Cálculo Diferencial e Integral II: Teorema del valor medio para la Integral

Para iniciar con el Teorema del valor medio, debemos tomar una interpretación diferente y tomar términos como «promedio de la función» en un intervalo [a,b].

Tenemos un conjunto finito de cantidades $f_1, f_2,… f_n$, el promedio o media aritmética sería el número:

$$\frac{f_1 + f_2 + … + f_n}{n} $$

En el caso superior, tenemos valores definidos en cada $f_i$, pero podemos hacer que sean variables de una $x$ arbitraria dentro de un intervalo $[a,b]$, por lo tanto la media quedaría de la siguiente forma:

$$\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n} $$

Entonces, al momento en que tomamos el límite sobre $n$; si el límite existe, el valor dependerá de como se tomen los puntos $x_i$ dentro del intervalo.

Si queremos encontrar un valor definido para el promedio de la función, tomamos los $x_i$ generados por una partición homogénea del intervalo en $n$ partes talque $\Delta x_i = (b-a)/n$. Por lo que ahora tenemos lo siguiente.

$$ $$\frac{f(x_1) + f(x_2) + … + f(x_n)}{n} $$ = \frac{1}{b-a} \sum \limits_{i-1}^{n} f(x_i) \Delta x_i$$

Pero si hacemos que la $n$ tienda a $\infty$, encontramos la definición de la integral.

$$\mu = \frac{1}{b-a} \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx = \frac{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ dx }{ \int \limits_{a}^{b} \ dx }$$

Lo que nos dicen las igualdades anteriores es que, el valor medio de una función continua no puede ser mayor que el valor máximo ni menor que el valor mínimo de la función.

Dado que la función $f(x)$ es continua en el intervalo $[a,b]$, deben existir puntos $x_j \ \&\ \ x_k \ \text{tal que} \ f(x_j) = M \ \&\ \ f(x_k) = m$ donde $M$ era el máximo y $m$ el mínimo de la función en el intervalo.

Teorema del Valor Medio para la Integral

Para una función continua $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$, existe un valor $\xi$ en el intervalo tal que

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) dx = f(\xi)(b-a) $$

Dicho en palabras, el teorema nos afirma que el valor medio de una función continua en un intervalo pertenece al rango de la función.

Este teorema nos asegura la existencia de, por lo menos, un $\xi$ en el intervalo, para el cual $f(\xi)$ es igual al valor promedio de f, pero no sabemos en donde se encuentra $\xi$. En otras palabras:

$$\mu = \frac{f(\xi)}{b-a}$$

Ejemplo 1

Calcula la integral de la función $f(x)=x$ en el intervalo $[3,4]$

Este ejercicio es de la sección de «Definición de la Integral Definida», recordamos que el valor de la integral es de $\frac{7}{2}$ o de 3.5.

¿Cuál es el punto medio $\xi$ tal que $f(\xi)(b-a)= 3.5$?

Entonces, tenemos lo siguiente.

$$\int \limits_{3}^{4} = f(\xi)(4-3) = f(\xi)$$

¿Quién es $f(\xi)$ ?

$$f(x)=x, \ \Rightarrow f(\xi) = \xi$$

$$\therefore \xi = 3.5 $$

Y como observación 3 < 3.5 < 4; y como tenemos la función identidad, esta desigualdad aplica en ambos ejes.

Teorema del valor medio generalizado para la Integral.

La diferencia de este teorema con el teorema anterior, es un termino.

Anteriormente, consideramos que los valores $f_i$ tienen el mismo «peso». Independientemente del valor que hayan tenido, tenían la misma prioridad, peso, probabilidad, frecuencia o cualquier otro sinónimo que genere una distinción de los valores presentados.

Así que, si consideramos estos nuevos pesos, ya no tendremos una media aritmética tradicional, tendremos una media ponderada considerando estos nuevos pesos. Se vería de la siguiente forma para $n$ cantidades de $f_1, f_2,…,f_n$

$$\mu = \frac{p_1 \ f_1 + p_2 \ f_2 + … + p_n \ f_n}{p_1 + p_2 + … + p_n}$$

Donde los factores $p_i$ son los que otorgan el peso o prioridad de los diferentes $f(x_i)$. Pongamos un ejemplo, supongamos que los $p_i$ son los pesos de partículas localizadas en los puntos $f_i$, por lo que $\mu$ representará el centro de gravedad del objeto que tengamos.

Observación: Si todos los pesos $p_i$ son iguales, la cantidad $\mu$ regresa a ser la media aritmética previamente definida.

Entonces, también podemos hacer la analogía cuando tenemos una función:

$$\mu = \frac{ \int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx }{ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx }$$

Lo que se tiene que considerar es que la función peso debe ser, cualquier función positiva, con el fin de garantizar que el denominador no se anula.

Al igual que la primer media presentada, la media con pesos se encuentra entre el máximo $M$ y el mínimo $m$ de la función $f$ en el intervalo. Si vemos las desigualdades quedan de la siguiente manera.

$$m \leq f(x) \leq M,$$

Y si multiplicamos por los pesos positivos,

$$ m \ p(x) \leq f(x) \ p(x) \leq M \ p(x) $$

Y si aplicamos la integración sobre el intervalo:

$$ m \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx \leq \int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx \leq M \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx $$

Y si dividimos entre $ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx $ , que es un número positivo, recuperamos el siguiente resultado

$$m \leq \mu \leq M$$

Observación:

Si tomamos la hipótesis de $f(x)$ es continua, por el Teorema del Valor Medio, que dice (muy resumidamente), $\mu=f(\xi)$, donde $\xi$ es un valor apropiado en el intervalo $a \leq \xi \leq b$. Esto conduce al teorema del valor medio generalizado integral:

Teorema del Valor Medio Generalizado para la Integral:

Si $f(x)$ y $p(x)$ son continuas en el intervalo $[a,b]$ y, además, $p(x)$ es positiva en este intervalo, entonces existe un valor $\xi$ en el intervalo tal que:

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \ p(x) \ dx = f(\xi) \ \int \limits_{a}^{b} p(x) \ dx $$

Observación: Si $p(x)=1$, recuperamos el Teorema del Valor Medio.

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