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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz

Por Miguel Ángel Rodríguez García

2 respuestas

Introducción

En la sección anterior vimos dos criterios de convergencia: el criterio de comparación y el criterio de comparación del límite, en esta sección veremos el criterio de la prueba del cociente o de la razón, y el criterio de la raíz, comencemos enunciando el teorema del criterio de la razón.

Criterio de la razón

Teorema. (Prueba de la razón o del cociente)

Sea $\left \{a_{n} \right \}$ una sucesión positiva y supón que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $r<1$, diverge si $r>1$ y si $r=1$ no es concluyente.

Demostración:

Observemos que:

$$a_{n}>0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>0 \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N} \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r \geq 0$$

Para demostrar este teorema, dividamos por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $0\leq r < 1$, entonces:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r < S < 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall \space n \space \geq k \space \Rightarrow \bigg{|}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}<S \space \Rightarrow a_{n+1} <S a_{n}$$

En particular:

$$a_{k+1}<S a_{k} \space \space y \space \space a_{k+2}<S a_{k+1}<S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

Por tanto:

$$a_{k+2}<S^{2} a_{k} \Rightarrow a_{k+3}<S a_{k+2 }<S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera hasta $n$, se tiene que:

$$a_{n}=a_{k+m}<S^{m} a_{k}$$

Por otro lado, como $S<1$, entonces la siguiente serie:

$$\sum_{m=1}^{\infty}S^{m} \space \space con \space m \geq 1$$

Es una serie geométrica, por tanto:

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}$ converge $\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}S^{m}a_{k}$ converge

$\Rightarrow \sum_{m=1}^{\infty}a_{k+m}$ converge.

Por el criterio de comparación, así $\sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ converge,

$$\therefore \sum_{n}^{\infty}a_{n} \space converge$$

  • Caso $2)$: Si $r>1$

Vemos que:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r$$

Podemos escoger un número $S$ tal que $r >S > 1 \space \Rightarrow \exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$

Tal que:

$$\forall n\geq k \space \space \bigg{|} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg{|}>S \Rightarrow \forall \space n \geq k \space \Rightarrow a_{n+1}>S a_{n}$$

Se tiene que para:

$$a_{k+1}>S a_{k}$$

$$a_{k+2}>S a_{k+1}>S(S a_{k})=S^{2} a_{k}$$

$$a_{k+3}>S a_{k+2}>S(S^{2} a_{k})=S^{3} a_{k}$$

Continuando de esta manera, $\forall \space n\geq k$, entonces:

$$a_{k+n}>S^{n} a_{k}$$

$\sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ es una serie geométrica con $|S|>1$

$\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}S^{n}a_{k}$ diverge $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_{k+n}$ diverge

$\Rightarrow \sum_{n=k+1}^{\infty}a_{n}$ diverge

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} \space diverge$$

$\square$

  • Caso $3)$: Para este caso solo hay que dar un ejemplo, veamos:

Tomemos siguientes las series:

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \space \space y \space \space \sum_{i=1}^{\infty}1$$

Es fácil ver que la segunda serie diverge cuando $n \to \infty$, para la primera serie, tenemos que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n^2})^2}=1$$

Lo cual sabemos que esta serie converge.

Por lo que para $r=1$ no hay conclusión de la convergencia de la serie.

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

Usamos el criterio de la razón, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}=\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n+1)n!}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}=0<1$$

Por tanto, por el criterio de la razón:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!} \space converge$$

Ahora veamos el criterio de la raíz.

Criterio de la raíz

Teorema. (Criterio de la raíz)

Sea $\left \{ a_{n}\right \}$ una sucesión con $a_{n}\geq 0 \space \space \forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=L$$

Entonces $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ converge si $L<1$ y diverge si $L>1$.

Demostración:

Divimos esta demostración por casos:

  • $1): L<1$

Supongamos que $L<1$, observamos que $L \geq0$, tomamos $r$ tal que $L<r<1$, por definición del limite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}<r$$

$$\Rightarrow a_{n}<r^{n}$$

Pero:

$\sum_{n=k}^{\infty }r^{n}$ converge ya que $r<1$ y es una serie geométrica, por el criterio de comparación.

