Dada una función de dos variables que está definida sobre el rectángulo cerrado
$$R=[a,b]\times[c,d]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid a\leq x\leq b,
c\leq y \leq d}$$

suponiendo que $f(x,y)\geq 0$. La gráfica de f es
una superfície con ecuación $z=f(x,y)$. Sea S el sólido que esta
encima de R y debajo de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq z\leq f(x,y),(x,y)\in R}$$

El volumen en esta caso de S es una aproximación al volumen por debajo de la superficie. Ahora bien si dividimos el rectángulo R en subrectángulos. Para el intervalo [a,b] tenemos m subintervalos $[x_{i-1},x_{i}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{x}=\frac{b-a}{m}}$. Para el intervalo [c,d] tenemos n
subintervalos $[y_{j-1},y_{j}]$ con una longitud de $\displaystyle{\Delta_{y}=\frac{d-c}{n}}$. Al trazar rectas paralelas a los ejes coordenados a través de los puntos extremos de las particiones formamos los subrectángulos
$$R_{ij}=[x_{i-1},x_{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]={(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x_{i-1}\leq x\leq
x_{i},y_{j-1}\leq y \leq y_{j}}$$ cada uno con un área igual a $\Delta_{A}=\Delta_{x}\Delta_{y}$. Si elegimos un punto muestra $$(x^{*}_{i},y ^{*} _{j})\in R_{ij}$$, entonces podemos aproximar la parte de S que esta encima de cada $R_{ij}$ mediante una caja rectangular delgada con base $R_{ij}$ y altura $$f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j} )$$

El volumen de la caja es el producto del área de su base por su
altura, por lo tanto una aproximación al volumen de S es:

$$ V\approx\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} f( x^{*}_{i},y ^{*} _{j}) \Delta_{x}\Delta_{y}$$

Con un desarrollo análogo para un conjunto S el sólido que esta
encima de R y encima de la gráfica de f, es decir
$$S={(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}\mid 0\leq f(x,y)\leq z~|~(x,y)\in R}$$

Obtenemos también una aproximación al volumen que se encuentra por debajo de la superficie.
Si consideramos ahora $M_{ij}=sup {f(x_{i},y_{j})}$ y
$m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ con $(x_{i},y_{j})\in
R_{ij}$ podemos deducir que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq V(S)\leq \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}$$
Definición.-Sean f una función (de valores reales) definida y
acotada sobre un rectángulo R contenido en $\mathbb{R}^{n}$ y P una
partición de R. Si $R_{1},R_{2},…,R_{k}$ son los subrectángulos de
R inducidos por la partición P, definimos la suma inferior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\underline{S}(f,p)$
como $$\underline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta
R_{ij}$$ Analogamente definimos la suma superior de f
correspondiente a la partición P denotada por $\overline{S}(f,p)$
como
$$\overline{S}(f,p)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta
R_{ij}$$

