Cálculo Diferencial e Integral II: Motivación de la integral y Sumas de Riemann

Introducción

Como mencionamos un poco en la introducción, la utilidad de la integral es el cálculo del área bajo la curva.

Consideramos como área a la región contenida dentro de una curva, la cual se mide en unidades cuadradas. Entre las propiedades básicas e intuitivas que podemos enumerar sobre el área son: es un número (positivo, dependiendo las unidades); este número es el mismo para figuras congruentes (que tienen las mismas dimensiones y forma, sin importar su posición u orientación); y para una región descompuesta en secciones, el área total es la suma del área de las secciones.

Como consecuencia, si una región A esta contenida en una región B, el área de A no puede exceder el área de B.

Área bajo la curva

El origen analítico de la integral se deriva al asociar áreas con funciones. Supongamos que delimitamos una región, tomamos un intervalos sobre el eje $x$ del plano cartesiano. Este intervalo es acotado por la izquierda y por la derecha mediante funciones constantes sobre el eje $x$ (líneas verticales); tomamos una función que tenga soporte dentro de este intervalo, por poner un ejemplo.

Así pues, nos concentramos en el área delimitada por la función, el intervalo $[a,b]$ y el eje $x$. Este es nuestro problema, a esto es a lo que nos referimos con el área bajo la curva, a la región que se genera delimitada por una función dentro de un intervalo.

Ya definida la sección a la que le queremos calcular el área, hacemos una aproximación mediante la suma de áreas de rectángulos.

Sabemos que el área de un rectángulo es la multiplicación del tamaño de la base por la altura.

Sumas superiores e inferiores

Así que como una aproximación para calcular el área generada por una función en un intervalo es, partir el intervalo y generar rectángulos. A esta acción de de partir el intervalo decimos que generamos una partición, la cual puede tener $n$ puntos o $n$ partes. Cuando los $n$ intervalos generados en la partición son del mismo tamaño decimos que es una partición homogénea; si los intervalos generados de la partición son de diferentes medidas, decimos que es una partición no homogénea. En cada punto de la partición, trazamos una línea perpendicular al eje $x$ hasta la curva.

La función es en verde, la partición está en azul.

De esta forma, el área total sería la suma de las áreas de los rectángulos. Sin embargo, aún no podemos calcular completamente el área dada la curvatura que genera la función, así que para aproximarlo tenemos que definir los puntos para cerrar los rectángulos generados. De esta forma, para aproximar el área, generamos una recta paralela a la base y la subimos hasta el máximo o el mínimo de la función $f(x)$ en ese intervalo, más o menos de esta forma.

Así que su tomamos los mínimos de la función sería el área de los rectángulos con barra superior morada; si tomamos los máximos tomamos la barra superior roja para calcular el área.

Podemos observar que, si hacemos una partición más pequeña o la $n$ de la partición aumenta, vemos que los rectángulos aumentan y se acercan más a la curva que genera la función. A este proceso le llamamos Refinamiento de la partición. Si utilizamos notación, sea $F_n$ la suma de las áreas de los $n$ rectángulos generados por la partición. Si $n$ es cada vez mayor, la suma de $F_n$ tiende a $F_a^b$, que es el área que queremos calcular; esta es la definición de límite.

Veamos lo anterior con notación formal.

Partición

Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $a \leq x \leq b$. Se divide el intervalo en $(n-1)$ puntos, generando la siguiente sucesión $x_1, x_2, …, x_{n-1}$ tal que $x_{i-1}<x_i$, en $n$ celdas de longitudes iguales o diferentes.

Así que la partición $P =\lbrace{a=x_0, x_1, x_2,…, x_{n-1}, x_n=b}\rbrace \quad \text{tal que} \quad \lbrace{a=x_0<x_1<x_2<…<x_{n-1}<x_n=b }\rbrace$

$$x_i – x_{i-1} = \Delta x_i, \quad (i=1,2,…,n)$$

Donde $x_0=a \quad$ y $\quad x_n=b$.

Refinamiento

Sea $P$ una partición. Entonces definimos $Q$ como refinamiento de $P$ si $P \subseteq Q$

Suma inferior

Definición. $m_i = inf \lbrace {f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i} \rbrace, \quad i = 1,…,n$ El ínfimo entre los 2 puntos de la celda generada.

Entonces, aproximamos el área mediante la suma de áreas de rectángulos que se encuentran por debajo de la curva.

