Archivo de la etiqueta: álgebra lineal

Álgebra Superior I: Producto de matrices con vectores

Por Eduardo García Caballero

Deja un comentario

Introducción

Anteriormente conocimos dos operaciones que podemos realizar utilizando vectores o matrices: la suma entre vectores/matrices y el producto escalar. Como recordarás, estas operaciones involucran exclusivamente vectores o exclusivamente matrices. En esta entrada veremos una operación que involucra a ambos objetos matemáticos a la vez: el producto de una matriz por un vector.

Definición de producto de matrices con vectores

Una condición indispensable para poder realizar el producto matriz-vector es que la cantidad de columnas de la matriz sea la misma que la cantidad de entradas del vector. Basándonos en esto, podríamos multiplicar
\[
\begin{pmatrix}
3 & \tfrac{1}{2} \\
2 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\pi \\
4
\end{pmatrix}
\qquad
\text{o}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 & 7 & \sqrt{2} \\
9 & \tfrac{1}{3} & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-3 \\
\tfrac{2}{3} \\
5
\end{pmatrix},
\]
pero no podríamos realizar la operación
\[
\begin{pmatrix}
1 & 7 & \sqrt{2} \\
9 & \tfrac{1}{3} & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\pi \\
4
\end{pmatrix}.
\]

Como te habrás podido dar cuenta, en este tipo de producto es usual representar los vectores en su forma de “vector vertical” o “vector columna”.

El resultado de multiplicar una matriz por un vector será un nuevo vector, cuyo tamaño corresponde a la cantidad de filas de la matriz original.

Para obtener este nuevo vector, se sigue un algoritmo especial, el cual conocerás en entradas futuras. Sin embargo, a continuación te presentamos las fórmulas que definen a algunos casos especiales de esta operación, lo cual te permitirá obtener el producto en casos con una cantidad pequeña de entradas.

  • Producto de una matriz de tamaño $2 \times 2$ por un vector de tamaño $2$:

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1 + a_{12}u_2 \\
a_{21}u_1 + a_{22}u_2
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de una matriz de tamaño $3 \times 2$ por un vector de tamaño $2$:

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1 + a_{12}u_2 \\
a_{21}u_1 + a_{22}u_2 \\
a_{31}u_1 + a_{32}u_2
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de una matriz de tamaño $2 \times 3$ por un vector de tamaño $3$:

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1 + a_{12}u_2 + a_{13}u_3 \\
a_{21}u_1 + a_{22}u_2 + a_{23}u_3
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de una matriz de tamaño $3 \times 3$ por un vector de tamaño $3$:

\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1 + a_{12}u_2 + a_{13}u_3 \\
a_{21}u_1 + a_{22}u_2 + a_{23}u_3 \\
a_{31}u_1 + a_{32}u_2 + a_{33}u_3
\end{pmatrix}.
\]

¿Observas algún patrón en estas fórmulas?

Veamos algunos ejemplos numéricos de cómo usar estas fórmulas:

\(
\bullet
\begin{pmatrix}
3 & \tfrac{1}{2} \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\tfrac{1}{3} \\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(3)(-\tfrac{1}{3}) + (\tfrac{1}{2})(4) \\
(2)(-\tfrac{1}{3}) + (1)(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 + 2 \\
-\tfrac{2}{3} + 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
\tfrac{10}{3}
\end{pmatrix}
\)

\(
\bullet
\begin{pmatrix}
1 & 7 & \sqrt{2} \\
9 & \tfrac{1}{3} & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-3 \\
\tfrac{2}{3} \\
5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(1)(-3) + (7)(\tfrac{2}{3}) + (\sqrt{2})(5) \\
(9)(-3) + (\tfrac{1}{3})(\tfrac{2}{3}) + (-2)(5)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tfrac{5+15\sqrt{2}}{3} \\
-\tfrac{331}{3}
\end{pmatrix}.
\)

Breve exploración geométrica

Como probablemente hayas visto en tu curso de Geometría Analítica I, el producto de matrices por vectores se puede emplear para representar distintas transformaciones de vectores en el plano y en el espacio.

Si multiplicamos una matriz diagonal por un vector, entonces el resultado corresponderá a “redimensionar” el vector en sus distintas direcciones. Por ejemplo, observamos que el producto
\[
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\
6
\end{pmatrix}
\]
corresponde a redimensionar el vector original al triple de manera horizontal y al doble de manera vertical.

Por otra parte, multiplicar por una matriz de la forma
\[
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
\sin(\theta) & \cos(\theta)
\end{pmatrix}
\]
ocasiona que el vector rote un ángulo $\theta$ en sentido contrario a las manecillas del reloj; por ejemplo,
\[
\begin{pmatrix}
\cos(30º) & -\sin(30º) \\
\sin(30º) & \cos(30º)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tfrac{\sqrt{3}}{2} & -\tfrac{1}{2} \\
\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 \\
4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(\tfrac{\sqrt{3}}{2})(5) + (-\tfrac{1}{2})(4) \\
(\tfrac{1}{2})(5) + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\tfrac{5\sqrt{3}-4}{2} \\
\tfrac{5+4\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades algebraicas del producto de una matriz por un vector

A continuación, exploraremos algunas de las propiedades que cumple el producto matriz-vector. Estas propiedades las deduciremos para matrices de $2 \times 3$ por vectores de tamaño $3$, pero la deducción para otros tamaños de matrices y vectores se realiza de manera análoga.

Primeramente, observemos que para matrices $A$ y $B$ de tamaño $2\times 3$, y para un vector $u$, se cumple que
\begin{align*}
(A+B)u
&=
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(a_{11}+b_{11})u_1 + (a_{12}+b_{12})u_2+(a_{13}+b_{13})u_3 \\
(a_{21}+b_{21})u_1 + (a_{22}+b_{22})u_2+(a_{23}+b_{23})u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1+b_{11}u_1 + a_{12}u_2+b_{12}u_2 + a_{13}u_3+b_{13}u_3 \\
a_{21}u_1+b_{21}u_1 + a_{22}u_2+b_{22}u_2 + a_{23}u_3+b_{23}u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1+a_{12}u_2+a_{13}u_3 \\
a_{21}u_1+a_{22}u_2+a_{23}u_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11}u_1+b_{12}u_2+b_{13}u_3 \\
b_{21}u_1+b_{22}u_2+b_{23}u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
Au + Bu,
\end{align*}
es decir, el producto matriz-vector se distribuye sobre la suma de matrices (esto también se conoce como que el producto matriz-vector abre sumas).

Por otra parte, podemos probar que el producto matriz-vector se distribuye sobre la suma de vectores; es decir, si $A$ es una matriz de $2 \times 3$, y $u$ y $v$ son vectores de tamaño $3$, entonces
\[
A(u+v) = Au + Av.
\]

Además, veamos que si $A$ es una matriz de $2 \times 3$, $r$ es un escalar, y $u$ un vector de tamaño $3$, entonces
\begin{align*}
A(ru)
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\left(
r
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ru_1 \\
ru_2 \\
ru_3 \\
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}ru_1 + a_{12}ru_2 + a_{13}ru_3 \\
a_{21}ru_1 + a_{22}ru_2 + a_{23}ru_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
r(a_{11}u_1) + r(a_{12}u_2) + r(a_{13}u_3) \\
r(a_{21}u_1) + r(a_{22}u_2) + r(a_{23}u_3)
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\begin{pmatrix}
a_{11}u_1 + a_{12}u_2 + a_{13}u_3 \\
a_{21}u_1 + a_{22}u_2 + a_{23}u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
r
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
r(Au)
\end{align*}
y, más aún,
\begin{align*}
A(ru)
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\left(
r
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ru_1 \\
ru_2 \\
ru_3 \\
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}ru_1 + a_{12}ru_2 + a_{13}ru_3 \\
a_{21}ru_1 + a_{22}ru_2 + a_{23}ru_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(ra_{11})u_1 + (ra_{12})u_2 + (ra_{13})u_3 \\
(ra_{21})u_1 + (ra_{22})u_2 + (ra_{23})u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\left(
\begin{pmatrix}
ra_{11} & ra_{12} & ra_{13} \\
ra_{21} & ra_{22} & ra_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\left(
r
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
(rA)u.
\end{align*}

Por lo tanto $A(ru) = r(Au) = (rA)u$. Esta propiedad se conoce como que el producto matriz-vector saca escalares.

Como el producto de matrices por vectores abre sumas y saca escalares, se dice que es lineal. Un hecho bastante interesante, cuya demostración se dejará hasta los cursos de álgebra lineal, es que el regreso de esta afirmación también se cumple: ¡A cualquier transformación lineal se le puede asociar una matriz $A$ de modo que aplicar la transformación a un vector $v$ es lo mismo que hacer el producto $Av$!

Otras propiedades de este producto

En entradas anteriores definimos algunos vectores y matrices especiales.

Como recordarás, definimos la matriz identidad de tamaño $3 \times 3$ como
\[
\mathcal{I}_3
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\]

Observemos que al multiplicar $\mathcal{I}_3$ por el vector
\[
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
\]
obtendremos
\[
\mathcal{I}_3 u
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1u_1 + 0u_2 + 0u_3 \\
0u_1 + 1u_2 + 0u_3 \\
0u_1 + 0u_2 + 1u_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3
\end{pmatrix}
=
u.
\]
Como su nombre lo sugiere, la matriz $\mathcal{I}_n$ tiene la propiedad de ser neutro al multiplicarlo por un vector de tamaño $n$ (de hecho, como veremos en la siguiente entrada, ¡la matriz $I_n$ también cumple esta propiedad en otras operaciones!).