Estas sumas tienen una serie de propiedades
Proposición 1: Si P es cualquier partición de R, entonces $$\underline{S}(f,p)\leq\overline{S}(f,p)$$
Demostración: Como $m_{ij}=\acute{i}nf{ f(x_{i},y_{j})}$ y $M_{ij}=sup
{f(x_{i},y_{j})}$ se tiene que $$m_{ij}\leq M_{ij}\Rightarrow
m_{ij}\Delta R_{ij}\leq M_{ij}\Delta
R_{ij}\Rightarrow\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}m_{ij}\Delta R_{ij}\leq
\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}M_{ij}\Delta R_{ij}\Rightarrow
\underline{S}(f,p)\leq \overline{S}(f,p)~\blacksquare$$
Proposición 2: Si $P,Q\in P_{R}$. Si Q refina a P entonces
$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad \overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P)$$
Demostración: Sean $R_{1},…,R_{k}$ los subrectángulos inducidos por
P y $R_{1}^{i},…,R_{k}^{i}$ los subrectángulos inducidos por Q.
Dado que cada $R_{j}^{i}$ está contenido en $R_{i}$, tenemos que
${f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\subset
{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ y por lo tanto
$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$ y
$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$ $\therefore$
$$inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}\times\Delta
R_{ij}$$
$$sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\times\Delta R_{ij}\leq
sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\times\Delta
R_{ij}$$ Si ahora sumamos ambas desigualdades corriendo los índices
i,j se tiene que
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}inf{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}^{j}}$$
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{j}^{i}}\leq\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}sup{f(\overline{x})\mid \overline{x}\in R_{i}}$$
Recordando la definición de suma inferior y suma superior se tiene
que$$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,Q)\quad y\quad
\overline{S}(f,Q)\leq\overline{S}(f,P) ~\blacksquare $$
Proposición 3: Si P y Q son cualesquiera dos particiones del
rectángulo R entonces se cumple $$\underline{S}(f,P)\leq
\overline{S}(f,Q)$$
Demostración: Consideremos la partición $P\bigcup Q$. Esta partición
refina tanto a P como a Q de tal forma que, por la proposición 2 se
tiene $$\underline{S}(f,P)\leq\underline{S}(f,P\bigcup Q)$$ y
también
$$\overline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,Q)$$ Como $$\underline{S}(f,P\bigcup Q)\leq\overline{S}(f,P\bigcup
Q)$$ por la proposición 1, se tiene que
$$\underline{S}(f,P)\leq\overline{S}(f,Q) ~\blacksquare $$
Ejemplo: Estimar el volúmen de la superfície delimitada por el
rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ y la superfície
$f(x,y)=\sin(x+y)$

Vamos a subdividir el rectángulo $[0,\pi]\times[0,\pi]$ como se
muestra en la figura

Tenemos por tanto que $$V\approx
\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}f(x_{i},y_{j})\triangle
A=f(0,0)\triangle A+f(0,\frac{\pi}{2})\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},0)\triangle
A+f(\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\triangle A$$
$$=0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+1\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)+0\times\left(\frac{\pi^{2}}{2}\right)=\frac{\pi^{2}}{2}\approx4.935$$
Definición: Al supremo del conjunto $\underline{S}(f)$ lo
llamamos integral inferior de f sobre R y se puede denotar

$$\underline{\int}R_{f}$$
Y al ínfimo del conjunto $\overline{S}(f)$ lo llamamos integral superior de f sobre R y podemos denotar

$$\overline{\int}R_{f}$$

Definición: Sea
$f:R\subset\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ acotada sobre el
rectángulo R. Decimos que f es integrable según Riemann sobre R si
se tiene que la integral inferior y la integral superior de f sobre
R son iguales. Es decir

$$\underline{\int}R_{f}=\overline{\int}R_{f}$$

En este caso, a este número lo llamaremos la integral de f y lo denotaremos por
$\displaystyle{\int\int_{R_{f}}}$

Ejemplo: Calcular $\displaystyle{\underline{\int}R_{f}}~~y~~\displaystyle{\overline{\int}R_{f}}$ para $f(x,y)=x+4y$ en el rectángulo $R=[0,2]\times[0,1]$

Solución: Tenemos que para $[0,2]$
consideramos una partición $P={x_{0},x_{1},…,x_{n}}$ con
longitud $\displaystyle{\frac{2-0}{2n}=\frac{1}{n}}$

de esta manera se tiene que $\displaystyle{x_{i}=\frac{i}{n}}$ y
$\displaystyle{x_{i-1}=\frac{i-1}{n}}$. Mientras que para $[0,1]$ consideramos una
partición $P={y_{0},y_{1},…,y_{n}}$ con longitud
$\displaystyle{\frac{1-0}{n}=\frac{1}{n}}$ de esta manera se tiene que
$\displaystyle{y_{j}=\frac{j}{n}}$ y $\displaystyle{y_{j-1}=\frac{j-1}{n}}$.

