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Cálculo Diferencial e Integral II: La integral como función del límite superior, integral indefinida.

Por Moisés Morales Déciga

Introducción:

Integral Indefinida

En la unidad anterior, el valor de la integral depende del intervalo de integración o, de forma análoga, de los límites de integración $[a,b]$.

Ahora, consideremos el límite inferior como un número fijo $\alpha$, que no es un número particular, es decir, que puede ser cualquiera. Y el límite superior será una variable denotada con $x$. Teniendo la siguiente notación.

$$ \phi (x) =\int \limits_{\alpha}^{x} f(u) ~ du.$$

Así que la función $\phi(x)$ se denomina como una la integral indefinida de la función $f(x)$.

De forma que la función $\phi(x)$, es una función que depende de $x$.

Anteriormente solo se concebía la integral como un número. Ahora podemos mostrar que la integral, es una función que depende de una variable independiente.

De manera análoga, se puede hacer que el límite inferior sea variable y, por lo tanto, que ambos límites puedan variables o dependan de otra función.

De una forma geométrica, se puede ver de la siguiente manera.

Así que la integral indefinida $ \phi (x) $ está dada por el área sombreada en rojo, que se encuentra delimitada por la curva en azul $y=f(u)$ dentro del intervalo $[\alpha , x]$.

Entonces, hasta que no se determine un valor para $x$, el valor de la integral irá cambiando.

Se debe recordar que el signo del área se determina por el cuadrante en el que se encuentra, como se vio en la Unidad 1.

Observación: Cualquier integral definida es un caso particular de una integral indefinida $\phi(x)$.

Las reglas básicas para la integral que se vieron, tienen su generalización con integrales indefinidas, por ejemplo, la suma:

$$\int \limits_a^b f(u) \ du = \int \limits_a^\alpha f(u) \ du + \int \limits_\alpha^b f(u) \ du. $$

$$= – \int \limits_\alpha^a f(u) \ du + \int \limits_\alpha^b f(u) \ du = \phi(b) \ – \ \phi(a) . $$

De esta forma queda una integral definida en términos de integrales indefinidas.

Así, se puede expresar cualquier integral indefinida con límite inferior $\alpha’$ en términos de $\phi(x)$:

$$ \int \limits_{\alpha’}^x f(u) \ du = \phi(x) \ – \ \phi({\alpha’}) . $$

En donde $\phi({\alpha’}) $ es una constante.

Por lo que se puede concluir que cualquier integral definida difiere de la integral indefinida $\phi(x)$ por una constante.

$$ \int \limits^x f(u) \ du = \phi(x) + C.$$

Donde a $C$ se le conoce como la constante de integración.

Continuidad de la integral indefinida

Sea $f(x)$ función continua en el intervalo $[a,b]$ y sea $\alpha$ un punto dentro del intervalo, i.e. $\alpha \in [a,b]$. Entonces, la integral indefinida:

$$\phi(x) = \int \limits_\alpha^x f(u) ~ du.$$

Es una función que depende de la variable $x$, la cual está definida en el intervalo.

Teorema: La integral indefinida $\phi(x)$ de una función $f(x)$ continua, es asimismo, continua.

Demostración:

Sea $x, y$ dos valores dentro del intervalo donde la función es continua.

Por el teorema del valor medio se tiene que:

$$\phi(y) \ – \ \phi(x) = \int \limits_x^y f(u) \ du = f(\xi) (y \ – \ x).$$

Donde $\xi$ es algún valor en el intervalo con puntos extremos $x$ & $y$.

Ahora, por la continuidad de $f$, obtenemos lo siguiente:

$$\lim_{y \rightarrow x} \phi(y) = \lim_{y \rightarrow x} [\phi(x) + f(\xi) (y \ – \ x) ]. $$

Separamos en límites.

$$ = \ \lim_{y \rightarrow x} \phi(x) + \lim_{y \rightarrow x} f(\xi) (y \ – \ x) . $$

Sacamos los factores que no dependen del límite.

$$ \Rightarrow = \ \phi(x) \ + \ f(\xi) ~\\ \lim_{y \rightarrow x} (y \ – \ x) . $$

$$ = \ \phi(x) + f(\xi) \cdot 0.$$

$$\therefore \lim_{y \rightarrow x} \phi(y) = \phi(x).$$

Lo que muestra que $\phi$ es continua.

$\square$

Si lo vemos dentro de cualquier intervalo cerrado, obtenemos lo siguiente.

$$|\phi(y) \ – \ \phi(x)| \leq M \ |y \ – \ x|.$$

donde $M$ es el máximo de $|f|$ en el intervalo, de modo que $\phi$ es aún Lipschitz-continua.

Si quieres recordar continuidad, sigue este link.

$\square$

Anteriormente se mencionó la siguiente ecuación.

$\phi(y) \ – \ \phi(x) = \int \limits_x^y f(u) \ du = f(\xi) (y \ – \ x).$

Observación: Si $f(x)$ es una función positiva en todo el intervalo $[x,y]$, se obtiene que $\phi(x)$ es una función creciente.

$$\phi(y) = f(\xi) (y \ – \ x) > \phi(x).$$

Más adelante…

Teniendo definidas las integrales indefinidas, podremos revisar las propiedades que estas integrales tienen y teoremas que son de alta importancia, tanto en cálculo como en las demás asignaturas.

Este paso de trabajar con integrales indefinidas nos da una mayor libertad al momento de trabajar con funciones. Anteriormente, al trabajar con integrales definidas, teníamos plena conciencia de que punto a que punto se necesitaba integrar, lo que, al momento de evaluar o de integral solo encontramos un número; pero ahora que trabajamos con integrales indefinidas.

Tarea moral

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Entradas relacionadas

Cálculo Diferencial e Integral II: Propiedades de la integral definida

Por Moisés Morales Déciga

Introducción

En las entradas anteriores se dio la motivación de la construcción de la integral y la definición de la integral de Riemann. Para que cierta integral exista, necesitamos que el ínfimo de ciertas sumas superiores coincida con el supremo de ciertas sumas inferiores. Vimos algunas condiciones que garantizan que esto suceda, por ejemplo, que exista el límite de las sumas superiores e inferiores para las particiones homogéneas, y que dicho límite sea el mismo en ambos casos. Lo que haremos ahora es estudiar más propiedades de la integral.

Las propiedades que veremos nos permitirán concluir la existencia de ciertas integrales de manera sencilla y, a la vez, nos permitirán manipular algebraicamente a las integrales. En caso de necesitar un recordatorio de la definición de integral, te recomendamos consultar la entrada anterior.

Integrabilidad de familias de funciones especiales

Hay algunas propiedades de funciones que se estudian desde Cálculo I que implican la integrabilidad. A continuación presentamos un par de ejemplos.

Proposición. Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es acotada y monótona en $[a,b]$, entonces es Riemann integrable en $[a,b]$.

Demostración. Supondremos que $f$ es estrictamente creciente. Otras variantes de monotonía (no decreciente, no creciente, estrictamente decreciente) tienen una demostración similar, que puedes hacer por tu cuenta.

Tomemos la partición homogénea $P_n$ del intervalo $[a,b]$. Definiendo $$x_j=a+j\frac{b-a}{n}$$ para $j=0,\ldots,n$, se tiene que las celdas son $$[x_0,x_1],[x_1,x_2],\ldots,[x_{n-1},x_n].$$

Las celdas tienen todas longitud $\frac{b-a}{n}$ y como la función es estrictamente creciente, el mínimo se alcanza al inicio de cada celda. De esta manera, la suma inferior para esta partición es:

\begin{align*}
\underline{S}(f,P_n)=\frac{b-a}{n}\left(f(x_0)+\ldots+f(x_{n-1})\right).
\end{align*}

Similarmente, el máximo se alcanza al final de cada celda. Por ello, la suma superior para esta partición es

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)=\frac{b-a}{n}\left(f(x_1)+\ldots+f(x_n)\right).
\end{align*}

Restando la suma inferior a la superior, obtenemos

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)-\underline{S}(f,P_n)&=\left(\frac{b-a}{n}\left(f(x_1)+\ldots+f(x_n)\right)\right)-\left(\frac{b-a}{n}\left(f(x_0)+\ldots+f(x_{n-1})\right)\right)\\
&=\frac{b-a}{n}(f(x_n)-f(x_0))\\
&=\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}.
\end{align*}

De acuerdo a la condición de Riemann (enunciada en la entrada anterior), la función será integrable si logramos que esta diferencia sea tan pequeña como queramos. Tomemos entonces cualquier $\epsilon>0$ y $n$ un entero tan grande como para que $n>\frac{1}{\epsilon}(b-a)(f(b)-f(a))$. Para este $n$, se cumple que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)-\underline{S}(f,P_n)&=\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}<\epsilon,
\end{align*}

y por ello la función es integrable.