Por otra parte, recordemos que definimos el vector canónico $\mathrm{e}_i$ de tamaño $n$ como el vector en el que su $i$-ésima entrada es $1$ y sus demás entradas son $0$. Como ejemplo, veamos que
\begin{align*}
A\mathrm{e}_1
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
1a_{11} +0a_{12} +0a_{13} \\
1a_{21} +0a_{22} +0a_{23}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} \\
a_{21}
\end{pmatrix},
\end{align*}
donde este resultado corresponde a al primera columna de la matriz.

De manera análoga, podemos ver que
\[
A\mathrm{e}_2 =
\begin{pmatrix}
a_{12} \\
a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
A\mathrm{e}_3 =
\begin{pmatrix}
a_{13} \\
a_{23}
\end{pmatrix}
\]
corresponden a la segunda y tercera columna de la matriz, respectivamente.

En general, para matrices de tamaño $m \times n$ y el vector $\mathrm{e}_i$ de tamaño $n$, el resultado de $A\mathrm{e}_i$ corresponde al vector cuyas entradas son las que aparecen en la $i$-ésima columna de la matriz.

Más adelante…

En esta entrada conocimos el producto de matrices con vectores, exploramos su interpretación geométrica y revisamos algunas de las propiedades algebraicas que cumple. Esta operación se añade a las que aprendimos en entradas anteriores, ampliando nuestra colección de herramientas.

En la siguiente entrada descubriremos una operación que nos permitirá sacar aún más poder a las operaciones que hemos conocido hasta ahora: el producto de matrices.

Tarea moral

  1. Obtén el resultado de las siguientes multipicaciones:

\(
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 \\
5 \\
6
\end{pmatrix},
\)

\(
\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
3 & \tfrac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
4 \\
2
\end{pmatrix}.
\)

  1. Considera la matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}$. Realiza la siguiente operación: $$A\left(A\left(A\left(A\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\right)\right).$$
  2. ¿Cuál matriz permite rotar un vector en el plano 45º? ¿Cuál 60º?
  3. Deduce las propiedades del producto matriz-vector para matrices de $3 \times 2$ y vectores de tamaño $2$.
  4. Una matriz desconocida $A$ de $3\times 3$ cumple que $Ae_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$, que $Ae_2=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ y que $Ae_3=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$. ¿Cuánto es $A\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$?

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Producto de matrices con matrices

Por Eduardo García Caballero

Deja un comentario

Introducción

Hasta ahora hemos conocido varias operaciones que involucran escalares, vectores y matrices. En esta entrada aprenderemos sobre una de las operaciones más importantes en el álgebra lineal: el producto de matrices con matrices.

Definición de producto de matrices

Para poder efectuar el producto de dos matrices, hay que asegurarnos de que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.

El resultado de una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ por una matriz $B$ de tamaño $n \times \ell$ será la matriz $C = AB$ de tamaño $m \times \ell$, donde la entrada $c_{ij}$ de $C$ está dada por la fórmula
\[
c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.
\]

A primera vista esta fórmula puede parecer complicada, sin embargo, practicando con algunos ejemplos verás que es muy fácil de implementar.

  • Producto de matrices de tamaño $2 \times 2$:

Sean
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
6 & 8
\end{pmatrix}.
\]

Como estamos multiplicando una matriz de tamaño $2 \times 2$ por una matriz de tamaño $2 \times 2$, sabemos que el resultado será otra matriz de tamaño $2 \times 2$. Ahora, iremos calculando una por una sus entradas.

Sea $C = AB$. Para calcular la entrada $c_{11}$ observamos la primera fila de $A$ y la primera columna de $B$, las cuales son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
\phantom{5} & \phantom{7}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & \phantom{4} \\
6 & \phantom{8}
\end{pmatrix},
\]
de modo que $c_{11} = (1)(2)+(3)(6) = 20$:
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & \phantom{28} \\
\phantom{52} & \phantom{76}
\end{pmatrix}.
\]

Para la entrada $c_{12}$, nos fijamos en la primera columna de $A$ y en la segunda columna de $B$, que son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
\phantom{5} & \phantom{7}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{2} & 4 \\
\phantom{6} & 8
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{12} = (1)(4) + (3)(8) = 28$:
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & 28 \\
\phantom{52} & \phantom{76}
\end{pmatrix}.
\]

De manera similar, observemos la segunda fila de $A$ y la primera columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{1} & \phantom{3} \\
5 &7
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
2 & \phantom{4} \\
6 & \phantom{8}
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{21} = (5)(2) + (7)(6) = 52$, mientras que la segunda fila de $A$ y la segunda columna de $B$ son
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{1} & \phantom{3} \\
5 &7
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{2} & 4 \\
\phantom{6} & 8
\end{pmatrix},
\]
obteniendo $c_{22} = (5)(4) + (7)(8) = 76$.

Por lo tanto,
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
20 & 28 \\
52 & 76
\end{pmatrix}.
\]

En general, el resultado del producto de las matrices
\[
A
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\]
es
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de matriz de $3 \times 2$ por matriz de $2 \times 2$:

Supongamos que
\[
A
=
\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 0 \\
4 & 3
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
7 & 8 \\
5 & 2
\end{pmatrix}.
\]

En este caso, como estamos multiplicando una matriz de tamaño $3 \times 2$ por una matriz de tamaño $2 \times 2$, la matriz resultante tendrá tamaño $3 \times 2$.

Podemos obtener sus entradas de manera similar al caso anterior. Si $C = AB$, entonces la entrada $c_{12}$ la podemos encontrar revisando la primera fila de $A$ y la segunda columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
\phantom{1} & \phantom{0} \\
\phantom{4} & \phantom{3}
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
\phantom{7} & 8 \\
\phantom{5} & 2
\end{pmatrix}.
\]
de modo que $c_{12} = (3)(8) + (5)(2) = 34$. Por su parte, para obtener la entrada $c_{31}$ nos fijamos en la tercera fila de $A$ y la primera columna de $B$,
\[
A
=
\begin{pmatrix}
\phantom{3} & \phantom{5} \\
\phantom{1} & \phantom{0} \\
4 & 3
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
7 & \phantom{8} \\
5 & \phantom{2}
\end{pmatrix}.
\]
obteniendo $c_{31} = (4)(7) + (3)(5) = 43$.

¿Podrías comprobar que
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
46 & 34 \\
7 & 8 \\
43 & 38
\end{pmatrix}?
\]

Así, para el caso general de matrices de $3 \times 2$ por $2 \times 2$, obtendremos
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}
\end{pmatrix}.
\]

  • Producto de matriz de $4 \times 2$ por matriz de $2 \times 3$:

¿Podrías verificar que la siguiente fórmula es correcta?
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32} \\
a_{41} & a_{42}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} \\
a_{41}b_{11} + a_{42}b_{21} & a_{41}b_{12} + a_{42}b_{22} & a_{41}b_{13} + a_{42}b_{23}
\end{pmatrix}.
\]

Propiedades del producto de matrices

A continuación revisaremos algunas de las propiedades que cumple la multiplicación de matrices. Para demostrar las siguientes propiedades, consideraremos la matriz $A$ de tamaño $3 \times 2$ y las matrices $B$ y $C$ de tamaño $2 \times 2$, aunque se pueden probar para matrices de cualesquier otro tamaño entre las cuales se puedan efectuar las operaciones.

Veamos que si efectuamos la multiplicación de una matriz de tamaño $m \times n$ por una matriz de tamaño $n \times 1$ siguiendo el algoritmo descrito anteriormente, el resultado coincide con el de multiplicar la matriz de tamaño $m \times n$ por un vector de tamaño $n$. Por ejemplo, si multiplicamos $A$ por una matriz $U$ de tamaño $2 \times 1$, obtendremos
\[
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_{11} \\
u_{12}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11}u_{11} + a_{12}u_{21} \\
a_{21}u_{11} + a_{22}u_{21} \\
a_{31}u_{11} + a_{32}u_{21}
\end{pmatrix}.
\]

Esta es una observación importante pues todo lo que demostremos para el producto de matrices también lo tendremos para el producto de matriz por vector.

Veamos que la multiplicación de matrices es asociativa:

\begin{align*}
(AB)C
&=
\left(
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
(a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})c_{11} + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})c_{21}
& (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21})c_{12} + (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22})c_{22} \\
(a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})c_{11} + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})c_{21}
& (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21})c_{12} + (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22})c_{22} \\
(a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21})c_{11} + (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22})c_{21}
& (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21})c_{12} + (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22})c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{12}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{11}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{12}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}) \\
a_{21}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{22}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{21}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{22}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}) \\
a_{31}(b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21}) + a_{32}(b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21})
& a_{31}(b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22}) + a_{32}(b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22})
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}c_{11} + b_{12}c_{21} & b_{11}c_{12} + b_{12}c_{22} \\
b_{21}c_{11} + b_{22}c_{21} & b_{21}c_{12} + b_{22}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
A(BC).
\end{align*}

De manera muy similar, si $u$ es un vector de tamaño 2, podemos ver que se cumple que $A(Bu) = (AB)u$. ¿Puedes demostrarlo? Hazlo por lo menos para matrices $A$ y $B$ ambas de $2\times 2$.

Quizás tengas la impresión de que hay que hacer demasiadas cuentas y que sería sumamente difícil demostrar estas propiedades para matrices más grandes. Sin embargo, en cursos posteriores verás cómo trabajar apropiadamente con la notación para poder hacer estas demostraciones más fácilmente.