$\therefore$ Para todo rectángulo $R_{ij}$,
$M_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i}+4y_{j}$ y
$m_{ij}=sup{f(x_{i,j})|x_{ij}\in
[x_{i-1},x:{i}]\times[y_{j-1},y_{j}]}=x_{i-1}+4y_{j-1}$
$\therefore$
$$\underline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i-1}+4y_{j-1}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}+4\frac{j-1}{n}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}i+4j-5=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}n(i-5)+4\left(n\left(\frac{n+1}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}(i-5)+2(n+1)=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\sum_{i=1}^{2n}i+2n-3=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\left(2n(2n-3)+\frac{2n(2n+1)}{2})\right)=$$
$$\left(\frac{1}{n}\right)\left(2(2n-3)+2n+1\right)=\left(\frac{1}{n}\right)(4n-6+2n+1)=\left(\frac{1}{n}\right)(6n-5)=6-\frac{5}{n}$$
$\therefore$
$$\underline{\int}R_{f}=\sup\underline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\underline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6-\frac{5}{n}=6$$

Ahora bien para $\displaystyle{\overline{S}R_{f}}$

$\therefore$
$$\overline{S}(f,P)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i}+4y_{j}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)=\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{i}{n}+4\frac{j}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)\left(\frac{1}{n}\right)$$
$$=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{n}\left(i+4j\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\sum_{i=1}^{2n}ni+4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)=\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\left(n\left(\frac{2n(2n+1)}{2}\right)+2n\left(\frac{4n(n+1)}{2}\right)\right)$$
$$=\left(\frac{1}{ n^{3}}\right)(2n^{3}+n^{2}+4n^{3}+4n^{2})=2+\frac{1}{n}+4+\frac{4}{n}=6+\frac{5}{n}$$

$\therefore$
$$\overline{\int}R_{f}=\sup\overline{S}(f,P)=\lim_{n\rightarrow\infty}\overline{S}(f,P)= \lim_{n\rightarrow\infty} 6+\frac{5}{n}=6$$

Volumen

Cuando definimos volumen aceptaremos el hecho de que si se trata de
un cubo de lado a entonces $V(cubo)=a^{3}$ y si se trata de un
cilíndro circular recto de radio r y altura h entonces
$V(cil\acute{i}ndro)=\pi r^{2}h$

Ejemplo.- Volumen de un cono de altura a.

Para esto, dividamos la altura en n partes iguales, cada una de longitud $\displaystyle{\frac{a}{n}}$. Construyamos los n cilindros de altura $\displaystyle{\frac{a}{n}}$ y radio $r_{k}$, k=1,…,n donde $\displaystyle{r_{k}=k\frac{r}{n}}$.

Entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V_{k}=\pi r_{k}^{2}a_{k}=\pi \left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\left(\frac{a}{n}\right)=\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}$$
Por lo tanto el volumen del cono es
$$V\approx \sum_{k=1}^{n}\frac{\pi ar^{2}k^{2}}{n^{3}}=\frac{\pi
ar^{2}}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{\pi
ar^{2}k^{2}}{n^{3}}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)
$$
En consecuencia
$$V=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\pi
ar^{2}}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{3}\pi a r^{2}$$

Ejemplo. Volumen de una esfera

Para esto fijémonos en la mitad de la esfera

El radio del k-ésimo cilindro es
$$r_{k}=\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}$$
es decir
$$r_{k}^{2}=r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}$$
entonces el volumen del k-ésimo cilindro es
$$V=\pi r_{k}^{2}\frac{r}{n}=\pi
\left(r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{2}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{r}{n}=\pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}$$
Es la mitad de la esfera, por lo que
$$V\approx 2\sum_{k=1}^{n} \pi
r^{3}\left(1-\frac{k^{2}}{n^{2}}\right)\frac{1}{n}=2 \pi
r^{3}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}1-\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}\right)$$
$$=2 \pi r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)
$$
Por lo tanto
$$V=\lim_{n\rightarrow\infty}2 \pi
r^{3}\left(1-\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)\right)=\frac{4}{3}\pi r^{3}$$

Ejemplo.- ¿Cual es el volumen del sólido que esta acotado superiormente por un plano e inferiormente por un cilindro?

