Cálculo Diferencial e Integral II: Series Geométricas

Introducción

En la sección anterior vimos la definición de sumas parciales y series infinitas, también vimos en que caso se dice que una serie converge o diverge, en esta sección veremos unas series especiales llamadas series geométricas, además, veremos algunas propiedades importantes de las series.

Series geométricas

Las series geométricas son series de la forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}=cr^{0}+cr^{1}+cr^{2}+….+cr^{n}+….$$

Donde $c$ es una constante.

Veamos el teorema siguiente que nos dice en que casos las series geométricas convergen o divergen.

Teorema. Sea $r \space \epsilon \space \mathbb{R}$ entonces la serie:

$$\sum_{n=0}^{\infty }cr^{n}$$

Diverge si $|r|\geq 1$ y converge al valor $\frac{1}{1-r}$ si $|r|<1$.

Demostración: Para demostrar este teorema supongamos que $c=1$, dividamos la demostración por los casos siguientes:

  • Caso $1)$: Si $r=1$.

Vemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty } 1(r)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty } 1$$

Entonces:

$$S_{0}=1,$$

$$S_{1}=2,$$

$$….,$$

$$S_{n}=n+1$$

Tomando el límite:

$$\lim_{n \to \infty} S_{n}=\lim_{n \to \infty}n+1\rightarrow \infty$$

Ya que sabemos que:

$$\lim_{n \to \infty} n \to \infty$$

Por tanto, la serie diverge si $r=1$.

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }1^{n} \rightarrow \infty$$

  • Caso $2)$: Si $r=-1$.

Entonces tenemos que la serie es:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Ya habíamos visto en un ejemplo de la entrada de series y series infinitas que: $$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$$

Es una serie oscilante. Por tanto:

$$\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }S_{n} \space \space \space \nexists \lim$$.

Es decir, el límite no existe y, por tanto, diverge.

  • Caso $3)$: Si $r\neq 1$ y $r\neq -1$.

Entonces tenemos que:

$$\sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}+…$$

Las sumas parciales los calculamos como:

$$S_{n}=1+r+r^{2}+….+r^{n}$$

$$\Rightarrow r\space S_{n}=r+r^{2}+….+r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}-rS_{n}=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}(1-r)=1-r^{n+1}$$

$$\Rightarrow S_{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}=\lim_{n \to \infty}S_{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{1-r^{n+1}}{1-r}=\frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \tag{1}$$

Para resolver este límite, nuevamente veamos que pasa en cada uno de los siguientes casos:

  • Caso cuando $|r|> 1$:

$$\Rightarrow r>1 \space \space ó \space \space r<-1$$

Si $r>1$:

$$\lim_{n \to \infty} r^{n+1} \to \infty$$

Si $r<-1$:

$$\lim_{n \to \infty}r^{n+1} \space \space \space \nexists$$

$$\therefore \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1}) \to \infty$$

Es decir, la serie diverge si $|r|>1$.

  • Caso cuando $|r|<1$:

$$\Rightarrow -1<r<1$$

$$ \Rightarrow \lim_{n \to \infty}r^{n+1}=0$$

Entonces, de la relación $(1)$ se tiene que:

$$\Rightarrow \frac{1}{1-r}\lim_{n \to \infty}(1-r^{n+1})= \frac{1}{1-r} \cdot (1) =\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=0}^{\infty}r^{n}=\frac{1}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$.

$$ \therefore \sum_{n=0}^{\infty }r^{n}= \frac{1}{1-r} $$

Converge si $|r|<1$ y diverge si $|r|\geq 1$.

$\square$

Veamos unos ejemplos.

Ejemplos

Diga si las siguientes series convergen o divergen.

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}\left (\frac{1}{2} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, en este caso $r=\frac{1}{2}$, por lo que, por el teorema anterior, tenemos que:

$$\frac{1}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$$

  • $$\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}$$

Vemos que $|2|>1$, por el teorema anterior, la serie diverge.

Ahora veamos algunas propiedades de las series que nos serán de utilidad en el resto del curso.

Teorema. Sea $\left \{ a_{n} \right \}$ y $\left \{ b_{n} \right \}$ sucesiones tales que si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n} $ converge y $\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$ converge, entonces:

$1)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$2)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

$3)$ $$\sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} \space \space \forall \space C\space \epsilon \space \mathbb{R}$$

Demostración:

Sea $\left \{ S_{n} \right \}$, $\left \{ t_{n} \right \}$, $\left \{ w_{n} \right \}$ las sucesiones de las sumas parciales de $a_{n}$, $b_{n}$ y $a_{n}+b_{n}$ respectivamente, por hipótesis $a_{n}$ y $b_{n}$ convergen, por lo que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ a_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_{n} \space \space converge$$

$$\sum_{n=k}^{\infty} \left \{ b_{n} \right \} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} t_{n} \space \space converge$$

Demostremos la primera propiedad $1)$.