El producto de matrices es asociativo. Sin embargo, no es conmutativo. Por ejemplo, consideremos las matrices
\[
E=
\begin{pmatrix}
5 & 7 \\
-3 & 0
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
F=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
9 & -1
\end{pmatrix}.
\]


Veamos que
\[
EF =
\begin{pmatrix}
68 & 3 \\
-3 & -6
\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}
-1 & 7 \\
48 & 63
\end{pmatrix}
=
FE.
\]

En términos de combinar el producto de matrices con otras operaciones, tenemos que el producto de matrices por la izquierda se distribuye sobre la suma de matrices:
\begin{align*}
A(B+C)
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\left(
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\right)
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11}+c_{11} & b_{12}+c_{12} \\
b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}(b_{11}+c_{11}) + a_{12}(b_{21}+c_{21})
& a_{11}(b_{12}+c_{21}) + a_{12}(b_{22}+c_{22}) \\
a_{21}(b_{11}+c_{11}) + a_{22}(b_{21}+c_{21})
& a_{21}(b_{12}+c_{21}) + a_{22}(b_{22}+c_{22}) \\
a_{31}(b_{11}+c_{11}) + a_{32}(b_{21}+c_{21})
& a_{31}(b_{12}+c_{21}) + a_{32}(b_{22}+c_{22}) \\
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{11}c_{11} + a_{12}b_{21}+a_{12}c_{21}
& a_{11}b_{12}+a_{11}c_{11} + a_{12}b_{22}+a_{12}c_{22} \\
a_{21}b_{11}+a_{21}c_{11}+ a_{22}b_{21}+a_{22}c_{21}
& a_{21}b_{12}+a_{21}c_{12}+ a_{22}b_{22}+a_{22}c_{22} \\
a_{31}b_{11}+a_{31}c_{11} + a_{32}b_{21}+a_{32}c_{21}
& a_{31}b_{12}+a_{31}c_{12} + a_{32}b_{22}+a_{32}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\
a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{11}c_{11} + a_{12}c_{21} & a_{11}c_{12} + a_{12}c_{22} \\
a_{21}c_{11} + a_{22}c_{21} & a_{21}c_{12} + a_{22}c_{22} \\
a_{31}c_{11} + a_{32}c_{21} & a_{31}c_{12} + a_{32}c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
AB + AC.
\end{align*}

El producto también se distribuye sobre la suma cuando la suma aparece a la izquierda. ¿Podrías probar que si $D$ es una matriz de tamaño $3 \times 2$, entonces se cumple $(A+D)B = AB + DB$?

En entradas anteriores vimos que $\mathcal{I}_n$ tiene la propiedad de ser neutro al multiplicarla por un vector de tamaño $n$. Resulta que $\mathcal{I}_n$ también tiene esta propiedad al multiplicarla por la izquierda por una matriz de tamaño $n\times m$. Por ejemplo, veamos que al multiplicar $\mathcal{I}_3$ por la izquierda por $A$, obtenemos
\begin{align*}
\mathcal{I}_3 A
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
1a_{11} + 0a_{21} + 0a_{31} & 1a_{12} + 0a_{22} + 0a_{32} \\
0a_{11} + 1a_{21} + 0a_{31} & 0a_{12} + 1a_{22} + 0a_{32} \\
0a_{11} + 0a_{21} + 1a_{31} & 0a_{12} + 0a_{22} + 1a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{pmatrix}
\\[5pt]
&=
A.
\end{align*}

¿Podrías probar que $A\mathcal{I}_2 = A$ (es decir, que $\mathcal{I}_2$ es neutro por la derecha para $A$)?

Habiendo visto que el producto de matrices es asociativo, conmutativo y tiene neutros, probablemente te estarás preguntando si existen inversos en la multiplicación de matrices. Este cuestionamiento lo dejaremos para la siguiente entrada.

Relación con la composición de transformaciones

Como vimos en la entrada anterior, una forma de visualzar el producto de una matriz $A$ por un vector $u$ es como una transformación que envía el vector $u$ a un único vector $Au$.

Teniendo en mente esto, veamos que la propiedad de que $A(Bu) = (AB)u$ resulta aún más interesante. Para esto, veamos que el siguiente ejemplo: sean
\[
A
=
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix},
\qquad
B
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix},
\qquad
\text{y}
\qquad
u
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}.
\]

Si multiplicamos $B$ por $u$, vemos que corresponde a la transformación que envía $u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ al vector $Bu = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Ahora, si multiplicamos $A$ por el vector $Bu$, vemos que corresponde a la transformación que envía $Bu$ al vector $A(Bu) = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$ (Acabamos de obtener el resultado de aplicar a $u$ la composición de las transformaciones $B$ y $A$).

Por otra parte, si realizamos la multiplicación
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
4 & 2
\end{pmatrix},
\]
la transformación asociada a $AB$ envía $u$ al vector $(AB)u = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix}$.

¡La composición de las transformaciones asociadas a $B$ y $A$ aplicada al vector $u$ coincide con la transformación asociada a la matriz $AB$ aplicada al mismo vector!

Si probamos esto para un vector arbitrario, nos daremos cuenta de que en todos los casos se cumple lo mismo. En realidad, esto no es una coincidencia: como aprenderás en tus cursos de álgebra lineal, la composición de transformaciones lineales está directamente asociada al producto de matrices.

Potencias de matrices

Podemos ver que si una matriz $A$ es cuadrada, al tener el mismo número de filas que de columnas, entonces podemos realizar la multiplicaciones $AA$, $AAA$, $AAAA$, etc., que por asociatividad no importa en qué orden multipliquemos. Esto nos sugiere que podemos cacular potencias de matrices.

Para una matriz cuadrada $A$, definiremos de manera recursiva la potencia $A^n$:

  • Definimos $A^0 = \mathcal{I}$.
  • Dada $A^n$, con $n$ un número natural, definimos $A^{n+1} = A^n A$.

Por ejemplo, si
\[
A
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\]
calculemos $A^3$ empleando la definición recursiva. Para esto, iremos calculando una por una las potencias de $A$, hasta llegar a $A^3$:
\begin{align*}
A^0
&=
\mathcal{I}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^1
&=
A^0A
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^2
&=
A^1 A
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(2)(2) + (1)(3) & (2)(1) + (1)(4) \\
(3)(2) + (4)(3) & (3)(1) + (4)(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 \\
18 & 19
\end{pmatrix},
\\[5pt]
A^3
&=
A^2A
=
\begin{pmatrix}
7 & 6 \\
18 & 19
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(7)(2) + (6)(3) & (7)(1) + (6)(4) \\
(18)(2) + (19)(3) & (18)(1) + (19)(4)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
32 & 31 \\
93 & 94
\end{pmatrix}.
\end{align*}

Prueba calcular algunas potencias de la matriz \(
\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}.
\) ¿Notas algún patrón especial?

Más adelante…

En esta entrada aprendimos sobre el producto de matrices con matrices y conocimos algunas de sus propiedades. En la siguiente entrada abordaremos la pregunta sobre si existen los inversos en la multiplicación de matrices.

Tarea moral

  1. Realiza el producto de matrices $$\begin{pmatrix} -1 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$$
  2. Considera la matriz $A=\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \end{pmatrix}$. Realiza las siguientes operaciones por separado, sin usar la asociatividad del producto de matrices. ¿Cuál de las dos operaciones te resultó más fácil de hacer?
    • $$A\left(A\left(A\left(A\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\right)\right).$$
    • $$(((AA)A)A)\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}.$$
  3. Completa las pruebas faltantes de las propiedades de la multiplicación de matrices.
  4. Demuestra la siguiente ley de exponentes para matrices: $A^mA^n=A^{m+n}$.
  5. Prueba que si
    \[
    A =
    \begin{pmatrix}
    a_{11} & 0 \\
    0 & a_{22}
    \end{pmatrix},
    \]
    y $k$ es un entero mayor o igual que $0$, entonces
    \[
    A^k
    =
    \begin{pmatrix}
    {a_{11}}^k & 0 \\
    0 & {a_{22}}^k
    \end{pmatrix}
    \]
    (Sugerencia: realizarlo por inducción sobre $k$, utilizando la definición recursiva).
  6. Encuentra matrices $A$ y $B$ de $2\times 2$ para las cuales $A^2-B^2\neq (A+B)(A-B)$.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Matrices invertibles

Por Eduardo García Caballero

2 respuestas

Introducción

En la entrada anterior definimos el producto de matrices con matrices y exploramos algunas de sus propiedades, siendo varias de estas familiares: el producto de matrices es asociativo, conmutativo y tiene elemento neutro. En esta entrada exploraremos una pregunta que quedó abierta: ¿el producto de matrices cumple con tener inversos?

Definición de matrices invertibles

Diremos que una matriz cuadrada $A$ es invertible si y sólo si tiene inverso multiplicativo; es decir, si existe una matriz $B$ tal que $AB = BA = \mathcal{I}$.

Observemos para que la definción anterior tenga sentido, es indispensable que $A$ sea cuadrada, pues veamos que si $A$ es de tamaño $m \times n$, entonces para que los productos $AB$ y $BA$ estén definidos, $B$ tendrá que ser de tamaño $n \times m$. Así, $AB$ será de tamaño $m\times n$ y $BA$ de tamaño $n\times n$, y como $AB = BA$, entonces $m = n$, y, por tanto, $AB = BA = \mathcal{I}_n$ (y con ello también observamos que $B$ tiene que ser cuadrada de tamaño $n \times n$).

