Introducción
Hasta ahora hemos cubierto a modo de repaso varios temas de álgebra lineal relacionados con sistemas de ecuaciones lineales, transformaciones lineales, sus matrices asociadas y más. En esta y las entradas que siguen recordaremos más herramientas de álgebra lineal que serán de utilidad para nuestro contenido de diferenciabilidad. Hablaremos de las formas lineales de $\mathbb{R}^n$, de sus formas bilineales y de sus formas cuadráticas.
Como es usual, este contenido cubre sólo por encima lo que se vería en un curso completo de álgebra lineal, en donde se ahonda en varias demostraciones, se dan más ejemplos y se tratan espacios vectoriales más generales. Para estos temas en específico, las siguientes entradas pueden ser un buen punto de partida:
Formas lineales
Las formas lineales son transformaciones lineales, pero son unas muy específicas: las que caen en $\mathbb{R}$.
Definición. Una transformación lineal $\bar{\phi} :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ se le llama forma lineal o funcional lineal.
Definición. Llamaremos al espacio vectorial $\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ el espacio dual de $\mathbb{R}^n$ y lo denotamos por ${\mathbb{R}^n}^\ast$.
Hay una relación directa entre las bases de $\mathbb{R}^n$ y las de ${\mathbb{R}^n}^\ast$. Como los elementos de ${\mathbb{R}^n}^\ast$ son transformaciones lineales, basta decir qué les hacen a los elementos de una base. De aquí se motiva la siguiente definición.
Definición. Tomemos una base $\beta=\{ \bar{e}_{1},\dots ,\bar{e}_{n} \}$ para $\mathbb{R}^n$. Sean $\bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}\in {\mathbb{R}^n}^\ast$ definidas como sigue: \[ \bar{\phi} _{i}(\bar{e}_{j})=\left\lbrace\begin{array}{c} 1\hspace{1cm}si\hspace{1cm}i=j \\ 0\hspace{1cm}si\hspace{1cm}i\neq j. \end{array}\right. \]
A $\bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}$ le llamamos la base dual a $\beta$ y la denotamos por $\beta^\ast$.
El nombre queda justificado por el siguiente resultado.
Teorema. Se tiene que $\beta^\ast=\{\bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}\}$ es una base para ${\mathbb{R}^n}^\ast$.
Demostración. Debemos mostrar que $\beta^\ast$ es generador e independiente. Veremos que es generador, y la independencia lineal quedará de tarea moral. Tomemos $\bar{\alpha} \in {\mathbb{R}^n}^\ast$. Supongamos que para cada $j$ se tiene $\bar{\alpha} (\bar{e}_{j})=r_{j}$. Afirmamos que $\bar{\alpha} = r_{1}\bar{\phi} _{1} +\dots +r_{n}\bar{\phi} _{n}$.
Para mostrar la igualdad anterior, que es una igualdad de formas lineales, veremos la igualdad vector a vector. Sea $\bar{v}\in \mathbb{R}^n$. Calcularemos $\bar{\alpha} (\bar{v})$. Para ello, expresamos a $\bar{v}$ como combinación de elementos de $\beta$: $$\bar{v}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\bar{e}_{i}.$$
Al aplicar $\alpha$ obtenemos:
\begin{align*}
\bar{\alpha} (\bar{v})&=\bar{\alpha} \left( \sum _{i=1}^{n}x_{i}\bar{e}_{i} \right)\\
&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{\alpha} (\bar{e}_{i})\\
&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}r_{i}\\
&=\sum_{i=1}^{n}x_{i}r_{i}\bar{\phi} _{i}(\bar{e}_{i})\\
&= \sum_{i=1}^{n}r_{i}\bar{\phi }_{i}(x_{i}\bar{e}_{i})\\
&=\sum_{i=1}^{n}r_{i}\bar{\phi} _{i}\left( \sum_{k=1}^{n}x_{k}\bar{e}_{k} \right) \quad \text{(agregando varios $0$)}\\
&=\left( r_{1}\bar{\phi} _{1}+\dots +r_{n}\bar{\phi} _{n}\right)\left( \sum_{k=1}^{n}x_{k}\bar{e}_{k}\right)\\
&=\left( r_{1}\bar{\phi} _{1}+\dots +r_{n}\bar{\phi} _{n}\right)(\bar{v})\\
\end{align*}
Así se da la igualdad $\bar{\alpha} = r_{1}\bar{\phi} _{1} +\dots +r_{n}\bar{\phi} _{n}$, por lo tanto $\beta^\ast$ es un conjunto generador ${\mathbb{R}^n}^\ast$
$\square$
De la demostración podemos obtener algo más. Supongamos que tomamos $\bar{v}\in \mathbb{R}^n$ y una base $\beta=\{\bar{e}_1,\ldots,\bar{e}_n\}$. Supongamos que $\bar{v}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\bar{e}_{i}$. A partir de aquí, podemos construir una forma lineal $\psi(\bar{v})$ que cumple $\psi(\bar{v})=\sum_{i=1}^n x_i \bar{\phi}_i$. Se puede verificar que la asignación $\psi: \mathbb{R}^n\to {\mathbb{R}^n}^\ast$ es un isomorfismo. De aquí, obtenemos que $\mathbb{R}^n\cong {\mathbb{R}^n}^\ast$.
