Esta es la pagina del curso de Cálculo Diferencial e Integral III en el marco del proyecto PAPIME 109323. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia cubriendo varios temas, ejemplos y problemas en el transcurso.
Organización del curso
El curso está dividido en siete unidades temáticas.
- Unidad 1: Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{N}$
- Unidad 2: Espacios Normados
- Unidad 3: Topología de $\mathbb{R}^{N}$ y Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}^{M}$
- Unidad 4: Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}$
- Unidad 5: Transformaciones
- Unidad 6: Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}^{M}$
- Unidad 7: Máximos y mínimos
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso, escritas por Alejandro Antonio Estrada Franco. Se irán llenando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Unidad 1: Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{n}$
- Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$ como curvas en el espacio
- Límites y derivadas en términos de las componentes
- La diferencial de una curva en el espacio
- Velocidad, rapidez y el vector tangente
- Propiedades de límites con respecto a suma y producto
- Curvas rectificables
- Longitud de arco
- Parametrización unitaria por longitud de arco
- Comparación de parametrizaciones
- Normal principal
- Curvatura y torsión
- Plano osculante
- Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio
- Fórmulas de Frenet y de Serret
Unidad 2: Espacios normados
- Espacios vectoriales
- Subespacios vectoriales
- Conjuntos linealmente independientes, generadores y bases
- Dimensión
- Espacios vectoriales normados
- Normas en $\mathbb{R}^n$
Unidad 3: Topolgía de $\mathbb{R}^N$ y funciones de $\mathbb{R}^N$ en $\mathbb{R}^M$
- Conjuntos abiertos y cerrados
- Interior, cerradura y frontera
- Caracterización de conjuntos compactos con Heine-Borel
- Conexidad y conexidad relativa
- Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
- Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$
- Límites y continuidad
- Teoremas de continuidad en compactos o conexos
- Teorema de Bolzano
- Teorema de Weierstrass
- Funciones continuas en compactos
Unidad 4: Funciones de $\mathbb{R}^N$ en $\mathbb{R}$
- Conjuntos de nivel y gráficas
- Diferenciabilidad y sus propiedades
- Derivadas direccionales y derivadas parciales
- Gradiente de una función
- Dirección de máximo cambio
- Puntos críticos
- Derivadas parciales de orden superior, teorema del valor medio, criterio de diferenciablidad en términos de derivadas parciales
- Plano tangente a una superficie
- Diferenciales de orden $k$ (¿?)
- Polinomio de Taylor
Unidad 5: Transformaciones
- Matrices
- Determinantes
- Sistemas de ecuaciones lineales
- Representaciones matriciales, eigenvalores y eigenvectores
- Polinomio característico
- Formas lineales y formas bilineales
- Formas cuadráticas
Unidad 6: Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ a $\mathbb{R}^{M}$
- Diferenciabilidad
- Diferenciabilidad, continuidad y regla de la cadena
- Teorema de la función inversa (preliminares)
- Teorema de la función inversa
- Teorema de la función implícita I
- Teorema de la función implícita II
- Teorema del rango (¿?)
- Divergencia, laplaciano y rotacional
Unidad 7: Máximos y Mínimos
- Máximos, mínimos y puntos silla
- Lema de Morse (¿?)
- Multiplicadores de Lagrange (extremos con condiciones)
Videos del curso
Por el momento no contamos con videos del curso.
Moodle del curso
Por el momento no contamos con un Moodle del curso.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
A continuación se enlista bibliografía sugerida para llevar este curso.
Créditos
El material de este curso fue creado por
- Alejandro Antonio Estrada Franco
- Leonardo Ignacio Martínez Sandoval