Por lo que la suma queda de la siguiente forma:

$$\underline{S} = f(m_1)(x_1 – x_0) + f(m_2)(x_2 – x_1) + . . . + f(m_n)(x_n – x_{n-1}) $$

$$= f(m_1)\Delta x_1 + f(m_2)\Delta x_2 + . . . + f(m_n)\Delta x_n $$

Si usamos la notación de sumatoria.

$$ \underline{S} = \sum_{i=1}^{n} f(m_i)(x_i – x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} f(m_i)\Delta x_i $$

Suma superior

Definición. $M_i = Sup \lbrace {f(x) | x_{i-1} \leq x \leq x_i}\rbrace, \quad i = 1,…,n$ El supremo entre los 2 puntos de la celda generada.

Entonces aproximamos el área mediante la suma de áreas de rectángulos que se encuentran por encima de la curva.

$$\overline{S} = f(M_1)(x_1 – x_0) + f(M_2)(x_2 – x_1) + . . . + f(M_n)(x_n – x_{n-1}) $$

$$= f(M_1)\Delta x_1 + f(M_2)\Delta x_2 + . . . + f(M_n)\Delta x_n $$

Si usamos la notación de sumatoria.

$$ \overline{S} = \sum_{i=1}^{n} f(M_i)(x_i – x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} f(M_i)\Delta x_i $$

Lo que podemos observar de lo anterior es:

$$m_i \leq f(x) \leq M_i, \quad si \quad x_{i-1} \leq x \leq x_i$$

Por lo mismo, podemos encontrar:

$$ \underline{S} \leq I(x) \leq \overline{S} \quad donde \quad I(x) \quad es \quad el \quad valor \quad de \quad la \quad integral$$

Lema

Si $Q$ es refinamiento de $P$

$$\rightarrow \underline{S} (f,P) \leq \underline{S} (f,Q) \quad \text{y} \quad \overline{S} (f,Q) \leq \overline{S} (f,P)$$

Suma con regla del punto medio

Sea $\xi_i$ un punto que se encuentra dentro del intervalo cerrado $[x_{i-1},x_i]$ Con esto generamos la suma correspondiente para la aproximación del área.

$$F_n = f(\xi_1)(x_1 – x_0) + f(\xi_2)(x_2 – x_1) + . . . + f(\xi_n)(x_n – x_{n-1}) $$

$$= f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + . . . + f(\xi_n)\Delta x_n $$

Si usamos la notación de sumatoria.

$$F_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)(x_i – x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i $$

De esta forma, generamos rectángulos con ancho de base dada la partición, y de altura el valor de la función evaluada en el punto dentro del intervalo. Esto nos genera una mejor aproximación al área de la curva.

Intuitivamente, desde un punto de vista geométrico, hemos visto la integral se define como el limite de la suma cuando $n$ tiende a infinito dentro de este intervalo. Pero no es suficiente justificación, por lo tanto consideremos el siguiente teorema.

Teorema de Existencia

Para toda función continua $f(x)$ en un intervalo cerrado $[a,b]$ la integral sobre este intervalo existe como el límite de las sumas $F_n$ descritas arriba (independientemente de la elección de los puntos de subdivisión $x_1, …, x_{n-1}$ y de los puntos intermedios $\xi_1,…\xi_n$ siempre que el máximo de las longitudes $\Delta x_i$ tienda a cero).

Ejemplo

Calculemos la suma superior, la suma inferior y utilizando el punto medio de la siguiente función.

$$Sea \quad f(x) = x+2, \quad 2 \leq x \leq 8$$

Partición con n=6

La partición es homogénea y tiene una longitud de 1.

$$P= \lbrace {(2,3) , (3,4) , (4,5) , (5,6) , (7,8)} \rbrace $$

Entonces, calculemos la suma inferior.

El conjunto de mínimos en las celdas generadas es el siguiente:

$$m= \lbrace {4, 5, 6, 7, 8, 9}\rbrace$$

Desarrollemos la suma inferior

$$\underline{S} = 4\cdot(3-2) + 5 \cdot (4-3) + 6 \cdot (5-4) + 7 \cdot (6-5) + 8 \cdot (7-6) + 9 \cdot (8-7) = 39$$

Ahora, calculemos la suma superior.

El conjunto de máximos en las celdas generadas es el siguiente:

$$M= \lbrace {5, 6, 7, 8, 9, 10}\rbrace$$

Desarrollemos la suma superior

$$\overline{S} = 5 \cdot (3-2) + 6 \cdot (4-3) + 7 \cdot (5-4) + 8 \cdot (6-5) + 9 \cdot (7-6) + 10 \cdot (8-7) = 45$$

Y por último, calculemos la suma utilizando el punto medio.

El conjunto de puntos medios de las celdas generadas es:

$$\xi= \lbrace {4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5}\rbrace$$

Desarrollamos la suma

$$S= 4.5 \cdot (3-2) + 5.5 \cdot (4-3) + 6.5 \cdot (5-4) + 7.5 \cdot (6-5) + 8.5 \cdot (7-6) + 9.5 \cdot (8-7) = 42$$

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