Para resolver esto, dividimos en triángulos rectángulos

Tenemos que según la figura
$$\left(\frac{l_{k}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{kr}{n}\right)^{2}=r^{2}$$
por lo tanto
$$l_{k}=2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}},~~\overline{PQ}=k\frac{a}{n}$$

se tiene entonces que
$$V_{k}=\left(2\sqrt{r^{2}-\left(k\frac{r}{n}\right)^{2}}\right)\left(\frac{ka}{n}\right)\left(\frac{r}{n}\right)$$
$$V\approx
2r^{2}a\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)$$

$$V=2r^{2}a\lim_{n\rightarrow
\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^{2}}\left(\frac{1}{n}\right)=2r^{2}a\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}dx=\frac{2r^{2}a}{3}$$

Definición: Área

La noción intuitiva de área de una región en el plano es el número
de unidades cuadradas contenidas en la región.

Al definir área aceptaremos que el área $A(S)$ de un conjunto
debe ser un número no negativo con las propiedades siguientes:

1.-Si S es un cuadrado de lado K entonces $A(S)=K^2$

2.-El área del todo es la suma de las áreas de sus partes.
Más precisamente si $S$ consiste de los conjuntos que no se
traslapan $S_{1}$,…,$S_{n}$ de áreas $A(S_{1})$,…,$A(S_{n})$
respectivamente, entonces el área de $S$ es $$A(S)=A(S_{1})+\ldots+A(S_{n}).$$

Los cuadrados congruentes proporcionan la manera más fácil de
cubrir el plano sin espacios vacíos o traslapes. Usaremos la rejilla asociada al sistema coordenado proporcionada por
las rectas $x=0,\pm1,\pm2,…$ e $y=0,\pm1,\pm2,…$ la cual
divide al plano en cuadrados de lado 1.

Denotamos $\displaystyle {A_0^{+}(S)}$ el número de cuadrados que
tienen puntos en común con $S$ y $\displaystyle {A_0^{-}(S)}$ el
número de aquellos que están completamente contenidos en $S$

Dividamos ahora cada cuadrado en 4 partes iguales de lado
$\displaystyle{\frac{1}{2}}$ y área $\displaystyle{\frac{1}{4}}$.
Sea $\displaystyle A_1^{+}(S)$ la cuarta parte del número de
aquellos subcuadrados que tienen puntos en común con $S$ y
$\displaystyle A_1^{-}(S)$ la cuarta parte de aquellos completamente
contenidos en $S$.

Se tiene que $\displaystyle{A_0^{-}(S)\leq\displaystyle A_1^{-}(S)}$ y de modo semejante
$\displaystyle{A_0^{+}(S)\geq A_1^{+}(S)}$, al continuar dividiendo cada cuadrado de lado $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ en 4 cuadrados de lado $\frac{1}{4}$. Un dieciseisavo de esos cuadrados que tienen puntos en común con $S$ y un dieciseisavo de esos cuadrados que estan completamente contenidos en $S$, se denotaran por
$\displaystyle{A_2^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_2^{-}(S)}$. \Procediendo de esta forma se asocian los valores $\displaystyle{A_n^{+}(S)}$ y $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ con una división en cuadrados de lado $2^{n}$. Es evidente que los valores $\displaystyle{ A_n^{+}(S)}$ forman una sucesión monótona decreciente y acotada que converge hacia un valor $\displaystyle{A^{+}(S)}$, mientras que los valores $\displaystyle{A_n^{-}(S)}$ crecen monótonamente y convergen hacia un valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$.
El valor $\displaystyle{A^{-}(S)}$ representa el área interior, lo mejor que
puede aproximarse el área de $S$ desde abajo por medio de cuadrados
congruentes contenidos en $S$, el área exterior $\displaystyle{A^{+}(S)}$
representa la mejor cota superior obtenible cubriendo a $S$ por
medio de cuadrados congruentes. Podemos denotar $\displaystyle{ A_n^{-}=\sum_{ik}
2^{-2n}}$ con $R_{ik}\subset S$, $\displaystyle{A_n^{+}=\sum_{ik}2^{-2n}}$ con $R_{ik}\cap S\neq\emptyset$ a partir de la definición resulta $0\leq\displaystyle {A_n^{-}}\leq\displaystyle{A_n^{+}}$.\ Las sumas $\displaystyle {A_n^{-}}$ forman una sucesión no decreciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{+}}$ así, convergen hacia un limite $A^{-}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} A_n^{-}}$.
De manera semejante Las sumas $\displaystyle{A_n^{+}}$ forman una sucesión no
creciente con la cota superior $\displaystyle{A_1^{-}}$ así, convergen hacia un limite
$A^{+}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}} \displaystyle {A_n^{+}}$.
Si ambos valores concuerdan se dice que $S$ es mesurable según
Jordan y el valor común $\displaystyle{A^{-}(S)=A^{+}(S)}$ se llama contenido, o
medida de Jordan de $S$.