Hasta ahora, de cualquier base de $\mathbb{R}^n$ se puede obtener una base dual, que es base de ${\mathbb{R}^n}^\ast$. ¿Podemos hacer lo inverso? El siguiente resultado dice que sí, si tenemos una base para ${\mathbb{R}^n}^\ast$, podemos construir una para $\mathbb{R}^n$ muy conveniente.
Teorema. Dada $\beta^\ast =\{\bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}\}$ base para ${\mathbb{R}^n}^\ast$, existe $\beta =\{\bar{w}_{1},\dots , \bar{w}_{n}\}$ base para $\mathbb{R}^n$; tal que $\bar{\phi} _{i}(\bar{w}_{j})=\delta _{ij}$ donde: \[ \delta_{ij}= \left\lbrace\begin{array}{c} 1\hspace{1cm}si\hspace{1cm}i=j \\ 0\hspace{1cm}si\hspace{1cm}i\neq j, \end{array} \right . \]
es decir, tal que $\beta^\ast$ es justo la base dual de $\beta$.
Demostración. Para construir la base deseada, hacemos los siguientes pasos. Cada paso está esbozado. Los detalles quedan como tarea moral.
- Primero notemos que para cada $i=1,\dots ,n$ se tiene, por el teorema de la dimensión, que:
\begin{align*}
n&=\dim\mathbb{R}^n\\
&=\dim(\ker(\bar{\phi}_{i}))+\dim(\text{Im}(\bar{\phi} _{i}))\\
&=\dim(\ker(\bar{\phi}_{i}))+1,
\end{align*}
en donde usamos que $\bar{\phi}_i$ es forma lineal no cero (por estar en una base), de donde su imagen tiene dimensión $1$. De aquí $\dim(\ker(\bar{\phi} _{i}))=n-1$. Si tomamos una base de $\ker(\bar{\phi}_i)$, tiene $n-1$ elementos y por lo tanto podemos completarla a una base de $\mathbb{R}^n$ agregando un cierto vector $\bar{v}_i$. - Afirmamos que $\bar{v}_1,\bar{v}_2,\ldots,\bar{v}_n$ elegidos de la manera anterior son un conjunto linealmente independiente. En efecto, al tener una combinación lineal $$\alpha_1\bar{v}_1+\ldots + \alpha_n\bar{v}_n=\bar{0},$$ podemos para cada $i=1,\ldots,n$ aplicar $\bar{\phi}_i$ a ambos lados. Del lado izquierdo se eliminarán todos términos excepto $\alpha_i\bar{\phi}_i(\bar{v}_i)$. Como $\bar{\phi}_i(\bar{v}_i)\neq 0$, entonces $\alpha_i=0$ para todo $i=1,\ldots,n$. Como $\bar{v}_1,\ldots,\bar{v}_n$ son linealmente independientes, y son $n$, entonces son una base de $\mathbb{R}^n$.
- Ahora, pensemos que $\bar{\phi}_i(\bar{v}_i)=r_i\neq 0$. Podemos dividir entre $r_i$ para obtener $\bar{\phi}_i\left(\frac{\bar{v}_i}{r_i}\right)=1$.
