$ y con esto acabamos el paso inductivo.

$\square$

Ejemplos de aplicación de fórmula de De Moivre

Ejemplo. Veremos quién es la décima potencia del complejo $$z=\sqrt{3}\text{cis} \left(\frac{4\pi}{5}\right).$$ Como este número ya está escrito en forma polar, podemos aplicarle directamente la fórmula de De Moivre:
\begin{align*}
z^{10}&=3^{10/2} \text{cis}\left(\frac{40\pi}{5}\right)\\
&=3^5 \text{cis} (8\pi)\\
&=3^5\\
&=243.
\end{align*}

$\triangle$

El ejemplo anterior nos dice que $z^{10}=243$. En otras palabras, $z$ es una raíz $10$-ésima de $243$. Pero existen otras raíces $10$-ésimas de 243, por ejemplo, tiene dos raíces reales $\sqrt[10]{243}$ y $-\sqrt[10]{243}$. ¿Cuántas raíces tiene entonces en total? ¿Quiénes son? Esto lo veremos en la siguiente entrada.

Veamos otro ejemplo en el que se aplica la fórmula de De Moivre.

Problema. Evalúa la expresión $(1+i)^{30}$, expresando el resultado final en forma rectangular.

Solución. Comenzamos expresando a $(1+i)$ en forma polar. Para ello, notamos que $\Vert 1+i \Vert = \sqrt{2}$, y que $1+i$ hace un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ con el eje real positivo. Por el teorema de De Moivre, tenemos que

\begin{align*}
z^{30}&=\sqrt{2}^{30}\text{cis}\left(\frac{30\pi}{4}\right)\\
&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{6\pi}{4} \right) \\
&=2^{15}\text{cis}\left(\frac{3\pi}{2} \right) \\
&=2^{15}(-i)\\
&=-2^{15}i.
\end{align*}

En la segunda igualdad usamos que $\frac{30\pi}{4}$ y $\frac{6\pi}{4}$ difieren en un múltiplo entero de $2\pi$. En la cuarta usamos la forma polar de $-i$.

$\triangle$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Muestra que para un complejo $z\neq 0$ escrito en forma polar $z=r\text{cis}(\theta)$, su inverso multiplicativo tiene forma polar $r^{-1}\text{cis} (-\theta)$.
  2. Evalúa la multiplicación $wz$, donde $w=2\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right)$ y $z=-5\text{cis}\left(\frac{7\pi}{5}\right)$. Expresa la respuesta forma polar.
  3. Haz la multiplicación $wz$, donde $w=3\text{cis}\left(\frac{\pi}{2}\right)$ y $z=4\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Expresa la respuesta en forma rectangular.
  4. Sea $z=7\text{cis}\left(\frac{5\pi}{7}\right)$. Expresa $z^3$ en forma polar.
  5. Sea $z=\sqrt[3]{5} \text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)$. Expresa $z^9$ en forma rectangular.
  6. Toma el complejo $z=-2+2i$. Evalúa la expresión $$1+z+\ldots+z^{29}.$$ Sugerencia: Usa primero la fórmula de suma de términos de una sucesión geométrica, y después la fórmula de De Moivre.

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Forma polar y cambios de coordenadas de un complejo

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En las entradas anteriores comenzamos a hablar acerca de cómo resolver algunas ecuaciones en $\mathbb{C}$. Platicamos de ecuaciones cuadráticas y la fórmula general. Luego, vimos sistemas de ecuaciones lineales y varios métodos para resolverlos. Lo siguiente que haremos será resolver ecuaciones de la forma $z^n=w$, en donde $w$ en $\mathbb{C}$ y $n$ en $\mathbb{N}$ están dados y $z$ es la variable a determinar. Antes de resolver esta ecuación, necesitamos entender mejor la multiplicación en $\mathbb{C}$, y para ello vamos a estudiar la forma polar de un complejo.

En esta entrada comenzaremos recordando las coordenadas rectangulares de un número complejo, además definiremos sus coordenadas polares. Veremos cómo pasar de coordenadas rectangulares a polares de manera biyectiva, con lo cual podremos definir qué es la forma polar.