Más generalmente, cualquier rectángulo $S$ con lados paralelos a
los ejes coordenados, $S: a\leq x\leq b,~~~c\leq y\leq d$.

Dado un entero positivo n, se pueden encontrar enteros
$\alpha,~\beta,~\gamma,~\delta$ tales que

$\alpha <a\cdot2^{n}\leq\alpha+1,~~~\gamma<c\cdot2^{n}\leq\gamma+1$

$\beta\leq b\cdot2^{n}<\beta+1~~~~\delta\leq d\cdot2^{n}<\delta+1$

por lo tanto
$\displaystyle{\frac{\alpha}{2^{n}}<a\leq\frac{ \alpha+1}{2^{n}}}$
$\displaystyle{\frac{\gamma}{2^{n}}<c\leq\frac{ \gamma+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}\leq b<\frac{\beta+1}{2^{n}}}$

$\displaystyle{\frac{\delta}{2^{n}}\leq d<\frac{\delta+1}{2^{n}}}$

Usando una rejilla adecuada de longitud $2^{n}$ tenemos que

$\displaystyle{\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq b-a+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq b-a-\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\leq d-c+\frac{2}{2^{n}}}$

$ \displaystyle{ \frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\geq d-c-\frac{2}{2^{n}}}$

Por lo tanto
$$A_{n}^{+}=\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$A_{n}^{-}=\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$

De la desigualdad
$$A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}$$
tenemos que
$$\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A\leq\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
como
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(\frac{\beta+1}{2^{n}}-\frac{\alpha}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta+1}{2^{n}}-\frac{\gamma}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$$\left(\frac{\beta}{2^{n}}-\frac{\alpha+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(\frac{\delta}{2^{n}}-\frac{\gamma+1}{2^{n}}+\frac{2}{2^{n}}\right)\leq\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
entonces
$$\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq A_{n}^{-}\leq A\leq A_{n}^{+}\leq \left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
por lo tanto
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a-\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c-\frac{2}{2^{n}}\right)\leq \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{-}=A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{+}\leq \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b-a+\frac{2}{2^{n}}\right)\left(d-c+\frac{2}{2^{n}}\right)$$
$A=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{+}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle
A_n^{-}=(b-a)(d-c)$.

(Trabajo de titulación asesorado por la Dra. Diana Avella Alaminos)

Introducción

Dado un conjunto podemos considerar colecciones formadas por algunos de sus elementos. Estudiaremos estas colecciones que como veremos son también conjuntos y por ende objetos de estudio de la teoría de conjuntos. En esta nota estudiaremos el concepto de subconjunto y a partir de ello estableceremos cuándo dos conjuntos se considerarán iguales. Se desarrollarán pruebas matemáticas intentando explicar a detalle cómo se realizan. Es conveniente que prestes mucha atención a estas demostraciones ya que a lo largo de tus estudios requerirás realizar y entender muchas pruebas y éstas son una parte esencial en las matemáticas.