$\square$

Proposición. Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $[a,b]$, entonces es Riemann integrable en $[a,b]$.

Demostración. Como primera observación, como $f$ es continua en el intervalo cerrado y acotado $[a,b]$, entonces es acotada, de modo que sí podemos hablar de sus sumas superiores e inferiores.

La estrategia que usaremos para ver que es integrable será verificar nuevamente la condición de Riemann, es decir, que para cualquier $\epsilon > 0$, existe una suma superior y una inferior cuya diferencia es menor que $\epsilon$. La intuición es que con una partición suficientemente fina, el máximo y mínimo de $f$ son muy cercanos porque los puntos que los alcanzan están en una celda muy chiquita (y entonces son muy cercanos). Para poder hacer esto «globalmente» en todas las celdas, necesitaremos una propiedad un poco más fuerte que continuidad: continuidad uniforme (puedes seguir el enlace para recordar este contenido aquí en el blog). Pero ésta se tiene pues las funciones continuas en intervalos cerrados y acotados son uniformemente continuas.

Tomemos entonces $\epsilon >0$. Como mencionamos, $f$ es uniformemente continua y el intervalo $[a,b]$ es cerrado y acotado, entonces $f$ es uniformememente continua. Así, existe una $\delta>0$ tal que si $|x-y|<\delta$, entonces $|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$. Tomemos $n$ tan grande como para que $\frac{b-a}{n}<\delta$. Tras hacer esto, en cada celda $i$ de la partición homogénea $P_n$ los valores $m_i$ y $M_i$ donde $f$ alcanza el mínimo y máximo respectivamente cumplen que $|M_i-m_i|\leq \frac{b-a}{n}<\delta$ y por lo tanto para cada $i$ se tiene $f(M_i)-f(m_i)=|f(M_i)-f(m_i)|<\frac{\epsilon}{b-a}$.

Ya tenemos los ingredientes para realizar la cuenta de sumas superiores e inferiores.

Por un lado,

$$\overline{S}(f,P_n)=\frac{b-a}{n}\left(f(M_1)+\ldots+f(M_n)\right).$$

Por otro,

$$\underline{S}(f,P_n)=\frac{b-a}{n}\left(f(m_1)+\ldots+f(m_n)\right),$$

así que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)-\underline{S}(f,P_n)&=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n \left(f(M_i)-f(m_i)\right)\\
&<\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n \frac{\epsilon}{b-a}\\
&=\frac{b-a}{n}\left(n\frac{\epsilon}{b-a}\right)\\
&=\epsilon.
\end{align*}

Esto muestra que podemos acercar una partición superior tanto como queramos a una inferior. Por el criterio de la entrada anterior, la función $f$ es integrable en $[a,b]$.

$\square$

Separación de la integral en intervalos

Enunciemos una propiedad importante de la integral: puede partirse en intervalos.

Proposición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada. Sea $c$ cualquier valor entre $[a,b]$. Si la integral

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx$$

existe, entonces las dos integrales

$$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx, \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx$$

también existen. Y viceversa, si estas dos integrales existen, entonces la primera también.

Cuando las tres integrales existen, se cumple además la siguiente igualdad:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx .$$

Demostración. Veamos primero que si la integral en todo $[a,b]$ existe, entonces las otras dos también. Trabajaremos usando la condición de Riemann. Sea $\epsilon>0$. Como $f$ es integrable en $[a,b]$, entonces existe una partición $P$ de $[a,b]$ tal que

$$\overline{S}(f,P)-\underline{S}(f,P)<\epsilon.$$

Podemos suponer que uno de los puntos de $P$ es el punto $c$, pues de no serlo, refinamos a $P$ incluyendo a $c$. Esto no aumenta la suma superior, ni disminuye la inferior, así que sigue cumpliendo la desigualdad anterior. Si $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$, podemos entonces pensar que para alguna $k$ en $\{0\ldots,n\}$ se cumple que $x_k=c$, y entonces de esta partición de $[a,b]$ salen las particiones:

  • $P_1 = \{a=x_0, x_1, … , x_k=c\}$ de $[a,c]$ y
  • $P_2 = \{c={x_k}, x_{k+1}, … , x_n=b\}$ de $[c,b]$.

Como las celdas de $P$ son celdas de $P_1$ ó $P_2$, entonces las sumas superiores e inferiores cumplen:

\begin{align*}
\overline{S} (f,P_1) + \overline{S} (f,P_2) &= \overline{S} (f,P), \\
\underline{S} (f,P_1) + \underline{S} (f,P_2) &= \underline{S} (f,P) .\\
\end{align*}

Si se restan ambas sumas, se obtiene lo siguiente:

\begin{align*}
\left(\overline{S} (f,P_1) – \underline{S} (f,P_1)\right) + \left(\overline{S} (f,P_2) – \underline{S} (f,P_2)\right) = \overline{S} (f,P) \ – \ \underline{S} (f,P) < \epsilon.\\
\end{align*}

Ambos términos de la izquierda son positivos y su suma es menor que $\epsilon$, así que concluimos:

\begin{align*}
\overline{S} (f,P_1) – \underline{S} (f,P_1) &< \epsilon,\\
\overline{S} (f,P_2) – \underline{S} (f,P_2) &< \epsilon.\\
\end{align*}

De este modo, por el criterio de Riemann se tiene que $f$ es integrable en $[a,c]$ y en $[c,b]$.

Si la integrales en $[a,c]$ y $[c,b]$ existen, entonces puede hacerse una prueba similar: para cualquier $\epsilon$ habrá una partición $P$ de $[a,c]$ con diferencia de suma superior e inferior menor a $\epsilon/2$, y lo mismo para una partición $P’$ de $[c,b]$. Un argumento similar al de arriba ayudará a ver que $P\cup P’$ es una partición de $[a,b]$ que hace que la diferencia de la suma superior e inferior sea menor a $\epsilon$. Los detalles quedan para que los verifiques por tu cuenta.

Veamos ahora que cuando las integrales existen, entonces se cumple la igualdad

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx \ + \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx .$$

Tomemos cualquier partición $P’$ de $[a,b]$. Tomemos el refinamiento $P=P’\cup \{c\}$ y escribamos $P=P_1\cup P_2$ como arriba. Usando que las integrales son ínfimos de sumas superiores (y por lo tanto son cotas inferiores), tenemos que:

\begin{align*}
\overline{S}(f,P’) & \geq \overline{S}(f,P)\\
&=\overline{S}(f,P_1) + \overline{S}(f,P_2)\\
&\geq \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x) \,dx.
\end{align*}

Por definición, $\int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx$ es el ínfimo de las sumas superiores sobre todas las particiones $P’$ de $[a,b]$ y entonces es la mayor de las cotas inferiores. Como arriba tenemos que $\int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x) \,dx$ es cota inferior para todas estas sumas superiores, entonces:

$$\int_a^b f(x)\, dx \geq \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x) \,dx.$$

Así mismo, para cualesquiera particiones $P_1$ y $P_2$ de $[a,c]$ y $[c,b]$ respectivamente, tenemos que $P_1\cup P_2$ es partición de $[a,b]$ y entonces

$$\overline{S}(f,P_1) + \overline{S}(f,P_2) = \overline{S}(f,P_1\cup P_2) \geq \int_a^b f(x)\,dx,$$

de donde

$$\overline{S}(f,P_1) \geq \int_a^b f(x)\,dx – \overline{S}(f,P_2).$$

Así, para cualquier partición $P_2$ fija, hemos encontrado que $\int_a^b f(x)\,dx – \overline{S}(f,P_2)$ es cota inferior para todas las sumas superiores de particiones $P_1$ de $[a,c]$. De este modo, por ser la integral en $[a,c]$ la mayor de estas cotas inferiores, se tiene

$$\int_a^c f(x)\, dx \geq \int_a^b f(x)\,dx – \overline{S}(f,P_2)$$

para cualquier partición $P_2$ de $[c,b]$. Pero entonces

$$\overline{S}(f,P_2) \geq \int_a^b f(x)\,dx – \int_a^c f(x)\, dx, $$

se cumple para toda partición $P_2$ de $[b,c]$, de donde concluimos

$$\int_b^c f(x)\, dx \geq \int_a^b f(x)\,dx – \int_a^c f(x)\, dx.$$

Despejando, obtenemos la desigualdad

$$\int_a^b f(x)\, dx + \int_b^c f(x)\, dx \geq \int_a^b f(x).$$

Junto con la desigualdad que mostramos arriba, se obtiene la desigualdad deseada.

