Cálculo Diferencial e Integral I: Sucesiones de Cauchy

Por Juan Manuel Naranjo Jurado

Introducción

En las entradas anteriores vimos las propiedades de una sucesión convergente para lo cual era necesario conocer su límite. En esta ocasión estudiaremos a las sucesiones de Cauchy, éstas cumplen una propiedad particular: dado un valor positivo arbitrario, existe un momento a partir del cual la distancia entre dos términos cualesquiera de la sucesión es menor al valor arbitrario establecido. Además, probaremos la relación entre este tipo de sucesiones y las sucesiones convergentes.

Sucesiones de Cauchy

La definición formal de sucesión de Cauchy se da a continuación.

Definición. Se dice que una sucesión $\{a_n\}$ de números reales es una sucesión de Cauchy si para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $k$ tal que para todos los números naturales $n$, $m \geq k$ se satisface que $|a_n – a_m| < \varepsilon.$

En esta entrada demostraremos la equivalencia entre que una sucesión sea de Cauchy y que sea convergente. La gran ventaja que presenta el concepto de sucesión de Cauchy es que podremos probar que una sucesión converge sin necesidad de conocer su límite, puesto que la definición no hace uso de él. Pero antes de probarlo, veremos un par de ejemplos para familiarizarnos con la definición.

Ejemplo 1. La sucesión $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$.

Tomemos $k > \frac{2}{\varepsilon}$. Si $n$, $m > k$, entonces $\frac{1}{n} < \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Análogamente se tiene que $\frac{1}{m} < \frac{\varepsilon}{2}.$

Por lo anterior, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
\left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert & \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore \left\lvert \frac{1}{n}-\frac{1}{m} \right\rvert < \varepsilon.$$

Se concluye que $\{\frac{1}{n}\}$ es una sucesión de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 2. Prueba que la sucesión $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0.$ Consideremos $k \in \mathbb{N}$ tal que $k > \frac{2}{\varepsilon}$, y por tanto $ \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2}$. Además, si $n$, $m > k$, entonces se sigue que

\begin{align*}
\left| \frac{n}{n+1} – \frac{m}{m+1} \right| & = \left| \frac{nm+n-nm-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& = \left| \frac{n-m}{(n+1)(m+1)} \right| \\ \\
& \leq \left| \frac{n-m}{nm} \right| , \text{ pues } (n+1)(m+1) > nm \\ \\
& = \left| \frac{n}{nm} – \frac{m}{nm} \right| \\ \\
& = \left| \frac{1}{m} – \frac{1}{n} \right| \\ \\
& \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \\ \\
& < \frac{1}{k} + \frac{1}{k}, \text{ pues } n,m > k \\ \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}, \text{ pues } \frac{1}{k} < \frac{\varepsilon}{2} \\ \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

Por tanto, $\{ \frac{n}{n+1} \}$ es de Cauchy.

$\square$

Ejemplo 3. Demuestra que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.

Demostración.

Debemos probar que existe $\varepsilon > 0$ tal que para todo $k \in \mathbb{N}$, existe al menos un $n > k$ y al menos un $m > k$, tales que $|a_n-a_m| \geq \varepsilon$.

Notemos que la sucesión toma el valor $1$ cuando $n$ es par y $-1$ cuando $n$ es impar. Así, consideremos $\varepsilon = 2$ y sea $k \in \mathbb{N}$. Tomemos cualquier número par $n$ tal que $n > k$ y sea $m = n+1$, $m$ impar. Entonces se tiene que

$$|a_n-a_m| = |1-(-1)| = 2 = \varepsilon.$$

Por tanto, se puede concluir que $\{(-1)^n\}$ no es de Cauchy.

$\square$

Proposición. Si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

Demostración.

Sea $\varepsilon > 0$. Como $\{a_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_1$ tal que si $n$, $m > k_1$, se tiene que $$|a_n-a_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Como $\{b_n\}$ es de Cauchy, para $\frac{\varepsilon}{2} > 0$ existe $k_2$ tal que si $n$, $m > k_2$, se tiene que $$|b_n-b_m| < \frac{\varepsilon}{2}.$$

Consideremos $k = max\{k_1, k_2 \}$, si $n$, $m > k$, entonces

\begin{align*}
|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| & = |(a_n-a_m)+(b_n-b_m)| \\
& \leq |a_n-a_m| + |b_n-b_m| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |(a_n+b_n)-(a_m+b_m)| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, la sucesión $\{a_n+b_n\}$ también es de Cauchy.

$\square$

Una de las propiedades naturales de las sucesiones de Cauchy es que son sucesiones acotadas; esto derivado directamente de la definición donde debe existir un punto $k$ a partir de donde cualesquiera dos términos deben distar menos de $\varepsilon$. A continuación demostraremos tal propiedad.