Más adelante, la forma polar nos ayudará a entender mejor la geometría de la multiplicación y exponenciación en $\mathbb{C}$. Esto será muy útil cuando queramos «sacar raíces $n$-ésimas», lo cual necesitaremos para resolver ecuaciones del estilo $z^n=w$.

De coordenadas rectangulares a coordenadas polares

Tomemos un número complejo $z=x+yi$ y pensémoslo como un punto del plano complejo, es decir, como el punto $(x,y)$ . Diremos que $(x,y)$ son las coordenadas rectangulares de $z$. Es recomendable recordar la siguiente figura, y regresar a ella frecuentemente.

Complejo en forma rectangular y polar
Complejo en forma rectangular y polar

El número complejo $z$ tiene norma $r=\sqrt{x^2+y^2}$. Además, si $z\neq 0$, tenemos que $z$ define un ángulo $\theta$ con el eje real positivo, medido en el sentido contrario al avance de las manecillas del reloj a partir del eje real positivo, al cual le llamaremos el argumento de $z$ y lo denotaremos por $\text{arg}(z)$. Todos los ángulos que manejamos están en radianes.

Sin embargo, este ángulo no es único. El complejo $z$ define al ángulo $\theta$ pero, por ejemplo, también define al ángulo $\theta+2\pi$, pues la suma de $2\pi$ corresponde a dar una vuelta completa alrededor del origen. Por ello, pensaremos que el argumento de $z$ toma todos los valores $$\{\theta+2k\pi:k\in \mathbb{Z}\}.$$ Así, $\text{arg}(z)$ es una multifunción, algo así como una función, pero que toma varios valores. Cuando digamos que un complejo tiene argumento $\theta$, nos referiremos a $\theta$ o cualquier otro ángulo que difiera un múltiplo entero de $2\pi$ Más adelante hablaremos de esto con detalle.

Aunque haya varios ángulos que le correspondan a $z$, hay uno único en el intervalo $[0,2\pi)$.

Definición. Definimos las coordenadas polares de un número complejo $z=x+yi$ como sigue:

  • Si $z=0$, sus coordenadas polares son $(0,0)$.
  • Si $z\neq 0$, entonces tomamos $r=\Vert z \Vert = \sqrt{x^2+y^2}$ y $\theta$ el único ángulo en $[0,2\pi)$ que hace $z$ con el eje real positivo. Las coordenadas polares de $z$ son $(r,\theta)$.

Observa que $r$ siempre es no negativo y es cero si y sólo si $z=0$. Además por trigonometría para el ángulo $\theta$ se cumple que \begin{align*}\sin \theta &= \frac{y}{r}\\ \cos \theta &= \frac{x}{r},\end{align*} lo cual nos da la siguiente forma práctica para encontrar $\theta$:

  • Calculamos $\frac{y}{r}$ o $\frac{x}{r}$ (el que parezca más sencillo).
  • Aplicamos una función trigonométrica inversa para reducir el problema a dos opciones.
  • Elegimos la opción correcta de acuerdo al signo de $x$ o $y$.

Ejemplo. Tomemos al complejo $z=3-3\sqrt{3}i$. Vamos a pasarlo a forma polar. Su norma es $\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$. Para determinar el ángulo $\theta$ que define con el eje real, podemos notar que $$\cos{\theta}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},$$ así que $\theta = \frac{\pi}{3}$ ó $\theta= 2\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{3}$, pues son los únicos ángulos en $[0,2\pi)$ con ese coseno. Como la parte imaginaria es negativa, se da el segundo caso. Por lo tanto, las coordenadas polares de $z$ son $\left(6,\frac{5\pi}{3}\right)$.

$\triangle$

De coordenadas polares a coordenadas rectangulares

También hay una forma de pasar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. En efecto, tomemos un real no negativo $r$ y consideremos la pregunta ¿quienes son los números complejos de norma $r$?

Por un lado, si $r=0$, necesitamos que $x^2+y^2=0^2=0$, de donde $x=y=0$, así que las coordenadas rectangulares deben ser $(0,0)$. Por otro lado, si $r>0$, se necesita que $$x^2+y^2=r^2,$$ lo cual, por el teorema de Pitágoras, define una circunferencia de radio $r$ con centro en el origen.