Un ejemplo de una matriz de $2 \times 2$ que es invertible es
\[
A
=
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-3 & 5
\end{pmatrix}
\]
que tiene como inversa a la matriz
\[
B
=
\begin{pmatrix}
-5 & -2 \\
-3 & -1
\end{pmatrix},
\]
pues
\begin{align*}
AB
&=
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-3 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-5 & -2 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
(1)(-5) + (-2)(-3) & (1)(-2) + (-2)(-1) \\
(-3)(-5) + (5)(-3) & (-3)(-2) + (5)(-1)
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=
\mathcal{I}_2
\end{align*}
y
\begin{align*}
BA
&=
\begin{pmatrix}
-5 & -2 \\
-3 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -2 \\
-3 & 5
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
(-5)(1) + (-2)(-3) & (-5)(-2) + (-2)(5) \\
(-3)(1) + (-1)(-3) & (-3)(-2) + (-1)(5)
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=
\mathcal{I}_2.
\end{align*}
Por lo tanto,
\[
AB = BA = \mathcal{I}_2.
\]

Algo que seguramente te preguntarás es si cualquier matriz cuadrada tiene un inverso multiplicativo. A diferencia de otros tipos de operaciones con inversos, el producto de matrices no siempre cumple con tenerlos: un ejemplo de esto es la matriz
\[
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
la cual, al multiplicarla por cualquier matriz
\[
B
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]
por la derecha, nos da como resultado
\[
AB
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2a + c & 2b + ,d \\
0 & 0
\end{pmatrix},
\]
y como en cualquier caso obtenemos que su entrada en la posición $(2,2)$ es $0$, tenemos que $AB$ es distinta a $\mathcal{I}_2$, pues la entrada en la posición $(2,2)$ de esta última es $1$.

Propiedades de matrices invertibles

A continuación exploraremos algunas de las propiedades que cumplen las matrices invertibles.

Primeramente, veamos que si una matriz $A$ de $n \times n$ es invertible, entonces su inversa será única. Para demostrar esto, supongamos que $B$ y $C$ son ambas inversas multiplicativas de $A$; es decir, $AB = BA = \mathcal{I}_n$ y $AC = CA = \mathcal{I}_n$. Entonces,
\begin{align*}
AB &= AC \\[5pt]
B(AB) &= B(AC) \\[5pt]
(BA)B &= (BA)C \\[5pt]
\mathcal{I}_n B &= \mathcal{I}_n C \\[5pt]
B &= C.
\end{align*}

Como la matriz inversa de $A$ es única, usualmente la denotamos como $A^{-1}$.

Por otra parte, veamos que si $A$ y $B$ son matrices invertibles, con inversas $A^{-1}$ y $B^{-1}$, respectivamente, entonces, si podemos multiplicar $A$ y $B$ (es decir, si $A$ y $B$ son del mismo tamaño), entonces $AB$ es invertible, pues se cumple que
\[
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = A\mathcal{I}_nA^{-1} = AA^{-1} = \mathcal{I}_n,
\]
y también que
\[
(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}\mathcal{I}_nB = B^{-1}B = \mathcal{I}_n,
\]
es decir, $B^{-1}A^{-1}$ es la matriz inversa de $AB$, lo cual denotamos como $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

Finalmente, recordando la interpretación geométrica que dimos a la multiplicación de matrices por vectores, y la propiedad de que $A(Bu) = (AB)u$, entonces notamos que
\[
A^{-1}(Au) = (A^{-1}A)u = \mathcal{I}u = u.
\]

Como la transformación correspondiente a $A$ envía el vector $u$ al vector $Au$, y como el resultado de aplicar $(A^{-1}A)u$ deja al vector $u$ en su lugar, esto nos dice que la transformación correspondiente a $A^{-1}$ es aquella que regresa el vector $Au$ a su posición original.

En la siguiente imagen se visualiza esta propiedad para el caso en el que
\[
A
=
\begin{pmatrix}
3 & 1 \\
4 & 2
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
u
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix}.
\]

Formula para inversa de matrices de $2 \times 2$

Más arriba vimos que hay matrices que sí tienen inversa, mientras que otras no tienen. Para el caso de matrices de $2 \times 2$, tendremos que
\[
A
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]
es invertible si y sólo si se cumple que $ad-bc \ne 0$.

En dado caso, la inversa de $A$ será la matriz
\[
A^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} \\
\frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc}
\end{pmatrix}.
\]

Por ejemplo, veamos que si
\[
A =
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 3
\end{pmatrix},
\]
entonces $ad – bc = (1)(3) – (2)(-2) = 3 – (-4) = 7 \ne 0$, por lo que podemos garantizar que $A$ tiene matriz inversa, la cual es
\[
A^{-1}
=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{7}
\begin{pmatrix}
3 & -2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3/7 & -2/7 \\
2/7 & 1/7
\end{pmatrix}.
\]

Verificamos que
\begin{align*}
AA^{-1}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3/7 & -2/7 \\
2/7 & 1/7
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
(1)(3/7) + (2)(2/7) & (1)(-2/7) + (2)(1/7) \\
(-2)(3/7) + (3)(2/7) & (-2)(-2/7) + (3)(1/7)
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=
\mathcal{I}_2
\end{align*}
y
\begin{align*}
A^{-1}A
&=
\begin{pmatrix}
3/7 & -2/7 \\
2/7 & 1/7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
-2 & 3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
(3/7)(1) + (-2/7)(-2) & (3/7)(2) + (-2/7)(3) \\
(2/7)(1) + (1/7)(-2) & (2/7)(2) + (1/7)(3)
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\
&=
\mathcal{I}_2.
\end{align*}

De manera similar, veamos que la matriz
\[
\begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\]
es invertible pues $(3)(2) – (4)(1) = 2 \ne 0$. ¿Puedes calcular su inversa?

Por el contrario, veamos que en la matriz
\[
\begin{pmatrix}
6 & 4 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
\]
tenemos que $(6)(2) – (4)(3) = 12 -12 = 0$, y, por tanto, no es invertible.

Para el caso de matrices de mayor tamaño, también existen condiciones y fórmulas para calcular sus inversas, sin embargo, estas no resultan tan sencillas. Será necesario que comprendamos más propiedades de las matrices para poder obtenerlas.

Más adelante…

En esta entrada conocimos una propiedad más que cumplen las matrices respecto a su producto, que es la de tener inverso multiplicativas; también vimos las condiciones bajo las cuales una matriz de $2 \times 2$ puede tener inverso, y revisamos su fórmula.

En la siguiente entrada, conoceremos una nueva operación, la cual se distinguirá de todas las que hemos visto hasta ahora, pues esta operación involucra a una única matriz a la vez.

Tarea moral

  1. ¿Para qué valores de $a$ se cumple que
    \[
    \begin{pmatrix}
    5 & a \\
    2 & 2-a
    \end{pmatrix}
    \]
    es invertible?
  2. Muestra que si $A$, $B$ y $C$ son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces
    \[
    (ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}.
    \]
  3. Muestra que si $A$ es una matriz invertible y $k$ es un entero positivo, entonces $A^k$ también es invertible y $(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k$.
  4. ¿Por qué la matriz
    \[
    \begin{pmatrix}
    3 & 4 & 0 \\
    7 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}
    \]
    no es invertible?
  5. Muestra que en efecto el criterio que dimos para que una matriz $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tenga inversa es suficiente y necesario. Para la parte de que es suficiente, tendrás que ver que si $ad-bc\neq 0$, la matriz propuesta en la entrada siempre funciona como inversa. Para ver que es necesario, supón que $ad-bc=0$. En este caso, $ad=bc$ y podrás encontrar a partir de $a,b,c,d$ a dos vectores distintos $u$ y $v$ tales que $Au=Av$. Esto mostrará que la transformación asociada a $A$ no es inyectiva y por tanto no podrá tener inversa, así que $A$ tampoco tendrá inversa.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$

Por Eduardo García Caballero

Deja un comentario

Introducción

A lo largo de esta unidad nos hemos enfocado en estudiar los vectores, las operaciones entre estos y sus propiedades. Sin embargo, hasta ahora solo hemos ocupado una definición provisional de vectores —listas ordenadas con entradas reales—, pero no hemos dado una definición formal de estos. En esta entrada definiremos qué es un espacio vectorial y exploraremos algunas de las propiedades de dos ejemplos importantes de espacios vectoriales: $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$-

Las propiedades de espacio vectorial

En entradas anteriores demostramos que los pares ordenados con entradas reales (es decir, los elementos de $\mathbb{R}^2$), en conjunto con la suma entrada a entrada y el producto escalar, cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma es asociativa:
\begin{align*}
(u+v)+w &= ((u_1,u_2) + (v_1,v_2)) + (w_1,w_2) \\
&= (u_1,u_2) + ((v_1,v_2) + (w_1,w_2)) \\
&= u+(v+w).\end{align*}

2. La suma es conmutativa:
\begin{align*}u+v &= (u_1,u_2) + (v_1,v_2) \\&= (v_1,v_2) + (u_1,u_2) \\&= v+u.\end{align*}

3. Existe un elemento neutro para la suma:
\begin{align*}
u + 0 &= (u_1,u_2) + (0,0) \\&= (0,0) + (u_1,u_2) \\&= (u_1,u_2) \\&= u.
\end{align*}

4. Para cada par ordenado existe un elemento inverso:
\begin{align*}
u + (-u) &= (u_1,u_2) + (-u_1,-u_2) \\&= (-u_1,-u_2) + (u_1,u_2) \\&= (0,0) \\&= 0.
\end{align*}

5. La suma escalar se distribuye bajo el producto:
\begin{align*}
(r+s)u &= (r+s)(u_1,u_2) \\&= r(u_1,u_2) + s(u_1,u_2) \\&= ru + su.
\end{align*}

6. La suma de pares ordenados se distribuye bajo el producto escalar:
\begin{align*}
r(u + v) &= r((u_1,u_2) + (v_1,v_2)) \\&= r(u_1,u_2) + r(v_1,v_2) \\&= ru + rv.
\end{align*}

7. El producto escalar es compatible con el producto de reales:
\[
(rs)u = (rs)(u_1,u_2) = r(s(u_1,u_2)) = r(su).
\]

8. Existe un elemento neutro para el producto escalar, que justo es el neutro del producto de reales:
\[
1u = 1(u_1,u_2) = (u_1,u_2) = u.
\]

Cuando una colección de objetos matemáticos, en conjunto con una operación de suma y otra operación de producto, cumple las ocho propiedades anteriormente mencionadas, decimos que dicha colección forma un espacio vectorial. Teniendo esto en consideración, los objetos matemáticos que pertenecen a la colección que forma el espacio vectorial los llamaremos vectores.