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \space converge$$

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space converge$$

  • $2): L>1$

Ahora, supongamos que $L>1$, toma $r$ tal que $1<r<L$, por definición del límite:

$$\exists \space k \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

Tal que:

$$\forall \space n\geq k \Rightarrow \space \sqrt[n]{a_{n}}>r$$

$$\Rightarrow a_{n}>r^{n}$$

Pero $1<r$, por consiguiente por el criterio de las series geométricas:

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty }r^{n} \space diverge \space \Rightarrow \sum_{n=r}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

Por el criterio de comparación:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} \space diverge$$

$\square$

Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}$$

Apliquemos el criterio de la raíz, tomamos el límite de la sucesión como:

$$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}}=\lim_{n \to \infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}}=\frac{1}{e}<1$$

Por tanto, por el criterio de la raíz:

$$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(1+\frac{1}{n})^{2n}}{e^{n}} \space converge$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

  1. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9^{n}}{2^{n+1}n}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty }(\frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{10}})^{n}$$
  3. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{n!n!}$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{1+n} \right )^{n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{2n+3}{3n+2} \right )^{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos otros dos criterios más de convergencia que son el criterio de la razón en el cual el valor del límite de la división entre la sucesión $a_{n+1}$ y $a_{n}$ nos dice si la serie es convergente o divergente, y el criterio de la raíz que dependiente del valor se toma del límite de la raíz n-esima de la sucesión nos dice si la sucesión es convergente o divergente. En la siguiente sección veremos otro criterio de convergencia, que es el criterio de la integral.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la divergencia y de acotación

Por Miguel Ángel Rodríguez García

3 respuestas

En la sección anterior vimos unas series especiales llamadas series geométricas, donde, dependiendo del valor de $r$ la serie converge o diverge, además, vimos algunas propiedades de las series, lo cual usaremos en adelante. En esta sección veremos algunos teoremas sobre los criterios de divergencia o convergencia de series. Comencemos con anunciando el teorema del criterio de Cauchy.

Criterios de convergencia

Teorema. (Criterio de Cauchy)

La sucesión $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable (convergente) si y solo si $\forall \space m, \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$

$$\lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+a_{m+2}+….+a_{n})=0$$

Para $n>m \geq N$

Demostración:

Utilizando el criterio de Cauchy para sucesiones, como $\left \{a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n}$ converge $\Leftrightarrow \forall \space \epsilon >0, \space \exists \space N \space \epsilon \space \mathbb{N}$ tal que si $m, \space n \geq N \Rightarrow |S_{n}-S_{m}|<\varepsilon$

$$\Leftrightarrow |(a_{1}+a_{2}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|<\varepsilon$$

Como $n>m$, entonces:

$$ =|(a_{1}+a_{2}+….+a_{m}+a_{m+1}+….+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{m})|\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}|<\varepsilon$$

$\forall \space n>m$

En particular:

$$\Leftrightarrow |a_{m+1}+….+a_{n}-0|<\varepsilon \Leftrightarrow \lim_{m, n \to \infty}(a_{m+1}+….+a_{n})=0$$

Por tanto, la serie $a_{n}$ es convergente.

$\square$

Teorema. Si la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, entonces $\lim_{n \to \infty}a_{n}=0$.

Demostración:

Puesto que la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente, la sucesión $\left \{ a_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n}$ converge a un numero $L$.

$$\Rightarrow \lim_{n \to \infty}S_{n+1}=L$$

Pero: $$\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\lim_{n \to \infty}\left [ (a_{1}+a_{2}+….+a_{n+1})-(a_{1}+a_{2}+….+a_{n}) \right ]=\lim_{n \to \infty}(S_{n+1}-S_{n})$$

$$\lim_{n \to \infty}(S_{n+1})-\lim_{n \to \infty}(S_{n})=L-L=0$$

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n+1}=0$$

Como $a_{n+1}$ converge, entonces también lo hace $a_{n}$.

$$\therefore \lim_{n \to \infty}a_{n} =0$$

$\square$

Nota: En general, el inverso de este teorema no es valido, si $lim_{n \to \infty}a_{n}=0$ no se puede concluir que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es convergente.