$\square$

Límites reales arbitrarios

Hasta ahora siempre hemos hablado de la existencia de la integral de una función en un intervalo $[a,b]$ con $a\leq b$. Cuando $a=b$, la integral que buscamos es en el intervalo $[a,a]$ y se puede mostrar que en este caso la integral siempre existe y es igual a cero, es decir, que $$\int_a^a f(x)\, dx = 0.$$

La siguiente definición nos dice qué hacer cuando en los límites de integración vamos de un número mayor a uno menor.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada. Sean $a<b$ reales. Si la integral de $f$ en el intervalo $[a,b]$ existe, entonces definimos la integral de $f$ de $b$ a $a$ como sigue: $$\int_b^a f(x)\,dx= – \int_a^b f(x)\, dx.$$

Esta definición es compatible con todo lo que hemos platicado, y nos permite extender la identidad $$\int \limits_{a}^{c} f(x) \ dx, \int \limits_{c}^{b} f(x) \ dx$$ de la proposición de la sección anterior a valores arbitrarios de $a,b,c$, sin importar en qué orden estén en la recta real (siempre y cuando las integrales existan, por supuesto). Por ejemplo, si $a>b>c$, entonces podemos proceder como sigue mediante lo que ya hemos demostrado y definido:

\begin{align*}
\int_a^b f(x)\, dx &= – \int_b^a f(x)\, dx \quad \text{Def. int. para $a>b$.}\\
&= – \left(\int_c^a f(x)\, dx – \int_c^b f(x)\, dx\right) \quad \text{Por prop. anterior pues $c<b<a$.}\\
&= – \int_c^a f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx \quad \text{Distribuir el $-$}\\
&= \int_a^c f(x)\, dx + \int)c^b f(x)\, dx \quad \text{Def. int. para $a>c$}.
\end{align*}

Aquí se ve como con un orden específico de $a,b,c$ se sigue cumpliendo la identidad buscada, aunque $c$ no quede entre $a$ y $b$ y no se cumpla que $a\leq b$. Siempre es posible hacer esto y te recomendamos pensar en cómo argumentar todos los casos posibles de $a,b,c$.

La intuición en áreas de que la integral $\int_b^a f(x)\, dx$ cambia de signo con respecto a $\int_a^b f(x)\, dx$ es que en una recorremos el área de izquierda a derecha y en la otra de derecha a izquierda. Entonces, «recorremos el área al revés» porque «graficamos hacia atrás». Por ejemplo, se tiene el intervalo $[5,1]$, la forma en que se recorrerá al momento de graficar sería del $5$ al $1$ y, si la función es positiva, la integral será negativa.

Linealidad de la integral

Tomemos dos funciones acotadas $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y supongamos que son integrables en el intervalo $[a,b]$. Tomemos cualquier real arbitrario $\alpha$. A partir de esto, podemos construir la función $f+\alpha g$, que recordemos que su definición es que es una función de $[a,b]$ a $\mathbb{R}$ con regla de asignación $$(f+\alpha g)(x) = f(x) + \alpha g(x).$$

Si tomamos una partición $P$ de $[a,b]$, se puede verificar fácilmente que

\begin{align*}
\overline{S}(f+\alpha g, P)&=\overline{S}(f,P)+\alpha \overline{S}(g,P),\\
\underline{S}(f+\alpha g, P)&=\underline{S}(f,P)+\alpha \underline{S}(g,P).
\end{align*}

Restando ambas expresiones,

$$\overline{S}(f+\alpha g, P)- \underline {S}(f+\alpha g, P) = \left(\overline{S}(f,P) – \underline{S}(f,P)\right) + \alpha \left(\overline{S}(g,P) – \underline{S}(g,P)\right).$$

Intuitivamente (respaldados por el criterio de Riemann), el lado derecho puede ser tan pequeño como queramos pues $f$ y $g$ son integrables. Así que el lado izquierdo también. Esto muestra que $f+\alpha g$ también es integrable en $[a,b]$. Te recomendamos hacer una demostración formal.

Además, si $P_n$ es una sucesión de particiones en donde los tamaños de celda convergen a cero (y por lo tanto para las cuales las sumas superiores convergen a la integral para cada función de arriba), entonces:

\begin{align*}
\int_a^b (f+\alpha g)(x)\, dx &= \lim_{n\to \infty} \overline{S} (f+\alpha g, P_n)\\
&=\lim_{n\to \infty} \left(\overline{S}(f,P_n)+ \alpha\overline{S}(g,P_n)\right)\\
&=\lim_{n\to \infty} \overline{S}(f,P_n) + \alpha \lim_{n\to \infty} \overline{S}(g,P_n)\\
&=\int_a^b f(x)\, dx + \alpha \int_a^b g(x)\, dx.
\end{align*}

En resumen, hemos demostrado lo siguiente:

Teorema. La integral es lineal. Es decir, si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ son funciones acotadas e integrables en $[a,b]$, entonces para cualquier real $\alpha$ también $f+\alpha g$ es integrable en $[a,b]$ y además se cumple $$\int_a^b (f+\alpha g)(x)\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \alpha \int_a^b g(x)\, dx.$$

Dos casos particulares de interés son los siguientes:

  • Si en el teorema anterior tomamos $\alpha=1$, entonces obtenemos que $\int_a^b (f+g)(x)=\int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx$, es decir, la integral abre sumas.
  • Si en el teorema anterior tomamos $f$ como la función constante cero, entonces obtenemos que $\int_a^b \alpha g(x)\, dx = \alpha \int_a^b g(x)\, dx$, es decir la integral saca escalares.

La integral respeta desigualdades

Veamos que la integral, en cierto sentido, respeta desigualdades. Un primer paso que es muy sencillo de verificar es lo que sucede con la integral de funciones no negativas.

Proposición. Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función integrable en el intervalo $[a,b]$ y se cumple $f(x)\geq 0$ para todo $x\in [a,b]$, entonces $$\int_a^b f(x)\, dx \geq 0.$$

Demostración. Como $f(x)\geq 0$, entonces claramente para cualquier partición $P$ se cumple que $\overline{S}(f,P)\geq 0$, pues aparecen puros términos positivos en la suma superior. Así, $0$ es una cota inferior para las sumas superiores. Como la integral es la máxima de dichas cotas superiores, entonces $$\int_a^b f(x)\, dx \geq 0,$$ como queríamos.

$\square$

De este resultado y las propiedades que hemos mostrado, podemos deducir algo mucho más general.

Teorema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ funciones integrables en un intervalo $[a,b]$, dentro del cual también se cumple que $f(x)\leq g(x)$. Entonces, $$\int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx.$$

Demostración. Como $f$ y $g$ son integrables en $[a,b]$, entonces la combinación lineal $g-f$ también lo es, y además $(g-f)(x)=g(x)-f(x)\geq 0$. Por la proposición anterior y la linealidad de la integral, tenemos entonces que: $$\int_a^b g(x)\, dx – \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b (g-f)(x)\, dx \geq 0.$$

De aquí, $$\int_a^b f(x)\, dx \leq \int_a^b g(x)\, dx,$$ como queríamos.

$\square$

Más adelante…

Todas las propiedades que hemos enunciado se utilizarán de aquí en adelante. Es importante que las tengas presentes. Son propiedades que nos permiten factorizar funciones para que al momento de integrar o que nos permiten partir una integral complicada en otras más sencillas con integración inmediata o ya conocida.