Circunferencia de complejos de norma r.
Circunferencia de complejos de norma $r$

Si además elegimos un ángulo, $\theta$ en $[0,2\pi)$, que el complejo haga con el eje real, entonces queda determinado de manera única. Supongamos que este complejo es $z=x+yi$

Por trigonometría, tenemos que
\begin{align*}x&=r\cos \theta\\ y &= r\sin \theta.\end{align*}

Problema. Determina en la forma $x+yi$ al número complejo cuyas coordenadas polares son $\left(7,\frac{3\pi}{4}\right)$.

Solución. Usamos las fórmulas obtenidas arriba. Tenemos que

\begin{align*}\\
x&=7\cos \frac{3\pi}{4}=7\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{7}{\sqrt{2}}\\
y &= 7\sin \frac{3\pi}{4}= 7\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}.
\end{align*}

De este modo, el complejo buscado es el $$-\frac{7}{\sqrt{2}}+\frac{7}{\sqrt{2}}.$$

$\square$

Los cambios de coordenadas son inversos entre sí

La primer sección explica cómo de coordenadas rectangulares podemos pasar a coordenadas polares. La anterior dice cómo pasar de coordenadas polares a rectangulares. Resulta que estas operaciones son inversas la una de la otra como veremos en la siguiente:

Proposición. Si tomamos coordenadas polares $(r,\theta)$ de un complejo, las pasamos a coordenadas rectangulares $(x,y)$ y luego éstas las pasamos a coordenadas polares $(r’,\theta’)$ de nuevo, tenemos que $$(r,\theta)=(r’,\theta’).$$

Demostración. En el caso $r=0$, sólo definimos coordenadas polares con $\theta=0$. Al ir a coordenadas rectangulares vamos al punto $(0,0)$, que de nuevo regresa a polares $(0,0)$. Podemos suponer entonces que $r>0$.

Como mencionamos en la segunda sección, las coordenadas rectangulares correspondientes a $(r,\theta)$ son exactamente $$(x,y)=(r\cos \theta,r\sin \theta).$$ Pasemos este complejo a coordenadas polares $(r’,\theta’)$. Usando la identidad pitagórica $\cos ^2\theta + \sin^2 \theta = 1$, la norma de este complejo es
\begin{align*}
\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2 \theta} &= r\sqrt{\cos ^2\theta +\sin^2 \theta}\\
&=r\sqrt{1}\\
&=r,
\end{align*}

lo que prueba $r=r’$. Además, como discutimos en la primer sección, tenemos que
\begin{align*}
\sin \theta’ = \frac{r\sin \theta}{r} = \sin \theta\\
\cos \theta’ = \frac{r\cos \theta}{r}=\cos \theta.
\end{align*}

De esta forma, $\theta$ y $\theta’$ son ángulos en $[0,2\pi)$ con el mismo seno y coseno, lo cual implica $\theta=\theta’$.

$\square$

Corolario. El cambio de coordenadas rectangulares a polares , visto como una función de $$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$$ a $$(\mathbb{R}^+\times [0,2\pi))\cup \{(0,0)\}$$ es biyectivo.

La forma polar de un número complejo

En las secciones anteriores pensamos a los complejos como parejas ordenadas. Podemos regresar los resultados obtenidos a la forma $x+yi$ de los complejos para justificar la siguiente definición.

Definición. La forma polar de un número complejo $z=x+yi$ es $z=r(\cos \theta + i\sin \theta)$, donde $(r,\theta)$ son las coordenadas polares de $(x,y)$.

Por costumbre, en la forma polar se pone $i$ antes de $\sin \theta$, a diferencia de la forma rectangular, en donde se pone $i$ después de $y$. A veces en expresiones como las de la forma polar aparecen ángulos $\theta$ fuera del rango $[0,2\pi)$. Podemos hacer las cuentas que necesitemos fuera de este rango sin problema. Al final podemos sumar o restar un múltiplo entero de $2\pi$ para caer en el rango $[0,2\pi)$. Esto no cambia el seno ni coseno del ángulo, por lo que no cambia al número complejo.

Como la expresión $ \cos \theta + i\sin \theta$ se usa mucho, usualmente se abrevia.

Definición. Para un ángulo $\theta$ definimos $\text{cis}(\theta) = \cos \theta + i \sin \theta$.

Problema. Determina la forma polar de los complejos $1$, $-1$, $i$ y $-i$.