Definición.

Dados $A$,$B$ conjuntos, decimos que $A$ es un subconjunto de $B$ si todo elemento de $A$ es un elemento de $B$, es decir si para toda $z$, $z\in A$ implica que $z\in B$.

En este caso decimos que $A$ está contenido en $B$ o que $B$ contiene al conjunto $A$.

Nota que $A$ no está contenido en $B$, si existe al menos un $z$, tal que $z\in A$, pero $z\notin B$.

Notación:

Se escribe: $A\subseteq B$ si $A$ está contenido en $B$.

Se escribe: $A\nsubseteq B$ si $A$ no está contenido en $B$.

Si $A$ está contenido en $B$, pero $B$ no está contenido en $A$, decimos que la contención es propia o que $A$ es un subconjunto propio de $B$ y se denota por $A\subsetneq B$ (en este caso si $z\in A$, entonces $z\in B$, pero existe al menos un $z\in B$ tal que $z\notin A$).

Como se mencionó en la nota previa, los números naturales serán conjuntos y resultarán ser distintos como conjuntos cuando sean distintos como números, ver la sección 5.1, página 207, del libro de Avella y Campero que se menciona en la bibliografía de este curso. Para el siguiente ejemplo consideraremos, como usualmente lo hacemos, que los números $1,2,3$ y $4$ son distintos entre sí.

Ejemplo 1

$\set{1,2,3}\subseteq \set{1,2,3}$ ya que los elementos de $\set{1,2,3}$ son $1,2$ y $3$ y cada uno de ellos es un elemento de $\set{1,2,3}$.

$\set{1,2,3}\subseteq \set{1,2,3,4}$ ya que los elementos de $\set{1,2,3}$ son $1,2$ y $3$ y cada uno de ellos es un elemento de $\set{1,2,3,4}$.

$\set{1,2,3, 4}\nsubseteq \set{1,2,3}$ ya que $4\in \set{1,2,3, 4}$ pero $4\notin \set{1,2,3}$ pues $4$ es distinto de $1,2$ y $3$.

$\set{1,2,3}\subsetneq \set{1,2,3,4}$ ya que $\set{1,2,3}\subseteq \set{1,2,3,4}$ pero $\set{1,2,3, 4}\nsubseteq \set{1,2,3}$.

Así, es correcto decir que $\set{1,2,3}$ es un subconjunto de $\set{1,2,3,4}$, pero también que $\set{1,2,3}$ es un subconjunto propio de $\set{1,2,3,4}$, simplemente en el segundo enunciado estamos siendo un poco más precisos.

Proposición

Sean $A$, $B$, $C$ conjuntos.

1. $A\subseteq A$, es decir, cada conjunto se contiene a sí mismo.
2. Si $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$, se tiene que $A\subseteq C$. Este hecho se conoce como la propiedad transitiva de la contención de conjuntos.
3. $\emptyset\subseteq A$, es decir, el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
   

Fíjate muy bien cómo se hace una prueba. Vamos a partir de una afirmación que consideraremos válida, a la que llamaremos hipótesis, y probaremos su consecuencia mediante razonamientos lógicos usando las definiciones o resultados previos.

Demostración de 1
En este primer caso:
La hipótesis es que $A$ es un conjunto cualquiera.
la consecuencia o lo que queremos demostrar es que $A\subseteq A$.
Demostración:
Como queremos probar que un conjunto es subconjunto de otro, entonces tenemos que verificar que la definición de subconjunto se satisface, recuerda que

$A\subseteq B$ si y sólo si para toda $z$, $z\in A$ implica que $z\in B$,

pero en nuestro caso $B=A$. Así, sea $z\in A$, entonces tenemos que $z\in A$. Por lo tanto tenemos que $A\subseteq A$.