En la siguiente entrada enunciaremos y demostraremos el teorema del valor medio para la integral. Es un teorema muy relevante, pues será uno de los ingredientes en la demostración de otros teoremas importantes para el cálculo integral.

Tarea moral

  1. Utilizando las propiedades anteriores, resuelve las siguientes integrales.
    • $\int \limits_0^1 7(4+3x^2) ~dx.$
    • $\int \limits_2^0 \frac{1}{4}(32x-3x^2+6) ~dx.$
  2. Termina con detalle todas las demostraciones de la entrada que hayan quedado pendientes.
  3. Usndo las propiedades de esta entrada, demuestra que la integral $\int_{-10}^{10} x^7-x^5+3x^3+27x\, dx$ existe y determina su valor. Sugerencia. Muestra que la función dentro de la integral es continua y cumple $f(x)=-f(x)$. Usa varias de las propiedades de esta entrada.
  4. Demuestra la siguiente igualdad:
    $$ \int \limits_{a}^{b} \alpha \ f(x) \ dx \ + \int \limits_{a}^{b} \beta\ g(x) \ dx \ = \ \int \limits_{a}^{b} \alpha f(x) \ + \beta g(x) \ dx .$$
  5. Sean $a\leq b\leq c\leq d$ números reales. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,d]$. Demuestra que todas las integrales $$\int_a^c f(x)\, dx, \int_b^d f(x)\, dx, \int_a^d f(x)\,dx, \int_b^c f(x)\,dx$$
    existen y muestra que satisfacen la siguiente identidad:
    $$\int_a^c f(x)\, dx + \int_b^d f(x)\, dx = \int_a^d f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx.$$
  6. Sean $a<b$ reales. Demuestra que si la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es continua en $[a,b]$, se cumple que $f(x)\geq 0$ para $x\in [a,b]$ y además existe por lo menos un punto $c$ tal que $f(c)>0$, entonces $\int_a^b f(x)\, dx >0$. Como sugerencia, demuestra que existe todo un intervalo (aunque sea muy chiquito) donde la función es positiva, y usa otras propiedades que hemos mostrado. Luego, encuentra un contraejemplo para esta afirmación en donde $f$ no sea continua.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Introducción y método exhaustivo

Por Moisés Morales Déciga

Introducción

Este curso es la continuación de la materia Cálculo Diferencial e Integral I. En el primer curso de cálculo hablamos del cálculo diferencial. Nuestro principal objeto matemático fue la derivada y cómo se puede interpretar como la razón de cambio del objeto de análisis: la tangente de una curva, la velocidad y aceleración de una partícula, la variación de un objeto en su trayectoria, etc.

En este siguiente curso hablaremos de temas relacionados con el cálculo integral. Hablaremos un poco de sus orígenes, de los principales objetos matemáticos que estudia, de varios aspectos fundamentales de su teoría y de sus aplicaciones. El objetivo principal de esta rama matemática es el estudio de las integrales y las anti-derivadas. Una motivación importante es que ellas son una herramienta para la solución de problemas de cálculo de áreas y de volúmenes.

Así, el objeto matemático estelar del curso será la integral y la motivaremos mediante su gran utilidad para el cálculo de áreas. Sin embargo, esto no será lo único que haremos. La definiremos formalmente, probaremos las muchas propiedades matemáticas que tiene y veremos numerosas aplicaciones no sólo al cálculo de integrales, sino también a la construcción de otros objetos matemáticos fundamentales como la función exponencial.

Es muy probable que ya cuentes con una buena noción de área. En cursos de primaria, secundaria y bachillerato se explica un poco de esto y se dan fórmulas para calcular áreas. Sin embargo, estas fórmulas no salen de la nada. Pueden ser construidas a partir de nociones más básicas y por distintos métodos. Uno de ellos es la integración. Hasta que hagamos más precisiones formales, puedes aprovechar la intuición que ya tienes sobre las áreas y pensar en ellas intuitivamente como una magnitud que «mide» qué tan grande es una región contenida dentro de ciertos límites y cuyas unidades están «al cuadrado». Esto te ayudará a tener en qué cimentar tu intuición para cuando demos una definición más formal.

Algunas notas históricas

Históricamente, se han encontrado casos de utilización de de herramientas de cálculo diferencial en trabajos antiguos, por ejemplo, los trabajos de Arquímedes. Pero fue hasta los siglos XVI y XVII donde se tuvo un desarrollo sistemático, atribuido a Isaac Newton y Gottfried Leibniz, quienes son considerados como los dos grandes pioneros y más grandes representantes del Cálculo. Sin embargo, no fueron los únicos aportadores a éste.

Otra persona importante, Isaac Barrow, quién sería el profesor de Newton, tenía una comprensión sobre la reciprocidad entre la derivación e integración. Este concepto es el punto de partida del cálculo desarrollado por Newton y Leibnitz. Es primordial pues da pie a la introducción y demostración de los dos teoremas fundamentales del cálculo.

Método exhaustivo

A modo de introducción, platicaremos en esta entrada sobre el método exhaustivo. Es un método matemático que utiliza la geometría para aproximar algún resultado o aproximar a la solución un problema que tengamos. La característica que tiene el método es que, a la vez que aumenta el cálculo o las repeticiones, aumenta el grado de precisión de nuestra aproximación con respecto al resultado que queremos.

Arquímides desarrolló una de las aplicaciones de este método para el cálculo de áreas planas. Eudoxo también trabajó con este método, sólo que su objetivo era calcular el volumen de las pirámides de Egipto. En cierto sentido, también ya usamos este método cuando hablamos de la derivada de una función. Para pensar en la tangente en un punto $P$ a la gráfica de una función, la intuición (y de hecho, en cierto sentido la definición formal) consistió en tomar rectas secantes que pasaran por $P$ y otro punto $Q$ en la gráfica. Conforme $Q$ se acercaba a $P$ nos aproximábamos más y más a la tangente y, si cierto límite existía, justo esa era la definición de tangente.

Para ejemplificar nuevamente el método exhaustivo, veremos cómo encontrar de manera un poco informal el el área de un círculo. Sea $C$ un círculo y sea $M\geq 3$ un número natural. Tomemos $P_M$ un polígono regular de $M$ lados inscrito al círculo $C$ y $Q_M$ un polígono de $M$ lados circunscrito al círculo $C$. Para que dichos polígonos queden bien definidos, podemos pedir además que su lado inferior sea horizontal. Por ejemplo, en la figura a continuación se muestra el caso $M = 5$.

Notemos que los polígonos que definimos tienen dos áreas: una que incluye al área del círculo y otra que está incluida en el círculo.

Para cada valor de $M$ tenemos dos polígonos. De este modo, estamos generando dos sucesiones de polígonos: la de polígonos inscritos $\{P_M\}_{M\geq 3}$ y la de polígonos circunscritos $\{Q_M\}_{M\geq 3}$. Notemos que el área cada uno de los polígonos inscritos $P_M$ queda acotada superiormente por el área de cada uno de los polígonos $Q_M$; a su vez, el área de cada uno de los polígonos circunscritos $Q_M$ queda acotada inferiormente por el área de cada uno de los polígonos $P_M$. Además, no es muy difícil convencerse de que el área de los polígonos inscritos crece conforme $M$ aumenta y, en contraparte, el área de los circunscritos decrece conforme $M$ aumenta. Recordando del primer curso de cálculo lo que sabemos sobre supremos, ínfimos y sobre sucesiones monótonas y acotadas, tendríamos entonces que los siguientes dos límites existen:

\begin{align*}
p&=\lim_{M\to \infty} \text{área}(P_M)=\sup_{M\geq 3} \text{área}(P_M)\\
q&=\lim_{M\to \infty} \text{área}(Q_M)=\inf_{M\geq 3} \text{área}(Q_M).
\end{align*}

Además, $p\leq q$. De hecho, si el área del círculo $C$ que nos interesa es $c$, entonces por lo que mencionamos arriba tendríamos que $p \leq c \leq q$. Nuestra intuición nos dice que cuando la $M$ aumenta, generamos un polígono con más lados que van acercándose a la circunferencia, y que en el límite debemos obtener el área de la circunferencia. Por lo tanto, esperaríamos que $p=c=q$.