Solución. Todos estos números tienen norma $1$. Además, hacen ángulos $0, \pi, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ con el eje real positivo, respectivamente. De esta forma, sus coordenadas polares son
\begin{align*}
(1,0)\quad (1,\pi)\quad\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\quad \left(1,\frac{3\pi}{2}\right),
\end{align*}

respectivamente.

De esta forma, la forma polar de cada uno es:
\begin{align*}
1&=\cos 0+i \sin 0=\text{cis} (0)\\
-1&=\cos \pi + i \sin \pi = \text{cis} (\pi) \\
i&=\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = \text{cis} \left(\frac{\pi}{2}\right)\\
-i&= \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = \text{cis} \left( \frac{3\pi}{2}\right).
\end{align*}

$\triangle$

Una aclaración muy importante es que la forma polar de $z=x+yi$ no es $r+\theta i$. La forma polar es exactamente el mismo número complejo que el original, simplemente escrito de manera diferente.

Si la forma polar de un complejo es exactamente el mismo número que el original, ¿de qué nos sirve tenerlo en coordenadas polares? Resulta que la multiplicación compleja se entiende mucho mejor en términos de la forma polar. En la siguiente entrada veremos esto y cómo lo podemos usar para encontrar potencias de números complejos fácilmente.

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Determina la forma polar de los siguientes complejos: $7-7i$ y $-2+2\sqrt{3}i$.
  2. Determina la forma rectangular de los complejos con coordenadas polares $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ y $\left(1, \frac{11\pi}{6}\right)$.
  3. Si la forma polar del complejo $z$ es $r\text{cis} \theta$, ¿quién es la forma polar del conjugado?
  4. ¿Cuáles son aquellos números complejos que se obtienen al variar $\theta$ en la forma polar $3\text{cis}(\theta)$?
  5. ¿Qué figura en el plano definen aquellos números complejos que se obtienen al variar $r$ en la forma polar $r\text{cis}(\pi)$?

Puedes practicar más estos temas viendo los videos y haciendo los ejercicios de la página de Khan Academy, de su sección de números complejos.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Álgebra Superior II: Problemas de norma y la ecuación general de segundo grado

Por Claudia Silva

Introducción

Estudiamos ya la norma de un número complejo, así como la ecuación general de segundo grado en $\mathbb{C}$ y un método para obtener raíces complejas. Abordaremos ahora varios ejemplos y ejercicios del libro de Álgebra Superior de Bravo, Rincón, Rincón, así como un ejercicio de norma.

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas

Comenzaremos viendo con detalle el ejemplo 134 del libro. Antes de eso, hacemos un pequeño recordatorio de cómo se resuelven ecuaciones cuadráticas en los complejos. El ejemplo 134 dice lo siguiente.

Ejercicio. Encontrar las raíces de $z^2-2iz-9-6i=0$.

Ejemplo de resolución de ecuación cuadrática compleja (parte 1)
Ejemplo de resolución de ecuación cuadrática compleja (parte 2).

Problemas de raíces cuadradas y ecuaciones cuadráticas

A continuación, un par de incisos del ejercicio 326. Los incisos de este ejercicio consisten en encontrar raíces (cuadradas) complejas:

Ejercicio. Encuentra las raíces cuadradas de $1+\sqrt{3}i$ y las de $-1$.

Cómo encontrar raíces cuadradas complejas

Posteriormente, un ejercicio de resolución de una ecuación cuadrática compleja.

Ejercicio. Resuelve la ecuación cuadrática $z^2-3z+3-i=0$.

Resolución de una ecuación cuadrática compleja

Problema de norma compleja

Finalmente, resolvemos el siguiente problema de norma compleja.

Problema. Encuentra todos los complejos de la forma $z=2a+(1-3a)i$ en donde $a$ es un real y $z$ tiene norma $1$.

Ejercicio de norma compleja

Más adelante…

Tarea moral

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Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

Seminario de Resolución de Problemas: Identidad de Gauss e identidad de suma de cubos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

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Introducción

En la entrada anterior comenzamos a platicar acerca de identidades algebraicas útiles en la resolución de problemas matemáticos. Vimos algunas identidades básicas y platicamos acerca del teorema del binomio de Newton. En esta entrada veremos dos identidades más: la identidad de Gauss para suma de cuadrados y la identidad para factorizar $a^3+b^3+c^3-3abc$. Damos más de una demostración de cada una de ellas para seguir explorando ideas algebraicas.