Así, podemos ver que los pares ordenados con entradas reales, en conjunto con la suma entrada a entrada y el producto escalar, forman un espacio vectorial, al cual solemos denominar $\mathbb{R}^2$. De este modo, los vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ son exactamente los pares ordenados con entradas reales.

Como recordarás, anteriormente también demostramos que las ternas ordenadas con entradas reales, en conjunto con su respectiva suma entrada a entrada y producto escalar, cumplen las ocho propiedades antes mencionadas (¿puedes verificarlo?). Esto nos indica que $\mathbb{R}^3$ también es un espacio vectorial, y sus vectores son las ternas ordenadas con entradas reales. En general, el que un objeto matemático se pueda considerar o no como vector dependerá de si este es elemento de un espacio vectorial.

Como seguramente sospecharás, para valores de $n$ distintos de 2 y de 3 también se cumple que $\mathbb{R}^n$ forma un espacio vectorial. Sin embargo los espacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ son muy importantes pues podemos visualizarlos como el plano y el espacio, logrando así describir muchas de sus propiedades. Por esta razón, en esta entrada exploraremos algunas de las principales propiedades de $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Observación. Basándonos en la definición, el hecho de que una colección de elementos se pueda considerar o no como espacio vectorial depende también a las operaciones de suma y producto. Por esta razón, es común (y probablemente más conveniente) encontrar denotado el espacio vectorial $\mathbb{R}^2$ como $(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$. Más aún, a veces será importante destacar a los elementos escalares y neutros, encontrando el mismo espacio denotado como $(\mathbb{R}^2, \mathbb{R}, +, \cdot, 0, 1)$. Esto lo veremos de manera más frecuente cuando trabajamos con más de un espacio vectorial, sin embargo, cuando el contexto nos permite saber con qué operaciones (y elementos) se está trabajando, podemos omitir ser explícitos y denotar el espacio vectorial simplemente como $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

Combinaciones lineales

Como vimos en entradas anteriores, la suma de vectores en $\mathbb{R}^2$ la podemos visualizar en el plano como el resultado de poner una flecha seguida de otra, mientras que el producto escalar lo podemos ver como redimensionar y/o cambiar de dirección una flecha.

En el caso de $\mathbb{R}^3$, la intuición es la misma, pero esta vez en el espacio.

Si tenemos varios vectores, podemos sumar múltiplos escalares de ellos para obtener otros vectores. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), definimos una combinación lineal de estos vectores como el resultado de la operación
\[
r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_nv_n,
\]
donde $r_1, \ldots, r_n$ son escalares.

Ejemplo. En $\mathbb{R}^2$, las siguientes son combinaciones lineales:
\begin{align*}
4(9,-5) + 7(-1,0) + 3(-4,2) &= (17,-14), \\[10pt]
5(1,0) + 4(-1,-1) &= (1,-4), \\[10pt]
-1(1,0) + 0(-1,-1) &= (-1,0), \\[10pt]
5(3,2) &= (15,10).
\end{align*}
De este modo podemos decir que $(17,-14)$ es combinación lineal de los vectores $(9,-5)$, $(-1,0)$ y $(-4,2)$; los vectores $(1,-4)$ y $(-1,0)$ son ambos combinación lineal de los vectores $(1,0)$ y $(-1,-1)$; y $(15,10)$ es combinación lineal de $(3,2)$.

Las combinaciones lineales también tienen un significado geométrico. Por ejemplo, la siguiente figura muestra cómo se vería que $(1,-4)$ es combinación lineal de $(1,0)$ y $(-1,-1)$:

$\triangle$

Ejemplo. En el caso de $\mathbb{R}^3$, observamos que $(7,13,-22)$ es combinación lineal de los vectores $(8,1,-5)$, $(1,0,2)$ y $(9,-3,2)$, pues
\[
4(8,1,-5) + 2(1,0,2) + (-3)(9,-3,2) = (7,13,-22).
\]

$\triangle$

Espacio generado

La figura de la sección anterior nos sugiere cómo entender a una combinación lineal de ciertos vectores dados. Sin embargo, una pregunta natural que surge de esto es cómo se ve la colección de todas las posibles combinaciones lineales de una colección de vectores dados.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), definimos al espacio generado por ellos como el conjunto de todas sus posibles combinaciones lineales. Al espacio generado por estos vectores podemos encontrarlo denotado como $\operatorname{span}(v_1, \ldots, v_n)$ o $\langle v_1, \ldots, v_n \rangle$ (aunque esta última notación a veces se suele dejar para otra operación del álgebra lineal).

¿Cómo puede verse el espacio generado por algunos vectores? Puede demostrarse que en el caso de $\mathbb{R}^2$ tenemos los siguientes casos.

  • Un punto: esto sucede si y sólo si todos los vectores del conjunto son iguales al vector $0$.
  • Una recta: esto sucede si al menos un vector $u$ es distinto de 0 y todos los vectores se encuentran alineados. La recta será precisamente aquella formada por los múltiplos escalares de $u$.
  • Todo $\mathbb{R}^2$: esto sucede si al menos dos vectores $u$ y $v$ de nuestro conjunto no son cero y además no están alineados. Intenta convencerte que en efecto en este caso puedes llegar a cualquier vector del plano sumando un múltiplo de $u$ y uno de $v$.

En $\mathbb{R}^3$, puede mostrarse que el espacio generado se ve como alguna de las siguientes posibilidades:

  • Un punto: esto sucede si y sólo si todos los vectores del conjunto son iguales al vector $0$.
  • Una recta: esto sucede si al menos un vector $u$ es distinto de $0$ y todos los vectores se encuentran alineados con $u$. La recta consiste precisamente de los reescalamientos de $u$.
  • Un plano: esto sucede si al menos dos vectores $u$ y $v$ no son cero y no están alineados, y además todos los demás están en el plano generado por $u$ y $v$ estos dos vectores.
  • Todo $\mathbb{R}^3$: esto sucede si hay tres vectores $u$, $v$ y $w$ que cumplan que ninguno es el vector cero, no hay dos de ellos alineados, y además el tercero no está en el plano generado por los otros dos.

Muchas veces no sólo nos interesa conocer la forma del espacio generado, sino también obtener una expresión que nos permita conocer qué vectores pertenecen a este. Una forma en la que podemos hacer esto es mediante ecuaciones.

Ejemplo. Por ejemplo, observemos que el espacio generado el vector $(3,2)$ en $\mathbb{R}^2$ corresponde a los vectores $(x,y)$ que son de la forma
\[
(x,y) = r(2,3),
\]
donde $r \in \mathbb{R}$ es algún escalar. Esto se cumple si y sólo si
\[
(x,y) = (2r,3r),
\]
lo cual a su vez se cumple si y sólo si $x$ y $y$ satisfacen el sistema de ecuaciones
\[
\begin{cases}
x = 2r \\
y = 3r
\end{cases}.
\]
Si despejamos $r$ en ambas ecuaciones y las igualamos, llegamos a que
\[
\frac{x}{2} = \frac{y}{3},
\]
de donde podemos expresar la ecuación de la recta en su forma homogénea:
\[
\frac{1}{2}x – \frac{1}{3}y = 0;
\]
o bien en como función de $y$:
\[
y = \frac{3}{2}x.
\]

$\triangle$

La estrategia anterior no funciona para todos los casos, y tenemos que ser un poco más cuidadosos.

Ejemplo. El espacio generado por $(0,4)$ corresponde a todos los vectores $(x,y)$ tales que existe $r \in \mathbb{R}$ que cumple
\begin{align*}
(x,y) &= r(0,4) \\
(x,y) &= (0,4r),
\end{align*}
es decir,
\[
\begin{cases}
x = 0 \\
y = 4r
\end{cases}.
\]
En este caso, la única recta que satisface ambas ecuaciones es la recta $x = 0$, la cual no podemos expresar como función de $y$.

En la siguiente entrada veremos otras estrategias para describir de manera analítica el espacio generado.