¿Qué sería suficiente para respaldar esta intuición? ¿Bastaría que calculáramos explícitamente $\lim_{M\to \infty} \text{área}(P_M)$ y $\lim_{M\to \infty} \text{área}(Q_M)$ (por ejemplo, dividiendo los polígonos en triángulos para encontrar una fórmula explícita) y que viéramos que son iguales? Esto seguro aumentaría mucho la confianza en nuestro procedimiento. Pero, ¿qué tal que aproximamos al círculo con otros polígonos que no son regulares? ¿nos dará lo mismo? Nuestra definición formal de área ayudará a resolver estas dudas.

En resumen, el método iterativo nos permite aproximar el área del círculo, encerrándolo entre 2 polígonos, de los cuales sabemos calcular el área mediante triángulos. Intuitivamente, mientras más fraccionemos los polígonos, la aproximación del área del círculo será mejor. Esta idea de «encerrar» el área que nos interesa entre dos áreas que sepamos (o acordemos) cómo calcular será clave cuando definamos la integral definida.

Más adelante…

En esta entrada hablamos brevemente sobre la conexión de este curso de cálculo con el anterior. Dimos unas pocas notas históricas e introducimos la idea del método exhaustivo. En la siguiente entrada comenzaremos a formalizar estas ideas para el cálculo de áreas entre la gráfica de una función y el eje $x$.

Tarea moral

  1. Con las herramientas de geometría que has adquirido en la educación básica, intenta completar el ejemplo que comenzamos sobre el método exhaustivo. No te preocupes mucho por la formalización de límites, funciones trigonométricas, fórmulas de áreas de triángulos, etc. Es parte de lo que haremos en este curso. Entre otras cosas, tendrás que:
    • Calcular explícitamente la distancia del centro de un círculo $C$ de radio $r$ a un vértice (y a un lado) del polígono inscrito (y circunscrito) en $C$ que es regular y de $n$ lados.
    • Encontrar el área de $P_n$ y $Q_n$.
    • Encontrar los límites de estas áreas conforme $n$ tiende a infinito.
  2. Investiga más sobre los orígenes del cálculo integral.
  3. Averigua sobre el método exhaustivo y otros usos históricos que se le ha dado.
  4. El método exhaustivo puede ser algo peligroso si se usa apresuradamente. Por ejemplo, toma un cuadrado de lado $1$ y divídelo en cuadrados pequeños para formar un tablero de $n\times n$. Mediante un camino $C_n$ que sube y va a la derecha alternadamente, se puede comenzar en el vértice inferior izquierdo y llegar al vértice superior derecho. Intuitivamente, cuando $n$ tiende a infinito, este camino pareciera converger a la diagonal del cuadrado, la cual tiene longitud $\sqrt{2}$. Sin embargo, la longitud de cada camino $C_n$ siempre es $2$ pues en total avanza una unidad a la derecha y una hacia arriba. ¿Por qué la longitud de $C_n$ no tiende a $\sqrt{2}$ si aparentemente $C_n$ tiende a la diagonal del cuadrado?
  5. Realiza un repaso de los teoremas principales de Cálculo Diferencial e Integral I. ¡Te serán sumamente útiles para este curso! En particular, sería bueno que revises los siguientes temas:
    • Definición y propiedades de límites.
    • Definición y propiedades de funciones contínuas.
    • Definición y propiedades de derivadas.
    • Reglas de derivación.
    • El teorema del valor intermedio.
    • El teorema del valor medio.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema del valor medio para la integral

Por Moisés Morales Déciga

Introducción

En una entrada anterior, presentamos un ejemplo de integración por punto medio que sirve como introducción al tema del teorema del valor medio para la integral. En dicho ejemplo, aproximamos la integral mediante sumas de áreas de rectángulos cuyas bases eran todas iguales, y cuya altura estaba dada por la evaluación de una función en el punto medio de cada intervalo.

Esta manera de aproximar una integral usando algún punto arbitrario dentro de cada intervalo de una partición, y haciendo la suma de Riemann correspondiente, será el punto de partida para entender primero a la integral como un promedio, y luego para llevar ese entendimiento más allá y enunciar el teorema del valor medio para la integral. Lo que nos dirá este teorema es que cuando una integral de una función continua exista, entonces dicha integral siempre puede calcularse como la longitud del intervalo de integración, por la evaluación de la función en algún punto del intervalo.

A continuación formalizamos estas ideas.

Función promedio e intuición del teorema del valor medio

Quizás recuerdes la siguiente definición de tu educación básica.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales. Su promedio o media aritmética es el número

$$\frac{z_1 + z_2 + … + z_n}{n}.$$

De manera similar, si tomamos $x_1,\ldots,x_n$ números en un cierto intervalo $[a,b]$ y $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, entonces podemos considerar a los valores $f(x_1),\ldots,f(x_n)$ y obtener su promedio:

$$\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n} .$$

A esto le llamamos el valor promedio de la función en $x_1,\ldots,x_n$.

Pensemos que tomamos una partición en $n$ partes del intervalo $[a,b]$. La longitud de cada celda sería $\Delta x_i = (b-a)/n$. Si tomamos a los puntos $x_1,\ldots,x_n$, uno en cada celda de dicha partición, entonces tendríamos que

\begin{align*}
\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n}&=\frac{b-a}{b-a} \sum_{i=1} ^n \frac{f(x_i)}{n}\\
&=\frac{1}{b-a} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x_i.
\end{align*}

A la derecha nos queda una suma de Riemann. Si la función fuera integrable en $[a,b]$, dicha suma convergería a $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ conforme $n\to \infty$ (como recordatorio, revisa la entrada de definición de la Integral). Y el lado izquierdo, conforme $n$ crece, se vuelve el promedio de más y más puntos distribuidos homogéneamente en $[a,b]$. De aquí sale la siguiente intuición: «la integral entre $b-a$ es el valor promedio de la función en todo el intervalo».

Esta intuición es buena y conviene formalizarla con un nombre apropiado.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función acotada e integrable en un intervalo $[a,b]$, con $a<b$ reales. Definimos el promedio de $f$ en $[a,b]$ como el número $$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx.$$

Observa que podemos poner a esta expresión como un cociente de integrales:

$$\frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \frac{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx }{ \int \limits_{a}^{b} 1 \ dx }.$$

Teorema del valor medio para la integral

El teorema del valor medio establece una relación muy importante entre una función continua y promedio en cierto intervalo $[a,b]$.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función que es continua en el intervalo $[a,b]$, con $a\leq b$ reales. Entonces, siempre existe $\xi\in[a,b]$ tal que

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a).$$

Si $b>a$, podemos dividir entre $b-a$ y esto quiere decir que siempre podemos encontrar un valor $\xi\in [a,b]$ tal que $f(\xi)$ es igual al promedio de $f$ en $[a,b]$.

Demostración. Si $a=b$, entonces no hay nada que hacer, pues en ambos lados de la igualdad tenemos cero. Así, sean $a<b$ números reales y $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ función continua dentro del intervalo $[a,b]$.

Las funciones continuas tienen valor máximo y mínimo en intervalos cerrados y acotados. Así, existen $x_0$ y $y_0$ en $[a,b]$ tales que $f(x_0) = m$ es el mínimo de la función en el intervalo y, $f(y_0) = M$ es el máximo de la función en el intervalo. Como las funciones constantes son integrables y la integral respeta desigualdades, tenemos que:

\begin{align*}
m(b \ – \ a) &= f(x_0) (b \ – \ a)\\
&=\int_a^b f(x_0)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(x)\, dx\\
&\leq \int_a^b f(y_0)\, dx\\
&=f(y_0) (b-a)\\
&=M (b-a).
\end{align*}

Nos importa recuperar de esta cadena de desigualdades que $$m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\, dx \leq M(b-a),$$ y por lo tanto $$m\leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx \leq M.$$

De esta manera, $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)$ es un valor entre $f(x_0)$ y $f(y_0)$. Pero por el teorema del valor intermedio, si una función continua toma dos valores, entonces toma cualquier valor entre ellos. Así, existe $\xi$ entre $x_0$ y $y_0$ tal que $$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx.$$

Multiplicando por $b-a$, obtenemos la igualdad deseada.

$ \square$

Para entender un poco mejor el teorema del valor medio para la integral, veamos un ejemplo.

Ejemplo. Veamos el teorema del valor medio en acción para la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$.