Proposición. Toda sucesión de Cauchy está acotada.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Entonces para $\varepsilon = 1$, existe $k \in \mathbb{N}$ tal que para $n \geq k$, se tiene que $|a_n – a_k| < \varepsilon = 1$. De la desigualdad del triángulo se tiene que

\begin{gather*}
& |a_n|-|a_k| \leq |a_n-a_k| < 1. \\
\Rightarrow & |a_n| \leq 1 + |a_k|.
\end{gather*}

Notemos que $1+|a_k|$ es una cota para los términos subsecuentes de $a_k$. Para extender la cota a los primeros $k-1$ términos, consideremos $M = max\{ |a_1|, |a_2|, \ldots, |a_{k-1}|, 1+|a_k|\}$. De esta forma, para todo $n \in \mathbb{N}$ se tiene que $|a_n| < M$. Por tanto, la sucesión está acotada.

$\square$

Es importante resaltar que no es equivalente que una sucesión sea de Cauchy a que cumpla que la distancia entre dos términos consecutivos sea cada vez menor, y lo veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4. Sea $\{a_n\}$ tal que $a_n = \sqrt{n}$. Prueba que la sucesión $\{a_n\}$ satisface que

$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = 0.$$

Pero que no es una sucesión de Cauchy.

Demostración.

Notemos que

\begin{align*}
|a_{n+1}-a_n| & = \left\lvert \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right\rvert \\ \\
& = \left( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right) \cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\
& = \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ \\ & = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}.
\end{align*}

Por lo anterior, se sigue que
$$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0.$$

Por otro lado, se tiene que la sucesión $\{a_n\}$ no está acotada, por lo cual no puede ser una sucesión de Cauchy.

$\square$

Relación entre sucesiones convergentes y de Cauchy

Como se menciona anteriormente, dentro de los números reales, que una sucesión sea de Cauchy es equivalente a que sea convergente y a este hecho se le suele llamar Completitud de $\mathbb{R}$. Este tema se estudiará en cursos más avanzados, pero de forma intuitiva, que $\mathbb{R}$ sea completo quiere decir que «no deja huecos en la recta numérica». Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real.

Teorema. Si $\{a_n\}$ es una sucesión convergente de números reales, entonces es de Cauchy.

Demostración

Sea $\varepsilon > 0$. Dado que $\{a_n\}$ es convergente, digamos a $L$, entonces para $\frac{\varepsilon}{2}$ existe un número $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que si $n \geq n_0$ se satisface que $|a_n – L | < \frac{\varepsilon}{2}.$

Consideremos $k = n_0$. Si $n$, $m \geq k$, entonces

\begin{align*}
|a_n-a_m| & = |a_n-L+L-a_m| \\
& \leq|a_n-L| + |L-a_m| \\
& = |a_n-L| + |a_m – L| \\
& < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_n-a_m| < \varepsilon.$$

Por lo tanto, $\{a_n\}$ es de Cauchy.

$\square$

Teorema. Toda sucesión de Cauchy es convergente.

Demostración.

Sea $\{a_n\}$ una sucesión de Cauchy. Por la proposición revisada anteriormente, $\{a_n\}$ está acotada. Además, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión $\{a_{n_r}\}$ convergente y llamemos $L$ al límite de tal subsucesión. Probaremos que $\{a_n\}$ también converge a $L$.

Sea $\varepsilon > 0$. Como la sucesión $\{a_n\}$ es de Cauchy, entonces existe $k \in \mathbb{N}$ tal que
$$|a_n-a_m| < \varepsilon \quad \forall n,m \geq k. \tag{1}$$

Por otro lado, como $\{a_{n_r} \}$ converge a $L$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que

$$|a_{n_l} – L| < \varepsilon \quad \forall n_l \geq n_0. \tag{2}$$

Consideremos $M = max\{k, n_0\}$. Si $s \geq M \geq n_0$, entonces se cumple $(2)$ y además sabemos que $n_s \geq s \geq M \geq k$, pues $n_l$ es una sucesión creciente de números naturales. Por tanto, también se cumple $(1)$. De esto se sigue que

\begin{align*}
|a_s-L|& = |a_s-a_{n_s}+a_{n_s}-L| \\
& \leq |a_s-a_{n_s}|+|a_{n_s}-L| \\
& \leq \frac{\varepsilon}{2} +\frac{\varepsilon}{2} \\
& = \varepsilon.
\end{align*}

$$\therefore |a_s-L| < \varepsilon \quad \forall s \geq M.$$

Se concluye que $\{a_n\}$ es convergente.

$\square$

Más adelante…

Uno de los números más famosos en matemáticas y que probablemente has escuchado hablar de él es el número de Euler: $e$. En la siguiente entrada estudiaremos este número a través de sucesiones y probaremos algunas de sus propiedades.

Tarea moral

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  • Da un ejemplo de una sucesión de Cauchy.
  • Da un ejemplo de una sucesión acotada que no sea una sucesión de Cauchy.
  • Prueba mediante la definición que la sucesión $\{ \frac{n+1}{n} \}$ es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que la sucesión $\{ (-1)^n \}$ no es de Cauchy.
  • Demuestra mediante la definición que si $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ son sucesiones de Cauchy, entonces la sucesión $\{a_n \cdot b_n\}$ también es de Cauchy.

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Agradecimientos

Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522 «Hacia una modalidad a distancia de la Licenciatura en Matemáticas de la FC-UNAM – Etapa 2»

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