Identidad de cuadrados de Gauss

Proposición. Para $a,b,c,d$ números reales se cumple que $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.$$

Demostración 1. Simplemente desarrollamos. Por un lado,
\begin{align*}
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

Por otro lado, $ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ es
\begin{align*}
&a^2c^2-2abcd+b^2d^2+a^2d^2+2abcd+b^2c^2\\
= &a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2.
\end{align*}

$\square$

La siguiente demostración nos ayuda a entender un poco mejor la identidad y tiene una idea que se puede aplicar en varios contextos.

Demostración 2. Vamos a dar un pequeño brinco a los números complejos, pues ahí podemos hacer la factorización $x^2+y^2=(x+yi)(x-yi)$.

Usando esa identidad:
\begin{align*}
&(a^2+b^2)(c^2+d^2) \\
=&(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)\\
=&(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)\\
=&((ac-bd)+(ad+bc)i) ((ac-bd)-(ad+bc)i)\\
=&(ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
\end{align*}

$\square$

La idea que se puede recuperar de la demostración anterior es la siguiente: a veces una identidad no se puede factorizar en los números reales (racionales, enteros, etc), pero sí en los números complejos (otro sistema numérico más grande). Aunque el problema hable de números reales, es posible que podamos ir a los complejos y regresar a los reales con información.

Problema ejemplo para identidad de Gauss

Problema. Muestra que si tienes un número $x$ de la forma $r^2+7s^2$, con $r$ y $s$ números enteros, entonces el número $x^{2020}$ también es de esa forma.

Sugerencia pre-solución. Aquí, el exponente $2020$ es sospechoso, y sugiere que en realidad el problema debe ser más general. Haz algunos casos pequeños para buscar un patrón de cómo se comporta el producto de dos números de esa forma. Después, para estudiar las potencias, usa el principio de inducción.

Solución. Notemos que $$x=r^2+7s^2=(r+\sqrt{7}si)(r-\sqrt{7}si)$$ Tomemos otro número de esa forma, digamos $$y=t^2+7u^2= (t+\sqrt{7}ui)(t-\sqrt{7}ui).$$ Al hacer el producto de $x$ y $y$, aparecerá un factor $$ (r+\sqrt{7}si)(t+\sqrt{7}ui)=((rt-7su)+(ru+st)\sqrt{7}i)$$ y un factor $$ (r-\sqrt{7}si)(t-\sqrt{7}ui)=((rt-7su)-(ru+st)\sqrt{7}i),$$ que multiplicados son iguales a $$(rt-7su)^2+7(ru+st)^2.$$ Con todo esto, concluimos que el producto de cualesquiera dos números de la forma buscada, también es de la forma buscada. De aquí, $x^2$ es de la forma buscada, e inductivamente $x^n$ es de la forma buscada para todo entero $n\geq 1$. En particular, $x^{2020}$ es de la forma que se quiere.

$\square$

Identidad para $a^3+b^3+c^3-3abc$

Proposición. Para $a,b,c$ números reales, se tiene que $$a^3+b^3+c^3-3abc$$ es igual a $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

Esta identidad también tiene varias demostraciones, que en conjunto guardan varias ideas. Veamos dos de ellas.

Demostración 1. Simplemente hacemos el producto de la segunda expresión para verificar que nos de la primera. Claramente aparece un único $a^3$ y por simétría aparecen $b^3$ y $c^3$ exactamente una vez. También, claramente aparece tres veces la expresión $-abc$. Todas las expresiones que aparecen son cúbicas y ya contamos las «de la forma» $x^3$ y $xyz$, así que por simetría basta ver qué pasa con cada expresión de la forma $x^2y$. Estas se obtienen ya sea de elegir $x$ en la primera y $-xy$ en la segunda, o bien $y$ en la primera y $x^2$ en la segunda, de modo que todas ellas se cancelan.