$\square$

Demostración de 2

La hipótesis ahora es que $A,B$ y $C$ son conjuntos, con $A\subseteq B$ y $B\subseteq C$
y lo que se tiene que demostrar es que $A\subseteq C$
Demostración:
Dado que queremos probar que $A\subseteq C$, debemos ver que cualquier elemento en $A$ es también un elemento de $C$. Así, consideremos $z\in A$ y verifiquemos que $z\in C$. Como $A\subseteq B$ y $z\in A$, entonces por la definición de subconjunto $z\in B$, y como $B\subseteq C$, nuevamente por la definición de subconjunto $z\in C$. Con ello hemos verificado que para toda $z$, $z\in A$ implica $z\in C$ lo cual es la definición de que $A\subseteq C$, que es exactamente lo que queríamos demostrar.

$\square$

Demostración de 3

De nuevo la hipótesis es que $A$ es un conjunto cualquiera.
lo que queremos demostrar es que el conjunto vacío es un subconjunto de $A$, i.e. $\emptyset\subseteq A$.
Demostración:
Esta prueba la haremos por un método llamado contradicción, el cual consiste en negar la conclusión a la que queremos llegar, manteniendo las mismas hipótesis, y llegar a una contradicción de los teoremas o axiomas de la teoría que se está construyendo.
Primero neguemos la conclusión:

Existe algún conjunto $A$, tal que $\emptyset\nsubseteq A$.

Después se procede a encontrar la contradicción:

Si esto sucediera, es decir si $\emptyset\nsubseteq A$, entonces existiría al menos un elemento en el conjunto $\emptyset$, que no sería elemento del conjunto $A$, pero eso es dar por hecho que el conjunto $\emptyset$ tiene elementos lo cual está en contradicción con el axioma de conjunto vacío visto en la nota anterior.

La contradicción viene de suponer que existe algún conjunto $A$, tal que $\emptyset\nsubseteq A$, por lo tanto no puede existir dicho subconjunto probando así que $\emptyset\subseteq A$ para todo conjunto $A$.

$\square$

Ahora procederemos a dar dos axiomas más, el primero establece cuándo dos conjuntos serán considerados iguales.

Axioma de extensionalidad

Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Es decir, si $A$ y $B$ son conjuntos:

• $A=B$ significa que $A\subseteq B$ y $B\subseteq A$.
• $A\neq B$ significa que $A\nsubseteq B$ o $B\nsubseteq A$.

Ejemplos

2. Veamos que $\emptyset\neq \{\emptyset\}$.

Notemos que $\emptyset\subseteq \{\emptyset\}$ (ya que por la proposición anterior $\emptyset\subseteq A$ para todo conjunto $A$). Por otro lado recordemos que el conjunto vacío no tiene elementos, así que $A\notin \emptyset$ para todo conjunto $A$, en particular $\emptyset\notin \emptyset$. Tenemos entonces que $\{\emptyset\}\nsubseteq \emptyset$ ya que el único elemento de $\{\emptyset\}$, que es $\emptyset$, no es un elemento del conjunto $\emptyset$.

Así, $\emptyset\subseteq \{\emptyset\}$ pero $\{\emptyset\}\nsubseteq \emptyset$, por lo tanto $\emptyset\neq \{\emptyset\}$. (Intuitivamente podemos imaginar a los conjuntos como cajas y de esa forma $\emptyset$ sería una caja vacía, mientras que $ \{\emptyset\}$ sería una caja que tiene dentro una caja vacía, por lo que tiene sentido considerarlos distintos, ya que la primera caja no tiene nada, mientras que la segunda sí, tiene dentro una caja vacía).

3. Veamos que que $\{\emptyset\}\neq\{\{\emptyset\}\}$.

$\{\emptyset\}\nsubseteq\{\{\emptyset\}\}$ ya que el único elemento de $\{\emptyset\}$, el conjunto $\emptyset$, no es un elemento de $\{\{\emptyset\}\}$, pues el único elemento de $\{\{\emptyset\}\}$ es $\{\emptyset\}$ y como se vio en el ejemplo previo $\emptyset\neq \{\emptyset\}$.