Ya habíamos encontrado el valor de esta integral en la entrada «Definición de la Integral Definida». Dicho valor fue $\frac{7}{2}=3.5$.

Lo que nos diría el teorema del valor medio es que podemos encontrar un punto $\xi \in[3,4]$ tal que Sustituyendo en la expresión encontrada por el teorema, se tiene lo siguiente.

$$f(\xi)(4 \ – \ 3) = \int \limits_{3}^{4} f(x) dx=3.5,$$

es decir, tal que $f(\xi)=3.5$. Y en efecto, dicho punto es justamente $3.5$, pues $f(3.5)=3.5$. Notemos que, tal como se quería, tenemos que $3.5\in [3,4]$. Por lo tanto, el punto $\xi = 3.5 $ dentro del intervalo $[3,4]$ es tal que al evaluarlo en la función, da por resultado el promedio de $f$ en $[3,4]$.

$\triangle$

Teorema del valor medio generalizado para la integral

Hay otra versión del teorema del valor medio que generaliza la noción de promedio. Quizás en tu educación básica cursaste una materia en donde el $30\%$ de tu calificación eran tareas, el $20\%$ era participaciones y el $50\%$ el examen. En este caso, si sacaste $x,y,z$ en las tareas, participaciones y examen respectivamente, entonces tu calificación final era $0.3 x + 0.2 y + 0.5 z$. Este tipo de promedios en donde distintos números tienen distinto valor quedan reflejados en la siguiente definición.

Definición. Sean $z_1,\ldots,z_n$ números reales y $p_1,\ldots,p_n$ números positivos. La media aritmética ponderada con dichos pesos es el número real $$\frac{p_1z_1+p_2z_2+\ldots+p_nz_n}{p_1+p_2+\ldots+p_n}.$$

El promedio se recupera eligiendo todos los pesos $p_i$ iguales a $1$, es decir, dando la misma ponderación para todos los valores que tenemos dentro del conjunto, independientemente del valor que hayan tenido. Las medias aritméticas son importantes pues aparecen en las aplicaciones. Por ejemplo, en física podemos pensar que los $p_i$ son pesos de partículas localizadas en los puntos $z_i$. En este caso la media aritmética ponderada representará el centro de gravedad de dichos objetos.

Estas ideas pueden llevarse al contexto continuo. Se pueden pensar en las ideas del teorema del valor medio, pero donde ahora en cada punto ponderaremos de acuerdo a una función peso. Esto hará que ahora distintos puntos tengan distinta preferencia, y que a su vez ya no se tenga una media aritmética, sino una media aritmética ponderada.

Definición. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función integrable en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Definimos el promedio ponderado de $f$ como el número

$$\frac{\int_a^b f(x) p(x) \, dx}{\int_a^b p(x)\, dx}.$$

Se puede demostrar el siguiente teorema, que generaliza al teorema del valor medio para la integral.

Teorema. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y sea $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una función continua en $[a,b]$ y no negativa, con integral positiva. Entonces existe un valor $\xi\in [a,b]$ tal que:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx = f(\xi) \ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx .$$

Observación. Si $p(x)$ es la función constante $1$, recuperamos el teorema del valor medio para la integral.

Ya tienes todas las herramientas para probar esta generalización. ¡Te espera en los problemas!

Más adelante…

A partir de la definición de la integral mediante sumas se obtienen teoremas y propiedades que nos permiten simplificar el cálculo de la integral y tener herramientas para resolver problemas mediante diferentes métodos.

Este teorema nos permite calcular la integral a partir del punto medio del intervalo, simplificando el proceso ya que no es necesario determinar el ínfimo o el supremo de cada partición.

En la siguiente unidad se verán algunas aplicaciones sobre este teorema.

Tarea moral

  1. Encuentra el valor promedio la función dada, en el intervalo dado. Luego, encuentra un valor $\xi$ en el intervalo dado tal que $f(\xi)$ sea la integral que encontraste.
    • $f(x)=1 + x^2$ en $[-1,2]$.
    • $f(x)=\sqrt x$ en el intervalo $[0,4]$.
    • $f(x)=1+2x-x^2$ en el intervalo $[-2,2]$.
  2. Determina el valor promedio ponderado de las siguientes funciones, usando la función ponderación dada.
    • $f(x)=1+x^2$ en $[-1,2]$, con función ponderación $p(x)=x+1$.
    • $f(x)=4x^2 – 2x$ en $[1,4]$, con función ponderación $p(x)=3$.
    • $f(x)=(x-3)^2$ en en $[2,5]$, con función ponderación $p(x)=x-2$.
  3. Demuestra el teorema del valor medio generalizado para la integral.
  4. El teorema del valor medio es falso en general si la función no es continua. Considera la siguiente función $$f(x)=\begin{cases} 0 & \text{si $x\in [0,1]$}\\ 1 & \text{si $x\in[1,3].$}\end{cases}$$
    • Demuestra que esta función es integrable en $[0,3]$.
    • Encuentra explícitamente el valor de esa integral mediante la definición.
    • Muestra que no existe ningún $\xi\in [0,3]$ tal que $f(\xi)=\frac{1}{3-0} \int_a^b f(x)\, dx.$
  5. Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una función continua y tal que $f(x)\geq 3$ para todo $x$ en cierto intervalo $[a,b]$. Demuestra que si el promedio de $f$ en $[a,b]$ es $3$, entonces $f(x)=3$ para todo $x\in [a,b]$. ¿Fue importante que el número fuera $3$? Enuncia y demuestra una generalización.

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Cálculo Diferencial e Integral II: Definición de la integral definida

Por Moisés Morales Déciga

Introducción

En la entrada anterior se introdujo el problema de calcular el área que se encuentra en una región delimitada por ciertas líneas verticales, el eje $x$ y la gráfica de una función. Hablamos de cómo aproximar esta área cuando la función es «bien portada», pero aún no hemos dicho a qué se refiere esto. En esta entrada haremos una formalización de este concepto mediante la definición de integral definida.

La intuición que puedes tener a lo largo de la entrada es que para poder hablar de que una función sea integrable en cierto intervalo, intuitivamente necesitamos que las sumas de Riemann convergan a un valor conforme hacemos las celdas tender a cero en longitud. Esto diría que sin importar cómo hagamos la partición, las sumas de Riemann deben converger a un mismo valor conforme la partición se hace más y más fina. En particular, necesitaremos que las sumas superiores e inferiores cumplan esto. Como en ellas entendemos bien qué pasa con los refinamientos, entonces nos conviene más dar la definición en términos de ellas. Es lo más conveniente y, en particular, implica lo anterior.

Integral definida de Riemann

La definición clave que estudiaremos es la siguiente.

Definición. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $\mathbf{P}$ el conjunto de las particiones de $[a,b]$. Definimos

\begin{align*}
\underline{S}(f) & = \sup \lbrace \underline{S(f,P)} \ | P \in \mathbf{P} \rbrace\\
\overline{S}(f) &= \inf \lbrace \overline{S(f,P)} \ | P \in \mathbf{P} \rbrace,
\end{align*}

es decir al supremo de las sumas inferiores y al ínfimo de las sumas superiores sobre todas las particiones posibles de $[a,b]$. Diremos que existe la integral definida de Riemann para $f$ en el intervalo $[a,b]$ si

$$ \underline{S(f)} = \overline{S(f)}.$$

En este caso, a este valor en común lo denotamos por $$\int \limits_{a}^{b} f(x) dx.$$

En otras palabras, para que $f$ sea integrable, necesitamos que el ínfimo de las sumas superiores sea igual al supremo de las sumas inferiores. A veces también decimos que $f$ es Riemann integrable en $[a,b]$ o, si el contexto es claro, simplemente que es integrable.

No todas las funciones son Riemann integrables. Hacia el final de esta unidad daremos ejemplos de funciones que no lo son. Sin embargo, por ahora nos enfocaremos en ver algunos ejemplos que sí son Riemann integrables y probar propiedades de la integral definida en los casos en los que sí exista.

Ejemplo de integral definida

Veamos un ejemplo sencillo de cómo se verifica la definición de integral definida.