$\triangle$

El saber si un vector está o no en el espacio generado por otros es una pregunta que se puede resolver con un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo. ¿Será que el vector $(4,1,2)$ está en el espacio generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$? Para que esto suceda, necesitamos que existan reales $r$ y $s$ tales que $r(2,3,1)+s(1,1,1)=(4,1,2)$. Haciendo las operaciones vectoriales, esto quiere decir que $(2r+s,3r+s,r+s)=(4,1,2)$, de donde tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{\begin{matrix} 2r+s &=4 \\ 3r+s&=1 \\ r+s &= 2.\end{matrix}\right.$$

Este sistema no tiene solución. Veamos por qué. Restando la primera igualdad a la segunda, obtendríamos $r=1-4=-3$. Restando la tercera igualdad a la primera, obtendríamos $r=2-4=-2$. Así, si hubiera solución tendríamos la contradicción $-2=r=-3$. De este modo no hay solución.

Así, el vector $(4,1,2)$ no está en el espacio generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$. Geométricamente, $(4,1,2)$ no está en el plano en $\mathbb{R}^3$ generado por los vectores $(2,3,1)$ y $(1,1,1)$.

$\triangle$

Si las preguntas de espacio generado tienen que ver con sistemas de ecuaciones lineales, entonces seguramente estarás pensando que todo lo que hemos aprendido de sistemas de ecuaciones lineales nos servirá. Tienes toda la razón. Veamos un ejemplo importante.

Ejemplo. Mostraremos que cualquier vector en $\mathbb{R}^2$ está en el espacio generado por los vectores $(1,2)$ y $(3,-1)$. Para ello, tomemos el vector $(x,y)$ que nosotros querramos. Nos gustaría (fijando $x$ y $y$) poder encontrar reales $r$ y $s$ tales que $r(1,2)+s(3,-1)=(x,y)$. Esto se traduce al sistema de ecuaciones

$$\left \{ \begin{matrix} r+3s&=x\\2r-s&=y. \end{matrix} \right.$$

En forma matricial, este sistema es $$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$$

Como la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ tiene determinante $1(-1)-(3)(2)=-7$, entonces es invertible. ¡Entonces el sistema siempre tiene solución única en $r$ y $s$ sin importar el valor de $x$ y $y$! Hemos con ello demostrado que cualquier vector $(x,y)$ es combinación lineal de $(1,2)$ y $(3,-1)$ y que entonces el espacio generado por ambos es todo $\mathbb{R}^2$.

$\triangle$

Independencia lineal

Mientras platicábamos en la sección anterior de las posibilidades que podía tener el espcio generado de un conjunto de vectores en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, fuimos haciendo ciertas precisiones: «que ningún vector sea cero», «que nos vectores no estén alineados», «que ningún vector esté en los planos por los otros dos», etc. La intuición es que si pasaba lo contrario a alguna de estas cosas, entonces los vectores no podían generar «todo lo posible». Si sí se cumplían esas restricciones, entonces cierta cantidad de vectores sí tenía un espacio generado de la dimensión correspondiente (por ejemplo, $2$ vectores de $\mathbb{R}^3$ no cero y no alineados sí generan un plano, algo de dimensión $2$). Resulta que todas estas restricciones se pueden resumir en una definición muy importante.

Definición. Dado un conjunto de $n$ vectores $v_1, \ldots, v_n$ en $\mathbb{R}^2$ o ($\mathbb{R}^3$), diremos que son linealmente independientes si es imposible escribir al vector $0$ como combinación lineal de ellos, a menos que todos los coeficientes de la combinación lineal sean iguales a $0$. En otras palabras, si sucede que $$r_1v_1 + r_2v_2 + \cdots + r_nv_n=0,$$ entonces forzosamente fue porque $r_1=r_2=\ldots=r_n=0$.

Puede mostrarse que si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto de vectores en el conjunto. Así, la intuición de que «generan todo lo que pueden generar» se puede justificar como sigue: como el primero no es cero, genera una línea. Luego, como el segundo no es múltiplo del primero, entre los dos generarán un plano. Y si estamos en $\mathbb{R}^3$, un tercer vector quedará fuera de ese plano (por no ser combinación lineal de los anteriores) y entonces generarán entre los tres a todo el espacio.

La independencia lineal también se puede estudiar mediante sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo. ¿Serán los vectores $(3,-1,-1)$, $(4,2,1)$ y $(0,-10,-7)$ linealmente independientes? Para determinar esto, queremos saber si existen escalares $r,s,t$ tales que $r(3,-1,-1)+s(4,2,1)+t(0,-10,-7)=(0,0,0)$ en donde al menos alguno de ellos no es el cero. Esto se traduce a entender las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

$$\left\{ \begin{array} 33r + 4s &= 0 \\ -r +2s -10t &= 0 \\ -r + s -7t &= 0.\end{array} \right. $$

Podemos entender todas las soluciones usando reducción Gaussiana en la siguiente matriz:

$$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -10 & 0 \\ -1 & 1 & -7 & 0 \end{pmatrix}.$$

Tras hacer esto, obtenemos la siguiente matriz:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 4 & 0\\0 & 1 & -3 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Así, este sistema de ecuaciones tiene a $t$ como variable libre, que puede valer lo que sea. De aquí, $s=3t$ y $r=-4t$ nos dan una solución. Así, este sistema tiene una infinidad de soluciones. Tomando por ejemplo $t=1$, tenemos $s=3$ y $r=-4$. Entonces hemos encontrado una combinación lineal de los vectores que nos da el vector $(0,0,0)$. Puedes verificar que, en efecto, $$(-4)(3,-1,-1)+3(4,2,1)+(0,-10,-7)=(0,0,0).$$

Concluimos que los vectores no son linealmente independientes.

$\triangle$

Si la única solución que hubiéramos obtenido es la $r=s=t=0$, entonces la conclusión hubiera sido que sí, que los vectores son linealmente independientes. También podemos usar lo que hemos aprendido de matrices y determinantes en algunos casos para poder decir cosas sobre la independencia lineal.

Ejemplo. Mostraremos que los vectores $(2,3,1)$, $(0,5,2)$ y $(0,0,1)$ son linealmente independientes. ¿Qué sucede si una combinación lineal de ellos fuera el vector cero? Tendríamos que $r(2,3,1)+s(0,5,2)+t(0,0,1)=(0,0,0)$, que se traduce en el sistema de ecuaciones $$\left\{ \begin{array} 2r &= 0 \\ 3r + 5s &= 0 \\ r + 2s + t &= 0. \end{array}\right.$$

La matriz asociada a este sistema de ecuaciones es $\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, que por ser triangular inferior tiene determinante $2\cdot 5 \cdot 1 = 10\neq 0$. Así, es una matriz invertible, de modo que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Como $r=s=t$ sí es una solución, esta debe ser la única posible. Así, los vectores $(2,3,1)$, $(0,5,2)$ y $(0,0,1)$ son linealmente independientes. Geométricamente, ninguno de ellos está en el plano hecho por los otros dos.

$\triangle$

Bases

Como vimos anteriormente, existen casos en los que el espacio generado por vectores en $\mathbb{R}^2$ (o $\mathbb{R}^3$) no genera a todo el plano (o al espacio). Por ejemplo, en ambos espacios vectoriales, el espacio generado por únicamente un vector es una recta. Esto también puede pasar aunque tengamos muchos vectores. Si todos ellos están alineados con el vector $0$, entonces su espacio generado sigue siendo una recta también. En la sección anterior platicamos que intuitivamente el problema es que los vectores no son linealmente independientes. Así, a veces unos vectores no generan todo el espacio que pueden generar.

Hay otras ocasiones en las que unos vectores sí generan todo el espacio que pueden generar, pero lo hacen de «manera redundante», en el sentido de que uno o más vectores se pueden poner de más de una forma como combinación lineal de los vectores dados.

Ejemplo. Si consideramos los vectores $(2,1)$, $(1,0)$ y $(2,3)$, observamos que el vector $(2,3)$ se puede escribir como
\[
0(2,1)+3(1,0) + 2(2,3) = (7,6)
\]
o
\[
3(2,2) + 1(1,0) + 0(2,3)= (7,6),
\]
siendo ambas combinaciones lineales del mismo conjunto de vectores.

$\triangle$

Uno de los tipos de conjuntos de vectores más importantes en el álgebra lineal son aquellos conocidos como bases, que evitan los dos problemas de arriba. Por un lado, sí generan a todo el espacio. Por otro lado, lo hacen sin tener redundancias.

Definición. Diremos que un conjunto de vectores es base de $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) si su espacio generado es todo $\mathbb{R}^2$ (resp. $\mathbb{R}^3$) y además son linealmente independientes.

El ejemplo de base más inmediato es el conocido como base canónica.

Ejemplo. En el caso de $\mathbb{R}^2$, la base canónica es $(1,0)$ y $(0,1)$. En \mathbb{R}^3$ la base canónica es $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$.

Partiendo de las definiciones dadas anteriormente, vamos que cualquier vector $(a,b)$ en $\mathbb{R}$ se puede escribir como $a(1,0) + b(0,1)$; y cualquier vector $(a,b,c)$ en $\mathbb{R}^3$ se puede escribir como $a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)$.

Más aún, es claro que los vectores $(1,0)$ y $(0,1)$ no están alineados con el origen. Y también es claro que $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ son linealmente idependientes, pues la combinación lineal $r(1,0,0)+s(0,1,0)+t(0,0,1)=(0,0,0)$ implica directamente $r=s=t=0$.

$\triangle$

Veamos otros ejemplos.