Así, podemos concluir que $\{\emptyset\}\neq\{\{\emptyset\}\}$.

4. Consideremos el conjunto $C$ cuyos elementos son el conjunto vacío, $\emptyset$ y el unitario del vacío, $\{\emptyset\}$, es decir $C=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$. Observamos que:

$\emptyset\in \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ y $\{\emptyset\}\in \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ya que por construcción $\emptyset$ y $\{\emptyset\}$ son los elementos de $C$.

$\emptyset\subseteq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ya que por la proposición previa $\emptyset\subseteq A$ para todo conjunto $A$, en particular $\emptyset\subseteq C$.

$\{\emptyset\}\subseteq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ya que el único elemento de $\{\emptyset\}$, que es $\emptyset$, es también un elemento de $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.

$\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\nsubseteq \{\emptyset\}$ ya que existe un elemento en $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$, el elemento $\{\emptyset\}$, que no es un elemento de $\{\emptyset\}$ (ya que el único elemento en $\{\emptyset\}$ es $\emptyset$ y por el ejemplo anterior $\{\emptyset\}\neq \emptyset$).

$\{\{\emptyset\}\}\subseteq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ ya que el único elemento de $\{\{\emptyset\}\}$, que es $\{\emptyset\}$, es también un elemento de $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.

Notemos que $\{\{\emptyset\}\}\neq\emptyset$ ya que el único elemento de $\{\{\emptyset\}\}$, que es $\{\emptyset\}$, no es un elemento de $\emptyset$ pues el conjunto vacío no tiene elementos. Por otro lado sabemos por el ejemplo 3 que $\{\{\emptyset\}\}\neq\{\emptyset\}$. Así,

$\{\{\emptyset\}\}\notin \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$.

En este último ejemplo notamos que$\{\{\emptyset\}\}\subseteq \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ pero $\{\{\emptyset\}\}\notin \{\emptyset,\{\emptyset\}\}$, haciéndonos ver que las relaciones de pertenencia y de contención no son iguales por lo que debemos ser muy cuidadosos al usar una u otra.

El siguiente nos permite elegir elementos de un conjunto dado que tienen cierta característica en común para formar nuevos conjuntos.

Axioma de separación o de comprensión

Dado $A$ un conjunto y $P$ una propiedad, $\set{\,x\in A\mid\,x\,cumple\,P\,}$ es un conjunto.

Notemos que a diferencia de la colección considerada en la paradoja de Russell dada en la nota anterior, en este caso se considera, no a cualquier objeto con la propiedad $P$, sino a los objetos de algún conjunto que cumplen con la propiedad $P$, es decir partimos de un conjunto y tomamos ahí algunos de sus elementos.

Tarea Moral

1. Considera los conjuntos $B=\{x\in\mathbb{N}\,|\,x \text{ es un número primo}\}$, $C=\{x\in\mathbb{N}\,|\,x \text{ es un número primo y } x>2\}$ y $D=\{x\in\mathbb{N}\,|x\, \text{ es un número impar}\}$.

Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

2. Considera el conjunto $E=\{\emptyset,\{\{\emptyset\}\}\}$, determina si los siguientes objetos son elementos o subconjuntos de $E$:

3. Intenta hacer las pruebas de las proposiciones tú solo.

Más adelante

En la siguiente nota hablaremos del complemento de un conjunto y deduciremos propiedades básicas pero muy importantes asociadas a este concepto.

Entradas Relacionadas

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Nota anterior del curso. Nota 1 Noción de conjunto.

Nota siguiente del curso: Nota 3 El complemento de un conjunto.

Nota. Las imágenes mostradas para ilustrar los conjuntos no fueron de diseño propio, y se da las gracias a: https://www.spanish.cl/ por sus divertidos dibujos. Se deja el link de donde se obtuvieron: https://www.spanish.cl/vocabulario/animales-de-la-granja.htm.