Sólo para asegurarnos que hicimos todo bien, deberíamos haber contado $3\cdot 6=18$ monomios. Hay tres de la forma $x^3$, tres de la forma $xyz$ y cada uno de los seis la forma $x^2y$ ya lo encontramos $2$ veces, una vez positivo y una vez negativo. Así, nuestra cuenta abarca $3+3+6\cdot 3= 18$ monomios, así que ya contamos todos los términos.

$\square$

Hay una segunda demostración, que usa ideas de álgebra lineal. Daremos la idea general, y más adelante, cuando hablemos de matrices y determinantes, platicaremos de estas ideas más a detalle.

Demostración. Calculemos el determinante $D$ de la matriz $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix}$$ de dos formas distintas. Por un lado, podemos sumar los renglones $2$ y $3$ al primer renglón sin que cambie el determinante, así, $$D=\begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$ De aquí, podemos factorizar $a+b+c$ pues está en cada entrada del primer renglón $$D=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ c & a & b \\ b & c & a\end{vmatrix}.$$

Finalmente, desarrollando el determinante que queda usando el primer renglón, tenemos que
\begin{align*}
D&=(a+b+c)((a^2-bc)-(ca-b^2)+(c^2-ab))\\
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).
\end{align*}

Por otro lado, usando el truco para desarrollar un determinante de $3\times 3$ por diagonales,
\begin{align*}
D&=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc\\
&= a^3+b^3+c^3-3abc.
\end{align*}

Igualando ambas expresiones para $D$, obtenemos la identidad deseada.

$\square$

Problema ejemplo de factorización de $a^3+b^3+c^3-3abc$

Problema. Sean $a,b,c$ números reales. Muestra que $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

Sugerencia pre-solución. Necesitarás la identidad anterior y un análisis de casos. También, para uno de los casos necesitarás usar la factorización de $x^2-2xy+y^2$ algunas veces.

Solución. De acuerdo a la identidad de la sección anterior, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si $$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0.$$

Notemos que $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2},$$ que siempre es mayor o igual que cero y es igual a $0$ si y sólo si $a-b=b-c=c-a=0$, si y sólo si $a=b=c$.

Así, $a^3+b^3+c^3=3abc$ si y sólo si alguno de los factores que lo conforman es cero, lo cual pasa si y sólo si $a+b+c=0$ o $a=b=c$.

$\square$

Más problemas

Puedes ver más problemas que usan identidades algebraicas en la entrada anterior de este tema. Además, puedes encontrar más problemas de identidades algebraicas en la Sección 4.1 del libro Problem Solving through Problems de Loren Larson.

Álgebra Superior II: Sistemas de ecuaciones lineales complejos

Por Leonardo Ignacio Martínez Sandoval

Introducción

En la entrada anterior comenzamos a hablar acerca de resolver, en los complejos, ecuaciones de distintos tipos. Además, profundizamos en cómo resolver las ecuaciones cuadráticas complejas. En esta entrada platicaremos acerca de los sistemas de ecuaciones lineales complejos.

Resolveremos a detalle el caso de dos variables y dos ecuaciones. Después, hablaremos un poco acerca de sistemas de ecuaciones con más variables. Un estudio cuidadoso de los sistemas de ecuaciones lineales con más variables se hace en los cursos de álgebra lineal. Un muy buen texto para aprender estos temas es el libro Essential Linear Algebra de Titu Andreescu.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas

Si $a,b$ son elementos de $\mathbb{C}$ y $a\neq 0$, la ecuación lineal $$ax=b$$ tiene una única solución, dada por $x=\frac{b}{a}$, la cual está bien definida pues todo complejo distinto de $0$ tiene inverso multiplicativo.

Si tenemos los números complejos $a,b,c,d,e$ y $f$, el sistema de ecuaciones lineales en los complejos

\begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

puede comportarse de tres formas distintas:

  • Su solución existe y es única.
  • Tiene una infinidad de soluciones.
  • No tiene solución.

Si tiene al menos soluciones distintas, tenemos entonces que tiene una infinidad. Cuando la solución del sistema es única, el sistema se puede resolver por los métodos básicos con los que se resuelve un sistema en $\mathbb{R}$:

  • Por substitución: de la primera ecuación se despeja la variable $x$ y su valor se pone en la segunda ecuación. De ahí, obtenemos una ecuación en $y$. Se despeja $y$ para obtener su valor y con ello se obtiene el valor de $x$.
  • Igualando coeficientes: multiplicamos la primer ecuación por $d$ y la segunda por $-a$. Al sumar ambas ecuaciones resultantes, queda una ecuación lineal en $y$.

Ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos

Ejemplo 1. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
ix+5y&= 9 – 4i.
\end{align*}

Solución. Para empezar, multiplicamos la segunda ecuación por $2i$, de donde obtenemos el sistema
\begin{align*}
2x+iy&= 3+4i\\
-2x+10iy&=8+18i.
\end{align*}

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos que $11iy=11+22i$. Multiplicando por $-\frac{i}{11}$ de ambos lados, obtenemos $$y=2-i.$$

Substituyendo en la segunda ecuación, notamos que $$2x=3+4i-i(2-i)=2+2i,$$ de donde $x=1+i$. De aquí, la única solución puede ser $x=1+i$ y $y=2-i$, que se puede verificar que en efecto satisfacen la ecuación.

$\triangle$

Ejemplo 2. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(3+2i)x+iy&= 3+3i\\
(-4+6i)x-2y&= -6 + 6i.
\end{align*}

Solución. Multiplicando la primer ecuación por $2i$ obtenemos que es equivalente a la ecuación $$(-4i+6i)x-2y=-6+6i,$$ es decir, ambas ecuaciones difieren sólo por un factor $2i$, así que son la misma. Si elegimos cualquier valor de $y$, podemos encontrar un valor de $x$ que cumpla con la ecuación. Por ejemplo, tomando $y=1$, de la ecuación obtenemos que $x=1$. Así, esta ecuación tiene una infinidad de soluciones, dadas por elegir un $y$ y definir $x=\frac{3+3i-iy}{3+2i}.$

$\triangle$

Ejemplo 3. Determina todas las soluciones del sistema
\begin{align*}
(1+2i)x+(-2+i)y&= 3+6i\\
3x+3iy&= 8.
\end{align*}

Solución. Supongamos que existe alguna solución para $x$ y $y$. Multipliquemos la primer ecuación por $3$ y la segunda por $1+2i$. Obtenemos que
\begin{align*}
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 9+18i\\
(3+6i)x+(-6+3i)y&= 8+16i.
\end{align*}

De aquí, $9+18i=8+16i$, lo cual es una contradicción. Así, esta ecuación no tiene soluciones.

$\triangle$

Método del determinante

Un método más general para resolver sistemas de ecuaciones lineales complejos con dos incógnitas, que nos dice todo lo que puede suceder, es el siguiente. De hecho, exactamente el mismo teorema funciona para $\mathbb{R}$.

Teorema. Sean $a,b,c,d,e$ y $f$ en $\mathbb{C}$. Para el sistema \begin{align*}
ax+by &= c\\
dx+ey&=f
\end{align*}

definimos a su determinante como el número complejo $ae-bd$. Entonces:

  • Si el determinante es distinto de $0$, el sistema tiene una solución única para $x$ y $y$ dada por
    \begin{align*}
    x&=\frac{ce-bf}{ae-bd}\\
    y&=\frac{af-cd}{ae-bd}.
    \end{align*}
  • Si el determinante es $0$, entonces el sistema no tiene solución, o tiene una infinidad.

Demostración. Cuando el determinante no es $0$, resolvemos el sistema por igualación de coeficientes. Multiplicando la primer ecuación por $-d$, la segunda por $a$ y sumando, obtenemos que $$(ae-bd)y=af-cd.$$ Como el determinante no es cero, $$y=\frac{af-cd}{ae-bd}.$$ Así mismo, multiplicando la primer ecuación por $e$, la segunda por $-b$ y sumando, obtenemos de manera análoga que $$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}.$$ Así, si existe una solución, debe tener estos valores. Queda como tarea moral verificar que estos valores cumplen.

Cuando el determinante es $0$, tenemos que $ae=bd$. Si $a=b=e=d=0$, para que exista una solución se necesita forzosamente que $c=f=0$, y de hecho en este caso cualquier pareja $x,y$ funciona. Si en este caso alguno de $c$ o $f$ no es $0$, el sistema no tiene solución.