- De todo lo anterior, $\{\bar{v}_{1}/r_{1},\dots ,\bar{v}_{n}/r_{n} \}$ es la base buscada.
$\square$
A la base conformada por los vectores $\bar{w}_1,\ldots,\bar{w}_n$ le llamamos la base primal de $\beta^\ast$.
En estos dos teoremas hemos desarrollado técnicas para construir bases para un espacio y su dual que se coordinan haciendo simples las evaluaciones de las funciones de la base dual sobre las de la base del espacio original. Entre estas dos bases para el espacio y su dual tenemos un par de ecuaciones que las correlacionan muy convenientemente.
Teorema. Sean $\{ \bar{v}_{1},\dots \bar{v}_{n}\}$ una base de $\mathbb{R}^n$ y $\{ \bar{\phi} _{1},\dots \bar{\phi} _{n} \}$ la base dual de ${\mathbb{R}^n}^\ast$. Para todo $\bar{u}\in \mathbb{R}^n$ tenemos $$\bar{u}=\sum_{i=1}^n\bar{\phi} _{i}(\bar{u})\bar{v}_{i}, $$ y para todo $\Phi \in {\mathbb{R}^n}^\ast$ tenemos $$\Phi =\sum_{i=1}^n\Phi (\bar{v}_{i})\bar{\phi} _{i}.$$
Demostración. Sea $\bar{u}\in \mathbb{R}^n$, supongamos $\bar{u}=\sum_{i}x_{i}\bar{v}_{i}$. Para cada $j$ entre $1$ y $n$, tenemos
\begin{align*}
\bar{\phi} _{j}(\bar{u})&=\sum_{i=1}^n x_{i}\bar{\phi} _{j}(\bar{v}_{i})\\
&=x_{j}\bar{\phi} _{j}(\bar{v}_{j})\\
&=x_{j}.
\end{align*}
De esta manera $x_{j}=\bar{\phi} _{j}(\bar{u})$, por tanto obtenemos $\bar{u}=\sum_{i=1}^n\bar{\phi} _{i}(\bar{u})\bar{v}_{i}$.
De manera similar, sea $\Phi \in {\mathbb{R}^n}^\ast$, supongamos $\Phi =\sum_{i}y_{i}\bar{\phi} _{i}$. Para cada $j$ entre $1$ y $n$, tenemos
\begin{align*}
\Phi (\bar{v}_{j})&=\sum_{i=1}^n y_{i}\bar{\phi} _{i}(\bar{v}_{j})\\
&=y_{j}\bar{\phi} _{j}(\bar{v}_{j})\\
&=y_{j}.
\end{align*}
Así hemos obtenido $\Phi (\bar{v}_{j})=y_{j}$, con lo que concluimos $\Phi = \sum_{i=1}^n \Phi (\bar{v}_{i})\bar{\phi} _{i}$.
$\square$
Formas bilineales
Este desarrollo teórico nos permite abordar las formas bilineales tal y como las usaremos mas adelante.
Definición. Sea $\mathbb{R}^n$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Una forma bilineal es una función $b:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ que satisface:
- $b(r\bar{u}_{1}+\bar{u}_{2},\bar{v})=rb(\bar{u}_{1},\bar{v})+b(\bar{u}_{2},\bar{v})$ para todo real $r$ y vectores $\bar{u}_1,\bar{u}_2,\bar{v}$ en $\mathbb{R}^n$, a lo que llamamos linealidad en la primera entrada.
- $b(\bar{u},r\bar{v}_{1}+\bar{v}_{2})=rb(\bar{u},\bar{v}_{1})+b(\bar{u},\bar{v}_{2})$ para todo real $r$ y vectores $\bar{v}_1,\bar{v}_2,\bar{u}$ en $\mathbb{R}^n$ a lo que llamamos linealidad en la segunda entrada.