Criterio de la divergencia

Teorema. (La prueba o criterio de la divergencia):

Si $\lim_{n \to \infty}a_{n}$ no existe o si $\lim_{n \to \infty}a_{n}\neq 0$ entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ diverge.

La demostración se infiere del teorema anterior porque si la serie no es divergente, entonces es convergente y, por tanto, $\lim_{n \to \infty}a_{n}= 0$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

  • $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{4n+1}$$

Tomando el límite, obtenemos lo siguiente:

$$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{4+\frac{1}{n}}=\frac{1}{4}\neq 0$$

Por el criterio de la divergencia:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{4n+1} \space diverge$$

  • $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2n!+1}$$

Tomamos el límite y multiplicamos por el factor $\frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{n!}}$, por lo que se tiene que:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2n!+1}=\lim_{n \to \infty } \frac{\frac{n!}{n!}}{2\frac{n!}{n!}+\frac{1}{n!}}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2+\frac{1}{n!}}=\frac{1}{2}\neq 0$$

$$\therefore \sum_{i=1}^{\infty}\frac{n!}{2n!+1} \space diverge$$

Existe otro criterio de convergencia llamado el criterio de acotación

Series con términos no negativos

Teorema. (Criterio de acotación)

Una sucesión no negativa $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable, $\Leftrightarrow$ sus sumas parciales $\left \{S_{n} \right \}$ está acotada.

Demostración:

$\Rightarrow \lrcorner $

Si $\left \{ a_{n} \right \}$ es sumable $\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty } S_{n}=L$ converge por el teorema visto anteriormente.

Habiamos visto en cálculo 1 que si, converge $S_{n}$ $\Rightarrow S_{n}$ esta acotada.

$\Leftarrow \lrcorner$

Supongamos que $\left \{ S_{n} \right \}$ está acotado, observemos que:

$$S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1} \geq S_{n}$$

Ya que:

$$a_{n+1}\geq 0$$

$$\Rightarrow S_{n} \leq S_{n+1} \space\forall \space n \space \epsilon \space \mathbb{N}$$

$\therefore S_{n}$ es creciente y además, está acotado por hipótesis, por cálculo I, si una sucesión es creciente y acotada, entonces se tiene que:

$\Rightarrow \left \{ S_{n} \right \}$ es convergente $\Rightarrow \left \{ a_{n} \right \}$ es sumable.

$\square$

Teorema. Sea $k \space \epsilon \space \mathbb{N}$ fijo. La serie$\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$ converge$\space \Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty } a_{n}$ converge.

Demostración:

Como la serie converge por hipótesis, entonces:

$$\sum_{n=k}^{\infty }a_{n} \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$a_{0}+a_{1}+…+a_{k-1}+\lim_{k \to \infty }(a_{k}+a_{k+1}+…+a_{n}) \Leftrightarrow$$

$$\lim_{n \to \infty }(a_{0}+a_{1}+…+a_{k}+a_{k+1}+…a_{n}) \space \space converge$$

$$\Leftrightarrow \sum_{n=0}^{\infty }a_{n} \space \space converge$$

$\square$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

A continuación hay algunos ejercicios para que practiques los conceptos vistos en esta entrada. Te será de mucha utilidad intentarlos para entender más la teoría vista.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$$
  2. $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{5n^{2}+4}$$
  3. $$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{-n}{2n+5}$$
  4. $$\sum_{n=0}^{\infty}e^{-2n}$$
  5. $$\sum_{n=1}^{\infty}ln\left ( \frac{1}{n} \right )$$

Más adelante…

En esta sección vimos dos teoremas importantes de criterios de convergencia, el criterio de la divergencia, en el cual nos dice que si el límite de la sucesión es diferente de cero o no existe, entonces la serie diverge, y el criterio de acotación que nos dice la reciprocidad entre una sucesión convergente y la acotación de sus sumas parciales. En la siguiente sección veremos otros dos criterios de acotación, el criterio de comparación y comparación del límite.

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