Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de comparación y comparación del limite

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia para las series, el criterio de la divergencia y el criterio de acotación, en esta sección veremos otros dos criterios de convergencia para las series que son los criterios de comparación y el criterio del límite.

Criterio de comparación

Teorema. (Criterio de comparación)

Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ tal que $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ $\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Mientras que si $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

Demostración:

Sea $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ y supón que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge.

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $\left \{ b_{n} \right \}$, y sea $\left \{ t_{n} \right \}$ las sumas parciales de $\left \{ a_{n} \right \}$.

Por demostrar que $\left \{ t_{n} \right \}$ esta acotada.

Observemos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces $\left \{ S_{n} \right \}$ esta acotada por el criterio de acotación, por lo que, $\exists \space M \space \epsilon \space \mathbb{R}$ tal que $|S_{n}| \space \leq M \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$.

Pero $a_{i}\leq b_{i} \space \forall \space i \space\epsilon \space \mathbb{N}$.

$$\Rightarrow a_{1}+a_{2}+….+a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+….+b_{m}$$

$$\Rightarrow t_{n} \leq S_{n}\leq M$$

$$\Rightarrow t_{n}\leq M \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} $$

Por lo cual $t_{n}$ está acotado, nuevamente, por el criterio de acotación como $t_{n}$ está acotado, entonces $a_{n}$ también lo está.

$\therefore \left \{ t_{n} \right \}$ esta acotado $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.

Ahora la demostración de sí $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge entonces $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge, lo podemos demostrar por contradicción:

Por hipótesis $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge, pero supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ converge, entonces por lo que acabamos de ver, $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, lo cual con lleva a una contradicción, ya que $\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}$ diverge.

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}$ diverge.

$\square$

Los que nos dice este teorema es que podemos acotar una serie $ \left \{ a_{n} \right \} $ por otra serie $\left \{ b_{n} \right \}$ y conocer su convergencia o divergencia, para posteriormente, saber la convergencia o divergencia de la serie $ \left \{ a_{n} \right \} $.

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n}$$

Sabemos que para $n >2: \space \space \sqrt[n]{n}<\sqrt{n} \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Pero sabemos que $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n}$ diverge, por el criterio de comparación, entonces se tiene que $\sqrt[n]{n}$ diverge.

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} \space \space diverge$$

Ahora veamos el criterio de comparación del límite.

Criterio de comparación del límite

Teorema. (Comparación del límite)

Sea $a_{n}>0$ y $b_{n}>0$ tal que:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=C$$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge.

En caso contrario:

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge $\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ diverge.

Demostración:

$\Leftarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge, tratemos de acotar $a_{n}$ por algo convergente.

Observemos que: $a_{n}>0$ y $b_{n}>0 \Rightarrow \frac{a_{n}}{b_{n}}>0 \Rightarrow C > 0$, tomamos $\varepsilon = C$.

Como $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=C$, por definición del limite se tiene que:

$\exists \space k \space\epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $n\geq k$ entonces:

$$\bigg{|}\frac{a_{n}}{b_{n}}-C \bigg{|}<\epsilon =C$$

$$\Rightarrow -C<\frac{a_{n}}{b_{n}}-C<C$$

$$\Rightarrow 0<\frac{a_{n}}{b_{n}} < 2C$$

$$\Rightarrow a_{n}<2 \space C \space b_{n}$$

Pero por hipótesis tenemos que:

$\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2b_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}$ converge.

ya que, por la propiedades de las series:

$$ \sum_{n=1}^{\infty}2Cb_{n}=2C\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space y \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge $$

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space \space converge.$$

Ahora demostremos el de ida:

$\Rightarrow \lrcorner$

Supón que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge, consideremos $\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{1}{C}$, como:

$$C>0 \Rightarrow \frac{1}{C}>0$$

Tomemos $\epsilon =\frac{1}{C}$. Por definición del límite $\exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\forall \space n \geq N \Rightarrow \bigg{|}\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}\bigg{|}< \epsilon =\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow -\frac{1}{C}<\frac{b_{n}}{a_{n}}-\frac{1}{C}<\frac{1}{C}$$

$$\Rightarrow 0<\frac{b_{n}}{a_{n}}< \frac{2}{C}$$

$\Rightarrow b_{n}<\frac{2}{C}a_{n}$ por lo que acotamos $b_{n}$, así:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}2a_{n}$ converge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{C}a_{n}$ converge.

$$\therefore \space Por \space el \space criterio \space de \space comparación \space \space \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} \space \space converge.$$

La demostración para el caso cuando divergen es muy similar a la demostración anterior, solo cambiamos la desigualdad en la definición del límite y aplicamos nuevamente el criterio de comparación.

$\square$

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b}$$

Donde $a$ y $b$ son constantes y $ a\neq 0 $.

Sea $\left \{ b_{n} \right \}=\frac{1}{a\sqrt{n}+b}$, tomemos a la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ entonces tomando el límite tenemos que:

$$ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{a\sqrt{n}+b}}=\lim_{n \to \infty}\frac{a\sqrt{n}+b}{\sqrt{n}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}(a+\frac{b}{\sqrt{n}})= a$$

Con $a\neq 0$

Pero como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge, por el criterio de comparación del límite:

$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a\sqrt{n}+b} \space diverge $$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{ln(n)}{n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{5n-1}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{5}}}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}-1}$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos criterios más de convergencia, el criterio de comparación, el cual se acota una sucesión con otra sucesión para estudiar si diverge o no converge la sucesión que está acotando, lo cual nos dice la convergencia o divergencia de la sucesión que está acotada; y el criterio de comparación del límite que nos dice que si la división entre dos sucesiones positivas, da como resultado una constante entonces las sucesiones convergen o divergen. En la siguiente sección veremos el criterio de la raíz y el criterio de la razón.

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