Así, continuando el análisis podemos suponer sin pérdida de generalidad que $a\neq 0$. De este modo, $e=\frac{bd}{a}$, por lo que la segunda ecuación es equivalente a $$dx+\frac{bd}{a}y=f,$$ que es $adx+bdy=af$.

Si $d=0$, tenemos, de la ecuación anterior, que $af=0$ y del determinante que $ae=bd=0$. Como $a\neq 0$, se necesita que $e=f=0$, de modo que en realidad sólo tenemos una ecuación, la primera. Como $a\neq 0$, podemos elegir cualquier valor de $y$ y de ahí despejar el valor de $x$, obteniendo una infinidad de soluciones.

Si $d\neq 0$, entonces la ecuación $adx+bdy=af$ es equivalente a la ecuación $ax+by=\frac{af}{d}$. La primer ecuación y esta implican que si hay solución, entonces $\frac{af}{d}=c$. De ser así ,sólo tenemos una ecuación, pero repetida. Por el mismo argumento de arriba, hay una infinidad de soluciones.

$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales complejos con más incógnitas

Los sistemas lineales complejos con más incógnitas se pueden resolver con las mismas técnicas que aquellos en los reales. En cursos como álgebra lineal verás cómo resolver un sistema lineal en general y cómo saber cómo se ven todas sus soluciones. Sin embargo, puedes aprovechar lo que ya sabes del álgebra de los complejos para resolver distintos sistemas lineales.

Problema 1. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
3a+(2+i)b+(1+2i)c&=1+i\\
3b+(2+i)c&=2+2i\\
3c&=3+3i.
\end{align*}

Solución. Resolvemos el sistema por substitución. Nos conviene empezar con la tercer ecuación, que tiene únicamente una variable. De ella obtenemos que $c=1+i$. Substituyendo en la segunda ecuación, obtenemos que $$3b+(2+i)(1+i)=2+2i,$$ de donde $$3b+1+3i=2+2i,$$ así que $$3b=1-i,$$ entonces $$b=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.$$

Con los valores de $b$ y $c$ podemos substituir en la primer ecuación. Notando que
\begin{align*}
(2+i)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\right)=1-\frac{1}{3}i\\
(1+2i)(1+i)=-1+3i\\
(1+i)-\left(1-\frac{1}{3}i\right)-(-1+3i)=1-\frac{5}{3}i,
\end{align*}

obtenemos que $$a=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i.$$

En resumen,
\begin{align*}
a&=\frac{1}{3}-\frac{5}{9}i\\
b&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i\\
c&=1+i
\end{align*}

es la única posible solución, y se puede mostrar que en efecto satisface las tres ecuaciones.

$\triangle$

Problema 2. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones

\begin{align*}
(1+5i)a+b+c+d+e&=2\\
a+(1+5i)b+c+d+e&=2\\
a+b+(1+5i)c+d+e&=2\\
a+b+c+(1+5i)d+e&=2\\
a+b+c+d+(1+5i)e&=2.
\end{align*}

Solución. Sumando todas las ecuaciones, tenemos que $$(5+5i)(a+b+c+d+e)=10,$$ de donde obtenemos que
\begin{align*}
a+b+c+d+e&=\frac{2}{1+i}\\
&=1-i.
\end{align*}

De la primera ecuación, obtenemos que \begin{align*}2&=(a+b+c+d+e)+5ia\\&=1-i+5ia,\end{align*} por lo que $$a=\frac{1+i}{5i}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}i.$$ Por simetría, el resto de las variables también tiene este valor, de modo que $$a=b=c=d=e= \frac{1}{5}-\frac{1}{5}i$$ es la única solución.

$\triangle$

Más adelante…

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. Verifica que las soluciones de los ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales complejos de dos variables en efecto son soluciones.
  2. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*}2x+(1+i)y &= 4\\ (5-i)x+(3+2i)y &=0.\end{align*}
  3. En el teorema del método del determinante, cuando el determinante no es cero, encontramos una solución. Verifica que en efecto satisface el sistema original.
  4. Verifica que las soluciones de los ejemplos en varias variables en efecto satisfacen el sistema original.
  5. Resuelve en los complejos el sistema de ecuaciones \begin{align*} x+(1+i)y &= 4\\ y+(2+i)z &= 5\\ z + (3+i)x &= 6.\end{align*}

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»