Esta es la pagina del curso de Cálculo Diferencial e Integral III en el marco del proyecto PAPIME 109323. En este curso cubrimos el temario oficial de la materia cubriendo varios temas, ejemplos y problemas en el transcurso.
Organización del curso
El curso está dividido en siete unidades temáticas.
- Unidad 1: Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{N}$
- Unidad 2: Espacios Normados
- Unidad 3: Topología de $\mathbb{R}^{N}$ y Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}^{M}$
- Unidad 4: Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}$
- Unidad 5: Transformaciones
- Unidad 6: Funciones de $\mathbb{R}^{N}$ en $\mathbb{R}^{M}$
- Unidad 7: Máximos y mínimos
Notas del curso
A continuación están las entradas de blog con el contenido del curso, escritas por Alejandro Antonio Estrada Franco. Se irán llenando los enlaces poco a poco, conforme el material esté disponible.
Unidad 1: Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^{n}$
- Funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^n$ como curvas en el espacio
- Límites y derivadas en términos de las componentes
- La diferencial de una curva en el espacio
- Velocidad, rapidez y el vector tangente
- Propiedades de límites con respecto a suma y producto
- Curvas rectificables
- Longitud de arco
- Parametrización unitaria por longitud de arco
- Comparación de parametrizaciones
- Normal principal
- Curvatura y torsión
- Plano osculante
- Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio
- Fórmulas de Frenet y de Serret
Unidad 2: Espacios vectoriales y normas
- Espacios vectoriales
- Subespacios vectoriales
- Conjuntos linealmente independientes, generadores y bases
- Dimensión
- Espacios vectoriales normados
- Normas en $\mathbb{R}^n$
Unidad 3: Topología de $\mathbb{R}^n$ y funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$
- Conjuntos abiertos y cerrados
- Interior, cerradura y frontera
- Caracterización de conjuntos compactos con Heine-Borel
- Conexidad y conexidad relativa
- Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
- Funciones de $\mathbb{R}^n$ en $\mathbb{R}^m$
- Límites y continuidad
- Teoremas de continuidad en compactos y en conexos
- Teorema de Bolzano
- Teorema de Weierstrass
- Funciones continuas en compactos
Unidad 4: Funciones de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}$
- Gráficas de campos escalares y conjuntos de nivel
- Diferenciabilidad para campos escalares y sus propiedades
- Derivadas direccionales y derivadas parciales
- Gradiente de una función y dirección de máximo cambio
- Planos tangentes a gráficas de campos escalares
- Teorema del valor medio para campos escalares
- Derivadas parciales de segundo orden
- Derivadas parciales de orden superior
- Polinomio de Taylor para campos escalares
Unidad 5: Matrices y transformaciones lineales
- Matrices
- Determinantes
- Sistemas de ecuaciones lineales
- Representaciones matriciales, eigenvalores y eigenvectores
- Polinomio característico
- Formas lineales y formas bilineales
- Formas cuadráticas
Unidad 6: Funciones de $\mathbb{R}^{n}$ a $\mathbb{R}^{m}$
- Diferenciabilidad en campos vectoriales
- Regla de la cadena para campos vectoriales
- Introducción al teorema de la función inversa
- Demostración del teorema de la función inversa
- Teorema de la función implícita y demostración
- Ejemplos e intuición del teorema de la función implícita
- Divergencia, laplaciano y rotacional
Unidad 7: Optimización en varias variables
Videos del curso
Por el momento no contamos con videos del curso.
Moodle del curso
Por el momento no contamos con un Moodle del curso.
Evaluación
La forma específica de evaluar depende de cada vez que se imparte el curso. Hay variantes entre la modalidad en línea y la modalidad presencial.
Bibliografía
A continuación se enlista bibliografía sugerida para llevar este curso.
Créditos
El material de este curso fue creado por
- Alejandro Antonio Estrada Franco
- Leonardo Ignacio Martínez Sandoval