Ejemplo. Sea $A\in M_n\left( \mathbb{R}\right)$. A partir de la matriz $A$ puede construirse una forma bilineal $b_{A}$ sobre $\mathbb{R}^{n}$. Para los vectores $\bar{x}=(x_{1},\dots ,x_{n})$ y $\bar{y}=(y_{1},\dots ,y_{n})$, queda definida como sigue
$$b_{A}(\bar{x},\bar{y})=\bar{x}^{T}A\bar{y}.$$
Realizando las cuentas matriciales, tenemos:
\begin{align*}
b_{A}(\bar{x},\bar{y})&=\begin{pmatrix}x_{1}\dots x_{n}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}\\
&=\sum_{i,j=1}^{n}x_{i}a_{ij}y_{j}.
\end{align*}
Queda como tarea moral verificar que $f_{A}$ en efecto es bilineal, lo que se recomienda verificar en la expresión $\bar{x}^{T}A\bar{y}$.
Un ejemplo todavía más concreto sería tomar la matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Al realizar las cuentas matriciales obtenemos:
$$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = 2x_1y_1 + 5x_1y_2 – 3x_2y_1 + 4 x_2y_2.$$
$\triangle$
El espacio de formas bilineales
Denotaremos por $B(\mathbb{R}^n)$ al conjunto de las formas bilineales en $\mathbb{R}^n$. Le damos a $B(\mathbb{R}^n)$ estructura de espacio vectorial con las operaciones siguientes: $$(b_1+b_2)(\bar{u},\bar{v})=b_1(\bar{u},\bar{v})+b_2(\bar{u},\bar{v}),$$ y $$(rb)(\bar{u},\bar{v})=rb(\bar{u},\bar{v}),$$ para todos los $b_1,b_2,b\in B(\mathbb{R}^n)$ y $r\in \mathbb{R}$.
Con la teoría que tenemos hasta ahora, podemos construir fácilmente una base para el espacio $B(\mathbb{R}^n)$.
Teorema. Sea $\{\bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}\}$ una base del espacio dual ${\mathbb{R}^n}^\ast$. Entonces $$\mathbb{B}=\{b_{ij}|i,j=1,\dots ,n \}$$ es una base para $B(\mathbb{R}^n)$, donde $$b_{ij}(\bar{u},\bar{v})=\bar{\phi} _{i}(\bar{u})\bar{\phi} _{j}(\bar{v}).$$ De este modo $\dim B(\mathbb{R}^n)=n^{2}$.
Demostración. Para $\{ \bar{\phi} _{1},\dots ,\bar{\phi} _{n}\}$ podemos construir su base primal $\{\bar{v}_{1},\dots ,\bar{v}_{n}\}$,es decir, base de $\mathbb{R}^n$ tal que $\bar{\phi} _{i}(\bar{v}_{j})=\delta _{ij}$, para todo $i,j$.
Veamos que las formas bilineales propuestas en efecto son un conjunto generador. Sea $b\in B(\mathbb{R}^n)$. Para $\bar{u},\bar{v}$ arbitrarios en $\mathbb{R}^n$, calculemos $b(\bar{u},\bar{v})$. Para ello recordemos que $$\bar{u}=\sum_{i=1}^n\bar{\phi}_{i}(\bar{u})\bar{v}_{i}$$ y $$\bar{v}=\sum_{j=1}^n\bar{\phi} _{j}(\bar{v})v_{ij}.$$ Usando esto:
\begin{align*}
b(\bar{u},\bar{v})&=b\left( \sum_{i=1}^n\phi _{i}(\bar{u})\bar{v}_{i}, \sum_{j=1}^n\bar{\phi} _{j}(\bar{v})\bar{v}_{j} \right)\\
&=\sum_{i=1}^n\bar{\phi} _{i}(\bar{u})b\left( \bar{v}_{i}, \sum_{j=1}^n\bar{\phi} _{j}(\bar{v})\bar{v}_{j} \right)\\
&=\sum_{i=1}^n\bar{\phi} _{i}(\bar{u})\sum_{j=1}^n\bar{\phi} _{j}(\bar{v})b(\bar{v}_{i}, \bar{v}_{j})\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\bar{\phi} _{i}(\bar{u})\bar{\phi} _{j}(\bar{v})b(\bar{v}_{i}, \bar{v}_{j})\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n b_{ij}(\bar{u},\bar{v})b(\bar{v}_{i},\bar{u}_{j}).