Ejemplo. Se tiene lo siguiente:

  • Los vectores $(3,4)$ y $(-2,0)$ son base de $\mathbb{R}^2$ pues son linealmente independientes y su espacio generado es todo $\mathbb{R}^2$.
  • Los vectores $(8,5,-1)$, $(2,2,7)$ y $(-1,0,9)$ son base de $\mathbb{R}^3$ pues son linealmente independientes y su espacio generado es todo $\mathbb{R}^3$.

¡Ya tienes todo lo necesario para demostrar las afirmaciones anteriores! Inténtalo y haz dibujos en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ de dónde se encuentran estos vectores.

$\triangle$

Como podemos observar, las bases de un espacio vectorial no son únicas, sin embargo, las bases que mencionamos para $\mathbb{R}^2$ coinciden en tener dos vectores, mientras que las bases para $\mathbb{R}^3$ coinciden en tener tres vectores. ¿Será cierto que todas las bases para un mismo espacio vectorial tienen la misma cantidad de vectores?

Más adelante…

En esta entrada revisamos qué propiedades debe cumplir una colección de objetos matemáticos para que sea considerado un espacio vectorial, además de que analizamos con más detalle los espacios vectoriales $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$.

Como seguramente sospecharás, para otros valores de $n$ también se cumple que $\mathbb{R}^n$, en conjunto con sus respectivas suma entrada a entrada y producto escalar, forman un espacio vectorial. Sin embargo, en contraste con los espacios $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, este espacio es más difícil de visualizar. En la siguiente entrada generalizaremos para $\mathbb{R}^n$ varias de las propiedades que aprendimos en esta entrada.

Tarea moral

  1. Realiza lo siguiente:
    • De entre los siguientes vectores, encuentra dos que sean linealmente independientes: $(10,16),(-5,-8),(24,15),(10,16),(15,24),(-20,-32)$.
    • Encuentra un vector de $\mathbb{R}^2$ que genere a la recta $2x+3y=0$.
    • Determina qué es el espacio generado por los vectores $(1,2,3)$ y $(3,2,1)$ de $\mathbb{R}^3$.
    • Da un vector $(x,y,z)$ tal que $(4,0,1)$, $(2,1,0)$ y $(x,y,z)$ sean una base de $\mathbb{R}^3$.
  2. Demuestra que $(0,0)$ es el único vector $w$ en $\mathbb{R}^2$ tal que para todo vector $v$ de $\mathbb{R}^2$ se cumple que $v+w=v=w+v$.
  3. Prueba las siguientes dos afirmaciones:
    • Tres o más vectores en $\mathbb{R}^2$ nunca son linealmente independientes.
    • Dos o menos vectores en $\mathbb{R}^3$ nunca son un conjunto generador.
  4. Sean $u$ y $v$ vectores en $\mathbb{R}^2$ distintos del vector cero. Demuestra que $u$ y $v$ son linealmente independientes si y sólo si $v$ no está en la línea generada por $u$.
  5. Encuentra todas las bases de $\mathbb{R}^3$ en donde las entradas de cada uno de los vectores de cada base sean iguales a $0$ ó a $1$.

Entradas relacionadas

Álgebra Superior I: Introducción a vectores y matrices con entradas reales

Por Eduardo García Caballero

Deja un comentario

Introducción

Los vectores y las matrices son algunos de los objetos matemáticos que nos encontraremos con mayor frecuencia durante nuestra formación matemática. Esto se debe a que nos permiten abordar con sencillez varios problemas de distintas áreas de las matemáticas, como lo son la geometría analítica y la teoría de gráficas. Además, nos ayudan a modelar con gran precisión fenómenos de otras disciplinas, como de la mecánica clásica, gráficos por computadora, circuitos eléctricos, robótica, entre otras.

A pesar de que el estudio a profundidad de los vectores y matrices lo realizaremos en los cursos de Álgebra Lineal I y Álgebra Lineal II, esto no es un impedimento para que nos familiaricemos con varios de los conceptos, técnicas y algoritmos que nos permitirán sacar provecho a esta maravillosa área de las matemáticas.

¿Qué son los vectores?

Dependiendo del área que estudiemos, nos podríamos encontrar con distintas definiciones de vectores. Por ejemplo, en la mecánica clásica se visualiza a los vectores como flechas en el plano o en el espacio, ancladas en un «origen» o en cualquier otro punto del plano. En ciencias de la computación, entenderemos que un vector consiste en un arreglo en el que todas sus entradas son datos del mismo tipo. Como veremos más adelante, las distintas formas de visualizar los vectores son equivalentes.

En este curso trabajaremos con un tipo específico de vectores: los vectores cuyas entradas son números reales. ¿Números reales? Sí. Aquí el temario de la asignatura de un brinco un poco grande. Hasta ahora, hemos intentado construir las matemáticas desde sus fundamentos: lógica, conjuntos, funciones, números naturales, etc. Sin embargo, ahora trabajaremos con el conjunto $\mathbb{R}$ de números reales.

Ya platicamos de que el conjunto de naturales $\mathbb{N}$ se puede pensar desde un sistema axiomático y que de hecho podemos «construir» a los naturales a partir de nociones de teoría de conjuntos. En el curso de Álgebra Superior 2 se platica de cómo construir al conjunto $\mathbb{Z}$ de enteros a partir de $\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{Q}$ de racionales a partir de $\mathbb{Z}$ y finalmente de cómo construir a $\mathbb{R}$ desde $\mathbb{Q}$. Pero por ahora supondremos la existencia de $\mathbb{R}$ y que cumple todos los axiomas que se tratan por ejemplo en un curso de Cálculo Diferencial e Integral I.

Vectores con entradas reales

Un vector con entradas reales lo podemos entender como una lista ordenada de uno o más números (también conocida como tupla) en la que todos sus valores son números reales. Aquí «lista ordenada» lo pensamos no en el sentido de que sus entradas «van creciendo o decreciendo en orden», sino en el sentido «ordenado» como de parejas ordenadas de la segunda unidad de estas notas. Es decir, no nos importan no sólo los números usados, sino también en qué lugar quedaron.

Un ejemplo que seguramente ya has visto en tus clases de geometría analítica son los vectores en el plano o en el espacio. Recordemos que el vector $(5, \pi)$ determina una única posición en el plano, mientras que $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ determina una única posición en el espacio. Como ambas tuplas están formadas únicamente por números reales, podemos decir que son vectores con entradas reales. A cada uno de los números que aparecen en la lista le llamaremos entrada, y nos podemos referir a la posición de la entrada para decir cuál es su valor; por ejemplo, la primera entrada de $(5, \pi)$ es $5$, mientras que la tercera entrada de $\left(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3}\right)$ es $\tfrac{4}{3}$.

Como recordarás, decimos que estos vectores se encuentran en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$, respectivamente. Analizando los ejemplos, te darás cuenta de que el número que acompaña a $\mathbb{R}$ se refiere a la cantidad de números reales que están enlistados en cada vector. Entonces, probablemente te preguntarás qué pasa con listas de más números. Aunque quizá sean más difíciles de visualizar (¡aunque no imposibles!), también existen vectores con cuatro, cinco o incluso más entradas. Esto nos lleva a la siguiente definición.

Definición. Para un número entero positivo $n$, un vector con $n$ entradas reales es una lista ordenada de $n$ elementos, el cual escribiremos $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. El conjunto $\mathbb{R}^n$ consiste de todos los vectores con $n$ entradas reales.

Así, podemos ver que tenemos que $(1,-3.5,e,1)$ es un vector en $\mathbb{R}^4$, mientras que $(1,1,2,3,5,7,13)$ es un vector en $\mathbb{R}^7$. En notación de conjuntos, $(1,-3.5,e,1)\in\mathbb{R}^4$ y $(1,1,2,3,5,7,13)\in\mathbb{R}^7$.

Una forma de empezar a ver cómo los vectores se relacionan entre ellos es preguntándonos cuándo estos son iguales. La primera condición que seguramente se nos vendrá a la mente es que los dos vectores deben tener la misma longitud; de este modo, podemos inmediatamente descartar que $(5, \pi)$ y $(8, \sqrt{2}, \tfrac{4}{3})$ sean iguales.

Otra condición que seguramente consideraremos es que todas sus entradas deben ser iguales. Así, podemos también descartar que $(5, \pi)$ y $(4, 8)$ sean iguales. Sin embargo, ¿son $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ iguales? Como recordarás, los vectores son listas ordenadas, por lo que no sólo es importante que tengan las mismas entradas, sino que también aparezcan en el mismo orden. Así, podemos también descartar que $(5,\pi)$ y $(\pi, 5)$ sean iguales: basta ver con que la primera entrada del $(5,\pi)$ es $5$, mientras que la primera entrada de $(\pi,5)$ es $\pi$, y claramente $5\ne\pi$. Así mismo, $(1,5,8,1,3)$ es distinto de $(1,5,8,1,4)$ pues aunque compartan muchos elementos en varias de sus posiciones, en el primer vector la última entrada es $3$ y el el segundo la última entrada es $4$.

Definición. Diremos que dos vectores $(x_1,\ldots,x_n)$ y $(y_1,\ldots,y_n)$ de $\mathbb{R}^n$ son iguales si para toda $i=1,\ldots,n$ se tiene que $x_i=y_i$

Por otra parte, antes dijimos que los vectores tienen varias formas de ser representados. Como ejemplo de esto, podemos ver que el vector $(1,-3.5,e,1)$ puede ser representado como

\[
\begin{pmatrix}
1 \\
-3.5 \\
e \\
1
\end{pmatrix}
\qquad
\text{y}
\qquad
\begin{pmatrix}
1 & -3.5 & e & 1
\end{pmatrix}.
\]

Al formato de la izquierda se le conoce como vector vertical o vector columna, mientras que al formato de la derecha se le conoce como vector horizontal o vector fila. Dependiendo del contexto, en ocasiones nos encontraremos con estas representaciones en vez de la que mostramos inicialmente, aunque es importante recordar que siguen siendo vectores con entradas reales, pues son listas ordenadas de números reales.

