Cálculo Diferencial e Integral II: Propiedades Básicas de la Integral Definida.

Introducción

Para poder extender las propiedades de la integral debemos partir de la construcción que generemos para definir la integral, como el límite de la suma:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} \sum \limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i$$

Donde el intervalo $[a,b]$ es cortado en subintervalos de longitud $\Delta x_i$, el número $\xi_i$ es cualquier valor en el i-ésimo subintervalo y los $\Delta x_i$ tienden a cero cuando $n \rightarrow \infty$

I. Aditividad

Sea $c$ cualquier valor entre $[a,b]$, entonces.

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

Consideremos una partición $P$ tal que un punto de la partición es igual a $c$. Es decir, $P$ es partición del intervalo $[a,b]$, con $n$ subintervalos y en el k-ésimo intervalo tiene la propiedad qué $x_k=c$. De esta forma, podemos partir la partición $P$ original en 2.

$$P = P_1 \ + \ P_2$$

En donde:

$$P_1 = \{a=x_0, x_1, … , x_k=c\}$$

$$ P_1 = \{c={x_k}, x_{k+1}, … , x_n=b\}$$

Por lo tanto, con lo que hemos visto en la unidad «Motivación de la Integral y Sumas de Riemann», replicamos el proceso con ambas particiones. Como tarea moral queda en replicar en detalle la suma.

En términos generales quedarían de la siguientes sumas.

$$\overline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) $$

$$\underline{S} (f,P) = \underline{S} (f,P_1) \ + \ \underline{S} (f,P_2) $$

Y si restamos ambas sumas, obtendríamos algo de la siguiente manera.

$$ \overline{S} (f,P) \ – \ \underline{S} (f,P) = \overline{S} (f,P_1) \ + \ \overline{S} (f,P_2) \ – \ \underline{S} (f,P_1) \ – \ \underline{S} (f,P_2) \ < \ \epsilon $$

Y como la resta de las sumas es menor a $\epsilon$

Hasta ahora hemos visto cuando siempre se cumple la condición de $a<b$, vemos otros casos.

a) a=b

Estamos intentando integrar una función de un punto, al mismo punto. Si tomamos la definición de sumar áreas, no hay forma de generar alguna figura geométrica que tenga un área contenida, el área sería cero.

$$ \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Si tomamos la propiedad de la adición, podemos descomponerlo de la siguiente forma.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{a} f(x) \ dx \ = 0$$

Por lo que podemos encontrar el siguiente caso:

b) c<a

Con esto podemos definir $ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx $ para $c<a$ por la fórmula

$$ \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \ – \ \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx $$

Observación:

Si la propiedad b la ocupamos para la propiedad a, podemos ver lo siguiente.

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{a} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx ~ – \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ = 0$$

La propiedad b la ocupamos en el ejercicio de la sección anterior porque se necesitaba calcular el área de una sección que se encontraba en el cuarto cuadrante del plano cartesiano, pero esto por la condición del área que debe ser positiva, ¿Qué pasa si una función sigue en el primer cuadrante pero el intervalo es de la forma anterior? Porque, a fin de cuentas, si el valor de la integral es positivo, tiene un signo negativo multiplicando el resultado de la integral y da negativo.

Aquí necesitamos entender que importa en que dirección se construye la gráfica de la función.

Si al momento de graficar la función, el movimiento desde el límite inferior hacía el límite superior es decreciente sobre los valores de las $x’s$, la integral se considerará negativa.

En otras palabras, la integral será negativa si al momento de recorrer el intervalo que se nos da, los valores van decreciendo.

Por ejemplo, si el intervalo es $[5,1]$, la forma en que se recorría al momento de graficar sería del 5 al 1, (5,4,3,a2,1); es un comportamiento decreciente y, si la función es positiva, la integral será negativa.

II. Integral de una suma

Sean $f(x) \ \&\ \ g(x)$ dos funciones integrables, entonces:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

Demostración:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i ] \ + \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$\ = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \ \Delta x_i \ + \ \sum_{i=1}^{n} g(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \lim_{n \to \infty} \{ \sum_{i=1}^{n} [f(\xi_i) \ \ + \ g(\xi_i)] \ \Delta x_i \} $$

$$= \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx$$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ + \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ + \ g(x)] \ dx ~ ~ \blacksquare$$

Podemos hacer el caso análogo cuando tenemos una diferencia de funciones.

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx \ – \ \int \limits_{a}^{b} g(x) \ dx = \int \limits_{a}^{b} [f(x) \ – \ g(x)] \ dx $$

III. Producto con una constante

Sea $f(x)$ una función integrable y $\alpha$ una cualquier constante real, entonces:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

Demostración:

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \alpha \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \lim_{n \to \infty} [\alpha \ \sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] $$

$$= \alpha \ \lim_{n \to \infty} [\sum_{i=1}^{n} \ f(\xi_i) \ \Delta x_i ] = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx $$

$$\therefore \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx = \alpha \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx ~ \blacksquare$$

IV. Linealidad

Sea $f(x)$ y $g(x)$, par de funciones integrables y sea $\alpha$ y $\beta$ cualesquiera números reales, por lo que se tiene:

$$\int \limits_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] ~ dx = \alpha \int \limits_a^b f(x) ~ dx ~ + ~ \beta \int \limits_a^b g(x) ~ dx $$

Tarea Moral

a) Demuestre la integral de la resta planteada en el inciso B.

b) Demuestra la siguiente propiedad.

$$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx \ + \int \limits_{a}^{b} \alpha \ g(x) \ dx \ = \ \int \limits_{a}^{b} \alpha [f(x) \ + \ g(x)] \ dx $$

c) Demuestra la propiedad de linealidad.

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