\end{align*}
Así vemos que $b$ es combinación lineal del conjunto $\mathbb{B}$. Concluimos que $\mathbb{B}$ es un conjunto generador de $B(\mathbb{R}^n)$. Para calcular la dimensión de $B(\mathbb{R}^n)$, falta todavía ver que $\mathbb{B}$ es linealmente independiente, lo cual queda como tarea moral (en la lista de ejercicios hay una sugerencia). Tras probar que $\mathbb{B}$ es linealmente independiente, se tiene que $\dim B(\mathbb{R}^n)=n^{2}$.
$\square$
Forma matricial de formas bilineales
En el ejemplo anterior vimos cómo a partir de una matriz $A$ podemos construir una forma bilineal $(\bar{x},\bar{y})\to \bar{x}^T A \bar{y}$ de $\mathbb{R}^n$. En realidad así se pueden obtener todas las formas bilineales.
Definición. Consideremos una forma bilineal $b:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. Tomemos una base $\beta=\{\bar{u}_1,\ldots ,\bar{u}_n\}$. Tomemos la matriz $\text{Mat}_\beta(b)$ en $M_n(\mathbb{R})$ cuya entrada $(i,j)$ es $f(\bar{u}_{i},\bar{v}_{j})$. Llamaremos a esta matriz la representación matricial de $f$ relativa a la base $\beta$.
La matriz $A:=\text{Mat}_\beta(b)$ representa a $f$ en el siguiente sentido. Se tiene que, para cualesquiera $\bar{u},\bar{v}$ en $\mathbb{R}^n$ se cumple que si los vectores de coordenadas de $\bar{u}$ y $\bar{v}$ en la base $\beta$ son $X=(x_1,\ldots,x_n)$ y $Y=(y_1,\ldots,y_n)$, entonces:
\begin{align*}
b(\bar{u},\bar{v})&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_{i}y_{j}b(\bar{u}_{i},\bar{u}_{j})\\
&=\begin{pmatrix} x_{1} & \dots & x_{n}\end{pmatrix}A\begin{pmatrix}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}\\
&=X^{T}A Y.
\end{align*}
Ejemplo. Tomemos la forma bilineal $b$ de $\mathbb{R}^2$ dada por $$b((x_1,x_2),(y_1,y_2))=5x_1y_2+3x_2y_1$$ (verifica que es forma bilineal). Tomemos la base $(1,1)$ y $(1,-1)$ de $\mathbb{R}^2$. Para encontrar la representación matricial de $b$ en esta base, debemos hacer los siguientes cálculos:
\begin{align*}
b((1,1),(1,1))&=8\\
b((1,1),(1,-1))&=-2\\
b((1,-1),(1,1))&=2\\
b((1,-1)(1,-1))&=-8\\
\end{align*}
De esta manera, la representación matricial es $$\begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 2 & -8 \end{pmatrix}.$$
$\triangle$
Matrices congruentes y rango
Recordemos dos definiciones más.
Definición. El rango de una matriz es el número máximo de columnas (tratadas como vectores columna) linealmente independientes. La notación para una matriz $A$ será $\rank(A)$.
Definición. Sean $A$ y $B$ matrices en $M_n(\mathbb{R})$. Se dice que $B$ es congruente a $A$ si existe una matriz invertible $P$ tal que $B=P^{t}AP$.
Es sencillo mostrar que esta relación «es congruente a» es una relación de equivalencia, lo cual queda como tarea moral revisar.
Por resultados de rango de matrices, se cumple que el rango de una matriz no cambia si la multiplicamos por una matriz invertible. Si $A$ y $B$ son congruentes mediante la matriz $P$, tenemos que $B=P^t A P$. Como $P$ es invertible, $P^t$ también. Así, $B$ tiene el mismo rango que $A$.
Al igual que con las transformaciones lineales, la representación matricial de las formas bilineales depende de la base del espacio dominio que se considere. Pero tenemos una relación importante entre distintas representaciones matriciales de formas bilineales.
Teorema. Cualesquiera dos representaciones matriciales de una misma forma bilineal son congruentes.