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

Por hipótesis tenemos que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\lim_{n \to \infty}w_{n}=\lim_{n \to \infty}(a_{k}+b_{k}+a_{k+1}+b_{k+1}+…..+a_{n}+b_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty} [(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})+(b_{k}+b_{k+1}+….+b_{n})]=\lim_{n \to \infty} (S_{n}+t_{n})$$

$$=\lim_{n \to \infty}S_{n}+\lim_{n \to \infty}t_{n}=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$$

$\square$

Demostremos la propiedad $3)$.

$$ \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n} $$

Sea $\left \{ Y_{n} \right \}$ la sucesión de sumas parciales de $Ca_{n}$

$$\Rightarrow \sum_{n=k}^{\infty}C a_{n}=\lim_{n \to \infty} Y_{n}=\lim_{n \to \infty} [Ca_{k}+Ca_{k+1}+….+Ca_{n}]$$

$$=\lim_{n \to \infty}C(a_{k}+a_{k+1}+….+a_{n})=\lim_{n \to \infty} C S_{n}$$

Y como $S_{n}$ converge, entonces por propiedad de los límites tenemos que:

$$C\lim_{n \to \infty}S_{n}=C\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

$$\therefore \sum_{n=k}^{\infty} Ca_{n}=C \sum_{n=k}^{\infty}a_{n}$$

Para la propiedad $2)$ se puede demostrar utilizando las propiedades $1)$ y $3)$, dejándose como ejercicio moral.

Observación: Si $\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}$ y $\sum_{n=k}^{\infty} b_{n}$ no convergen, entonces no siempre se cumple que:

$$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}+b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty}a_{n}+\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$

Veamos un ejemplo:

  • $$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Utilizamos la propiedad $3$, se obtiene que:

$$\sum_{n=0}^{\infty} 7\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\sum_{n=0}^{\infty} \left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}$$

Vemos que es una serie geométrica, entonces sea $r=-\frac{3}{4}$, por el teorema de la serie geométrica tenemos:

$$7 \sum_{n=0}^{\infty}\left ( -\frac{3}{4} \right )^{n}=7\frac{1}{1+\frac{3}{4}}=7(\frac{4}{7})=4$$

Series geométricas que no empiezan en $n=0$

Ahora veamos las series geométricas donde la serie no comienza en $n=0$, veamos el teorema siguiente que nos dice en que caso estas series convergen o divergen.

Teorema. Sea $\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}$ con $m \neq 0$ entonces: $$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Si $|r|<1$

Demostración:

La demostración a este teorema es muy similar a la demostración del primer teorema que vimos en esta sección, por lo que solo veremos el caso cuando $|r|<1$, entonces:

$$\sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\lim_{n \to \infty}\sum_{n=m}^{n}r^{n}=\lim_{n \to \infty}(r^{m}+r^{m+1}+….+r^{m+n})=\lim_{n \to \infty}r^{m}(1+r+…..+r^{n})=r^{m}\frac{1}{1-r}$$

$$\therefore \sum_{n=m}^{\infty}r^{n}=\frac{r^{m}}{1-r}$$

Es decir, la serie converge si $|r|<1$

$\square$

Veamos un ejemplo:

Diga si la siguiente serie converge o diverge.

  • $$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}$$

Vemos que es una serie geométrica que no empieza con $n=0$, por lo que $r=\frac{1}{2}<1$ entonces por el teorema anterior obtenemos:

$$\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{(\frac{1}{2})^{4}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}$$

Tarea moral

Los siguientes ejercicios no son para evaluación, pero son ejercicios para que practiques lo aprendido que te ayudaran en el desarrollo del entendimiento del tema, por lo que te invitamos a resolver los siguientes ejercicios propuestos relacionados con el tema visto.

  1. Demuestra que: $$\sum_{n=k}^{\infty} (a_{n}-b_{n})=\sum_{n=k}^{\infty} a_{n}-\sum_{n=k}^{\infty}b_{n}$$.

Diga si la siguientes series convergen o divergen.

  1. $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2+3^{n}}{5^{n}}$$
  2. $$\sum_{n=1}^{\infty}2^{2n}3^{1-n}$$
  3. $$5-\frac{10}{3}+\frac{20}{9}-\frac{40}{27}+….$$
  4. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

Más adelante…

En esta sección vimos las series geométricas para el caso cuando $n=0$ y $n \neq 0$, así como los casos en donde estas series convergen y divergen. También vimos algunas propiedades importantes de las series que nos serán útiles en el estudio de estas. Veremos en las siguientes secciones criterios de convergencia y divergencia de las series, en la siguiente entrada comenzaremos a estudiar el criterio de la divergencia y de acotación.

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