Ejemplo. Tomemos la función $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x$. Veamos que dicha función es integrable en el intervalo $[0,1]$. Para ello, demos la partición $P_n$ homogénea del intervalo $[0,1]$ en celdas de longitud $1/n$, con $n$ un entero positivo. Si hacemos esto, las celdas de la partición son

$$[0,1/n],[1/n,2/n],\ldots[(n-1)/n,1].$$

Los supremos de los valores de $f$ en dicho intervalo son

$$1/n, 2/n, \ldots, 1,$$

y los ínfimos son

$$0,1/n, \ldots, (n-1)/n.$$

De este modo, para esta partición la suma superior sería

\begin{align*}
\overline{S} (f,P_n) &= \frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n}{n}\right)\\
&=\frac{1}{n^2}(1+2+\ldots+n)\\
&=\frac{n(n+1)}{2n^2}\\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}.
\end{align*}

y la suma inferior sería

\begin{align*}
\underline{S} (f,P_n) &= \frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}+\frac{2}{n}+\ldots+\frac{n-1}{n}\right)\\
&=\frac{1}{n^2}(0+1+2+\ldots+(n-1))\\
&=\frac{(n-1)n}{2n^2}\\
&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n}.
\end{align*}

La sucesión de números $\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$ se acerca tanto como queramos a $\frac{1}{2}$ por arriba. Como el ínfimo $\overline{S}(f)$ que estamos buscando es cota inferior de todas las sumas inferiores, en particular es de estas que vienen de particiones homogéneas. Así, $\overline{S}(f)\leq \frac{1}{2}$. Pero además, por una proposición de la entrada anterior sabemos que cualquier suma inferior es cota inferior de todas las sumas inferiores. Como $\overline{S}(f)$ es la mayor cota inferior, tenemos que $\overline{S}(f)\geq \frac{1}{2}-\frac{1}{2n}$ para todo $n$, y entonces $\overline{S}(f)\geq \frac{1}{2}$. Todo esto nos permite concluir que $\overline{S}(f)=\frac{1}{2}$.

De manera totalmente análoga (que te sugerimos argumentar cuidadosamente), se tiene que $\underline{S}(f)=\frac{1}{2}$. Concluimos entonces que $f$ es integrable en $[0,1]$ y que $$\int_0^1 f(x)\, dx = \frac{1}{2}.$$

$\triangle$

Aunque este ejemplo tuvo un intervalo y una función muy sencillas, se volvió algo elaborado justificar la parte de los ínfimos y supremos. Es por ello que nos conviene enunciar y demostrar algunos resultados sobre funciones integrables que nos permitirán determinar la integrabilidad con más comodidad.

Integral definida mediante particiones homogéneas y la condición de Riemann

Lo primero que haremos es demostrar que para que una función sea integrable, nos basta estudiar a las particiones homogéneas.

Teorema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Sea $P_n$ la partición homogéneas del intervalo $[a,b]$ en $n$ partes. Supongamos que se da la siguiente igualdad de límites:

$$\lim_{n\to \infty} \overline{S}(f,P_n) = \lim_{n\to \infty} \underline{S}(f,P_n).$$

Entonces, la integral existe y es igual a ese límite en común.

Demostración. $\Leftarrow)$ La demostración sigue argumentos muy parecidos al ejercicio que presentamos como ejemplo arriba. Supongamos que los límites para las particiones homogéneas existen y son iguales a $L$. Estudiemos $\overline{S}(f)$. Por ser ínfimo de todas las sumas superiores, tendríamos en particular para las particiones homogéneas que $$\overline{S}(f)\leq \overline{S}(f,P_n),$$

para todo entero positivo $n$. Haciendo tender $n$ a infinito, obtenemos $\overline{S}(f) \leq L$. Por otro lado, sabemos que cualquier suma inferior es cota inferior de cualquier suma superior, en particular, cada $\underline{S}(f,P_n)$ es una de estas cotas inferiores. Como $\overline{S}(f)$ es la mayor de las cotas inferiores, tendríamos que $$\overline{S}(f)\geq \underline{S}(f,P_n).$$

Haciendo tender $n$ a infinito, obtenemos $\overline{S}(f)\geq L$. Así, $\overline{S}(f)=L$. Un argumento análogo demuestra que $\underline{S}(f)=L$, y por lo tanto la función es integrable en $[a,b]$.

$\square$

Un siguiente resultado importante es la condición de Riemann, que nos dice que para que una función sea integrable, nos basta encontrar una partición en donde la suma superior y la inferior estén tan cerca como querramos. A esto se le conoce como la condición de Riemann.

Teorema. Sean $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ una funcion acotada y $a\leq b$ reales. Se tiene que $f$ es integrable en $[a,b]$ si y sólo si para todo $\epsilon >0$ existe una partición $P_\epsilon$ tal que:

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon .$$

Demostración. $\Rightarrow )$ Sea $f$ integrable. Debemos mostrar que para cada $\epsilon>0$ existe una partición $P_\epsilon$ tal que $$\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon.$$

Para ello, tomemos $\epsilon^*=\epsilon/2$. Como $\overline{S}(f)$ es ínfimo de las sumas superiores, entonces $\overline{S}(f)+\epsilon^\ast$ ya no es cota inferior para dichas sumas superiores, por lo que existe una partición $P$ tal que $\overline{S}(f,P) < \overline{S}(f)+\epsilon^*$. Así mismo, existe una partición $P’$ tal que $\underline{S}(f,P’) > \underline{S}-\epsilon^*$. Si $P_\epsilon$ es un refinamiento mutuo de $P$ y $P’$, tendríamos entonces que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_\epsilon)&<\overline{S}(f,P)<\overline{S}(f)+\epsilon^*\\
\underline{S}(f,P_\epsilon)&>\underline{S}(f,Q)>\underline{S}(f)-\epsilon^*.
\end{align*}

Multiplicando la segunda igualdad por $-1$ y sumando ambas, obtenemos entonces que

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) &< \overline{S}(f) + \epsilon^* \ – \ \underline{S}(f) + \epsilon^* \\
&= 2 \epsilon^* \\
&= \epsilon .
\end{align*}

Aquí usamos que $\overline{S}(f)=\underline{S}(f)$ por ser $f$ integrable.

$\Leftarrow)$ Supongamos ahora que para todo $\epsilon$ se puede encontrar la partición $P_\epsilon$ que satisface $\overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \epsilon$. Veremos que a partir de esto se puede probar que $ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) .$

Por ser $\overline{S}(f)$ el ínfimo de todas las sumas superiores, se tiene que

$$\overline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) .$$

$$ \underline{S}(f,P_\epsilon) < \underline{S}(f) \Longrightarrow – \underline{S}(f,P_\epsilon) > – \underline{S}(f) .$$

$$\Longrightarrow \epsilon > \overline{S}(f,P_\epsilon) \ – \ \underline{S}(f,P_\epsilon) > \overline{S}(f) \ – \ \underline{S}(f) .$$

Y $\epsilon$ es tan pequeño como lo queramos, por lo tanto.

$$ \overline{S}(f) = \underline{S}(f) .$$

$\square$

Ejemplos de integral definida con los resultados que probamos

Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar los resultados que acabamos de mostrar para demostrar que ciertas integrales definidas existen, y para encontrar su valor.

Ejemplo. Calculemos la integral de la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$

Usaremos la técnica de los límites de las particiones homogéneas. Estudiaremos con detalle el caso de las sumas superiores y dejaremos el de las inferiores como ejercicio. Si la partición $P_n$ del intervalo $[a,b]$ es homogénea y en $n$ partes, las celdas tienen longitud $\frac{b-a}{n}$ y entonces son:

$$\left[a,a+\frac{b-a}{n}\right], \left[a+\frac{b-a}{n}, a+2\frac{b-a}{n}\right], \ldots, \left[a+(n-1)\frac{b-a}{n},b\right].$$

La función $f(x)=x$ es creciente, y entonces los máximos se alcanzan al final de cada intervalo. Así, para el intervalo $[3,4]$ tenemos:

\begin{align*}
\overline{S}(f,P_n)&=\sum_{i=1}^{n} f \left( 3+i \cdot \frac{4-1}{n} \right) \frac{4-3}{n}\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(3+ \frac{i}{n}\right) \frac{1}{n}\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3}{n}+ \frac{i}{n^2}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3}{n}\right) + \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n^2}\right)\\
&=\frac{3}{n} \cdot n + \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n i\\
&=3 + \frac{n(n+1)}{2n^2} \\
&=3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}\\
&=\frac{7}{2}+\frac{1}{2n}.
\end{align*}

De este modo,

$$\lim_{n\to\infty} \overline{S}(f,P_n) = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{7}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{7}{2}.$$

Por tu cuenta, revisa que que también se cumple lo siguiente

$$\lim_{n\to\infty} \underline{S}(f,P_n) = \frac{7}{2}.$$

Así, por la proposición que mostarmos arriba, tenemos que la integral en el intervalo $[3,4]$ existe y por lo tanto:

$$ \int \limits_{3}^{4} x \, dx = \frac{7}{2}.$$

$\triangle$

Ejemplo. Ahora calculemos la integral de la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$ . Al hacer una figura, obtenemos la siguiente gráfica.