Demostración. Consideremos $b:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ una forma bilineal. Tomemos $\beta=\{\bar{v}_{1},\dots ,\bar{v}_{n}\}$ y $\beta’=\{\bar{u}_{1},\dots ,\bar{u}_{n}\}$ dos bases para $\mathbb{R}^n$. Supongamos que para cada $i$ tenemos $$\bar{v}_{i}=\sum_{k=1}^{n}c_{ik}\bar{u}_{k}.$$
Así:
\begin{align*}
b(\bar{v}_{i},\bar{v}_{j})&=b\left( \sum_{k=1}^{n}c_{ik}\bar{u}_{k},\sum_{t=1}^{n}c_{jt}\bar{u}_{t} \right)\\
&=\sum_{k=1}^n\sum_{t=1}^n c_{ik}c_{jt}b(\bar{u}_{k},\bar{u}_{t}).
\end{align*}
Definamos $a’_{kt}=b(\bar{u}_{k},\bar{u}_{t})$, y tomemos $A’$ como la matriz en $M_n(\mathbb{R})$ cuya entrada $(k,t)$ es $a’_{kt}$. Tenemos entonces:
\[b(\bar{v}_{i},\bar{v}_{j})=\begin{pmatrix}c_{i1} & \dots & c_{in} \end{pmatrix}A’\begin{pmatrix}c_{j1} \\ \vdots \\ c_{jn} \end{pmatrix}. \]
Definamos a la matriz $C$ en $M_n(\mathbb{R})$ a aquella con entradas $(k,t)$ iguales a $c_{kt}$. Al variar sobre los posibles valores de $(i,j)$, la igualdad anterior nos dice que la entrada $(i,j)$ de la forma matricial $A$ de $b$ en la base $\beta$ es igual a la entrada $(i,j)$ de la matriz $C^tA’C$, en donde notamos que $A’$ es la forma matricial de $b$ en la base $\beta’$. Esto nos dice que $A=C^{t}A’C$. Así $A$ y $A’$ son congruentes.
$\square$
Con esto, podemos establecer la siguiente definición sin ambigüedades.
Definición. El rango de una forma bilineal $b$ en $\mathbb{R}^n$, escrito $\rank(b)$ se define como el rango de cualquiera de sus representaciones matriciales. Además decimos que $b$ es degenerada o no degenerada según sea $\rank(b)<\dim\mathbb{R}^n$ o $\rank(b)=\dim\mathbb{R}^n$, respectivamente.
Más adelante…
Esta entrada repasa los conceptos de formas lineales y bilineales. La siguiente entrada será nuestra última entrada de repaso de álgebra lineal. Lo que haremos es recordar cómo a partir de las formas bilineales podemos definir a las formas cuadráticas. Las formas cuadráticas también nos ayudarán a establecer ciertas propiedades de funciones al combinarlas con la noción de diferenciabilidad.
En esta entrada hablamos del rango de una matriz. Más adelante retomaremos este concepto, y lo usaremos cuando enunciemos el teorema del rango, un resultado crucial en diferenciabilidad.
Tarea moral
- Realiza los siguientes dos problemas:
- Encuentra la base dual de la base $\{(1,2,3),(3,2,1),(1,-1,0)\}$ de $\mathbb{R}^3$ explícitamente.
- Encuentra una base de $\mathbb{R}^3$ cuya base dual sean las formas lineales $l_1(x,y,z)=x$, $l_2(x,y,z)=3x-2$, $l_3(x,y,z)=x+y-z$.
- Completa los detalles en cada paso del teorema que nos dice cómo obtener una base primar para una base dual.
- En el teorema de bases para el espacio de formas bilineales, verifica que el conjunto de formas lineales propuestas es linealmente independiente. Sugerencia. Toma una combinación lineal igual a cero; luego evalúa en los vectores de la base $\{\bar{v}_{1},\dots ,\bar{v}_{n}\}$. Recuerda la definición de $b_{ij}$ y el efecto de evaluar $\bar{\phi} _{j}$ en $\bar{v}_{i}$.
- Revisa este enlace correspondiente al curso de Álgebra Lineal I de este blog para profundizar en el tema del rango de una transformación lineal y cómo se relaciona con el rango de una matriz.
- Demuestra que la relación «es congruente a» es una relación de equivalencia en $M_n(\mathbb{R})$.
Entradas relacionadas
- Ir a Cálculo Diferencial e Integral III
- Entrada anterior del curso: Polinomio característico
- Entrada siguiente del curso: Formas cuadráticas