Matrices con entradas reales

Otro objeto matemático en el que también se enlistan varios números reales se conoce como matriz, con la diferencia de que esta lista tiene forma de arreglo rectangular.

Definición. Una matriz con entradas reales es un arreglo rectangular en donde en cada una de sus posiciones se coloca un número real.

Por ejemplo, las siguientes son matrices con entradas reales:

\[
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}
0 & -3 & 9 & 4.25 \\
100 & 0.1 & -2 & \sqrt{2}
\end{pmatrix}.
\]
Como podrás ver, para poder identificar a una entrada de una matriz debemos de hacer referencia a dos propiedades: el número de fila y el número de columna en el que se encuentra. Las filas se cuentan de arriba hacia abajo, y las columnas de izquierda a derecha. Así, vemos que la entrada que se encuentra en la fila 3 y columna 2 de la primera matriz es $\pi$. A cada entrada le asignamos una coordenada $(i,j)$, donde $i$ es el número de fila y $j$ es el número de columna. Así, $\pi$ se encuentra en la posición $(3,2)$ de la primera matriz.

Por convención, cuando mencionamos el tamaño de una matriz, primero se especifica el número de filas y posteriormente el número de columnas. Así, la primera matriz es de tamaño $3\times 3$, mientras que la segunda es de tamaño $2 \times 4$. Ya que elegimos el tamaño de una matriz, podemos considerar a todas las matrices de ese tamaño.

Definición. El conjunto $M_{m,n}(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $m$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

En el caso de que la cantidad de filas y de columnas de la matriz sean el mismo, diremos que se trata de una matriz cuadrada. De nuestros ejemplos anteriores, la primera sí es una matriz cuadrada, pero la segunda no. Para simplificar un poco la notación, introducimos lo siguiente.

Definición. El conjunto $M_n(\mathbb{R})$ consiste de todas las matrices de $n$ filas, $n$ columnas y en donde cada entrada es un número real.

Es decir, simplemente $M_n(\mathbb{R})=M_{n,n}(\mathbb{R})$.

Al igual que pasa con los vectores, podemos comparar dos matrices para saber si estas son iguales. Como te podrás imaginar, hay algunas condiciones que dos matrices deben cumplir para ser iguales: en primera, ambas deben de tener el mismo tamaño; es decir, sus números de filas deben de ser iguales y sus números de columnas deben de ser iguales. Por lo tanto, vemos que las matrices mostradas anteriormente son diferentes. Además, sus correspondientes entradas deben de ser iguales. Podemos escribir esto en una definición como sigue.

Definición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_{m,n}(\mathbb{R})$. Diremos que estas matrices son iguales si para cada $i\in \{1,\ldots,m\}$ y cada $j\in \{1,\ldots,n\}$ se cumple que la entrada $(i,j)$ de $A$ es la misma que la entrada $(i,j)$ de $B$.

¿Puedes decir por qué las siguientes matrices son diferentes?
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}
\ne
\begin{pmatrix}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}.
\]

Notación y algunos vectores y matrices especiales

En matemáticas, es usual que denotemos los vectores con letras minúsculas (siendo las más comunes la $u$, $v$ y $w$) aunque muchas veces te podrás encontrar con notaciones especiales que los hacen más fáciles de distinguir, por ejemplo, $\overrightarrow{a}$ o $\mathbf{a}$. Nosotros no haremos esta distinción y usaremos simplemente letras minúsculas. Por ejemplo podríamos tomar al vector $u=(1,2,3)$ de $\mathbb{R}^3$.

Por su parte, las matrices las solemos representar con letras mayúsculas (generalmente las primeras del abecedario: $A$, $B$, $C$). Si la entrada que se encuentra en la fila $i$ y colmuna $j$ de la matriz se le denota como con la correspondiente letra minúscula y con subíndices la posición de su entrada: $a_{ij}$. Así, tendríamos que en
\[
A=
\begin{pmatrix}
0 & 8 & -4.5 \\
2 & 9 & 0 \\
1 & \pi & 5
\end{pmatrix}
\]
la entrada $a_{13} = -4.5$ y la entrada $a_{31} = 1$. ¿Cuál es la entrada $a_{23}$?

Además, existen algunos vectores y matrices con entradas reales que nos encontraremos con bastante frecuencia, y por esta razón reciben nombres especiales:

  • El vector en el que todas sus entradas son el número cero se conoce como vector cero o vector nulo. Por ejemplo, el vector nulo en $\mathbb{R}^2$ es $ (0,0)$ mientras que el nulo en $\mathbb{R}^3$ es $(0,0,0)$. Generalmente, denotamos este vector como $0$ (o, en ocasiones, como $\overrightarrow{0}$ o $\mathbf{0}$) .Es importante observar que se usa el mismo símbolo para representar a los vectores nulos con números distintos de entradas (de modo que podremos encontrar que $0=(0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^2$, o que $0=(0,0,0)$, en el caso de $\mathbb{R}^3$). Esto es algo que debemos tener en cuenta, aunque no suele representar mayores complicaciones, pues el contexto nos dirá 1) Si el símbolo $0$ se usa para el real cero o el vector cero y 2) Con cuántas entradas estamos trabajando.
  • La matriz en el que todas sus entradas son cero se conoce como matriz cero o matriz nula. Ejemplos de matrices nulas son
    \[
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
    \end{pmatrix}.
    \]
    Estas matrices se suelen denotar con el símbolo $\mathcal{O}$, aunque en el caso de las matrices sí es común especificar las dimensiones de la matriz, de modo que la primera matriz escrita en este inciso se denota como $\mathcal{O}_{3\times 4}$ mientras que una matriz cuadrada, como la segunda de este inciso, se denota como $\mathcal{O}_2$.
  • El vector en $\mathbb{R}^n$ cuya $i$-ésima entrada es $1$ y el resto de sus entradas es $0$ se conoce como vector canónico, y se denota $\mathrm{e}_i$. Por ejemplo, el vector canónico $\mathrm{e}_3$ en $\mathbb{R}^4$ es $(0,0,1,0)$.
  • Además, al conjunto de todos los posibles vectores canónicos en $\mathbb{R}^n$ se conoce como la base canónica de $\mathbb{R}^n$; así, la base canónica de $\mathbb{R}^4$ es
    \[
    \{(1,0,0,0), \ (0,1,0,0), \ (0,0,1,0), (0,0,0,1)\} = \{\mathrm{e}_1, \mathrm{e}_2, \mathrm{e}_3, \mathrm{e}_4\}.
    \]
  • Llamamos diagonal de una matriz cuadrada a las componentes cuyos número de fila y número de columna coinciden. Además, diremos que una matriz es una matriz diagonal si es una matriz cuadrada en la que todas sus entradas que no están en la diagonal (es decir, que su número de fila es distinto a su número de columna) son cero. Ejemplos de matrices diagonales son
    \[
    \begin{pmatrix}
    5 & 0 & 0 \\
    0 & 8 & 0 \\
    0 & 0 & \pi
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y}
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    6 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 7 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 9
    \end{pmatrix}
    \]
    (Observemos que aquellas entradas que se encuentran sobre su diagonal también pueden ser cero, aquí no tenemos ninguna restricción).
  • La matriz diagonal en la que todas sus entradas sobre la diagonal son 1 se conoce como matriz identidad. Ejemplos de matrices identidad son
    \[
    \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0\\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
    \qquad
    \text{y} \\
    \qquad
    \begin{pmatrix}
    1
    \end{pmatrix}.
    \]
    A esta matriz la denotamos por $\mathcal{I}$ y especificamos su tamaño como subíndice. Así, las matrices anteriores son ${I}_3$ e $\mathcal{I}_1$.

Más adelante…

En esta entrada vimos las definiciones de vectores y matrices con entradas reales que usaremos para trabajar en este curso. También revisamos cuándo dos vectores (o matrices) son iguales. Además, vimos algunos ejemplos de vectores y matrices que nos encontraremos con bastante frecuencia en las matemáticas.

En las siguientes entradas veremos que también se pueden hacer operaciones entre vectores y matrices, aunque necesitaremos que se cumplan algunas condiciones especiales.

Tarea moral

  1. Basándonos en la definiciones, verifica las siguientes igualdades:
    • El vector $(4-4,1,3)$ es igual al vector $(0,2-1,2+1)$.
    • La matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ es igual a la matriz $B$ de $2\times 2$ cuyas entradas están dadas por $b_{ij}=i\cdot j$.
  2. Encuentra todos los posibles vectores que hay en $\mathbb{R}^3$ cuyas entradas sean únicamente los números $1$ y $2$. ¿Cuántos deben de ser?
  3. Seguramente algunos los nombres de los vectores y matrices especiales te recuerdan a algún tipo de operación. ¿Qué operaciones crees que podamos hacer con los vectores y/o matrices, y qué comportamiento tendrían aquellos que reciben un nombre especial?
  4. ¿Por qué podemos decir que una matriz nula cuadrada cumple con ser una matriz diagonal?
  5. Escribe todos los elementos de la base canónica de $\mathbb{R}^6$.

Entradas relacionadas

Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 3»