Observa que en este caso tenemos 2 áreas: del eje $x$ y otra por debajo del eje $x$. Todo lo que hemos hecho funciona tanto para funciones positivas, como negativas. Pero obtendremos algo interesante de la conclusión de este problema.

Para ver que la integral existe, usaremos nuevamente la técnica de las particiones homogéneas. Ahora haremos las sumas inferiores. Como la función es decreciente, los valores más chicos aparecen al final de cada intervalo. Tenemos entonces que:

\begin{align*}
\underline{S}(f,P)&=\sum_{i=1}^{n} \left( – \ \left( 1+i\cdot \left(\frac{3-1}{n}\right) \right)^2+3 \right) \left(\frac{3-1}{n} \right) \\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(- \ \left(1+i\cdot \left(\frac{2}{n}\right)\right)^2+3\right) \left(\frac{2}{n}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left( – \ \left(1+ \frac{4i}{n} + \frac{4 i^2}{n^2}\right)+3\right) \left(\frac{2}{n}\right)\\
&=\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{ 4}{n} – \frac{8i} {n^2} – \frac{8 i^2}{n^3}\right)\\
&=\frac{4}{n} \sum_{i=1}^{n} – \frac{8}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i – \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2\\
&=\frac{4}{n} \cdot n – \frac{8}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} – \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
&=4 \ – \ \frac{8n^2}{2n^2} \ – \ \frac{8n}{2n^2} \ – \ \frac{8 \cdot 2n^3}{6n^3} \ – \ \frac{8 \cdot 3n^2}{6n^3} \ – \ \frac{8n}{6n^3} \\
&= – \ \frac{8}{3} \ – \ \frac{8n}{2n^2} \ – \ \frac{8 \cdot 3n^2}{6n^3} \ – \ \frac{8n}{6n^3} .
\end{align*}

Así, $$\lim_{n\to\infty} \underline{S}(f,P)=-\frac{8}{3}.$$

Se puede mostrar que el límite de las sumas superiores para las particiones homogéneas también es $-\frac{8}{3}$ (verifícalo), así que la integral buscada tiene este valor. De esta forma,

$$ \int \limits_{1}^{3} -x^2 +3 \, dx = – 8/3 .$$

$\triangle$

¿Áreas negativas?

Se comentó que la integral se utiliza para el cálculo de áreas bajo la curva, entonces, ¿Por qué el resultado del ejemplo anterior es negativo? ¿Hay áreas negativas? Intuitivamente, no debería haber áreas negativas. Sin embargo, el procedimiento que usamos para definir a la integral definida sí nos puede dar números negativos. Puedes pensarlo como sigue: el área que estamos calculando va del eje $x$ a la gráfica de la función $f$. Si esa gráfica está por debajo, entonces estámos yendo en dirección negativa. En el último ejemplo hay tanto una región por encima del eje $x$, como una por debajo. El número que nos salió es la diferencia de ambas áreas: el área por arriba del eje $x$, menos el área por debajo del eje $x$. Como el resultado que obtuvimos fue negativo, entonces el área por debajo del eje $x$ era mayor en magnitud.

Esta es una propiedad un poco antintuitiva, pero es importante preservarla. El cálculo de áreas es sólo una de las aplicaciones que tiene la integral. En otras aplicaciones, es importante que la integral mida qué tanto estuvimos por encima del eje $x$ y qué tanto estuvimos por debajo.

¿Y si queremos realmente entender la suma de las dos áreas de la figura y no la resta? En ese caso, tendremos que hacer una figura para entender cómo hacer las cuentas. Si hay área que está por debajo del eje $x$, deberemos agregar un signo $-$ para contarla correctamente como área positiva. Pero entonces tendremos que partir nuestro intervalo de integración en varios intervalos de acuerdo a cuándo la gráfica de $f$ cruza al eje $x$.

Con esto en mente, retomemos el ejemplo anterior.

Ejemplo. Encontremos el área en valor absoluto que genera la función $f(x)=-x^2 + 3$ en el intervalo $[1,3]$.

Lo primeo que haremos es obtener el punto donde la función cruza al eje $x$. Para ello, se requiere que $-x^2+3=0$, que en dicho intervalo sucede en $x=\sqrt{3}$.

Una vez encontrado el punto raíz o la raíz de la función, ahora podemos partir el área absoluta que nos interesa en dos intervalos: el $[1,\sqrt{3}]$ y el $[\sqrt{3},3]$.

Pensando en que queremos calcular el área absoluta, necesitamos dividir la formula que se planteó anteriormente en los intervalos correspondientes, y en el intervalo $[\sqrt{3},3]$ será necesario agregar un signo menos para que el área que se calcula como negativa, ahora se cuente de manera positiva. De esta manera, tendríamos:

$$ F_1^3 = \int \limits_{1}^{\sqrt 3} -x^2 +3 \, dx \ – \ \int \limits_{\sqrt 3}^{3} -x^2 +3 \, dx .$$

Ahora queda replicar el proceso que vimos en la suma anterior con estos 2 nuevos intervalos y juntarlos considerando el cambio de signo. Desarrollando los cálculos, se encuentra que el área generada por la función es de:

$$F_1^ 3= 4 \sqrt 3 \ – \ \frac{8}{3}.$$

$\triangle$

Nota. En este ejemplo partimos el intervalo en dos subintervalos, pero el intervalo puede quedar partido tantas veces como la función $f$ lo requiera, de acuerdo a la cantidad de veces que se cruza el eje $x$.

Más adelante…

En esta entrada dimos la definición formal de que una función sea integrable en cierto intervalo. O mejor dicho, que sea Riemann integrable. En cursos más avanzados de matemáticas se definen y estudian otras nociones de integrabilidad, pero por ahora esta es la que nos interesa. Para que la integral de Riemann exista, necesitamos que coindidan el ínfimo de las sumas superiores y el supremo de las sumas inferiores de la función dada. En ese caso, el valor de la integral es ese valor en común.

Ya dada la definición, dimos algunos resultados que nos ayudarán a determinar cuándo una función es integrable. En siguientes entradas daremos más propiedades que nos ayudarán entender mejor la integrabilidad y la integral. Varias entradas despuésse hablará de las integrales indefinidas y del teorema fundamental del cálculo, que daran pie a numerosas técnicas de integración.

Lo último que hicimos en esta entrada es notar que hay casos en donde el valor de la integral que se encuentra es negativo. Esto contradice un poco nuestra intuición de que la integral es un área. Sin embargo, ya platicamos qué hacer en este caso si queremos realmente el «área positiva». Seguiremos explorando esta idea de integrales negativas un poco más adelante. Por ahora, lo que puedes hacer es identificar los intervalos en los que la función tiene determinado signo.

Tarea moral

  1. Completa las cuentas que quedaron pendientes en cada uno de los ejercicios.
  2. Expresa la siguiente expresión como una integral en el intervalo $[0,\pi]$. $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n (x_i^3 + x_i ~ sin (x_i)) \triangle x .$$
  3. Encuentra el área delimitada por la curva $f(x)=x^2 +2 $ y el eje $x$ en el intervalo $[1,4]$.

4. Encuentra el valor del área delimitada por la gráfica de la función$f(x)= x^3-6x$ en el intervalo $[0,3]$, que es la zona sombreada. Realiza las cuentas tanto con áreas absolutas, tanto con áreas con signo.

5. Encuentra el área de la función $f(x)=\sqrt {1-x^2}$ en el intervalo $[0,1]$.

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